思維導(dǎo)圖
知識(shí)梳理
1．拋物線的定義
平面內(nèi)與一個(gè)定點(diǎn)F和一條定直線l(點(diǎn)F不在直線l上)的距離相等的點(diǎn)的軌跡叫做拋物線，定點(diǎn)F叫做拋物線的焦點(diǎn)，定直線l叫做拋物線的準(zhǔn)線.
2．拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì)
題型歸納
題型1 拋物線的定義及應(yīng)用
【例1-1】(1)若拋物線y2＝4x上一點(diǎn)P到其焦點(diǎn)F的距離為2，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則△OFP的面積為( )
A.eq \f(1,2) B．1 C.eq \f(3,2) D．2
(2)設(shè)P是拋物線y2＝4x上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，若B(3,2)，則|PB|＋|PF|的最小值為________．
【解析】 (1)設(shè)P(xP，yP)，由題可得拋物線焦點(diǎn)為F(1,0)，準(zhǔn)線方程為x＝－1.
又點(diǎn)P到焦點(diǎn)F的距離為2，
∴由定義知點(diǎn)P到準(zhǔn)線的距離為2.
∴xP＋1＝2，∴xP＝1.
代入拋物線方程得|yP|＝2，
∴△OFP的面積為S＝eq \f(1,2)·|OF|·|yP|＝eq \f(1,2)×1×2＝1.
(2)如圖，過點(diǎn)B作BQ垂直準(zhǔn)線于點(diǎn)Q，交拋物線于點(diǎn)P1，則|P1Q|＝|P1F|.則有|PB|＋|PF|≥|P1B|＋|P1Q|＝|BQ|＝4，即|PB|＋|PF|的最小值為4.
【答案】 (1)B (2)4
【跟蹤訓(xùn)練1-1】若點(diǎn)A的坐標(biāo)為(3,2)，F(xiàn)是拋物線y2＝2x的焦點(diǎn)，點(diǎn)M在拋物線上移動(dòng)時(shí)，使|MF|＋|MA|取得最小值的M的坐標(biāo)為________．
【解析】過點(diǎn)M作準(zhǔn)線的垂線，垂足是N，則|MF|＋|MA|＝|MN|＋|MA|，當(dāng)A，M，N三點(diǎn)共線時(shí)，|MF|＋|MA|取得最小值，此時(shí)M(2,2)．
【答案】(2,2)
【跟蹤訓(xùn)練1-2】(2019·襄陽測(cè)試)已知拋物線y＝eq \f(1,2)x2的焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線為l，M在l上，線段MF與拋物線交于N點(diǎn)，若|MN|＝eq \r(2)|NF|，則|MF|＝________.
【解析】如圖，過N作準(zhǔn)線的垂線NH，垂足為H.根據(jù)拋物線的定義可知|NH|＝|NF|，在Rt△NHM中，|NM|＝eq \r(2)|NH|，則∠NMH＝45°.在△MFK中，∠FMK＝45°，所以|MF|＝eq \r(2)|FK|.而|FK|＝1.所以|MF|＝eq \r(2).
【答案】eq \r(2)
【名師指導(dǎo)】
與拋物線有關(guān)的最值問題，一般情況下都與拋物線的定義有關(guān)．“看到準(zhǔn)線想焦點(diǎn)，看到焦點(diǎn)想準(zhǔn)線”，這是解決與過拋物線焦點(diǎn)的弦有關(guān)問題的重要途徑．
題型2 拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程與幾何性質(zhì)
【例2-1】(1)(2019·全國(guó)卷Ⅱ)若拋物線y2＝2px(p>0)的焦點(diǎn)是橢圓eq \f(x2,3p)＋eq \f(y2,p)＝1的一個(gè)焦點(diǎn)，則p＝( )
A．2 B．3
C．4 D．8
(2)(2019·武漢調(diào)研)如圖，過拋物線y2＝2px(p>0)的焦點(diǎn)F的直線l交拋物線于點(diǎn)A，B，交其準(zhǔn)線于點(diǎn)C，若|BC|＝2|BF|，且|AF|＝6，則此拋物線方程為( )
A．y2＝9xB．y2＝6x
C．y2＝3xD．y2＝eq \r(3)x
【解析】 (1)∵拋物線y2＝2px(p>0)的焦點(diǎn)坐標(biāo)為eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(p,2)，0))，∴由已知得橢圓eq \f(x2,3p)＋eq \f(y2,p)＝1的一個(gè)焦點(diǎn)為eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(p,2)，0))，
∴3p－p＝eq \f(p2,4)，又p>0，∴p＝8.
(2)如圖，分別過點(diǎn)A，B作準(zhǔn)線的垂線，分別交準(zhǔn)線于點(diǎn)E，D，設(shè)|BF|＝a，則由已知得：|BC|＝2a，由拋物線定義得：|BD|＝a，故∠BCD＝30°，在直角三角形ACE中，因?yàn)閨AE|＝|AF|＝6，|AC|＝6＋3a，2|AE|＝|AC|，所以6＋3a＝12，從而得a＝2，|FC|＝3a＝6，所以p＝|FG|＝eq \f(1,2)|FC|＝3，因此拋物線方程為y2＝6x.
【答案】 (1)D (2)B
【跟蹤訓(xùn)練2-1】(2020·福建廈門一模)若拋物線x2＝ay的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為1，則a＝( )
A．2 B．4
C．±2 D．±4
【解析】選C ∵x2＝ay＝2·eq \f(a,2)·y，p＝eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\f(a,2)))＝1，∴a＝±2，故選C.
【跟蹤訓(xùn)練2-2】已知拋物線x2＝2py(p>0)的焦點(diǎn)為F，點(diǎn)P為拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)M為其準(zhǔn)線上的動(dòng)點(diǎn)，若△FPM為邊長(zhǎng)是4的等邊三角形，則此拋物線的方程為________．
【解析】△FPM為等邊三角形，則|PM|＝|PF|，由拋物線的定義得PM垂直于拋物線的準(zhǔn)線，設(shè)Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(m，\f(m2,2p)))，則點(diǎn)Meq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(m，－\f(p,2))).因?yàn)榻裹c(diǎn)Feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(p,2)))，△FPM是等邊三角形，所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(m2,2p)＋\f(p,2)＝4，,\a\vs4\al( \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(p,2)＋\f(p,2)))2＋m2))＝4，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(m2＝12，,p＝2，))因此拋物線方程為x2＝4y.
【答案】x2＝4y
【名師指導(dǎo)】
1．求拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程的方法
(1)定義法：若題目已給出拋物線的方程(含有未知數(shù)p)，那么只需求出p即可．
(2)待定系數(shù)法：若題目未給出拋物線的方程，對(duì)于焦點(diǎn)在x軸上的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程可統(tǒng)一設(shè)為y2＝ax(a≠0)，a的正負(fù)由題設(shè)來定；焦點(diǎn)在y軸上的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程可設(shè)為x2＝ay(a≠0)，這樣就減少了不必要的討論．
2．拋物線性質(zhì)的應(yīng)用技巧
(1)利用拋物線方程確定及應(yīng)用其焦點(diǎn)、準(zhǔn)線時(shí)，關(guān)鍵是將拋物線方程化成標(biāo)準(zhǔn)方程．
(2)要結(jié)合圖形分析，靈活運(yùn)用平面圖形的性質(zhì)簡(jiǎn)化運(yùn)算．
題型3 直線與拋物線的位置關(guān)系
【例3-1】(2019·全國(guó)卷Ⅰ)已知拋物線C：y2＝3x的焦點(diǎn)為F，斜率為eq \f(3,2)的直線l與C的交點(diǎn)為A，B，與x軸的交點(diǎn)為P.
(1)若|AF|＋|BF|＝4，求l的方程；
(2)若eq \(AP,\s\up7(―→))＝3eq \(PB,\s\up7(―→))，求|AB|.
[解] 設(shè)直線l：y＝eq \f(3,2)x＋t，A(x1，y1)，B(x2，y2)．
(1)由題設(shè)得Feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,4)，0))，故|AF|＋|BF|＝x1＋x2＋eq \f(3,2)，又|AF|＋|BF|＝4，所以x1＋x2＝eq \f(5,2).
由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y＝\f(3,2)x＋t，,y2＝3x))可得9x2＋12(t－1)x＋4t2＝0，
則x1＋x2＝－eq \f(12?t－1?,9).
從而－eq \f(12?t－1?,9)＝eq \f(5,2)，得t＝－eq \f(7,8).
所以l的方程為y＝eq \f(3,2)x－eq \f(7,8).
(2)由eq \(AP,\s\up7(―→))＝3eq \(PB,\s\up7(―→))可得y1＝－3y2.
由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y＝\f(3,2)x＋t，,y2＝3x))可得y2－2y＋2t＝0.
所以y1＋y2＝2.從而－3y2＋y2＝2，故y2＝－1，y1＝3.
代入C的方程得x1＝3，x2＝eq \f(1,3).故|AB|＝eq \f(4\r(13),3).
【跟蹤訓(xùn)練3-1】已知點(diǎn)M(－1,1)和拋物線C：y2＝4x，過C的焦點(diǎn)且斜率為k的直線與C交于A，B兩點(diǎn)．若∠AMB＝90°，則k＝________.
【解析】設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，
則eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y\\al(2,1)＝4x1，,y\\al(2,2)＝4x2，))∴yeq \\al(2,1)－yeq \\al(2,2)＝4(x1－x2)，
∴k＝eq \f(y1－y2,x1－x2)＝eq \f(4,y1＋y2).
設(shè)AB中點(diǎn)為M′(x0，y0)，拋物線的焦點(diǎn)為F，分別過點(diǎn)A，B作準(zhǔn)線x＝－1的垂線，垂足為A′，B′，
則|MM′|＝eq \f(1,2)|AB|＝eq \f(1,2)(|AF|＋|BF|)＝eq \f(1,2)(|AA′|＋|BB′|)．
∵M(jìn)′(x0，y0)為AB中點(diǎn)，
∴M為A′B′的中點(diǎn)，∴MM′平行于x軸，
∴y1＋y2＝2，∴k＝2.
【答案】2
【跟蹤訓(xùn)練3-2】設(shè)A，B為曲線C：y＝eq \f(x2,2)上兩點(diǎn)，A與B的橫坐標(biāo)之和為2.
(1)求直線AB的斜率；
(2)設(shè)M為曲線C上一點(diǎn)，曲線C在點(diǎn)M處的切線與直線AB平行，且AM⊥BM，求直線AB的方程．
【解】(1)設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，
則x1≠x2，y1＝eq \f(x\\al(2,1),2)，y2＝eq \f(x\\al(2,2),2)，x1＋x2＝2，
故直線AB的斜率k＝eq \f(y1－y2,x1－x2)＝eq \f(x1＋x2,2)＝1.
(2)由y＝eq \f(x2,2)，得y′＝x.
設(shè)M(x3，y3)，由題設(shè)知x3＝1，于是Meq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，\f(1,2))).
設(shè)直線AB的方程為y＝x＋m，
故線段AB的中點(diǎn)為N(1,1＋m)，|MN|＝eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(m＋\f(1,2))).
將y＝x＋m代入y＝eq \f(x2,2)，
得x2－2x－2m＝0.
由Δ＝4＋8m>0，得m>－eq \f(1,2)，x1,2＝1±eq \r(1＋2m).
從而|AB|＝eq \r(2)|x1－x2|＝2eq \r(2?1＋2m?).
由題設(shè)知|AB|＝2|MN|，
即eq \r(2?1＋2m?)＝eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(m＋\f(1,2)))，
解得m＝eq \f(7,2).
所以直線AB的方程為y＝x＋eq \f(7,2).
【名師指導(dǎo)】
1．直線與拋物線交點(diǎn)問題的解題思路
(1)求交點(diǎn)問題，通常解直線方程與拋物線方程組成的方程組．
(2)與交點(diǎn)相關(guān)的問題通常借助根與系數(shù)的關(guān)系或用向量法解決．
2．解決拋物線的弦及弦中點(diǎn)問題的常用方法
(1)有關(guān)直線與拋物線的弦長(zhǎng)問題，要注意直線是否過拋物線的焦點(diǎn)，若過拋物線的焦點(diǎn)，可直接使用焦點(diǎn)弦公式，若不過焦點(diǎn)，則必須用一般弦長(zhǎng)公式．
(2)涉及拋物線的弦長(zhǎng)、中點(diǎn)、距離等相關(guān)問題時(shí)，一般利用根與系數(shù)的關(guān)系采用“設(shè)而不求”“整體代入”等解法．標(biāo)準(zhǔn)
y2＝2px(p＞0)
y2＝－2px(p＞0)
x2＝2py(p>0)
x2＝－2py(p>0)
方程
p的幾何意義：焦點(diǎn)F到準(zhǔn)線l的距離
焦點(diǎn)到頂點(diǎn)以及頂點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離均為eq \a\vs4\al(\f(p,2).)
圖形
頂點(diǎn)
O(0,0)
對(duì)稱軸
x軸
y軸
焦點(diǎn)
Feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(p,2)，0))
Feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(p,2)，0))
Feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(p,2)))
Feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，－\f(p,2)))
離心率
e＝1
準(zhǔn)線方程
x＝－eq \f(p,2)
x＝eq \f(p,2)
y＝－eq \f(p,2)
y＝eq \f(p,2)
范圍
x≥0，y∈R
x≤0，y∈R
y≥0，x∈R
y≤0，x∈R
開口方向
向右
向左
向上
向下
焦半徑(其中P(x0，y0))
|PF|＝x0＋eq \f(p,2)
|PF|＝－x0＋eq \f(p,2)
|PF|＝y(tǒng)0＋eq \f(p,2)
|PF|＝－y0＋eq \f(p,2)

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