A．B．C．D．
【分析】設(shè)點P的坐標為（m2，m），圓（x﹣6）2+y2＝1的圓心坐標A（6，0），求出|PA|的最小值，即可得到|PQ|的最小值．
【解答】解：設(shè)點P的坐標為（m2，m），圓（x﹣6）2+y2＝1的圓心坐標A（6，0），
∴|PA|2＝（m2﹣6）2+m2＝（m2﹣16）2+20≥20，
∴|PA|≥2，
∵Q是圓（x﹣6）2+y2＝1上任意一點，
∴|PQ|的最小值為2﹣1，
故選：C．
2已知雙曲線C：﹣y2＝1的離心率為，過點P（2，0）的直線l與雙曲線C交于不同的兩點A、B，且∠AOB為鈍角（其中O為坐標原點），則直線l斜率的取值范圍是（ ）
A．B．（﹣，0）∪（0，）
C．D．
【分析】利用雙曲線的離心率求出m，得到雙曲線方程，設(shè)出直線方程，設(shè)出AB坐標，利用韋達定理結(jié)合向量的數(shù)量積轉(zhuǎn)化求解k的范圍即可．
【解答】解：由題意雙曲線C：﹣y2＝1的離心率為，得，解得m＝2，
雙曲線C：﹣y2＝1，
設(shè)直線l：x＝ty+2，與雙曲線C聯(lián)立得：（t2﹣2）y2+4ty+2＝0，設(shè)點A（x1，y1），B（x2，y2），則
y1y2＝，x1x2＝t2y1y2+2t（y1+y2）+4＝，又因為∠AOB為鈍角，所以y1y2+x1x2＜0，
即＜0得出t2﹣2＞0，所以直線l的斜率k2＝，
即直線l斜率的取值范圍是，
故選：A．
3．已知拋物線y2＝4x的焦點為F，過F的直線與拋物線交于A，B兩點，A位于第一象限，則|AF|+3|BF|的最小值是（ ）
A．2B．2+1C．2+2D．2+4
【分析】設(shè)直線AB的方程為x＝my+1，A（，y1），B（，y2），聯(lián)立直線與拋物線的方程消元，然后利用韋達定理可得，然后根據(jù)拋物線的定義可得|AF|+3|BF|＝，再利用基本不等式即可求出結(jié)果．
【解答】解：拋物線的焦點F（1，0），設(shè)直線AB的方程為：x＝my+1，
聯(lián)立方程組，消去x得：x2﹣（4m2+2）x+1＝0，
設(shè)A（，y1），B（，y2），
則有，即，
由拋物線的定義可得|AF|＝，|BF|＝+1＝，
所以|AF|+3|BF|＝，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，
所以|AF|+3|BF|的最小值是2+4，
故選：D．
4．已知雙曲線的左、右焦點分別為F1、F2，過點F1且垂直于x軸的直線與該雙曲線的左支交于A、B兩點，若△ABF2的周長為24，則當(dāng)ab2取得最大值時，該雙曲線的焦點到漸近線的距離為（ ）
A．1B．C．2D．
【分析】可設(shè)F1（﹣c，0），求得|AB|，運用勾股定理，可得△ABF2的周長，結(jié)合a，b，c的關(guān)系，可得b2＝a（6﹣a），則ab2＝a2（6﹣a），設(shè)f（x）＝x2（6﹣x），x＞0，求得導(dǎo)數(shù)和單調(diào)性，可得最大值，即可得到所求距離．
【解答】解：可設(shè)F1（﹣c，0），由x＝﹣c代入雙曲線的方程可得y＝±＝±，
則|AB|＝，|AF2|＝|BF2|＝＝，
由題意可得+2＝24，
結(jié)合c2＝a2+b2，上式化簡可得a3+ab2＝36a﹣6b2，可得b2＝a（6﹣a），
則ab2＝a2（6﹣a），
設(shè)f（x）＝x2（6﹣x），x＞0，導(dǎo)數(shù)為f′（x）＝12x﹣3x2，
當(dāng)x＞4時，f′（x）＜0，f（x）遞減；當(dāng)0＜x＜4時，f′（x）＞0，f（x）遞增．
可得f（x）在x＝4處取得最大值．
即有a＝4，b2＝4×（6﹣4）＝8，即b＝2，
而焦點到漸近線的距離為d＝＝b＝2，
故選：D．
5．已知拋物線C：y2＝4x與圓E：（x﹣1）2+y2＝9相交于A，B兩點，點M為劣弧上不同A，B的一個動點，平行于x軸的直線MN交拋物線于點N，則△MNE的周長的取值范圍為（ ）
A．（3，5）B．（5，7）C．（6，8）D．（6，8]
【分析】過M作準線的垂線，垂足為H，根據(jù)拋物線的定義，可得EN＝NH故△MNE的周長l＝NH+NM+ME＝MH+3，只需求得MH的取值范圍即可．
【解答】解：如圖，可得圓心E（1，0）也是拋物線的焦點，
過M作準線的垂線，垂足為H，根據(jù)拋物線的定義，可得EN＝NH
故△MNE的周長l＝NH+NM+ME＝MH+3，
由可得A（2，2），
∴點A到準線的距離為2+1＝3，
MH的取值范圍為（3，5）
∴△MNE的周長MH+3的取值范圍為（6，8）
故選：C．
6．已知雙曲線的右焦點到其中一條新近線的距離等于，拋物線E：y2＝2px（p＞0）的焦點與雙曲線C的右焦點重合，則拋物線E上的動點M到直線l1：4x﹣3y+6＝0和l2：x＝﹣1的距離之和的最小值為（ ）
A．1B．2C．3D．4
【分析】求出雙曲線的漸近線方程，運用點到直線的距離公式計算可得b，進而得到c，由拋物線的焦點坐標，可得p＝2，進而得到拋物線的方程．連接MF，過點M作MA⊥l1于點A，作MB⊥準線x＝﹣1于點C．由拋物線的定義，得到d1+d2＝MA+MF，再由平面幾何知識可得當(dāng)M、A、F三點共線時，MA+MF有最小值，因此算出F到直線l1的距離，即可得到所求距離的最小值．
【解答】解：雙曲線C：（b＞0）的漸近線方程為y＝±，
右焦點（，0）到其一條漸近線的距離等于，
可得，
解得b＝2，
即有c＝，
由題意可得＝1，解得p＝2，
即有拋物線的方程為y2＝4x，
如圖，過點M作MA⊥l1于點A，
作MB⊥準線l2：x＝﹣1于點C，
連接MF，根據(jù)拋物線的定義得MA+MC＝MA+MF，
設(shè)M到l1的距離為d1，M到直線l2的距離為d2，
∴d1+d2＝MA+MC＝MA+MF，
根據(jù)平面幾何知識，可得當(dāng)M、A、F三點共線時，MA+MF有最小值．
∵F（1，0）到直線l1：4x﹣3y+6＝0的距離為．
∴MA+MF的最小值是2，
由此可得所求距離和的最小值為2．
故選：B．
7．已知點P是橢圓上一點，M，N分別是圓（x﹣6）2+y2＝1和圓（x+6）2+y2＝4上的點，那么|PM|+|PN|的最小值為（ ）
A．15B．16C．17D．18
【分析】由題意畫出圖形，數(shù)形結(jié)合以及橢圓的定義轉(zhuǎn)化求解即可．
【解答】解：如圖，橢圓的a＝10，b＝8，所以c＝6，
圓（x﹣6）2+y2＝1和圓（x+6）2+y2＝4的圓心為橢圓的兩個焦點，
則當(dāng)M，N為如圖所示位置時，|PM|+|PN|的最小值為2a﹣（2+1）＝17．
故選：C．
8．已知橢圓T：的焦點F（﹣2，0），過點M（0，1）引兩條互相垂直的兩直線l1、l2，若P為橢圓上任一點，記點P到l1、l2的距離分別為d1、d2，則d12+d22的最大值為（ ）
A．2B．C．D．
【分析】由已知求解a2，可得橢圓方程，設(shè)P（x0，y0），由l1⊥l2，得，再由P在橢圓上，轉(zhuǎn)化為關(guān)于y0的二次函數(shù)求解．
【解答】解：由題意知：a2＝1+4＝5，
∴橢圓T：．
設(shè)P（x0，y0），∵l1⊥l2，且M（0，1），
∴，
又，∴＝．
﹣1≤y0≤1，∴當(dāng)時，d12+d22的最大值為，
故選：D．
9．已知平面內(nèi)與兩定點距離的比為常數(shù)k（k＞0，且k≠1）的點的軌跡是圓，這個圓稱為阿波羅尼斯圓．現(xiàn)有橢圓，A，B為長軸端點，C，D為短軸端點，動點M滿足，△MAB面積的最大值為8，△MCD面積的最小值為1，則橢圓的離心率為（ ）
A．B．C．D．
【分析】由題意可得點M的軌跡方程，由△MAB面積的最大值為8，△MCD面積的最小值為1可得a，b的值，進而求出橢圓的離心率．
【解答】解：由橢圓的方程可得A（﹣a，0），B（a，0），C（0，b），D（0，﹣b），設(shè)M（x，y），
則點M滿足，所以可得＝2，整理可得x2+y2﹣ax+a2＝0，
圓心坐標為（a，0），半徑r＝a，
因為△MAB面積的最大值為8，△MCD面積的最小值為1，所以解得：a2＝6，b2＝，
所以橢圓的離心率e＝＝＝，
故選：D．
10．已知F1、F2分別是橢圓的左、右焦點，P是橢圓上一點（異于左、右頂點），若存在以為半徑的圓內(nèi)切于△PF1F2，則橢圓的離心率的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
【分析】利用已知條件列出三角形的面積，推出不等式，然后推出橢圓的離心率的范圍．
【解答】解：F1、F2分別是橢圓的左、右焦點，P是橢圓上一點（異于左、右頂點），
若存在以為半徑的圓內(nèi)切于△PF1F2，可得：，
∴，∴，∴（a+c）2≤2b2，則0≤a2﹣2ac﹣3c2，
∵（a+c）（a﹣3c）≥0，∴a≥3c，∴．
故選：D．
11．如圖，已知F1、F2分別是橢圓C：的左、右焦點，過F1的直線l1與過F2的直線l2交于點N，線段F1N的中點為M，線段F1N的垂直平分線MP與l2的交點P（第一象限）在橢圓上，若O為坐標原點，則的取值范圍為（ ）
A．B．C．D．（0，1）
【分析】結(jié)合圖形說明|F1M|＝|MN|．設(shè)點P（x0，y0）（x0＞0，y0＞0）．由兩點間的距離公式，以及焦半徑公式轉(zhuǎn)化求解的表達式，然后求解取值范圍．
【解答】解：如圖所示，點P在y軸右邊，
因為PM為F1N的垂直平分線，所以|F1M|＝|MN|．
由中位線定理可得．
設(shè)點P（x0，y0）（x0＞0，y0＞0）．由兩點間的距離公式，
得
＝，同理可得|PF2|＝a﹣ex0，
所以|F2N|＝|PF1|﹣|PF2|＝2ex0，故|OM|＝ex0，
因為a＝8，，所以，故，
所以．
因為x0∈（0，8），所以．
故的取值范圍為（0，1）．
故選：D．
12．已知A，B是圓C：x2+y2﹣8x﹣2y+16＝0上兩點，點P在拋物線x2＝2y上，當(dāng)∠APB取得最大值時，則：
（1）點P的坐標為 ；
（2）|AB|＝ ．
【分析】（1）根據(jù)圓的方程及兩點之間的距離公式，表示出|PC|，求導(dǎo)，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性即可求得|PC|的最小值，即可求得當(dāng)∠APB取得最大值時，P點坐標；
（2）根據(jù)圓的性質(zhì)，即可求得|AB|．
【解答】解：（1）圓C：x2+y2﹣8x﹣2y+16＝0的圓心（4，1），半徑為1，
要使∠APB最大，只需要∠APC最大，由，|AC|＝1，只需要|PC|最小，
設(shè)拋物線上的點P（m，n），則m2＝2n，
|PC|＝＝＝，
令g（m）＝，
可得g′（m）＝m3﹣8，令g′（m）＝m3﹣8＝0，解得m＝2，
當(dāng)m＜2，g′（m）＜0，g（x）單調(diào)遞減，當(dāng)m＞2，g′（m）＞0，g（m）單調(diào)遞增，
所以g（m）的最小值為：g（2）＝4﹣16+17＝5．由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性可知，
|PC|＝≥，當(dāng)且僅當(dāng)m＝2，n＝2時取等號，
所以P（2，2）；
（2）由（1）可知，P（2，2），所以切線長為：|PA|＝2，如圖：
|PC|?|AB|＝|PA|?|AC|，|AB|＝2×1
|AB|＝．
故答案為：（1）（2，2）；（2）．
13．已知雙曲線C：﹣＝1與雙曲線D：x2﹣＝1的離心率分別為e1，e2，則e1+e2的最大值為 ．
【分析】求出雙曲線的離心率然后求解和，轉(zhuǎn)化求解最大值即可．
【解答】解：雙曲線C：﹣＝1的離心率分別為e1＝＝，
雙曲線D：x2﹣＝1的離心率分e2＝，0＜m＜4，
所以e1+e2＝＝＝，
所以當(dāng)m＝2時，e1+e2取得最大值：＝2．
故答案為：2．
14已知點P（5，0），若雙曲線的右支上存在兩動點M，N，使得，則的最小值為 ．
【分析】畫出圖形，利用向量的數(shù)量積的幾何意義，轉(zhuǎn)化為雙曲線上的點到P距離的平方，然后求解最小值即可．
【解答】解：由題意，
則＝＝，的最小值，就是雙曲線上的點M到P距離的平方的最小值，
設(shè)M（m，n），則：，
＝（m﹣5）2+n2＝（m﹣5）2+3m2﹣3＝4m2﹣10m+22，當(dāng)m＝時，表達式取得最小值：．
故答案為：．
15．已知點A（4，4）和拋物線y2＝4x上兩點B、C，使得AB⊥BC，則點C的縱坐標的取值范圍為 ．
【分析】設(shè)，，由kAB?kBC＝﹣1得（y1+4）（y1+y2）＝﹣16，化簡為關(guān)于y1的一元二次方程，該方程有解，進而可得△≥0，解不等式即得解．
【解答】解：設(shè)，，則，同理
由kAB?kBC＝﹣1得（y1+4）（y1+y2）＝﹣16，
整理得：且y1≠4，
∴，解得y2≤﹣4或y2≥12，
檢驗，當(dāng)y2＝﹣4時，y1＝0，；當(dāng)y2＝12時，y1＝﹣8；均滿足條件．
故點C縱坐標的取值范圍為（﹣∞，﹣4]∪[12，+∞）．
故答案為：（﹣∞，﹣4]∪[12，+∞）．
16．過雙曲線C：﹣＝1（0＜b＜2）的一個焦點和C兩支都相交的直線l與橢圓+＝1相交于點A，B．若C的離心率為，則|AB|的取值范圍是 ．
【分析】由雙曲線的離心率求得b，得到橢圓方程，畫出圖形，即可求得|AB|的最大值；設(shè)出直線l的方程，與橢圓方程聯(lián)立，由判別式大于0求得k的范圍，可知直線與雙曲線兩支相交時k的范圍，求出斜率與雙曲線漸近線斜率相等時的|AB|，則答案可求．
【解答】解：雙曲線C：﹣＝1的實半軸長為2，虛半軸長為b（0＜b＜2），
由C的離心率為，得，即b＝1．
∴．
橢圓方程為，如圖：
不妨取雙曲線的左焦點F1 （，0），由圖可知，直線l截橢圓所得弦長的最大值為4；
設(shè)過F1 的直線方程為y＝k（x+），
聯(lián)立，可得．①
由△＝＝16﹣4k2≥0，解得﹣2≤k≤2．
可知當(dāng)k＝±2時，直線與橢圓相切．
要使直線與雙曲線C兩支都相交，則k∈（﹣，）．
而當(dāng)k＝時，①化為．
設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），則，．
∴|AB|＝＝．
∴|AB|的取值范圍是[2，4]．
故答案為：[2，4]．
17．已知點F為拋物線C：y2＝2px（p＞0）的焦點，定點A（1，2）和動點P都在拋物線C上，點B（2，0），則的最大值為 ．
【分析】根據(jù)拋物線的定義先求出p的值，再根據(jù)拋物線的性質(zhì)，結(jié)合基本不等式即可求出．
【解答】解：定點A（1，2）和動點P都在拋物線C上，
∴p＝2，
∴拋物線C：y2＝4x，
設(shè)P（x，y），
∴＝＝，當(dāng)x＝0時，＝0，
當(dāng)x≠0時，＝≤＝，當(dāng)且僅當(dāng)x＝2時取等號，
故答案為：．
18．已知拋物線x2＝4y的焦點為F，雙曲線C：＝1（a＞0，b＞0）的右焦點為F1，過點F和F1的直線l與拋物線在第一象限的交點為M，且拋物線在點M處的切線與直線y＝﹣x垂直，當(dāng)a+b取最大值時，雙曲線C的方程為 ．
【分析】先求出過點F，F(xiàn)1的直線方程，再根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義和拋物線在點M處的切線與直線y＝﹣x垂直，求出c的值，再根據(jù)三角代換求解最大值，然后求出雙曲線方程．
【解答】解：拋物線x2＝4y的焦點為F為（0，1），雙曲線C：＝1的右焦點為F1（c，0），
∴過點F，F(xiàn)1的直線為y＝﹣x+1，即y＝﹣x+1，
∵拋物線在點M處的切線與直線y＝﹣x垂直，
∴拋物線在點M處的切線的斜率為，
∵y＝x2，
∴y′＝x，
設(shè)點M的坐標為（x0，y0），
∴x0＝，
解得x0＝，
∴y0＝x02＝，
∴M（，），
∴＝﹣×+1，
解得c＝，
∴a2+b2＝c2＝3，令a＝csθ，b＝sinθ，
a+b＝csθ+3sinθ＝2sin（θ+）≤2．
當(dāng)且僅當(dāng)a＝，b＝時取等號，
此時雙曲線方程為：．
故答案為：．
19．已知橢圓的短軸長為2，上頂點為A，左頂點為B，左右焦點分別是F1，F(xiàn)2，且△F1AB的面積為，則橢圓的方程為 ；若點P為橢圓上的任意一點，則的取值范圍是 ．
【分析】根據(jù)已知條件短軸長為2，△F1AB的面積為，可以求出a，b，c的值，則橢圓方程可求；再利用橢圓的性質(zhì)化簡并代入，即可求解的取值范圍．
【解答】解：由已知可得2b＝2，即b＝1，
∵△F1AB的面積為，
∴（a﹣c）b＝，得a﹣c＝；
∵a2﹣c2＝b2＝1；
∴a＝2，c＝．
可得橢圓方程為；
∴＝＝．
令|PF1|＝m，則．
∴＝，
∵≤m≤，
∴1≤﹣m2+4m≤4；
∴1≤≤4．
故答案為：；[1，4]．
20．設(shè)雙曲線的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，|F1F2|＝2c，過F2作x軸的垂線，與雙曲線在第一象限的交點為A，點Q坐標為且滿足|F2Q|＞|F2A|，若在雙曲線C的右支上存在點P使得|PF1|+|PQ|＜|F1F2|成立，則雙曲線的離心率的取值范圍是 ．
【分析】設(shè)F1（﹣c，0），F(xiàn)2（c，0），由x＝c，解得A的坐標，再由|F2Q|＞|F2A|，結(jié)合離心率公式可得e＜，由雙曲線的定義和三點共線的性質(zhì)可得2a+|F2Q|＜|F1F2|，結(jié)合離心率公式可得e的范圍．
【解答】解：雙曲線的左、右焦點分別為F1（﹣c，0），F(xiàn)2（c，0），
由x＝c，y＝±b＝±，可得A（c，），
由點Q坐標為且滿足|F2Q|＞|F2A|，
可得＞，即3a2＞2b2＝2c2﹣2a2，
即c2＜a2，則e＝＜，
又|PF1|﹣|PF2|＝2a，
則|PF1|+|PQ|＝2a+|PF2|+|PQ|≥2a+|F2Q|＝2a+，
當(dāng)且僅當(dāng)Q，P，F(xiàn)2三點共線時，上式取得等號．
由題意可得＜?2c，即c＞a，可得e＝＞，
綜上可得＜e＜，
故答案為：（，）．
21．設(shè)點M和N分別是橢圓C：＝1（a＞0）上不同的兩點，線段MN最長為4．
（1）求橢圓C的標準方程；
（2）若直線MN過點Q（0，2），且＞0，線段MN的中點為P，求直線OP的斜率的取值范圍．
【分析】（1）當(dāng)線段MN為長軸時，其長度最長，所以4＝2a，a＝2，于是可得橢圓C的標準方程；
（2）直線MN的斜率存在且不為0，設(shè)其方程為y＝kx+2，將其與橢圓的方程聯(lián)立可得（1+4k2）x2+16kx+12＝0，由△＞0解得，寫出韋達定理，并求得y1y2＝，因為，所以x1x2+y1y2＞0，又解得k2＜4，故①．然后設(shè)直線OP的斜率為k'，利用點差法可得②，由①②即可求出直線OP斜率的取值范圍．
【解答】解：（1）因為線段MN最長為4，所以4＝2a，即a＝2，
所以橢圓C的標準方程為．
（2）由題意知，直線MN的斜率存在且不為0，設(shè)其方程為y＝kx+2，
聯(lián)立，整理得（1+4k2）x2+16kx+12＝0，
由△＝（16k）2﹣4×（1+4k2）×12＝16（4k2﹣3）＞0，可得．
設(shè)M（x1，y1），N（x2，y2），則，，
所以y1y2＝（kx1+2）（kx2+2）＝．
因為，所以，即k2＜4，故．
設(shè)直線OP的斜率為k'，
因為，兩式相減得，所以，則，
故直線OP的斜率的取值范圍是．
22．已知拋物線的準線與半橢圓相交于A，B兩點，且．
（Ⅰ）求拋物線C1的方程；
（Ⅱ）若點P是半橢圓C2上一動點，過點P作拋物線C1的兩條切線，切點分別為C，D，求△PCD面積的取值范圍．
【分析】（1）利用拋物線的直線方程與橢圓方程聯(lián)立，結(jié)合．求解p，得到拋物線方程．
（2）設(shè)點P坐標為（x0，y0），滿足．設(shè)切線PC為（x﹣x0）＝m1（y﹣y0），代入得y2﹣4m1y+4m1y0﹣4x0＝0，通過△＝0得到方程，設(shè)切點C（x1，y1），y1＝2m1，得到．設(shè)切線PD為（x﹣x0）＝m2（y﹣y0），切點D（x2，y2），可得．轉(zhuǎn)化求解CD直線方程為4x﹣2y0y+4x0＝0．利用三角形的面積求解即可．
【解答】解：（1）拋物線的準線：x＝﹣，由拋物線的準線與半橢圓相交于A，B兩點，且．
可得得p＝2，所以．
（2）設(shè)點P坐標為（x0，y0），滿足．由題意可知切線斜率不會為0，
設(shè)切線PC為（x﹣x0）＝m1（y﹣y0），代入得y2﹣4m1y+4m1y0﹣4x0＝0，
由△＝0可得①，
設(shè)切點C（x1，y1），所以y1＝2m1，代入①可得②．
設(shè)切線PD為（x﹣x0）＝m2（y﹣y0），切點D（x2，y2），同理可得③．
由②③可知y1，y2是方程y2﹣2y0y+4x0＝0的兩根，所以y1+y2＝2y0，y1?y2＝4x0，
又，，所以代入②③可知C（x1，y1），D（x2，y2）是4x﹣2y0y+4x0＝0的兩根，
即CD直線方程為4x﹣2y0y+4x0＝0．
∴，
∴，
S△PCD＝＝＝，
又因為且x0∈[﹣2，0]，
．
23．已知O為坐標原點，拋物線C：x2＝2py（p＞0）的焦點坐標為，點A，B在該拋物線上且位于y軸的兩側(cè)，．
（Ⅰ）證明：直線AB過定點（0，3）；
（Ⅱ）以A，B為切點作C的切線，設(shè)兩切線的交點為P，點Q為圓（x﹣1）2+y2＝1上任意一點，求|PQ|的最小值．
【分析】（Ⅰ）由已知求得p，可得拋物線C：x2＝2y．設(shè)直線AB的方程為y＝kx+b（b＞0），聯(lián)立直線方程與拋物線方程，化為關(guān)于x的一元二次方程，利用根與系數(shù)的關(guān)系及數(shù)量積公式列式求解b，可得直線AB過定點（0，3）；
（Ⅱ）利用導(dǎo)數(shù)求得函數(shù)在A，B處的切線方程，聯(lián)立解得交點縱坐標，可得兩切線交點P的軌跡方程為y＝﹣3．然后結(jié)合圓心到直線的距離求解．
【解答】（Ⅰ）證明：根據(jù)題意，，∴p＝1．
故拋物線C：x2＝2y．
由題意設(shè)直線AB的方程為y＝kx+b（b＞0）．
由，消去y整理得x2﹣2kx﹣2b＝0．
顯然△＝4k2+8b＞0．
設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2）（x1＞0，x2＜0），則x1x2＝﹣2b，
∴．
由題意得b2﹣2b＝3，解得b＝3或b＝﹣1（舍去）．
∴直線AB的方程為y＝kx+3，故直線AB過定點（0，3）．
（Ⅱ）解：∵y'＝x，∴，，
故以A為切點的切線方程為y﹣y1＝x1（x﹣x1），即y＝x1x﹣y1，
以B為切點的切線方程為y﹣y2＝x2（x﹣x2），即y＝x2x﹣y2，
聯(lián)立，解得．
又∵x1x2＝﹣6，∴兩切線交點P的軌跡方程為y＝﹣3．
∵圓心到直線y＝﹣3的距離為3，
∴圓上一點到直線y＝﹣3的最小距離為3﹣1＝2，
故|PQ|的最小值為2．
24．已知點A，B的坐標分別是（﹣，0），（，0），動點M（x，y）滿足直線AM和BM的斜率之積為﹣3，記M的軌跡為曲線E．
（1）求曲線E的方程；
（2）直線y＝kx+m與曲線E相交于P，Q兩點，若曲線E上存在點R，使得四邊形OPRQ為平行四邊形（其中O為坐標原點），求m的取值范圍．
【分析】（1）根據(jù)題意得kAM?kBM＝?＝＝﹣3，（y≠0），化簡可得曲線E的方程．
（2））設(shè)P（x1，y1），Q（x2，y2），聯(lián)立直線與曲線E的方程，得關(guān)于x的一元二次方程，結(jié)合韋達定理得x1+x2，y1+y2，△＞0①，根據(jù)題意得PQ的中點也是OR的中點，得R點的坐標，再代入曲線E的方程，得2m2＝k2+3②，將②代入①得m的取值范圍．
【解答】解：（1）kAM?kBM＝?＝＝﹣3，（y≠0）
化簡得曲線E的方程：．（y≠0）
（2）設(shè)P（x1，y1），Q（x2，y2）
聯(lián)立，得（3+k2）x2+2kmx+m2﹣6＝0，
x1+x2＝﹣，y1+y2＝k（x1+x2）+2m＝，
△＝（2km）2﹣4×（3+k2）（m2﹣6）＝﹣12m2+24k2+72＞0，即﹣m2+2k2+6＞0，①
若四邊形OPRQ為平行四邊形，則PQ的中點也是OR的中點，
所以R點的坐標為（﹣，），
又點R在曲線E上得，化簡得2m2＝k2+3②
將②代入①得，m2＞0，所以m≠0，由②得2m2≥3，所以m≥或m≤﹣，
當(dāng)直線PQ經(jīng)過（，0）時，m＝±k，代入②得m＝，不符合題意
所以m的取值范圍為（﹣∞，﹣）∪（﹣，﹣]∪[，）∪（，+∞）．
25．如圖，O為坐標原點，過點P（0，3）作圓O的兩條切線分別交橢圓于點A、B和點D、C．
（1）若圓O和橢圓C有4個公共點，求直線AB和CD的斜率之積的取值范圍；
（2）四邊形ABCD的對角線是否交于一個定點？若是，求出該定點的坐標；若不是，請說明理由．
【分析】（1）若圓O和橢圓C有4個交點，推出r2∈（3，4），設(shè)過點P的切線方程為y＝kx+3，然后求出k的范圍，直線y＝kx+3和橢圓有兩個交點，轉(zhuǎn)化求解直線AB和CD的斜率之積的取值范圍；
（2）設(shè)AC方程，代入橢圓方程，化簡，設(shè)A（x1，y1），C（x2，y2），由題設(shè)條件易知kPA+kPC＝0，推出對一切k成立，得到四邊形ABCD的對角線交于定點（0，1）．
【解答】解：（1）若圓O和橢圓C有4個交點，則r2∈（3，4），
設(shè)過點P的切線方程為y＝kx+3，
則①
又因為直線y＝kx+3和橢圓有兩個交點，
由y＝kx+t，代入橢圓，消去y?（3+4k2）x2+24kx+24＝0，②
由①②可得：，所以．
（2）設(shè)AC：y＝kx+t，橢圓，代入消去y?（3+4k2）x2+8ktx+4t2﹣12＝0，
設(shè)A（x1，y1），C（x2，y2），
由題設(shè)條件易知kPA+kPC＝0，
所以＝
即對一切k成立，
所以t＝1，即直線AC過定點（0，1），
同理可得直線BD也過定點（0，1），
所以，四邊形ABCD的對角線交于定點（0，1）．
26．已知A，B是x軸正半軸上兩點（A在B的左側(cè)），且|AB|＝a（a＞0），過A，B作x軸的垂線，與拋物線y2＝2px（p＞0）在第一象限分別交于D，C兩點．
（Ⅰ）若a＝p，點A與拋物線y2＝2px的焦點重合，求直線CD的斜率；
（Ⅱ）若O為坐標原點，記△OCD的面積為S1，梯形ABCD的面積為S2，求的取值范圍．
【分析】（Ⅰ）求得拋物線的焦點坐標A，可得B的坐標，代入拋物線方程可得C，D的坐標，應(yīng)用直線的斜率公式可得所求值；
（Ⅱ）可設(shè)CD：y＝kx+b（k≠0），C（x1，y1），D（x2，y2），且x2﹣x1＝a，聯(lián)立拋物線方程消去x，可得y的二次方程，應(yīng)用韋達定理和判別式大于0，可得0＜kb＜p，
再由點到直線的距離公式可得O到CD的距離，應(yīng)用三角形的面積和梯形的面積公式可得S1．S2，即可點到所求范圍．
【解答】解：（Ⅰ）由題意可得A（，0），B（a+，0），則C（a+，），D（，p），
又a＝p，可得C（p，p），則直線CD的斜率為＝﹣1；
（Ⅱ）可設(shè)CD：y＝kx+b（k≠0），C（x1，y1），D（x2，y2），且x2﹣x1＝a，
由消去x，可得ky2﹣2py+2pb＝0，
△＝4p2﹣8pkb＞0，即kb＜p，
又y1+y2＝＞0，y1y2＝＞0，可得k＞0，b＞0，
則|CD|＝|x1﹣x2|＝a，
O到CD的距離為，則S1＝d?|CD|＝??a＝ab，
S2＝|y1+y2|?|x2﹣x1|＝?a＝，
則＝，∵0＜kb＜p，
∴0＜＜．
27．已知圓O：x2+y2＝2，點P為橢圓C：+＝1上一點，A，B分別是橢圓C的左右頂點．
（1）若過P點的直線與圓O切于點Q（Q位于第一象限），求使得△OPQ面積最大值時的直線PQ的方程；
（2）若直線AP，BP與y軸的交點分別為E，F(xiàn)，以EF為直徑的圓與圓O交于點M，求證：直線PM平行于x軸．
【分析】（1）設(shè)P（m，n），求得圓O的半徑，運用三角形的面積公式和二次函數(shù)的最值求法、直線和圓相切的條件，可得直線PQ的方程；
（2）運用三點共線的條件：斜率相等，求得E、F的縱坐標，可得EF為直徑的圓與圓O的方程相減可得交線的方程，化簡整理，即可得證．
【解答】解：（1）設(shè)P（m，n），可得m2+2n2＝4，
圓O：x2+y2＝2的半徑為r＝，
可得△OPQ面積S＝?＝?
＝＝，
則n＝0，m＝2時，△OPQ面積取得最大值1，此時P（2，0），
設(shè)PQ：y＝k（x﹣2），由＝，解得k＝﹣1（1舍去），
則PQ的方程為y＝﹣（x﹣2），即x+y﹣2＝0：
（2）由題意可得A（﹣2，0），設(shè)P（m，n），可得m2+2n2＝4，
又A，P，E三點共線可得＝，即yE＝；
同理由B，P，F(xiàn)共線可得yF＝﹣，
以EF為直徑的圓的方程為x2+（y﹣）2＝，
與圓O：x2+y2＝2聯(lián)立，
可得2++＝，
結(jié)合m2﹣4＝﹣2n2，
可得其交線方程為y＝n，
即有M的縱坐標與P的縱坐標相等，
故直線PM平行于x軸．
[B組]—強基必備
1．已知橢圓的離心率與雙曲線的離心率互為倒數(shù)，A，B分別為橢圓的左、右頂點，且|AB|＝4．
（1）求橢圓C的方程；
（2）已知過左頂點A的直線l與橢圓C另交于點D，與y軸交于點E，在平面內(nèi)是否存在一定點P，使得恒成立？若存在，求出該點的坐標，并求△ADP面積的最大值；若不存在，說明理由．
【分析】（1）求得雙曲線的離心率，由題意可得橢圓的離心率，結(jié)合頂點的概念和a，b，c的關(guān)系，解得a，b，進而得到橢圓方程；
（2）直線l的斜率顯然存在，設(shè)直線l的方程為y＝k（x+2），聯(lián)立橢圓方程，運用韋達定理，可得D的坐標，由A（﹣2，0），B（2，0），設(shè)P（m，n），在平面內(nèi)假設(shè)存在一定點P，使得恒成立，運用向量數(shù)量積的坐標表示，化簡整理，結(jié)合恒等式的性質(zhì)，可得m，n，可得P的坐標，再由三角形的面積公式，結(jié)合基本不等式，可得所求三角形的面積的最大值．
【解答】解：（1）雙曲線的離心率為＝2，由題意可得橢圓的離心率為e＝＝，
|AB|＝4，即2a＝4，即a＝2，b＝，
橢圓的方程為+＝1；
（2）過左頂點A的直線l的斜率顯然存在，設(shè)為k，方程設(shè)為y＝k（x+2），可得E（0，2k），
且A（﹣2，0），B（2，0），設(shè)P（m，n），
由可得（3+4k2）x2+16k2x+16k2﹣12＝0，則﹣2xD＝，即xD＝，
即有D（，），
在平面內(nèi)假設(shè)存在一定點P，使得恒成立．
可得?＝（﹣m，2k﹣n）?（﹣2，）＝（﹣m）（﹣）+（2k﹣n）?＝＝0，
由于上式恒成立，可得k（4m+6）﹣3n＝0，即有4m+6＝0，且﹣3n＝0，可得m＝﹣，n＝0，
則存在P（﹣，0），使得恒成立．
此時S△ADP＝|AP|?|yD|＝×?＝，當(dāng)k＝0時，S△ADP＝0；
當(dāng)k≠0時，S△ADP＝≤＝，當(dāng)且僅當(dāng)|k|2＝，即k＝±時，取得等號．
綜上可得，S△ADP的最大值為．
2．已知橢圓C1：+＝1（a＞b＞0）的離心率為，右焦點F是拋物線C2：y2＝2px（p＞0）的焦點，點（2，4）在拋物線C2上．
（1）求橢圓C1的方程；
（2）已知斜率為k的直線l交橢圓C1于A，B兩點，M（0，2），直線AM與BM的斜率乘積為﹣，若在橢圓上存在點N，使|AN|＝|BN|，求△ABN的面積的最小值．
【分析】（1）先求出p的值，即可求出c的值，根據(jù)離心率求出a的值，即可得到橢圓方程，
（2）設(shè)直線l的方程為y＝kx+m，設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），由，根據(jù)直線AM與BM的斜率乘積為﹣，求出m＝0，再根據(jù)弦長公式求出|AB|和|ON|，表示出三角形的面積來，再利用二次函數(shù)的性質(zhì)即可求出最小值．
【解答】解：（1）∵點（2，4）在拋物線y2＝2px上，
∴16＝4p，
解得p＝4，
∴橢圓的右焦點為F（2，0），
∴c＝2，
∵橢圓C1：+＝1（a＞b＞0）的離心率為，
∴＝，
∴a＝2，
∴b2＝a2﹣c2＝8﹣4＝4，
∴橢圓C1的方程為+＝1，
（2）設(shè)直線l的方程為y＝kx+m，設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），
由，消y可得（1+2k2）x2+4kmx+2m2﹣8＝0，
∴x1+x2＝，x1x2＝，
∴y1+y2＝k（x1+x2）+2m＝，y1y2＝k2x1x2+km（x1+x2）+m2＝
∵M（0，2），直線AM與BM的斜率乘積為﹣，
∴k1?k2＝?＝＝＝﹣，
解得m＝0，
∴直線l的方程為y＝kx，線段AB的中點為坐標原點，
由弦長公式可得|AB|＝＝，
∵|AN|＝|BN|，
∴ON垂直平分線段AB，
當(dāng)k≠0時，設(shè)直線ON的方程為y＝﹣x，
同理可得|ON|＝＝，
∴S△ABN＝|ON|?|AB|＝8，
當(dāng)k＝0時，△ABN的面積也適合上式，
令t＝k2+1，t≥1，0＜≤1，
則S△ABN＝8＝8＝8，
∴當(dāng)＝時，即k＝±1時，S△ABN的最小值為．
3．已知橢圓C的中心在原點，焦點在x軸上，離心率為，短軸長為4．
（1）求橢圓C的標準方程；
（2）直線x＝2與橢圓C交于P，Q兩點，A，B是橢圓C上位于直線PQ兩側(cè)的動點，且直線AB的斜率為．
（i）求四邊形APBQ面積的最大值；
（ii）設(shè)直線PA的斜率為k1，直線PB的斜率為k2，判斷k1+k2的值是否為常數(shù)，并說明理由．
【分析】（Ⅰ）設(shè)橢圓C的方程為，由短軸長可得b值，根據(jù)離心率為及a2＝b2+c2，得a值；
（Ⅱ）①設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），直線AB的方程為y＝x+t，代入得x的二次方程，四邊形APBQ的面積S＝＝．，而|PQ|易求，代入韋達定理即可求得S的表達式，由表達式即可求得S的最大值；②直線PA的斜率，直線PB的斜率，代入韋達定理即可求得k1+k2的值；
【解答】解：（Ⅰ）設(shè)橢圓C的方程為．
由已知b＝2，離心率e＝，a2＝b2+c2，得a＝4，
所以，橢圓C的方程為．
（Ⅱ）①由（Ⅰ）可求得點P、Q的坐標為P（2，3），Q（2，﹣3），則|PQ|＝6，
設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），直線AB的方程為y＝x+t，代入，
得：x2+tx+t2﹣12＝0．
由△＞0，解得﹣4＜t＜4，由根與系數(shù)的關(guān)系得，
四邊形APBQ的面積，
故當(dāng)t＝0時，；
②由題意知，直線PA的斜率，直線PB的斜率，
則
＝
＝，
由①知，
可得，
所以k1+k2的值為常數(shù)0．

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