【考綱要求】
1.理解空間中直線與直線、直線與平面、平面與平面的垂直關(guān)系.
2.掌握直線與平面、平面與平面垂直的判定與性質(zhì)，并會簡單的應(yīng)用．
【考點預(yù)測】
1.直線與平面垂直
(1)直線和平面垂直的定義
如果直線l與平面α內(nèi)的任意一條直線都垂直，我們就說直線l與平面α互相垂直.
(2)判定定理與性質(zhì)定理
2.直線和平面所成的角
(1)定義：平面的一條斜線和它在平面上的射影所成的角叫做這條直線和這個平面所成的角，一條直線垂直于平面，則它們所成的角是90°；一條直線和平面平行或在平面內(nèi)，則它們所成的角是0°.
(2)范圍：eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2))).
3.二面角
(1)定義：從一條直線出發(fā)的兩個半平面所組成的圖形叫做二面角.
(2)二面角的平面角
若有①O∈l；②OA?α，OB?β；③OA⊥l，OB⊥l，則二面角α－l－β的平面角是∠AOB.
(3)二面角的平面角α的范圍：0°≤α≤180°.
4.平面與平面垂直
(1)平面與平面垂直的定義
兩個平面相交，如果它們所成的二面角是直二面角，就說這兩個平面互相垂直.
(2)判定定理與性質(zhì)定理
【常用結(jié)論】
1．三垂線定理
在平面內(nèi)的一條直線，如果和穿過這個平面的一條斜線在這個平面內(nèi)的射影垂直，那么它也和這條斜線垂直．
2．三垂線定理的逆定理
平面內(nèi)的一條直線如果和穿過該平面的一條斜線垂直，那么它也和這條斜線在該平面內(nèi)的射影垂直．
【方法技巧】
1.證明線面垂直的常用方法及關(guān)鍵
(1)證明直線和平面垂直的常用方法：①判定定理；②垂直于平面的傳遞性(a∥b，a⊥α?b⊥α)；③面面平行的性質(zhì)(a⊥α，α∥β?a⊥β)；④面面垂直的性質(zhì)．
(2)證明線面垂直的關(guān)鍵是證線線垂直，而證明線線垂直則需借助線面垂直的性質(zhì)．
2.面面垂直判定的兩種方法與一個轉(zhuǎn)化
①兩種方法：
(ⅰ)面面垂直的定義；
(ⅱ)面面垂直的判定定理(a⊥β，a?α?α⊥β)．
②一個轉(zhuǎn)化：
在已知兩個平面垂直時，一般要用性質(zhì)定理進(jìn)行轉(zhuǎn)化．在一個平面內(nèi)作交線的垂線，轉(zhuǎn)化為線面垂直，然后進(jìn)一步轉(zhuǎn)化為線線垂直．
3.面面垂直性質(zhì)的應(yīng)用
①兩平面垂直的性質(zhì)定理是把面面垂直轉(zhuǎn)化為線面垂直的依據(jù)，運用時要注意“平面內(nèi)的直線”．
②兩個相交平面同時垂直于第三個平面，它們的交線也垂直于第三個平面．
4.對于線面關(guān)系中的存在性問題，首先假設(shè)存在，然后在該假設(shè)條件下，利用線面關(guān)系的相關(guān)定理、性質(zhì)進(jìn)行推理論證，尋找假設(shè)滿足的條件，若滿足則肯定假設(shè)，若得出矛盾的結(jié)論則否定假設(shè)．
二、【題型歸類】
【題型一】線面垂直的判定與性質(zhì)
【典例1】如圖，在三棱錐P-ABC中，AB＝BC＝2eq \r(2)，PA＝PB＝PC＝AC＝4，O為AC的中點．證明：PO⊥平面ABC.
【典例2】如圖，在長方體ABCD-A1B1C1D1中，點E，F(xiàn)分別在棱DD1，BB1上，且2DE＝ED1，BF＝2FB1.證明：當(dāng)AB＝BC時，EF⊥AC.
【典例3】如圖，在三棱錐A-BCD中，AB⊥AD，BC⊥BD，平面ABD⊥平面BCD，點E，F(xiàn)(E與A，D不重合)分別在棱AD，BD上，且EF⊥AD.
求證：(1)EF∥平面ABC；(2)AD⊥AC.
【題型二】面面垂直的判定與性質(zhì)
【典例1】如圖，在四棱錐P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD為菱形，E為CD的中點．
(1)求證：BD⊥平面PAC；
(2)若∠ABC＝60°，求證：平面PAB⊥平面PAE.
【典例2】如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為矩形，平面PAD⊥平面ABCD，PA⊥PD，PA＝PD，E為AD的中點．
(1)求證：PE⊥BC；
(2)求證：平面PAB⊥平面PCD.
【典例3】如圖，在三棱錐A-BCD中，△ABC是等邊三角形，∠BAD＝∠BCD＝90°，點P是AC的中點，連接BP，DP.證明：平面ACD⊥平面BDP.
【題型三】垂直關(guān)系的綜合應(yīng)用
【典例1】在四棱錐P－ABCD中，△PAD是等邊三角形，且平面PAD⊥平面ABCD，AD＝2AB＝2BC，∠BAD＝∠ABC＝90°.
(1)在AD上是否存在一點M，使得平面PCM⊥平面ABCD，若存在，請證明；若不存在，請說明理由；
(2)若△PCD的面積為8eq \r(7)，求四棱錐P－ABCD的體積．
【典例2】如圖，在四棱錐S－ABCD中，四邊形ABCD是邊長為2的菱形，∠ABC＝60°，△SAD為正三角形．側(cè)面SAD⊥底面ABCD，E，F(xiàn)分別為棱AD，SB的中點．
(1)求證：AF∥平面SEC；
(2)求證：平面ASB⊥平面CSB；
(3)在棱SB上是否存在一點M，使得BD⊥平面MAC？若存在，求eq \f(BM,BS)的值；若不存在，請說明理由．
【典例3】如圖，在四棱錐P－ABCD中，底面ABCD為四邊形，△ABD是邊長為2的正三角形，BC⊥CD，BC＝CD，PD⊥AB，平面PBD⊥平面ABCD.
(1)求證：PD⊥平面ABCD；
(2)若二面角C－PB－D的平面角的余弦值為eq \f(\r(6),6)，求PD的長．
三、【培優(yōu)訓(xùn)練】
【訓(xùn)練一】如圖，棱長為1的正方體ABCD-A1B1C1D1中，P為線段A1B上的動點，則下列結(jié)論正確的是( )
A．平面D1A1P⊥平面A1AP
B．∠APD1的取值范圍是eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))
C．三棱錐B1-D1PC的體積為定值
D．DC1⊥D1P
【訓(xùn)練二】棱長為1的正方體ABCD－A1B1C1D1中，E，F(xiàn)，G分別是AB，BC，B1C1的中點.下列說法正確的是( )
A.P點在直線BC1上運動時，三棱錐A－D1PC體積不變
B.Q點在直線EF上運動時，直線GQ始終與平面AA1C1C平行
C.平面B1BD⊥平面ACD1
D.三棱錐D－EFG的體積為eq \f(3,8)
【訓(xùn)練三】如圖，在四棱錐S－ABCD中，四邊形ABCD是邊長為2的菱形，∠ABC＝60°，△SAD為正三角形.側(cè)面SAD⊥底面ABCD，E，F(xiàn)分別為棱AD，SB的中點.
(1)求證：AF∥平面SEC；
(2)求證：平面ASB⊥平面CSB；
(3)在棱SB上是否存在一點M，使得BD⊥平面MAC？若存在，求eq \f(BM,BS)的值；若不存在，請說明理由.
【訓(xùn)練四】如圖(1)，在平面四邊形ABDC中，∠ABC＝∠D＝90°，AB＝BC＝2，CD＝1，將△ABC沿BC邊折起如圖(2)，使________，點M，N分別為AC，AD的中點．在題目橫線上選擇下述其中一個條件，然后解答此題．①AD＝eq \r(7)，②AC為四面體ABDC外接球的直徑，③平面ABC⊥平面BCD.
圖(1) 圖(2)
(1)判斷直線MN與平面ABD的位置關(guān)系，并說明理由；
(2)求三棱錐A－MNB的體積．
【訓(xùn)練五】如圖，在四棱錐P－ABCD中，PA⊥平面ABCD，PA＝AB＝BC＝eq \r(3)，AD＝CD＝1，∠ADC＝120°，點M是AC與BD的交點，點N在線段PB上，且PN＝eq \f(1,4)PB.
(1)證明：MN∥平面PDC；
(2)在線段BC上是否存在一點Q，使得平面MNQ⊥平面PAD，若存在，求出點Q的位置；若不存在，請說明理由．
【訓(xùn)練六】如圖，在三棱柱ABC-A1B1C1中，側(cè)棱AA1⊥底面ABC，M為棱AC的中點．AB＝BC，AC＝2，AA1＝eq \r(2).
(1)求證：B1C∥平面A1BM；
(2)求證：AC1⊥平面A1BM；
(3)在棱BB1上是否存在點N，使得平面AC1N⊥平面AA1C1C？如果存在，求此時eq \f(BN,BB1)的值；如果不存在，請說明理由．
四、【強(qiáng)化測試】
【單選題】
1. 已知平面α和直線l，則α內(nèi)至少有一條直線與l( )
A．平行 B．相交
C．垂直 D．異面
2. 如圖所示，在正方體ABCD-A1B1C1D1中， 點O，M，N分別是線段BD，DD1，D1C1的中點，則直線OM與AC，MN的位置關(guān)系是( )
A．與AC，MN均垂直
B．與AC垂直，與MN不垂直
C．與AC不垂直，與MN垂直
D．與AC，MN均不垂直
3. 如圖，在三棱柱ABC-A1B1C1中，側(cè)棱AA1⊥底面A1B1C1，底面三角形A1B1C1是正三角形，E是BC的中點，則下列敘述正確的是( )
A．CC1與B1E是異面直線
B．AC⊥平面ABB1A1
C．AE⊥B1C1
D．A1C1∥平面AB1E
4. 如圖，在正四面體PABC中，D，E，F(xiàn)分別是AB，BC，CA的中點，下面四個結(jié)論不成立的是( )
A．BC∥平面PDF
B．DF⊥平面PAE
C．平面PDF⊥平面PAE
D．平面PDE⊥平面ABC
5. 如圖，在正四面體P－ABC中，D，E，F(xiàn)分別是AB，BC，CA的中點，下面四個結(jié)論不成立的是( )
A．BC∥平面PDFB．DF⊥平面PAE
C．平面PDF⊥平面PAED．平面PDE⊥平面ABC
6. 如圖，在斜三棱柱ABC－A1B1C1中，∠BAC＝90°，BC1⊥AC，則C1在底面ABC上的射影H必在( )
A．直線AB上
B．直線BC上
C．直線AC上
D．△ABC內(nèi)部
7. 如圖，四棱錐P－ABCD的底面為矩形，PD⊥底面ABCD，AD＝1，PD＝AB＝2，點E是PB的中點，過A，D，E三點的平面α與平面PBC的交線為l，則下列說法錯誤的是( )
A．l∥平面PAD
B．AE∥平面PCD
C．直線PA與l所成角的余弦值為eq \f(\r(5),5)
D．平面α截四棱錐P－ABCD所得的上、下兩部分幾何體的體積之比為eq \f(3,5)
8. 一種特殊的四面體叫做“鱉臑”，它的四個面均為直角三角形．在四面體PABC中，設(shè)E，F(xiàn)分別是PB，PC上的點，連接AE，AF，EF(此外不再增加任何連線)，則圖中直角三角形最多有( )
A．6個 B．8個
C．10個 D．12個
【多選題】
9. 如圖，PA垂直于以AB為直徑的圓所在平面，C為圓上異于A，B的任意一點，AE⊥PC，垂足為E，點F是PB上一點，則下列判斷中正確的是( )
A.BC⊥平面PAC
B.AE⊥EF
C.AC⊥PB
D.平面AEF⊥平面PBC
10. 在正方體ABCD－A1B1C1D1中，設(shè)M為BC的中點，則下列說法不正確的是( )
A.A1M⊥BD
B.A1M∥平面CC1D1D
C.A1M⊥AB1
D.A1M⊥平面ABC1D1
11. 如圖，在長方體ABCD－A1B1C1D1中，AA1＝AB＝4，BC＝2，M，N分別為棱C1D1，CC1的中點，則( )
A.A，M，N，B四點共面
B.平面ADM⊥平面CDD1C1
C.直線BN與B1M所成的角為60°
D.BN∥平面ADM
12. 如圖，在正方體中，O為底面的中心，P為所在棱的中點，M，N為正方體的頂點，則滿足MN⊥OP的是( )
【填空題】
13. 已知△ABC在平面α內(nèi)，∠A＝90°，DA⊥平面α，則直線CA與DB的位置關(guān)系是________．
14. 如圖，在三棱柱ABC－A1B1C1中，已知AA1⊥平面ABC，BC＝CC1，當(dāng)?shù)酌鍭1B1C1滿足條件________時，有AB1⊥BC1.(注：填上你認(rèn)為正確的一種條件即可，不必考慮所有可能的情況)
15. 如圖，在四棱錐S－ABCD中，底面四邊形ABCD為矩形，SA⊥平面ABCD，P，Q分別是線段BS，AD的中點，點R在線段SD上．若AS＝4，AD＝2，AR⊥PQ，則AR＝________.
16. 如圖，在△ABC中，AD⊥BC，垂足為D，DE⊥AB，垂足為E.現(xiàn)將△ABC沿AD折起，使得BC⊥BD，若三棱錐A－BCD外接球的球心為O，半徑為1，則△DOE面積的最大值為________．
【解答題】
17. 如圖，在三棱錐A－BCD中，AB⊥AD，BC⊥BD，平面ABD⊥平面BCD，點E，F(xiàn)(E與A，D不重合)分別在棱AD，BD上，且EF⊥AD.
求證：(1)EF∥平面ABC；
(2)AD⊥AC.
18. 如圖，三棱錐PABC中，PA⊥平面ABC，PA＝1，AB＝1，AC＝2，∠BAC＝60°.
(1)求三棱錐PABC的體積；
(2)在線段PC上是否存在點M，使得AC⊥BM，若存在點M，求出eq \f(PM,MC)的值；若不存在，請說明理由．
19. 如圖，在四棱錐P-ABCD中，PC⊥平面ABCD，AB∥DC，DC⊥AC.
(1)求證：DC⊥平面PAC；
(2)求證：平面PAB⊥平面PAC.
20. 如圖，平面四邊形ABCD中，AB⊥BD，AB＝BC＝CD＝2，BD＝2eq \r(2)，沿BD折起，使AC＝2eq \r(2).
(1)證明：△ACD為直角三角形；
(2)設(shè)B在平面ACD內(nèi)的射影為P，求四面體PBCD的體積．
21. 如圖，在四棱錐P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，四邊形ABCD為正方形，PA＝AB＝2，E是AB的中點，G是PD的中點．
(1)求四棱錐P-ABCD的體積；
(2)求證：AG∥平面PEC；
(3)求證：平面PCD⊥平面PEC.
22. 如圖，在四棱錐P－ABCD中，底面ABCD為四邊形，△ABD是邊長為2的正三角形，BC⊥CD，BC＝CD，PD⊥AB，平面PBD⊥平面ABCD.
(1)求證：PD⊥平面ABCD；
(2)若二面角C－PB－D的平面角的余弦值為eq \f(\r(6),6)，求PD的長.
文字語言
圖形表示
符號表示
判定定理
如果一條直線與一個平面內(nèi)的兩條相交直線垂直，那么該直線與此平面垂直
eq \b\lc\ \rc\}(\a\vs4\al\c1(l⊥a,l⊥b,a∩b＝O,a?α,b?α))?l⊥α
性質(zhì)定理
垂直于同一個平面的兩條直線平行
eq \b\lc\ \rc\}(\a\vs4\al\c1(a⊥α,b⊥α))?a∥b
文字語言
圖形表示
符號表示
判定定理
如果一個平面過另一個平面的垂線，那么這兩個平面垂直
eq \b\lc\ \rc\}(\a\vs4\al\c1(l⊥α,l?β))?α⊥β
性質(zhì)定理
兩個平面垂直，如果一個平面內(nèi)有一直線垂直于這兩個平面的交線，那么這條直線與另一個平面垂直
eq \b\lc\ \rc\}(\a\vs4\al\c1(α⊥β,α∩β＝a,l⊥a,l?β))?l⊥α

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