2024年新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)題型歸類與強化測試專題42空間點線面之間的位置關(guān)系（教師版）-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

【考綱要求】
1.借助長方體，在直觀認識空間點、直線、平面的位置關(guān)系的基礎(chǔ)上抽象出空間點、直線、平面的位置關(guān)系的定義.
2.了解四個基本事實和一個定理，并能應(yīng)用定理解決問題.
【考點預(yù)測】
1.與平面有關(guān)的基本事實及推論
(1)與平面有關(guān)的三個基本事實
(2)基本事實1的三個推論
2.空間點、直線、平面之間的位置關(guān)系
3.基本事實4和等角定理
平行公理：平行于同一條直線的兩條直線互相平行.
等角定理：如果空間中兩個角的兩邊分別對應(yīng)平行，那么這兩個角相等或互補.
4.異面直線所成的角
(1)定義：已知a，b是兩條異面直線，經(jīng)過空間任意一點O作直線a′∥a，b′∥b，把a′與b′所成的角叫做異面直線a與b所成的角(或夾角).
(2)范圍：eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2))).
【常用結(jié)論】
1.證明點共線與線共點都需用到基本事實3.
2.兩異面直線所成的角歸結(jié)到一個三角形的內(nèi)角時，容易忽視這個三角形的內(nèi)角可能等于兩異面直線所成的角，也可能等于其補角.
【方法技巧】
1.共面、共線、共點問題的證明
(1)證明共面的方法：先確定一個平面，然后再證其余的線(或點)在這個平面內(nèi)．
(2)證明共線的方法：先由兩點確定一條直線，再證其他各點都在這條直線上．
(3)證明共點的方法：先證其中兩條直線交于一點，再證其他直線經(jīng)過該點．
2.點、直線、平面位置關(guān)系的判定，注意構(gòu)造幾何體(長方體、正方體)模型來判斷，常借助正方體為模型．
3.求異面直線所成的角的三個步驟
一作：根據(jù)定義作平行線，作出異面直線所成的角．
二證：證明作出的角是異面直線所成的角．
三求：解三角形，求出所作的角．
4.作截面應(yīng)遵循的三個原則：
①在同一平面上的兩點可引直線；
②凡是相交的直線都要畫出它們的交點；
③凡是相交的平面都要畫出它們的交線．
5.作交線的方法有如下兩種：
①利用基本事實3作交線；
②利用線面平行及面面平行的性質(zhì)定理去尋找線面平行及面面平行，然后根據(jù)性質(zhì)作出交線．
二、【題型歸類】
【題型一】平面的基本性質(zhì)
【典例1】如圖所示，在正方體ABCD-A1B1C1D中，E，F(xiàn)分別是AB和AA1的中點，求證：E，C，D1，F(xiàn)四點共面．
【證明】如圖所示，連接CD1，EF，A1B，
因為E，F(xiàn)分別是AB和AA1的中點，所以EF∥A1B且EF＝eq \f(1,2)A1B.
又因為A1D1平行BC且A1D1=BC，
所以四邊形A1BCD1是平行四邊形，
所以A1B∥CD1，所以EF∥CD1，
所以EF與CD1確定一個平面α，
所以E，F(xiàn)，C，D1∈α，
即E，C，D1，F(xiàn)四點共面．
【典例2】(多選)如圖，在長方體ABCD -A1B1C1D1中，O是DB的中點，直線A1C交平面C1BD于點M，則下列結(jié)論正確的是( )
A．C1，M，O三點共線
B．C1，M，O，C四點共面
C．C1，O，A1，M四點共面
D．D1，D，O，M四點共面
【解析】連接A1C1，AC，則AC∩BD＝O，又A1C∩平面C1BD＝M，所以三點C1，M，O在平面C1BD與平面ACC1A1的交線上，所以C1，M，O三點共線，所以選項A，B，C均正確，選項D錯誤．
故選ABC.
【典例3】如圖，空間四邊形ABCD中，E，F(xiàn)分別是AB，AD的中點，G，H分別在BC，CD上，且BG∶GC＝DH∶HC＝1∶2.
(1)求證：E，F(xiàn)，G，H四點共面；
(2)設(shè)EG與FH交于點P，求證：P，A，C三點共線．
【解析】(1)因為E，F(xiàn)分別為AB，AD的中點，所以EF∥BD.在△BCD中，eq \f(BG,GC)＝eq \f(DH,HC)＝eq \f(1,2)，所以GH∥BD，所以EF∥GH，所以E，F(xiàn)，G，H四點共面．
(2)因為EG∩FH＝P，P∈EG，EG?平面ABC，
所以P∈平面ABC.同理P∈平面ADC .
所以P為平面ABC與平面ADC的公共點，
又平面ABC∩平面ADC＝AC，
所以P∈AC，所以P，A，C三點共線．
【題型二】空間兩直線的位置關(guān)系
【典例1】如圖，點N為正方形ABCD的中心，△ECD為正三角形，平面ECD⊥平面ABCD，M是線段ED的中點，則( )
A．BM＝EN，且直線BM，EN是相交直線
B．BM≠EN，且直線BM，EN是相交直線
C．BM＝EN，且直線BM，EN是異面直線
D．BM≠EN，且直線BM，EN是異面直線
【解析】如圖，取CD的中點F，連接EF，EB，BD，F(xiàn)N，因為△CDE是正三角形，所以EF⊥CD.設(shè)CD＝2，則EF＝eq \r(3).因為點N是正方形ABCD的中心，所以BD＝2eq \r(2)，NF＝1，BC⊥CD.因為平面ECD⊥平面ABCD，所以EF⊥平面ABCD，BC⊥平面ECD，所以EF⊥NF，BC⊥EC，所以在Rt△EFN中，EN＝2，在Rt△BCE中，EB＝2eq \r(2)，所以在等腰三角形BDE中，BM＝eq \r(7)，所以BM≠EN.易知BM，EN是相交直線．
故選B．
【典例2】已知空間三條直線l，m，n，若l與m異面，且l與n異面，則( )
A．m與n異面
B．m與n相交
C．m與n平行
D．m與n異面、相交、平行均有可能
【解析】在如圖所示的長方體中，m，n1與l都異面，但是m∥n1，所以A，B錯誤；m，n2與l都異面，且m，n2也異面，所以C錯誤．
故選D．
【典例3】如圖，正方體ABCD-A1B1C1D1中，M，N分別為棱C1D1，C1C的中點，有以下四個結(jié)論：
①直線AM與CC1是相交直線；
②直線AM與BN是平行直線；
③直線BN與MB1是異面直線；
④直線AM與DD1是異面直線．
其中正確的結(jié)論是________(注：把你認為正確的結(jié)論的序號都填上)．
【解析】直線AM與CC1是異面直線，直線AM與BN也是異面直線，故①②錯誤．
答案：③④
【題型三】求兩條異面直線所成的角
【典例1】如圖，在底面為正方形，側(cè)棱垂直于底面的四棱柱ABCD—A1B1C1D1中，AA1＝2AB＝2，則異面直線A1B與AD1所成角的余弦值為( )
A.eq \f(1,5) B.eq \f(2,5)
C.eq \f(3,5) D.eq \f(4,5)
【解析】連接BC1，易證BC1∥AD1，則∠A1BC1即為異面直線A1B與AD1所成的角．連接A1C1，由AB＝1，AA1＝2，易得A1C1＝eq \r(2)，A1B＝BC1＝eq \r(5)，故cs∠A1BC1＝eq \f(A1B2＋BC\\al(2,1)－A1C\\al(2,1),2×A1B×BC1)＝eq \f(4,5)，即異面直線A1B與AD1所成角的余弦值為eq \f(4,5).故選D.
【典例2】在長方體ABCDA1B1C1D1中，AB＝BC＝1，AA1＝eq \r(3)，則異面直線AD1與DB1所成角的余弦值為( )
A.eq \f(1,5) B.eq \f(\r(5),6) C.eq \f(\r(5),5) D.eq \f(\r(2),2)
【解析】如圖，連接BD1，交DB1于O，取AB的中點M，連接DM，OM.易知O為BD1的中點，所以AD1∥OM，則∠MOD為異面直線AD1與DB1所成角或其補角．因為在長方體ABCDA1B1C1D1中，AB＝BC＝1，AA1＝eq \r(3)，
AD1＝eq \r(AD2＋DD\\al(2,1))＝2，
DM＝eq \r(AD2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)AB))2)＝eq \f(\r(5),2)，
DB1＝eq \r(AB2＋AD2＋BB\\al(2,1))＝eq \r(5).
所以O(shè)M＝eq \f(1,2)AD1＝1，OD＝eq \f(1,2)DB1＝eq \f(\r(5),2)，
于是在△DMO中，由余弦定理，
得cs∠MOD＝eq \f(12＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(5),2)))2－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(5),2)))2,2×1×\f(\r(5),2))＝eq \f(\r(5),5)，
即異面直線AD1與DB1所成角的余弦值為eq \f(\r(5),5).
【典例3】在正方體ABCD－A1B1C1D1中，P為B1D1的中點，則直線PB與AD1所成的角為( )
A.eq \f(π,2) B.eq \f(π,3) C.eq \f(π,4) D.eq \f(π,6)
【解析】如圖，連接C1P，因為ABCD－A1B1C1D1是正方體，且P為B1D1的中點，所以C1P⊥B1D1，又C1P⊥BB1，B1D1∩BB1＝B1，B1D1，BB1?平面B1BP，所以C1P⊥平面B1BP.又BP?平面B1BP，所以有C1P⊥BP.連接BC1，則AD1∥BC1，所以∠PBC1為直線PB與AD1所成的角.設(shè)正方體ABCD－A1B1C1D1的棱長為2，則在Rt△C1PB中，C1P＝eq \f(1,2)B1D1＝eq \r(2)，BC1＝2eq \r(2)，sin ∠PBC1＝eq \f(PC1,BC1)＝eq \f(1,2)，所以∠PBC1＝eq \f(π,6).
故選D.
【題型四】空間幾何體的切割(截面)問題
【典例1】在正方體ABCD－A1B1C1D1中，M，N分別是棱DD1和BB1上的點，MD＝eq \f(1,3)DD1，NB＝eq \f(1,3)BB1，那么正方體中過M，N，C1的截面圖形是( )
A．三角形 B．四邊形
C．五邊形 D．六邊形
【解析】先確定截面上的已知邊與幾何體上和其共面的邊的交點，再確定截面與幾何體的棱的交點．
如圖，設(shè)直線C1M，CD相交于點P，直線C1N，CB相交于點Q，連接PQ交直線AD于點E，交直線AB于點F，則五邊形C1MEFN為所求截面圖形．
故選C.
【典例2】(多選)正方體ABCD－A1B1C1D1的棱長為2，已知平面α⊥AC1，則關(guān)于α截此正方體所得截面的判斷正確的是( )
A．截面形狀可能為正三角形
B．截面形狀可能為正方形
C．截面形狀可能為正六邊形
D．截面面積最大值為3eq \r(3)
【解析】易知A，C正確，B不正確，下面說明D正確，
如圖，截面為正六邊形，當(dāng)六邊形的頂點均為棱的中點時，其面積最大，MN＝2eq \r(2)，GH＝eq \r(2)，
OE＝eq \r(OO′2＋O′E2)＝eq \r(1＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(2),2)))2)＝eq \f(\r(6),2)，
所以S＝2×eq \f(1,2)×(eq \r(2)＋2eq \r(2))×eq \f(\r(6),2)＝3eq \r(3)，
故D正確．
故選ACD.
【典例3】如圖，正方體A1C的棱長為1，點M在棱A1D1上，A1M＝2MD1，過M的平面α與平面A1BC1平行，且與正方體各面相交得到截面多邊形，則該截面多邊形的周長為________．
【解析】在平面A1D1DA中尋找與平面A1BC1平行的直線時，只需要ME∥BC1，如圖所示，
因為A1M＝2MD1，故該截面與正方體的交點位于靠近D1，A，C的三等分點處，故可得截面為MIHGFE，
設(shè)正方體的棱長為3a，
則ME＝2eq \r(2)a，MI＝eq \r(2)a，
IH＝2eq \r(2)a，HG＝eq \r(2)a，F(xiàn)G＝2eq \r(2)a，EF＝eq \r(2)a，
所以截面MIHGFE的周長為ME＋EF＋FG＋GH＋HI＋IM＝9eq \r(2)a，
又因為正方體A1C的棱長為1，即3a＝1，
故截面多邊形的周長為3eq \r(2)．
三、【培優(yōu)訓(xùn)練】
【訓(xùn)練一】平面α過正方體ABCD-A1B1C1D1的頂點A，α∥平面CB1D1，α∩平面ABCD＝m，α∩平面ABB1A1＝n，則m，n所成角的正弦值為( )
A.eq \f(\r(3),2) B.eq \f(\r(2),2) C.eq \f(\r(3),3) D.eq \f(1,3)
【解析】如圖所示，設(shè)平面CB1D1∩平面ABCD＝m1，
因為α∥平面CB1D1，則m1∥m，又因為平面ABCD∥平面A1B1C1D1，平面CB1D1∩平面A1B1C1D1＝B1D1，
所以B1D1∥m1，
所以B1D1∥m，同理可得CD1∥n.
故m，n所成角的大小與B1D1，CD1所成角的大小相等，即∠CD1B1的大?。?br>又因為B1C＝B1D1＝CD1(均為面對角線)，
所以∠CD1B1＝eq \f(π,3)，
得sin∠CD1B1＝eq \f(\r(3),2)，故選A.
【訓(xùn)練二】已知直四棱柱ABCD-A1B1C1D1的棱長均為2，∠BAD＝60°.以D1為球心，eq \r(5)為半徑的球面與側(cè)面BCC1B1的交線長為________．
【解析】如圖，連接B1D1，易知△B1C1D1為正三角形，所以B1D1＝C1D1＝2.分別取B1C1，BB1，CC1的中點M，G，H，連接D1M，D1G，D1H，則易得D1G＝D1H＝eq \r(22＋12)＝eq \r(5)，D1M⊥B1C1，且D1M＝eq \r(3).由題意知G，H分別是BB1，CC1與球面的交點．在側(cè)面BCC1B1內(nèi)任取一點P，使MP＝eq \r(2)，連接D1P，則D1P＝ eq \r(D1M2＋MP2)＝eq \r(（\r(3)）2＋（\r(2)）2)＝eq \r(5)，連接MG，MH，易得MG＝MH＝eq \r(2)，故可知以M為圓心，eq \r(2)為半徑的圓弧GH為球面與側(cè)面BCC1B1的交線．由∠B1MG＝∠C1MH＝45°知∠GMH＝90°，所以eq \(GH,\s\up8(︵))的長為eq \f(1,4)×2π×eq \r(2)＝eq \f(\r(2)π,2).
【訓(xùn)練三】如圖，E，F(xiàn)，G，H分別是空間四邊形ABCD各邊上的點，且AE∶EB＝AH∶HD＝m，CF∶FB＝CG∶GD＝n.
(1)證明：E，F(xiàn)，G，H四點共面；
(2)m，n滿足什么條件時，四邊形EFGH是平行四邊形？
(3)在(2)的條件下，若AC⊥BD，試證明：EG＝FH.
【解析】(1)證明：因為AE∶EB＝AH∶HD，所以EH∥BD.
又CF∶FB＝CG∶GD，
所以FG∥BD.所以EH∥FG.
所以E，F(xiàn)，G，H四點共面．
(2)當(dāng)EH∥FG，且EH＝FG時，四邊形EFGH為平行四邊形．
因為eq \f(EH,BD)＝eq \f(AE,AE＋EB)＝eq \f(m,m＋1)，所以EH＝eq \f(m,m＋1)BD.
同理可得FG＝eq \f(n,n＋1)BD，由EH＝FG，得m＝n.
故當(dāng)m＝n時，四邊形EFGH為平行四邊形．
(3)證明：當(dāng)m＝n時，AE∶EB＝CF∶FB，
所以EF∥AC，
又EH∥BD，
所以∠FEH是AC與BD所成的角(或其補角)，
因為AC⊥BD，所以∠FEH＝90°，
從而平行四邊形EFGH為矩形，所以EG＝FH.
【訓(xùn)練四】如圖1，在邊長為4的正三角形ABC中，D，F(xiàn)分別為AB，AC的中點，E為AD的中點．將△BCD與△AEF分別沿CD，EF同側(cè)折起，使得二面角A－EF－D與二面角B－CD－E的大小都等于90°，得到如圖2所示的多面體．
(1)在多面體中，求證： A，B，D，E四點共面；
(2)求多面體的體積．
【解析】(1)證明因為二面角A－EF－D的大小等于90°，
所以平面AEF⊥平面DEFC，
又AE⊥EF，AE?平面AEF，平面AEF∩平面DEFC＝EF，
所以AE⊥平面DEFC，
同理，可得BD⊥平面DEFC，
所以AE∥BD，故A，B，D，E四點共面．
(2)解因為AE⊥平面DEFC，BD⊥平面DEFC,EF∥CD，AE∥BD，DE⊥CD，
所以AE是四棱錐A－CDEF的高，點A到平面BCD的距離等于點E到平面BCD的距離，
又AE＝DE＝1，CD＝2eq \r(3)，EF＝eq \r(3)，BD＝2，
所以V＝VA－CDEF＋VA－BCD＝eq \f(1,3)S梯形CDEF·AE＋eq \f(1,3)S△BCD·DE＝eq \f(7\r(3),6).
【訓(xùn)練五】如圖1，在邊長為4的正三角形ABC中，D，F(xiàn)分別為AB，AC的中點，E為AD的中點．將△BCD與△AEF分別沿CD，EF同側(cè)折起，使得二面角A－EF－D與二面角B－CD－E的大小都等于90°，得到如圖2所示的多面體．
圖1 圖2
(1)在多面體中，求證： A，B，D，E四點共面；
(2)求多面體的體積．
【解析】(1)證明因為二面角A－EF－D的大小等于90°，所以平面AEF⊥平面DEFC，
又AE⊥EF，AE?平面AEF，平面AEF∩平面DEFC＝EF，所以AE⊥平面DEFC，
同理，可得BD⊥平面DEFC，
所以AE∥BD，故A，B，D，E四點共面．
(2)解因為AE⊥平面DEFC，BD⊥平面DEFC，EF∥CD，AE∥BD，DE⊥CD，
所以AE是四棱錐A－CDEF的高，點A到平面BCD的距離等于點E到平面BCD的距離，
又AE＝DE＝1，CD＝2eq \r(3)，EF＝eq \r(3)，BD＝2，
所以V＝VA－CDEF＋VA－BCD＝eq \f(1,3)S梯形CDEF·AE＋eq \f(1,3)S△BCD·DE＝eq \f(7\r(3),6)．
【訓(xùn)練六】如圖，在四棱錐P－ABCD中，底面ABCD為正方形，邊長為4，E為AB的中點，PE⊥平面ABCD.
(1)若△PAB為等邊三角形，求四棱錐P－ABCD的體積；
(2)若CD的中點為F，PF與平面ABCD所成角為45°，求PC與AD所成角的正切值.
【解析】(1)∵正方形ABCD的邊長為4，且△PAB為等邊三角形，E為AB的中點，
∴PE＝PB·sin∠PBE＝AB·sin 60°＝2eq \r(3)，
又PE⊥平面ABCD，
∴四棱錐P－ABCD的體積VP－ABCD＝eq \f(1,3)×42×2eq \r(3)＝eq \f(32\r(3),3).
(2)∵AD∥BC，
∴∠PCB即PC與AD所成的角.
如圖，連接EF，∵PE⊥平面ABCD，EF，BC?平面ABCD，
∴PE⊥EF，PE⊥BC，
又PF與平面ABCD所成角為45°，
即∠PFE＝45°，
∴PE＝EF·tan ∠PFE＝4，
∴PB＝eq \r(PE2＋BE2)＝eq \r(42＋22)＝2eq \r(5).
又BC⊥AB，PE∩AB＝E，PE，AB?平面PAB，
∴BC⊥平面PAB，
又PB?平面PAB，∴BC⊥PB，
∴tan ∠PCB＝eq \f(PB,BC)＝eq \f(\r(5),2)，
∴PC與AD所成角的正切值為eq \f(\r(5),2).
四、【強化測試】
【單選題】
1. 已知直線a和平面α，β，α∩β＝l，a?α，a?β，且a在α，β內(nèi)的射影分別為直線b和c，則直線b和c的位置關(guān)系是( )
A．相交或平行 B．相交或異面
C．平行或異面 D．相交、平行或異面
【解析】依題意，直線b和c的位置關(guān)系可能是相交、平行或異面．
故選D.
2. 在四面體ABCD中，點E，F(xiàn)，G，H分別在直線AD，AB，CD，BC上，若直線EF和GH相交，則它們的交點一定( )
A．在直線DB上 B．在直線AB上
C．在直線CB上 D．都不對
【解析】直線EF和GH相交，設(shè)其交點為M.因為EF?平面ABD，HG?平面CBD，所以M∈平面ABD且M∈平面CBD.因為平面ABD∩平面BCD＝BD，所以M∈BD，所以EF與HG的交點在直線BD上．
故選A.
3. 如圖所示，平面α∩平面β＝l，A∈α，B∈α，AB∩l＝D，C∈β，C?l，則平面ABC與平面β的交線是( )
A．直線AC B．直線AB
C．直線CD D．直線BC
【解析】由題意知，D∈l，l?β，所以D∈β，
又因為D∈AB，所以D∈平面ABC，
所以點D在平面ABC與平面β的交線上．
又因為C∈平面ABC，C∈β，所以點C在平面β與平面ABC的交線上，所以平面ABC∩平面β＝CD.
故選C.
4. 如圖，在三棱柱ABC-A1B1C1中，底面三角形A1B1C1是正三角形，E是BC的中點，則下列敘述正確的是( )
A．CC1與B1E是異面直線
B．C1C與AE共面
C．AE與B1C1是異面直線
D．AE與B1C1所成的角為60°
【解析】由于CC1與B1E都在平面C1B1BC內(nèi)，故C1C與B1E是共面的，所以A錯誤；由于C1C在平面C1B1BC內(nèi)，而AE與平面C1B1BC相交于E點，點E不在C1C上，故C1C與AE是異面直線，B錯誤；同理AE與B1C1是異面直線，C正確；而AE與B1C1所成的角就是AE與BC所成的角，E為BC中點，△ABC為正三角形，所以AE⊥BC，D錯誤．
故選C.
5. 已知直線l?平面α，直線m?平面α，給出下面四個結(jié)論：①若l與m不垂直，則l與α一定不垂直；②若l與m所成的角為30°，則l與α所成的角也為30°；③l∥m是l∥α的必要不充分條件；④若l與α相交，則l與m一定是異面直線．其中正確結(jié)論的個數(shù)為( )
A．1 B．2 C．3 D．4
【解析】對于①，當(dāng)l與m不垂直時，假設(shè)l⊥α，那么由l⊥α一定能得到l⊥m，這與已知條件矛盾，因此l與α一定不垂直，故①正確；對于②，易知l與m所成的角為30°時，l與α所成的角不一定為30°，故②不正確；對于③，l∥m可以推出l∥α，但是l∥α不能推出l∥m，因此l∥m是l∥α的充分不必要條件，故③不正確；對于④，若l與α相交，則l與m相交或異面，故④不正確．故正確結(jié)論的個數(shù)為1，
選A.
6. 如圖，在正方體ABCD-A′B′C′D′中，平面α垂直于對角線AC′，且平面α截得正方體的六個表面得到截面六邊形，記此截面六邊形的面積為S，周長為l，則( )
A．S為定值，l不為定值 B．S不為定值，l為定值
C．S與l均為定值 D．S與l均不為定值
【解析】設(shè)平面α截得正方體的六個表面得到截面六邊形ω，ω與正方體的棱的交點分別為I，J，N，M，L，K(如圖)．
將正方體切去兩個正三棱錐A-A′BD和C′-B′CD′，得到一個幾何體V，則V的上、下底面B′CD′與A′BD互相平行，每個側(cè)面都是等腰直角三角形，截面六邊形ω的每一條邊分別與V的底面上的每一條邊平行．設(shè)正方體的棱長為a，eq \f(A′K,A′B′)＝γ，則IK＝γB′D′＝eq \r(2)aγ，KL＝(1－γ)A′B＝eq \r(2)a(1－γ)，故IK＋KL＝eq \r(2)aγ＋eq \r(2)a(1－γ)＝eq \r(2)a.同理可證LM＋MN＝NJ＋IJ＝eq \r(2)a，故六邊形ω周長為3eq \r(2)a，即周長為定值．
當(dāng)I，J，N，M，L，K都在對應(yīng)棱的中點時，ω是正六邊形．其面積S＝6×eq \f(1,2)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(2),2)a))eq \s\up12(2)×eq \f(\r(3),2)＝eq \f(3\r(3),4)a2，△A′BD的面積為eq \f(1,2)×(eq \r(2)a)2×eq \f(\r(3),2)＝eq \f(\r(3),2)a2，當(dāng)ω?zé)o限趨近于△A′BD時，ω的面積無限趨近于eq \f(\r(3),2)a2，故ω的面積一定會發(fā)生變化，不為定值．故選B.
7. 如圖，已知線段AB垂直于定圓所在的平面，B，C是圓上的兩點，H是點B在AC上的射影，當(dāng)點C運動時，點H運動的軌跡( )
A．是圓 B．是橢圓
C．是拋物線 D．不是平面圖形
【解析】如圖，過點B作圓的直徑BD，連接CD，AD，則BC⊥CD，再過點B作BE⊥AD于點E，連接HE，因為AB⊥平面BCD，所以AB⊥CD.又BC⊥CD，且AB∩BC＝B，所以CD⊥平面ABC，所以CD⊥BH.
又BH⊥AC，且AC∩CD＝C，所以BH⊥平面ACD，所以BH⊥AD，BH⊥HE.
又注意到過點B與直線AD垂直的直線都在同一個平面內(nèi)，于是結(jié)合點B，E位置，可知，當(dāng)點C運動時，點H運動的軌跡是以BE為直徑的圓．
故選A．
8. 如圖，點N為正方形ABCD的中心，△ECD為正三角形，平面ECD⊥平面ABCD，M是線段ED的中點，則( )
A．BM＝EN，且直線BM，EN是相交直線
B．BM≠EN，且直線BM，EN是相交直線
C．BM＝EN，且直線BM，EN是異面直線
D．BM≠EN，且直線BM，EN是異面直線
【解析】如圖，取CD的中點O，連接ON，EO，因為△ECD為正三角形，所以EO⊥CD，又平面ECD⊥平面ABCD，平面ECD∩平面ABCD＝CD，所以EO⊥平面ABCD.設(shè)正方形ABCD的邊長為2，則EO＝eq \r(3)，ON＝1，所以EN2＝EO2＋ON2＝4，得EN＝2.過M作CD的垂線，垂足為P，連接BP，則MP＝eq \f(\r(3),2)，CP＝eq \f(3,2)，所以BM2＝MP2＋BP2＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(3),2)))2＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)))2＋22＝7，得BM＝eq \r(7)，所以BM≠EN.連接BD，BE，因為四邊形ABCD為正方形，所以N為BD的中點，即EN，MB均在平面BDE內(nèi)，所以直線BM，EN是相交直線．故選B.
【多選題】
9. 四棱錐P－ABCD的所有棱長都相等，M，N分別為PA，CD的中點，下列說法正確的是( )
A.MN與PD是異面直線
B.MN∥平面PBC
C.MN∥AC
D.MN⊥PB
【解析】如圖所示，取PB的中點H，連接MH，HC，
由題意知，四邊形MHCN為平行四邊形，且MN∥HC，所以MN∥平面PBC，設(shè)四邊形MHCN確定平面α，又D∈α，故M，N，D共面，但P?平面α，D?MN，因此MN與PD是異面直線；故A，B說法均正確.
若MN∥AC，由于CH∥MN，則CH∥AC，
事實上AC∩CH＝C，C說法不正確；
因為PC＝BC，H為PB的中點，所以CH⊥PB，又CH∥MN，所以MN⊥PB，D說法正確.
故選ABD.
10. 下圖中，G，N，M，H分別是正三棱柱(兩底面為正三角形的直棱柱)的頂點或所在棱的中點，則表示直線GH，MN是異面直線的圖形有( )
【解析】圖A中，直線GH∥MN；
圖B中，G，H，N三點共面，但M?平面GHN，N?GH，因此直線GH與MN異面；
圖C中，連接MG，GM∥HN，因此GH與MN共面；
圖D中，G，M，N共面，但H?平面GMN，G?MN，
因此GH與MN異面.
故選BD.
11. 如圖所示，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，O是B1D1的中點，直線A1C交平面AB1D1于點M，則下列結(jié)論正確的是( )
A.A，M，O三點共線 B.A，M，O，A1共面
C.A，M，C，O共面 D.B，B1，O，M共面
【解析】∵M∈A1C，A1C?平面A1ACC1，
∴M∈平面A1ACC1，
又∵M∈平面AB1D1，
∴M在平面AB1D1與平面A1ACC1的交線AO上，
即A，M，O三點共線，
∴A，M，O，A1共面且A，M，C，O共面，
∵平面BB1D1D∩平面AB1D1＝B1D1，
∴M在平面BB1D1D外，
即B，B1，O，M不共面，故選ABC.
12. 如圖，已知二面角A－BD－C的大小為eq \f(π,3)，G，H分別是BC，CD的中點，E，F(xiàn)分別在AD，AB上，eq \f(AE,AD)＝eq \f(AF,AB)＝eq \f(1,3)，且AC⊥平面BCD，則以下說法正確的是( )
A.E，F(xiàn)，G，H四點共面
B.FG∥平面ADC
C.若直線FG，HE交于點P，則P，A，C三點共線
D.若△ABD的面積為6，則△BCD的面積為3
【解析】由eq \f(AE,AD)＝eq \f(AF,AB)＝eq \f(1,3)知EF平行eq \f(1,3)BD，且EF=eq \f(1,3)BD
又GH平行eq \f(1,2)BD，且GH=eq \f(1,2)BD∴EF∥GH，
因此E，F(xiàn)，G，H共面，A項正確；
假設(shè)FG∥平面ADC成立，因為平面ABC∩平面DAC＝AC，
所以FG∥AC，又G是BC的中點，所以F是AB的中點，與eq \f(AF,AB)＝eq \f(1,3)矛盾，B項不正確；
因為FG?平面ABC，P∈FG，所以P∈平面ABC，同理P∈平面ADC，
因為平面ABC∩平面ADC＝AC，所以P∈AC，所以P，A，C三點共線，因此C正確；
易知S△BCD＝cseq \f(π,3)·S△ABD＝eq \f(1,2)×6＝3，D正確.
故選ACD.
【填空題】
13. 已知在直三棱柱ABC－A1B1C1中，∠ABC＝120°，AB＝2，BC＝CC1＝1，則異面直線AB1與BC1所成角的余弦值為________．
【解析】如圖所示，補成直四棱柱ABCD－A1B1C1D1，
則所求角為∠BC1D或其補角，
∵BC1＝eq \r(2)，BD＝eq \r(22＋1－2×2×1×cs 60°)＝eq \r(3)，C1D＝AB1＝eq \r(5)，
易得C1D2＝BD2＋BCeq \\al(2,1)，即BC1⊥BD，
因此cs∠BC1D＝eq \f(BC1,C1D)＝eq \f(\r(2),\r(5))＝eq \f(\r(10),5)．
14. 在空間中，給出下面四個命題，其中假命題為________．(填序號)
①過平面α外的兩點，有且只有一個平面與平面α垂直；
②若平面β內(nèi)有不共線三點到平面α的距離都相等，則α∥β；
③若直線l與平面α內(nèi)的任意一條直線垂直，則l⊥α；
④兩條異面直線在同一平面內(nèi)的射影一定是兩條相交直線．
【解析】對于①，當(dāng)平面α外兩點的連線與平面α垂直時，此時過兩點有無數(shù)個平面與平面α垂直，所以①不正確；
對于②，若平面β內(nèi)有不共線三點到平面α的距離都相等，平面α與β可能平行，也可能相交，所以②不正確；
對于③，直線l與平面內(nèi)的任意直線垂直時，得到l⊥α，所以③正確；
對于④，兩條異面直線在同一平面內(nèi)的射影可能是兩條相交直線或兩條平行直線或直線和直線外的一點，所以④不正確．
15. 在正方體ABCD－A1B1C1D1中，E，F(xiàn)，P，Q分別為A1B，B1D1，A1D，CD1的中點，則直線EF與PQ所成角的大小是________．
【解析】如圖，連接A1C1，BC1，則F是A1C1的中點，
又E為A1B的中點，所以EF∥BC1，連接DC1，則Q是DC1的中點，
又P為A1D的中點，所以PQ∥A1C1，
于是∠A1C1B是直線EF與PQ所成的角或其補角．
易知△A1C1B是正三角形，所以∠A1C1B＝eq \f(π,3)．
16. 在棱長為4的正方體ABCD－A1B1C1D1中，P，Q分別為棱A1D1，CC1的中點，過P，Q，A作正方體的截面，則截面多邊形的周長是________．
【解析】如圖所示，
過Q作QM∥AP交BC于M，
由A1P＝CQ＝2，tan∠APA1＝2，
則tan∠CMQ＝2，CM＝eq \f(CQ,tan∠CMQ)＝1，
延長MQ交B1C1的延長線于E點，連接PE，交D1C1于N點，
則多邊形AMQNP即為截面，
根據(jù)平行線性質(zhì)有C1E＝CM＝1，
eq \f(C1N,ND1)＝eq \f(C1E,PD1)＝eq \f(1,2)，
則C1N＝eq \f(4,3)，D1N＝eq \f(8,3)，
因此NQ＝eq \r(22＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4,3)))2)＝eq \f(2\r(13),3)，
NP＝eq \r(22＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(8,3)))2)＝eq \f(10,3)，
又AP＝eq \r(42＋22)＝2eq \r(5)，AM＝eq \r(42＋32)＝5，
MQ＝eq \r(12＋22)＝eq \r(5)，
所以多邊形AMQNP的周長為
AM＋MQ＋QN＋NP＋PA
＝5＋eq \r(5)＋eq \f(2\r(13),3)＋eq \f(10,3)＋2eq \r(5)
＝eq \f(25＋9\r(5)＋2\r(13),3)．
【解答題】
17. 如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，O為正方形ABCD的中心，H為直線B1D與平面ACD1的交點．求證：D1，H，O三點共線．
【解析】如圖，連接BD，B1D1，則BD∩AC＝O，
因為BB1eq \(\s\d3(═),\s\up3(∥))DD1，
所以四邊形BB1D1D為平行四邊形，
又H∈B1D，
B1D?平面BB1D1D，
則H∈平面BB1D1D，
因為平面ACD1∩平面BB1D1D＝OD1，
所以H∈OD1.即D1，H，O三點共線．
18. 如圖，在三棱錐P-ABC中，PA⊥底面ABC，D是PC的中點．已知∠BAC＝eq \f(π,2)，AB＝2，AC＝2eq \r(3)，PA＝2.求：
(1)三棱錐P-ABC的體積；
(2)異面直線BC與AD所成角的余弦值．
【解析】(1)S△ABC＝eq \f(1,2)×2×2eq \r(3)＝2eq \r(3)，
三棱錐P-ABC的體積為V＝eq \f(1,3)S△ABC·PA＝eq \f(1,3)×2eq \r(3)×2＝eq \f(4\r(3),3).
(2)如圖，取PB的中點E，連接DE，AE，則ED∥BC，所以∠ADE(或其補角)是異面直線BC與AD所成的角．
在△ADE中，DE＝2，AE＝eq \r(2)，AD＝2，cs∠ADE＝eq \f(22＋22－2,2×2×2)＝eq \f(3,4).
故異面直線BC與AD所成角的余弦值為eq \f(3,4).
19. 如圖，在棱長為a的正方體ABCD-A1B1C1D1中，M，N分別是AA1，D1C1的中點，過D，M，N三點的平面與正方體的下底面相交于直線l.
(1)畫出l的位置；
(2)設(shè)l∩A1B1＝P，求PB1的長．
【解析】(1)如圖，延長DM與D1A1交于點O，連接NO，則直線NO即為直線l.
(2)因為l∩A1B1＝P，則易知直線NO與A1B1的交點即為P.
所以A1M∥DD1，且M，N分別是AA1，D1C1的中點，所以A1也為D1O的中點．由圖可知eq \f(A1P,D1N)＝eq \f(OA1,OD1)＝eq \f(1,2)，所以A1P＝eq \f(a,4)，從而可知PB1＝eq \f(3a,4).
20. 如圖所示，A是△BCD所在平面外的一點，E，F(xiàn)分別是BC，AD的中點．
(1)求證：直線EF與BD是異面直線；
(2)若AC⊥BD，AC＝BD，求EF與BD所成的角．
【解析】(1)證明：假設(shè)EF與BD不是異面直線，則EF與BD共面，從而DF與BE共面，即AD與BC共面，所以A，B，C，D在同一平面內(nèi)，這與A是△BCD所在平面外的一點相矛盾．故直線EF與BD是異面直線．
(2)取CD的中點G，連接EG，F(xiàn)G，則AC∥FG，EG∥BD，所以相交直線EF與EG所成的角，即為異面直線EF與BD所成的角．
又因為AC⊥BD，則FG⊥EG.
在Rt△EGF中，由EG＝FG＝eq \f(1,2)AC，求得∠FEG＝45°，即異面直線EF與BD所成的角為45°.
21. 如圖，在四棱錐O－ABCD中，底面ABCD是邊長為2的正方形，OA⊥底面ABCD，OA＝2，M為OA的中點.
(1)求四棱錐O－ABCD的體積；
(2)求異面直線OC與MD所成角的正切值.
【解析】(1)由已知可求得正方形ABCD的面積S＝4，
所以四棱錐O－ABCD的體積
V＝eq \f(1,3)×4×2＝eq \f(8,3).
(2)如圖，連接AC，設(shè)線段AC的中點為E，連接ME，DE，又M為OA中點，
∴ME∥OC，
則∠EMD(或其補角)為異面直線OC與MD所成的角，由已知可得DE＝eq \r(2)，EM＝eq \r(3)，MD＝eq \r(5)，
∵(eq \r(2))2＋(eq \r(3))2＝(eq \r(5))2，
即DE2＋EM2＝MD2，
∴△DEM為直角三角形，且∠DEM＝90°，
∴tan∠EMD＝eq \f(DE,EM)＝eq \f(\r(2),\r(3))＝eq \f(\r(6),3).
∴異面直線OC與MD所成角的正切值為eq \f(\r(6),3).
22. 如圖，四棱柱ABCD－A1B1C1D1的側(cè)棱AA1⊥底面ABCD，四邊形ABCD為菱形，E，F(xiàn)分別為AA1，CC1的中點，M為AB上一點．
(1)若D1E與CM相交于點K，求證D1E，CM，DA三條直線相交于同一點；
(2)若AB＝2，AA1＝4，∠BAD＝eq \f(π,3)，求點D1到平面FBD的距離．
【解析】(1)證明 ∵D1E與CM相交于點K，
∴K∈D1E，K∈CM，
而D1E?平面ADD1A1，CM?平面ABCD，
且平面ADD1A1∩平面ABCD＝AD，
∴K∈AD，
∴D1E，CM，DA三條直線相交于同一點K．
(2)解 ∵四邊形ABCD為菱形，AB＝2，
∴BC＝CD＝2，
而四棱柱的側(cè)棱AA1⊥底面ABCD，
∴CC1⊥底面ABCD，
又∵F是CC1的中點，CC1＝4，∴CF＝2，
∴BF＝DF＝2eq \r(2)，
又∵四邊形ABCD為菱形，∠BAD＝eq \f(π,3)，
∴BD＝AB＝2，
∴S△FBD＝eq \f(1,2)×2×eq \r(?2\r(2)?2－1)＝eq \r(7)．
設(shè)點D1到平面FBD的距離為h，點B到平面DD1F的距離為d，
則d＝2sin eq \f(π,3)＝eq \r(3)，
又∵，
∴eq \f(1,3)×S△FBD×h＝eq \f(1,3)××d，
∴eq \f(1,3)×eq \r(7)×h＝eq \f(1,3)×eq \f(1,2)×4×2×eq \r(3)，
解得h＝eq \f(4\r(21),7)．
即點D1到平面FBD的距離為eq \f(4\r(21),7)．基本事實
內(nèi)容
圖形
符號
基本
事實1
過不在一條直線上的三個點，有且只有一個平面
A，B，C三點不共線?存在唯一的α使A，B，C∈α
基本
事實2
如果一條直線上的兩個點在一個平面內(nèi)，那么這條直線在這個平面內(nèi)
A∈l，B∈l，且A∈α，B∈α?l?α
基本
事實3
如果兩個不重合的平面有一個公共點，那么它們有且只有一條過該點的公共直線
P∈α，且P∈β?α∩β＝l，且P∈l
推論
內(nèi)容
圖形
作用
推論1
經(jīng)過一條直線和這條直線外一點，有且只有一個平面
確定平面的依據(jù)
推論2
經(jīng)過兩條相交直線，有且只有一個平面
推論3
經(jīng)過兩條平行直線，有且只有一個平面
直線與直線
直線與平面
平面與平面
平行關(guān)系
圖形
語言
符號
語言
a∥b
a∥α
α∥β
相交關(guān)系
圖形
語言
符號
語言
a∩b＝A
a∩α＝A
α∩β＝l
獨有關(guān)系
圖形
語言
符號
語言
a，b是
異面直線
a?α

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