【考綱要求】
1.理解復(fù)數(shù)的基本概念.
2.理解復(fù)數(shù)相等的充要條件.
3.了解復(fù)數(shù)的代數(shù)表示法及其幾何意義.
4.能進(jìn)行復(fù)數(shù)代數(shù)形式的四則運(yùn)算.
5.了解復(fù)數(shù)代數(shù)形式的加、減運(yùn)算的幾何意義.
【考點(diǎn)預(yù)測(cè)】
1．復(fù)數(shù)的有關(guān)概念
(1)復(fù)數(shù)的定義：形如a＋bi(a，b∈R)的數(shù)叫做復(fù)數(shù)，其中a是實(shí)部，b是虛部，i為虛數(shù)單位．
(2)復(fù)數(shù)的分類：
復(fù)數(shù)z＝a＋bi(a，b∈R)
eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(實(shí)數(shù)?b＝0?，,虛數(shù)?b≠0??其中，當(dāng)a＝0時(shí)為純虛數(shù)?.))
(3)復(fù)數(shù)相等：
a＋bi＝c＋di?a＝c且b＝d(a，b，c，d∈R)．
(4)共軛復(fù)數(shù)：
a＋bi與c＋di互為共軛復(fù)數(shù)?a＝c，b＝－d(a，b，c，d∈R)．
(5)復(fù)數(shù)的模：
向量eq \(OZ,\s\up6(→))的模叫做復(fù)數(shù)z＝a＋bi的?；蚪^對(duì)值，記作|a＋bi|或|z|，即|z|＝|a＋bi|＝eq \r(a2＋b2)(a，b∈R)．
2．復(fù)數(shù)的幾何意義
(1)復(fù)數(shù)z＝a＋bi(a，b∈R)復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)Z(a，b)．
(2)復(fù)數(shù)z＝a＋bi(a，b∈R)平面向量eq \(OZ,\s\up6(→)).
3．復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算
(1)復(fù)數(shù)的加、減、乘、除運(yùn)算法則：
設(shè)z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，則
①加法：z1＋z2＝(a＋bi)＋(c＋di)＝(a＋c)＋(b＋d)i；
②減法：z1－z2＝(a＋bi)－(c＋di)＝(a－c)＋(b－d)i；
③乘法：z1·z2＝(a＋bi)·(c＋di)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i；
④除法：eq \f(z1,z2)＝eq \f(a＋bi,c＋di)＝eq \f(?a＋bi??c－di?,?c＋di??c－di?)＝eq \f(ac＋bd,c2＋d2)＋eq \f(bc－ad,c2＋d2)i(c＋di≠0)．
(2)幾何意義：復(fù)數(shù)加、減法可按向量的平行四邊形或三角形法則進(jìn)行．
如圖給出的平行四邊形OZ1ZZ2可以直觀地反映出復(fù)數(shù)加、減法的幾何意義，即eq \(OZ,\s\up6(→))＝eq \(OZ1,\s\up6(-→))＋eq \(OZ2,\s\up6(-→))，eq \(Z1Z2,\s\up6(-→))＝eq \(OZ2,\s\up6(-→))－eq \(OZ1,\s\up6(-→)).
【常用結(jié)論】
1.i的乘方具有周期性
i4n＝1，i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i，i4n＋i4n＋1＋i4n＋2＋i4n＋3＝0，n∈N*.
2.(1±i)2＝±2i，eq \f(1＋i,1－i)＝i；eq \f(1－i,1＋i)＝－i.
3.復(fù)數(shù)的模與共軛復(fù)數(shù)的關(guān)系
z·eq \(z,\s\up6(－))＝|z|2＝|eq \(z,\s\up6(－))|2.
【方法技巧】
1.解決復(fù)數(shù)概念問(wèn)題的方法及注意事項(xiàng)
(1)復(fù)數(shù)的分類及對(duì)應(yīng)點(diǎn)的位置問(wèn)題都可以轉(zhuǎn)化為復(fù)數(shù)的實(shí)部與虛部應(yīng)該滿足的條件問(wèn)題，只需把復(fù)數(shù)化為代數(shù)形式，列出實(shí)部和虛部滿足的方程(不等式)組即可．
(2)解題時(shí)一定要先看復(fù)數(shù)是否為a＋bi(a，b∈R)的形式，以確定實(shí)部和虛部．
2.復(fù)數(shù)的乘法：復(fù)數(shù)乘法類似于多項(xiàng)式的乘法運(yùn)算．
3.復(fù)數(shù)的除法：除法的關(guān)鍵是分子分母同乘以分母的共軛復(fù)數(shù)．
4.由于復(fù)數(shù)、點(diǎn)、向量之間建立了一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系，因此可把復(fù)數(shù)、向量與解析幾何聯(lián)系在一起，解題時(shí)可運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的方法，使問(wèn)題的解決更加直觀．
二、【題型歸類】
【題型一】復(fù)數(shù)的概念
【典例1】如果復(fù)數(shù)eq \f(2＋bi,i)(b∈R)的實(shí)部與虛部相等，那么b＝( )
A.－2 B.1 C.2 D.4
【解析】eq \f(2＋bi,i)＝eq \f(（2＋bi）（－i）,i（－i）)＝b－2i，所以實(shí)部為b，虛部為－2，故b的值為－2.
故選A.
【典例2】(多選)若復(fù)數(shù)z＝eq \f(2,1＋i)，其中i為虛數(shù)單位，則下列結(jié)論正確的是( )
A.z的虛部為－1
B.|z|＝eq \r(2)
C.z2為純虛數(shù)
D.z的共軛復(fù)數(shù)為－1－i
【解析】z＝eq \f(2,1＋i)＝eq \f(2（1－i）,（1＋i）（1－i）)＝eq \f(2－2i,2)＝1－i，對(duì)于A，z的虛部為－1，正確；
對(duì)于B，模長(zhǎng)|z|＝eq \r(2)，正確；
對(duì)于C，因?yàn)閦2＝(1－i)2＝－2i，故z2為純虛數(shù)，正確；
對(duì)于D，z的共軛復(fù)數(shù)為1＋i，錯(cuò)誤.
故選ABC.
【典例3】(多選)設(shè)z1，z2是復(fù)數(shù)，則下列命題中的真命題是( )
A.若|z1－z2|＝0，則eq \(z,\s\up6(－))1＝eq \(z,\s\up6(－))2
B.若z1＝eq \(z,\s\up6(－))2，則eq \(z,\s\up6(－))1＝z2
C.若|z1|＝|z2|，則z1·eq \(z,\s\up6(－))1＝z2·eq \(z,\s\up6(－))2
D.若|z1|＝|z2|，則zeq \\al(2,1)＝zeq \\al(2,2)
【解析】對(duì)于A，若|z1－z2|＝0，則z1－z2＝0，z1＝z2，所以eq \(z,\s\up6(－))1＝eq \(z,\s\up6(－))2為真；
對(duì)于B，若z1＝eq \(z,\s\up6(－))2，則z1和z2互為共軛復(fù)數(shù)，所以eq \(z,\s\up6(－))1＝z2為真；
對(duì)于C，設(shè)z1＝a1＋b1i，z2＝a2＋b2i，a1，b1，a2，b2∈R，
若|z1|＝|z2|，則eq \r(aeq \\al(2,1)＋beq \\al(2,1))＝eq \r(aeq \\al(2,2)＋beq \\al(2,2))，
即aeq \\al(2,1)＋beq \\al(2,1)＝aeq \\al(2,2)＋beq \\al(2,2)，
所以z1·eq \(z,\s\up6(－))1＝aeq \\al(2,1)＋beq \\al(2,1)＝aeq \\al(2,2)＋beq \\al(2,2)＝z2·eq \(z,\s\up6(－))2，
所以z1·eq \(z,\s\up6(－))1＝z2·eq \(z,\s\up6(－))2為真；
對(duì)于D，若z1＝1，z2＝i，
則|z1|＝|z2|，而zeq \\al(2,1)＝1，zeq \\al(2,2)＝－1，
所以zeq \\al(2,1)＝zeq \\al(2,2)為假.
故選ABC.
【題型二】復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算
【典例1】(多選)設(shè)z1，z2，z3為復(fù)數(shù)，z1≠0.下列命題中正確的是( )
A．若|z2|＝|z3|，則z2＝±z3
B．若z1z2＝z1z3，則z2＝z3
C．若eq \x\t(z)2＝z3，則|z1z2|＝|z1z3|
D．若z1z2＝|z1|2，則z1＝z2
【解析】由|i|＝|1|，知A錯(cuò)誤；
z1z2＝z1z3，則z1(z2－z3)＝0，又z1≠0，所以z2＝z3，故B正確；
|z1z2|＝|z1||z2|，|z1z3|＝|z1||z3|，
又eq \x\t(z)2＝z3，所以|z2|＝|eq \x\t(z)2|＝|z3|，故C正確，
令z1＝i，z2＝－i，滿足z1z2＝|z1|2，不滿足z1＝z2，故D錯(cuò)誤．
故選BC.
【典例2】在數(shù)學(xué)中，記表達(dá)式ad－bc為由eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(a b,c d))所確定的二階行列式．若在復(fù)數(shù)域內(nèi)，z1＝1＋i，z2＝eq \f(2＋i,1－i)，z3＝eq \x\t(z)2，則當(dāng)eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(z1 z2,z3 z4))＝eq \f(1,2)－i時(shí)，z4的虛部為________．
【解析】依題意知，eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(z1 z2,z3 z4))＝z1z4－z2z3，
因?yàn)閦3＝eq \x\t(z)2，
且z2＝eq \f(2＋i,1－i)＝eq \f(?2＋i??1＋i?,2)＝eq \f(1＋3i,2)，
所以z2z3＝|z2|2＝eq \f(5,2)，
因此有(1＋i)z4－eq \f(5,2)＝eq \f(1,2)－i，
即(1＋i)z4＝3－i，
故z4＝eq \f(3－i,1＋i)＝eq \f(?3－i??1－i?,2)＝1－2i.
所以z4的虛部是－2.
【典例3】若z＝eq \f(i2 023,1－i)，則|z|＝________；z＋eq \x\t(z)＝________.
【解析】z＝eq \f(i2 023,1－i)＝eq \f(－i,1－i)＝eq \f(1－i,2)，
|z|＝eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)))2)＝eq \f(\r(2),2)，
z＋eq \x\t(z)＝eq \f(1,2)－eq \f(1,2)i＋eq \f(1,2)＋eq \f(1,2)i＝1.
【題型三】復(fù)數(shù)的幾何意義
【典例1】已知i為虛數(shù)單位，則復(fù)數(shù)eq \f(1－i,1＋2i)的共軛復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
【解析】eq \f(1－i,1＋2i)＝eq \f(（1－i）（1－2i）,（1＋2i）（1－2i）)＝eq \f(－1－3i,5)，其共軛復(fù)數(shù)為－eq \f(1,5)＋eq \f(3,5)i，在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第二象限.
故選B．
【典例2】設(shè)復(fù)數(shù)z1，z2在復(fù)平面內(nèi)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)關(guān)于虛軸對(duì)稱，z1＝2＋i(i為虛數(shù)單位)，則z1z2＝( )
A．－5 B．5
C．－4＋i D．－4－i
【解析】因?yàn)閺?fù)數(shù)z1，z2在復(fù)平面內(nèi)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)關(guān)于虛軸對(duì)稱，z1＝2＋i，所以z2＝－2＋i，所以z1z2＝(2＋i)(－2＋i)＝－5.
故選A.
【典例3】已知復(fù)數(shù)z1＝－1＋2i，z2＝1－i，z3＝3－4i，它們?cè)趶?fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)分別為A，B，C，若eq \(OC,\s\up6(→))＝λeq \(OA,\s\up6(→))＋μeq \(OB,\s\up6(→))(λ，μ∈R)，則λ＋μ的值是________．
【解析】由條件得eq \(OC,\s\up6(→))＝(3，－4)，eq \(OA,\s\up6(→))＝(－1，2)，
eq \(OB,\s\up6(→))＝(1，－1)，
根據(jù)eq \(OC,\s\up6(→))＝λeq \(OA,\s\up6(→))＋μeq \(OB,\s\up6(→))得
(3，－4)＝λ(－1，2)＋μ(1，－1)＝(－λ＋μ，2λ－μ)，所以eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(－λ＋μ＝3，,2λ－μ＝－4，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(λ＝－1，,μ＝2，))所以λ＋μ＝1.
三、【培優(yōu)訓(xùn)練】
【訓(xùn)練一】在復(fù)數(shù)列{an}中，已知a1＝－i，an＝aeq \\al(2,n－1)＋i(n≥2，n∈N*)，則eq \f(a1＋a3＋…＋a2 019,a2＋a4＋…＋a2 020)＝________．
【解析】因?yàn)閍1＝－i，所以
a2＝aeq \\al(2,1)＋i＝(－i)2＋i＝i－1；
a3＝(i－1)2＋i＝－i；
a4＝(－i)2＋i＝i－1；
a5＝(i－1)2＋i＝－i；
…
a2 019＝－i；
a2 020＝i－1.
則eq \f(a1＋a3＋…＋a2 019,a2＋a4＋…＋a2 020)＝eq \f(－1 010i,1 010（i－1）)＝eq \f(－i,i－1)＝－eq \f(1,2)＋eq \f(i,2).
【訓(xùn)練二】在數(shù)學(xué)中，記表達(dá)式ad－bc是由eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(a b,c d))所確定的二階行列式．若在復(fù)數(shù)域內(nèi)，z1＝1＋i，z2＝eq \f(2＋i,1－i)，z3＝eq \(z,\s\up6(－))2，則當(dāng)eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(z1 z2,z3 z4))＝eq \f(1,2)－i時(shí)，z4的虛部為________．
【解析】根據(jù)題意有eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(z1 z2,z3 z4))＝z1z4－z2z3，
因?yàn)閦3＝eq \(z,\s\up6(－))2，z2＝eq \f(2＋i,1－i)，
所以z2z3＝z2eq \(z,\s\up6(－))2＝eq \f(5,2)，
因此有(1＋i)z4－eq \f(5,2)＝eq \f(1,2)－i，
即(1＋i)z4＝3－i，
整理得z4＝eq \f(3－i,1＋i)＝eq \f(（3－i）（1－i）,2)＝1－2i.
所以z4的虛部是－2.
【訓(xùn)練三】(2022·青島模擬)已知復(fù)數(shù)z滿足|z－1－i|≤1，則|z|的最小值為( )
A．1 B.eq \r(2)－1 C.eq \r(2) D.eq \r(2)＋1
【解析】令z＝x＋yi(x，y∈R)，
則由題意有(x－1)2＋(y－1)2≤1，
∴|z|的最小值即為圓(x－1)2＋(y－1)2＝1上的動(dòng)點(diǎn)到原點(diǎn)的最小距離，
∴|z|的最小值為eq \r(2)－1.
【訓(xùn)練四】已知復(fù)數(shù)z＝x＋yi(x，y∈R)，且滿足|z－2|＝1，則eq \f(y,x)的取值范圍是________.
【解析】復(fù)數(shù)z＝x＋yi，且|z－2|＝1，
所以(x－2)2＋y2＝1，
它表示圓心為(2，0)，半徑為1的圓，
則eq \f(y,x)表示圓上的點(diǎn)與原點(diǎn)連線的斜率，
由題意設(shè)過(guò)點(diǎn)O且與圓相切的直線方程為
y＝kx，則eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(（x－2）2＋y2＝1，,y＝kx，))
消去y，整理得(k2＋1)x2－4x＋3＝0，
由Δ＝16－12(k2＋1)＝0，
解得k＝－eq \f(\r(3),3)或k＝eq \f(\r(3),3)，
由題意得eq \f(y,x)的取值范圍是eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(\r(3),3)，\f(\r(3),3))).
【訓(xùn)練五】已知復(fù)數(shù)z滿足z2＝3＋4i，且z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第三象限．
(1)求復(fù)數(shù)z；
(2)設(shè)a∈R，且eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1＋z,1＋\x\t(z))))2 021＋a))＝2，求實(shí)數(shù)a的值．
【解析】(1)設(shè)z＝c＋di(c

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