【考綱要求】
1.在平面直角坐標(biāo)系中，結(jié)合具體圖形掌握確定直線位置的幾何要素.
2.理解直線的傾斜角和斜率的概念，掌握過(guò)兩點(diǎn)的直線斜率的計(jì)算公式.
3.掌握確定直線的幾何要素，掌握直線方程的幾種形式(點(diǎn)斜式、兩點(diǎn)式及一般式)，了解斜截式與一次函數(shù)的關(guān)系.
【考點(diǎn)預(yù)測(cè)】
1.直線的傾斜角
(1)定義：當(dāng)直線l與x軸相交時(shí)，我們以x軸為基準(zhǔn)，x軸正向與直線l向上的方向之間所成的角α叫做直線l的傾斜角；
(2)規(guī)定：當(dāng)直線l與x軸平行或重合時(shí)，規(guī)定它的傾斜角為0°；
(3)范圍：直線的傾斜角α的取值范圍是{α|0°≤α0時(shí)，兩直線kx－y＝0，2x＋ky－2＝0與x軸圍成的三角形面積的最大值為________．
【解析】直線2x＋ky－2＝0與x軸交于點(diǎn)(1，0)．由eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(kx－y＝0，,2x＋ky－2＝0，))解得y＝eq \f(2k,k2＋2)，所以兩直線kx－y＝0，2x＋ky－2＝0與x軸圍成的三角形的面積為eq \f(1,2)×1×eq \f(2k,k2＋2)＝eq \f(1,k＋\f(2,k))，又k＋eq \f(2,k)≥2eq \r(k·\f(2,k))＝2eq \r(2)，當(dāng)且僅當(dāng)k＝eq \r(2)時(shí)取等號(hào)，故三角形面積的最大值為eq \f(\r(2),4).
三、【培優(yōu)訓(xùn)練】
【訓(xùn)練一】（2023·江蘇揚(yáng)州·儀征中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）已知橢圓：的左、右焦點(diǎn)分別為、，以為圓心的圓與軸交于，兩點(diǎn)，與軸正半軸交于點(diǎn)，線段與交于點(diǎn).若與的焦距的比值為，則的離心率為（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】先求出以為圓心的圓的方程，求出，，求出直線的方程后結(jié)合距離公式可求的坐標(biāo)，代入橢圓方程后可求離心率.
【詳解】
設(shè)橢圓的半焦距為，因?yàn)橐詾閳A心的圓過(guò)，故該圓的半徑為，
故其方程為：，
令，則，結(jié)合在軸正半軸上，故，
令，則或，故.
故，故直線.
設(shè)，
因?yàn)樵谳S的正半軸上，在軸的負(fù)半軸上，故，
而，
故，整理得到：，
故，故，
所以，故，
整理得到：，故，
故選：D.
【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：圓錐曲線中離心率的值或范圍的計(jì)算，關(guān)鍵在于構(gòu)建關(guān)于基本量的方程或方程組（不等式或不等式組），后者可通過(guò)點(diǎn)在橢圓上或判別式為零等合理構(gòu)建.
【訓(xùn)練二】（2023·全國(guó)·高二專題練習(xí)）設(shè)，，已知函數(shù)，有且只有一個(gè)零點(diǎn)，則的最小值為（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】設(shè)函數(shù)的零點(diǎn)為，可得，由此可得點(diǎn)在直線上，由此可得，再利用導(dǎo)數(shù)求其最小值.
【詳解】函數(shù)的零點(diǎn)為，
則，且，即，
所以點(diǎn)在直線上，
又表示點(diǎn)到原點(diǎn)的距離的平方，
故，
所以，
設(shè)，
則，
故，
設(shè)，
則，
因?yàn)椋裕?br>所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，
所以當(dāng)時(shí)，，
故當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞增，
所以.
所以當(dāng)，時(shí)，取最小值，最小值為.
所以當(dāng)時(shí)，的最小值為.
故選：B.
【點(diǎn)睛】知識(shí)點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查函數(shù)零點(diǎn)的定義，直線方程的定義，點(diǎn)到直線的距離，兩點(diǎn)之間的距離，利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值，考查數(shù)學(xué)運(yùn)算，數(shù)形結(jié)合等數(shù)學(xué)思想.
【訓(xùn)練三】（2023·湖南益陽(yáng)·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知直線l與曲線相交，交點(diǎn)依次為D、E、F，且，則直線l的方程為（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根據(jù)函數(shù)的對(duì)稱性得曲線的對(duì)稱中心為，則，設(shè)，由，得到，通過(guò)換元求出值，則得到的坐標(biāo)，最后寫出直線方程即可.
【詳解】，
設(shè)，其定義域?yàn)椋P(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，
且，
故函數(shù)為奇函數(shù)，且其對(duì)稱中心為，
將向右平移1個(gè)單位，向上平移1個(gè)單位，則得到，
曲線的對(duì)稱中心為，
由，可知點(diǎn)E為對(duì)稱中心，故E的坐標(biāo)為，
不妨設(shè)，
則由，得，
即，
令，則，
即，
，
當(dāng)時(shí)，，
又l過(guò)，則，直線l的方程為，
當(dāng)時(shí)，，
又l過(guò)，則，直線l的方程為
綜上，直線l的方程為
故選：B.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題的關(guān)鍵首先是得到曲線對(duì)稱中心為，從而得到，然后再去設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)，得到高次方程，利用換元法結(jié)合因式分解解出的坐標(biāo)即可.
【訓(xùn)練四】（2023·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）設(shè)直線l：，圓C：，若直線l與圓C恒有兩個(gè)公共點(diǎn)A，B，則下列說(shuō)法正確的是（ ）
A．r的取值范圍是
B．若r的值固定不變，則當(dāng)時(shí)∠ACB最小
C．若r的值固定不變，則的面積的最大值為
D．若，則當(dāng)?shù)拿娣e最大時(shí)直線l的斜率為1或
【答案】BD
【分析】A選項(xiàng)，先整理直線方程，得到直線過(guò)的定點(diǎn)，再根據(jù)直線與圓的位置關(guān)系得到半徑r的范圍；B選項(xiàng)，利用平面幾何知識(shí)分析出當(dāng)時(shí)，∠ACB最小，再利用斜率之間的關(guān)系即可判斷；C選項(xiàng)，先將的面積用半徑r和圓心C到直線l的距離d表示，再利用二次函數(shù)的知識(shí)求最值即可；D選項(xiàng)，利用C選項(xiàng)得到半徑r和圓心C到直線l的距離d之間的關(guān)系，再利用點(diǎn)到直線的距離公式建立方程，求得a，b之間的關(guān)系，即可得到結(jié)果．
【詳解】A選項(xiàng)：因?yàn)橹本€l：，即，
令，解得，
所以直線l過(guò)定點(diǎn)，
因?yàn)橹本€l與圓C恒有兩個(gè)公共點(diǎn)，
所以，故A錯(cuò)誤；
B選項(xiàng)：因?yàn)橹本€l過(guò)定點(diǎn)，
所以當(dāng)時(shí)，∠ACB最小，
因?yàn)?，所以此時(shí)直線l的斜率為，
即，即，故B正確；
C選項(xiàng)：設(shè)圓心C到直線l的距離為d，
則的面積，
因?yàn)椋裕?br>①，即，則當(dāng)時(shí)，的面積最大，且；
②若，即，則函數(shù)S隨著d的增大而增大，所以，
綜上的面積的最大值為或，故C錯(cuò)誤；
D選項(xiàng)：由C選項(xiàng)知，當(dāng)時(shí)的面積最大，因?yàn)?，所以，整理得，所以或?br>因?yàn)?，所以直線l的斜率，所以或，故D正確．
故選：BD．
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：求解本題的關(guān)鍵：（1）整理直線方程，得到直線過(guò)的定點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）熟練掌握直線與圓的位置關(guān)系，并能利用平面幾何知識(shí)分析出圓心角何時(shí)最?。?br>【訓(xùn)練五】（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）將兩圓方程作差，得到直線的方程，則（ ）
A．直線一定過(guò)點(diǎn)
B．存在實(shí)數(shù)，使兩圓心所在直線的斜率為
C．對(duì)任意實(shí)數(shù)，兩圓心所在直線與直線垂直
D．過(guò)直線上任意一點(diǎn)一定可作兩圓的切線，且切線長(zhǎng)相等
【答案】BCD
【分析】利用分離參數(shù)法求出直線恒過(guò)的定點(diǎn)即可判斷A；利用兩圓心坐標(biāo)求斜率進(jìn)而判斷B；利用垂直直線的斜率之積為-1判斷C；設(shè)直線上一點(diǎn)，利用兩點(diǎn)坐標(biāo)求距離公式和勾股定理化簡(jiǎn)計(jì)算即可判斷D.
【詳解】由題意知，
，
兩式相減，得，
A：由，得，
則，解得，所以直線恒過(guò)定點(diǎn)，故A錯(cuò)誤；
B：，故B正確；
C：因?yàn)?，故C正確；
D：，，
則圓心到直線的距離為，
圓心到直線的距離為，
又，得，即直線與圓相離，
，得，即直線與圓相離，
所以過(guò)直線上任一點(diǎn)可作兩圓的切線.
在直線上任取一點(diǎn)，
設(shè)點(diǎn)P到圓的切線長(zhǎng)為，到圓的切線長(zhǎng)為，
則
，
，
所以，即，故D正確.
故選：BCD.
【訓(xùn)練六】（2022·河南·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知是定義在上的奇函數(shù)，其圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，當(dāng)時(shí)，，若方程的所有根的和為6，則實(shí)數(shù)的取值范圍是 ．
【答案】
【分析】將方程的根轉(zhuǎn)化為圖象交點(diǎn)問(wèn)題，畫出圖象，數(shù)形結(jié)合進(jìn)行求解.
【詳解】方程的根轉(zhuǎn)化為和的圖象的公共點(diǎn)的橫坐標(biāo)，
因?yàn)閮蓚€(gè)圖象均關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，要使所有根的和為6，則兩個(gè)圖象有且只有3個(gè)公共點(diǎn)．
作出和的圖象如圖所示．
當(dāng)時(shí)，只需直線與圓相離，可得；
當(dāng)時(shí)，只需直線與圓相切，可得．
故k的取值范圍是．
故答案為：
四、【強(qiáng)化測(cè)試】
一、單選題
1．（2023·全國(guó)·高二專題練習(xí)）若直線恒過(guò)點(diǎn)A，點(diǎn)A也在直線上，其中均為正數(shù)，則的最大值為（ ）
A．B．C．1D．2
【答案】B
【分析】根據(jù)直線的定點(diǎn)可得，進(jìn)而可得，結(jié)合基本不等式運(yùn)算求解.
【詳解】因?yàn)椋瑒t，
令，解得，
即直線恒過(guò)點(diǎn).
又因?yàn)辄c(diǎn)A也在直線上，則，
可得，且，
則，即，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立
所以的最大值為.
故選：B.
2．（2023·黑龍江哈爾濱·哈師大附中?？寄M預(yù)測(cè)）圓：與直線：交于、，當(dāng)最小時(shí)，的值為（ ）
A．B．2C．D．1
【答案】B
【分析】首先求出直線恒過(guò)定點(diǎn)，依題意當(dāng)時(shí)弦最小，求出直線的斜率，即可得解.
【詳解】直線：，即，令，解得，
即直線恒過(guò)定點(diǎn)，又，所以點(diǎn)在圓內(nèi)，

所以當(dāng)時(shí)弦最小，因?yàn)?，所以，即，解?
故選：B
3．（2023·湖南邵陽(yáng)·邵陽(yáng)市第二中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）已知，是橢圓的左、右焦點(diǎn)，是的上頂點(diǎn)，點(diǎn)在過(guò)且斜率為的直線上，為等腰三角形，，則的離心率為（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】求得直線AP的方程，根據(jù)題意求得P點(diǎn)坐標(biāo)，代入直線方程，即可求得橢圓的離心率．
【詳解】由題意可知：，，，直線的方程為：，
由，點(diǎn)在第三象限，，則，
代入直線方程中得整理得，
則，∴橢圓的離心率.
故選：B.
4．如果且，那么直線不通過(guò)（ ）
A．第一象限B．第二象限
C．第三象限D(zhuǎn)．第四象限
【答案】C
【分析】化簡(jiǎn)直線方程為直線的斜截式方程，結(jié)合斜率和在軸上的截距，即可求解.
【詳解】因?yàn)?，且，所以、、均不為零?br>由直線方程，可化為，
因?yàn)?，且，可得，?br>所以直線經(jīng)過(guò)第一、二、四象限，所以不經(jīng)過(guò)第三象限．
故選：C.
5．（2023·全國(guó)·高二專題練習(xí)）若直線與圓：相交于，兩點(diǎn)，則的最小值為（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】求出直線過(guò)的定點(diǎn)并判斷與圓的位置關(guān)系，再求出垂直于經(jīng)過(guò)該定點(diǎn)的圓的直徑的弦長(zhǎng)作答.
【詳解】直線，即恒過(guò)定點(diǎn)，
而，即點(diǎn)在圓內(nèi)，
因此當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，最小，
而圓的圓心，半徑，，
所以.
故選：B

6．（2023·全國(guó)·高二專題練習(xí)）已知直線和圓，則圓心O到直線l的距離的最大值為（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】把直線方程化為，求得直線過(guò)定點(diǎn)，結(jié)合圓的幾何性質(zhì)，即可求解.
【詳解】由題意，直線可化為，
聯(lián)立方程組，解得，即直線過(guò)定點(diǎn)，
又由，可得定點(diǎn)在圓內(nèi)，
由圓的幾何性質(zhì)知，圓心到直線的距離．
故選：B.
7．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）直線，直線，下列說(shuō)法正確的是（ ）
A．，使得B．，使得
C．，與都相交D．，使得原點(diǎn)到的距離為3
【答案】B
【分析】對(duì)A，要使，則，所以，解之再驗(yàn)證即可判斷；
對(duì)B，要使，，，解之再驗(yàn)證即可判斷；
對(duì)C，當(dāng)時(shí)，與重合，即可判斷；
對(duì)D，根據(jù)點(diǎn)到直線距離列方程即可判斷.
【詳解】對(duì)A，要使，則，所以，解之得，此時(shí)與重合，選項(xiàng)A錯(cuò)誤；
對(duì)B，要使，，，解之得，所以B正確；
對(duì)C，過(guò)定點(diǎn)，該定點(diǎn)在上，但是當(dāng)時(shí)，與重合，所以C錯(cuò)誤；
對(duì)D，，化簡(jiǎn)得，此方程，無(wú)實(shí)數(shù)解，所以D錯(cuò)誤.
故選：B.
8．（2023·貴州畢節(jié)·?？寄M預(yù)測(cè)）如圖，拋物線和直線在第一象限內(nèi)的交點(diǎn)為．設(shè)是拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，且滿足，記．現(xiàn)有四個(gè)結(jié)論：①當(dāng)時(shí)，；②當(dāng)時(shí)，的最小值是；③當(dāng)時(shí)，的最小值是；④無(wú)論為何值，都存在最小值．其中正確的個(gè)數(shù)為（ ）

A．1B．2C．3D．4
【答案】B
【分析】對(duì)①：直接聯(lián)立方程求解，對(duì)②③④：由拋物線方程求得焦點(diǎn)坐標(biāo)，再利用拋物線定義，數(shù)形結(jié)合找到t的最小值，注意等號(hào)成立的條件.
【詳解】對(duì)①：當(dāng)時(shí)，則直線，
聯(lián)立方程，解得或（舍去），
即，所以，故①正確；
因?yàn)榈街本€的距離，
可得，
又因?yàn)?，則，
拋物線的焦點(diǎn)為，
根據(jù)拋物線的定義知，即，
故，
因?yàn)榈街本€的距離，
過(guò)且與直線垂直的直線為，
聯(lián)立方程，解得或（舍去），
當(dāng)時(shí)，則，
所以的最小值是，此時(shí)點(diǎn)，故②正確；
當(dāng)時(shí)，因?yàn)槿〔坏近c(diǎn)，所以無(wú)最小值，故③④錯(cuò)誤；
綜上所述：正確的個(gè)數(shù)為2.
故選：B.

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：根據(jù)題意結(jié)合拋物線的定義可得，進(jìn)而數(shù)形結(jié)合分析最值，并注意等號(hào)成立的條件.
二、多選題
9．（2023秋·高二單元測(cè)試）已知圓，直線，則（ ）
A．直線恒過(guò)定點(diǎn)
B．直線能表示平面直角坐標(biāo)系內(nèi)每一條直線
C．對(duì)任意實(shí)數(shù)，直線都與圓相交
D．直線被圓截得的弦長(zhǎng)的最小值為
【答案】ACD
【分析】A選項(xiàng)，變形后聯(lián)立方程組，求出所過(guò)定點(diǎn)；B選項(xiàng)，在A的基礎(chǔ)上，得到直線不能表示直線，也不能表示不過(guò)點(diǎn)的直線；C選項(xiàng)，由點(diǎn)到直線距離公式得到在圓內(nèi)，從而得到直線都與圓相交；D選項(xiàng)，根據(jù)幾何關(guān)系得到弦長(zhǎng)最值.
【詳解】對(duì)于A：直線的方程可化為，
聯(lián)立，解得
所以直線恒過(guò)定點(diǎn)，∴A正確；
對(duì)于B：由A可知，直線不能表示直線，也不能表示不過(guò)點(diǎn)的直線，∴B錯(cuò)誤；
對(duì)于C，因?yàn)?，故直線恒過(guò)圓內(nèi)一點(diǎn)，所以直線與圓相交，∴C正確；
對(duì)于D，當(dāng)直線時(shí)，直線被圓截得的弦長(zhǎng)最短，因?yàn)椋?br>所以最短弦長(zhǎng)為，∴D正確．
故選：ACD．
10．（2023·浙江·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知圓是直線上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作圓的兩條切線，切點(diǎn)分別為，則（ ）
A．直線經(jīng)過(guò)定點(diǎn)
B．的最小值為
C．點(diǎn)到直線的距離的最大值為
D．是銳角
【答案】AB
【分析】由兩圓方程相減可得交點(diǎn)弦，即可可判斷A，根據(jù)直線經(jīng)過(guò)的定點(diǎn)即可求解C,由勾股定理即可判斷CD.
【詳解】設(shè)，則以為直徑的圓的方程為
，
化簡(jiǎn)得，與聯(lián)立，
可得所在直線方程：，即，
故可知恒過(guò)定點(diǎn)A正確；
到過(guò)定點(diǎn)的直線距離的最大值為：，
，故最小值為.B正確，
當(dāng)點(diǎn)與定點(diǎn)的連線與直線垂直時(shí)，此時(shí)點(diǎn)到直線
的距離最大，且最大值為，故C錯(cuò)誤；
圓心到的距離為，
由于,在直角三角形中，
當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到正好時(shí)，此時(shí)最小，的張角最大，
此時(shí)，
當(dāng)點(diǎn)位于其它點(diǎn)時(shí)均為銳角，故，不恒為銳角，D錯(cuò)誤.
故選：AB
11．（2023春·湖南岳陽(yáng)·高三湖南省岳陽(yáng)縣第一中學(xué)?？奸_學(xué)考試）下列說(shuō)法正確的是（ ）
A．直線的傾斜角為
B．存在使得直與直線垂直
C．對(duì)于任意，直線與圓相交
D．若直線過(guò)第一象限，則
【答案】ABC
【分析】對(duì)于A：化簡(jiǎn)成點(diǎn)斜式，利用斜率與傾斜角的關(guān)系得出結(jié)論，C選項(xiàng)首先求出直線過(guò)定點(diǎn)，且定點(diǎn)在圓的內(nèi)部，得出結(jié)論，B、C是通過(guò)特值得出結(jié)論.
【詳解】對(duì)于A：∵，∴，
∴，故A正確；
對(duì)于B：時(shí)符合題意，故B正確；
對(duì)于C：化簡(jiǎn)得：
∴，解得
∴直線過(guò)定點(diǎn)，
又∵
∴該定點(diǎn)在圓內(nèi)，
∴直線與圓相交，故C正確；
對(duì)于D：當(dāng)此時(shí)直線為，經(jīng)過(guò)第一象限，
此時(shí)，故D錯(cuò)誤．
故選：ABC．
12．（2023·全國(guó)·高二專題練習(xí)）已知直線l：與圓C：相交于A，B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，下列說(shuō)法正確的是（ ）
A．的最小值為B．若圓C關(guān)于直線l對(duì)稱，則
C．若，則或D．若A，B，C，O四點(diǎn)共圓，則
【答案】ACD
【分析】判斷出直線過(guò)定點(diǎn)，結(jié)合勾股定理、圓的對(duì)稱性、點(diǎn)到直線的距離公式、四點(diǎn)共圓等知識(shí)對(duì)選項(xiàng)進(jìn)行分析，從而確定正確答案.
【詳解】直線過(guò)點(diǎn)，
圓，即①，
圓心為，半徑為，
由于，所以在圓內(nèi).，
所以，此時(shí)，所以A選項(xiàng)正確.
若圓關(guān)于直線對(duì)稱，則直線過(guò)兩點(diǎn)，斜率為，所以B選項(xiàng)錯(cuò)誤.
設(shè)，則，此時(shí)三角形是等腰直角三角形，
到直線的距離為，即，
解得或，所以C選項(xiàng)正確.
對(duì)于D選項(xiàng)，若四點(diǎn)共圓，設(shè)此圓為圓，圓的圓心為，
的中點(diǎn)為，，
所以的垂直平分線為，則②，
圓的方程為，
整理得③，
直線是圓和圓的交線，
由①-③并整理得，
將代入上式得，④，
由②④解得，
所以直線即直線的斜率為，D選項(xiàng)正確.
故選：ACD
【點(diǎn)睛】求解直線和圓位置關(guān)系有關(guān)題目，首先要注意的是圓和直線的位置，是相交、相切還是相離.可通過(guò)點(diǎn)到直線的距離來(lái)判斷，也可以通過(guò)直線所過(guò)定點(diǎn)來(lái)進(jìn)行判斷.
三、填空題
13．（2023·全國(guó)·高二專題練習(xí)）已知直線過(guò)定點(diǎn)A，直線過(guò)定點(diǎn)，與相交于點(diǎn)，則 ．
【答案】13
【分析】根據(jù)題意求點(diǎn)的坐標(biāo)，再結(jié)合垂直關(guān)系運(yùn)算求解.
【詳解】對(duì)于直線，即，
令，則，則，可得直線過(guò)定點(diǎn)，
對(duì)于直線，即，
令，則，則，可得直線過(guò)定點(diǎn)，
因?yàn)椋瑒t，即，
所以.
故答案為：13.

14．（2023·全國(guó)·高二專題練習(xí)）已知直線l：被圓C：所截得的弦長(zhǎng)為整數(shù)，則滿足條件的直線l有 條.
【答案】9
【分析】根據(jù)題意可知直線l恒過(guò)定點(diǎn)，分別求得直線被圓截得弦長(zhǎng)的最大值和最小值，利用對(duì)稱性即可求得滿足條件的直線l共有9條.
【詳解】將直線l的方程整理可得，易知直線恒過(guò)定點(diǎn)；
圓心，半徑；
所以當(dāng)直線過(guò)圓心時(shí)弦長(zhǎng)取最大值，此時(shí)弦長(zhǎng)為直徑；
易知，當(dāng)圓心與的連線與直線l垂直時(shí)，弦長(zhǎng)最小，如下圖所示；

此時(shí)弦長(zhǎng)為，所以截得的弦長(zhǎng)為整數(shù)可?。?br>由對(duì)稱性可知，當(dāng)弦長(zhǎng)為時(shí)，各對(duì)應(yīng)兩條，共8條，
當(dāng)弦長(zhǎng)為8時(shí)，只有直徑1條，
所以滿足條件的直線l共有9條.
故答案為：9
15．（2023·新疆阿勒泰·統(tǒng)考三模）函數(shù)的圖象在點(diǎn)處的切線與坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積為 ．
【答案】/0.25
【分析】利用導(dǎo)數(shù)求出切線方程，即可得到切線與坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積.
【詳解】，，
，，
切線方程為：即，
當(dāng)時(shí)，，當(dāng)，時(shí)，
三角形面積為：.
故答案為：.
16．（2022·河南·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知是定義在上的奇函數(shù)，其圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，當(dāng)時(shí)，，若方程的所有根的和為6，則實(shí)數(shù)的取值范圍是 ．
【答案】
【分析】將方程的根轉(zhuǎn)化為圖象交點(diǎn)問(wèn)題，畫出圖象，數(shù)形結(jié)合進(jìn)行求解.
【詳解】方程的根轉(zhuǎn)化為和的圖象的公共點(diǎn)的橫坐標(biāo)，
因?yàn)閮蓚€(gè)圖象均關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，要使所有根的和為6，則兩個(gè)圖象有且只有3個(gè)公共點(diǎn)．
作出和的圖象如圖所示．
當(dāng)時(shí)，只需直線與圓相離，可得；
當(dāng)時(shí)，只需直線與圓相切，可得．
故k的取值范圍是．
故答案為：
四、解答題
17．如圖，為橢圓的兩個(gè)頂點(diǎn)，為橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)．
(1)寫出橢圓的方程及準(zhǔn)線方程；
(2)過(guò)線段上異于O，A的任一點(diǎn)K作的垂線，交橢圓于P，兩點(diǎn)，直線與交于點(diǎn)M．求證：點(diǎn)M在雙曲線上．
【答案】(1)橢圓的方程為，準(zhǔn)線方程為；
(2)詳見解析.
【分析】（1）由題可得，進(jìn)而即得；
（2）設(shè)，點(diǎn)，由題可得直線與的方程，進(jìn)而可得交點(diǎn)的坐標(biāo)，驗(yàn)證即得.
【詳解】（1）由題可設(shè)橢圓的方程為，
則，
∴，
所以橢圓的方程為，準(zhǔn)線方程為；
（2）設(shè)，點(diǎn)，其中，
則，
直線的方程為，
直線的方程為，
由，可得，
所以，又，
因?yàn)椋?br>所以直線與交于點(diǎn)M 在雙曲線上.
18．一條直線過(guò)點(diǎn)，并且與直線平行，求這條直線的方程．
【答案】
【分析】根據(jù)平行關(guān)系設(shè)出直線方程，再代入坐標(biāo)即可求解
【詳解】因?yàn)樗笾本€與直線平行，所以設(shè)該直線為，
將代入得，解得，
所以這條直線的方程為
19．（2022秋·天津?qū)幒印じ叨旖蚴袑幒訁^(qū)蘆臺(tái)第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知三角形ABC的頂點(diǎn)坐標(biāo)為A（-1，5）、B（-2，-1）、C（4，3），M是BC邊上的中點(diǎn).
(1)求AB邊所在的直線方程；
(2)求中線AM的長(zhǎng)
(3)求AB邊的高所在直線方程.
【答案】(1)；
(2)；
(3).
【分析】（1）由兩點(diǎn)式寫出直線方程，整理為一般式即可，也可求出斜率，再由點(diǎn)斜式得直線方程；
（2）由中點(diǎn)坐標(biāo)公式求得中點(diǎn)坐標(biāo)，再由兩點(diǎn)間距離公式計(jì)算可得；
（3）先求直線AB的斜率，由垂直關(guān)系可得AB邊高線的斜率，可得高線的點(diǎn)斜式方程，化為一般式即可.
【詳解】（1）法一：由兩點(diǎn)式寫方程得，即；
法二：直線的斜率為，
直線的方程為，即；
（2）設(shè)的坐標(biāo)為，則由中點(diǎn)坐標(biāo)公式可得，故，
所以；
（3）直線AB的斜率為，
所以由垂直關(guān)系可得AB邊高線的斜率為，
故AB邊的高所在直線方程為,化為一般式可得：.
20．如圖，已知直線與曲線在第一象限和第三象限分別交于點(diǎn)和點(diǎn)，分別由點(diǎn)、向軸作垂線，垂足分別為、，記四邊形的面積為.
(1)求出點(diǎn)、的坐標(biāo)及實(shí)數(shù)的取值范圍；
(2)當(dāng)取何值時(shí)，取得最小值，并求出的最小值.
【答案】(1)，，實(shí)數(shù)的取值范圍為；
(2)時(shí)，
【分析】（1）由題意得直線與曲線交兩點(diǎn)，聯(lián)立直線與曲線方程解得兩點(diǎn)坐標(biāo)，由得，即，，再由第一象限和第三象限求得的取值范圍（2）要求出的最小值，將四邊形沿軸分割成兩個(gè)三角形，以為公共底，為高，表示出，運(yùn)用不等式求出結(jié)果即可.
【詳解】（1）由得，，
即，解得或，
當(dāng)時(shí)，，即，
當(dāng)時(shí)，，即，
點(diǎn)在第三象限，，得，
故，，故實(shí)數(shù)的取值范圍為；
（2），則，
，
∴，
故關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式，
得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，
即當(dāng)時(shí)，四邊形面積.
21．（2023·安徽蚌埠·統(tǒng)考三模）如圖，在平行四邊形中，點(diǎn)是原點(diǎn)，點(diǎn)和點(diǎn)的坐標(biāo)分別是、，點(diǎn)是線段上的動(dòng)點(diǎn).
(1)求所在直線的一般式方程；
(2)當(dāng)在線段上運(yùn)動(dòng)時(shí)，求線段的中點(diǎn)的軌跡方程.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根據(jù)直線平行求出所在直線的斜率，然后代入點(diǎn)斜式寫出所在的直線方程；
（2）設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)是，點(diǎn)的坐標(biāo)是，利用平行四邊形，推出與坐標(biāo)關(guān)系，利用相關(guān)點(diǎn)法求點(diǎn)的軌跡方程即可.
【詳解】（1），所在直線的斜率為：.
所在直線方程是，即；
（2）設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)是，點(diǎn)的坐標(biāo)是，
由平行四邊形的性質(zhì)得點(diǎn)的坐標(biāo)是，
是線段的中點(diǎn)，，，
于是有，，
點(diǎn)在線段上運(yùn)動(dòng)，
，
，即，
由得，
線段的中點(diǎn)的軌跡方程為.
22．（2023·浙江紹興·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知，直線相交于，且直線的斜率之積為2.
(1)求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程；
(2)設(shè)是點(diǎn)軌跡上不同的兩點(diǎn)且都在軸的右側(cè)，直線在軸上的截距之比為，求證：直線經(jīng)過(guò)一個(gè)定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)坐標(biāo).
【答案】(1)；
(2)證明見解析，定點(diǎn).
【分析】（1）設(shè)出點(diǎn)的坐標(biāo)，利用斜率坐標(biāo)公式結(jié)合已知，列出方程化簡(jiǎn)作答.
（2）設(shè)出直線在軸上的截距，求出直線方程，并分別與的軌跡方程聯(lián)立求出點(diǎn)P，Q的坐標(biāo)，再求出直線的方程作答.
【詳解】（1）設(shè)，則直線的斜率是，直線的斜率是，
所以，化簡(jiǎn)整理得：，
所以動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程是.
（2）設(shè)直線在軸上的截距為，則直線在軸上的截距為，顯然，
直線的方程為，即，直線的方程為，即，
又雙曲線的漸近線方程為，顯然直線與雙曲線兩支各交于一點(diǎn)，
直線與雙曲線右支交于兩點(diǎn)，則有，且，于是，
由消去化簡(jiǎn)整理得：，設(shè)點(diǎn)，
則，解得，有，
由消去化簡(jiǎn)整理得：，設(shè)點(diǎn)，
則，解得，有，
，，
于是，設(shè)直線上任意一點(diǎn)，則，
顯然，因此，即，
整理得，顯然直線恒過(guò)定點(diǎn)，
所以直線經(jīng)過(guò)定點(diǎn).
【點(diǎn)睛】易錯(cuò)點(diǎn)睛：求解軌跡方程問(wèn)題，設(shè)出動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)條件求列出方程，再化簡(jiǎn)整理求解，還應(yīng)特別注意：補(bǔ)上在軌跡上而坐標(biāo)不是方程解的點(diǎn)，剔出不在軌跡上而坐標(biāo)是方程解的點(diǎn).名稱
幾何條件
方程
適用條件
斜截式
縱截距、斜率
y＝kx＋b
與x軸不垂直的直線
點(diǎn)斜式
過(guò)一點(diǎn)、斜率
y－y0＝k(x－x0)
兩點(diǎn)式
過(guò)兩點(diǎn)
eq \f(y－y1,y2－y1)＝eq \f(x－x1,x2－x1)
與兩坐標(biāo)軸均不垂直的直線
截距式
縱、橫截距
eq \f(x,a)＋eq \f(y,b)＝1
不過(guò)原點(diǎn)且與兩坐標(biāo)軸均不垂直的直線
一般式
Ax＋By＋C＝0
(A2＋B2≠0)
所有直線
α
0°
0°

相關(guān)試卷

2024年新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)題型歸類與強(qiáng)化測(cè)試專題47向量法求距離探索性及折疊問(wèn)題（教師版）：

這是一份2024年新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)題型歸類與強(qiáng)化測(cè)試專題47向量法求距離探索性及折疊問(wèn)題（教師版），共49頁(yè)。試卷主要包含了【知識(shí)梳理】，【題型歸類】，【培優(yōu)訓(xùn)練】，【強(qiáng)化測(cè)試】等內(nèi)容，歡迎下載使用。

2024年新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)題型歸類與強(qiáng)化測(cè)試專題48直線的方程（Word版附解析）：

這是一份2024年新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)題型歸類與強(qiáng)化測(cè)試專題48直線的方程（Word版附解析），共31頁(yè)。試卷主要包含了【知識(shí)梳理】，【題型歸類】，【培優(yōu)訓(xùn)練】，【強(qiáng)化測(cè)試】等內(nèi)容，歡迎下載使用。

2024年新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)題型歸類與強(qiáng)化測(cè)試專題35復(fù)數(shù)（Word版附解析）：

這是一份2024年新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)題型歸類與強(qiáng)化測(cè)試專題35復(fù)數(shù)（Word版附解析），共15頁(yè)。試卷主要包含了【知識(shí)梳理】，【題型歸類】，【培優(yōu)訓(xùn)練】，【強(qiáng)化測(cè)試】等內(nèi)容，歡迎下載使用。

英語(yǔ)朗讀寶

相關(guān)試卷 更多

2024年新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)題型歸類與強(qiáng)化測(cè)試專題39數(shù)列求和（Word版附解析）

2024年新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)題型歸類與強(qiáng)化測(cè)試專題39數(shù)列求和（Word版附解析）
2024年新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)題型歸類與強(qiáng)化測(cè)試專題12函數(shù)的圖象（Word版附解析）

2024年新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)題型歸類與強(qiáng)化測(cè)試專題12函數(shù)的圖象（Word版附解析）
2024年新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)題型歸類與強(qiáng)化測(cè)試專題13函數(shù)與方程（Word版附解析）

2024年新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)題型歸類與強(qiáng)化測(cè)試專題13函數(shù)與方程（Word版附解析）
2024年新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)題型歸類與強(qiáng)化測(cè)試專題01集合（Word版附解析）

2024年新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)題型歸類與強(qiáng)化測(cè)試專題01集合（Word版附解析）
資料下載及使用幫助
版權(quán)申訴
版權(quán)申訴
若您為此資料的原創(chuàng)作者，認(rèn)為該資料內(nèi)容侵犯了您的知識(shí)產(chǎn)權(quán)，請(qǐng)掃碼添加我們的相關(guān)工作人員，我們盡可能的保護(hù)您的合法權(quán)益。
入駐教習(xí)網(wǎng)，可獲得資源免費(fèi)推廣曝光，還可獲得多重現(xiàn)金獎(jiǎng)勵(lì)，申請(qǐng) 精品資源制作， 工作室入駐。
版權(quán)申訴二維碼
高考專區(qū)
歡迎來(lái)到教習(xí)網(wǎng)
  • 900萬(wàn)優(yōu)選資源，讓備課更輕松
  • 600萬(wàn)優(yōu)選試題，支持自由組卷
  • 高質(zhì)量可編輯，日均更新2000+
  • 百萬(wàn)教師選擇，專業(yè)更值得信賴
微信掃碼注冊(cè)
qrcode
二維碼已過(guò)期
刷新

微信掃碼，快速注冊(cè)

手機(jī)號(hào)注冊(cè)
手機(jī)號(hào)碼

手機(jī)號(hào)格式錯(cuò)誤

手機(jī)驗(yàn)證碼 獲取驗(yàn)證碼

手機(jī)驗(yàn)證碼已經(jīng)成功發(fā)送，5分鐘內(nèi)有效

設(shè)置密碼

6-20個(gè)字符，數(shù)字、字母或符號(hào)

注冊(cè)即視為同意教習(xí)網(wǎng)「注冊(cè)協(xié)議」及「隱私條款」
QQ注冊(cè)
手機(jī)號(hào)注冊(cè)
微信注冊(cè)

注冊(cè)成功

返回
頂部