?《雙曲線》達標檢測

[A組]—應知應會
1．（?紅崗區(qū)校級模擬）雙曲線的漸近線方程是，則雙曲線的焦距為（　　）
A．3 B．6 C． D．
【分析】利用雙曲線的漸近線方程，求出b，然后求解c，即可求解雙曲線的焦距．
【解答】解：雙曲線的漸近線方程是，
可得b＝2，所以c＝＝3，
所以雙曲線的焦距為6．
故選：B．
2．（?安徽模擬）已知雙曲線的離心率為2．則其漸近線的方程為（　?。?br /> A． B． C． D．x±y＝0
【分析】通過雙曲線的離心率求出b與a的關系，然后求解雙曲線的漸近線方程．
【解答】解：雙曲線的離心率為2．
可得：，即1+＝4，
可得＝，
則雙曲線C的漸近線方程為：x±y＝0．
故選：A．
3．（?天津二模）拋物線y2＝4x的焦點到雙曲線的一條漸近線的距離是，則雙曲線的實軸長是（　?。?br /> A． B． C．1 D．2
【分析】求出拋物線的焦點坐標，雙曲線的一條漸近線方程，利用已知條件求解a即可．
【解答】解：拋物線y2＝4x的焦點（1，0），雙曲線的一條漸近線x+ay＝0，
拋物線y2＝4x的焦點到雙曲線的一條漸近線的距離是，
可得，解得a＝1．
所以雙曲線的實軸長為2．
故選：D．
4．（春?成都月考）已知雙曲線的兩條漸近線的方程分別是x+y＝0和x﹣y＝0，則該雙曲線的離心率是（　　）
A． B．或 C．或 D．
【分析】通過雙曲線的焦點坐標的位置，結合雙曲線的漸近線方程可得c與a的比值，求出該雙曲線的離心率．
【解答】解：雙曲線的中心在原點，焦點在x軸上，
∴雙曲線的漸近線方程為y＝±x，結合題意兩條漸近線的方程是x+y＝0和x﹣y＝0，
得＝，設a＝t，b＝t，則c＝t（t＞0），
∴該雙曲線的離心率是e＝，
雙曲線的中心在原點，焦點在y軸上，
雙曲線的漸近線方程為y＝±x，結合題意兩條漸近線的方程是x+y＝0和x﹣y＝0，
得＝，設b＝t，a＝t，則c＝t（t＞0），
∴該雙曲線的離心率是e＝，
故選：B．
5．（?東湖區(qū)校級三模）已知F1、F2為雙曲線的左、右焦點，點M為E右支上一點．若MF1恰好被y軸平分，且∠MF1F2＝30°，則E的漸近線方程為（　?。?br /> A． B． C． D．y＝±2x
【分析】利用已知條件判斷M的位置，然后得到a，b的關系，即可推出雙曲線的漸近線方程．
【解答】解：F1、F2為雙曲線的左、右焦點，點M為E右支上一點，
若MF1恰好被y軸平分，
則MF2垂直x軸，因為∠MF1F2＝30°，
所以＝tan∠MF1F2，可得，2ac＝b2，可得4a4+4a2b2＝3b4，
可得，則＝．
則E的漸近線方程為y＝±x．
故選：B．
6．（?讓胡路區(qū)校級三模）過雙曲線C：（a＞0，b＞0）的右焦點F作C的一條漸近線的垂線，設垂足為A，O為坐標原點．若△ABC的面積為a2，則cos∠OFA＝（　　）
A． B． C． D．
【分析】利用已知條件，通過三角形的面積，得到關系式，然后求解雙曲線的離心率即可．
【解答】解：由題意得|OA|＝a，|FA|＝b，∠OAF＝90°，
所以，得b＝2a，
所以，，
故選：D．
7．（?河南模擬）已知點P（5，0），若雙曲線的右支上存在兩動點M，N，使得，則的最小值為（　?。?br /> A． B．15 C．16 D．
【分析】畫出圖形，利用向量的數量積的幾何意義，轉化為雙曲線上的點到P距離的平方，然后求解最小值即可．
【解答】解：由題意，
則＝||||cos＜，＞＝||2，的最小值，就是雙曲線上的點M到P距離的平方的最小值，
設M（m，n），則：m2﹣＝1，
||2＝（m﹣5）2+n2＝（m﹣5）2+3m2﹣3＝4m2﹣10m+22，當m＝時，表達式取得最小值：．
故選：D．

8．（?南崗區(qū)校級模擬）已知雙曲線E：＝1（a＞0，b＞0）的右焦點為F2，A和B為雙曲線上關于原點對稱的兩點，且A在第一象限．連結AF2并延長交E于P，連結BF2，PB，若△BF2P是以∠BF2P為直角的等腰直角三角形，則雙曲線E的離心率為（　?。?br /> A． B． C． D．
【分析】設雙曲線的半焦距為c，|BF2|＝|PF2|＝t，首先判斷四邊形AF1BF2為平行四邊形，可得∠F1AF2＝90°，連接PF1，運用雙曲線的定義，在直角三角形AF1F2和直角三角形PAF1中，運用勾股定理，化簡可得a，c的關系式，即可得到所求離心率．
【解答】解：設雙曲線的半焦距為c，|BF2|＝|PF2|＝t，
由|OA|＝|OB|，|OF1|＝|OF2|，可得四邊形AF1BF2為平行四邊形，
則|AF1|＝|BF2|＝t，且∠F1AF2＝90°，
連接PF1，由雙曲線的定義可得|PF1|＝|PF2|+2a＝t+2a，
又|AF2|＝|AF1|﹣2a＝t﹣2a，
在直角三角形AF1F2中，可得t2+（t﹣2a）2＝4c2，①
在直角三角形PAF1中，可得t2+（2t﹣2a）2＝（t+2a）2，
化為t＝3a，代入①可得9a2+a2＝4c2，
即有c＝a，即e＝＝．
故選：C．

9．（?吉林模擬）已知是雙曲線的左焦點，P為雙曲線C右支上一點，圓x2+y2＝a2與y軸的正半軸交點為A，|PA|+|PF|的最小值4，則雙曲線C的實軸長為（　?。?br /> A． B．2 C．2 D．
【分析】設F′為雙曲線的右焦點，得到|PF|＝2a+|PF′|，通過|PA|+|PF′|≥|AF′|＝，三點P，A，F(xiàn)′共線時取等號．求出a，即可．
【解答】解：由題意，A（0，a），設F′為雙曲線的右焦點，則|PF|＝2a+|PF′|，F(xiàn)（﹣，0），F(xiàn)′（，0）．
∴|PA|+|PF|＝|PA|+2a+|PF′|＝2a+（|PA|+|PF′|）≥2a+|AF′|＝2a+，
三點P，A，F(xiàn)′共線時取等號．
所以2a+＝4，解得a＝1，故實軸長為2．
故選：B．
10．（?武昌區(qū)校級模擬）雙曲線C的方程為：，過右焦點F作雙曲線一條漸近線的平行線，與另一條漸近線交于點P，與雙曲線右支交于點M，點M恰好為PF的中點，則雙曲線的離心率為（　?。?br /> A． B．2 C． D．3
【分析】由題意畫出圖形，結合已知求出M的坐標，代入雙曲線方程，轉化求解離心率即可．
【解答】解：雙曲線C的方程為：，漸近線方程為：bx±ay＝0，
F（c，0），如圖：FA的方程為：與OP方程的交點P（，），
點M恰好為PF的中點，M（，﹣），代入雙曲線方程可得：，，可得e2＝2，e＞1，
得e＝．
故選：A．

11．（多選）（春?廈門期末）已知F1，F(xiàn)2是雙曲線E：（a＞0，b＞0）的左、右焦點，過F1作傾斜角為的直線分別交y軸與雙曲線右支于點M，P，|PM|＝|MF1|，下列判斷正確的是（　?。?br /> A．∠PF2F1＝ B．|MF2|＝|PF1|
C．E的離心率等于 D．E的漸近線方程為y＝x
【分析】結合三角形的中位線定理和直角三角形的性質，可判斷A，B；由銳角三角函數的定義和雙曲線的定義、離心率公式和漸近線方程，可判斷C，D．
【解答】解：如右圖，由|PM|＝|MF1|，可得M為PF1的中點，又O為F1F2的中點，
可得OM∥PF2，∠PF2F1＝90°，∠PF1F2＝30°，|MF2|＝|PF1|，故A錯誤，B正確；
設|F1F2|＝2c，則|PF1|＝＝c，|PF2|＝2ctan30°＝c，
則2a＝|PF1|﹣|PF2|＝c，可得e＝＝，
＝＝，則雙曲線的漸近線方程為y＝±x即為y＝±x．
故C，D正確．
故選：BCD．

12．（多選）（春?凌源市期末）已知雙曲線E：﹣＝1（a＞0，b＞0）的兩條漸近線分別為直線l1：y＝2x，l2：y＝﹣2x，則下列表述正確的有（　?。?br /> A．a＞b
B．a＝2b
C．雙曲線E的離心率為
D．在平面直角坐標系xOy中，雙曲線E的焦點在x軸上
【分析】利用雙曲線的漸近線方程，推出b與a的關系，求出離心率，然后判斷選項的正誤即可．
【解答】解：雙曲線E：﹣＝1（a＞0，b＞0）的兩條漸近線分別為直線l1：y＝2x，l2：y＝﹣2x，可得，
所以A，B不正確；雙曲線的離心率為：e＝＝＝，
所以C正確；
在平面直角坐標系xOy中，由雙曲線方程可知，雙曲線E的焦點在x軸上，所以D正確．
故選：CD．
13．（?北京）已知雙曲線C：﹣＝1，則C的右焦點的坐標為　 ??；C的焦點到其漸近線的距離是　　 ．
【分析】根據雙曲線的方程可得焦點，再根據點到直線的距離可得．
【解答】解：雙曲線C：﹣＝1，則c2＝a2+b2＝6+3＝9，則c＝3，則C的右焦點的坐標為（3，0），
其漸近線方程為y＝±x，即x±y＝0，
則點（3，0）到漸近線的距離d＝＝，
故答案為：（3，0），．
14．（?新課標Ⅲ）設雙曲線C：﹣＝1（a＞0，b＞0）的一條漸近線為y＝x，則C的離心率為　　 ．
【分析】由雙曲線的方程求出漸近線的方程，再由題意求出a，b的關系，再由離心率的公式及a，b，c之間的關系求出雙曲線的離心率．
【解答】解：由雙曲線的方程可得漸近線的方程為：y＝±x，
由題意可得＝，所以離心率e＝＝＝，
故答案為：．
15．（春?平谷區(qū)期末）已知雙曲線﹣＝1（a＞0，b＞0）的一個焦點為（3，0），一個頂點為（1，0），那么其漸近線方程為　 ?。?br /> 【分析】利用已知條件，求出a，c，求解b，即可求解雙曲線的漸近線方程．
【解答】解：雙曲線﹣＝1（a＞0，b＞0）的一個焦點為（3，0），一個頂點為（1，0），
可得a＝1，c＝3．
則b＝2．
所以雙曲線的漸近線方程為：y＝x．
故答案為：y＝x．
16．（春?平谷區(qū)期末）已知雙曲線﹣＝1（a＞0，b＞0）的一個焦點與拋物線y2＝4x的焦點重合，且焦點到漸近線的距離為，那么雙曲線的離心率為　 ?。?br /> 【分析】由題意畫出圖形，再由拋物線方程求出焦點坐標，得到雙曲線的焦點坐標，由焦點到雙曲線一條漸近線的距離列式，求解離心率即可．
【解答】解：如圖，
由拋物線方程y2＝4x，得拋物線的焦點坐標F（1，0），
即雙曲線﹣＝1（a＞0，b＞0）的右焦點坐標為F（1，0），
雙曲線的漸近線方程為y＝±x．
不妨取y＝，化為一般式：bx﹣ay＝0．
則＝，即4b2＝3a2+3b2，
又a2＝1﹣b2，聯(lián)立解得：a2＝，∴a＝．
則雙曲線的離心率為：e＝＝＝2
故答案為：2．

17．（?新課標Ⅰ）已知F為雙曲線C：﹣＝1（a＞0，b＞0）的右焦點，A為C的右頂點，B為C上的點，且BF垂直于x軸．若AB的斜率為3，則C的離心率為　 ?。?br /> 【分析】利用已知條件求出A，B的坐標，通過AB的斜率為3，轉化求解雙曲線的離心率即可．
【解答】解：F為雙曲線C：﹣＝1（a＞0，b＞0）的右焦點（c，0），A為C的右頂點（a，0），
B為C上的點，且BF垂直于x軸．所以B（c，），
若AB的斜率為3，可得：，
b2＝c2﹣a2，代入上式化簡可得c2＝3ac﹣2a2，e＝，
可得e2﹣3e+2＝0，e＞1，
解得e＝2．
故答案為：2．
18．（春?成都期末）已知雙曲線的左右焦點分別為F1，F(xiàn)2，點P在第一象限的雙曲線C上，且PF2⊥x軸，△PF1F2內一點M滿足+2+3＝，且點M在直線y＝2x上，則雙曲線C的離心率為　　 ．
【分析】由PF1F2內一點M滿足，可得S：S：S＝3：2：1，
即可求得M（，），即可得，?3（c2﹣a2）＝4ac，
從而求得雙曲線C的離心率．
【解答】解：∵點P在第一象限的雙曲線C上，且PF2⊥x軸，
∴P（c，y0），，解得：y0＝．
∵△PF1F2內一點M滿足，
如圖，取，，
則有，故M為△ABF2的重心，
∴S△MAB＝S＝S＝，
又，S＝，S＝，
∴S：S：S＝3：2：1，
∴S＝，即yM＝＝，
S＝，即xM＝，
綜上，M（，），
∵點M在直線y＝2x上，∴，?3（c2﹣a2）＝4ac，
?3e2﹣4e﹣3＝0，e＝，（負值舍去）
則雙曲線C的離心率為，
故答案為：．

19．（2019秋?城關區(qū)校級期末）已知雙曲線的中心在原點，焦點F1，F(xiàn)2在坐標軸上，離心率為，且過點．
（1）求雙曲線的方程；
（2）若點M（3，m）在雙曲線上，試求的值．
【分析】（1）通過離心率設出雙曲線方程，利用雙曲線經過的點，轉化求解雙曲線方程即可．
（2）求出焦點坐標，利用向量的數量積公式，結合已知條件求解即可．
【解答】解：（1）∵e＝，∴可設雙曲線的方程為x2﹣y2＝λ（λ≠0）．
∵雙曲線過點，∴16﹣10＝λ，即λ＝6．∴雙曲線的方程為x2﹣y2＝6．
（2）由（1）可知，a＝b＝，得c＝2，F(xiàn)1（﹣2，0），F(xiàn)2（2，0），，
從而
由于點M（3，m）在雙曲線上，∴9﹣m2＝6，即m2﹣3＝0，故．
20．（2019秋?河西區(qū)期末）已知雙曲線C：﹣＝1（a＞0，b＞0）與雙曲線﹣＝1有相同的漸近線，且經過點M（，﹣）．
（Ⅰ）求雙曲線C的方程；
（Ⅱ）求雙曲線C的實軸長，離心率，焦點到漸近線的距離．
【分析】（Ⅰ）由題意設雙曲線的方程，代入M的坐標，即可求解雙曲線方程．
（Ⅱ）利用雙曲線方程，然后求解雙曲線C的實軸長，離心率，焦點到漸近線的距離．
【解答】解：（Ⅰ）∵雙曲線C與雙曲線﹣＝1有相同的漸近線，
∴設雙曲線的方程為（λ≠0），
代入M（，﹣）．得λ＝，
故雙曲線的方程為：．
（Ⅱ）由方程得a＝1，b＝，c＝，故離心率e＝．
其漸近線方程為y＝±x；實軸長為2，
焦點坐標F（，0），解得到漸近線的距離為：＝．
21．（春?山東月考）已知雙曲線C的離心率為，且過（，0）點，過雙曲線C的右焦點F2，做傾斜角為的直線交雙曲線于A，B兩點，O為坐標原點，F(xiàn)1為左焦點．
（1）求雙曲線的標準方程；
（2）求△AOB的面積．
【分析】（1）有題意離心率和過的點的坐標，可得雙曲線的焦點在x軸上，可得a的值和c的值，再由a，b，c的關系求出a，b的值，進而求出雙曲線的方程；
（2）由（1）可得左右焦點的坐標，有題意可得直線AB的方程，與雙曲線聯(lián)立求出兩根之積，兩根之和進而求出面積．
【解答】解：（1）有題意可得，雙曲線的焦點在x軸上，且a＝，＝，b2＝c2﹣a2，解得：a2＝3，b2＝6，
所以雙曲線的方程：﹣＝1；
（2）由（1）可得F2（3，0），F(xiàn)1（﹣3，0），
由題意設y＝（x﹣3），設交點A（x1，y1），B（x2，y2），
聯(lián)立直線與雙曲線的方程：，整理可得：x2﹣18x+33＝0，x1+x2＝18，x1x2＝33，
可得y1﹣y2＝[（x1﹣﹣3）﹣（x2﹣3）]＝（x1﹣x2），
所以SAOB＝|y1﹣y2|＝＝?＝36，
即△AOB的面積為36．
22．（2019秋?廣陵區(qū)校級月考）雙曲線C：﹣＝1的左右兩個焦點分別為F1、F2，P為雙曲線上一動點，且在第一象限內，已知△PF1F2的重心為G，內心為I．
（1）若∠F1PF2＝60°，求△PF1F2的面積；
（2）若IG∥F1F2，求點P的坐標．
【分析】（1）由曲線方程求得a與c的值，在焦點三角形PF1F2中，由雙曲線定義及余弦定理求得|PF1||PF2|，再由三角形面積公式求解；
（2）P（x0，y0）（x0＞0，y0＞0），則G（），利用三角形面積相等及G與I的縱坐標求得|PF2|，再由兩點間的距離公式及P在雙曲線上列方程組求解．
【解答】解：（1）如圖，由雙曲線方程﹣＝1，得a2＝4，b2＝5，c2＝9，
∴a＝2，c＝3．
設|PF1|＝m，|PF2|＝n，則m﹣n＝4，
在三角形PF1F2中，由余弦定理可得：4c2＝m2+n2﹣2mn?cos60°，
即36＝（m﹣n）2+mn＝16+mn，得mn＝20．
∴△PF1F2的面積S＝；
（2）設P（x0，y0）（x0＞0，y0＞0），則G（），
設△PF1F2的內切圓的半徑為r，則
，
于是，得r＝．
由IG∥F1F2，知，即m+n＝4c＝12．
又m﹣n＝2a＝4，解得n＝4．
因此，，解得．
∴點P的坐標為（4，）．

23．（?大同模擬）已知雙曲線C的右焦點F，半焦距c＝2，點F到直線的距離為，過點F作雙曲線C的兩條互相垂直的弦AB，CD，設AB，CD的中點分別為M，N．
（1）求雙曲線C的標準方程；
（2）證明：直線MN必過定點，并求出此定點的坐標．
【分析】（1）由題意可得c的值，再由點F到直線的距離為，可得a的值，再由a，b，c之間的關系求出雙曲線的方程；
（2）設弦AB所在的直線方程，與雙曲線的方程聯(lián)立可得兩根之和進而可得AB的中點M的坐標，再由橢圓可得弦CD的中點N的坐標，分別討論當MN的斜率存在和不存在兩種情況可得直線MN恒過定點．
【解答】解：（1）由題意可得c＝2，c﹣＝，b2＝c2﹣a2，解得：a2＝3，b2＝1，
所以雙曲線的方程為：﹣y2＝1；
（2）證明：設F（2，0）設過F的弦AB所在的直線方程為：x＝ky+2，A（x1，y1），B（x2，y2），
則有中點M（+2，），
聯(lián)立直線AB與雙曲線的方程：整理可得：（k2﹣3）y2+4ky+1＝0，
因為弦AB與雙曲線有兩個交點，所以k2﹣3≠0，
y1+y2＝，所以x1+x2＝k（y1+y2）+4＝，
所以M（，）；
（i）當k＝0時，M點即是F，此時直線MN為x軸；
（ii）當k≠0時，將M的坐標中的k換成﹣，
同理可得N的坐標（，﹣），
①當直線MN不垂直于x軸時，
直線MN的斜率kMN＝＝，
將M代入方程可得直線MN：y﹣＝（x﹣），
化簡可得y＝（x﹣3），
所以直線MN恒過定點P（3，0）；
②當直線MN垂直于x軸時，＝可得k＝±1，直線也過定點P（3，0）；
綜上所述直線MN恒過定點P（3，0）．

[B組]—強基必備
1．（2019秋?運城期末）已知雙曲線的左、右焦點分別為F1、F2，過F2且與x軸垂直的直線l與雙曲線的兩條漸近線分別交于A、B兩點，，若雙曲線上存在一點P使得|PM|+|PF2|≤t，則t的最小值為（　?。?br /> A． B． C． D．
【分析】設出雙曲線的焦點和漸近線方程，令x＝c，解得y，可得|AB|，由雙曲線的基本量的關系，解得a，b，c，可得雙曲線的方程，討論P在左支和右支上，運用雙曲線的定義，結合三點共線的性質，結合兩點的距離公式，即可得到所求最小值．
【解答】解：雙曲線的左、右焦點分別為F1（﹣c，0），F(xiàn)2（c，0），
漸近線方程為y＝±x，
令x＝c，解得y＝±，
可得|AB|＝，
|AB|＝3，
即有＝3，由a＝2，c2＝a2+b2，
解得b＝，c＝3，
即有雙曲線的方程為，
由題意可知若P在左支上，由雙曲線的定義可得|PF2|＝2a+|PF1|，
|PM|+|PF2|＝|PM|+|PF1|+2a≥|MF1|+4＝+4＝5+4，
當且僅當M，P，F(xiàn)1共線時，取得最小值4+5；
若P在右支上，由雙曲線的定義可得|PF2|＝|PF1|﹣2a，
|PM|+|PF2|＝|PM|+|PF1|﹣2a≥|MF1|﹣4＝5﹣4，
當且僅當M，P，F(xiàn)1共線時，取得最小值5﹣4．
綜上可得，所求最小值為5﹣4．
故選：D．

2．（春?未央區(qū)校級月考）如圖，已知雙曲線的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，過右焦點作平行于一條漸近線的直線交雙曲線于點A，若△AF1F2的內切圓半徑為，則雙曲線的離心率為　　 ．

【分析】雙曲線的左、右焦點分別為F1（﹣c，0），F(xiàn)2（c，0），設雙曲線的一條漸近線方程為y＝x，可得直線AF2的方程為y＝（x﹣c），聯(lián)立雙曲線的方程可得A的坐標，設|AF1|＝m，|AF2|＝n，運用三角形的等積法，以及雙曲線的定義，結合銳角三角函數的定義，化簡變形可得a，c的方程，結合離心率公式可得所求值．
【解答】解：設雙曲線的左、右焦點分別為F1（﹣c，0），F(xiàn)2（c，0），
設雙曲線的一條漸近線方程為y＝x，
可得直線AF2的方程為y＝（x﹣c），
聯(lián)立雙曲線（b＞a＞0），可得A（，），
設|AF1|＝m，|AF2|＝n，
由三角形的面積的等積法可得（m+n+2c）＝?2c?，
化簡可得m+n＝﹣4a﹣2c①
由雙曲線的定義可得m﹣n＝2a②
在三角形AF1F2中nsinθ＝，（θ為直線AF2的傾斜角），
由tanθ＝，sin2θ+cos2θ＝1，可得sinθ＝，
可得n＝，③
由①②③化簡可得3c2﹣2ac﹣5a2＝0，
即為（3c﹣5a）（c+a）＝0，
可得3c＝5a，則e＝＝．
故答案為：．
3．（2019秋?雁峰區(qū)校級月考）已知P為雙曲線C：﹣＝1（a＞0，b＞0）右支上的任意一點，經過點P的直線與雙曲線C的兩條漸近線分別相交于A，B兩點．若點A，B分別位于第一、四象限，O為坐標原點，當＝時，△AOB的面積為2b，則雙曲線C的實軸長為　　 ．
【分析】設A（x1，y1），B（x2，y2），P（x，y），由已知向量等式把P的坐標用A，B的坐標表示，代入雙曲線方程，結合A，B分別在雙曲線的漸近線上可得，由雙曲線的對稱性結合角的關系求得sin∠AOB，再由三角形面積公式列式求解a，則答案可求．
【解答】解：設A（x1，y1），B（x2，y2），P（x，y），
由，得，
則，
∴．
由題意知A在直線y＝上，B在y＝﹣上，則，．
∴，即，
化簡得：，
由漸近線的對稱性可得sin∠AOB＝sin2∠AOx
＝＝＝．
∴△AOB的面積為
＝＝
＝＝，解得a＝．
∴雙曲線C的實軸長為．
故答案為：．





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