2024年新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)達(dá)標(biāo)檢測(cè)第53講圓錐曲線的綜合應(yīng)用

A．B．C．2D．
【分析】由題可知，F(xiàn)1（﹣c，0），直線l的斜率一定存在，設(shè)其方程為y＝k（x+c），則M（0，kc），P（c，2kc），
將點(diǎn)P的坐標(biāo)代入雙曲線C的方程，有①，由平面向量的線性坐標(biāo)運(yùn)算可得點(diǎn)N（，），代入y＝x得＝②，聯(lián)立①②，消去k，并結(jié)合離心率e＝即可得解．
【解答】解：由題可知，F(xiàn)1（﹣c，0），直線l的斜率一定存在，設(shè)其方程為y＝k（x+c），則M（0，kc），
∵M(jìn)為線段PF1的中點(diǎn)，∴點(diǎn)P（c，2kc），
將其代入雙曲線C的方程，有①，
∵，∴點(diǎn)N（，），且點(diǎn)N在漸近線y＝x上，
∴＝②，
聯(lián)立①②，消去k得，，
∴離心率e＝＝，
故選：B．
2．已知對(duì)任意正實(shí)數(shù)m，n，p，q，有如下結(jié)論成立：若，則有成立，現(xiàn)已知橢圓＝1上存在一點(diǎn)P，F(xiàn)1，F(xiàn)2為其焦點(diǎn)，在△PF1F2中，∠PF1F2＝15°，∠PF2F1＝75°，則橢圓的離心率為（）
A．B．C．D．
【分析】結(jié)合正弦定理和題中的新定義可知，，從而，結(jié)合正弦的兩角和差公式分別算出sin15°和sin75°，代入上式進(jìn)行化簡(jiǎn)即可得離心率的值．
【解答】解：在△PF1F2中，由正弦定理知，，
依題意，有，
所以，即，
sin15°+sin75°＝sin15°+cs15°＝sin（45°+15°）＝
所以離心率e＝＝＝．
故選：C．
3．以雙曲線C：﹣＝1（a＞0，b＞0）的左頂點(diǎn)A為圓心作半徑為a的圓，此圓與漸近線交于坐標(biāo)原點(diǎn)O及另一點(diǎn)B，且存在直線y＝kx使得B點(diǎn)和右焦點(diǎn)F關(guān)于此直線對(duì)稱(chēng)，則雙曲線的離心率為（）
A．B．C．D．3
【分析】利用已知條件求出B的坐標(biāo)，結(jié)合B與F關(guān)于y＝kx對(duì)稱(chēng)，得到a，c的方程，然后求解離心率即可．
【解答】解：由題意可知A（﹣a，0），F(xiàn)（c，0），
以雙曲線C：﹣＝1（a＞0，b＞0）的左頂點(diǎn)A為圓心作半徑為a的圓（x+a）2+y2＝a2，此圓與漸近線y＝﹣交于坐標(biāo)原點(diǎn)O及另一點(diǎn)B，可得，消去y，
可得x2+2ax+＝0，所以xB＝，則yB＝，
存在直線y＝kx使得B點(diǎn)和右焦點(diǎn)F關(guān)于此直線對(duì)稱(chēng)，
可得：，可得k＝，BF的中點(diǎn)為：（c，），
中點(diǎn)在直線y＝kx上，可得＝?（c），
整理可得4a4b2＝（2a3+c3）（c3﹣2a3），把b2＝c2﹣a2代入上式．化簡(jiǎn)可得4a4＝c4，e＝＞1，
解得e＝．
故選：B．
4．設(shè)F1，F(xiàn)2分別是雙曲線﹣＝1（a，b＞0）的左、右焦點(diǎn)．若雙曲線上存在一點(diǎn)P，使得|PF1|＝4|PF2|，且∠F1PF2＝60°，則該雙曲線的離心率是（）
A．B．C．D．
【分析】由雙曲線的定義及題意可得|PF1|，|PF2|的值，再由余弦定的可得a，c的關(guān)系，進(jìn)而求出雙曲線的離心率．
【解答】解：由雙曲線的定義可得|PF1|﹣|PF2|＝2a，而|PF1|＝4|PF2|，所以|PF1|＝a，|PF2|＝a，
在△PF1F2中∠F1PF2＝60°，由余弦定理可得|F1F2|2＝4c2＝|PF1|2+|PF2|2﹣2|PF1||PF2|cs∠F1PF2＝a2+a2﹣2＝，
整理可得：4c2＝a2，即c2＝a2，所以e＝＝，
故選：B．
5．已知雙曲線（a＞0，b＞0）的左、右焦點(diǎn)分別為F1（﹣c，0），F(xiàn)2（c，0）．若雙曲線上存在點(diǎn)P滿足a|PF1|＝c|PF2|，則該雙曲線的離心率的取值范圍是（）
A．B．C．D．
【分析】點(diǎn)P（x，y）在右支上并注意到x≥a．利用a|PF1|＝c|PF2|，進(jìn)而根據(jù)雙曲線定義表示出|PF1|和|PF2|代入a|PF1|＝c|PF2|，求得e的范圍．
【解答】解：∵a|PF1|＝c|PF2|，∴，∴P在雙曲線右支上，
設(shè)P點(diǎn)的橫坐標(biāo)為x，注意到x≥a．
由雙曲線第二定義，知|PF1|＝a+ex，|PF2|＝ex﹣a，
則，∴x＝≥a，
分子分母同時(shí)除以a，得≥a，
∴≥1，解得1＜e≤+1．
故選：A．
6．已知F為拋物線y2＝4x的焦點(diǎn)，A、B、C為拋物線上三點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，則存在橫坐標(biāo)x＞2的點(diǎn)A、B、C有（）
A．0個(gè)B．2個(gè)
C．有限個(gè)，但多于2個(gè)D．無(wú)限多個(gè)
【分析】設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），利用，說(shuō)明F為△ABC的重心，利用重心坐標(biāo)公式結(jié)合不等式轉(zhuǎn)化求解x1≤2，討論推出x2≤2，x3≤2，得到結(jié)果．
【解答】解：設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），先證x1≤2，
由知，F(xiàn)為△ABC的重心，
又F（1，0），∴，，
∴x2+x3＝3﹣x1，y2+y3＝﹣y1，
∴，∴，
∴，∴x1≤2（x2+x3），∴x1≤2（3﹣x1），
∴x1≤2，
同理x2≤2，x3≤2，
故選：A．
7．已知雙曲線的右頂點(diǎn)為A，拋物線C：y2＝16ax（a＞0）的焦點(diǎn)為F，若在雙曲線E的漸近線上存在點(diǎn)P，使得AP⊥FP，則雙曲線E的離心率的取值范圍是（）
A．B．（1，2）C．D．（2，+∞）
【分析】求出雙曲線的右頂點(diǎn)和漸近線方程，拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)，可設(shè)P（m，m），利用向量的垂直的條件得關(guān)于m的一元二次方程，再由二次方程的判別式大于等于0，化簡(jiǎn)整理即可求得離心率的范圍．
【解答】解：雙曲線E：＝1（a＞0，b＞0）的右頂點(diǎn)為A（a，0），
拋物線C：y2＝16ax的焦點(diǎn)為F（4a，0），
雙曲線的漸近線方程為y＝±x，
可設(shè)P（m，m），
即有＝（m﹣a，m），＝（m﹣4a，m），
由PA⊥FP，得⊥，可得＝0，
即為（m﹣a）（m﹣4a）+m2＝0，
化為（1+）m2﹣5am+4a2＝0，
由題意可得△＝25a2﹣4（1+）?4a2≥0，
即有9a2≥16b2＝16（c2﹣a2），
即16c2≤25a2，
則e＝≤．
由e＞1，可得1＜e≤．
故選：A．
8．已知橢圓C1：＝1（a＞b＞0）與圓C2：x2+y2＝，若在橢圓C1上不存在點(diǎn)P，使得由點(diǎn)P所作的圓C2的兩條切線互相垂直，則橢圓C1的離心率的取值范圍是（）
A．B．C．D．
【分析】由題意畫(huà)出圖形，把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為sin∠APO＞sin45°，＞，由此可得橢圓的離心率的取值范圍．
【解答】解：如圖，
若在橢圓C1上不存在點(diǎn)P，使得由點(diǎn)P所作的圓C2的兩條切線互相垂直，
則兩條切線夾角的最大值小于90°（由于短軸頂點(diǎn)處的兩條切線的夾角最大為120°，故這種情況不存在）或兩條切線夾角的最小值大于90°，
如圖：由∠APO＞45°，
即sin∠APO＞sin45°，
即＞，∴＞，
∴e＝＜．
又0＜e＜1．
∴橢圓C1的離心率的取值范圍是（0，）．
故選：A．
9．（多選）已知曲線C的方程為，則下列結(jié)論正確的是（）
A．當(dāng)k＝8時(shí)，曲線C為橢圓，其焦距為4
B．當(dāng)k＝2時(shí)，曲線C為雙曲線，其離心率為
C．存在實(shí)數(shù)k使得曲線C為焦點(diǎn)在y軸上的雙曲線
D．當(dāng)k＝﹣3時(shí)，曲線C為雙曲線，其漸近線與圓（x﹣4）2+y2＝9相切
【分析】求得k＝8時(shí)，曲線C的方程和焦距，即可判斷A；求得k＝2時(shí)，曲線C的方程，可得a，b，c，e，即可判斷B；若曲線C為焦點(diǎn)在y軸上的雙曲線，可得k的不等式組，解不等式可得k的范圍，即可判斷C；求得k＝﹣3時(shí)，曲線C的方程和漸近線方程，圓的圓心和半徑，結(jié)合直線和圓的位置關(guān)系，即可判斷D．
【解答】解：當(dāng)k＝8時(shí)，曲線C的方程為+＝1，曲線C表示焦點(diǎn)在x軸上的橢圓，c＝＝2，焦距為2c＝4，故A正確；
當(dāng)k＝2時(shí)，曲線C的方程為﹣＝1，曲線C為焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線，且a＝，b＝2，c＝＝，可得e＝＝，故B正確；
若曲線C為焦點(diǎn)在y軸上的雙曲線，可得，即，k無(wú)實(shí)數(shù)解，故C錯(cuò)誤；
當(dāng)k＝﹣3時(shí)，曲線C的方程為﹣＝1，曲線C為雙曲線，其漸近線為y＝±x，
而圓（x﹣4）2+y2＝9的圓心為（4，0），半徑為3，圓心到漸近線的距離為d＝＝3，可得漸近線與圓相切，故D正確．
故選：ABD．
10．（多選）設(shè)F1，F(xiàn)2分別為雙曲線的左、右焦點(diǎn)，若在雙曲線右支上存在點(diǎn)P，滿足|PF2|＝|F1F2|，且F2到直線PF1的距離等于雙曲線的實(shí)軸長(zhǎng)，則關(guān)于該雙曲線的下列結(jié)論正確的是（）
A．漸近線方程為4x±3y＝0B．漸近線方程為3x±4y＝0
C．離心率為D．離心率為
【分析】設(shè)|PF2|＝|F1F2|＝2c，運(yùn)用雙曲線的定義和等腰三角形的性質(zhì)可得關(guān)于a，c的方程，得到雙曲線的離心率，再由隱含條件即可得到a與b的關(guān)系，求出雙曲線的漸近線方程．
【解答】解：設(shè)|PF2|＝|F1F2|＝2c，
由|PF1|﹣|PF2|＝2a，可得|PF1|＝2c+2a，
由F2到直線PF1的距離等于雙曲線的實(shí)軸長(zhǎng)2a，
設(shè)PF1的中點(diǎn)M，
由等腰三角形PF1F2的性質(zhì)可得，F(xiàn)2M⊥PF1，
即有（c+a）2+（2a）2＝（2c）2，
化簡(jiǎn)得e＝，
由3c＝5a，得9c2＝25a2，
即9（a2+b2）＝25a2，得16a2＝9b2，
即有3b＝4a，
則雙曲線的漸近線方程為y＝±x＝±x，
即4x±3y＝0．
故選：AC．
11．設(shè)F1、F2分別為雙曲線﹣＝1（a＞0，b＞0）的左、右焦點(diǎn)．在雙曲線右支上存在點(diǎn)P，滿足|PF2|＝|F1F2|，且F2到直線PF1的距離等于雙曲線的實(shí)軸長(zhǎng)，則＝．
【分析】利用題設(shè)條件和雙曲線性質(zhì)在三角形中尋找等量關(guān)系，得出a與b之間的等量關(guān)系，推出結(jié)果．
【解答】解：依題意|PF2|＝|F1F2|，可知三角形PF2F1是一個(gè)等腰三角形，F(xiàn)2在直線PF1的投影是其中點(diǎn)，由勾股定理知
可知|PF1|＝2＝4b，
根據(jù)雙曲定義可知4b﹣2c＝2a，整理得c＝2b﹣a，代入c2＝a2+b2整理得3b2﹣4ab＝0，求得＝．
故答案為：．
12．設(shè)F為雙曲線的右焦點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，以O(shè)F為直徑的圓與雙曲線C的其中一條漸近線交于點(diǎn)P（不同于O），若雙曲線C右支上存在點(diǎn)M滿足＝，則雙曲線C的離心率為．
【分析】由題意如圖所示設(shè)漸近線的方程，可得|OP|的值，P在漸近線上可得P的坐標(biāo)，再由＝，則可得M為PF的中點(diǎn)，將M的坐標(biāo)代入雙曲線的方程，可得a，c的關(guān)系，進(jìn)而求出雙曲線的離心率．
【解答】解：如圖所示：雙曲線對(duì)稱(chēng)性，設(shè)漸近線的方程為：y＝x，即bx﹣ay＝0，右焦點(diǎn)F（c，0），
所以F到漸近線的距離d＝＝＝b，在直角三角形OPF中可得|OP|＝＝＝a，
所以|OP|＝a，|PF|＝b，所以可求得，
F（c，0），因?yàn)椋?，則可得M為P，F(xiàn)的中點(diǎn)，所以，
把M代入雙曲線，
可得，整理可得c2＝2a2，所以．
故答案為：．
13．已知橢圓W：的右焦點(diǎn)為，且離心率為，△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)都在橢圓W上，直線AB，BC，AC的斜率存在且均不為0，記它們的斜率分別為k1，k2，k3，設(shè)AB，BC，AC的中點(diǎn)分別為M，N，P，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，若直線OM，ON，OP的斜率之和為，則＝．
【分析】先根據(jù)，，求得a＝2，b＝1，從而得橢圓W的方程為為，再設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），利用點(diǎn)差法可得，，，所以．
【解答】解：由題意可得，，，所以a＝2，b＝1，
∴橢圓W的標(biāo)準(zhǔn)方程為．
設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），則，，
兩式作差得，，
∴，即．
同理可得，，，
∴．
故答案為：﹣3．
14．已知橢圓G：左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，短軸的兩個(gè)端點(diǎn)分別為B1，B2，點(diǎn)P在橢圓C上，且滿足|PF1|+|PF2|＝|PB1|+|PB2|，當(dāng)m變化時(shí)，給出下列四個(gè)命題：①點(diǎn)P的軌跡關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)；②存在m使得橢圓C上滿足條件的點(diǎn)P僅有兩個(gè)；③|OP|的最小值為2；④|OP|最大值為，其中正確命題的序號(hào)是．
【分析】由橢圓的對(duì)稱(chēng)性及|PF1|+|PF2|＝|PB1|+|PB2|，寫(xiě)出以B1，B2為焦點(diǎn)的橢圓，可得兩個(gè)橢圓有4個(gè)交點(diǎn)，可判斷出①正確，②不正確；
點(diǎn) P 靠近坐標(biāo)軸時(shí)|OP|越大，點(diǎn) P 遠(yuǎn)離坐標(biāo)軸時(shí)，|OP|越小，易得 m2＝3 時(shí)，取得最小值，可得|OP|的最小值，橢圓上的點(diǎn)到中心的距離小于等于a，由于點(diǎn) P 不在坐標(biāo)軸上．
【解答】解：由橢圓的對(duì)稱(chēng)性及|PF1|+|PF2|＝|PB1|+|PB2|，所以可得以B1，B2為焦點(diǎn)的橢圓為橢圓，
則點(diǎn) P 為橢圓C：與橢圓的交點(diǎn)，因?yàn)闄E圓G的長(zhǎng)軸頂點(diǎn)（，0），短軸的絕對(duì)值小于，橢圓Γ的長(zhǎng)軸頂點(diǎn)（0，），短軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)的絕對(duì)值小于，所以?xún)蓚€(gè)橢圓的交點(diǎn)有4個(gè)，①正確②不正確，
點(diǎn) P 靠近坐標(biāo)軸時(shí)（m→0或 m），|OP|越大，點(diǎn) P 遠(yuǎn)離坐標(biāo)軸時(shí)，|OP|越小，易得 m2＝3 時(shí)，取得最小值，此時(shí)C：，
兩方程相加得，即|OP|的最小值為 2，③正確；
橢圓上的點(diǎn)到中心的距離小于等于a，由于點(diǎn) P 不在坐標(biāo)軸上，
∴|OP|＜，④錯(cuò)誤．
故答案為：①③．
15．已知AB、CD是中心為點(diǎn)O的橢圓的兩條相交弦，交點(diǎn)為P，兩弦AB、CD與橢圓長(zhǎng)軸的夾角分別為∠1、∠2，且∠1＝∠2，求證：|PA|?|PB|＝|PC|?|PD|．
【分析】建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)出直線CD的參數(shù)方程，由參數(shù)的幾何意義可得|PC||PD|，同理可得|PA||PB|，由此得證．
【解答】證明：如圖建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)橢圓方程為①，
∠2＝θ，P（x0，y0），
則直線CD的參數(shù)方程為（t為參數(shù)）②，
將②代入①并整理可得③，
由于a2cs2θ+b2sin2θ≠0，故方程③有兩個(gè)根t1，t2，故，
同理，對(duì)于直線AB，將θ換為π﹣θ，即可得到＝，
∴|PA||PB|＝|PC||PD|．
16．已知橢圓C：，A，B分別為橢圓長(zhǎng)軸的左右端點(diǎn)，M為直線x＝2上異于點(diǎn)B的任意一點(diǎn)，連接AM交橢圓于P點(diǎn)．
（1）求證：為定值；
（2）是否存在x軸上的定點(diǎn)Q使得以MP為直徑的圓恒通過(guò)MQ與BP的交點(diǎn)．
【分析】（1）由橢圓的方程可得A，B的坐標(biāo)，設(shè)M，P的坐標(biāo)，可得AP，AM的斜率相等，求出數(shù)量積，由kAP?kBP＝＝﹣，可得M，P的坐標(biāo)的關(guān)系，進(jìn)而可得為定值．
（2）假設(shè)存在Q滿足條件，因?yàn)橐訫P為直徑的圓恒通過(guò)MQ與BP的交點(diǎn)可得＝0，由（1）
可得整理得n（x0﹣2）＝0，再由x0≠2可得n＝0，
【解答】解：（1）證明：由橢圓的方程可得：A（﹣2，0），B（2，0），設(shè)M（2，m），P（x0，y0），（m≠0，x0≠±2），
則+＝1，得y02＝﹣，
又kAP＝＝kAM＝＝，kBP＝，
所以kAP?kBP＝＝﹣，
又＝﹣，整理可得2x0+my0＝4，
所以＝2x0+my0＝4為定值．
（2）假設(shè)存在定點(diǎn)Q（n，0）滿足要求，設(shè)M（2，m），P（x0，y0），（m≠0，x0≠±2），
則以MP為直徑的圓恒通過(guò)MQ與BP的交點(diǎn)可得＝0，
所以（n﹣2，﹣m）?（x0﹣2，y0）＝nx0﹣2n﹣2x0+4﹣my0＝0，①
由（1）得2x0+my0＝4，②，
由①②可得n（x0﹣2）＝0，因?yàn)閤0≠2，解得n＝0，
所以存在x軸上的定點(diǎn)Q（0，0），使得以MP為直徑的圓恒通過(guò)MQ與BP的交點(diǎn)．
17．在直角坐標(biāo)系xOy中，已知點(diǎn)A（﹣2，2），B（2，2），直線AD，BD交于D，且它們的斜率滿足：kAD﹣kBD＝﹣2．
（1）求點(diǎn)D的軌跡C的方程；
（2）設(shè)過(guò)點(diǎn)（0，2）的直線1交曲線C于P，Q兩點(diǎn)，直線OP與OQ分別交直線y＝﹣1于點(diǎn)M，N，是否存在常數(shù)λ，使S△OPQ＝λS△OMN，若存在，求出λ的值；若不存在，說(shuō)明理由．
【分析】（1）設(shè)D（x，y），由A（﹣2，2），B（2，2），求出AD與BD的斜率，代入kAD﹣kBD＝﹣2，整理可得D的軌跡C的方程；
（2）由題意，直線l的斜率存在，設(shè)直線l：y＝kx+2，P（x1，y1），Q（x2，y2）．聯(lián)立直線方程與拋物線方程，化為關(guān)于x的一元二次方程，利用根與系數(shù)的關(guān)系求得|x1﹣x2|，求出三角形OPQ的面積，再寫(xiě)出OP，OQ的方程，求得M，N的橫坐標(biāo)，得到|xM﹣xN|，求出三角形OMN的面積，則答案可求．
【解答】解：（1）設(shè)D（x，y），由A（﹣2，2），B（2，2），
得（x≠﹣2），（x≠2），
∵kAD﹣kBD＝﹣2，∴，整理得：x2＝2y（x≠±2）；
（2）存在常數(shù)入＝4，使S△OPQ＝λS△OMN．
證明如下：
由題意，直線l的斜率存在，設(shè)直線l：y＝kx+2，P（x1，y1），Q（x2，y2）．
聯(lián)立，得x2﹣2kx﹣4＝0．則x1+x2＝2k，x1x2＝﹣4．
＝．
則＝．
直線OP：y＝，取y＝﹣1，得，
直線OQ：y＝，取y＝﹣1，得．
則|xM﹣xN|＝||＝||＝
＝＝．
∴．
∴S△OPQ＝4S△OMN．
故存在常數(shù)入＝4，使S△OPQ＝λS△OMN．
18．過(guò)點(diǎn)P（0，2）的直線與拋物線C：x2＝4y相交于A，B兩點(diǎn)．
（1）求的值．
（2）A，B在直線y＝﹣2上的射影分別為A1，B1，線段A1B1的中點(diǎn)為Q，求證：BQ∥PA1．
【分析】（1）設(shè)直線AB的方程為（t為參數(shù)，α不為90°的傾斜角），代入拋物線方程，運(yùn)用韋達(dá)定理和參數(shù)的幾何意義，化簡(jiǎn)可得所求值；
（2）設(shè)直線AB的方程為y＝kx+2，聯(lián)立拋物線方程，運(yùn)用韋達(dá)定理和兩直線平行的條件，由直線的斜率公式，化簡(jiǎn)計(jì)算可得證明．
【解答】解：（1）設(shè)直線AB的方程為（t為參數(shù)，α不為90°的傾斜角），
代入拋物線C：x2＝4y可得t2cs2α﹣4tsinα﹣8＝0，
設(shè)A，B對(duì)應(yīng)的參數(shù)分別為t1，t2，可得t1+t2＝，t1t2＝﹣，
＝+＝＝＝＝＝；
（2）證明：設(shè)直線AB的方程為y＝kx+2，聯(lián)立x2＝4y，可得x2﹣4kx﹣8＝0，
設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），可得x1+x2＝4k，x1x2＝﹣8，
由A1（x1，﹣2），B1（x2，﹣2），可得中點(diǎn)Q（，﹣2），即Q（2k，﹣2），
可得kBQ＝＝，＝＝﹣，
由kBQ﹣＝＝＝0，
即＝kBQ，可得BQ∥PA1．
19．已知在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線方程為y2＝2px（p＞0）．
（1）若直線y＝﹣x+1與拋物線相交于M，N兩點(diǎn)，且MN＝2，求拋物線的方程；
（2）直線l過(guò)點(diǎn)Q（0，t）（t≠0）交拋物線于A，B兩點(diǎn)，交x軸于點(diǎn)C，如圖，設(shè)＝m，＝n，求證：m+n為定值．
【分析】（1）設(shè)出直線方程與拋物線方程聯(lián)立，求出兩根之和與兩根之積；結(jié)合弦長(zhǎng)公式即可求解；
（2）設(shè)出直線方程與拋物線方程聯(lián)立，求出兩根之和與兩根之積；結(jié)合向量的坐標(biāo)運(yùn)算即可求解結(jié)論
【解答】解（1）設(shè)M（x1，y1），N（x2，y2）聯(lián)立?x2﹣2（1+p）x+1＝0；
∵p＞0，∴△1＝4（p2+2p）＞0；
則x1＝p+1﹣，x2＝p+1+；
∴|MN|＝＝|x1﹣x2|＝2＝2
?p＝1；
∴拋物線的方程為y2＝2x①；
（2）設(shè)A（x3，y3），B（x4，y4），C（x0，0）
∵直線l過(guò)點(diǎn)Q（0，t）（t≠0）；
故可設(shè)直線方程為y＝kx+t②；
②代入①整理得ky2﹣2py+2pt＝0；
∴△2＝4p2﹣8kpt＞0；y3＝，y4＝?y3+y4＝③y3y4＝④；
∵＝（x3，y3﹣t），＝（x0﹣x3，﹣y3），＝（x4，y4﹣t），＝（x0﹣x4，﹣y4）；??；
∴m+n＝﹣2＝t×﹣2；
即m+n＝t×﹣2＝﹣1；
所以：m+n為定值﹣1．
20．已知定點(diǎn)S（﹣2，0），T（2，0），動(dòng)點(diǎn)P為平面上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且直線SP、TP的斜率之積為﹣．
（Ⅰ）求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡E的方程；
（Ⅱ）設(shè)點(diǎn)B為軌跡E與y軸正半軸的交點(diǎn)，是否存在斜率為直線l，使得l交軌跡E于M，N兩點(diǎn)，且Q（，0）恰是△BMN的重心？若存在，求l的方程；若不存在，說(shuō)明理由．
【分析】（Ⅰ）設(shè)P（x，y），利用已知條件，列出方程化簡(jiǎn)求解即可．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，E的方程為，所以，設(shè)存在直線l適合題意，并設(shè)l的方程為，M（x1，y1），N（x2，y2）．由，得，通過(guò)判別式以及韋達(dá)定理，轉(zhuǎn)化求解三角形的重心推出結(jié)果即可．
【解答】解：（Ⅰ）設(shè)P（x，y），由已知有，
整理得動(dòng)點(diǎn)P的軌跡E的方程為，
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，E的方程為，所以，
設(shè)存在直線l適合題意，并設(shè)l的方程為，M（x1，y1），N（x2，y2）．
由，得，
由，得，．
因?yàn)辄c(diǎn)Q為△BMN的重心，所以x1+x2+xB＝3xQ，，解得
當(dāng)時(shí)，不滿足，
所以不存在直線l，使得Q是△BMN的重心．
21．設(shè)F1（﹣c，0）、F2（c，0）分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)P是該橢圓上的一個(gè)定點(diǎn)，同時(shí)滿足如下三個(gè)條件：
（1）；（2）；（3）在方向上的投影為．
（Ⅰ）求橢圓的離心率及橢圓方程；
（Ⅱ）過(guò)焦點(diǎn)F1的直線l交橢圓于點(diǎn)A、B兩點(diǎn)，問(wèn)是否存在以線段AB為直徑的圓與y相切，若存在，求出此時(shí)直線l的方程，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
【分析】（Ⅰ）根據(jù)題目的三個(gè)條件可得c＝，＝，a2＝b2+c2，解得即可；
（Ⅱ）由（Ⅰ）可得焦點(diǎn)F1的坐標(biāo)，設(shè)直線l的方程與由、橢圓聯(lián)立求出兩根之和及兩根之積，設(shè)A，B的坐標(biāo)，及切點(diǎn)D的坐標(biāo)，由題意可得?＝0，求出參數(shù)及D的坐標(biāo)，可得直線l的方程．
【解答】解：（Ⅰ）∵，
∴⊥，
∴△PF2F1為直角三角形，
∴P（c，），
∴tan∠PF1F2＝＝＝，
∵在方向上的投影為，
∴2c＝2，即c＝，
∵a2＝b2+c2，
∴a＝2，b＝1，
∴橢圓的離心率為e＝＝，橢圓方程為+y2＝1；
（Ⅱ）設(shè)滿足條件的直線為l，其方程為x＝my﹣，兩交點(diǎn)坐標(biāo)為A（x1，y1）B（x2，y2），
設(shè)線段AB為直徑的圓與y相切于點(diǎn)D，
由，消去x得：（m2+4）y2﹣2my﹣1＝0，
∴y1+y2＝，y1y2＝，x1+x2＝m（y1+y2）﹣2＝﹣，
所以AB的中點(diǎn)到y(tǒng)軸的距離d＝＝，
所以弦長(zhǎng)|AB|＝＝?＝4?＝2d＝，
解得m2＝2﹣1，所以m＝±
直線方程為x＝y(tǒng)﹣，或x＝﹣y﹣，
即x﹣y+＝0或x+y+＝0．
22．已知F1，F(xiàn)2為橢圓的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)在橢圓上，且過(guò)點(diǎn)F2的直線l交橢圓于A，B兩點(diǎn)，△AF1B的周長(zhǎng)為．
（Ⅰ）求橢圓E的方程；
（Ⅱ）我們知道拋物線有性質(zhì)：“過(guò)拋物線y2＝2px（p＞0）的焦點(diǎn)為F的弦AB滿足．”那么對(duì)于橢圓E，問(wèn)否存在實(shí)數(shù)λ，使得|AF2|+|BF2|＝λ|AF2|?|BF2|成立，若存在求出λ的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
【分析】（Ⅰ）利用橢圓的定義，結(jié)合三角形的周長(zhǎng)，求出a，設(shè)出橢圓方程，代入點(diǎn)的坐標(biāo)求解即可點(diǎn)的橢圓方程．
（Ⅱ）求出F2（1，0），設(shè)直線l的方程為x＝my+1，與橢圓方程聯(lián)立，設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），利用韋達(dá)定理，不妨設(shè)y1＞0，y2＜0，求出|AF2|，|BF2|，化簡(jiǎn)整理即可求出．
【解答】解：（Ⅰ）根據(jù)橢圓的定義，可得|AF1|+|AF2|＝2a，|BF1|+|BF2|＝2a，
∴△AF1B的周長(zhǎng)為|AF1|+|BF1|+|AB|＝|AF1|+|BF1|+|AF2|+|BF2|＝4a，
∴，，
∴橢圓E的方程為，
將代入得b2＝2，
所以橢圓的方程為．
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知4c2＝a2﹣b2＝1，得F2（1，0），依題意可知直線l的斜率不為0，故可設(shè)直線l的方程為x＝my+1，
消去x，整理得（2m2+3）y2+4my﹣4＝0，
設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），
則，，
不妨設(shè)y1＞0，y2＜0，
，
同理，
所以，
＝，
＝
即，
所以存在實(shí)數(shù)，使得|AF2|+|BF2|＝λ|AF2|?|BF2|成立．
[B組]—強(qiáng)基必備
1．已知橢圓E：＝1（a＞b＞0）的離心率為，且過(guò)點(diǎn)，直線l：y＝kx+m交橢圓E于不同的兩點(diǎn)A，B，設(shè)線段AB的中點(diǎn)為M．
（1）求橢圓E的方程；
（2）當(dāng)△AOB的面積為（其中O為坐標(biāo)原點(diǎn)）且4k2﹣4m2+3≠0時(shí)，試問(wèn)：在坐標(biāo)平面上是否存在兩個(gè)定點(diǎn)C，D，使得當(dāng)直線l運(yùn)動(dòng)時(shí)，|MC|+|MD|為定值？若存在，求出點(diǎn)C，D的坐標(biāo)和定值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
【分析】（1）利用橢圓的離心率為，則a2：b2：c2＝4：3：1，設(shè)出橢圓E：又橢圓過(guò)點(diǎn)，然后求解橢圓方程．
（2）當(dāng)直線l的斜率存在時(shí)，設(shè)其方程為y＝kx+m，并設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），聯(lián)立方程，利用韋達(dá)定理以及判別式，弦長(zhǎng)公式點(diǎn)到直線的距離公式表示三角形的面積，結(jié)合mk的關(guān)系，求解|MC|+|MD|為定值．
【解答】解：（1）由于橢圓的離心率為，則a2：b2：c2＝4：3：1，
故橢圓E：又橢圓過(guò)點(diǎn)，
從而，
從而橢圓E的方程為．
（2）當(dāng)直線l的斜率存在時(shí)，設(shè)其方程為y＝kx+m，并設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），
聯(lián)立方程，得（3+4k2）x2+8kmx+4m2﹣12＝0，
則
從而，從而點(diǎn)M的坐標(biāo)為
由于，
點(diǎn)O到直線l的距離為，
則△AOB的面積，
由題得：，
從而化簡(jiǎn)得：3（4k2+3）2﹣16m2（4k2+3）+16m4＝0，
故[（4k2+3）﹣4m2][3（4k2+3）﹣4m2]＝0，即或，
又由于4k2﹣4m2+3≠0，從而．
當(dāng)時(shí)，由于，，
從而，
即點(diǎn)M在橢圓上．
由橢圓的定義得，存在點(diǎn)，或，，
使得|MC|+|MD|為定值．
2．如圖，橢圓C1：（a＞b＞0）和圓C2：x2+y2＝b2，已知圓C2將橢圓C1的長(zhǎng)軸三等分，橢圓C1右焦點(diǎn)到右準(zhǔn)線的距離為，橢圓C1的下頂點(diǎn)為E，過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)O且與坐標(biāo)軸不重合的任意直線l與圓C2相交于點(diǎn)A、B．
（1）求橢圓C1的方程；
（2）若直線EA、EB分別與橢圓C1相交于另一個(gè)交點(diǎn)為點(diǎn)P、M．
①求證：直線MP經(jīng)過(guò)一定點(diǎn)；
②試問(wèn)：是否存在以（m，0）為圓心，為半徑的圓G，使得直線PM和直線AB都與圓G相交？若存在，請(qǐng)求出所有m的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
【分析】（1）由圓C2將橢圓C1的長(zhǎng)軸三等分，可得；又橢圓C1右焦點(diǎn)到右準(zhǔn)線的距離為，可得，及a2＝b2+c2即可得出；
（2）①由題意知直線PE，ME的斜率存在且不為0，設(shè)直線PE的斜率為k，則PE：y＝kx﹣1，與橢圓的方程聯(lián)立可得點(diǎn)P的坐標(biāo)，同理可得點(diǎn)M的坐標(biāo)，進(jìn)而得到直線PM的方程，可得直線PM過(guò)定點(diǎn)．
②由直線PE的方程與圓的方程聯(lián)立可得點(diǎn)A的坐標(biāo)，進(jìn)而得到直線AB的方程．假設(shè)存在圓心為（m，0），半徑為的圓G，使得直線PM和直線AB都與圓G相交，則圓心到二直線的距離都小于半徑．即（i），（ii）．得出m的取值范圍存在即可．
【解答】解：（1）由圓C2將橢圓C1的長(zhǎng)軸三等分，∴，則a＝3b．
∴，
又橢圓C1右焦點(diǎn)到右準(zhǔn)線的距離為，
∴，∴b＝1，則a＝3，
∴橢圓方程為．
（2）①由題意知直線PE，ME的斜率存在且不為0，設(shè)直線PE的斜率為k，則PE：y＝kx﹣1，
由得或
∴，
用去代k，得，
，
∴PM：，即，
∴直線PM經(jīng)過(guò)定點(diǎn)．
②由得或
∴，
則直線AB：，
設(shè)，則t∈R，直線PM：，直線AB：y＝5tx，
假設(shè)存在圓心為（m，0），半徑為的圓G，使得直線PM和直線AB都與圓G相交，
則（i），（ii）．
由（i）得對(duì)t∈R恒成立，則，
由（ii）得，對(duì)t∈R恒成立，
當(dāng)時(shí)，不合題意；當(dāng)時(shí)，，得，即，
∴存在圓心為（m，0），半徑為的圓G，使得直線PM和直線AB都與圓G相交，所有m的取值集合為．

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