【考綱要求】
1.利用實(shí)物、計(jì)算機(jī)軟件等觀察空間圖形，認(rèn)識柱、錐、臺、球及簡單組合體的結(jié)構(gòu)特征，能運(yùn)用這些特征描述現(xiàn)實(shí)生活中簡單物體的結(jié)構(gòu).
2.知道球、棱(圓)柱、棱(圓)錐、棱(圓)臺的表面積和體積的計(jì)算公式，能用公式解決簡單的實(shí)際問題.
3.能用斜二測畫法畫出簡單空間圖形(長方體、球、圓柱、圓錐、棱柱及其簡單組合體)的直觀圖.
【考點(diǎn)預(yù)測】
1．空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征
(1)多面體的結(jié)構(gòu)特征
(2)旋轉(zhuǎn)體的結(jié)構(gòu)特征
2.直觀圖
(1)畫法：常用斜二測畫法．
(2)規(guī)則：
①原圖形中x軸、y軸、z軸兩兩垂直，直觀圖中，x′軸、y′軸的夾角為45°或135°，z′軸與x′軸和y′軸所在平面垂直．
②原圖形中平行于坐標(biāo)軸的線段，直觀圖中仍分別平行于坐標(biāo)軸，平行于x軸和z軸的線段在直觀圖中保持原長度不變，平行于y軸的線段長度在直觀圖中變?yōu)樵瓉淼囊话耄?br>3．圓柱、圓錐、圓臺的側(cè)面展開圖及側(cè)面積公式
4.柱、錐、臺、球的表面積和體積
【常用結(jié)論】
1.正方體與球的切、接常用結(jié)論：正方體的棱長為a，球的半徑為R，
(1)若球?yàn)檎襟w的外接球，則2R＝eq \r(3)a；
(2)若球?yàn)檎襟w的內(nèi)切球，則2R＝a；
(3)若球與正方體的各棱相切，則2R＝eq \r(2)a.
2.長方體的共頂點(diǎn)的三條棱長分別為a，b，c，外接球的半徑為R，則2R＝eq \r(a2＋b2＋c2).
3.正四面體的外接球的半徑R＝eq \f(\r(6),4)a，內(nèi)切球的半徑r＝eq \f(\r(6),12)a，其半徑R∶r＝3∶1(a為該正四面體的棱長).
4.直觀圖與原平面圖形面積間關(guān)系S直觀圖＝eq \f(\r(2),4)S原圖形.
【方法技巧】
1.空間幾何體結(jié)構(gòu)特征的判斷技巧
(1)緊扣結(jié)構(gòu)特征是判斷的關(guān)鍵，熟悉空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征，依據(jù)條件構(gòu)建幾何模型，在條件不變的情況下，變換模型中的線面關(guān)系或增加線、面等基本元素，然后再依據(jù)題意判定.
(2)通過反例對結(jié)構(gòu)特征進(jìn)行辨析，即要說明一個(gè)命題是錯(cuò)誤的，只要舉出一個(gè)反例即可.
2.在斜二測畫法中，要確定關(guān)鍵點(diǎn)及關(guān)鍵線段.“平行于x軸的線段平行性不變，長度不變；平行于y軸的線段平行性不變，長度減半.”
3.按照斜二測畫法得到的平面圖形的直觀圖，其面積與原圖形的面積的關(guān)系：
S直觀圖＝eq \f(\r(2),4)S原圖形.
4.幾何體的表面展開圖可以有不同的形狀，應(yīng)多實(shí)踐，觀察并大膽想象立體圖形與表面展開圖的關(guān)系，一定先觀察立體圖形的每一個(gè)面的形狀.
5.空間幾何體表面積的求法
(1)旋轉(zhuǎn)體的表面積問題注意其軸截面及側(cè)面展開圖的應(yīng)用，并弄清底面半徑、母線長與對應(yīng)側(cè)面展開圖中邊的關(guān)系.
(2)多面體的表面積是各個(gè)面的面積之和；組合體的表面積注意銜接部分的處理.
6.求空間幾何體的體積的常用方法
(1)公式法：規(guī)則幾何體的體積問題，直接利用公式進(jìn)行求解；
(2)割補(bǔ)法：把不規(guī)則的幾何體分割成規(guī)則的幾何體，或者把不規(guī)則的幾何體補(bǔ)成規(guī)則的幾何體；
(3)等體積法：通過選擇合適的底面來求幾何體體積的一種方法，特別是三棱錐的體積.
7.求解多面體的外接球時(shí)，經(jīng)常用到截面圖.如圖所示，設(shè)球O的半徑為R，截面圓O′的半徑為r，M為截面圓上任意一點(diǎn)，球心O到截面圓O′的距離為d，則在Rt△OO′M中，OM2＝OO′2＋O′M2，即R2＝d2＋r2.
8.求解球的內(nèi)接正方體、長方體等問題的關(guān)鍵是把握球的直徑即是幾何體的體對角線.
9.“切”的問題處理規(guī)律
(1)找準(zhǔn)切點(diǎn)，通過作過球心的截面來解決.
(2)體積分割是求內(nèi)切球半徑的通用方法.
二、【題型歸類】
【題型一】基本立體圖形
【典例1】(多選)下面關(guān)于空間幾何體的敘述正確的是( )
A.底面是正多邊形的棱錐是正棱錐
B.用平面截圓柱得到的截面只能是圓和矩形
C.長方體是直平行六面體
D.存在每個(gè)面都是直角三角形的四面體
【典例2】一個(gè)平面四邊形的斜二測畫法的直觀圖是一個(gè)邊長為a的正方形，則原平面四邊形的面積等于( )
A.eq \f(\r(2),4)a2 B.2eq \r(2)a2 C.eq \f(\r(2),2)a2 D.eq \f(2\r(2),3)a2
【典例3】如圖，一立在水平地面上的圓錐形物體的母線長為4 m，一只小蟲從圓錐的底面圓上的點(diǎn)P出發(fā)，繞圓錐表面爬行一周后回到點(diǎn)P處.若該小蟲爬行的最短路程為4eq \r(3) m，則圓錐底面圓的半徑等于______ m.
【題型二】表面積與體積
【典例1】如圖，四面體的各個(gè)面都是邊長為1的正三角形，其三個(gè)頂點(diǎn)在一個(gè)圓柱的下底面圓周上，另一個(gè)頂點(diǎn)是上底面的圓心，則圓柱的表面積是( )
A.eq \f(?\r(2)＋2?π,3) B.eq \f(?9\r(2)＋8?π,12)
C.eq \f(2?\r(2)＋1?π,3) D.eq \f(?\r(2)＋2?π,2)
【典例2】如圖所示，在四邊形ABCD中，∠DAB＝90°，∠ADC＝135°，AB＝5，CD＝2eq \r(2)，AD＝2，則四邊形ABCD繞AD旋轉(zhuǎn)一周所成幾何體的表面積為________．
【典例3】正四棱臺的上、下底面的邊長分別為2,4，側(cè)棱長為2，則其體積為( )
A．20＋12eq \r(3) B．28eq \r(2)
C.eq \f(56,3) D.eq \f(28\r(2),3)
【題型三】與球有關(guān)的切、接問題
【典例1】圓臺上、下底面的圓周都在一個(gè)直徑為10的球面上，其上、下底面半徑分別為4和5，則該圓臺的體積為________．
【典例2】已知圓錐的底面半徑為1，母線長為3，則該圓錐內(nèi)半徑最大的球的體積為________．
【典例3】已知正三棱錐S－ABC的側(cè)棱長為4eq \r(3)，底面邊長為6，則該正三棱錐外接球的表面積是________．
三、【培優(yōu)訓(xùn)練】
【訓(xùn)練一】(多選)沙漏是古代的一種計(jì)時(shí)裝置，它由兩個(gè)形狀完全相同的容器和一個(gè)狹窄的連接管道組成，開始時(shí)細(xì)沙全部在上部容器中，細(xì)沙通過連接管道全部流到下部容器所需要的時(shí)間稱為該沙漏的一個(gè)沙時(shí)．如圖，某沙漏由上、下兩個(gè)圓錐組成，圓錐的底面直徑和高均為8 cm，細(xì)沙全部在上部時(shí)，其高度為圓錐高度的eq \f(2,3)(細(xì)管長度忽略不計(jì))，假設(shè)該沙漏每秒鐘漏0.02 cm3的沙，且細(xì)沙全部漏入下部后，恰好堆成一個(gè)蓋住沙漏底部的圓錐形沙堆，以下結(jié)論正確的是(π≈3.14)( )
A．沙漏中的細(xì)沙體積為eq \f(1 024π,81) cm3
B．沙漏的體積是128π cm3
C．細(xì)沙全部漏入下部后此錐形沙堆的高度約為2.4 cm
D．該沙漏的一個(gè)沙時(shí)大約是1 985秒
【訓(xùn)練二】若E，F(xiàn)是三棱柱ABC－A1B1C1側(cè)棱BB1和CC1上的點(diǎn)，且B1E＝CF，三棱柱的體積為m，則四棱錐A－BEFC的體積為________.
【訓(xùn)練三】在半徑為15的球O內(nèi)有一個(gè)底面邊長為12eq \r(3)的內(nèi)接正三棱錐A－BCD，則此正三棱錐的體積為________.
【訓(xùn)練四】我國南北朝時(shí)期的數(shù)學(xué)家祖暅提出了一條原理：“冪勢既同，則積不容異”．意思是：兩個(gè)等高的幾何體若在所有等高處的水平截面的面積相等，則這兩個(gè)幾何體的體積相等．橢球體是橢圓繞其軸旋轉(zhuǎn)所成的旋轉(zhuǎn)體．如圖，將底面直徑都為2b，高皆為a的半橢球體和已被挖去了圓錐體的圓柱放置于同一平面β上，用平行于平面β且與平面β任意距離d處的平面截這兩個(gè)幾何體，可橫截得到S圓及S環(huán)兩截面．可以證明S圓＝S環(huán)總成立．據(jù)此，短半軸長為1，長半軸長為3的橢球體的體積是________．
【訓(xùn)練五】我國古代數(shù)學(xué)著作《算法統(tǒng)宗》第八卷“商功”第五章撰述：“芻蕘(chú rá )：倍下長，加上長，以廣乘之，又以高乘，用六歸之．如屋脊：上斜下平．”劉徽注曰：止斬方亭兩邊，合之即“芻甍”之形也．即將方臺的兩邊切下來合在一起就是“芻甍”，是一種五面體(如圖)：矩形ABCD，棱EF∥AB，AB＝4，EF＝2，△ADE和△BCF都是邊長為2的等邊三角形，則此幾何體的表面積為______，體積為______．
【訓(xùn)練六】在半徑為15的球O內(nèi)有一個(gè)底面邊長為12eq \r(3)的內(nèi)接正三棱錐A－BCD，求此正三棱錐的體積．
四、【強(qiáng)化測試】
【單選題】
1. 下列說法中，正確的是( )
A.棱柱的側(cè)面可以是三角形
B.若棱柱有兩個(gè)側(cè)面是矩形，則該棱柱的其他側(cè)面也是矩形
C.正方體的所有棱長都相等
D.棱柱的所有棱長都相等
2. 一個(gè)菱形的邊長為4 cm，一內(nèi)角為60°，用斜二測畫法畫出的這個(gè)菱形的直觀圖的面積為( )
A.2eq \r(3) cm2 B.2eq \r(6) cm2
C.4eq \r(6) cm2 D.8eq \r(3) cm2
3. 現(xiàn)有同底等高的圓錐和圓柱，已知圓柱的軸截面是邊長為2的正方形，則圓錐的側(cè)面積為( )
A.3π B.eq \f(3π,2) C.eq \f(\r(5)π,2) D.eq \r(5)π
4. 在我國古代數(shù)學(xué)名著《數(shù)學(xué)九章》中有這樣一個(gè)問題：“今有木長二丈四尺，圍之五尺．葛生其下，纏本兩周，上與木齊，問葛長幾何？”意思是“圓木長2丈4尺，圓周長為5尺，葛藤從圓木的底部開始向上生長，繞圓木兩周，剛好頂部與圓木平齊，問葛藤最少長多少尺？”(注：1丈等于10尺)，則這個(gè)問題中，葛藤長的最小值為( )
A．2丈4尺 B．2丈5尺
C．2丈6尺 D．2丈8尺
5. 在梯形ABCD中，∠ABC＝eq \f(π,2)，AD∥BC，BC＝2AD＝2AB＝2，則將梯形ABCD繞AD所在的直線旋轉(zhuǎn)一周而形成的曲面所圍成的幾何體的表面積為( )
A．(5＋eq \r(2))π
B．(4＋eq \r(2))π
C．(5＋2eq \r(2))π
D．(3＋eq \r(2))π
6. 玉琮是一種內(nèi)圓外方的筒型玉器，它與玉璧、玉圭、玉璋、玉璜、玉琥被稱為“六器”，是古人用于祭祀神祇的一種禮器．《周禮》中載有“以玉作六器，以禮天地四方，以蒼璧禮天，以黃琮禮地”等文．如圖為齊家文化玉琮，該玉琮中方內(nèi)空，形狀對稱，圓筒內(nèi)徑2.0 cm，外徑2.4 cm，筒高6.0 cm，方高4.0 cm，則其體積約為(單位：cm3)( )
A．23.04－3.92π B．34.56－3.92π
C．34.56－3.12π D．23.04－3.12π
7. 已知表面積為12π的圓柱的上下底面的中心分別為O1，O2.若過直線O1O2的平面截該圓柱所得的截面是正方形，則O1O2＝( )
A．2eq \r(3) B．2eq \r(2) C．eq \r(3) D．eq \r(2)
8. 在長方體ABCD-A1B1C1D1中，四邊形ABCD是邊長為2的正方形，D1B與DC所成的角是60°，則長方體的外接球的表面積是( )
A．16π B．8π
C．4π D．4eq \r(2)π
【多選題】
9. 下列結(jié)論中正確的是( )
A．由五個(gè)面圍成的多面體只能是三棱柱
B．正棱臺的對角面一定是等腰梯形
C．圓柱側(cè)面上的直線段都是圓柱的母線
D．各個(gè)面都是正方形的四棱柱一定是正方體
10. 已知A，B，C三點(diǎn)均在球O的表面上，AB＝BC＝CA＝2，且球心O到平面ABC的距離等于球半徑的eq \f(1,3)，則下列結(jié)論正確的是( )
A．球O的表面積為6π
B．球O的內(nèi)接正方體的棱長為1
C．球O的外切正方體的棱長為eq \f(4,3)
D．球O的內(nèi)接正四面體的棱長為2
11. 將正三棱錐P-ABC置于水平反射鏡面上，得一“倒影三棱錐”P-ABC-Q，如圖．下列關(guān)于該“倒影三棱錐”的說法中，正確的有( )
A．PQ⊥平面ABC
B．若P，A，B，C在同一球面上，則Q也在該球面上
C．若該“倒影三棱錐”存在外接球，則AB＝eq \r(2)PA
D．若AB＝eq \f(\r(6),2)PA，則PQ的中點(diǎn)必為“倒影三棱錐”外接球的球心
12. 已知圓錐的頂點(diǎn)為P，母線長為2，底面半徑為eq \r(3)，A，B為底面圓周上兩個(gè)動點(diǎn)(A與B不重合)，則下列說法正確的是( )
A．圓錐的體積為π
B．三角形PAB為等腰三角形
C．三角形PAB面積的最大值為eq \r(3)
D．直線PA與圓錐底面所成角的大小為eq \f(π,6)
【填空題】
13. 一個(gè)六棱錐的體積為2eq \r(3)，其底面是邊長為2的正六邊形，側(cè)棱長都相等，則該六棱錐的側(cè)面積為________．
14. 已知△ABC是面積為eq \f(9\r(3),4)的等邊三角形，且其頂點(diǎn)都在球O的球面上．若球O的表面積為16π，則O到平面ABC的距離為________．
15. 如圖，六角螺帽毛坯是由一個(gè)正六棱柱挖去一個(gè)圓柱所構(gòu)成的．已知螺帽的底面正六邊形的邊長為2 cm，高為2 cm，內(nèi)孔半徑為0.5 cm，則此六角螺帽毛坯的體積是________cm3.
16. 如圖，圓形紙片的圓心為O，半徑為5 cm，該紙片上的等邊三角形ABC的中心為O.D，E，F(xiàn)為圓O上的點(diǎn)，△DBC，△ECA，△FAB分別是以BC，CA，AB為底邊的等腰三角形．沿虛線剪開后，分別以BC，CA，AB為折痕折起△DBC，△ECA，△FAB，使得D，E，F(xiàn)重合，得到三棱錐．當(dāng)△ABC的邊長變化時(shí)，所得三棱錐體積(單位：cm3)的最大值為________．
17. 如圖所示是古希臘數(shù)學(xué)家阿基米德的墓碑文，墓碑上刻著一個(gè)圓柱，圓柱內(nèi)有一個(gè)內(nèi)切球，這個(gè)球的直徑恰好與圓柱的高相等，相傳這個(gè)圖形表達(dá)了阿基米德最引以為豪的發(fā)現(xiàn).我們來重溫這個(gè)偉大發(fā)現(xiàn)，圓柱的體積與球的體積之比為________，圓柱的表面積與球的表面積之比為________.
18. 小張周末準(zhǔn)備去探望奶奶，到商店買了一盒點(diǎn)心，為了美觀起見，售貨員用彩繩對點(diǎn)心盒做了一個(gè)捆扎(如圖①所示)，并在角上配了一個(gè)花結(jié)．彩繩與長方體點(diǎn)心盒均相交于棱的四等分點(diǎn)處．設(shè)這種捆扎方法所用繩長為l1，一般的十字捆扎(如圖②所示)所用繩長為l2.若點(diǎn)心盒的長、寬、高之比為2∶2∶1，則eq \f(l1,l2)的值為________．
圖① 圖②名稱
棱柱
棱錐
棱臺
圖形
底面
互相平行
且全等
多邊形
互相平行
且相似
側(cè)棱
平行且相等
相交于一點(diǎn)
但不一定相等
延長線交
于一點(diǎn)
側(cè)面形狀
平行四邊形
三角形
梯形
名稱
圓柱
圓錐
圓臺
球
圖形
母線
互相平行且相等，垂直于底面
相交于一點(diǎn)
延長線交于一點(diǎn)
軸截面
矩形
等腰三角形
等腰梯形
圓
側(cè)面展開圖
矩形
扇形
扇環(huán)
圓柱
圓錐
圓臺
側(cè)面展開圖
側(cè)面積公式
S圓柱側(cè)＝2πrl
S圓錐側(cè)＝πrl
S圓臺側(cè)＝π(r1＋r2)l
名稱
幾何體
表面積
體積
柱體
S表＝S側(cè)＋2S底
V＝Sh
錐體
S表＝S側(cè)＋S底
V＝eq \f(1,3)Sh
臺體
S表＝S側(cè)＋S上＋S下
V＝eq \f(1,3)(S上＋S下＋eq \r(S上S下))h
球
S表＝4πR2
V＝eq \f(4,3)πR3

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