A．4B．5C．6D．7
【分析】直接利用排列數(shù)公式，得到方程求解m即可．
【解答】解：由，可得m（m﹣1）＝20，解得m＝5．
故選：B．
2． C+C+C＝（ ）
A．CB．CC．CD．C
【分析】根據(jù)題意，由對數(shù)的運算性質+＝，分析可得答案，
【解答】解：根據(jù)題意，C+C+C＝C+＝C+＝，
故選：C．
3．滿足條件A＞C的自然數(shù)n有（ ）
A．7個B．6個C．5個D．4個
【分析】直接根據(jù)排列數(shù)以及組合數(shù)公式求解即可（注意范圍的限制）．
【解答】解：∵A＞C?n（n﹣1）＞?n﹣2＜6
∴n＜8；
∵n≥3；
故n可?。?，4，5，6，7；
即滿足條件A＞C的自然數(shù)n有5個．
故選：C．
4．已知m≥4，C﹣C+C＝（ ）
A．1B．mC．m+1D．0
【分析】借助于組合數(shù)的性質：C+C＝C化簡計算即可．
【解答】解：∵m≥4，
∴C+C﹣C＝C﹣C＝0，
故選：D．
5． 6名同學合影留念，站成兩排三列，則其中甲乙兩人不在同一排也不在同一列的站隊種數(shù)為（ ）
A．288B．144C．360D．180
【分析】根據(jù)題意，分3步進行分析：①在兩排三列共6個位置中任選1個安排甲，②甲乙兩人不在同一排也不在同一列，分析乙的站法，③將剩下的4人安排在其余4個位置，由分步計數(shù)原理計算可得答案．
【解答】解：根據(jù)題意，分3步進行分析：
①在兩排三列共6個位置中任選1個安排甲，有6種情況，
②甲乙兩人不在同一排也不在同一列，則乙的站法有2種，
③將剩下的4人安排在其余4個位置，有A44＝24種情況，
則有6×2×24＝288種站隊方法；
故選：A．
6．某教育局安排4名骨干教師分別到3所農村學校支教，若每所學校至少安排1名教師，且每名教師只能去一所學校，則不同安排方案有（ ）
A．6種B．24種C．36種D．72種
【分析】根據(jù)題意，分2步進行分析：①在4位教師中任選2個，安排到其中1所農村學校，②將剩下的2位教師安排到其他兩個農村學校，由分步計數(shù)原理計算可得答案．
【解答】解：根據(jù)題意，分2步進行分析：
①在4位教師中任選2個，安排到其中1所農村學校，有C42C31＝18種安排方法，
②將剩下的2位教師安排到其他兩個農村學校，有A22＝2種安排方法，
則有18×2＝36種安排方案；
故選：C．
7．將7名抗疫志愿者（4男3女）分成兩組，分配到兩個社區(qū)進行志愿服務．若要求女生不能單獨成組，且每組最多5人，則不同的分配方案共有（ ）
A．36種B．68種C．110種D．104種
【分析】根據(jù)題意，分2步進行分析：①將7名抗疫志愿者分成2組，要求女生不能單獨成組，且每組最多5人，②將分好的2組分配到兩個社區(qū)進行志愿服務，由分步計數(shù)原理計算可得答案．
【解答】解：根據(jù)題意，分2步進行分析：
①將7名抗疫志愿者分成2組，要求女生不能單獨成組，且每組最多5人；
若分為4、3的兩組，有C73﹣1＝34種分組方法，
若分為2、5的兩組，有C72﹣C32＝18種分組方法，
則有34+18＝52種分組方法；
②將分好的2組分配到兩個社區(qū)進行志愿服務，有2種情況，
則有52×2＝104種分配方案；
故選：D．
8．《九章算術》中有一分鹿問題：“今有大夫、不更、簪裊、上造、公士，凡五人，共獵得五鹿．欲以爵次分之，問各得幾何．”在這個問題中，大夫、不更、簪裊、上造、公士是古代五個不同爵次的官員，現(xiàn)皇帝將大夫、不更、簪梟、上造、公士這5人分成3組派去3地執(zhí)行公務（每地至少去一人），則不同的方案有（ ）種．
A．150B．180C．240D．300
【分析】分組人數(shù)為3，1，1，以及2，2，1兩種情況分別求解即可．
【解答】解：由題意知．可分為2種情況討論：
①分組人數(shù)為3，1，1，此時共有種方案
②分組人數(shù)為2，2，1，此時共有種方案
因此一共有60+90＝150種方案．
故選：A．
9．為推進長三角一體化戰(zhàn)略，長三角區(qū)域內5個大型企業(yè)舉辦了一次協(xié)作論壇．在這5個企業(yè)董事長A，B，C，D，E集體會晤之前，除B與E，D與E不單獨會晤外，其他企業(yè)董事長兩兩之間都要單獨會晤．現(xiàn)安排他們在正式會晤的前兩天的上午、下午單獨會晤（每人每個半天最多只進行一次會晤），那么安排他們單獨會晤的不同方法共有（ ）
A．48種B．36種C．24種D．8種
【分析】根據(jù)題意，分析5人可以進行單獨會晤的情況，進而分步進行分析，由分步計數(shù)原理計算可得答案．
【解答】解：根據(jù)題意，5個企業(yè)董事長A，B，C，D，E集體會晤之前，除B與E，D與E不單獨會晤外，
則單獨會晤，共有AB，AC，AD，AE，BC，BD，CD，CE共8種情況，
現(xiàn)在將八場會晤分別安排在兩天的上午和下午進行，每個半天安排兩場會晤同時進行．
因為能同時會晤的共有（AB，CD），（AC，BD），（AD，CE），（AE，BC）和（AB，CE）、（AC，BD），（AD，BC），（AE、CD）兩種情況，
故不同的安排方法共有2×A44＝48種；
故選：A．
10． 2020年春節(jié)期間，一場突如其來的疫情席卷全國，但在災難面前中國人民體現(xiàn)出來的民族凝聚力和“一方有難八方支援”的民族優(yōu)良傳統(tǒng)也是空前的．某醫(yī)院從傳染科選出5名醫(yī)生和4名護士對口支援湖北省某市的A、B、C三所醫(yī)院開展新型冠狀病毒肺炎防治工作，其中A、B醫(yī)院都至少需要1名醫(yī)生和1名護士，C醫(yī)院至少需要2名醫(yī)生和2名護士，則不同的分派方法共有（ ）
A．2160種B．1920種C．960種D．600種
【分析】根據(jù)題意，分2步依次分析4名護士和5名醫(yī)生的安排方法，由分步計數(shù)原理計算可得答案．
【解答】解：根據(jù)題意，分2步進行分析：
①在4名護士中任選2人，安排到C醫(yī)院，有C42＝6種情況，
再將剩下的2人安排到A、B醫(yī)院，有A22＝2種情況，
則護士的安排方法有6×2＝12種；
②將5名醫(yī)生安排到三個醫(yī)院，
若C醫(yī)院安排3人，有C53A22＝20種情況，
若C醫(yī)院安排2人，有C52C32A22＝60種情況，
則醫(yī)生的安排方法有20+60＝80種安排方法，
故有12×80＝960種安排方法．
故選：C．
11．數(shù)獨是源自18世紀瑞士的一種數(shù)學游戲．如圖是數(shù)獨的一個簡化版，由3行3列9個單元格構成．玩該游戲時，需要將數(shù)字1，2，3（各3個）全部填入單元格，每個單元格填一個數(shù)字，要求每一行、每一列均有1，2，3這三個數(shù)字，則不同的填法有（ ）
A．12種B．24種C．72種D．216種
【分析】根據(jù)題意，結合數(shù)表分三步討論每一行數(shù)字的填法，由分步計數(shù)原理計算可得答案．
【解答】解：根據(jù)題意，分3步進行分析：
①將1、2、3三個數(shù)字填入第一行，有A33＝6種情況，
②第二行第一列的數(shù)字與第一行第一列的數(shù)字不同，有2種情況，第二列、第三列只有1種情況，則第二行有1種情況，
③由于前兩行的數(shù)字確定，第三行只有1種情況，
則有6×2×1＝12種不同的填法；
故選：A．
12． 2020年5月22日，國務院總理李克強在發(fā)布的2020年國務院政府工作報告中提出，2020年要優(yōu)先穩(wěn)就業(yè)保民生，堅決打贏脫貧攻堅戰(zhàn)，努力實現(xiàn)全面建成小康社會目標任務．為響應黨中央號召，某單位決定再加派五名工作人員甲、乙、丙、丁、戊去所負責的A，B，C，D四個村小組幫助指導貧困戶脫貧，每個村小組至少派一人，為工作方便，甲不去A小組，乙去B小組，則不同的安排方法有（ ）
A．24B．42C．120D．240
【分析】根據(jù)題意，按甲乙是否安排在一起分2種情況討論，求出每種情況的安排方法數(shù)目，由加法原理計算可得答案．
【解答】解：根據(jù)題意，分2種情況討論：
①甲乙安排在一起，則甲乙都去B村小組，剩下3人去其他三個村小組，有A33＝6種安排方法；
②甲、乙不在同一組，有C52﹣1＝9種分組方法，乙所在的組去B村小組，甲所在的組有2種安排方法，剩下的2組去剩下的其他兩個村小組，有2種安排方法，
則此時有9×2×2＝36種安排方法，
則共有6+36＝42種安排方法；
故選：B．
13．（多選）有四位學生參加三項不同的競賽，則下列說法正確的是（ ）
A．每位學生必須參加一項競賽，則不同的參賽方法有64種
B．每項競賽只許有一位學生參加，則不同的參賽方法有81種
C．每位學生最多參加一項競賽，每項競賽只許有一位學生參加，則不同的參賽方法有24種
D．每位學生只參加一項競賽，每項競賽至少有一位學生參加，則不同的參賽方法有36種
【分析】根據(jù)題意，依次分析選項，
對于A，分析可得，每位學生都有三種參賽方法，由分步計數(shù)原理可得B錯誤，
對于B，由于每一項競賽可以挑4名不同的學生，由分步計數(shù)原理可得B錯誤，
對于C，原問題等價于從4個學生中挑選3個學生去參加三個項目的競賽，由排列數(shù)公式計算可得C正確；
對于D，先把四個學生分成三組，再分配到三個比賽中，由分步計數(shù)原理可得D正確，
即可得答案．
【解答】解：根據(jù)題意，依次分析選項：
對于A，每位學生必須參加一項競賽，則每位學生都有三種參賽方法，故四位學生有N＝3×3×3×3＝34＝81種．A不正確；
對于B，每項競賽只許有一位學生參加，每一項可以挑4名不同的學生，故有N＝4×4×4＝43＝64種．B不正確；
對于C，原問題等價于從4個學生中挑選3個學生去參加三個項目的競賽，每人參加一項，故共有4×3×2＝24種，C正確；
對于D，先把四個學生分成三組，再分配到三個比賽中，故共有種．D正確；
故選：CD．
14．（多選）為響應政府部門疫情防控號召．某紅十字會安排甲乙丙丁4名志愿者分別奔赴A，B，C三地參加防控工作，下列選項正確的是（ ）
A．若恰有一地無人去，則共有42種不同的安排方法
B．共有64種不同的安排方法
C．若甲乙兩人不能去A地，且每地均有人去，則共有44種不同的安排方法
D．若該紅十字會又計劃為這三地捐贈20輛救護車（救護車相同），且每地至少安排一輛，則共有171種不同的安排方法
【分析】根據(jù)題意，依次分析選項是否正確，綜合可得答案．
【解答】解：根據(jù)題意，依次分析選項：
對于A，若恰有一地無人去，需要先在3地中選出2個地方，將4人安排到這兩個地方，有C32（24﹣2）＝42種選取方法，A正確；
對于B，安排甲乙丙丁4名志愿者分別奔赴A，B，C三地參加防控工作，每人有3種安排方法，則有3×3×3×3＝81種安排方法，B錯誤；
對于C，根據(jù)題意，需要將4人分為3組，
若甲乙在同一組，有1種分組方法，則甲乙所在的組不能去A地，有2種情況，剩余2組安排到其余2地，有A22＝2種情況，此時有2×2＝4種安排方法；
若甲乙不在同一組，有C42﹣1＝5種分組方法，若甲乙兩人不能去A地，只能安排沒有甲乙的1組去A地，甲乙所在的兩組安排到B、C兩地，有A22＝2種情況，此時有5×2＝10種安排方法；
則一共有4+10＝14種安排方法，C錯誤；
對于D，只需要將20輛救護車排成一排，在19個空位中插入擋板，就可以將20輛救護車分為3組，依次對應A，B，C三地即可，有C192＝171種安排方法；
故選：AD．
15．若，則正整數(shù)n＝ ．
【分析】由題意利用排列數(shù)、組合數(shù)公式，求出n的值．
【解答】解：若，則6×＝n（n﹣1）（n﹣2），求得n＝5，
故答案為：5．
16．已知，則＝ ．
【分析】利用排列數(shù)的計算公式可得n，再利用組合數(shù)的計算公式及其性質即可得出．
【解答】解：∵，∴2n?（2n﹣1）?（2n﹣2）＝10n（n﹣1）（n﹣2），n≥3，
化為：2（2n﹣1）＝5（n﹣2），
解得n＝8．
則＝++＝+＝＝．
故答案為：．
17．北京《財富》全球論壇期間，某高校有8名志愿者參加接待工作．若每天排早、中、晚三班，每班至少2人，每人每天必須值一班且只值一班，則開幕式當天不同的排班種數(shù)為 ．
【分析】根據(jù)題意，分2步進行分析：①將8名志愿者分成3組，②將分好的三組安排到早、中、晚三班，由分步計數(shù)原理計算可得答案．
【解答】解：根據(jù)題意，分2步進行分析：
①將8名志愿者分成3組，
若分為4、2、2的三組，有＝210種分組方法，
若分為3、3、2的三組，有＝280種分組方法，
則一共有210+280＝490種分組方法，
②將分好的三組安排到早、中、晚三班，有A33＝6種情況，
則有490×6＝2940種不同的排班種數(shù)；
故答案為：2940
18．從集合A＝{1，2，3，4，5，6，7，8，9，10}中任取3個數(shù)構成遞增的等比數(shù)列，則這樣的不同的等比數(shù)列共有 種．
【分析】根據(jù)題意，列舉所有可能的遞增等比數(shù)列的情況，即可得答案．
【解答】解：根據(jù)題意，從集合A＝{1，2，3，4，5，6，7，8，9，10}中任取3個數(shù)構成遞增的等比數(shù)列，
有1、2、4，2、4、8，1、3、9，4、6、9；共4種情況，即有4個不同的等比數(shù)列；
故答案為：4．
19．將5個不同的小球全部放入編號為1，2，3，4的四個盒子中，若每個盒子中所放的球的個數(shù)不大于其編號數(shù)，則共有 種不同的放法．
【分析】根據(jù)題意，按放入小球的盒子的數(shù)目進行分類討論，求出每種情況下的放法數(shù)目，由加法原理計算可得答案．
【解答】解：根據(jù)題意，分3種情況討論：
①四個盒子中都放入小球，需要將5個小球分為4組，即2、1、1、1的四組，2個小球的一組只能放在編號為2，3，4的三個盒子，剩下的三組可以放進任意的盒子中，則有C52C31A33＝180種放法；
②有3個盒子中放入小球，先將5個小球分為3組，
若分為3、1、1的三組，3個小球的一組只能放在編號為3，4的兩個盒子，剩下的2組可以放進任意的盒子中，有C53C21A32＝120種放法，
若分為2、2、1的三組，2個小球的一組只能放在編號為2，3，4的三個盒子，剩下的1組可以放進任意的盒子中，有C52C32A32C21＝180種放法，
此時有120+180＝300種放法；
③有2個盒子中放入小球，先將5個小球分為2組，
若分為3、2的兩組，3個小球的一組只能放在編號為3，4的兩個盒子，剩下的1組有2種放法，有C52×4＝40種放法，
若分為1、4的兩組，4個小球的一組只能放在編號為4的盒子，剩下的1組可以放進任意的盒子中，有C54×3＝15種放法，
此時有40+15＝55種放法；
則有180+300+55＝535種放法；
故答案為：535
20．現(xiàn)準備將6本不同的書全部分配給5個不同的班級，其中甲乙兩個班級每個班至少2本，其他班級允許1本也沒有，則不同的分配方案有 種．（用數(shù)字作答）
【分析】根據(jù)題意，按5個班級分得的數(shù)目不同分7種情況討論，求出每種情況下的分配方案數(shù)目，由加法原理計算可得答案．
【解答】解：根據(jù)題意，分7種情況討論：
①甲分得2本，乙分得2本，剩下3個班級中有2個分得1本，有C62C42A32＝540種分配方案，
②甲分得2本，乙分得2本，剩下3個班級中有1個分得2本，有C62C42C31＝270種分配方案，
③甲分得3本，乙分得2本，剩下3個班級中有1個分得1本，有C63C32C31＝180種分配方案，
④甲分得2本，乙分得3本，剩下3個班級中有1個分得1本，有C63C32C31＝180種分配方案，
⑤甲分得4本，乙分得2本，有C64＝15種分配方案，
⑥甲分得2本，乙分得4本，有C64＝15種分配方案，
⑦甲分得3本，乙分得3本，有C63＝20種分配方案，
則一共有540+270+180+180+15+15+20＝1220種分配方案，
故答案為：1220
21． 2020年初，湖北面臨醫(yī)務人員不足和醫(yī)療物資緊缺等諸多困難，廈門人民心系湖北，志愿者紛紛馳援，若將甲、乙、丙、丁4名醫(yī)生志愿者分配到A，B兩家醫(yī)院（每人去一家，每家醫(yī)院至少安排1人），且甲醫(yī)生不安排在A醫(yī)院，則共有 種分配方案．
【分析】根據(jù)題意，按去乙醫(yī)院的人數(shù)分3種情況討論，求出每種情況下安排方法數(shù)目，由加法原理計算可得答案．
【解答】解：根據(jù)題意，甲醫(yī)生不安排在A醫(yī)院，則甲只能去乙醫(yī)院，則分3種情況討論：
①甲單獨在乙醫(yī)院，則剩下3人去甲醫(yī)院，有1種安排方法，
②甲和其中1人在乙醫(yī)院，則剩下2人去甲醫(yī)院，有C31＝3種安排方法，
③甲和其中2人在乙醫(yī)院，則剩下1人去甲醫(yī)院，有C32＝3種安排方法，
則一共有1+3+3＝7種分配方案；
故答案為：7
22．我市VR大會展廳前廣場改造，在人行道（斑馬線）兩側劃分5塊區(qū)域（如圖），現(xiàn)有四種不同顏色的花卉，要求每塊區(qū)域隨機種植一種顏色的花卉，且相鄰區(qū)域（有公共邊的區(qū)域）所選花卉顏色不能相同，則不同的擺放方式共有 種．
【分析】根據(jù)題意，分2步討論區(qū)域①②和區(qū)域③④⑤的擺放方式數(shù)目，由分步計數(shù)原理計算可得答案．
【解答】解：根據(jù)題意，對于區(qū)域①②，可以在4種顏色中任選2個，有A42＝12種選法，
對于區(qū)域③④⑤，可以在4種顏色中任選2個，有A43＝24種選法，
則不同的擺放方式有12×24＝288種．
故答案為：288．
23．兩對夫妻準備周末出去旅游，有甲、乙、丙、丁四輛順風車可以搭乘，其中甲、乙兩車每輛最可搭乘兩人，丙、丁兩車每輛最多可搭乘一人，不是夫妻的兩個人不能搭乘同一輛車，若不考慮座位順序，且這兩對夫妻都要坐上車，則不同的搭乘方案共有 種．
【分析】根據(jù)題意，按照4人使用順風車的數(shù)量分3種情況討論，求出每種情況下的搭乘方案數(shù)目，由加法原理計算可得答案．
【解答】解：根據(jù)題意，分3種情況討論：
①當四人使用2輛順風車時，有A22＝2種搭乘方案，
②當四人使用3輛順風車時，有C21C21A32＝24種搭乘方案，
③當四人使用4輛順風車時，有A44＝24種搭乘方案，
則有2+24+24＝50種搭乘方案，
故答案為：50
24．中國古典數(shù)學有完整的理論體系，其代表作有《算數(shù)書》《九章算術》《周髀算經(jīng)》《孫子算經(jīng)》等，有3名中學生計劃去圖書館閱讀這四種古典數(shù)學著作（這四種著作每種各一本），要求每人至少閱讀一種古典數(shù)學著作，每種古典數(shù)學著作只有一人閱讀，則不同的閱讀方案的總數(shù)有
種．（請用數(shù)字作答）
【分析】根據(jù)題意，分2步進行分析：先將4本著作分為3組，再將分好的三組全排列，分配給3人，由分步計數(shù)原理計算可得答案．
【解答】解：根據(jù)題意，分2步進行分析：
①將4本著作分為3組，有C42＝6種分法，
②將分好的三組全排列，分配給3人，有A33＝6種情況，
則有6×6＝36種不同的閱讀方案；
25． 2020年10月，第18屆世界中學生運動會將在福建省晉江市舉辦．現(xiàn)將4名同學全部分配到運動會的田徑、游泳和球類3個不同比賽項目做志愿者，共有 種不同分配方案；若每個項目至少需要1名志愿者，則不同的分配方案有 種（用數(shù)字作答）．
【分析】對于第一空：分析可得每個學生都有3種分配方法，由分步計數(shù)原理計算可得答案；
對于第二空：分2步進行分析：①先將4名同學分成3組，②將分好的三組全排列，安排到3個不同比賽項目，由分步計數(shù)原理計算可得答案．
【解答】解：對于第一空：每個學生都可以被分配到運動會的田徑、游泳和球類3個不同比賽項目中的一個，
有3種分配方法，
則4名同學有3×3×3×3＝81種分配方法；
對于第二空：分2步進行分析：
①先將4名同學分成3組，有C42＝6種分組方法，
②將分好的三組全排列，安排到3個不同比賽項目，有A33＝6種情況，
則有6×6＝36種不同的分配方案；
故答案為：81，36
26．十二生肖，又叫屬相，是與十二地支相配以人出生年份的十二種動物，包括鼠、牛、虎、兔、龍、蛇、馬、羊、猴、雞、狗、豬，十二生肖的起源與動物崇拜有關．據(jù)湖北云夢睡虎地和甘肅天水放馬灘出土的秦簡可知，先秦時期即有比較完整的生肖系統(tǒng)存在．現(xiàn)有6名學生的屬相均是龍、蛇、馬中的一個，若每個屬相至少有一人，則不同的情況共有 種．
【分析】根據(jù)題意，分2步進行計算：①將6名學生分為3組，②將分好的三組全排列，對應三個不同的屬相，由分步計數(shù)原理計算可得答案．
【解答】解：根據(jù)題意，分2步進行計算：
①將6名學生分為3組，
若三組的人數(shù)為2、2、2，有＝15種不同的分組方法，
若三組的人數(shù)為1、2、3，有C61C52C33＝60種不同的分組方法，
若三組的人數(shù)為1、1、4，有＝15種不同的分組方法，
則有15+60+15＝90種不同的分組方法，
②將分好的三組全排列，對應三個不同的屬相，有A33＝6種情況，
則有90×6＝540種不同的情況，
故答案為：540
27．如果一個整數(shù)的各位數(shù)字是左右對稱的，則稱這個數(shù)是對稱數(shù)．例：1234321、123321等．顯然，2位數(shù)的對稱數(shù)有9個，即11，22，33，…，99，則三位數(shù)的對稱數(shù)有 個，2n+1（n∈N*）位數(shù)的對稱數(shù)有 個．
【分析】根據(jù)題意，對于三位數(shù)的對稱數(shù)，先分析其百位和個位數(shù)字的選法，再分析十位數(shù)字的情況，由分步計數(shù)原理計算可得答案；
對于2n+1（n∈N*）位數(shù)的對稱數(shù)，先分析其百位和個位數(shù)字的選法，再分析其倒數(shù)第2位數(shù)字到第n+1位數(shù)字的情況數(shù)目，由分步計數(shù)原理計算可得答案．
【解答】解：根據(jù)題意，對于三位數(shù)的對稱數(shù)，其百位和個位數(shù)字相同，都不能為0，有9種選法，
其十位數(shù)字可以為任意的數(shù)字，有10種選法，
則三位數(shù)的對稱數(shù)有9×10＝90個，
對于2n+1（n∈N*）位數(shù)的對稱數(shù)，其首位和個位數(shù)字相同，都不能為0，有9種選法，
倒數(shù)第2位數(shù)字到第n+1位數(shù)字都可以為任意的數(shù)字，有10種選法，
則2n+1（n∈N*）位數(shù)的對稱數(shù)有9×10n個；
故答案為：90，9×10n
28．某系列智能手機玻璃版有“星河銀”、“羅蘭紫”、“翡冷翠”、“亮黑色”四種顏色．若甲、乙等四位市民準備分別購買一部顏色互不相同的同一型號玻璃版的該系列手機．若甲購買“亮黑色”或“星河銀”，則乙不購買“羅蘭紫”，則這四位市民不同的購買方案有 種．
【分析】根據(jù)題意，根據(jù)題意，分2種情況討論：①若甲購買“亮黑色”或“星河銀”，②若甲不購買“亮黑色”或“星河銀”，每種情況中依次分析甲、乙和剩下的2人的選擇方法數(shù)目，由分步計數(shù)原理計算可得答案．
【解答】解：根據(jù)題意，分2種情況討論：
①若甲購買“亮黑色”或“星河銀”，則甲有2種選擇方法，
還剩下3種顏色，又由乙不購買“羅蘭紫”，乙也有2種選擇方法，
還剩下2種顏色，剩下的2人選擇剩下的2種顏色，有A22＝2種選擇方法，
則此時有2×2×2＝8種購買方案；
②若甲不購買“亮黑色”或“星河銀”，則甲有2種選擇方法，
還剩下3種顏色，由其他三人購買，有A33＝6種選擇方法，
則此時有2×6＝12種選擇方法，
則一共有8+12＝20種不同的購買方案；
故答案為：20
29．現(xiàn)有大小相同的7只球，其中2只不同的紅球，2只不同的白球，3只不同的黑球．
（1）將這7只球排成一列且相同顏色的球必須排在一起，有多少種排列的方法？（請用數(shù)字作答）
（2）將這7只球分成三堆，三堆的球數(shù)分別為：1，3，3，共有多少種分堆的方法？（請用數(shù)字作答）
【分析】（1）根據(jù)題意，用捆綁法分析：將三種顏色的球都分別看成整體，再將三個整體之間進行排列，由分步計數(shù)原理計算可得答案；
（2）根據(jù)題意，由平均分組和不平均分組公式直接計算可得答案；
【解答】解：（1）根據(jù)題意，將2只不同的紅球看成一個整體，有A22＝2種順序，
2只不同的白球，有A22＝2種順序，
3只不同的黑球，有A33＝6種順序，
三個整體之間進行排列，有A33＝6種情況
則有2×2×6×6＝144種排法；
（2）根據(jù)題意，將這7只球分成1，3，3的三堆，有＝70種排法；
30．為弘揚我國古代的“六藝”文化，某夏令營主辦單位計劃利用暑期開設“禮”、“樂”、“射”、“御”、“書”、“數(shù)”六門體驗課程，
（1）若體驗課連續(xù)開設六周，每周一門，求其中“射”不排在第一周，“數(shù)”不排在最后一周的所有可能排法種數(shù)；
（2）甲、乙、丙、丁、戊五名教師任教這六門課程，每名教師至少任教一門課程，求其中甲不任教“數(shù)”的課程安排方案種數(shù)．
【分析】（1）根據(jù)題意，按“射”的安排時間分2種情況討論：①“射”排在最后一周，剩下的課程沒有限制，②“射”不排在最后一周，由加法原理計算可得答案；
（2）根據(jù)題意，按甲教的科目多少分2種情況討論：①甲教兩科，②甲教一科，由加法原理計算可得答案．
【解答】解：（1）根據(jù)題意，分2種情況討論：
①“射”排在最后一周，剩下的課程沒有限制，有A55＝120種排法；
②“射”不排在最后一周，則“射”有4種安排方法，“數(shù)”也有4種安排方法，剩下的4課課程全排列，有A44＝24種排法，
則此時有4×4×24＝384種；
故有120+384＝504種不同的排法；
（2）根據(jù)題意，分2種情況討論：
①甲教兩科時，有C52A44＝240種安排方案；
②甲教一科時，有C51C52A44＝1200種安排方案；
故有240+1200＝1440種不同的安排方案．
[B組]—強基必備
1．如圖所示，將33×33方格紙中每個小方格染三種顏色之一，使得每種顏色的小方格的個數(shù)相等．若相鄰兩個小方格的顏色不同，稱他們的公共邊為“分割邊”，則分割邊條數(shù)的最小值為（ ）
A．33B．56C．64D．78
【分析】記分隔邊的條數(shù)L，首先將方格按照按圖分三個區(qū)域，分別染成三種顏色，粗線上均為分隔邊，將方格的行從上至下依次記A1，A2，…，A33，列從左至右依次記為B1，B2，…，B33，行cj中方格出現(xiàn)的顏色數(shù)記n（Ai），列Bi中方格出現(xiàn)的顏色個數(shù)記n（Bi），三種顏色分別記c1，c2，c3，對于一種顏色cj，設n（cj）為含色方格的行數(shù)與列數(shù)之和，定義當Ai行含cj色方格時，δ（Ai，cj）＝1，否則δ（Ai，cj）＝0，類似的定義δ（Bi，cj），計算得，再證n（cj）≥39（j＝1，2，3），再證明對任意1≤n≤33均有n（Ai）≥2，n（Bi）≥2，最后求出分隔邊條數(shù)的最小值．
【解答】解：記分隔邊的條數(shù)L，首先將方格按照按圖分三個區(qū)域，分別染成三種顏色，粗線上均為分隔邊，
此時共有56條分隔邊，即L≥56
將方格的行從上至下依次記A1，A2，…，A33，列從左至右依次記為B1，B2，…，B33，行cj中方格出現(xiàn)的顏色數(shù)記n（Ai），列Bi中方格出現(xiàn)的顏色個數(shù)記n（Bi），三種顏色分別記c1，c2，c3，對于一種顏色cj，設n（cj）為含色方格的行數(shù)與列數(shù)之和，定義當Ai行含cj色方格時，δ（Ai，cj）＝1，否則δ（Ai，cj）＝0，類似的定義δ（Bi，cj），所以，由于染cj色的格有
設含有cj色方格的行有a個，列有b個，
則cj色的方格一定在這a行b列的交叉方格中，
從而ab≥363，
所以，則n（cj）≥39（j＝1，2，3）①，
由于在行Ai中有n（Ai）種顏色的方格，于是至少有n（Ai）﹣1條分隔邊，
類似的，在列Bi中有n（Bi）種顏色的方格，于是至少有n（Bi）﹣1條分隔邊，
則②
＝③
下面分兩種情形討論，
（1）有一行或一列所有方格同色，
不妨設有一行均為c1色，則方格的33列均含有c1的方格，又c1色的方格有363個，故至少有11行c1色方格，于是n（c1）≥11+33＝44④
由①③④得L≥n（c1）+n（c2）+n（c3）﹣66≥44+39+39﹣66＝56，
（2）沒有一行也沒有一列的所有方格同色，
則對任意1≤i≤33均有n（Ai）≥2，n（Bi）≥2，
從而，由式②知：，
綜上，分隔邊條數(shù)的最小值為56．
故選：B．
2．已知集合A＝{x1，x2，x3，x4，x5，x6}，函數(shù)f（x）定義于A并取值于A．（用數(shù)字作答）
（1）若f（x）≠x對于任意的x∈A成立，則這樣的函數(shù)f（x）有 個；
（2）若至少存在一個x∈A，使f[f[f（x）]]≠x，則這樣的函數(shù)f（x）有 個．
【分析】（1）若f（x）≠x對于任意的x∈A成立，所以每一個x，可以對應除它本身之外5個元素之中的一個，利用分步乘法原理可得結果；
（2）從反面來研究，找到對任意在一個x∈A，使f[f[f（x）]]＝x的總數(shù)，然后用沒有限制下的總數(shù)減去即可．
【解答】解：（1）若f（x）≠x對于任意的x∈A成立，則每一個x，
可以對應除它本身之外5個元素之中的一個，
利用分步乘法原理，每一個x，都有5種結果可以與它對應，
故這樣的函數(shù)有5×5×5×5×5×5＝56＝15625個；
（2）若對任意在一個x∈A，使f[f[f（x）]]＝x，
當f（xi）＝xi時，符合f[f[f（x）]]＝x，有1個；
當f（xi）＝xj，f（xj）＝xk，f（xk）＝xi，i，j，k兩兩不等時，符合題意，此時有個，
故若對任意在一個x∈A，使f[f[f（x）]]＝x，這樣的函數(shù)有81個，
若至少存在一個x∈A，使f[f[f（x）]]≠x，則這樣的函數(shù)f（x）有66﹣81＝46575個．
故答案為：15625；46575．
3．有5個匣子，每個匣子有一把鑰匙，并且鑰匙不能通用，如果在每一個匣子內各放入一把鑰匙，然后把匣子全部鎖上，要求砸開一個匣子后，能繼續(xù)用鑰匙打開其余4個匣子，那么鑰匙的放法有 種．
【分析】依題意，砸開一個匣子后，能繼續(xù)用鑰匙打開其余4個匣子，即每個匣子都不能存放打開本身，根據(jù)圓排列或項鏈排列即可得到結果．
【解答】解：在砸開的匣子中必放有另一個匣子i1的鑰匙，在匣子i1中又放有匣子i2的鑰匙，在匣子i2中放有匣子i3的鑰匙，在匣子i3中放有匣子i4的鑰匙，在匣子i4中放有被砸開的匣子的鑰匙．記這個砸開的匣
子為is．這就相當于1，2，3，4，5形成一個環(huán)狀排列，
反過來，對由1，2，3，4，5排成的每一種環(huán)狀排列，也就可以對應成一種相繼打開各個匣子的一種放
鑰匙的方法．先讓5個匣子沿著圓環(huán)對號入座，再在每個匣子中放入其下方的匣子的鑰匙（如圖），這就得到種相繼打開各個匣子的放鑰匙的方法．所以，可使所有匣子相繼打開的放鑰匙的方法數(shù)恰與1，2，3，4，5的環(huán)狀排列數(shù)相等，
由于每個環(huán)狀排列（如圖）可以剪開拉直為5個排列：i1，i2，i3，i4，i5；i2，i3，i4，i5，i1；i3，i4，i5，i1，i2；i4，i5，i1，i2，i3；i5，i1，i2，i3，i4；
反之，5個這樣的排列對應著一個環(huán)狀排列，因而5個元素的環(huán)狀排列數(shù)為：4!＝24（種）
一般地，n個元素的環(huán)狀排列數(shù)為（n﹣1）!種
故答案為：24
4．用n種不同顏色為下側兩塊廣告牌著色（如圖甲、乙所示），要求在①、②、③、④四個區(qū)域中相鄰（有公共邊界）的區(qū)域不用同一種顏色．
（1）若n＝6，為甲著色時共有多少種不同方法？
（2）若為乙著色時共有120種不同方法，求n．
【分析】（1）根據(jù)題意，分分四個步驟來完成著色，即依次考慮為①、②、③、④著色時各自的方法數(shù)，由乘法原理計算可得答案．
（2）分析與（1）的不同，其區(qū)別在于與④相鄰的區(qū)域由兩塊變成了三塊，由（1）的思路可得，n（n﹣1）（n﹣2）（n﹣3）＝120；計算可得答案．
【解答】解：（1）完成著色這件事，共分四個步驟，即依次考慮為①、②、③、④著色時各自的方法數(shù)，
為①著色有6種方法，
為②著色有5種方法，
為③著色有4種方法，
為④著色也只有4種方法．
∴共有著色方法6×5×4×4＝480種．
（2） 與（1）的區(qū)別在于與④相鄰的區(qū)域由兩塊變成了三塊，
同理，不同的著色方法數(shù)是n（n﹣1）（n﹣2）（n﹣3）．
由n（n﹣1）（n﹣2）（n﹣3）＝120
∴（n2﹣3n）（n2﹣3n+2）﹣120＝0，
即（n2﹣3n）2+2（n2﹣3n）﹣12×10＝0，
∴n2﹣3n﹣10＝0，
∴n＝5．

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