【考綱要求】
1.理解空間中直線與直線、直線與平面、平面與平面的平行關(guān)系，并加以證明.
2.掌握直線與平面、平面與平面平行的判定與性質(zhì)，并會(huì)簡(jiǎn)單應(yīng)用．
【考點(diǎn)預(yù)測(cè)】
1.直線與平面平行
(1)直線與平面平行的定義
直線l與平面α沒有公共點(diǎn)，則稱直線l與平面α平行.
(2)判定定理與性質(zhì)定理
2.平面與平面平行
(1)平面與平面平行的定義
沒有公共點(diǎn)的兩個(gè)平面叫做平行平面.
(2)判定定理與性質(zhì)定理
【常用結(jié)論】
(1)垂直于同一條直線的兩個(gè)平面平行，即若a⊥α，a⊥β，則α∥β.
(2)平行于同一個(gè)平面的兩個(gè)平面平行，即若α∥β，β∥γ，則α∥γ.
(3)垂直于同一個(gè)平面的兩條直線平行，即a⊥α，b⊥α，則a∥b.
(4)若α∥β，a?α，則a∥β.
【方法技巧】
1.判斷或證明線面平行的常用方法
①利用線面平行的定義(無(wú)公共點(diǎn))．
②利用線面平行的判定定理(a?α，b?α，a∥b?a∥α)．
③利用面面平行的性質(zhì)(α∥β，a?α?a∥β)．
④利用面面平行的性質(zhì)(α∥β，a?β，a∥α?a∥β)．
2.應(yīng)用線面平行的性質(zhì)定理的關(guān)鍵是確定交線的位置，有時(shí)需要經(jīng)過(guò)已知直線作輔助平面確定交線．
3.證明面面平行的方法
(1)面面平行的定義．
(2)面面平行的判定定理．
(3)垂直于同一條直線的兩個(gè)平面平行．
(4)兩個(gè)平面同時(shí)平行于第三個(gè)平面，那么這兩個(gè)平面平行．
(5)利用“線線平行”“線面平行”“面面平行”的相互轉(zhuǎn)化．
4.解決這種數(shù)值或存在性問(wèn)題的題目時(shí)，注意先給出具體的值或先假設(shè)存在，然后再證明．
二、【題型歸類】
【題型一】直線與平面平行的判定與性質(zhì)
【典例1】如圖所示，正方形ABCD與正方形ABEF所在的平面相交于AB，在AE、BD上各有一點(diǎn)P、Q，且AP＝DQ.求證：PQ∥平面BCE.
【解析】證明 法一 如圖所示，作PM∥AB交BE于M，作QN∥AB交BC于N，連接MN.
∵正方形ABCD和正方形ABEF有公共邊AB.
又AP＝DQ，∴PE＝QB，
又PM∥AB∥QN，
∴eq \f(PM,AB)＝eq \f(PE,AE)＝eq \f(QB,BD)＝eq \f(QN,DC)，∴eq \f(PM,AB)＝eq \f(QN,DC).
又AB∥DC，且AB=DC，∴PM∥QN，且PM=QN，∴四邊形PMNQ為平行四邊形，
∴PQ∥MN.又MN?平面BCE，PQ?平面BCE，
∴PQ∥平面BCE.
法二 如圖，在平面ABEF內(nèi)，過(guò)點(diǎn)P作PM∥BE交AB于點(diǎn)M，連接QM.
則PM∥平面BCE，
∵PM∥BE，
∴eq \f(AP,PE)＝eq \f(AM,MB)，又AE＝BD，AP＝DQ，
∴PE＝BQ，∴eq \f(AP,PE)＝eq \f(DQ,BQ)，∴eq \f(AM,MB)＝eq \f(DQ,QB)，
∴MQ∥AD，又AD∥BC，∴MQ∥BC，
∴MQ∥平面BCE，又PM∩MQ＝M，
∴平面PMQ∥平面BCE，又PQ?平面PMQ，∴PQ∥平面BCE.
【典例2】如圖所示，在四棱錐P－ABCD中，四邊形ABCD是平行四邊形，M是PC的中點(diǎn)，在DM上取一點(diǎn)G，過(guò)G和PA作平面交BD于點(diǎn)H.求證：PA∥GH.
【解析】證明 如圖所示，連接AC交BD于點(diǎn)O，連接OM，
∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴O是AC的中點(diǎn)，
又M是PC的中點(diǎn)，∴PA∥OM，
又OM?平面BMD，PA?平面BMD，
∴PA∥平面BMD，
又平面PAHG∩平面BMD＝GH，
∴PA∥GH.
【典例3】如圖所示，已知四邊形ABCD是正方形，四邊形ACEF是矩形，M是線段EF的中點(diǎn).
(1)求證：AM∥平面BDE；
(2)若平面ADM∩平面BDE＝l，平面ABM∩平面BDE＝m，試分析l與m的位置關(guān)系，并證明你的結(jié)論.
【解析】(1)證明 如圖，記AC與BD的交點(diǎn)為O，連接OE.
因?yàn)镺，M分別為AC，EF的中點(diǎn)，
四邊形ACEF是矩形，
所以四邊形AOEM是平行四邊形，所以AM∥OE.
又因?yàn)镺E?平面BDE，AM?平面BDE，
所以AM∥平面BDE.
(2)解 l∥m，證明如下：
由(1)知AM∥平面BDE，
又AM?平面ADM，平面ADM∩平面BDE＝l，
所以l∥AM，
同理，AM∥平面BDE，
又AM?平面ABM，平面ABM∩平面BDE＝m，
所以m∥AM，所以l∥m.
【題型二】平面與平面平行的判定與性質(zhì)
【典例1】如圖所示，在三棱柱ABC－A1B1C1中，過(guò)BC的平面與上底面A1B1C1交于GH(GH與B1C1不重合)．
(1)求證：BC∥GH；
(2)若E，F(xiàn)，G分別是AB，AC，A1B1的中點(diǎn)，求證：平面EFA1∥平面BCHG.
【解析】證明 (1)∵在三棱柱ABC－A1B1C1中，
∴平面ABC∥平面A1B1C1，
又∵平面BCHG∩平面ABC＝BC，
且平面BCHG∩平面A1B1C1＝HG，
∴由面面平行的性質(zhì)定理得BC∥GH.
(2)∵E，F(xiàn)分別為AB，AC的中點(diǎn)，∴EF∥BC，
∵EF?平面BCHG，BC?平面BCHG，
∴EF∥平面BCHG.
又G，E分別為A1B1，AB的中點(diǎn)，A1B1∥AB，且A1B1=AB，
∴A1G∥EB，且A1G=EB，
∴四邊形A1EBG是平行四邊形，∴A1E∥GB.
∵A1E?平面BCHG，GB?平面BCHG，
∴A1E∥平面BCHG.
又∵A1E∩EF＝E，A1E，EF?平面EFA1，
∴平面EFA1∥平面BCHG.
【典例2】如圖，在三棱柱ABC－A1B1C1中，E，F(xiàn)，G分別為B1C1，A1B1，AB的中點(diǎn)．
(1)求證：平面A1C1G∥平面BEF；
(2)若平面A1C1G∩BC＝H，求證：H為BC的中點(diǎn)．
【解析】證明 (1)∵E，F(xiàn)分別為B1C1，A1B1的中點(diǎn)，
∴EF∥A1C1，
∵A1C1?平面A1C1G，EF?平面A1C1G，
∴EF∥平面A1C1G，
又F，G分別為A1B1，AB的中點(diǎn)，
∴A1F＝BG，
又A1F∥BG，
∴四邊形A1GBF為平行四邊形，
則BF∥A1G，
∵A1G?平面A1C1G，BF?平面A1C1G，
∴BF∥平面A1C1G，
又EF∩BF＝F，EF，BF?平面BEF，
∴平面A1C1G∥平面BEF.
(2)∵平面ABC∥平面A1B1C1，平面A1C1G∩平面A1B1C1＝A1C1，
平面A1C1G與平面ABC有公共點(diǎn)G，則有經(jīng)過(guò)G的直線，設(shè)交BC于點(diǎn)H，如圖，
則A1C1∥GH，得GH∥AC，
∵G為AB的中點(diǎn)，∴H為BC的中點(diǎn)．
【典例3】如圖，四棱柱ABCD－A1B1C1D1的底面ABCD是正方形．
(1)證明：平面A1BD∥平面CD1B1；
(2)若平面ABCD∩平面CD1B1＝直線l，證明：B1D1∥l.
【解析】證明 (1)由題設(shè)知BB1，DD1平行且相等，所以四邊形BB1D1D是平行四邊形，所以BD∥B1D1.
又BD?平面CD1B1，B1D1?平面CD1B1，
所以BD∥平面CD1B1.
因?yàn)锳1D1，B1C1，BC平行且相等.
所以四邊形A1BCD1是平行四邊形，
所以A1B∥D1C.
又A1B?平面CD1B1，D1C?平面CD1B1，
所以A1B∥平面CD1B1.
又因?yàn)锽D∩A1B＝B，BD，A1B?平面A1BD，
所以平面A1BD∥平面CD1B1.
(2)由(1)知平面A1BD∥平面CD1B1，
又平面ABCD∩平面CD1B1＝直線l，
平面ABCD∩平面A1BD＝直線BD，
所以直線l∥直線BD，
在四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，四邊形BDD1B1為平行四邊形，
所以B1D1∥BD，所以B1D1∥l.
【題型三】平行關(guān)系的綜合應(yīng)用
【典例1】如圖，在四棱錐P－ABCD中，AD∥BC，AB＝BC＝eq \f(1,2)AD，E，F(xiàn)，H分別為線段AD，PC，CD的中點(diǎn)，AC與BE交于O點(diǎn)，G是線段OF上一點(diǎn).
(1)求證：AP∥平面BEF；
(2)求證：GH∥平面PAD.
【解析】證明 (1)如圖，連接EC，因?yàn)锳D∥BC，BC＝eq \f(1,2)AD，
所以BC∥AE，BC＝AE，
所以四邊形ABCE是平行四邊形，所以O(shè)為AC的中點(diǎn).
又因?yàn)镕是PC的中點(diǎn)，所以FO∥AP，
因?yàn)镕O?平面BEF，AP?平面BEF，
所以AP∥平面BEF.
(2)連接OH，因?yàn)镕，H分別是PC，CD的中點(diǎn)，
所以FH∥PD，
因?yàn)镻D?平面PAD，F(xiàn)H?平面PAD，
所以FH∥平面PAD.
又因?yàn)镺是AC的中點(diǎn)，H是CD的中點(diǎn)，
所以O(shè)H∥AD，
因?yàn)锳D?平面PAD，OH?平面PAD，
所以O(shè)H∥平面PAD.
又FH∩OH＝H，F(xiàn)H，OH?平面OHF，
所以平面OHF∥平面PAD.
又因?yàn)镚H?平面OHF，
所以GH∥平面PAD.
【典例2】如圖，四邊形ABCD與四邊形ADEF均為平行四邊形，M，N，G分別是AB，AD，EF的中點(diǎn).求證：
(1)BE∥平面DMF；
(2)平面BDE∥平面MNG.
【解析】證明 (1)如圖，連接AE，則AE必過(guò)DF與GN的交點(diǎn)O，因?yàn)樗倪呅蜛DEF為平行四邊形，所以O(shè)為AE的中點(diǎn).
連接MO，則MO為△ABE的中位線，所以BE∥MO，
又BE?平面DMF，MO?平面DMF，
所以BE∥平面DMF.
(2)因?yàn)镹，G分別為平行四邊形ADEF的邊AD，EF的中點(diǎn)，所以DE∥NG，
又DE?平面MNG，NG?平面MNG，
所以DE∥平面MNG.
因?yàn)镸為AB的中點(diǎn)，N為AD的中點(diǎn)，
所以MN為△ABD的中位線，
所以BD∥MN，
又BD?平面MNG，MN?平面MNG，
所以BD∥平面MNG，
又DE與BD為平面BDE內(nèi)的兩條相交直線，
所以平面BDE∥平面MNG.
【典例3】如圖，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，P，Q分別為對(duì)角線BD，CD1上的點(diǎn)，且eq \f(CQ,QD1)＝eq \f(BP,PD)＝eq \f(2,3).
(1)求證：PQ∥平面A1D1DA；
(2)若R是AB上的點(diǎn)，eq \f(AR,AB)的值為多少時(shí)，能使平面PQR∥平面A1D1DA？請(qǐng)給出證明．
【解析】(1)證明 連接CP并延長(zhǎng)，與DA的延長(zhǎng)線交于M點(diǎn)，如圖，連接MD1，因?yàn)樗倪呅蜛BCD為正方形，
所以BC∥AD，
故△PBC∽△PDM，
所以eq \f(CP,PM)＝eq \f(BP,PD)＝eq \f(2,3)，
又因?yàn)閑q \f(CQ,QD1)＝eq \f(BP,PD)＝eq \f(2,3)，
所以eq \f(CQ,QD1)＝eq \f(CP,PM)＝eq \f(2,3)，
所以PQ∥MD1.
又MD1?平面A1D1DA，PQ?平面A1D1DA，
故PQ∥平面A1D1DA.
(2)解 當(dāng)eq \f(AR,AB)的值為eq \f(3,5)時(shí)，能使平面PQR∥平面A1D1DA.如圖，
證明如下：
因?yàn)閑q \f(AR,AB)＝eq \f(3,5)，
即eq \f(BR,RA)＝eq \f(2,3)，
故eq \f(BR,RA)＝eq \f(BP,PD).
所以PR∥DA.
又DA?平面A1D1DA，PR?平面A1D1DA，
所以PR∥平面A1D1DA，
又PQ∥平面A1D1DA，PQ∩PR＝P，PQ，PR?平面PQR，
所以平面PQR∥平面A1D1DA.
三、【培優(yōu)訓(xùn)練】
【訓(xùn)練一】(多選)在長(zhǎng)方體ABCD－A1B1C1D1中，AB＝AD＝1，AA1＝2，P是線段BC1上的一動(dòng)點(diǎn)，則下列說(shuō)法中正確的是( )
A.A1P∥平面AD1C
B.A1P與平面BCC1B1所成角的正切值的最大值是eq \f(2\r(5),5)
C.A1P＋PC的最小值為eq \f(\r(170),5)
D.以A為球心，eq \r(2)為半徑的球面與側(cè)面DCC1D1的交線長(zhǎng)是eq \f(π,2)
【解析】對(duì)于A，由于平面A1BC1∥平面AD1C，A1P?平面A1BC1，所以A1P∥平面AD1C，所以A正確；
對(duì)于B，當(dāng)B1P⊥BC1時(shí)，A1P與平面BCC1B1所成角的正切值最大，易求最大值是eq \f(\r(5),2)，所以B錯(cuò)誤；
對(duì)于C，將△A1C1B沿BC1翻折與△BCC1在同一平面，且點(diǎn)A1，C在直線BC1的異側(cè)，此時(shí)在△A1CC1中，由三角恒等變換可求得cs∠A1C1C＝－eq \f(\r(2),10)，由余弦定理可得A1C＝eq \f(\r(170),5)，所以A1P＋PC的最小值為eq \f(\r(170),5)，C正確；
對(duì)于D，由于AD⊥平面DCC1D1，所以交線為以D為圓心，1為半徑的圓周的四分之一，所以交線長(zhǎng)是eq \f(π,2)，D正確.
故選ACD.
【訓(xùn)練二】在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，O為底面ABCD的中心，P是DD1的中點(diǎn)，設(shè)Q是CC1上的點(diǎn)，則點(diǎn)Q滿足條件________時(shí)，有平面D1BQ∥平面PAO.
【解析】如圖所示，設(shè)Q為CC1的中點(diǎn)，因?yàn)镻為DD1的中點(diǎn)，所以QB∥PA.連接DB，因?yàn)镻，O分別是DD1，DB的中點(diǎn)，所以D1B∥PO，又D1B?平面PAO，QB?平面PAO，PO?平面PAO，PA?平面PAO，所以D1B∥平面PAO，QB∥平面PAO，又D1B∩QB＝B，所以平面D1BQ∥平面PAO.故Q為CC1的中點(diǎn)時(shí)，有平面D1BQ∥平面PAO.
【訓(xùn)練三】如圖，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，P，Q分別為對(duì)角線BD，CD1上的點(diǎn)，且eq \f(CQ,QD1)＝eq \f(BP,PD)＝eq \f(2,3).
(1)求證：PQ∥平面A1D1DA；
(2)若R是AB上的點(diǎn)，eq \f(AR,AB)的值為多少時(shí)，能使平面PQR∥平面A1D1DA？請(qǐng)給出證明.
【解析】(1)證明 連接CP并延長(zhǎng)與DA的延長(zhǎng)線交于M點(diǎn)，如圖，連接MD1，
因?yàn)樗倪呅蜛BCD為正方形，所以BC∥AD，
故△PBC∽△PDM，所以eq \f(CP,PM)＝eq \f(BP,PD)＝eq \f(2,3)，
又因?yàn)閑q \f(CQ,QD1)＝eq \f(BP,PD)＝eq \f(2,3)，
所以eq \f(CQ,QD1)＝eq \f(CP,PM)＝eq \f(2,3)，
所以PQ∥MD1.
又MD1?平面A1D1DA，
PQ?平面A1D1DA，
故PQ∥平面A1D1DA.
(2)解 當(dāng)eq \f(AR,AB)的值為eq \f(3,5)時(shí)，能使平面PQR∥平面A1D1DA.
如圖，證明：
因?yàn)閑q \f(AR,AB)＝eq \f(3,5)，
即eq \f(BR,RA)＝eq \f(2,3)，故eq \f(BR,RA)＝eq \f(BP,PD).所以PR∥DA.
又DA?平面A1D1DA，PR?平面A1D1DA，
所以PR∥平面A1D1DA，
又PQ∥平面A1D1DA，PQ∩PR＝P，PQ，PR?平面PQR，
所以平面PRQ∥平面A1D1DA.
【訓(xùn)練四】如圖，正方體ABCD－A1B1C1D1中，棱長(zhǎng)為a，M，N分別為AB1，A1C1上的點(diǎn)，A1N＝AM.
(1)求證：MN∥平面BB1C1C；
(2)求MN的最小值．
【解析】(1)證明 如圖，作NE∥A1B1交B1C1于點(diǎn)E，作MF∥AB交BB1于點(diǎn)F，連接EF，
則NE∥MF.
∵NE∥A1B1，∴eq \f(NE,A1B1)＝eq \f(C1N,A1C1).
又MF∥AB，∴eq \f(MF,AB)＝eq \f(B1M,AB1)，
∵A1C1＝AB1，A1N＝AM，
∴C1N＝B1M.
∴eq \f(NE,A1B1)＝eq \f(MF,AB)，
又AB＝A1B1，∴NE＝MF.
∴四邊形MNEF是平行四邊形，∴MN∥EF，
又MN?平面BB1C1C，EF?平面BB1C1C，
∴MN∥平面BB1C1C.
(2)解 設(shè)B1E＝x，∵NE∥A1B1，
∴eq \f(B1E,B1C1)＝eq \f(A1N,A1C1).
又∵M(jìn)F∥AB，∴eq \f(B1F,BB1)＝eq \f(B1M,AB1)，
∵A1N＝AM，A1C1＝AB1＝eq \r(2)a，
B1C1＝BB1＝a，B1E＝x，
∴eq \f(B1E,B1C1)＋eq \f(B1F,BB1)＝eq \f(A1N,A1C1)＋eq \f(B1M,AB1)，
∴eq \f(x,a)＋eq \f(B1F,a)＝1，
∴B1F＝a－x，
從而MN＝EF＝eq \r(B1E2＋B1F2)
＝eq \r(x2＋?a－x?2)
＝eq \r(2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(a,2)))2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a,\r(2))))2)，
∴當(dāng)x＝eq \f(a,2)時(shí)，MN的最小值為eq \f(\r(2),2)a.
【訓(xùn)練五】如圖，在四棱錐P－ABCD中，側(cè)棱PA⊥平面ABCD，四邊形ABCD是直角梯形，BC∥AD，AB⊥AD，PA＝AB＝2，AD＝3BC＝3，E在棱AD上，且AE＝1，若平面CEF與棱PD相交于點(diǎn)F，且平面CEF∥平面PAB.
(1)求eq \f(PF,FD)的值；
(2)求點(diǎn)F到平面PBC的距離．
【解析】(1)∵平面CEF∥平面PAB，
且平面CEF∩平面PAD＝EF，平面PAB∩平面PAD＝PA，
∴PA∥EF，
又AE＝1＝eq \f(1,3)AD，∴PF＝eq \f(1,3)PD，∴eq \f(PF,FD)＝eq \f(1,2).
(2)∵F為PD的三等分點(diǎn)，
∴F到平面PBC的距離等于D到平面PBC的距離的eq \f(1,3)，
設(shè)D到平面PBC的距離為h，
∵PA⊥平面ABCD，
∴PA⊥BC，
又∵BC∥AD，AB⊥AD，∴BC⊥AB，
∵PA∩AB＝A，PA，AB?平面PAB，
∴BC⊥平面PAB，∴BC⊥PB，
由等體積法得VD－PBC＝VP－BCD，
即eq \f(1,3)S△PBC·h＝eq \f(1,3)S△DBC·PA，
∵PA＝AB＝2，AD＝3BC＝3，
∴PB＝2eq \r(2)，BC＝1，
∴S△PBC＝eq \f(1,2)PB·BC＝eq \r(2)，S△DBC＝eq \f(1,2)BC·AB＝1，
∴h＝eq \r(2)，
∴F到平面PBC的距離等于eq \f(\r(2),3).
【訓(xùn)練六】如圖，四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是直角梯形，AB∥CD，AB⊥AD，AB＝2CD＝2AD＝4，側(cè)面PAB是等腰直角三角形，PA＝PB，平面PAB⊥平面ABCD，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是棱AB，PB上的點(diǎn)，平面CEF∥平面PAD.
(1)確定點(diǎn)E，F(xiàn)的位置，并說(shuō)明理由；
(2)求三棱錐F-DCE的體積．
【解析】(1)因?yàn)槠矫鍯EF∥平面PAD，平面CEF∩平面ABCD＝CE，
平面PAD∩平面ABCD＝AD，
所以CE∥AD，又AB∥DC，
所以四邊形AECD是平行四邊形，
所以DC＝AE＝eq \f(1,2)AB，
即點(diǎn)E是AB的中點(diǎn)．
因?yàn)槠矫鍯EF∥平面PAD，平面CEF∩平面PAB＝EF，
平面PAD∩平面PAB＝PA，
所以EF∥PA，又點(diǎn)E是AB的中點(diǎn)，
所以點(diǎn)F是PB的中點(diǎn)．
綜上，E，F(xiàn)分別是AB，PB的中點(diǎn)．
(2)連接PE，由題意及(1)知PA＝PB，AE＝EB，
所以PE⊥AB，又平面PAB⊥平面ABCD，平面PAB∩平面ABCD＝AB，
所以PE⊥平面ABCD.
又AB∥CD，AB⊥AD，
所以VF-DEC＝eq \f(1,2)VP-DEC＝eq \f(1,6)S△DEC×PE＝eq \f(1,6)×eq \f(1,2)×2×2×2＝eq \f(2,3).
四、【強(qiáng)化測(cè)試】
【單選題】
1. 下列命題中正確的是( )
A．若a，b是兩條直線，且a∥b，那么a平行于經(jīng)過(guò)b的任何平面
B．若直線a和平面α滿足a∥α，那么a與α內(nèi)的任何直線平行
C．平行于同一條直線的兩個(gè)平面平行
D．若直線a，b和平面α滿足a∥b，a∥α，b?α，則b∥α
【解析】A中，a可以在過(guò)b的平面內(nèi)；B中，a與α內(nèi)的直線也可能異面；C中，兩平面可能相交；D中，由直線與平面平行的判定定理知b∥α，正確．
故選D.
2. 如圖所示，在空間四邊形ABCD中，E，F(xiàn)分別為邊AB，AD上的點(diǎn)，且AE∶EB＝AF∶FD＝1∶4，又H，G分別為BC，CD的中點(diǎn)，則( )
A．BD∥平面EFGH，且四邊形EFGH是矩形
B．EF∥平面BCD，且四邊形EFGH是梯形
C．HG∥平面ABD，且四邊形EFGH是菱形
D．EH∥平面ADC，且四邊形EFGH是平行四邊形
【解析】由AE∶EB＝AF∶FD＝1∶4知EF平行等于eq \f(1,5)BD，又EF?平面BCD，BD?平面BCD，所以EF∥平面BCD.又H，G分別為BC，CD的中點(diǎn)，所以HG平行等于eq \f(1,2)BD，所以EF∥HG且EF≠HG.所以四邊形EFGH是梯形．
故選B.
3. 在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是平行四邊形，E∈PC，F(xiàn)∈PB，eq \(PE,\s\up6(→))＝3eq \(EC,\s\up6(→))，eq \(PF,\s\up6(→))＝λeq \(FB,\s\up6(→))，如圖．若AF∥平面BDE，則λ的值為( )
A．1 B．3
C．2 D．4
【解析】連接AC，交BD于點(diǎn)O，連接OE.因?yàn)锳F∥平面 BDE，所以過(guò)點(diǎn)A作AH∥平面BDE，交PC于點(diǎn)H，連接FH，則得到平面AFH∥平面BDE，所以FH∥BE.因?yàn)樗倪呅蜛BCD為平行四邊形，所以在△ACH與△OCE中，eq \f(OC,OA)＝eq \f(EC,HE)＝1，
即EC＝EH.又因?yàn)閑q \(PE,\s\up6(→))＝3eq \(EC,\s\up6(→))，所以PH＝2HE.因?yàn)閑q \f(PF,FB)＝eq \f(PH,HE)＝2，所以λ＝2.故選C.
故選C.
4. 設(shè)a，b，c表示不同直線，α，β表示不同平面，下列命題：
①若a∥c，b∥c，則a∥b；②若a∥b，b∥α，則a∥α；③若a∥α，b∥α，則a∥b；④若a?α，b?β，α∥β，則a∥b.
真命題的個(gè)數(shù)是( )
A．1 B．2
C．3 D．4
【解析】由題意，對(duì)于①，根據(jù)線線平行的傳遞性可知①是真命題；對(duì)于②，根據(jù)a∥b，b∥α，可以推出a∥α或a?α，故②是假命題；對(duì)于③，根據(jù)a∥α，b∥α，可以推出a與b平行、相交或異面，故③是假命題；對(duì)于④，根據(jù)a?α，b?β.α∥β，可以推出a∥b或a與b異面，故④是假命題，所以真命題的個(gè)數(shù)是1，
故選A．
5. 如圖所示，在空間四邊形ABCD中，E，F(xiàn)分別為邊AB，AD上的點(diǎn)，且AE∶EB＝AF∶FD＝1∶4，又H，G分別為BC，CD的中點(diǎn)，則( )
A．BD∥平面EFGH，且四邊形EFGH 是矩形
B．EF∥平面BCD，且四邊形EFGH是梯形
C．HG∥平面ABD，且四邊形EFGH是菱形
D．EH∥平面ADC，且四邊形EFGH是平行四邊形
【解析】由AE∶EB＝AF∶FD＝1∶4知EFeq \(\s\d3(═),\s\up3(∥))eq \f(1,5)BD，又EF?平面BCD，所以EF∥平面BCD.又H，G分別為BC，CD的中點(diǎn)，所以HGeq \(\s\d3(═),\s\up3(∥))eq \f(1,2)BD，所以EF∥HG且EF≠HG.所以四邊形EFGH是梯形．
故選B.
6. 已知在三棱柱ABC－A1B1C1中，M，N分別為AC，B1C1的中點(diǎn)，E，F(xiàn)分別為BC，B1B的中點(diǎn)，則直線MN與直線EF、平面ABB1A1的位置關(guān)系分別為( )
A．平行、平行 B．異面、平行 C．平行、相交 D．異面、相交
【解析】∵在三棱柱ABC－A1B1C1中，
M，N分別為AC，B1C1的中點(diǎn)，E，F(xiàn)分別為BC，B1B的中點(diǎn)，
∴EF?平面BCC1B1，MN∩平面BCC1B1＝N，N?EF，
∴由異面直線判定定理得直線MN與直線EF是異面直線；
取A1C1的中點(diǎn)P，連接PM，PN，如圖，
則PN∥B1A1，PM∥A1A，
∵AA1∩A1B1＝A1，PM∩PN＝P，
∴平面PMN∥平面ABB1A1，
∵M(jìn)N?平面PMN，
∴直線MN與平面ABB1A1平行．
故選B.
7. 如圖所示，正方體ABCD－A1B1C1D1中，點(diǎn)E，F(xiàn)，G，P，Q分別為棱AB，C1D1，D1A1，D1D，C1C的中點(diǎn)，則下列敘述中正確的是( )
A．直線BQ∥平面EFG
B．直線A1B∥平面EFG
C．平面APC∥平面EFG
D．平面A1BQ∥平面EFG
【解析】過(guò)點(diǎn)E，F(xiàn)，G的截面如圖所示(H，I分別為AA1，BC的中點(diǎn))，連接A1B，BQ，AP，PC，易知BQ與平面EFG相交于點(diǎn)Q，故A錯(cuò)誤；
∵A1B∥HE，A1B?平面EFG，HE?平面EFG，
∴A1B∥平面EFG，故B正確；
AP?平面ADD1A1，HG?平面ADD1A1，延長(zhǎng)HG與PA必相交，故C錯(cuò)誤；
易知平面A1BQ與平面EFG有交點(diǎn)Q，故D錯(cuò)誤．
故選B.
8. 正方體ABCD－A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為1，點(diǎn)M，N分別是棱BC，CC1的中點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P在正方形BCC1B1(包括邊界)內(nèi)運(yùn)動(dòng)，且PA1∥平面AMN，則PA1的長(zhǎng)度范圍為( )
A.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(1，\f(\r(5),2))) B.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(3\r(2),4)，\f(\r(5),2)))
C.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(3\r(2),4)，\f(3,2))) D.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(1，\f(3,2)))
【解析】取B1C1的中點(diǎn)E，BB1的中點(diǎn)F，連接A1E，A1F，EF，
取EF的中點(diǎn)O，連接A1O，如圖所示，
∵點(diǎn)M，N分別是棱長(zhǎng)為1的正方體ABCD－A1B1C1D1中棱BC，CC1的中點(diǎn)，
∴AM∥A1E，MN∥EF，
∵AM∩MN＝M，A1E∩EF＝E，AM，MN?平面AMN，A1E，EF?平面A1EF，
∴平面AMN∥平面A1EF，
∵動(dòng)點(diǎn)P在正方形BCC1B1(包括邊界)內(nèi)運(yùn)動(dòng)，
且PA1∥平面AMN，
∴點(diǎn)P的軌跡是線段EF，
∵A1E＝A1F＝eq \r(12＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))2)＝eq \f(\r(5),2)，EF＝eq \f(1,2)eq \r(12＋12)＝eq \f(\r(2),2)，
∴A1O⊥EF，
∴當(dāng)P與O重合時(shí)，PA1的長(zhǎng)度取最小值A(chǔ)1O，
A1O＝eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(5),2)))2－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(2),4)))2)＝eq \f(3\r(2),4)，
當(dāng)P與E(或F)重合時(shí)，PA1的長(zhǎng)度取最大值A(chǔ)1E或A1F，A1E＝A1F＝eq \f(\r(5),2).
∴PA1的長(zhǎng)度范圍為eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(3\r(2),4)，\f(\r(5),2))).
故選B.
【多選題】
9. 已知m，n為兩條不同的直線，α，β為兩個(gè)不同的平面，則下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是( )
A．若m⊥α，m⊥n，則n∥α
B．若m⊥α，n∥β且α∥β，則m⊥n
C．若m?α，n?α且m∥β，n∥β，則α∥β
D．若直線m，n與平面α所成的角相等，則m∥n
【解析】對(duì)于A，滿足m⊥α，m⊥n的n，α的位置關(guān)系可能是n∥α或n?α，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，由m⊥α，α∥β，得m⊥β，結(jié)合n∥β，知m⊥n，故B正確；對(duì)于C，根據(jù)面面平行的判定定理知需當(dāng)m，n為相交直線時(shí)，才有α∥β，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，若m，n為圓錐的兩條母線，平面α為圓錐的底面所在平面，此時(shí)直線m，n與平面α所成的角相等，但此時(shí)m，n為相交直線，故D錯(cuò)誤．
故選ACD.
10. 在正方體ABCD-A1B1C1D1中，E，F(xiàn)，G分別是A1B1，B1C1，BB1的中點(diǎn)，下列四個(gè)推斷中正確的是( )
A．FG∥平面AA1D1D
B．EF∥平面BC1D1
C．FG∥平面BC1D1
D．平面EFG∥平面BC1D1
【解析】因?yàn)樵谡襟wABCD-A1B1C1D1中，F(xiàn)，G分別是B1C1，BB1的中點(diǎn)，
所以FG∥BC1，因?yàn)锽C1∥AD1，
所以FG∥AD1，
因?yàn)镕G?平面AA1D1D，AD1?平面AA1D1D，
所以FG∥平面AA1D1D，故A正確；
因?yàn)镋F∥A1C1，A1C1與平面BC1D1相交，
所以EF與平面BC1D1相交，故B錯(cuò)誤；
因?yàn)镕，G分別是B1C1，BB1的中點(diǎn)，
所以FG∥BC1，因?yàn)镕G?平面BC1D1，BC1?平面BC1D1，
所以FG∥平面BC1D1，故C正確；
因?yàn)镋F與平面BC1D1相交，
所以平面EFG與平面BC1D1相交，故D錯(cuò)誤．
故選AC.
11. 如圖，正三棱柱ABC-A1B1C1各條棱的長(zhǎng)度均相等，D為AA1的中點(diǎn)，M，N分別是線段BB1和線段CC1上的動(dòng)點(diǎn)(含端點(diǎn))，且滿足BM＝C1N，當(dāng)M，N運(yùn)動(dòng)時(shí)，下列結(jié)論中正確的是( )
A．在△DMN內(nèi)總存在與平面ABC平行的線段
B．平面DMN⊥平面BCC1B1
C．三棱錐A1-DMN的體積為定值
D．△DMN可能為直角三角形
【解析】用平行于平面ABC的平面截平面DMN，則交線平行于平面ABC，故A正確；當(dāng)M，N分別在BB1，CC1上運(yùn)動(dòng)時(shí)，若滿足BM＝C1N，則線段MN必過(guò)正方形BCC1B1的中點(diǎn)O，由DO⊥平面BCC1B1可得平面DMN⊥BCC1B1故B正確；當(dāng)M，N分別在BB1，CC1上運(yùn)動(dòng)時(shí)，△A1DM的面積不變，點(diǎn)N到平面A1DM的距離不變，所以三棱錐N-A1DM的體積不變，即三棱錐A1-DMN的體積為定值，故C正確；若△DMN為直角三角形，則必是以∠MDN為直角的直角三角形，易證DM＝DN，所以△DMN為等腰直角三角形，所以DO＝OM＝ON，即MN＝2OD，設(shè)正三棱柱的棱長(zhǎng)為2，則DO＝eq \r(3)，MN＝2eq \r(3)，因?yàn)镸N的最大值為BC1＝2eq \r(2)，所以MN不可能為2eq \r(3)，所以△DMN不可能為直角三角形，故D錯(cuò)誤．
故選ABC.
12. 已知正四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面邊長(zhǎng)為2，側(cè)棱AA1＝1，P為上底面A1B1C1D1上的動(dòng)點(diǎn)，下列四個(gè)結(jié)論中正確的為( )
A．若PD＝3，則滿足條件的P點(diǎn)有且只有一個(gè)
B．若PD＝eq \r(3)，則點(diǎn)P的軌跡是一段圓弧
C．若PD∥平面ACB1，則DP長(zhǎng)的最小值為2
D．若PD∥平面ACB1，且PD＝eq \r(3)，則平面BDP截正四棱柱ABCD-A1B1C1D1的外接球所得平面圖形的面積為eq \f(9π,4)
【解析】如圖所示，因?yàn)檎睦庵鵄BCD-A1B1C1D1的底面邊長(zhǎng)為2，所以B1D1＝2eq \r(2)，又側(cè)棱AA1＝1，所以DB1＝eq \r(（2\r(2)）2＋12)＝3，則P與B1重合時(shí)PD＝3，此時(shí)P點(diǎn)唯一，故A項(xiàng)正確；
因?yàn)镻D＝eq \r(3)∈(1，3)，DD1＝1，則PD1＝eq \r(2)，即點(diǎn)P的軌跡是一段圓弧，故B項(xiàng)正確；
連接DA1，DC1，可得平面A1DC1∥平面ACB1，則當(dāng)P為A1C1中點(diǎn)時(shí)，DP有最小值，為eq \r(（\r(2)）2＋12)＝eq \r(3)，故C項(xiàng)錯(cuò)誤；
由C選項(xiàng)知，平面BDP即為平面BDD1B1，平面BDP截正四棱柱ABCD-A1B1C1D1的外接球所得平面圖形為外接球的大圓，其半徑為 eq \f(1,2) eq \r(22＋22＋12)＝eq \f(3,2)，面積為eq \f(9π,4)，故D項(xiàng)正確．
故選ABD.
【填空題】
13. 如圖，正方體ABCD-A1B1C1D1中，AB＝2，點(diǎn)E為AD的中點(diǎn)，點(diǎn)F在CD上．若EF∥平面AB1C，則線段EF的長(zhǎng)等于________．
【解析】因?yàn)镋F∥平面AB1C，EF?平面ABCD，平面ABCD∩平面AB1C＝AC，所以EF∥AC，所以點(diǎn)F為DC的中點(diǎn)．故EF＝eq \f(1,2)AC＝eq \r(2).
14. 在下面給出的條件中，若條件足夠推出a∥α，則在橫線上填“OK”；若條件不能保證推出a∥α，則請(qǐng)?jiān)跈M線上補(bǔ)足條件：
(1)條件：a∥b，b∥c，c?α，______，結(jié)論：a∥α；
(2)條件：α∩β＝b，a∥b，a?β，______，結(jié)論：a∥α.
【解析】因?yàn)閍∥b，b∥c，c?α，所以由直線與平面平行的判定定理得，當(dāng)a?α?xí)r，a∥α.因?yàn)棣痢搔拢絙，a∥b，a?β，則由直線與平面平行的判定定理得a∥α.
15. 在四面體A-BCD中，M，N分別是△ACD，△BCD的重心，則四面體的四個(gè)面中與MN平行的是________．
【解析】如圖，取CD的中點(diǎn)E，連接AE，BE，
則EM∶MA＝1∶2，EN∶BN＝1∶2，
所以MN∥AB.
因?yàn)锳B?平面ABD，MN?平面ABD，AB?平面ABC，MN?平面ABC，
所以MN∥平面ABD，MN∥平面ABC.
16. 如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1中判斷下列位置關(guān)系：
(1)AD1所在的直線與平面BCC1的位置關(guān)系是______；
(2)平面A1BC1與平面ABCD的位置關(guān)系是______．
【解析】(1)AD1所在直線與平面BCC1的位置關(guān)系是平行．理由：AB∥C1D1，且AB＝C1D1，可得四邊形ABC1D1為平行四邊形，即有AD1∥BC1，AD1?平面BCC1，BC1?平面BCC1，則AD1∥平面BCC1.
(2)平面A1BC1與平面ABCD的位置關(guān)系是相交．理由：平面A1BC1與平面ABCD有一個(gè)交點(diǎn)B，由公理3得，如果兩個(gè)平面有一個(gè)公共點(diǎn)，那么它們還有其他公共點(diǎn)，這些公共點(diǎn)在一條直線上，這條直線為交線．如圖，過(guò)點(diǎn)B作AC的平行線l，即為交線．
【解答題】
17. 已知在四棱錐P－ABCD中，PD⊥平面ABCD，AD⊥DC，AB∥DC，DC＝2AB，Q為PC的中點(diǎn).
(1)求證：BQ∥平面PAD；
(2)若PD＝3，BC＝eq \r(2)，BC⊥BD，試在線段PC上確定一點(diǎn)S，使得三棱錐S－BCD的體積為eq \f(2,3).
【解析】(1)證明 取PD的中點(diǎn)G，連接AG，GQ，
因?yàn)镼為PC的中點(diǎn)，所以GQ∥DC，且GQ＝eq \f(1,2)DC，
又因?yàn)锳B∥DC，DC＝2AB，所以GQ∥AB，GQ＝AB，
所以四邊形ABQG是平行四邊形，
所以BQ∥AG，
又BQ?平面PAD，AG?平面PAD，所以BQ∥平面PAD.
(2)解 因?yàn)樵谒倪呅蜛BCD中，AB∥CD，AD⊥DC，DC＝2AB，
所以點(diǎn)B在線段CD的垂直平分線上，
又因?yàn)锽C＝eq \r(2)，BC⊥BD，
所以BD＝BC＝eq \r(2)，
所以△BCD的面積S＝eq \f(1,2)×eq \r(2)×eq \r(2)＝1.
設(shè)點(diǎn)S到平面ABCD的距離為h，
所以eq \f(1,3)×1×h＝eq \f(2,3)，所以h＝2，
又PD⊥平面ABCD，PD＝3，
所以點(diǎn)S在線段PC上靠近點(diǎn)P的三等分點(diǎn)處.
18. 如圖，直四棱柱ABCD－A1B1C1D1的底面是菱形，AA1＝4，AB＝2，∠BAD＝60°，E，M，N分別是BC，BB1，A1D的中點(diǎn).
(1)證明：MN∥平面C1DE；
(2)求點(diǎn)C到平面C1DE的距離.
【解析】(1)證明 如圖，連接B1C，ME.
因?yàn)镸，E分別為BB1，BC的中點(diǎn)，
所以ME∥B1C，且ME＝eq \f(1,2)B1C.
又因?yàn)镹為A1D的中點(diǎn)，所以ND＝eq \f(1,2)A1D.
由題設(shè)知A1B1平行且相等DC，
可得B1C平行且相等A1D，故ME平行且相等ND，
因此四邊形MNDE為平行四邊形，
所以MN∥ED.
又MN?平面C1DE，DE?平面C1DE，
所以MN∥平面C1DE.
(2)解 過(guò)點(diǎn)C作C1E的垂線，垂足為H.
由已知可得DE⊥BC，DE⊥C1C，又BC∩C1C＝C，BC，C1C?平面C1CE，所以DE⊥平面C1CE，
故DE⊥CH.所以CH⊥平面C1DE，
故CH的長(zhǎng)即為點(diǎn)C到平面C1DE的距離.
由已知可得CE＝1，C1C＝4，
所以C1E＝eq \r(17)，故CH＝eq \f(4\r(17),17).
從而點(diǎn)C到平面C1DE的距離為eq \f(4\r(17),17).
19. 如圖，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，E，F(xiàn)，G，H分別是BC，CC1，C1D1，AA1的中點(diǎn)，求證：
(1)BF∥HD1；
(2)EG∥平面BB1D1D；
(3)平面BDF∥平面B1D1H.
【解析】證明 如圖．
(1)取B1B的中點(diǎn)M，
連接HM，MC1，易證四邊形HMC1D1是平行四邊形，
∴HD1∥MC1.
又MC1∥BF，
∴BF∥HD1.
(2)取BD的中點(diǎn)O，連接OE，OD1，
則OE平行且等于eq \f(1,2)DC.
又D1G平行且等于eq \f(1,2)DC，
∴OE平行且等于D1G.
∴四邊形OEGD1是平行四邊形，
∴EG∥D1O.
又D1O?平面BB1D1D，EG?平面BB1D1D，
∴EG∥平面BB1D1D.
(3)由(1)知BF∥HD1，由題意易證B1D1∥BD.
又B1D1，HD1?平面B1D1H，BF，BD?平面BDF，且B1D1∩HD1＝D1，DB∩BF＝B，
∴平面BDF∥平面B1D1H.
20. 如圖，在四棱錐P－ABCD中，AD∥BC，AB＝BC＝eq \f(1,2)AD，E，F(xiàn)，H分別為線段AD，PC，CD的中點(diǎn)，AC與BE交于O點(diǎn)，G是線段OF上一點(diǎn)．
(1)求證：AP∥平面BEF；
(2)求證：GH∥平面PAD.
【解析】證明 (1)如圖，連接EC，
因?yàn)锳D∥BC，BC＝eq \f(1,2)AD，
所以BC∥AE，BC＝AE，
所以四邊形ABCE是平行四邊形，
所以O(shè)為AC的中點(diǎn)．
又因?yàn)镕是PC的中點(diǎn)，
所以FO∥AP，
因?yàn)镕O?平面BEF，
AP?平面BEF，
所以AP∥平面BEF.
(2)連接FH，OH，因?yàn)镕，H分別是PC，CD的中點(diǎn)，
所以FH∥PD，
因?yàn)镻D?平面PAD，F(xiàn)H?平面PAD，
所以FH∥平面PAD.
又因?yàn)镺是BE的中點(diǎn)，H是CD的中點(diǎn)，
所以O(shè)H∥AD，
因?yàn)锳D?平面PAD，OH?平面PAD，
所以O(shè)H∥平面PAD.
又FH∩OH＝H，F(xiàn)H，OH?平面OHF，
所以平面OHF∥平面PAD.
又因?yàn)镚H?平面OHF，
所以GH∥平面PAD.
21. 如圖，在四棱錐P－ABCD中，AD∥BC，AB＝BC＝eq \f(1,2)AD，E，F(xiàn)，H分別為線段AD，PC，CD的中點(diǎn)，AC與BE交于O點(diǎn)，G是線段OF上一點(diǎn)．
(1)求證：AP∥平面BEF；
(2)求證：GH∥平面PAD.
【解析】證明 (1)如圖，連接EC，因?yàn)锳D∥BC，BC＝eq \f(1,2)AD，
所以BC∥AE，BC＝AE，
所以四邊形ABCE是平行四邊形，所以O(shè)為AC的中點(diǎn)．
又因?yàn)镕是PC的中點(diǎn)，
所以FO∥AP，
因?yàn)镕O?平面BEF，
AP?平面BEF，
所以AP∥平面BEF.
(2)連接FH，OH，因?yàn)镕，H分別是PC，CD的中點(diǎn)，
所以FH∥PD，
因?yàn)镻D?平面PAD，F(xiàn)H?平面PAD，
所以FH∥平面PAD.
又因?yàn)镺是BE的中點(diǎn)，H是CD的中點(diǎn)，
所以O(shè)H∥AD，
因?yàn)锳D?平面PAD，OH?平面PAD，
所以O(shè)H∥平面PAD.
又FH∩OH＝H，F(xiàn)H，OH?平面OHF，
所以平面OHF∥平面PAD.
又因?yàn)镚H?平面OHF，
所以GH∥平面PAD.
22. 如圖，在四棱錐S－ABCD中，∠ADC＝∠BCD＝90°，AD＝DC＝SA＝eq \f(1,2)BC＝2，點(diǎn)E，G分別在線段SA，AD上，且SE＝AE，AG＝GD，F(xiàn)為棱BC上一點(diǎn)，且CF＝1.
證明：平面SCD∥平面EFG.
【解析】證明 因?yàn)辄c(diǎn)E，G分別在線段SA，AD上，
且SE＝AE，AG＝GD，
故EG∥SD，
又EG?平面SCD，SD?平面SCD，
故EG∥平面SCD；
因?yàn)椤螦DC＝∠BCD＝90°，
故AD∥BC，因?yàn)镚D＝FC＝1，
故四邊形GDCF為平行四邊形，故GF∥CD；
又GF?平面SCD，CD?平面SCD，故GF∥平面SCD，
因?yàn)镚F?平面EFG，EG?平面EFG，EG∩FG＝G，
所以平面SCD∥平面EFG.
文字語(yǔ)言
圖形表示
符號(hào)表示
判定定理
如果平面外一條直線與此平面內(nèi)的一條直線平行，那么該直線與此平面平行
a?α，b?α，a∥b?a∥α
性質(zhì)定理
一條直線和一個(gè)平面平行，如果過(guò)該直線的平面與此平面相交，那么該直線與交線平行
a∥α，a?β，α∩β＝b?a∥b
文字語(yǔ)言
圖形表示
符號(hào)表示
判定定理
如果一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線與另一個(gè)平面平行，那么這兩個(gè)平面平行
a?β，b?β，a∩b＝P，a∥α，b∥α?α∥β
性質(zhì)
兩個(gè)平面平行，則其中一個(gè)平面內(nèi)的直線平行于另一個(gè)平面
α∥β，a?α?a∥β
性質(zhì)定理
兩個(gè)平面平行，如果另一個(gè)平面與這兩個(gè)平面相交，那么兩條交線平行
α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b?a∥b

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