知識點1：利用二項式定理求項的系數(shù)
知識點2：利用二項式定理求系數(shù)和問題
知識點3：排列組合綜合運用
近三年高考真題
知識點1：利用二項式定理求項的系數(shù)
1．（2023?北京）的展開式中，的系數(shù)是
A．B．40C．D．80
2．（2023?天津）在的展開式中，項的系數(shù)為 ．
3．（2022?上海）二項式的展開式中，項的系數(shù)是常數(shù)項的5倍，則 ．
4．（2022?浙江）已知多項式，則 ．
5．（2022?新高考Ⅰ）的展開式中的系數(shù)為 （用數(shù)字作答）．
6．（2022?天津）的展開式中的常數(shù)項為 ．
7．（2022?上海）在的展開式中，則含項的系數(shù)為 ．
8．（2021?天津）在的展開式中，的系數(shù)是 ．
9．（2021?浙江）已知多項式，則 ， ．
10．（2021?上海）已知二項式展開式中，的系數(shù)為80，則 ．
11．（2021?北京）在的展開式中，常數(shù)項是 ．（用數(shù)字作答）
知識點2：利用二項式定理求系數(shù)和問題
12．（2021?上海）已知的展開式中，唯有的系數(shù)最大，則的系數(shù)和為 ．
13．（2023?上海）已知，若存在，1，2，，使得，則的最大值為 ．
14．（2022?北京）若，則
A．40B．41C．D．
知識點3：排列組合綜合運用
15．（2022?新高考Ⅱ）甲、乙、丙、丁、戊5名同學站成一排參加文藝匯演，若甲不站在兩端，丙和丁相鄰，則不同的排列方式共有
A．12種B．24種C．36種D．48種
16．（2021?乙卷（理））將5名北京冬奧會志愿者分配到花樣滑冰、短道速滑、冰球和冰壺4個項目進行培訓，每名志愿者只分配到1個項目，每個項目至少分配1名志愿者，則不同的分配方案共有
A．60種B．120種C．240種D．480種
17．（2023?新高考Ⅰ）某學校開設了4門體育類選修課和4門藝術類選修課，學生需從這8門課中選修2門或3門課，并且每類選修課至少選修1門，則不同的選課方案共有 種（用數(shù)字作答）．
18．（2023?乙卷（理））甲乙兩位同學從6種課外讀物中各自選讀2種，則這兩人選讀的課外讀物中恰有1種相同的選法共有
A．30種B．60種C．120種D．240種
19．（2023?甲卷（理））有五名志愿者參加社區(qū)服務，共服務星期六、星期天兩天，每天從中任選兩人參加服務，則兩天中恰有1人連續(xù)參加兩天服務的選擇種數(shù)為
A．120B．60C．40D．30
20．（2023?新高考Ⅱ）某學校為了了解學生參加體育運動的情況，用比例分配的分層隨機抽樣方法作抽樣調查，擬從初中部和高中部兩層共抽取60名學生，已知該校初中部和高中部分別有400名和200名學生，則不同的抽樣結果共有
A．種B．種
C．種D．種
專題17 計數(shù)原理（理）
知識點目錄
知識點1：利用二項式定理求項的系數(shù)
知識點2：利用二項式定理求系數(shù)和問題
知識點3：排列組合綜合運用
近三年高考真題
知識點1：利用二項式定理求項的系數(shù)
1．（2023?北京）的展開式中，的系數(shù)是
A．B．40C．D．80
【答案】
【解析】由二項式定理可知展開式的第項
，，1，，
令，可得．即含的項為第3項，
，故的系數(shù)為80．
故選：．
2．（2023?天津）在的展開式中，項的系數(shù)為 ．
【答案】60．
【解析】二項式的展開式的通項為，
令得，，
項的系數(shù)為．
故答案為：60．
3．（2022?上海）二項式的展開式中，項的系數(shù)是常數(shù)項的5倍，則 ．
【答案】10．
【解析】二項式的展開式中，項的系數(shù)是常數(shù)項的5倍，
即，即，
，
故答案為：10．
4．（2022?浙江）已知多項式，則 ．
【答案】8，．
【解析】，
；
令，則，
令，則，
．
故答案為：8，．
5．（2022?新高考Ⅰ）的展開式中的系數(shù)為 （用數(shù)字作答）．
【答案】．
【解析】的通項公式為，
當時，，當時，，
的展開式中的系數(shù)為．
故答案為：．
6．（2022?天津）的展開式中的常數(shù)項為 ．
【答案】15．
【解析】的展開式的通項是
要求展開式中的常數(shù)項只要使得，即
常數(shù)項是，
故答案為：15
7．（2022?上海）在的展開式中，則含項的系數(shù)為 ．
【答案】66．
【解析】展開式的通項公式為，由，得，
得，
即，即含項的系數(shù)為66，
故答案為：66．
8．（2021?天津）在的展開式中，的系數(shù)是 ．
【答案】160．
【解析】的展開式的通項公式為，
令，解得，
所以的系數(shù)是．
故答案為：160．
9．（2021?浙江）已知多項式，則 ， ．
【答案】5；10．
【解析】即為展開式中的系數(shù)，
所以；
令，則有，
所以．
故答案為：5；10．
10．（2021?上海）已知二項式展開式中，的系數(shù)為80，則 ．
【答案】2．
【解析】的展開式的通項公式為，
所以的系數(shù)為，解得．
故答案為：2．
11．（2021?北京）在的展開式中，常數(shù)項是 ．（用數(shù)字作答）
【答案】．
【解析】設展開式的通項為，則
令得．
展開式中常數(shù)項為：．
故答案為：．
知識點2：利用二項式定理求系數(shù)和問題
12．（2021?上海）已知的展開式中，唯有的系數(shù)最大，則的系數(shù)和為 ．
【答案】64．
【解析】由題意，，且，
所以，
所以令，的系數(shù)和為．
故答案為：64．
13．（2023?上海）已知，若存在，1，2，，使得，則的最大值為 ．
【答案】49．
【解析】二項式的通項為，，1，2，，，
二項式的通項為，，1，2，，，
，，1，2，，，
若，則為奇數(shù)，
此時，
，
，
，
又為奇數(shù)，
的最大值為49．
故答案為：49．
14．（2022?北京）若，則
A．40B．41C．D．
【答案】
【解析】法一：，
可得，，，
，
故答案為：41．
法二：，
令，可得，
再令，可得，
兩式相加處以2可得，，
故選：．
知識點3：排列組合綜合運用
15．（2022?新高考Ⅱ）甲、乙、丙、丁、戊5名同學站成一排參加文藝匯演，若甲不站在兩端，丙和丁相鄰，則不同的排列方式共有
A．12種B．24種C．36種D．48種
【答案】
【解析】把丙和丁捆綁在一起，4個人任意排列，有種情況，
甲站在兩端的情況有種情況，
甲不站在兩端，丙和丁相鄰的不同排列方式有種，
故選：．
16．（2021?乙卷（理））將5名北京冬奧會志愿者分配到花樣滑冰、短道速滑、冰球和冰壺4個項目進行培訓，每名志愿者只分配到1個項目，每個項目至少分配1名志愿者，則不同的分配方案共有
A．60種B．120種C．240種D．480種
【答案】
【解析】5名志愿者選2個1組，有種方法，然后4組進行全排列，有種，
共有種，
故選：．
17．（2023?新高考Ⅰ）某學校開設了4門體育類選修課和4門藝術類選修課，學生需從這8門課中選修2門或3門課，并且每類選修課至少選修1門，則不同的選課方案共有 種（用數(shù)字作答）．
【答案】64．
【解析】若選2門，則只能各選1門，有種，
如選3門，則分體育類選修課選2，藝術類選修課選1，或體育類選修課選1，藝術類選修課選2，
則有，
綜上共有種不同的方案．
故答案為：64．
18．（2023?乙卷（理））甲乙兩位同學從6種課外讀物中各自選讀2種，則這兩人選讀的課外讀物中恰有1種相同的選法共有
A．30種B．60種C．120種D．240種
【答案】
【解析】根據(jù)題意可得滿足題意的選法種數(shù)為：．
故選：．
19．（2023?甲卷（理））有五名志愿者參加社區(qū)服務，共服務星期六、星期天兩天，每天從中任選兩人參加服務，則兩天中恰有1人連續(xù)參加兩天服務的選擇種數(shù)為
A．120B．60C．40D．30
【答案】
【解析】先從5人中選1人連續(xù)兩天參加服務，共有種選法，
然后從剩下4人中選1人參加星期六服務，剩下3人中選取1人參加星期日服務，共有種選法，
根據(jù)分步乘法計數(shù)原理可得共有種選法．
故選：．
20．（2023?新高考Ⅱ）某學校為了了解學生參加體育運動的情況，用比例分配的分層隨機抽樣方法作抽樣調查，擬從初中部和高中部兩層共抽取60名學生，已知該校初中部和高中部分別有400名和200名學生，則不同的抽樣結果共有
A．種B．種
C．種D．種
【答案】
【解析】初中部和高中部分別有400和200名學生，
人數(shù)比例為，
則需要從初中部抽取40人，高中部取20人即可，
則有種．
故選：．

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