【考綱要求】
1.了解數(shù)列的概念和幾種簡(jiǎn)單的表示方法(列表、圖象、通項(xiàng)公式).
2.了解數(shù)列是自變量為正整數(shù)的一類特殊函數(shù).
【考點(diǎn)預(yù)測(cè)】
1．?dāng)?shù)列的定義
按照確定的順序排列的一列數(shù)稱為數(shù)列，數(shù)列中的每一個(gè)數(shù)叫做這個(gè)數(shù)列的項(xiàng)．
2．?dāng)?shù)列的分類
3.數(shù)列的通項(xiàng)公式
如果數(shù)列{an}的第n項(xiàng)an與它的序號(hào)n之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系可以用一個(gè)式子來(lái)表示，那么這個(gè)式子叫做這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式．
4．?dāng)?shù)列的遞推公式
如果一個(gè)數(shù)列的相鄰兩項(xiàng)或多項(xiàng)之間的關(guān)系可以用一個(gè)式子來(lái)表示，那么這個(gè)式子叫做這個(gè)數(shù)列的遞推公式．
【常用結(jié)論】
1.若數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，通項(xiàng)公式為an，則an＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(S1，n＝1，,Sn－Sn－1，n≥2.))
2.在數(shù)列{an}中，若an最大，則eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(an≥an－1，,an≥an＋1.))若an最小，則eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(an≤an－1，,an≤an＋1.))
【方法技巧】
1.已知Sn求an的常用方法是利用an＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(S1，n＝1，,Sn－Sn－1，n≥2，))轉(zhuǎn)化為關(guān)于an的關(guān)系式，再求通項(xiàng)公式.
2.Sn與an關(guān)系問(wèn)題的求解思路
方向1：利用an＝Sn－Sn－1(n≥2)轉(zhuǎn)化為只含Sn，Sn－1的關(guān)系式，再求解.
方向2：利用Sn－Sn－1＝an(n≥2)轉(zhuǎn)化為只含an，an－1的關(guān)系式，再求解.
3.形如an＋1＝an＋f(n)的遞推關(guān)系式利用累加法求和，特別注意能消去多少項(xiàng)，保留多少項(xiàng).
4.形如an＋1＝an·f(n)的遞推關(guān)系式可化為eq \f(an＋1,an)＝f(n)的形式，可用累乘法，也可用an＝eq \f(an,an－1)·eq \f(an－1,an－2)·…·eq \f(a2,a1)·a1代入求出通項(xiàng).
5.形如an＋1＝pan＋q的遞推關(guān)系式可以化為(an＋1＋x)＝p(an＋x)的形式，構(gòu)成新的等比數(shù)列，求出通項(xiàng)公式，求變量x是關(guān)鍵.
6.形如an＋1＝eq \f(Aan,Ban＋C)(A，B，C為常數(shù))的數(shù)列，可通過(guò)兩邊同時(shí)取倒數(shù)的方法構(gòu)造新數(shù)列求解.
7.解決數(shù)列周期性問(wèn)題，根據(jù)給出的關(guān)系式求出數(shù)列的若干項(xiàng)，通過(guò)觀察歸納出數(shù)列的周期，進(jìn)而求出有關(guān)項(xiàng)的值或前n項(xiàng)和.
8.求數(shù)列最大項(xiàng)與最小項(xiàng)的常用方法
(1)函數(shù)法：利用相關(guān)的函數(shù)求最值.若借助通項(xiàng)的表達(dá)式觀察出單調(diào)性，直接確定最大(小)項(xiàng)，否則，利用作差法.
(2)利用eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(an≥an－1，,an≥an＋1))(n≥2)確定最大項(xiàng)，利用eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(an≤an－1，,an≤an＋1))(n≥2)確定最小項(xiàng).
二、【題型歸類】
【題型一】由an與Sn的關(guān)系求通項(xiàng)
【典例1】(多選)設(shè)Sn是數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，且a1＝－1，an＋1＝SnSn＋1，則下列結(jié)論正確的是( )
A.an＝eq \f(1,n（n－1）)
B.an＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(－1，n＝1，,\f(1,n（n－1）)，n≥2))
C.Sn＝－eq \f(1,n)
D.數(shù)列eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(\f(1,Sn)))是等差數(shù)列
【解析】∵an＋1＝Sn·Sn＋1＝Sn＋1－Sn，兩邊同除以Sn＋1·Sn，得eq \f(1,Sn＋1)－eq \f(1,Sn)＝－1.
∴eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(\f(1,Sn)))是以－1為首項(xiàng)，d＝－1的等差數(shù)列，
即eq \f(1,Sn)＝－1＋(n－1)×(－1)＝－n，
∴Sn＝－eq \f(1,n).
當(dāng)n≥2時(shí)，an＝Sn－Sn－1＝－eq \f(1,n)＋eq \f(1,n－1)＝eq \f(1,n（n－1）)，
又a1＝－1不符合上式，
∴an＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(－1，n＝1，,\f(1,n（n－1）)，n≥2.))
故選BCD.
【典例2】已知數(shù)列{an}中，Sn是其前n項(xiàng)和，且Sn＝2an＋1，則數(shù)列的通項(xiàng)公式an＝________.
【解析】當(dāng)n＝1時(shí)，a1＝S1＝2a1＋1，∴a1＝－1.
當(dāng)n≥2時(shí)，Sn＝2an＋1，①
Sn－1＝2an－1＋1.②
①－②，Sn－Sn－1＝2an－2an－1，即an＝2an－2an－1，
即an＝2an－1(n≥2)，∴{an}是首項(xiàng)a1＝－1，q＝2的等比數(shù)列.
∴an＝a1·qn－1＝－2n－1.
【典例3】設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，數(shù)列{Sn}的前n項(xiàng)和為T(mén)n，滿足Tn＝2Sn－n2，n∈N＋.
①求a1的值；
②求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式.
【解析】①令n＝1時(shí)，T1＝2S1－1，
∵T1＝S1＝a1，∴a1＝2a1－1，∴a1＝1.
②n≥2時(shí)，Tn－1＝2Sn－1－(n－1)2，
則Sn＝Tn－Tn－1＝2Sn－n2－[2Sn－1－(n－1)2]＝2(Sn－Sn－1)－2n＋1
＝2an－2n＋1.
因?yàn)楫?dāng)n＝1時(shí)，a1＝S1＝1也滿足上式，
所以Sn＝2an－2n＋1(n≥1)，
當(dāng)n≥2時(shí)，Sn－1＝2an－1－2(n－1)＋1，
兩式相減得an＝2an－2an－1－2，
所以an＝2an－1＋2(n≥2)，
所以an＋2＝2(an－1＋2)，
因?yàn)閍1＋2＝3≠0，
所以數(shù)列{an＋2}是以3為首項(xiàng)，公比為2的等比數(shù)列.
所以an＋2＝3×2n－1，∴an＝3×2n－1－2，
當(dāng)n＝1時(shí)也成立，
所以an＝3×2n－1－2.
【題型二】累加法
【典例1】在數(shù)列{an}中，a1＝2，an＋1＝an＋lneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1＋\f(1,n)))，則an等于( )
A．2＋ln n B．2＋(n－1)ln n
C．2＋nln n D．1＋n＋ln n
【解析】因?yàn)閍n＋1－an＝ln eq \f(n＋1,n)＝ln(n＋1)－ln n，
所以a2－a1＝ln 2－ln 1，
a3－a2＝ln 3－ln 2，
a4－a3＝ln 4－ln 3，
……
an－an－1＝ln n－ln(n－1)(n≥2)，
把以上各式分別相加得an－a1＝ln n－ln 1，
則an＝2＋ln n(n≥2)，且a1＝2也適合，
因此an＝2＋ln n(n∈N*)．
故選A.
【典例2】在數(shù)列{an}中，a1＝3，an＋1＝an＋eq \f(1,n?n＋1?)，則通項(xiàng)公式an＝________.
【解析】∵an＋1－an＝eq \f(1,n?n＋1?)＝eq \f(1,n)－eq \f(1,n＋1)，
∴當(dāng)n≥2時(shí)，an－an－1＝eq \f(1,n－1)－eq \f(1,n)，
an－1－an－2＝eq \f(1,n－2)－eq \f(1,n－1)，
……
a2－a1＝1－eq \f(1,2)，
∴以上各式相加得，an－a1＝1－eq \f(1,n)，
∴an＝4－eq \f(1,n)，a1＝3適合上式，
∴an＝4－eq \f(1,n).
【題型三】累乘法
【典例1】已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，其首項(xiàng)a1＝1，且滿足3Sn＝(n＋2)an，則an＝______.
【解析】∵3Sn＝(n＋2)an，①
3Sn－1＝(n＋1)an－1(n≥2)，②
由①－②得，3an＝(n＋2)an－(n＋1)an－1，
即eq \f(an,an－1)＝eq \f(n＋1,n－1)，
∴an＝eq \f(an,an－1)·eq \f(an－1,an－2)·eq \f(an－2,an－3)·…·eq \f(a2,a1)·a1＝eq \f(n＋1,n－1)×eq \f(n,n－2)×eq \f(n－1,n－3)×…×eq \f(3,1)×1＝eq \f(n?n＋1?,2).
當(dāng)n＝1時(shí)，滿足an＝eq \f(n?n＋1?,2)，∴an＝eq \f(n?n＋1?,2).
【典例2】已知a1＝2，an＋1＝2nan，則數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式an＝________.
【解析】∵eq \f(an＋1,an)＝2n，∴當(dāng)n≥2時(shí)，eq \f(an,an－1)＝2n－1，eq \f(an－1,an－2)＝2n－2，
……
eq \f(a3,a2)＝22，eq \f(a2,a1)＝2，
∴an＝eq \f(an,an－1)·eq \f(an－1,an－2)·…·eq \f(a3,a2)·eq \f(a2,a1)·a1
＝2n－1·2n－2·…·22·2·2
＝21＋2＋3＋…＋(n－1)·2
，
又a1＝2滿足上式，
∴an＝.
【題型四】數(shù)列的單調(diào)性
【典例1】已知數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an＝eq \f(3n＋k,2n)，若數(shù)列{an}為遞減數(shù)列，則實(shí)數(shù)k的取值范圍為( )
A．(3，＋∞) B．(2，＋∞)
C．(1，＋∞) D．(0，＋∞)
【解析】因?yàn)閍n＋1－an＝eq \f(3n＋3＋k,2n＋1)－eq \f(3n＋k,2n)＝eq \f(3－3n－k,2n＋1)，由數(shù)列{an}為遞減數(shù)列知，對(duì)任意n∈N*，an＋1－an＝eq \f(3－3n－k,2n＋1)＜0，所以k＞3－3n對(duì)任意n∈N*恒成立，所以k∈(0，＋∞)．
故選D．
【典例2】等差數(shù)列{an}的公差d＜0，且aeq \\al(2,1)＝aeq \\al(2,11)，則數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn取得最大值時(shí)的項(xiàng)數(shù)n的值為( )
A．5 B．6
C．5或6 D．6或7
【解析】由aeq \\al(2,1)＝aeq \\al(2,11)，可得(a1＋a11)(a1－a11)＝0，
因?yàn)閐＜0，所以a1－a11≠0，所以a1＋a11＝0，
又2a6＝a1＋a11，所以a6＝0.
因?yàn)閐＜0，所以{an}是遞減數(shù)列，
所以a1＞a2＞…＞a5＞a6＝0＞a7＞a8＞…，顯然前5項(xiàng)和或前6項(xiàng)和最大.
故選C．
【題型五】數(shù)列的周期性
【典例1】若數(shù)列{an}滿足a1＝2，an＋1＝eq \f(1＋an,1－an)，則a2 022的值為( )
A．2 B．－3
C．－eq \f(1,2) D.eq \f(1,3)
【解析】因?yàn)閍1＝2，an＋1＝eq \f(1＋an,1－an)，所以a2＝eq \f(1＋a1,1－a1)＝－3，同理可得a3＝－eq \f(1,2)，a4＝eq \f(1,3)，a5＝2，a6＝－3，a7＝－eq \f(1,2)，a8＝eq \f(1,3)，…，可得an＋4＝an，則a2 022＝a505×4＋2＝a2＝－3.
故選B.
【典例2】已知數(shù)列{an}中，a1＝1，a2＝2，且an·an＋2＝an＋1(n∈N＋)，則a2 020的值為( )
A．2 B．1
C.eq \f(1,2) D.eq \f(1,4)
【解析】因?yàn)閍n·an＋2＝an＋1(n∈N＋)，
由a1＝1，a2＝2，得a3＝2，
由a2＝2，a3＝2，得a4＝1，
由a3＝2，a4＝1，得a5＝eq \f(1,2)，
由a4＝1，a5＝eq \f(1,2)，得a6＝eq \f(1,2)，
由a5＝eq \f(1,2)，a6＝eq \f(1,2)，得a7＝1，
由a6＝eq \f(1,2)，a7＝1，得a8＝2，
由此推理可得數(shù)列{an}是周期為6的數(shù)列，
所以a2 020＝a4＝1.
故選B.
三、【培優(yōu)訓(xùn)練】
【訓(xùn)練一】已知各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列{an}滿足an＋1－an＝2n，a1＝13，則eq \f(an,n)取最小值時(shí)，n＝( )
A.3 B.4 C.5 D.6
【解析】由an＋1－an＝2n得，
當(dāng)n＝1時(shí)，a2－a1＝2×1，
當(dāng)n＝2時(shí)，a3－a2＝2×2，
…，
第n－1項(xiàng)，an－an－1＝2(n－1)，
累加可得an－a1＝2[1＋2＋…＋(n－1)]＝n(n－1)，
∴an＝n2－n＋13，
∴eq \f(an,n)＝n＋eq \f(13,n)－1≥2eq \r(n×\f(13,n))－1，當(dāng)且僅當(dāng)n＝eq \f(13,n)時(shí)取等號(hào)，又n∈N*，
∴當(dāng)n＝3時(shí)，eq \f(an,n)＝eq \f(19,3)；
當(dāng)n＝4時(shí)，eq \f(an,n)＝eq \f(25,4)，所以n＝4時(shí)，eq \f(an,n)取得最小值.
故選B.
【訓(xùn)練二】(多選)若數(shù)列{an}滿足a1＝1，a2＝3，anan－2＝an－1(n≥3)，記數(shù)列{an}的前n項(xiàng)積為T(mén)n，則下列說(shuō)法正確的有( )
A．Tn無(wú)最大值 B．a(chǎn)n有最大值
C．T2 023＝1 D．a(chǎn)2 023＝1
【解析】因?yàn)閍1＝1，a2＝3，
anan－2＝an－1(n≥3)，
所以a3＝3，a4＝1，a5＝eq \f(1,3)，a6＝eq \f(1,3)，a7＝1，a8＝3，…
因此數(shù)列{an}為周期數(shù)列，an＋6＝an，
an有最大值3，
a2 023＝a1＝1，
因?yàn)門(mén)1＝1，T2＝3，T3＝9，T4＝9，T5＝3，T6＝1，T7＝1，T8＝3，…，
所以{Tn}為周期數(shù)列，Tn＋6＝Tn，Tn有最大值9，
T2 023＝T1＝1.
故選BCD.
【訓(xùn)練三】設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，滿足Sn＝(－1)nan＋eq \f(1,2n)，則S1＋S3＋S5等于( )
A．0 B.eq \f(17,64) C.eq \f(5,64) D.eq \f(21,64)
【解析】數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，滿足Sn＝(－1)nan＋eq \f(1,2n)，
當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，Sn＝Sn－Sn－1＋eq \f(1,2n)，
即有Sn－1＝eq \f(1,2n)，所以S1＋S3＋S5＝eq \f(1,4)＋eq \f(1,16)＋eq \f(1,64)＝eq \f(21,64).
故選D.
【訓(xùn)練四】意大利數(shù)學(xué)家列昂那多·斐波那契以兔子繁殖為例，引入“兔子數(shù)列”：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，…，即F(1)＝F(2)＝1，F(xiàn)(n)＝F(n－1)＋F(n－2)(n≥3，n∈N*)，此數(shù)列在現(xiàn)代物理、準(zhǔn)晶體結(jié)構(gòu)、化學(xué)等領(lǐng)域都有著廣泛的應(yīng)用．若此數(shù)列被2整除后的余數(shù)構(gòu)成一個(gè)新數(shù)列{an}，則數(shù)列{an}的前2 020項(xiàng)的和為( )
A．672 B．673
C．1 347 D．2 020
【解析】由數(shù)列1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，…各項(xiàng)除以2的余數(shù)，可得{an}為1，1，0，1，1，0，1，1，0，1，…，
所以{an}是周期為3的周期數(shù)列，
一個(gè)周期中的三項(xiàng)之和為1＋1＋0＝2，
因?yàn)? 020＝673×3＋1，
所以數(shù)列{an}的前2 020項(xiàng)的和為673×2＋1＝1 347，
故選C.
【訓(xùn)練五】若數(shù)列{an}滿足：對(duì)于任意正整數(shù)n，{an＋1－an}為單調(diào)遞減數(shù)列，則稱數(shù)列{an}為“差遞減數(shù)列”．給出下列{an}(n∈N*)，其中是“差遞減數(shù)列”的有( )
A．a(chǎn)n＝3n B．a(chǎn)n＝n2＋1
C．a(chǎn)n＝eq \r(n) D．a(chǎn)n＝lneq \f(n,n＋1)
【解析】對(duì)于A，苦an＝3n，則an＋1－an＝3(n＋1)－3n＝3，所以{an＋1－an}不是單調(diào)遞減數(shù)列，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，若an＝n2＋1，則an＋1－an＝(n＋1)2＋1－n2－1＝2n＋1，所以{an＋1－an}是單調(diào)遞增數(shù)列，不是單調(diào)遞減數(shù)列，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，若an＝eq \r(n)，則an＋1－an＝eq \r(n＋1)－eq \r(n)＝eq \f(1,\r(n＋1)＋\r(n))，所以{an＋1－an}為單調(diào)遞減數(shù)列，故C正確；對(duì)于D，若an＝lneq \f(n,n＋1)，則an＋1－an＝lneq \f(n＋1,n＋2)－lneq \f(n,n＋1)＝lneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(n＋1,n＋2)·\f(n＋1,n)))＝lneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1＋\f(1,n2＋2n)))，由函數(shù)y＝lneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1＋\f(1,x2＋2x)))在(0，＋∞)上單調(diào)遞減，可知數(shù)列{an＋1－an}為單調(diào)遞減數(shù)列，故D正確．
故選CD.
【訓(xùn)練六】設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn.已知a1＝a(a≠3)，an＋1＝Sn＋3n，n∈N*.
(1)設(shè)bn＝Sn－3n，求數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式；
(2)若an＋1≥an，n∈N*，求a的取值范圍．
【解析】(1)依題意得Sn＋1－Sn＝an＋1＝Sn＋3n，
即Sn＋1＝2Sn＋3n，
由此得Sn＋1－3n＋1＝2(Sn－3n)，即bn＋1＝2bn，
又b1＝S1－3＝a－3，
因此，所求通項(xiàng)公式為bn＝(a－3)2n－1，n∈N*.
(2)由(1)可知Sn＝3n＋(a－3)2n－1，n∈N*，
于是，當(dāng)n≥2時(shí)，an＝Sn－Sn－1＝3n＋(a－3)2n－1－3n－1－(a－3)2n－2＝2×3n－1＋(a－3)2n－2，
an＋1－an＝4×3n－1＋(a－3)2n－2
＝2n－2eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(12·\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)))\s\up12(n－2)＋a－3))，
所以，當(dāng)n≥2時(shí)，
an＋1≥an?12eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)))eq \s\up12(n－2)＋a－3≥0?a≥－9，
又a2＝a1＋3＞a1，a≠3.
所以，所求的a的取值范圍是[－9，3)∪(3，＋∞)．
四、【強(qiáng)化測(cè)試】
【單選題】
1. 數(shù)列3，6，12，21，x，48，…中的x＝( )
A．29 B．33
C．34 D．28
【解析】因?yàn)?－3＝3＝1×3，12－6＝6＝2×3，21－12＝9＝3×3，所以根據(jù)規(guī)律可得x－21＝4×3，所以x＝21＋12＝33.同時(shí)也滿足48－33＝15＝5×3.
故選B.
2. 已知數(shù)列{an}滿足：?m，n∈N*，都有an·am＝an＋m，且a1＝eq \f(1,2)，那么a5＝( )
A.eq \f(1,32) B.eq \f(1,16) C.eq \f(1,4) D.eq \f(1,2)
【解析】因?yàn)閿?shù)列{an}滿足：?m，n∈N*，都有an·am＝an＋m，且a1＝eq \f(1,2)，所以a2＝a1a1＝eq \f(1,4)，a3＝a1·a2＝eq \f(1,8).那么a5＝a3·a2＝eq \f(1,32).
故選A.
3. 在數(shù)列{an}中，“|an＋1|>an”是“數(shù)列{an}為遞增數(shù)列”的( )
A．充分不必要條件
B．必要不充分條件
C．充要條件
D．既不充分也不必要條件
【解析】“|an＋1|>an”?an＋1>an或－an＋1>an，充分性不成立，數(shù)列{an}為遞增數(shù)列?|an＋1|≥an＋1>an成立，必要性成立，所以“|an＋1|>an”是“數(shù)列{an}為遞增數(shù)列”的必要不充分條件．
故選B.
4. 已知遞增數(shù)列{an}，an≥0，a1＝0.對(duì)于任意的正整數(shù)n，不等式t2－aeq \\al(2,n)－3t－3an≤0恒成立，則正數(shù)t的最大值為( )
A．1 B．2
C．3 D．6
【解析】因?yàn)閿?shù)列{an}是遞增數(shù)列，又t2－aeq \\al(2,n)－3t－3an＝(t－an－3)(t＋an)≤0，t＋an＞0，所以t≤an＋3恒成立，t≤(an＋3)min＝a1＋3＝3，所以tmax＝3.
故選C.
5. 數(shù)列{an}滿足a1＝1，對(duì)任意n∈N*，都有an＋1＝1＋an＋n，則eq \f(1,a1)＋eq \f(1,a2)＋…＋eq \f(1,a99)＝( )
A．eq \f(99,98) B．2
C．eq \f(99,50) D．eq \f(99,100)
【解析】由an＋1＝1＋an＋n，得an＋1－an＝n＋1，
則an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a2－a1)＋a1＝n＋(n－1)＋…＋1＝eq \f(n(n＋1),2)，
則eq \f(1,an)＝eq \f(2,n(n＋1))＝eq \f(2,n)－eq \f(2,n＋1)，
則eq \f(1,a1)＋eq \f(1,a2)＋…＋eq \f(1,a99)＝2×[eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(1,2)))＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)－\f(1,3)))＋…＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,99)－\f(1,100)))]＝2×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(1,100)))＝eq \f(99,50).
故選C．
6. 已知數(shù)列{an}滿足eq \f(an＋1－an,n)＝2，a1＝20，則eq \f(an,n)的最小值為( )
A．4eq \r(5) B．4eq \r(5)－1
C．8 D．9
【解析】由an＋1－an＝2n知a2－a1＝2×1，a3－a2＝2×2，…，an－an－1＝2(n－1)，n≥2，
以上各式相加得an－a1＝n2－n，n≥2，所以an＝n2－n＋20，n≥2，
當(dāng)n＝1時(shí)，a1＝20符合上式，
所以eq \f(an,n)＝n＋eq \f(20,n)－1，n∈N*，
所以n≤4時(shí)eq \f(an,n)單調(diào)遞減，n≥5時(shí)eq \f(an,n)單調(diào)遞增，
因?yàn)閑q \f(a4,4)＝eq \f(a5,5)，所以eq \f(an,n)的最小值為eq \f(a4,4)＝eq \f(a5,5)＝8.
故選C．
7. 在各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列{an}中，對(duì)任意m，n∈N*，都有am＋n＝am·an.若a6＝64，則a9等于( )
A．256 B．510 C．512 D．1 024
【解析】在各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列{an}中，對(duì)任意m，n∈N*，都有am＋n＝am·an.所以a6＝a3·a3＝64，a3＝8.所以a9＝a6·a3＝64×8＝512.
故選C.
8. 已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且滿足4(n＋1)·(Sn＋1)＝(n＋2)2an，則數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為( )
A．(2n＋1)2－1 B．(2n＋1)2
C．8n2 D．(n＋1)3
【解析】在4(n＋1)·(Sn＋1)＝(n＋2)2an中，
令n＝1，得8(a1＋1)＝9a1，所以a1＝8，
因?yàn)?(n＋1)·(Sn＋1)＝(n＋2)2an，①
所以4n·(Sn－1＋1)＝(n＋1)2an－1(n≥2)，②
①－②得，4an＝eq \f(?n＋2?2,n＋1)an－eq \f(?n＋1?2,n)an－1，
即eq \f(n2,n＋1)an＝eq \f(?n＋1?2,n)an－1，an＝eq \f(?n＋1?3,n3)an－1，
所以an＝eq \f(an,an－1)×eq \f(an－1,an－2)×…×eq \f(a2,a1)×a1
＝eq \f(?n＋1?3,n3)×eq \f(n3,?n－1?3)×…×eq \f(33,23)×8
＝(n＋1)3(n≥2)，
又a1＝8也滿足此式，所以數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為(n＋1)3.
故選D.
【多選題】
9. 下列四個(gè)命題中，正確的有( )
A．?dāng)?shù)列eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(\f(n＋1,n)))的第k項(xiàng)為1＋eq \f(1,k)
B．已知數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an＝n2－n－50，n∈N*，則－8是該數(shù)列的第7項(xiàng)
C．?dāng)?shù)列3,5,9,17,33，…的一個(gè)通項(xiàng)公式為an＝2n－1
D．?dāng)?shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an＝eq \f(n,n＋1)，n∈N*，則數(shù)列{an}是遞增數(shù)列
【解析】對(duì)于A，數(shù)列eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(\f(n＋1,n)))的第k項(xiàng)為1＋eq \f(1,k)，A正確；
對(duì)于B，令n2－n－50＝－8，得n＝7或n＝－6(舍去)，B正確；
對(duì)于C，將3,5,9,17,33，…的各項(xiàng)減去1，得2,4,8,16,32，…，設(shè)該數(shù)列為{bn}，則其通項(xiàng)公式為bn＝2n(n∈N*)，因此數(shù)列3,5,9,17,33，…的一個(gè)通項(xiàng)公式為an＝bn＋1＝2n＋1(n∈N*)，C錯(cuò)誤；
對(duì)于D，an＝eq \f(n,n＋1)＝1－eq \f(1,n＋1)，則an＋1－an＝eq \f(1,n＋1)－eq \f(1,n＋2)＝eq \f(1,?n＋1??n＋2?)>0，因此數(shù)列{an}是遞增數(shù)列，D正確．故選ABD.
10. 若數(shù)列{an}滿足：對(duì)任意正整數(shù)n，{an＋1－an}為遞減數(shù)列，則稱數(shù)列{an}為“差遞減數(shù)列”．給出下列數(shù)列{an}(a∈N*)，其中是“差遞減數(shù)列”的有( )
A．a(chǎn)n＝3n B．a(chǎn)n＝n2＋1
C．a(chǎn)n＝eq \r(n) D．a(chǎn)n＝lneq \f(n,n＋1)
【解析】對(duì)于A，若an＝3n，則an＋1－an＝3(n＋1)－3n＝3，所以{an＋1－an}不為遞減數(shù)列，故A錯(cuò)誤；
對(duì)于B，若an＝n2＋1，則an＋1－an＝(n＋1)2－n2＝2n＋1，所以{an＋1－an}為遞增數(shù)列，故B錯(cuò)誤；
對(duì)于C，若an＝eq \r(n)，則an＋1－an＝eq \r(n＋1)－eq \r(n)＝eq \f(1,\r(n＋1)＋\r(n))，所以{an＋1－an}為遞減數(shù)列，故C正確；
對(duì)于D，若an＝lneq \f(n,n＋1)，則an＋1－an＝lneq \f(n＋1,n＋2)－lneq \f(n,n＋1)＝lneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(n＋1,n＋2)·\f(n＋1,n)))＝lneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1＋\f(1,n2＋2n)))，由函數(shù)y＝lneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1＋\f(1,x2＋2x)))在(0，＋∞)上單調(diào)遞減，所以{an＋1－an}為遞減數(shù)列，故D正確．
故選CD.
11. 已知數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an＝eq \f(9n2－9n＋2,9n2－1)(n∈N*)，則下列結(jié)論正確的是( )
A．這個(gè)數(shù)列的第10項(xiàng)為eq \f(27,31)
B.eq \f(97,100)是該數(shù)列中的項(xiàng)
C．?dāng)?shù)列中的各項(xiàng)都在區(qū)間eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,4)，1))內(nèi)
D．?dāng)?shù)列{an}是單調(diào)遞減數(shù)列
【解析】an＝eq \f(9n2－9n＋2,9n2－1)＝eq \f(?3n－1??3n－2?,?3n－1??3n＋1?)
＝eq \f(3n－2,3n＋1)，
令n＝10得a10＝eq \f(28,31)，故A錯(cuò)誤；
令eq \f(3n－2,3n＋1)＝eq \f(97,100)得n＝33∈N*，
故eq \f(97,100)是數(shù)列中的項(xiàng)，故B正確；
因?yàn)閍n＝eq \f(3n－2,3n＋1)＝eq \f(3n＋1－3,3n＋1)＝1－eq \f(3,3n＋1)，
又n∈N*.
所以數(shù)列{an}是單調(diào)遞增數(shù)列，
所以eq \f(1,4)≤an＜1，故C正確，D不正確．
12. 對(duì)于數(shù)列{an}，若存在數(shù)列{bn}滿足bn＝an－eq \f(1,an)(n∈N*)，則稱數(shù)列{bn}是{an}的“倒差數(shù)列”，下列關(guān)于“倒差數(shù)列”描述正確的是( )
A．若數(shù)列{an}是單增數(shù)列，則其“倒差數(shù)列”不一定是單增數(shù)列
B．若an＝3n－1，則其“倒差數(shù)列”有最大值
C．若an＝3n－1，則其“倒差數(shù)列”有最小值
D．若an＝1－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)))n，則其“倒差數(shù)列”有最大值
【解析】若數(shù)列{an}是單增數(shù)列，則bn－bn－1＝an－eq \f(1,an)－an－1＋eq \f(1,an－1)＝(an－an－1)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1＋\f(1,anan－1)))，
雖然有an>an－1，
但當(dāng)1＋eq \f(1,anan－1)b5>…，
∴{bn}的奇數(shù)項(xiàng)中有最大值為b1＝eq \f(3,2)－eq \f(2,3)＝eq \f(5,6)>0，
∴b1＝eq \f(5,6)是數(shù)列{bn}(n∈N*)中的最大值，D正確．
故選ACD.
【填空題】
13. 已知數(shù)列{an}的首項(xiàng)a1＝1，前n項(xiàng)和為Sn，且滿足2an＋1＋Sn＝2(n∈N*)，則數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式an＝________.
【解析】因?yàn)?an＋1＋Sn＝2，①，
當(dāng)n≥2時(shí)，2an＋Sn－1＝2，②，
①式減②式得an＋1＝eq \f(1,2)an，
又當(dāng)n＝1時(shí)，2a2＋S1＝2，a2＝eq \f(1,2)，
所以數(shù)列{an}是以1為首項(xiàng)，公比為eq \f(1,2)的等比數(shù)列，an＝eq \f(1,2n－1).
14. 已知數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式an＝eq \f(63,2n)，若a1·a2·…·an≤a1·a2·…·ak對(duì)n∈N*恒成立，則正整數(shù)k的值為_(kāi)_______.
【解析】an＝eq \f(63,2n)，當(dāng)n≤5時(shí)，an>1；
當(dāng)n≥6時(shí)，ana1>a2>a3>a4，a5>a6>a7>…＞an>1(n∈N*)．
∴數(shù)列{an}中的最大項(xiàng)為a5＝2，
最小項(xiàng)為a4＝0.
(2)an＝1＋eq \f(1,a＋2?n－1?)＝1＋eq \f(\f(1,2),n－\f(2－a,2))，
已知對(duì)任意的n∈N*，都有an≤a6成立，
結(jié)合函數(shù)f(x)＝1＋eq \f(\f(1,2),x－\f(2－a,2))的單調(diào)性，
可知5a4，a5>a6>a7>…＞an>1(n∈N*).
∴數(shù)列{an}中的最大項(xiàng)為a5＝2，最小項(xiàng)為a4＝0.
(2)an＝1＋eq \f(1,a＋2（n－1）)＝1＋eq \f(\f(1,2),n－\f(2－a,2))，
已知對(duì)任意的n∈N*，都有an≤a6成立，
結(jié)合函數(shù)f(x)＝1＋eq \f(\f(1,2),x－\f(2－a,2))的單調(diào)性，
可知5

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