思維導(dǎo)圖
知識(shí)梳理
1．雙曲線的定義
平面內(nèi)到兩個(gè)定點(diǎn)F1，F(xiàn)2的距離的差的絕對(duì)值等于常數(shù)2a(2a＜|F1F2|)的點(diǎn)P的軌跡叫做雙曲線.這兩個(gè)定點(diǎn)叫做雙曲線的焦點(diǎn)，兩焦點(diǎn)間的距離叫做雙曲線的焦距．
2.雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程
(1)中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)．
(2)中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在y軸上的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為eq \f(y2,a2)－eq \f(x2,b2)＝1(a＞0，b＞0)．
3．雙曲線的幾何性質(zhì)
題型歸納
題型1 雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程
【例1-1】已知雙曲線C：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的漸近線方程為y＝±eq \f(3,4)x，且其右焦點(diǎn)為(5,0)，則雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程為( )
A.eq \f(x2,9)－eq \f(y2,16)＝1 B.eq \f(x2,16)－eq \f(y2,9)＝1
C.eq \f(x2,3)－eq \f(y2,4)＝1 D.eq \f(x2,4)－eq \f(y2,3)＝1
【解析】選B 由題意得eq \f(b,a)＝eq \f(3,4)，c2＝a2＋b2＝25，所以a＝4，b＝3，所以所求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為eq \f(x2,16)－eq \f(y2,9)＝1.
【例1-2】與橢圓eq \f(x2,4)＋y2＝1共焦點(diǎn)且過(guò)點(diǎn)P(2,1)的雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程是( )
A.eq \f(x2,4)－y2＝1 B.eq \f(x2,2)－y2＝1
C.eq \f(x2,3)－eq \f(y2,3)＝1 D．x2－eq \f(y2,2)＝1
【解析】選B 法一：橢圓eq \f(x2,4)＋y2＝1的焦點(diǎn)坐標(biāo)是(±eq \r(3)，0)．
設(shè)雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程為eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)，
因?yàn)殡p曲線過(guò)點(diǎn)P(2,1)，
所以eq \f(4,a2)－eq \f(1,b2)＝1，又a2＋b2＝3，
解得a2＝2，b2＝1，所以所求雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程是eq \f(x2,2)－y2＝1.
法二：設(shè)所求雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程為eq \f(x2,4－λ)＋eq \f(y2,1－λ)＝1(10，b>0)的左、右焦點(diǎn)，過(guò)F1的直線交雙曲線C的左支于A，B兩點(diǎn)，且|AF2|＝3，|BF2|＝5，|AB|＝4，則△BF1F2的面積為________．
(3)已知F是雙曲線eq \f(x2,4)－eq \f(y2,12)＝1的左焦點(diǎn)，A(1,4)，P是雙曲線右支上的一動(dòng)點(diǎn)，則|PF|＋|PA|的最小值為________．
【解析】 (1)由∠F2MN＝∠F2NM可知，|F2M|＝|F2N|，由雙曲線定義可知，|MF2|－|MF1|＝4 eq \r(2)，
|NF1|－|NF2|＝4 eq \r(2)，兩式相加得，|NF1|－|MF1|＝|MN|＝8 eq \r(2).
(2)∵|AF2|＝3，|BF2|＝5，
|AF2|－|AF1|＝2a，|BF2|－|BF1|＝2a，
∴|AF2|＋|BF2|－|AB|＝4a＝3＋5－4＝4，
∴a＝1，∴|BF1|＝3，
又|AF2|2＋|AB|2＝|BF2|2，
∴∠F2AB＝90°，∴sin B＝eq \f(3,5)，
∴S△BF1F2＝eq \f(1,2)×5×3×sin B＝eq \f(1,2)×5×3×eq \f(3,5)＝eq \f(9,2).
(3)因?yàn)镕是雙曲線eq \f(x2,4)－eq \f(y2,12)＝1的左焦點(diǎn)，所以F(－4,0)，設(shè)其右焦點(diǎn)為H(4,0)，則由雙曲線的定義可得|PF|＋|PA|＝2a＋|PH|＋|PA|≥2a＋|AH|＝4＋eq \r(?4－1?2＋?0－4?2)＝4＋5＝9.
【答案】 (1)C (2)eq \f(9,2) (3)9
【跟蹤訓(xùn)練2-1】已知△ABC的頂點(diǎn)A(－5,0)，B(5,0)，△ABC內(nèi)切圓的圓心在直線x＝2上，則頂點(diǎn)C的軌跡方程是( )
A.eq \f(x2,4)－eq \f(y2,21)＝1(x＞2) B.eq \f(y2,4)－eq \f(x2,21)＝1(y＞2)
C.eq \f(x2,21)－eq \f(y2,4)＝1 D.eq \f(y2,4)－eq \f(x2,2)＝1
【解析】選A 如圖，△ABC與內(nèi)切圓的切點(diǎn)分別為G，E，F(xiàn).
|AG|＝|AE|＝7，|BF|＝|BG|＝3，|CE|＝|CF|，所以|CA|－|CB|＝7－3＝4.
根據(jù)雙曲線定義，所求軌跡是以A，B為焦點(diǎn)，實(shí)軸長(zhǎng)為4的雙曲線的右支，方程為eq \f(x2,4)－eq \f(y2,21)＝1(x>2)．
【跟蹤訓(xùn)練2-2】已知F1，F(xiàn)2為雙曲線C：x2－y2＝2的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)P在C上，|PF1|＝2|PF2|，則cs∠F1PF2＝________.
【解析】由雙曲線的定義有|PF1|－|PF2|＝2a＝2eq \r(2)，
|PF1|＝2|PF2|，∴|PF1|＝4eq \r(2)，|PF2|＝2eq \r(2)，
則cs∠F1PF2＝eq \f(|PF1|2＋|PF2|2－|F1F2|2,2|PF1|·|PF2|)
＝eq \f(?4\r(2)?2＋?2\r(2)?2－42,2×4\r(2)×2\r(2))＝eq \f(3,4).
【答案】eq \f(3,4)
【名師指導(dǎo)】
雙曲線定義的應(yīng)用策略
(1)根據(jù)動(dòng)點(diǎn)與兩定點(diǎn)的距離的差判斷動(dòng)點(diǎn)的軌跡是否為雙曲線．
(2)利用雙曲線的定義解決與雙曲線的焦點(diǎn)有關(guān)的問(wèn)題，如最值問(wèn)題、距離問(wèn)題．
(3)利用雙曲線的定義解決問(wèn)題時(shí)應(yīng)注意三點(diǎn)：①距離之差的絕對(duì)值；②2a0，b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，過(guò)F1的直線與C的兩條漸近線分別交于A，B兩點(diǎn)．若eq \(F1A,\s\up7(―→))＝eq \(AB,\s\up7(―→))，eq \(F1B,\s\up7(―→))·eq \(F2B,\s\up7(―→))＝0，則C的離心率為________．
【解析】 法一：雙曲線eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的漸近線方程為y＝±eq \f(b,a)x，
∵eq \(F1B,\s\up7(―→))·eq \(F2B,\s\up7(―→))＝0，∴F1B⊥F2B，
∴點(diǎn)B在⊙O：x2＋y2＝c2上，如圖所示，
不妨設(shè)點(diǎn)B在第一象限，由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y＝\f(b,a)x，,x2＋y2＝c2，得點(diǎn)B?a，b?，,a2＋b2＝c2，,x>0))
∵eq \(F1A,\s\up7(―→))＝eq \(AB,\s\up7(―→))，∴點(diǎn)A為線段F1B的中點(diǎn)，
∴Aeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a－c,2)，\f(b,2)))，將其代入y＝－eq \f(b,a)x得eq \f(b,2)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(b,a)))×eq \f(a－c,2).解得c＝2a，故e＝eq \f(c,a)＝2.
法二：如圖，由eq \(F1A,\s\up7(―→))＝eq \(AB,\s\up7(―→))知A為線段F1B的中點(diǎn)，
∵O為線段F1F2的中點(diǎn)，
∴OA∥F2B，
∵eq \(F1B,\s\up7(―→))·eq \(F2B,\s\up7(―→))＝0，∴F1B⊥F2B，
∴OA⊥F1A且∠F1OA＝∠OF2B，
∵∠BOF2＝∠AOF1，∴∠BOF2＝∠OF2B，
又易知|OB|＝|OF2|＝c，∴△OBF2為正三角形，
可知eq \f(b,a)＝tan 60°＝eq \r(3)，∴e＝eq \f(c,a)＝ eq \r(1＋\f(b2,a2))＝2.
法三：如圖，設(shè)∠AOy＝α，則∠BOy＝α，
∵eq \(F1A,\s\up7(―→))＝eq \(AB,\s\up7(―→))，∴A為線段F1B的中點(diǎn)，
又∵O為線段F1F2的中點(diǎn)，
∴OA∥BF2，∴∠OBF2＝2α.
過(guò)B作BH⊥OF2，垂足為H，
則BH∥y軸，則有∠OBH＝α，∴∠HBF2＝α，
易得△OBH≌△F2BH，∴|OB|＝|BF2|，
∵eq \(F2B,\s\up7(―→))·eq \(F1B,\s\up7(―→))＝0，∴BF1⊥BF2，又O為F1F2的中點(diǎn)，
∴|OB|＝|OF2|＝c，∴△OBF2為正三角形．
∴∠BOF2＝60°，則eq \f(b,a)＝tan 60°＝eq \r(3)，
∴e＝eq \f(c,a)＝eq \r(1＋\f(b2,a2))＝2.
【答案】 2
【例3-2】(2019·武漢調(diào)研)已知雙曲線C：eq \f(x2,m2)－eq \f(y2,n2)＝1(m＞0，n＞0)的離心率與橢圓eq \f(x2,25)＋eq \f(y2,16)＝1的離心率互為倒數(shù)，則雙曲線C的漸近線方程為( )
A．4x±3y＝0
B．3x±4y＝0
C．4x±3y＝0或3x±4y＝0
D．4x±5y＝0或5x±4y＝0
【解析】 由題意知，橢圓中a＝5，b＝4，∴橢圓的離心率e＝ eq \r(1－\f(b2,a2))＝eq \f(3,5)，∴雙曲線的離心率為 eq \r(1＋\f(n2,m2))＝eq \f(5,3)，∴eq \f(n,m)＝eq \f(4,3)，∴雙曲線的漸近線方程為y＝±eq \f(n,m)x＝±eq \f(4,3)x，即4x±3y＝0.故選A.
【答案】 A
【例3-3】(2020·廣東湛江一模)設(shè)F為雙曲線E：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的右焦點(diǎn)，過(guò)E的右頂點(diǎn)作x軸的垂線與E的漸近線相交于A，B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，四邊形OAFB為菱形，圓x2＋y2＝c2(c2＝a2＋b2)與E在第一象限的交點(diǎn)是P，且|PF|＝eq \r(7)－1，則雙曲線E的方程是( )
A.eq \f(x2,6)－eq \f(y2,2)＝1 B.eq \f(x2,2)－eq \f(y2,6)＝1
C.eq \f(x2,3)－y2＝1 D．x2－eq \f(y2,3)＝1
【解析】 雙曲線E：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1的漸近線方程為y＝±eq \f(b,a)x，
∵四邊形OAFB為菱形，
∴對(duì)角線互相垂直平分，∴c＝2a，∠AOF＝60°，∴eq \f(b,a)＝eq \r(3).
則有eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(x2,a2)－\f(y2,3a2)＝1，,x2＋y2＝c2＝4a2，))
解得Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(7),2)a，\f(3,2)a)).
∵|PF|＝eq \r(7)－1，
∴eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(7),2)a－2a))2＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)a))2＝(eq \r(7)－1)2，解得a＝1，
則b＝eq \r(3)，
故雙曲線E的方程為x2－eq \f(y2,3)＝1.
故選D.
【答案】 D
【跟蹤訓(xùn)練3-1】(2020·福建廈門一模)已知雙曲線C：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的一個(gè)焦點(diǎn)為F，點(diǎn)A，B是C的一條漸近線上關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的兩點(diǎn)，以AB為直徑的圓過(guò)F且交C的左支于M，N兩點(diǎn)，若|MN|＝2，△ABF的面積為8，則C的漸近線方程為( )
A．y＝±eq \r(3)x B．y＝±eq \f(\r(3),3)x
C．y＝±2x D．y＝±eq \f(1,2)x
【解析】選B 設(shè)雙曲線的另一個(gè)焦點(diǎn)為F′，由雙曲線的對(duì)稱性，可得四邊形AFBF′是矩形，
∴S△ABF＝S△ABF′，即bc＝8，
由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x2＋y2＝c2，,\f(x2,a2)－\f(y2,b2)＝1))可得y＝±eq \f(b2,c)，
則|MN|＝eq \f(2b2,c)＝2，即b2＝c，
∴b＝2，c＝4，
∴a＝eq \r(c2－b2)＝2 eq \r(3)，
∴C的漸近線方程為y＝±eq \f(\r(3),3)x，
故選B.
【跟蹤訓(xùn)練3-2】(2019·天津高考)已知拋物線y2＝4x的焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線為l.若l與雙曲線eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的兩條漸近線分別交于點(diǎn)A和點(diǎn)B，且|AB|＝4|OF|(O為原點(diǎn))，則雙曲線的離心率為( )
A.eq \r(2) B.eq \r(3)
C．2 D.eq \r(5)
【解析】選D 由已知易得，拋物線y2＝4x的焦點(diǎn)為F(1,0)，準(zhǔn)線l：x＝－1，所以|OF|＝1.又雙曲線的兩條漸近線的方程為y＝±eq \f(b,a)x，不妨設(shè)點(diǎn)Aeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－1，\f(b,a)))，Beq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－1，－ \f(b,a)))，所以|AB|＝eq \f(2b,a)＝4|OF|＝4，所以eq \f(b,a)＝2，即b＝2a，所以b2＝4a2.又雙曲線方程中c2＝a2＋b2，所以c2＝5a2，所以e＝eq \f(c,a)＝eq \r(5).故選D.
【跟蹤訓(xùn)練3-3】已知M(x0，y0)是雙曲線C：eq \f(x2,2)－y2＝1上的一點(diǎn)，F(xiàn)1，F(xiàn)2是雙曲線C的兩個(gè)焦點(diǎn)．若eq \(MF1,\s\up7(―→))·eq \(MF2,\s\up7(―→))

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