知識梳理
1．證明問題
代數(shù)轉(zhuǎn)化法：圓錐曲線中的證明問題多涉及幾何量的證明，比如涉及線段或角相等以及位置關(guān)系等等．證明時，常把幾何量用坐標表示，建立某個變量的函數(shù)，用代數(shù)方法證明.
2.探究、存在性問題
存在性問題的解法：先假設(shè)存在，用待定系數(shù)法設(shè)出，列出關(guān)于待定系數(shù)的方程組，推證滿足條件的結(jié)論，若方程組有實數(shù)解，則元素(點、直線、曲線或參數(shù))存在；否則，元素(點、直線、曲線或參數(shù))不存在．要注意的是：(1)當條件和結(jié)論不唯一時要分類討論；(2)當給出結(jié)論而要推導(dǎo)出存在的條件時，先假設(shè)成立，再推出條件；(3)當條件和結(jié)論都不知，按常規(guī)方法解題很難時，要開放思維，采取另外合適的方法.
題型歸納
題型1證明問題
【例1-1】設(shè)橢圓C：eq \f(x2,2)＋y2＝1的右焦點為F，過F的直線l與C交于A，B兩點，點M的坐標為(2,0)．
(1)當l與x軸垂直時，求直線AM的方程；
(2)設(shè)O為坐標原點，證明：∠OMA＝∠OMB.
[解] (1)由已知得F(1,0)，l的方程為x＝1.
則點A的坐標為eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，\f(\r(2),2)))或eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，－\f(\r(2),2))).
又M(2,0)，
所以直線AM的方程為y＝－eq \f(\r(2),2)x＋eq \r(2)或y＝eq \f(\r(2),2)x－eq \r(2)，
即x＋eq \r(2)y－2＝0或x－eq \r(2)y－2＝0.
(2)證明：當l與x軸重合時，∠OMA＝∠OMB＝0°.
當l與x軸垂直時，OM為AB的垂直平分線，
所以∠OMA＝∠OMB.
當l與x軸不重合也不垂直時，設(shè)l的方程為
y＝k(x－1)(k≠0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，
則x1b>0)經(jīng)過點Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，\f(3,2)))，離心率e＝eq \f(1,2)，直線l的方程為x＝4.
(1)求橢圓C的方程；
(2)AB是經(jīng)過右焦點F的任一弦(不經(jīng)過點P)，設(shè)直線AB與直線l相交于點M，記直線PA，PB，PM的斜率分別為k1，k2，k3.問：是否存在常數(shù)λ，使得k1＋k2＝λk3？若存在，求出λ的值；若不存在，請說明理由．
[解] (1)由題意得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(1,a2)＋\f(9,4b2)＝1，,\f(c,a)＝\f(1,2)，,b2＋c2＝a2，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a2＝4，,b2＝3，,c2＝1，))
故橢圓C的方程為eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,3)＝1.
(2)由題意可設(shè)直線AB的斜率為k，
則直線AB的方程為y＝k(x－1)，①
代入橢圓方程，并整理，得(4k2＋3)x2－8k2x＋4(k2－3)＝0，
設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，且x1≠x2≠1，
則x1＋x2＝eq \f(8k2,4k2＋3)，x1x2＝eq \f(4?k2－3?,4k2＋3)，②
在方程①中令x＝4，得點M的坐標為(4,3k)．
從而k1＝eq \f(y1－\f(3,2),x1－1)，k2＝eq \f(y2－\f(3,2),x2－1)，k3＝eq \f(3k－\f(3,2),4－1)＝k－eq \f(1,2).
因為A，F(xiàn)，B三點共線，所以k＝kAF＝kBF，
即eq \f(y1,x1－1)＝eq \f(y2,x2－1)＝k，
所以k1＋k2＝eq \f(y1－\f(3,2),x1－1)＋eq \f(y2－\f(3,2),x2－1)＝eq \f(y1,x1－1)＋eq \f(y2,x2－1)－eq \f(3,2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,x1－1)＋\f(1,x2－1)))＝2k－eq \f(3,2)·eq \f(x1＋x2－2,x1x2－?x1＋x2?＋1)，③
將②代入③得，
k1＋k2＝2k－eq \f(3,2)·eq \f(\f(8k2,4k2＋3)－2,\f(4?k2－3?,4k2＋3)－\f(8k2,4k2＋3)＋1)＝2k－1，
又k3＝k－eq \f(1,2)，所以k1＋k2＝2k3.
故存在常數(shù)λ＝2符合題意．
【跟蹤訓(xùn)練2-1】已知橢圓C：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的兩個焦點分別為F1，F(xiàn)2，短軸的一個端點為P，△PF1F2內(nèi)切圓的半徑為eq \f(b,3)，設(shè)過點F2的直線l被橢圓C截得的線段為RS，當l⊥x軸時，|RS|＝3.
(1)求橢圓C的標準方程；
(2)在x軸上是否存在一點T，使得當l變化時，總有TS與TR所在直線關(guān)于x軸對稱？若存在，請求出點T的坐標；若不存在，請說明理由．
【解】(1)由內(nèi)切圓的性質(zhì)，得
eq \f(1,2)×2c×b＝eq \f(1,2)×(2a＋2c)×eq \f(b,3)，
所以eq \f(c,a)＝eq \f(1,2).
將x＝c代入eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1，
得y＝±eq \f(b2,a)，所以eq \f(2b2,a)＝3.
又a2＝b2＋c2，所以a＝2，b＝eq \r(3)，
故橢圓C的標準方程為eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,3)＝1.
(2)當直線l垂直于x軸時，顯然x軸上任意一點T都滿足TS與TR所在直線關(guān)于x軸對稱．
當直線l不垂直于x軸時，假設(shè)存在T(t,0)滿足條件，設(shè)l的方程為y＝k(x－1)，R(x1，y1)，S(x2，y2)．
聯(lián)立eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y＝k?x－1?，,3x2＋4y2－12＝0))消去y，
得(3＋4k2)x2－8k2x＋4k2－12＝0，
由根與系數(shù)的關(guān)系得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x1＋x2＝\f(8k2,3＋4k2)，,x1x2＝\f(4k2－12,3＋4k2)，))①
其中Δ>0恒成立，
由TS與TR所在直線關(guān)于x軸對稱，得kTS＋kTR＝0(顯然TS，TR的斜率存在)，
即eq \f(y1,x1－t)＋eq \f(y2,x2－t)＝0.②
因為R，S兩點在直線y＝k(x－1)上，
所以y1＝k(x1－1)，y2＝k(x2－1)，代入②得
eq \f(k?x1－1??x2－t?＋k?x2－1??x1－t?,?x1－t??x2－t?)
＝eq \f(k[2x1x2－?t＋1??x1＋x2?＋2t],?x1－t??x2－t?)＝0，
即2x1x2－(t＋1)(x1＋x2)＋2t＝0.③
將①代入③得
eq \f(8k2－24－?t＋1?8k2＋2t?3＋4k2?,3＋4k2)
＝eq \f(6t－24,3＋4k2)＝0，
則t＝4，
綜上所述，存在T(4,0)，使得當l變化時，總有TS與TR所在直線關(guān)于x軸對稱．
【名師指導(dǎo)】
1.存在性問題的求解方法
(1)解決存在性問題通常采用“肯定順推法”，將不確定性問題明朗化．一般步驟：
①假設(shè)滿足條件的曲線(或直線、點)等存在，用待定系數(shù)法設(shè)出；
②列出關(guān)于待定系數(shù)的方程(組)；
③若方程(組)有實數(shù)解，則曲線(或直線、點等)存在，否則不存在．
(2)反證法與驗證法也是求解存在性問題常用的方法
2.字母參數(shù)值存在性問題的求解方法

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