2024年新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)達(dá)標(biāo)檢測第36講數(shù)列的綜合應(yīng)用（教師版）-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

A．13B．14C．15D．16
【分析】根據(jù)題意，設(shè)每日所織數(shù)量構(gòu)成數(shù)列，分析可得數(shù)列為成等差數(shù)列，且，，據(jù)此可得數(shù)列的首項(xiàng)與公差，計(jì)算可得答案．
【解答】解：由題意可知，設(shè)每日所織數(shù)量構(gòu)成數(shù)列，則數(shù)列為成等差數(shù)列，且，，
設(shè)其公差為，由，得，解可得，
又由，得，變形可得，則，
故．
故選：．
2．已知數(shù)列的通項(xiàng)公式，為數(shù)列的前項(xiàng)和，滿足，則的最小值為
A．2B．3C．4D．5
【分析】首先把數(shù)列的關(guān)系式進(jìn)行變換，進(jìn)一步利用裂項(xiàng)相消法求和求出數(shù)列的和，解不等式可得所求最小值．
【解答】解：數(shù)列的通項(xiàng)公式，
所以．
由于滿足，
所以，解得，
所以的最小值為5．
故選：．
3．明代數(shù)學(xué)家吳敬所著的《九章算術(shù)比類大全》中，有一道數(shù)學(xué)命題叫“寶塔裝燈”，內(nèi)容為“遠(yuǎn)望魏巍塔七層，紅燈點(diǎn)點(diǎn)倍加增；共燈三百八十一，” “倍加增”指燈的數(shù)量從塔的頂層到底層按公比為2的等比數(shù)列遞增），根據(jù)此詩，可以得出塔的第四層燈的數(shù)量為
A．12B．24C．48D．96
【分析】由題意利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式、前項(xiàng)和公式，求出首項(xiàng)，可得塔的第四層燈的數(shù)量的值．
【解答】解：由題意每一層的燈數(shù)成等比數(shù)列，公比為，
前7項(xiàng)的和為，求得，
故塔的第四層燈的數(shù)量，
故選：．
4．對于數(shù)列，若存在常數(shù)，使對任意，都有成立，則稱數(shù)列是有界的．若有數(shù)列滿足，則下列條件中，能使有界的是
A．B．
C．D．
【分析】通過定義逐項(xiàng)分析真假即可．
【解答】解：對于選項(xiàng)，假設(shè)有界，即存在常數(shù)，對任意，都有，，
則．由于左邊遞增到無窮大，而右邊為常數(shù)，從而項(xiàng)錯誤；
同理，項(xiàng)，錯誤；
對于項(xiàng)，時，，累加可得，，，，顯然不是有界的；
對于選項(xiàng)，，，
累乘可得，，從而，正確．
故選：．
5．已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，，若，則稱項(xiàng)為“和諧項(xiàng)”，則數(shù)列的所有“和諧項(xiàng)”的平方和為
A．B．C．D．
【分析】根據(jù) 得出，然后兩式相減，得出，再然后根據(jù) 得出以及最后根據(jù)“和諧項(xiàng)“的定義得出，通過等比數(shù)列前項(xiàng)和公式求和即可得出結(jié)果．
【解答】解：因?yàn)?，所以，則，即，，
所以，因?yàn)?，所以?br>故，
因?yàn)?，所以?br>于是數(shù)列的所有“和諧項(xiàng)“的平方和為：
，
故選：．
6．如果一個數(shù)列由有限個連續(xù)的正整數(shù)按從小到大的順序組成（數(shù)列的項(xiàng)數(shù)大于，且所有項(xiàng)數(shù)之和為，那么稱該數(shù)列為“型標(biāo)準(zhǔn)數(shù)列”，例如，數(shù)列3，4，5，6，7為“25型標(biāo)準(zhǔn)數(shù)列”，則“5336型標(biāo)準(zhǔn)數(shù)列”的個數(shù)為
A．2B．3C．4D．5
【分析】根據(jù)已知條件“型標(biāo)準(zhǔn)數(shù)列”，則“5336型標(biāo)準(zhǔn)數(shù)列”的公差為1和所有項(xiàng)的和為5336．
【解答】解：由題意知，
，且一奇一偶，
，，，，共三組．
故選：．
7．河南洛陽的龍門石窟是中國石刻藝術(shù)寶庫之一，現(xiàn)為世界文化遺產(chǎn)，龍門石窟與莫高窟、云岡石窟、麥積山石窟并稱中國四大石窟．在龍門石窟的某處“浮雕像”共有7層，每一層的數(shù)量是它下一層的2倍，這些“浮雕像”構(gòu)成一幅優(yōu)美的圖案．已知該處共有1016個“浮雕像”，則正中間那層的“浮雕像”的數(shù)量為
A．508B．256C．128D．64
【分析】根據(jù)題意，假設(shè)從最下層往上“浮雕像”的數(shù)量構(gòu)成一個數(shù)列，分析可得是以2為公比的等比數(shù)列，共有7項(xiàng)且；由等比數(shù)列的前項(xiàng)和公式可得，解可得的值，結(jié)合等比數(shù)列的通項(xiàng)公式計(jì)算可得答案．
【解答】解：根據(jù)題意，假設(shè)從最下層往上“浮雕像”的數(shù)量構(gòu)成一個數(shù)列，
又由“浮雕像”共有7層，每一層的數(shù)量是它下一層的2倍，且該處共有1016個“浮雕像”，則是以2為公比的等比數(shù)列，共有7項(xiàng)且；
則有，解可得，
則正中間那層的“浮雕像”的數(shù)量即；
故選：．
8．設(shè)等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，，則滿足的最小正整數(shù)的值為
A．1010B．1011C．2020D．2021
【分析】根據(jù)題意，由等差數(shù)列的性質(zhì)以及等差數(shù)列的前項(xiàng)公式，可得，，進(jìn)一步得到答案．
【解答】解：根據(jù)題意，等差數(shù)列中，若，，
則，
，
故滿足的最小正整數(shù)的值為2020；
故選：．
9．等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，，，則滿足的
A．50B．51C．100D．101
【分析】由題意和等差數(shù)列的性質(zhì)可得；，進(jìn)而可得，據(jù)此分析可得答案．
【解答】解：根據(jù)題意，等差數(shù)列中，，，
則有，則有；
又由，則有；
則有，
若，必有；
故選：．
10．斐波那契數(shù)列，又稱黃金分割數(shù)列、兔子數(shù)列，是數(shù)學(xué)家列昂多斐波那契于1202年提出的數(shù)列．斐波那契數(shù)列為1，1，2，3，5，8，13，21，，此數(shù)列從第3項(xiàng)開始，每一項(xiàng)都等于前兩項(xiàng)之和，記該數(shù)列為，則的通項(xiàng)公式為
A．
B．，且（1），（2）
C．
D．
【分析】對于，推導(dǎo)出（1）；對于，，且（1），（2），滿足斐波那契數(shù)列；對于，推導(dǎo)出（8）；對于，推導(dǎo)出（2）．
【解答】解：對于，（1），故錯誤；
對于，，且（1），（2），
滿足斐波那契數(shù)列為1，1，2，3，5，8，13，21，，此數(shù)列從第3項(xiàng)開始，每一項(xiàng)都等于前兩項(xiàng)之和，故正確；
對于，（2），
（4），
（8），故錯誤；
對于，（2），故錯誤．
故選：．
11．我國古代數(shù)學(xué)典籍《九章算術(shù)》第七章“盈不足”中有一道兩鼠穿墻問題：“今有垣厚五尺，兩鼠對穿，大鼠日一尺，小鼠日一尺，大鼠日自倍，小鼠日自半，問何日相逢”，翻譯過來就是：有五尺厚的墻，兩只老鼠從墻的兩邊相對分別打洞穿墻，大、小鼠第一天都進(jìn)一尺，以后每天大鼠加倍，小鼠減半，則在第幾天兩鼠相遇．這個問題體現(xiàn)了古代對數(shù)列問題的研究，現(xiàn)將墻的厚度改為130尺，則在第幾天墻才能被打穿？
A．6B．7C．8D．9
【分析】由題意結(jié)合等比數(shù)列的前項(xiàng)和列不等式，然后構(gòu)造函數(shù)，．結(jié)合函數(shù)零點(diǎn)的判定得答案．
【解答】解：設(shè)需要天時間才能打穿，則，
化為：，
令，則（7）．
（8）．
令，．
在內(nèi)存在一個零點(diǎn)．
又函數(shù)在時單調(diào)遞增，因此在內(nèi)存在唯一一個零點(diǎn)．
需要8天時間才能打穿．
故選：．
12．已知等比數(shù)列的公比為3，前項(xiàng)和為，若關(guān)于的不等式有且僅有兩個不同的整數(shù)解，則的取值范圍為
A．，，B．，，
C．，，D．，，
【分析】先通過數(shù)列求和公式把求出來，代入到把不等式中，得到①，再分和兩種情況分類討論，顯然易得是不等式的解，所以當(dāng)時不等式①有且僅有一個解，即有且僅有一個大于等于2的解，令令，作差求的單調(diào)性之后即容易得到，解出來即得答案．
【解答】解：因?yàn)榈缺葦?shù)列的公比，所以，
不等式等價于①，
當(dāng)時，顯然是不等式①的解；
當(dāng)時，，則等價于
，
因?yàn)殛P(guān)于的不等式有且僅有兩個不同的整數(shù)解，
所以當(dāng)時有且僅有一個解，
令，則
，
故在時單調(diào)遞減，
所以，
又因?yàn)椋?），
解得的取值范圍為，，．
故選：．
13．《塵劫記》是在元代的《算學(xué)啟蒙》和明代的《算法統(tǒng)宗》的基礎(chǔ)上編撰的一部古典數(shù)學(xué)著作，其中記載了一個這樣的問題：假設(shè)每對老鼠每月生子一次，每月生12只，且雌雄各半．1個月后，有一對老鼠生了12只小老鼠，一共有14只；2個月后，每對老鼠各生了12只小老鼠，一共有98只．以此類推，假設(shè)個月后共有老鼠只，則．
【分析】依題意得出第個月老鼠與第個月老鼠總數(shù)的關(guān)系，再根據(jù)等比數(shù)列的定義求出數(shù)列的通項(xiàng)公式，最后把代入即可求得答案．
【解答】解：設(shè)個月后共有只老鼠，且雌雄各半，所以個月后的老鼠只數(shù) 滿足：
所以，即，
又因?yàn)椋?br>所以，
所以數(shù)列是以14為首項(xiàng)7為公比的等比數(shù)列，
所以，
即，
當(dāng)時，，
故答案為：．
14．已知數(shù)列中，，，，若對任意正整數(shù)恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是．
【分析】通過裂項(xiàng)消項(xiàng)法以及累加法求數(shù)列的通項(xiàng)公式，然后求出的范圍即可．
【解答】解：數(shù)列中，，，，
則，
所以，
，
累加可得，所以，
因?yàn)閷θ我庹麛?shù)恒成立，所以．
故答案為：，．
15．十三世紀(jì)意大利數(shù)學(xué)家列昂納多斐波那契從兔子繁殖規(guī)律中發(fā)現(xiàn)了“斐波那契數(shù)列”，斐波那契數(shù)列滿足以下關(guān)系：，，，記其前項(xiàng)和為．
（1）．
（2）設(shè)，，為常數(shù)），．
【分析】（1）由已知，，，結(jié)合遞推關(guān)系式代入可求，，，可求，
（2）由已知可得，分組求解，，從而可求．
【解答】解：（1）因?yàn)?，，?br>所以，，
，
，
故，
（2）由（1）得：，
因?yàn)椋?br>，
所以．
故答案為：1，．
16．定義：數(shù)列，滿足，則稱數(shù)列為的“友好數(shù)列”．若數(shù)列的通項(xiàng)公式，，則數(shù)列的“友好數(shù)列“的通項(xiàng)公式為；記數(shù)列的前項(xiàng)和為．且，則的取值范圍是．
【分析】①直接利用友好函數(shù)的定義和遞推關(guān)系式的應(yīng)用求出數(shù)列的通項(xiàng)公式．
②利用，進(jìn)一步整理得，利用解不等式的應(yīng)用求出結(jié)果．
【解答】解：①數(shù)列，滿足，則稱數(shù)列為的“友好數(shù)列”．若數(shù)列的通項(xiàng)公式，
則：，整理得，
所以①，
當(dāng)時，②，
①②得，故．
②由于，
設(shè)，
由于，所以為最大值，
所以，
解得．即．
故答案為：；
17．已知是首項(xiàng)不為1的正項(xiàng)數(shù)列，其前項(xiàng)和為，且滿足．
（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)，求證：．
【分析】（1）在已知數(shù)列遞推式中，取求得首項(xiàng)，以替換，再與原遞推式聯(lián)立可得，得數(shù)列是首項(xiàng)為2，公差為3的等差數(shù)列，則其通項(xiàng)公式可求；
（2）把數(shù)列的通項(xiàng)公式代入，整理后利用裂項(xiàng)相消法證明．
【解答】解：（1）由，①
得，
解得（舍或．
當(dāng)時，，②
①②得，
整理得：．
，．
可得數(shù)列是首項(xiàng)為2，公差為3的等差數(shù)列．
；
證明：（2），
．
18．已知數(shù)列滿足．
（1）求數(shù)列的通項(xiàng)；
（2）設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和，當(dāng)對一切正整數(shù)恒成立時，求實(shí)數(shù)的取值范圍．
【分析】（1）直接利用遞推關(guān)系式的應(yīng)用求出數(shù)列的通項(xiàng)公式．
（2）利用（1）的結(jié)論，進(jìn)一步利用乘公比錯位相減法的應(yīng)用求出數(shù)列的和．
【解答】解：（1）數(shù)列滿足①，
當(dāng)時，，②
當(dāng)時，，
①②得，
所以（首項(xiàng)符合通項(xiàng)），
所以．
（2）由（1）得，
所以①，
②，
①②得，
整理得，
所以當(dāng)時，的最小值為，
所以當(dāng)對一切正整數(shù)恒成立時，
只需滿足，
解得．
故實(shí)數(shù)的取值范圍為，．
19．已知數(shù)列滿足，，數(shù)列是公比為正數(shù)的等比數(shù)列，，且，，8成等差數(shù)列．
（Ⅰ）求數(shù)列，的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）若數(shù)列滿足，求數(shù)列的前項(xiàng)和．
（Ⅲ）若數(shù)列滿足，求證：．
【分析】（Ⅰ）直接利用遞推關(guān)系式的應(yīng)用求出數(shù)列的通項(xiàng)公式．
（Ⅱ）利用（Ⅰ）的應(yīng)用，利用乘公比錯位相減法的應(yīng)用求出數(shù)列的和．
（Ⅲ）利用分類討論思想的應(yīng)用和恒成立問題的應(yīng)用，求出的取值范圍．
【解答】解：（Ⅰ）數(shù)列滿足，，
所以（常數(shù)），
故，
數(shù)列是公比為的正數(shù)的等比數(shù)列，，且，，8成等差數(shù)列．
所以，解得．
所以．
故：，，
解：（Ⅱ）數(shù)列滿足，
所以，
．
證明：（Ⅲ）數(shù)列滿足，
所以，
，
，
，
．
20．各項(xiàng)為正數(shù)的數(shù)列如果滿足：存在實(shí)數(shù)，對任意正整數(shù)，恒成立，且存在正整數(shù)，使得或成立，則稱數(shù)列為“緊密數(shù)列”，稱為“緊密數(shù)列”的“緊密度”．已知數(shù)列的各項(xiàng)為正數(shù)，前項(xiàng)和為，且對任意正整數(shù)，，，為常數(shù)）恒成立．
（1）當(dāng)，，時，
①求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
②證明數(shù)列是“緊密度”為3的“緊密數(shù)列”；
（2）當(dāng)時，已知數(shù)列和數(shù)列都為“緊密數(shù)列”，“緊密度”分別為，，且，，，求實(shí)數(shù)的取值范圍．
【分析】（1）①根據(jù)題意可得遞推式，由，可得是以首項(xiàng)為1，公差為2的等差數(shù)列，然后求出的通項(xiàng)公式；
②由①所得通項(xiàng)公式及“緊密數(shù)列”的定義可得結(jié)論；
（2）由可得遞推式，由此可得，由，討論，時與已知矛盾，即可得數(shù)列是以首項(xiàng)，公比的等比數(shù)列，再討論和，進(jìn)而求得實(shí)數(shù)的取值范圍．
【解答】解：（1）當(dāng)，，時，
①，
當(dāng)時，，
由得，
整理，得，
因?yàn)椋裕?br>即有，當(dāng)時，．
則是以首項(xiàng)為1，公差為2的等差數(shù)列，則．
②由①中，得隨著的增多而減小，
則對任意正整數(shù)，恒成立，且存在，使得，
則數(shù)列是“緊密度”為3的“緊密數(shù)列”．
（2）當(dāng)時，，
，
得，
若，則上式右端中，與矛盾；
若，則上式右端，與矛盾，則，．
則為常數(shù)，即數(shù)列是以首項(xiàng)，公比的等比數(shù)列．
數(shù)列為“緊密數(shù)列”，則，
所以，又．
（Ⅰ）當(dāng)時，，對任意正整數(shù)恒成立，且存在正整數(shù)，使得，
數(shù)列的“緊密度”為，，又，
即，
此時，隨的增大而減小，
所以，對任意正整數(shù)恒成立，
且當(dāng)時，，所以數(shù)列的“緊密度”為，，
則，
與式矛盾．
（Ⅱ）當(dāng)時，，對任意正整數(shù)恒成立，且存在正整數(shù)，使得，
則此時的“緊密度”為，，
即
而隨著的增大而減小，
則以對任意正整數(shù)恒成立，
且當(dāng)時，，則的“緊密度”，，
即，
由，得，即，解得．
綜上，實(shí)數(shù)的取值范圍為，．
[B組]—強(qiáng)基必備
1．斐波拉契數(shù)列，指的是這樣一個數(shù)列：1，1，2，3，5，8，13，21，，在數(shù)學(xué)上，斐波拉契數(shù)列定義如下：，，隨著的增大，越來越逼近黃金分割，故此數(shù)列也稱黃金分割數(shù)列，而以、為長和寬的長方形稱為“最美長方形”，已知某“最美長方形”的面積約為200平方厘米，則該長方形的長大約是
A．20厘米B．19厘米C．18厘米D．17厘米
【分析】因?yàn)橛梢阎?，又，得，進(jìn)而解得．
【解答】解：由已知有，
得：，
由，
得，
即，
由于，，
所以（厘米），
故選：．
2．定義“等積數(shù)列”：在一個數(shù)列中，如果每一項(xiàng)與它的后一項(xiàng)的積都為同一個常數(shù)，那么這個數(shù)列叫做等積數(shù)列，這個常數(shù)叫做該數(shù)列的公積，已知數(shù)列是等積數(shù)列且，前41項(xiàng)的和為103，則這個數(shù)列的公積為
A．2B．3C．6D．8
【分析】根據(jù)“等積數(shù)列”的定義知，相鄰兩項(xiàng)乘積相同，所以每隔一個數(shù)的項(xiàng)都是相同的，利用所給條件列方程求解即可．
【解答】解：因?yàn)閿?shù)列是等積數(shù)列，可設(shè)其公積為，
則有，
因?yàn)?，?1項(xiàng)的和為103，
所以，
即，
所以，
解得．
故選：．
3．對于數(shù)列，定義為的“優(yōu)值”，現(xiàn)已知某數(shù)列的“優(yōu)值”，記數(shù)列的前項(xiàng)和為，則．
【分析】先由題設(shè)條件得到，再利用，兩式相減求出，檢驗(yàn)時是否適合，然后求出即可．
【解答】解：由題意知，即，
又當(dāng)時，有，
兩式相減得：，
整理得，
當(dāng)時，有也適合，
，
，．
故答案為：．
4．定義：若數(shù)列滿足，則稱該數(shù)列為“切線一零點(diǎn)數(shù)列”已知函數(shù)有兩個零點(diǎn)1，2，數(shù)列為“切線一零點(diǎn)數(shù)列”，設(shè)數(shù)列滿足，數(shù)列的前項(xiàng)和為．則．
【分析】由題意求出函數(shù)的，再由題意得出，是等比數(shù)列，進(jìn)而求出通項(xiàng)公式．然后求解數(shù)列的和．
【解答】解：由題意函數(shù)有兩個零點(diǎn)1，2，知：，
，，，，
則，，
，
，，數(shù)列是以為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，
所以，．
故答案為：．
5．已知有窮數(shù)列且．定義數(shù)列的“伴生數(shù)列”，，，，，，其中，2，，，規(guī)定，．
（Ⅰ）寫出下列數(shù)列的“伴生數(shù)列”：
①1，2，3，4，5；
②1，，1，，1．
（Ⅱ）已知數(shù)列的“伴生數(shù)列”，，，，，，且滿足，2，，．
若數(shù)列中存在相鄰兩項(xiàng)為1，求證：數(shù)列中的每一項(xiàng)均為1；
（ⅱ）求數(shù)列所有項(xiàng)的和．
【分析】（Ⅰ）直接根據(jù)定義求解即可；
（Ⅱ）由題意，存在，2，，，使得，再令結(jié)合數(shù)列的“伴生數(shù)列”一步步推得，再根據(jù)，結(jié)合即可逆推出，即可得到結(jié)論；
（ⅱ）首先證明不可能存在，，使得．分情況分別求解數(shù)列所有項(xiàng)的和即可．
【解答】解：（Ⅰ）①1，1，1，1，1；
②1，0，0，0，1．
（Ⅱ）由題意，存在，2，，，使得．
若，即時，．
于是，．
所以，所以．即．
依此類推可得，3，，．
所以，2，，．
若，由得．
于是．所以．
依此類推可得．
所以，2，，．
綜上可知，數(shù)列中的每一項(xiàng)均為1
（ⅱ）首先證明不可能存在，，使得．
若存在，，使得，
則．
又得與已知矛盾．
所以不可能存在，，，．
由此及（ⅰ）得數(shù)列的前三項(xiàng)，，的可能情況如下：
（1）時，由可得，2，，．
于是，2，，．
所以所有項(xiàng)的和．
（2），，時，，
此時與已知矛盾．
（3），，時，，，．
于是，．
故，，
于是，，，
于是，，，且，，．
依此類推且恰是3的倍數(shù)滿足題意．
所以所有項(xiàng)的和．
同理可得，，及，，時，
當(dāng)且僅當(dāng)恰是3的倍數(shù)時，滿足題意．
此時所有項(xiàng)的和．
綜上，所有項(xiàng)的和或是3的倍數(shù)）．

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