2021-2023年高考數(shù)學(xué)真題分類匯編(全國通用)專題14概率與統(tǒng)計(文)(學(xué)生版+解析)-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

知識點2：信息圖表處理
知識點3：頻率分布直方圖與莖葉圖
知識點4：古典概型與幾何概型
知識點5：平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)、方差、標準差、極差
知識點6：獨立性檢驗
近三年高考真題
知識點1：回歸分析
1．（2023?天津）調(diào)查某種花萼長度和花瓣長度，所得數(shù)據(jù)如圖所示，其中相關(guān)系數(shù)，下列說法正確的是
A．花瓣長度和花萼長度沒有相關(guān)性
B．花瓣長度和花萼長度呈現(xiàn)負相關(guān)
C．花瓣長度和花萼長度呈現(xiàn)正相關(guān)
D．若從樣本中抽取一部分，則這部分的相關(guān)系數(shù)一定是0.8245
2．（2023?上海）根據(jù)所示的散點圖，下列說法正確的是
A．身高越大，體重越大B．身高越大，體重越小
C．身高和體重成正相關(guān)D．身高和體重成負相關(guān)
3．（2022?乙卷（文））某地經(jīng)過多年的環(huán)境治理，已將荒山改造成了綠水青山．為估計一林區(qū)某種樹木的總材積量，隨機選取了10棵這種樹木，測量每棵樹的根部橫截面積（單位：和材積量（單位：，得到如下數(shù)據(jù)：
并計算得，，．
（1）估計該林區(qū)這種樹木平均一棵的根部橫截面積與平均一棵的材積量；
（2）求該林區(qū)這種樹木的根部橫截面積與材積量的樣本相關(guān)系數(shù)（精確到；
（3）現(xiàn)測量了該林區(qū)所有這種樹木的根部橫截面積，并得到所有這種樹木的根部橫截面積總和為．已知樹木的材積量與其根部橫截面積近似成正比．利用以上數(shù)據(jù)給出該林區(qū)這種樹木的總材積量的估計值．
附：相關(guān)系數(shù)，．
知識點2：信息圖表處理
4．（2023?上海）如圖為年上海市貨物進出口總額的條形統(tǒng)計圖，則下列對于進出口貿(mào)易額描述錯誤的是
A．從2018年開始，2021年的進出口總額增長率最大
B．從2018年開始，進出口總額逐年增大
C．從2018年開始，進口總額逐年增大
D．從2018年開始，2020年的進出口總額增長率最小
5．（2023?上海）現(xiàn)有某地一年四個季度的（億元），第一季度為232（億元），第四季度為241（億元），四個季度的逐季度增長，且中位數(shù)與平均數(shù)相同，則該地一年的為（億元）．
知識點3：頻率分布直方圖與莖葉圖
6．（2021?天津）從某網(wǎng)絡(luò)平臺推薦的影視作品中抽取400部，統(tǒng)計其評分數(shù)據(jù)，將所得400個評分數(shù)據(jù)分為8組：，，，，，，，并整理得到如下的頻率分布直方圖，則評分在區(qū)間，內(nèi)的影視作品數(shù)量是
A．20B．40C．64D．80
7．（2021?甲卷（文））為了解某地農(nóng)村經(jīng)濟情況，對該地農(nóng)戶家庭年收入進行抽樣調(diào)查，將農(nóng)戶家庭年收入的調(diào)查數(shù)據(jù)整理得到如下頻率分布直方圖：
根據(jù)此頻率分布直方圖，下面結(jié)論中不正確的是
A．該地農(nóng)戶家庭年收入低于4.5萬元的農(nóng)戶比率估計為
B．該地農(nóng)戶家庭年收入不低于10.5萬元的農(nóng)戶比率估計為
C．估計該地農(nóng)戶家庭年收入的平均值不超過6.5萬元
D．估計該地有一半以上的農(nóng)戶，其家庭年收入介于4.5萬元至8.5萬元之間
8．（2023?上海）某校抽取100名學(xué)生測身高，其中身高最大值為，最小值為，根據(jù)身高數(shù)據(jù)繪制頻率組距分布直方圖，組距為5，且第一組下限為153.5，則組數(shù)為．
9．（2022?天津）為研究某藥品的療效，選取若干名志愿者進行臨床試驗，所有志愿者的舒張壓數(shù)據(jù)（單位：的分組區(qū)間為，，，，，，，，，，將其按從左到右的順序分別編號為第一組，第二組，，第五組，右圖是根據(jù)試驗數(shù)據(jù)制成的頻率分布直方圖．已知第一組與第二組共有20人，第三組中沒有療效的有6人，則第三組中有療效的人數(shù)為
A．8B．12C．16D．18
10．（2022?乙卷（文））分別統(tǒng)計了甲、乙兩位同學(xué)16周的各周課外體育運動時長（單位：，得如圖莖葉圖：
則下列結(jié)論中錯誤的是
A．甲同學(xué)周課外體育運動時長的樣本中位數(shù)為7.4
B．乙同學(xué)周課外體育運動時長的樣本平均數(shù)大于8
C．甲同學(xué)周課外體育運動時長大于8的概率的估計值大于0.4
D．乙同學(xué)周課外體育運動時長大于8的概率的估計值大于0.6
11．（2023?新高考Ⅱ）某研究小組經(jīng)過研究發(fā)現(xiàn)某種疾病的患病者與未患病者的某項醫(yī)學(xué)指標有明顯差異，經(jīng)過大量調(diào)查，得到如下的患病者和未患病者該指標的頻率分布直方圖：
利用該指標制定一個檢測標準，需要確定臨界值，將該指標大于的人判定為陽性，小于或等于的人判定為陰性，此檢測標準的漏診率是將患病者判定為陰性的概率，記為（c）；誤診率是將未患病者判定為陽性的概率，記為（c）．假設(shè)數(shù)據(jù)在組內(nèi)均勻分布，以事件發(fā)生的頻率作為相應(yīng)事件發(fā)生的概率．
（1）當漏診率（c）時，求臨界值和誤診率（c）；
（2）設(shè)函數(shù)（c）（c）（c）．當，，求（c）的解析式，并求（c）在區(qū)間，的最小值．
知識點4：古典概型與幾何概型
12．（2023?乙卷（文））某學(xué)校舉辦作文比賽，共6個主題，每位參賽同學(xué)從中隨機抽取一個主題準備作文，則甲、乙兩位參賽同學(xué)抽到不同主題概率為
A．B．C．D．
13．（2023?甲卷（文））某校文藝部有4名學(xué)生，其中高一、高二年級各2名．從這4名學(xué)生中隨機選2名組織校文藝匯演，則這2名學(xué)生來自不同年級的概率為
A．B．C．D．
14．（2022?甲卷（文））從分別寫有1，2，3，4，5，6的6張卡片中無放回隨機抽取2張，則抽到的2張卡片上的數(shù)字之積是4的倍數(shù)的概率為
A．B．C．D．
15．（2021?乙卷（文））在區(qū)間隨機取1個數(shù)，則取到的數(shù)小于的概率為
A．B．C．D．
16．（2023?天津）甲、乙、丙三個盒子中裝有一定數(shù)量的黑球和白球，其總數(shù)之比為．這三個盒子中黑球占總數(shù)的比例分別為，，．現(xiàn)從三個盒子中各取一個球，取到的三個球都是黑球的概率為；將三個盒子混合后任取一個球，是白球的概率為．
17．（2022?乙卷（文））從甲、乙等5名同學(xué)中隨機選3名參加社區(qū)服務(wù)工作，則甲、乙都入選的概率為．
知識點5：平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)、方差、標準差、極差
18．（2022?甲卷（文））某社區(qū)通過公益講座以普及社區(qū)居民的垃圾分類知識．為了解講座效果，隨機抽取10位社區(qū)居民，讓他們在講座前和講座后各回答一份垃圾分類知識問卷，這10位社區(qū)居民在講座前和講座后問卷答題的正確率如圖：
則
A．講座前問卷答題的正確率的中位數(shù)小于
B．講座后問卷答題的正確率的平均數(shù)大于
C．講座前問卷答題的正確率的標準差小于講座后正確率的標準差
D．講座后問卷答題的正確率的極差大于講座前正確率的極差
19．（多選題）（2023?新高考Ⅰ）有一組樣本數(shù)據(jù)，，，，其中是最小值，是最大值，則
A．，，，的平均數(shù)等于，，，的平均數(shù)
B．，，，的中位數(shù)等于，，，的中位數(shù)
C．，，，的標準差不小于，，，的標準差
D．，，，的極差不大于，，，的極差
20．（多選題）（2021?新高考Ⅱ）下列統(tǒng)計量中，能度量樣本，，，的離散程度的有
A．樣本，，，的標準差B．樣本，，，的中位數(shù)
C．樣本，，，的極差D．樣本，，，的平均數(shù)
21．（多選題）（2021?新高考Ⅰ）有一組樣本數(shù)據(jù)，，，，由這組數(shù)據(jù)得到新樣本數(shù)據(jù)，，，，其中，2，，，為非零常數(shù)，則
A．兩組樣本數(shù)據(jù)的樣本平均數(shù)相同
B．兩組樣本數(shù)據(jù)的樣本中位數(shù)相同
C．兩組樣本數(shù)據(jù)的樣本標準差相同
D．兩組樣本數(shù)據(jù)的樣本極差相同
22．（2023?乙卷（文））某廠為比較甲乙兩種工藝對橡膠產(chǎn)品伸縮率的處理效應(yīng)，進行10次配對試驗，每次配對試驗選用材質(zhì)相同的兩個橡膠產(chǎn)品，隨機地選其中一個用甲工藝處理，另一個用乙工藝處理，測量處理后的橡膠產(chǎn)品的伸縮率，甲、乙兩種工藝處理后的橡膠產(chǎn)品的伸縮率分別記為，，2，．試驗結(jié)果如下：
記，2，，，記，，，的樣本平均數(shù)為，樣本方差為．
（1）求，；
（2）判斷甲工藝處理后的橡膠產(chǎn)品的伸縮率較乙工藝處理后的橡膠產(chǎn)品的伸縮率是否有顯著提高．（如果，則認為甲工藝處理后的橡膠產(chǎn)品的伸縮率較乙工藝處理后的橡膠產(chǎn)品的伸縮率有顯著提高，否則不認為有顯著提高）
23．（2021?乙卷（文））某廠研制了一種生產(chǎn)高精產(chǎn)品的設(shè)備，為檢驗新設(shè)備生產(chǎn)產(chǎn)品的某項指標有無提高，用一臺舊設(shè)備和一臺新設(shè)備各生產(chǎn)了10件產(chǎn)品，得到各件產(chǎn)品該項指標數(shù)據(jù)如下：
舊設(shè)備和新設(shè)備生產(chǎn)產(chǎn)品的該項指標的樣本平均數(shù)分別記為和，樣本方差分別記為和．
（1）求，，，；
（2）判斷新設(shè)備生產(chǎn)產(chǎn)品的該項指標的均值較舊設(shè)備是否有顯著提高（如果，則認為新設(shè)備生產(chǎn)產(chǎn)品的該項指標的均值較舊設(shè)備有顯著提高，否則不認為有顯著提高）．
知識點6：獨立性檢驗
24．（2023?甲卷（文））一項試驗旨在研究臭氧效應(yīng)，試驗方案如下：選40只小白鼠，隨機地將其中20只分配到試驗組，另外20只分配到對照組，試驗組的小白鼠飼養(yǎng)在高濃度臭氧環(huán)境，對照組的小白鼠飼養(yǎng)在正常環(huán)境，一段時間后統(tǒng)計每只小白鼠體重的增加量（單位：．試驗結(jié)果如下：
對照組的小白鼠體重的增加量從小到大排序為
25．2 18.8 20.2 21.3 22.5 23.2 25.8 26.5 27.5 30.1
26．6 34.3 34.8 35.6 35.6 35.8 36.2 37.3 40.5 43.2
試驗組的小白鼠體重的增加量從小到大排序為
27．8 9.2 11.4 12.4 13.2 15.5 16.5 18.0 18.8 19.2
28．820.2 21.6 22.8 23.6 23.9 25.1 28.2 32.3 36.5
（1）計算試驗組的樣本平均數(shù)；
（2）（ⅰ）求40只小白鼠體重的增加量的中位數(shù)，再分別統(tǒng)計兩樣本中小于與不小于的數(shù)據(jù)的個數(shù)，完成如下列聯(lián)表；
（ⅱ）根據(jù)中的列聯(lián)表，能否有的把握認為小白鼠在高濃度臭氧環(huán)境中與在正常環(huán)境中體重的增加量有差異？
附：，
29．（2022?甲卷（文））甲、乙兩城之間的長途客車均由和兩家公司運營．為了解這兩家公司長途客車的運行情況，隨機調(diào)查了甲、乙兩城之間的500個班次，得到下面列聯(lián)表：
（1）根據(jù)上表，分別估計這兩家公司甲、乙兩城之間的長途客車準點的概率；
（2）能否有的把握認為甲、乙兩城之間的長途客車是否準點與客車所屬公司有關(guān)？
附：．
30．（2021?甲卷（文））甲、乙兩臺機床生產(chǎn)同種產(chǎn)品，產(chǎn)品按質(zhì)量分為一級品和二級品，為了比較兩臺機床產(chǎn)品的質(zhì)量，分別用兩臺機床各生產(chǎn)了200件產(chǎn)品，產(chǎn)品的質(zhì)量情況統(tǒng)計如下表：
（1）甲機床、乙機床生產(chǎn)的產(chǎn)品中一級品的頻率分別是多少？
（2）能否有的把握認為甲機床的產(chǎn)品質(zhì)量與乙機床的產(chǎn)品質(zhì)量有差異？
附：．
專題14 概率與統(tǒng)計（文）
知識點目錄
知識點1：回歸分析
知識點2：信息圖表處理
知識點3：頻率分布直方圖與莖葉圖
知識點4：古典概型與幾何概型
知識點5：平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)、方差、標準差、極差
知識點6：獨立性檢驗
近三年高考真題
知識點1：回歸分析
1．（2023?天津）調(diào)查某種花萼長度和花瓣長度，所得數(shù)據(jù)如圖所示，其中相關(guān)系數(shù)，下列說法正確的是
A．花瓣長度和花萼長度沒有相關(guān)性
B．花瓣長度和花萼長度呈現(xiàn)負相關(guān)
C．花瓣長度和花萼長度呈現(xiàn)正相關(guān)
D．若從樣本中抽取一部分，則這部分的相關(guān)系數(shù)一定是0.8245
【答案】
【解析】相關(guān)系數(shù)，且散點圖呈左下角到右上角的帶狀分布，
花瓣長度和花萼長度呈正相關(guān)．
若從樣本中抽取一部分，則這部分的相關(guān)系數(shù)不一定是0.8245．
故選：．
2．（2023?上海）根據(jù)所示的散點圖，下列說法正確的是
A．身高越大，體重越大B．身高越大，體重越小
C．身高和體重成正相關(guān)D．身高和體重成負相關(guān)
【答案】
【解析】根據(jù)散點圖的分布可得：身高和體重成正相關(guān)．
故選：．
3．（2022?乙卷（文））某地經(jīng)過多年的環(huán)境治理，已將荒山改造成了綠水青山．為估計一林區(qū)某種樹木的總材積量，隨機選取了10棵這種樹木，測量每棵樹的根部橫截面積（單位：和材積量（單位：，得到如下數(shù)據(jù)：
并計算得，，．
（1）估計該林區(qū)這種樹木平均一棵的根部橫截面積與平均一棵的材積量；
（2）求該林區(qū)這種樹木的根部橫截面積與材積量的樣本相關(guān)系數(shù)（精確到；
（3）現(xiàn)測量了該林區(qū)所有這種樹木的根部橫截面積，并得到所有這種樹木的根部橫截面積總和為．已知樹木的材積量與其根部橫截面積近似成正比．利用以上數(shù)據(jù)給出該林區(qū)這種樹木的總材積量的估計值．
附：相關(guān)系數(shù)，．
【解析】（1）設(shè)這種樹木平均一棵的根部橫截面積為，平均一棵的材積量為，
則根據(jù)題中數(shù)據(jù)得：，；
（2）由題可知，；
（3）設(shè)總根部面積和，總材積量為，則，故．
知識點2：信息圖表處理
4．（2023?上海）如圖為年上海市貨物進出口總額的條形統(tǒng)計圖，則下列對于進出口貿(mào)易額描述錯誤的是
A．從2018年開始，2021年的進出口總額增長率最大
B．從2018年開始，進出口總額逐年增大
C．從2018年開始，進口總額逐年增大
D．從2018年開始，2020年的進出口總額增長率最小
【答案】
【解析】顯然2021年相對于2020年進出口額增量增加特別明顯，故最后一年的增長率最大，對；
統(tǒng)計圖中的每一年條形圖的高度逐年增加，故對；
2020年相對于2019的進口總額是減少的，故錯；
顯然進出口總額2021年的增長率最大，而2020年相對于2019年的增量比2019年相對于2018年的增量小，
且計算增長率時前者的分母還大，故2020年的增長率一定最小，正確．
故選：．
5．（2023?上海）現(xiàn)有某地一年四個季度的（億元），第一季度為232（億元），第四季度為241（億元），四個季度的逐季度增長，且中位數(shù)與平均數(shù)相同，則該地一年的為（億元）．
【答案】946（億元）．
【解析】設(shè)第二季度為億元，第三季度為億元，則，
中位數(shù)與平均數(shù)相同，
，
，
該地一年的為（億元）．
故答案為：946（億元）．
知識點3：頻率分布直方圖與莖葉圖
6．（2021?天津）從某網(wǎng)絡(luò)平臺推薦的影視作品中抽取400部，統(tǒng)計其評分數(shù)據(jù)，將所得400個評分數(shù)據(jù)分為8組：，，，，，，，并整理得到如下的頻率分布直方圖，則評分在區(qū)間，內(nèi)的影視作品數(shù)量是
A．20B．40C．64D．80
【答案】
【解析】由頻率分布直方圖知，
評分在區(qū)間，內(nèi)的影視作品的頻率為，
故評分在區(qū)間，內(nèi)的影視作品數(shù)量是，
故選：．
7．（2021?甲卷（文））為了解某地農(nóng)村經(jīng)濟情況，對該地農(nóng)戶家庭年收入進行抽樣調(diào)查，將農(nóng)戶家庭年收入的調(diào)查數(shù)據(jù)整理得到如下頻率分布直方圖：
根據(jù)此頻率分布直方圖，下面結(jié)論中不正確的是
A．該地農(nóng)戶家庭年收入低于4.5萬元的農(nóng)戶比率估計為
B．該地農(nóng)戶家庭年收入不低于10.5萬元的農(nóng)戶比率估計為
C．估計該地農(nóng)戶家庭年收入的平均值不超過6.5萬元
D．估計該地有一半以上的農(nóng)戶，其家庭年收入介于4.5萬元至8.5萬元之間
【答案】
【解析】對于，該地農(nóng)戶家庭年收入低于4.5萬元的農(nóng)戶比率為，故選項正確；
對于，該地農(nóng)戶家庭年收入不低于10.5萬元的農(nóng)戶比率為，故選項正確；
對于，估計該地農(nóng)戶家庭年收入的平均值為萬元，故選項錯誤；
對于，家庭年收入介于4.5萬元至8.5萬元之間的頻率為，
故估計該地有一半以上的農(nóng)戶，其家庭年收入介于4.5萬元至8.5萬元之間，故選項正確．
故選：．
8．（2023?上海）某校抽取100名學(xué)生測身高，其中身高最大值為，最小值為，根據(jù)身高數(shù)據(jù)繪制頻率組距分布直方圖，組距為5，且第一組下限為153.5，則組數(shù)為．
【答案】7．
【解析】極差為，組距為5，且第一組下限為153.5，
，故組數(shù)為7組，
故答案為：7．
9．（2022?天津）為研究某藥品的療效，選取若干名志愿者進行臨床試驗，所有志愿者的舒張壓數(shù)據(jù)（單位：的分組區(qū)間為，，，，，，，，，，將其按從左到右的順序分別編號為第一組，第二組，，第五組，右圖是根據(jù)試驗數(shù)據(jù)制成的頻率分布直方圖．已知第一組與第二組共有20人，第三組中沒有療效的有6人，則第三組中有療效的人數(shù)為
A．8B．12C．16D．18
【答案】
【解析】志愿者的總?cè)藬?shù)為，
第3組的人數(shù)為，
有療效的人數(shù)為人．
故選：．
10．（2022?乙卷（文））分別統(tǒng)計了甲、乙兩位同學(xué)16周的各周課外體育運動時長（單位：，得如圖莖葉圖：
則下列結(jié)論中錯誤的是
A．甲同學(xué)周課外體育運動時長的樣本中位數(shù)為7.4
B．乙同學(xué)周課外體育運動時長的樣本平均數(shù)大于8
C．甲同學(xué)周課外體育運動時長大于8的概率的估計值大于0.4
D．乙同學(xué)周課外體育運動時長大于8的概率的估計值大于0.6
【答案】
【解析】由莖葉圖可知，甲同學(xué)周課外體育運動時長的樣本中位數(shù)為，選項說法正確；
由莖葉圖可知，乙同學(xué)周課外體育運動時長的樣本平均數(shù)大于8，選項說法正確；
甲同學(xué)周課外體育運動時長大于8的概率的估計值為，選項說法錯誤；
乙同學(xué)周課外體育運動時長大于8的概率的估計值為，選項說法正確．
故選：．
11．（2023?新高考Ⅱ）某研究小組經(jīng)過研究發(fā)現(xiàn)某種疾病的患病者與未患病者的某項醫(yī)學(xué)指標有明顯差異，經(jīng)過大量調(diào)查，得到如下的患病者和未患病者該指標的頻率分布直方圖：
利用該指標制定一個檢測標準，需要確定臨界值，將該指標大于的人判定為陽性，小于或等于的人判定為陰性，此檢測標準的漏診率是將患病者判定為陰性的概率，記為（c）；誤診率是將未患病者判定為陽性的概率，記為（c）．假設(shè)數(shù)據(jù)在組內(nèi)均勻分布，以事件發(fā)生的頻率作為相應(yīng)事件發(fā)生的概率．
（1）當漏診率（c）時，求臨界值和誤診率（c）；
（2）設(shè)函數(shù)（c）（c）（c）．當，，求（c）的解析式，并求（c）在區(qū)間，的最小值．
【解析】（1）當漏診率（c）時，
則，解得；
（c）；
（2）當，時，
（c）（c）（c），
當，時，（c）（c）（c），
故（c），
所以（c）的最小值為0.02．
知識點4：古典概型與幾何概型
12．（2023?乙卷（文））某學(xué)校舉辦作文比賽，共6個主題，每位參賽同學(xué)從中隨機抽取一個主題準備作文，則甲、乙兩位參賽同學(xué)抽到不同主題概率為
A．B．C．D．
【答案】
【解析】某學(xué)校舉辦作文比賽，共6個主題，每位參賽同學(xué)從中隨機抽取一個主題準備作文，
甲、乙兩位參賽同學(xué)構(gòu)成的基本事件總數(shù)，
其中甲、乙兩位參賽同學(xué)抽到不同主題包含的基本事件個數(shù)，
則甲、乙兩位參賽同學(xué)抽到不同主題概率為．
故選：．
13．（2023?甲卷（文））某校文藝部有4名學(xué)生，其中高一、高二年級各2名．從這4名學(xué)生中隨機選2名組織校文藝匯演，則這2名學(xué)生來自不同年級的概率為
A．B．C．D．
【答案】
【解析】某校文藝部有4名學(xué)生，其中高一、高二年級各2名，
從這4名學(xué)生中隨機選2名組織校文藝匯演，
基本事件總數(shù)，
這2名學(xué)生來自不同年級包含的基本事件個數(shù)，
則這2名學(xué)生來自不同年級的概率為．
故選：．
14．（2022?甲卷（文））從分別寫有1，2，3，4，5，6的6張卡片中無放回隨機抽取2張，則抽到的2張卡片上的數(shù)字之積是4的倍數(shù)的概率為
A．B．C．D．
【答案】
【解析】根據(jù)題意，從6張卡片中無放回隨機抽取2張，有，，，，，，，，，
，，，，，，共15種取法，
其中抽到的2張卡片上的數(shù)字之積是4的倍數(shù)有，，，，，，共6種情況，
則抽到的2張卡片上的數(shù)字之積是4的倍數(shù)的概率；
故選：．
15．（2021?乙卷（文））在區(qū)間隨機取1個數(shù)，則取到的數(shù)小于的概率為
A．B．C．D．
【答案】
【解析】由于試驗的全部結(jié)果構(gòu)成的區(qū)域長度為，
構(gòu)成該事件的區(qū)域長度為，
所以取到的數(shù)小于的概率．
故選：．
16．（2023?天津）甲、乙、丙三個盒子中裝有一定數(shù)量的黑球和白球，其總數(shù)之比為．這三個盒子中黑球占總數(shù)的比例分別為，，．現(xiàn)從三個盒子中各取一個球，取到的三個球都是黑球的概率為；將三個盒子混合后任取一個球，是白球的概率為．
【答案】；．
【解析】設(shè)盒子中共有球個，
則甲盒子中有黑球個，白球個，
乙盒子中有黑球個，白球個，
丙盒子中有黑球個，白球個，
從三個盒子中各取一個球，取到的三個球都是黑球的概率為；
將三個盒子混合后任取一個球，是白球的概率．
故答案為：；．
17．（2022?乙卷（文））從甲、乙等5名同學(xué)中隨機選3名參加社區(qū)服務(wù)工作，則甲、乙都入選的概率為．
【答案】
【解析】設(shè)5人為甲、乙、丙、丁、戊，
從5人中選3人有以下10個基本事件：
甲乙丙，甲乙丁，甲乙戊，甲丙丁，甲丙戊，甲丁戊，乙丙丁、乙丙戊，乙丁戊，丙丁戊；
甲、乙被選中的基本事件有3個：甲乙丙，甲乙丁，甲乙戊；
故甲、乙被選中的概率為．
知識點5：平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)、方差、標準差、極差
18．（2022?甲卷（文））某社區(qū)通過公益講座以普及社區(qū)居民的垃圾分類知識．為了解講座效果，隨機抽取10位社區(qū)居民，讓他們在講座前和講座后各回答一份垃圾分類知識問卷，這10位社區(qū)居民在講座前和講座后問卷答題的正確率如圖：
則
A．講座前問卷答題的正確率的中位數(shù)小于
B．講座后問卷答題的正確率的平均數(shù)大于
C．講座前問卷答題的正確率的標準差小于講座后正確率的標準差
D．講座后問卷答題的正確率的極差大于講座前正確率的極差
【答案】
【解析】對于，講座前問卷答題的正確率從小到大為：
，，，，，，，，，，
講座前問卷答題的正確率的中位數(shù)為：，故錯誤；
對于，講座后問卷答題的正確率的平均數(shù)為：
，故正確；
對于，由圖形知講座前問卷答題的正確率相對分散，講座后問卷答題的正確率相對集中，
講座前問卷答題的正確率的標準差大于講座后正確率的標準差，故錯誤；
對于，講座后問卷答題的正確率的極差為：，
講座前正確率的極差為：，
講座后問卷答題的正確率的極差小于講座前正確率的極差，故錯誤．
故選：．
19．（多選題）（2023?新高考Ⅰ）有一組樣本數(shù)據(jù)，，，，其中是最小值，是最大值，則
A．，，，的平均數(shù)等于，，，的平均數(shù)
B．，，，的中位數(shù)等于，，，的中位數(shù)
C．，，，的標準差不小于，，，的標準差
D．，，，的極差不大于，，，的極差
【答案】
【解析】選項，，，，的平均數(shù)不一定等于，，，的平均數(shù)，錯誤；
選項，，，，的中位數(shù)等于，，，，的中位數(shù)等于，正確；
選項，設(shè)樣本數(shù)據(jù)，，，為0，1，2，8，9，10，可知，，，的平均數(shù)是5，，，，的平均數(shù)是5，
，，，的方差，
，，，的方差，
，，錯誤．
選項，，，，正確．
故選：．
20．（多選題）（2021?新高考Ⅱ）下列統(tǒng)計量中，能度量樣本，，，的離散程度的有
A．樣本，，，的標準差B．樣本，，，的中位數(shù)
C．樣本，，，的極差D．樣本，，，的平均數(shù)
【答案】
【解析】中位數(shù)是反應(yīng)數(shù)據(jù)的變化，
方差是反應(yīng)數(shù)據(jù)與均值之間的偏離程度，
極差是用來表示統(tǒng)計資料中的變異量數(shù)，反映的是最大值與最小值之間的差距，
平均數(shù)是反應(yīng)數(shù)據(jù)的平均水平，
故能反應(yīng)一組數(shù)據(jù)離散程度的是標準差，極差．
故選：．
21．（多選題）（2021?新高考Ⅰ）有一組樣本數(shù)據(jù)，，，，由這組數(shù)據(jù)得到新樣本數(shù)據(jù)，，，，其中，2，，，為非零常數(shù)，則
A．兩組樣本數(shù)據(jù)的樣本平均數(shù)相同
B．兩組樣本數(shù)據(jù)的樣本中位數(shù)相同
C．兩組樣本數(shù)據(jù)的樣本標準差相同
D．兩組樣本數(shù)據(jù)的樣本極差相同
【答案】
【解析】對于，兩組數(shù)據(jù)的平均數(shù)的差為，故錯誤；
對于，兩組樣本數(shù)據(jù)的樣本中位數(shù)的差是，故錯誤；
對于，標準差，
兩組樣本數(shù)據(jù)的樣本標準差相同，故正確；
對于，，2，，，為非零常數(shù)，
的極差為，的極差為，
兩組樣本數(shù)據(jù)的樣本極差相同，故正確．
故選：．
22．（2023?乙卷（文））某廠為比較甲乙兩種工藝對橡膠產(chǎn)品伸縮率的處理效應(yīng)，進行10次配對試驗，每次配對試驗選用材質(zhì)相同的兩個橡膠產(chǎn)品，隨機地選其中一個用甲工藝處理，另一個用乙工藝處理，測量處理后的橡膠產(chǎn)品的伸縮率，甲、乙兩種工藝處理后的橡膠產(chǎn)品的伸縮率分別記為，，2，．試驗結(jié)果如下：
記，2，，，記，，，的樣本平均數(shù)為，樣本方差為．
（1）求，；
（2）判斷甲工藝處理后的橡膠產(chǎn)品的伸縮率較乙工藝處理后的橡膠產(chǎn)品的伸縮率是否有顯著提高．（如果，則認為甲工藝處理后的橡膠產(chǎn)品的伸縮率較乙工藝處理后的橡膠產(chǎn)品的伸縮率有顯著提高，否則不認為有顯著提高）
【解析】（1）根據(jù)表中數(shù)據(jù)，計算，2，，，填表如下：
計算平均數(shù)為，
方差為．
（2）由（1）知，，，
所以，認為甲工藝處理后的橡膠產(chǎn)品的伸縮率較乙工藝處理后的橡膠產(chǎn)品的伸縮率有顯著提高．
23．（2021?乙卷（文））某廠研制了一種生產(chǎn)高精產(chǎn)品的設(shè)備，為檢驗新設(shè)備生產(chǎn)產(chǎn)品的某項指標有無提高，用一臺舊設(shè)備和一臺新設(shè)備各生產(chǎn)了10件產(chǎn)品，得到各件產(chǎn)品該項指標數(shù)據(jù)如下：
舊設(shè)備和新設(shè)備生產(chǎn)產(chǎn)品的該項指標的樣本平均數(shù)分別記為和，樣本方差分別記為和．
（1）求，，，；
（2）判斷新設(shè)備生產(chǎn)產(chǎn)品的該項指標的均值較舊設(shè)備是否有顯著提高（如果，則認為新設(shè)備生產(chǎn)產(chǎn)品的該項指標的均值較舊設(shè)備有顯著提高，否則不認為有顯著提高）．
【解析】（1）由題中的數(shù)據(jù)可得，，
，
；
；
（2），，
因為，
所以，
故新設(shè)備生產(chǎn)產(chǎn)品的該項指標的均值較舊設(shè)備有顯著提高．
知識點6：獨立性檢驗
24．（2023?甲卷（文））一項試驗旨在研究臭氧效應(yīng)，試驗方案如下：選40只小白鼠，隨機地將其中20只分配到試驗組，另外20只分配到對照組，試驗組的小白鼠飼養(yǎng)在高濃度臭氧環(huán)境，對照組的小白鼠飼養(yǎng)在正常環(huán)境，一段時間后統(tǒng)計每只小白鼠體重的增加量（單位：．試驗結(jié)果如下：
對照組的小白鼠體重的增加量從小到大排序為
25．2 18.8 20.2 21.3 22.5 23.2 25.8 26.5 27.5 30.1
26．6 34.3 34.8 35.6 35.6 35.8 36.2 37.3 40.5 43.2
試驗組的小白鼠體重的增加量從小到大排序為
27．8 9.2 11.4 12.4 13.2 15.5 16.5 18.0 18.8 19.2
28．820.2 21.6 22.8 23.6 23.9 25.1 28.2 32.3 36.5
（1）計算試驗組的樣本平均數(shù)；
（2）（?。┣?0只小白鼠體重的增加量的中位數(shù)，再分別統(tǒng)計兩樣本中小于與不小于的數(shù)據(jù)的個數(shù)，完成如下列聯(lián)表；
（ⅱ）根據(jù)中的列聯(lián)表，能否有的把握認為小白鼠在高濃度臭氧環(huán)境中與在正常環(huán)境中體重的增加量有差異？
附：，
【解析】（1）根據(jù)題意，計算試驗組樣本平均數(shù)為
．
（2）由題意知，這40只小鼠體重的中位數(shù)是將兩組數(shù)據(jù)合在一起，從小到大排列后第20位與第21位數(shù)據(jù)的平均數(shù)，
因為原數(shù)據(jù)的第11位數(shù)據(jù)是18.8，后續(xù)依次為19.2，19.8，20.2，20.2，21.3，21.6，22.5，22.8，23.2，23.6，，
所以第20位為23.2，第21位數(shù)據(jù)為23.6，
所以這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)是；
填寫列聯(lián)表如下：
根據(jù)列聯(lián)表中數(shù)據(jù)，計算，
所以有的把握認為小白鼠在高濃度臭氧環(huán)境中與在正常環(huán)境中體重的增加量有差異．
29．（2022?甲卷（文））甲、乙兩城之間的長途客車均由和兩家公司運營．為了解這兩家公司長途客車的運行情況，隨機調(diào)查了甲、乙兩城之間的500個班次，得到下面列聯(lián)表：
（1）根據(jù)上表，分別估計這兩家公司甲、乙兩城之間的長途客車準點的概率；
（2）能否有的把握認為甲、乙兩城之間的長途客車是否準點與客車所屬公司有關(guān)？
附：．
【解析】（1）公司一共調(diào)查了260輛車，其中有240輛準點，故公司準點的概率為；
公司一共調(diào)查了240輛車，其中有210輛準點，故公司準點的概率為；
（2）由題設(shè)數(shù)據(jù)可知，準點班次數(shù)共450輛，未準點班次數(shù)共50輛，公司共260輛，公司共240輛，
，
有的把握認為甲、乙兩城之間的長途客車是否準點與客車所屬公司有關(guān)．
30．（2021?甲卷（文））甲、乙兩臺機床生產(chǎn)同種產(chǎn)品，產(chǎn)品按質(zhì)量分為一級品和二級品，為了比較兩臺機床產(chǎn)品的質(zhì)量，分別用兩臺機床各生產(chǎn)了200件產(chǎn)品，產(chǎn)品的質(zhì)量情況統(tǒng)計如下表：
（1）甲機床、乙機床生產(chǎn)的產(chǎn)品中一級品的頻率分別是多少？
（2）能否有的把握認為甲機床的產(chǎn)品質(zhì)量與乙機床的產(chǎn)品質(zhì)量有差異？
附：．
【解析】（1）由題意可得，甲機床、乙機床生產(chǎn)總數(shù)均為200件，
因為甲的一級品的頻數(shù)為150，所以甲的一級品的頻率為；
因為乙的一級品的頻數(shù)為120，所以乙的一級品的頻率為；
（2）根據(jù)列聯(lián)表，可得
．
所以有的把握認為甲機床的產(chǎn)品質(zhì)量與乙機床的產(chǎn)品質(zhì)量有差異．
樣本號
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
總和
根部橫截面積
0.04
0.06
0.04
0.08
0.08
0.05
0.05
0.07
0.07
0.06
0.6
材積量
0.25
0.40
0.22
0.54
0.51
0.34
0.36
0.46
0.42
0.40
3.9
試驗序號
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
伸縮率
545
533
551
522
575
544
541
568
596
548
伸縮率
536
527
543
530
560
533
522
550
576
536
舊設(shè)備
9.8
10.3
10.0
10.2
9.9
9.8
10.0
10.1
10.2
9.7
新設(shè)備
10.1
10.4
10.1
10.0
10.1
10.3
10.6
10.5
10.4
10.5
對照組
試驗組
0.100
0.050
0.010
2.706
3.841
6.635
準點班次數(shù)
未準點班次數(shù)
240
20
210
30
0.100
0.050
0.010
2.706
3.841
6.635
一級品
二級品
合計
甲機床
150
50
200
乙機床
120
80
200
合計
270
130
400
0.050
0.010
0.001
3.841
6.635
10.828
樣本號
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
總和
根部橫截面積
0.04
0.06
0.04
0.08
0.08
0.05
0.05
0.07
0.07
0.06
0.6
材積量
0.25
0.40
0.22
0.54
0.51
0.34
0.36
0.46
0.42
0.40
3.9
試驗序號
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
伸縮率
545
533
551
522
575
544
541
568
596
548
伸縮率
536
527
543
530
560
533
522
550
576
536
試驗序號
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
伸縮率
545
533
551
522
575
544
541
568
596
548
伸縮率
536
527
543
530
560
533
522
550
576
536
9
6
8
15
11
19
18
20
12
舊設(shè)備
9.8
10.3
10.0
10.2
9.9
9.8
10.0
10.1
10.2
9.7
新設(shè)備
10.1
10.4
10.1
10.0
10.1
10.3
10.6
10.5
10.4
10.5
對照組
試驗組
0.100
0.050
0.010
2.706
3.841
6.635
合計
對照組
6
14
20
試驗組
14
6
20
合計
20
20
40
準點班次數(shù)
未準點班次數(shù)
240
20
210
30
0.100
0.050
0.010
2.706
3.841
6.635
一級品
二級品
合計
甲機床
150
50
200
乙機床
120
80
200
合計
270
130
400
0.050
0.010
0.001
3.841
6.635
10.828

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