知識點1：三視圖
知識點2：空間幾何體表面積、體積、側(cè)面積
知識點3：空間直線、平面位置關(guān)系的判斷
知識點4：線線角、線面角、二面角
知識點5：外接球、內(nèi)切球問題
知識點6：立體幾何中的范圍與最值問題及定值問題
近三年高考真題
知識點1：三視圖
1．（2023?乙卷（理））如圖，網(wǎng)格紙上繪制的一個零件的三視圖，網(wǎng)格小正方形的邊長為1，則該零件的表面積為
A．24B．26C．28D．30
2．（2022?浙江）某幾何體的三視圖如圖所示（單位：，則該幾何體的體積（單位：是
A．B．C．D．
3．（2021?北京）某四面體的三視圖如圖所示，該四面體的表面積為
A．B．C．D．
4．（2021?浙江）某幾何體的三視圖如圖所示（單位：，則該幾何體的體積（單位：是
A．B．3C．D．
知識點2：空間幾何體表面積、體積、側(cè)面積
5．（2023?乙卷（理））已知圓錐的底面半徑為，為底面圓心，，為圓錐的母線，，若的面積等于，則該圓錐的體積為
A．B．C．D．
6．（2022?新高考Ⅰ）南水北調(diào)工程緩解了北方一些地區(qū)水資源短缺問題，其中一部分水蓄入某水庫．已知該水庫水位為海拔時，相應水面的面積為；水位為海拔時，相應水面的面積為．將該水庫在這兩個水位間的形狀看作一個棱臺，則該水庫水位從海拔上升到時，增加的水量約為
A．B．C．D．
7．（2022?北京）已知正三棱錐的六條棱長均為6，是及其內(nèi)部的點構(gòu)成的集合．設(shè)集合，則表示的區(qū)域的面積為
A．B．C．D．
8．（2023?天津）在三棱錐中，線段上的點滿足，線段上的點滿足，則三棱錐和三棱錐的體積之比為
A．B．C．D．
9．（2023?甲卷（理））在四棱錐中，底面為正方形，，，，則的面積為
A．B．C．D．
10．（多選題）（2023?新高考Ⅱ）已知圓錐的頂點為，底面圓心為，為底面直徑，，，點在底面圓周上，且二面角為，則
A．該圓錐的體積為B．該圓錐的側(cè)面積為
C．D．的面積為
11．（2022?天津）如圖，“十字歇山”是由兩個直三棱柱重疊后的景象，重疊后的底面為正方形，直三棱柱的底面是頂角為，腰為3的等腰三角形，則該幾何體的體積為
A．23B．24C．26D．27
12．（2021?新高考Ⅰ）已知圓錐的底面半徑為，其側(cè)面展開圖為一個半圓，則該圓錐的母線長為
A．2B．C．4D．
13．（多選題）（2022?新高考Ⅱ）如圖，四邊形為正方形，平面，，．記三棱錐，，的體積分別為，，，則
A．B．C．D．
14．（2021?新高考Ⅱ）正四棱臺的上、下底面的邊長分別為2，4，側(cè)棱長為2，則其體積為
A．B．C．D．
15．（2023?新高考Ⅱ）底面邊長為4的正四棱錐被平行于其底面的平面所截，截去一個底面邊長為2，高為3的正四棱錐，所得棱臺的體積為 ．
16．（2023?新高考Ⅰ）在正四棱臺中，，，，則該棱臺的體積為 ．
17．（2022?上海）已知圓柱的高為4，底面積為，則圓柱的側(cè)面積為 ．
知識點3：空間直線、平面位置關(guān)系的判斷
18．（2023?上海）如圖所示，在正方體中，點為邊上的動點，則下列直線中，始終與直線異面的是
A．B．C．D．
19．（2022?上海）如圖正方體中，、、、分別為棱、、、的中點，聯(lián)結(jié)，．空間任意兩點、，若線段上不存在點在線段、上，則稱兩點可視，則下列選項中與點可視的為
A．點B．點C．點D．點
20．（2022?上海）上海海關(guān)大樓的頂部為逐級收攏的四面鐘樓，如圖，四個大鐘分布在四棱柱的四個側(cè)面，則每天0點至12點（包含0點，不含12點）相鄰兩鐘面上的時針相互垂直的次數(shù)為
A．0B．2C．4D．12
21．（2021?浙江）如圖，已知正方體，，分別是，的中點，則
A．直線與直線垂直，直線平面
B．直線與直線平行，直線平面
C．直線與直線相交，直線平面
D．直線與直線異面，直線平面
22．（多選題）（2021?新高考Ⅱ）如圖，下列正方體中，為底面的中心，為所在棱的中點，，為正方體的頂點，則滿足的是
A．B．
C．D．
知識點4：線線角、線面角、二面角
23．（2023·北京·統(tǒng)考高考真題）坡屋頂是我國傳統(tǒng)建筑造型之一，蘊含著豐富的數(shù)學元素．安裝燈帶可以勾勒出建筑輪廓，展現(xiàn)造型之美．如圖，某坡屋頂可視為一個五面體，其中兩個面是全等的等腰梯形，兩個面是全等的等腰三角形．若，且等腰梯形所在的平面、等腰三角形所在的平面與平面的夾角的正切值均為，則該五面體的所有棱長之和為（ ）

A．B．
C．D．
24．（2023?乙卷（理））已知為等腰直角三角形，為斜邊，為等邊三角形，若二面角為，則直線與平面所成角的正切值為
A．B．C．D．
25．（2022?浙江）如圖，已知正三棱柱，，，分別是棱，上的點．記與所成的角為，與平面所成的角為，二面角的平面角為，則
A．B．C．D．
26．（多選題）（2022?新高考Ⅰ）已知正方體，則
A．直線與所成的角為
B．直線與所成的角為
C．直線與平面所成的角為
D．直線與平面所成的角為
知識點5：外接球、內(nèi)切球問題
27．（2021?天津）兩個圓錐的底面是一個球的同一截面，頂點均在球面上，若球的體積為，兩個圓錐的高之比為，則這兩個圓錐的體積之和為
A．B．C．D．
28．（2021?新高考Ⅱ）北斗三號全球衛(wèi)星導航系統(tǒng)是我國航天事業(yè)的重要成果．在衛(wèi)星導航系統(tǒng)中，地球靜止同步軌道衛(wèi)星的軌道位于地球赤道所在平面，軌道高度為（軌道高度是指衛(wèi)星到地球表面的距離）．將地球看作是一個球心為，半徑為的球，其上點的緯度是指與赤道平面所成角的度數(shù)．地球表面上能直接觀測到的一顆地球靜止同步軌道衛(wèi)星點的緯度最大值為，該衛(wèi)星信號覆蓋地球表面的表面積（單位：，則占地球表面積的百分比約為
A．B．C．D．
29．（2022?新高考Ⅰ）已知正四棱錐的側(cè)棱長為，其各頂點都在同一球面上．若該球的體積為，且，則該正四棱錐體積的取值范圍是
A．，B．，C．，D．，
30．（2022?新高考Ⅱ）已知正三棱臺的高為1，上、下底面邊長分別為和，其頂點都在同一球面上，則該球的表面積為
A．B．C．D．
31．（2021?甲卷（理））已知，，是半徑為1的球的球面上的三個點，且，，則三棱錐的體積為
A．B．C．D．
32．（多選題）（2023?新高考Ⅰ）下列物體中，能夠被整體放入棱長為1（單位：的正方體容器（容器壁厚度忽略不計）內(nèi)的有
A．直徑為的球體
B．所有棱長均為的四面體
C．底面直徑為，高為的圓柱體
D．底面直徑為，高為的圓柱體
33．（2023?甲卷（理））在正方體中，，分別為，的中點，則以為直徑的球面與正方體每條棱的交點總數(shù)為 ．
知識點6：立體幾何中的范圍與最值問題及定值問題
34．（多選題）（2021?新高考Ⅰ）在正三棱柱中，，點滿足，其中，，，，則
A．當時，△的周長為定值
B．當時，三棱錐的體積為定值
C．當時，有且僅有一個點，使得
D．當時，有且僅有一個點，使得平面
35．（2021?上海）已知圓柱的底面圓半徑為1，高為2，為上底面圓的一條直徑，是下底面圓周上的一個動點，則的面積的取值范圍為 ．
專題05立體幾何（選擇題、填空題）（理）
知識點目錄
知識點1：三視圖
知識點2：空間幾何體表面積、體積、側(cè)面積
知識點3：空間直線、平面位置關(guān)系的判斷
知識點4：線線角、線面角、二面角
知識點5：外接球、內(nèi)切球問題
知識點6：立體幾何中的范圍與最值問題及定值問題
近三年高考真題
知識點1：三視圖
1．（2023?乙卷（理））如圖，網(wǎng)格紙上繪制的一個零件的三視圖，網(wǎng)格小正方形的邊長為1，則該零件的表面積為
A．24B．26C．28D．30
【答案】
【解析】根據(jù)幾何體的三視圖轉(zhuǎn)換為直觀圖為：該幾何體是由兩個直四棱柱組成的幾何體．
如圖所示：
故該幾何體的表面積為：．
故選：．
2．（2022?浙江）某幾何體的三視圖如圖所示（單位：，則該幾何體的體積（單位：是
A．B．C．D．
【答案】
【解析】由三視圖可知幾何體是上部為半球，中部是圓柱，下部是圓臺，
所以幾何體的體積為：．
故選：．
3．（2021?北京）某四面體的三視圖如圖所示，該四面體的表面積為
A．B．C．D．
【答案】
【解析】由三視圖還原原幾何體如圖，
底面，，，
則是邊長為的等邊三角形，
則該四面體的表面積為．
故選：．
4．（2021?浙江）某幾何體的三視圖如圖所示（單位：，則該幾何體的體積（單位：是
A．B．3C．D．
【答案】
【解析】由三視圖還原原幾何體如圖，
該幾何體為直四棱柱，底面四邊形為等腰梯形，
其中，由三視圖可知，延長與相交于一點，且，
且，，，等腰梯形的高為，
則該幾何體的體積．
故選：．
知識點2：空間幾何體表面積、體積、側(cè)面積
5．（2023?乙卷（理））已知圓錐的底面半徑為，為底面圓心，，為圓錐的母線，，若的面積等于，則該圓錐的體積為
A．B．C．D．
【答案】
【解析】根據(jù)題意，設(shè)該圓錐的高為，即，取的中點，連接、，
由于圓錐的底面半徑為，即，
而，故，
同時，
中，，為的中點，則有，
又由的面積等于，即，變形可得，
而，則有，解可得，
故該圓錐的體積．
故選：．
6．（2022?新高考Ⅰ）南水北調(diào)工程緩解了北方一些地區(qū)水資源短缺問題，其中一部分水蓄入某水庫．已知該水庫水位為海拔時，相應水面的面積為；水位為海拔時，相應水面的面積為．將該水庫在這兩個水位間的形狀看作一個棱臺，則該水庫水位從海拔上升到時，增加的水量約為
A．B．C．D．
【答案】
【解析】，，
根據(jù)題意，增加的水量約為
．故選：．
7．（2022?北京）已知正三棱錐的六條棱長均為6，是及其內(nèi)部的點構(gòu)成的集合．設(shè)集合，則表示的區(qū)域的面積為
A．B．C．D．
【答案】
【解析】設(shè)點在面內(nèi)的投影為點，連接，則，
所以，
由，知表示的區(qū)域是以為圓心，1為半徑的圓，
所以其面積．
故選：．
8．（2023?天津）在三棱錐中，線段上的點滿足，線段上的點滿足，則三棱錐和三棱錐的體積之比為
A．B．C．D．
【答案】
【解析】在三棱錐中，線段上的點滿足，線段上的點滿足，
所以，
設(shè)到平面的距離，到平面的距離，則，
則三棱錐的體積為．
故三棱錐和三棱錐的體積之比為．
故選：．
9．（2023?甲卷（理））在四棱錐中，底面為正方形，，，，則的面積為
A．B．C．D．
【答案】
【解析】解法一：四棱錐中，底面為正方形，
又，，
根據(jù)對稱性易知，
又底面正方形得邊長為4，，
在中，根據(jù)余弦定理可得：
，
又，，在中，由余弦定理可得：
，，
的面積為．
解法二：如圖，設(shè)在底面的射影為，連接，
設(shè)，，且，
則，或，
易知，又，
則根據(jù)最小角定理（三余弦定理）可得：
，
或，
或，
或，
或，又，
，，，
，，
再根據(jù)最小角定理可得：
，
，又，，
的面積為．
故選：．
10．（多選題）（2023?新高考Ⅱ）已知圓錐的頂點為，底面圓心為，為底面直徑，，，點在底面圓周上，且二面角為，則
A．該圓錐的體積為B．該圓錐的側(cè)面積為
C．D．的面積為
【答案】
【解析】取中點，則，，
由二面角的定義可知，二面角的平面角即為，
對于，中，由于，，
則，，
則，，選項正確．
對于，，選項錯誤．
對于，，選項正確．
對于，，，選項錯誤．
故選：．
11．（2022?天津）如圖，“十字歇山”是由兩個直三棱柱重疊后的景象，重疊后的底面為正方形，直三棱柱的底面是頂角為，腰為3的等腰三角形，則該幾何體的體積為
A．23B．24C．26D．27
【答案】
【解析】如圖，該組合體由直三棱柱和直三棱柱組成，且為正方形，
設(shè)重疊后的與交點為，
作于，因為，，
所以，，，
方法①：四個形狀相同的三棱錐、，、的體積之和，加上正四棱錐的體積：
在直三棱柱中，平面，則，
由可得平面，
正四棱錐的高等于的長，
，，
該組合體的體積；
方法②：兩個直三棱柱體積相加，再減去重疊部分（正四棱錐的體積：
在直三棱柱中，平面，則，
由可得平面，
正四棱錐的高等于的長，
，，
該組合體的體積．
故選：．
12．（2021?新高考Ⅰ）已知圓錐的底面半徑為，其側(cè)面展開圖為一個半圓，則該圓錐的母線長為
A．2B．C．4D．
【答案】
【解析】由題意，設(shè)母線長為，
因為圓錐底面周長即為側(cè)面展開圖半圓的弧長，圓錐的母線長即為側(cè)面展開圖半圓的半徑，
則有，解得，
所以該圓錐的母線長為．
故選：．
13．（多選題）（2022?新高考Ⅱ）如圖，四邊形為正方形，平面，，．記三棱錐，，的體積分別為，，，則
A．B．C．D．
【答案】
【解析】設(shè)，
，
，
如圖所示，
連接交于點，連接、，
則，，，
故，
，
故、正確，、錯誤．
故選：．
14．（2021?新高考Ⅱ）正四棱臺的上、下底面的邊長分別為2，4，側(cè)棱長為2，則其體積為
A．B．C．D．
【答案】
【解析】解法一：如圖為正四棱臺，，，．
在等腰梯形中，過作，可得，
．
連接，，
，，
過作，，
，
正四棱臺的體積為：
．
解法二：作出圖形，連接該正四棱臺上下底面的中心，如圖，
該四棱臺上下底面邊長分別為2，4，側(cè)棱長為2，
該棱臺的記，
下底面面積，上底面面積，
則該棱臺的體積為：
．
故選：．
15．（2023?新高考Ⅱ）底面邊長為4的正四棱錐被平行于其底面的平面所截，截去一個底面邊長為2，高為3的正四棱錐，所得棱臺的體積為 ．
【解析】如圖所示，根據(jù)題意易知△，
，又，
，，又上下底面正方形邊長分別為2，4，
所得棱臺的體積為．
故答案為：28．
16．（2023?新高考Ⅰ）在正四棱臺中，，，，則該棱臺的體積為 ．
【解析】如圖，設(shè)正四棱臺的上下底面中心分別為，，
過作，垂足點為，由題意易知，又，
，又，，
該四棱臺的體積為．
故答案為：．
17．（2022?上海）已知圓柱的高為4，底面積為，則圓柱的側(cè)面積為 ．
【答案】．
【解析】因為圓柱的底面積為，即，
所以，
所以．
故答案為：．
知識點3：空間直線、平面位置關(guān)系的判斷
18．（2023?上海）如圖所示，在正方體中，點為邊上的動點，則下列直線中，始終與直線異面的是
A．B．C．D．
【答案】
【解析】對于，當是的中點時，與是相交直線；
對于，根據(jù)異面直線的定義知，與是異面直線；
對于，當點與重合時，與是平行直線；
對于，當點與重合時，與是相交直線．
故選：．
19．（2022?上海）如圖正方體中，、、、分別為棱、、、的中點，聯(lián)結(jié)，．空間任意兩點、，若線段上不存在點在線段、上，則稱兩點可視，則下列選項中與點可視的為
A．點B．點C．點D．點
【答案】
【解析】線段上不存在點在線段、上，即直線與線段、不相交，
因此所求與可視的點，即求哪條線段不與線段、相交，
對選項，如圖，連接、、，因為、分別為、的中點，
易證，故、、、四點共面，與相交，錯誤；
對、選項，如圖，連接、，易證、、、四點共面，
故、都與相交，、錯誤；
對選項，連接，由選項分析知、、、四點共面記為平面，
平面，平面，且平面，點，
與為異面直線，
同理由，選項的分析知、、、四點共面記為平面，
平面，平面，且平面，點，
與為異面直線，
故與，都沒有公共點，選項正確．
故選：．
20．（2022?上海）上海海關(guān)大樓的頂部為逐級收攏的四面鐘樓，如圖，四個大鐘分布在四棱柱的四個側(cè)面，則每天0點至12點（包含0點，不含12點）相鄰兩鐘面上的時針相互垂直的次數(shù)為
A．0B．2C．4D．12
【答案】
【解析】3點時和9點時相鄰兩鐘面上的時針相互垂直，
每天0點至12點（包含0點，不含12點），
相鄰兩鐘面上的時針相互垂直的次數(shù)為2，
故選：．
21．（2021?浙江）如圖，已知正方體，，分別是，的中點，則
A．直線與直線垂直，直線平面
B．直線與直線平行，直線平面
C．直線與直線相交，直線平面
D．直線與直線異面，直線平面
【答案】
【解析】連接，如圖：
由正方體可知，，平面，
，由題意知為△的中位線，，
又平面，平面，平面．對；
由正方體可知與平面相交于點，平面，，
直線與直線是異面直線，、錯；
，不與平面垂直，不與平面垂直，錯．
故選：．
22．（多選題）（2021?新高考Ⅱ）如圖，下列正方體中，為底面的中心，為所在棱的中點，，為正方體的頂點，則滿足的是
A．B．
C．D．
【答案】
【解析】對于，設(shè)正方體棱長為2，設(shè)與所成角為，
則，不滿足，故錯誤；
對于，如圖，作出平面直角坐標系，設(shè)正方體棱長為2，
則，0，，，0，，，0，，，1，，
，0，，，，，
，滿足，故正確；
對于，如圖，作出平面直角坐標系，設(shè)正方體棱長為2，
則，2，，，2，，，1，，，0，，
，0，，，，，
，滿足，故正確；
對于，如圖，
作出平面直角坐標系，設(shè)正方體棱長為2，
則，2，，，0，，，1，，，1，，
，，，，0，，
，不滿足，故錯誤．
故選：．
知識點4：線線角、線面角、二面角
23．（2023·北京·統(tǒng)考高考真題）坡屋頂是我國傳統(tǒng)建筑造型之一，蘊含著豐富的數(shù)學元素．安裝燈帶可以勾勒出建筑輪廓，展現(xiàn)造型之美．如圖，某坡屋頂可視為一個五面體，其中兩個面是全等的等腰梯形，兩個面是全等的等腰三角形．若，且等腰梯形所在的平面、等腰三角形所在的平面與平面的夾角的正切值均為，則該五面體的所有棱長之和為（ ）

A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】如圖，過做平面，垂足為，過分別做，，垂足分別為，，連接，
由題意得等腰梯形所在的面、等腰三角形所在的面與底面夾角分別為和，
所以.
因為平面，平面，所以，
因為，平面，，
所以平面，因為平面，所以，.
同理：，又，故四邊形是矩形，
所以由得，所以，所以，
所以在直角三角形中，
在直角三角形中，，，
又因為，
所有棱長之和為.
故選：C
24．（2023?乙卷（理））已知為等腰直角三角形，為斜邊，為等邊三角形，若二面角為，則直線與平面所成角的正切值為
A．B．C．D．
【答案】
【解析】如圖，取的中點，連接，，
則根據(jù)題意易得，，
二面角的平面角為，
，，且，
平面，又平面，
平面平面，
在平面內(nèi)的射影為，
直線與平面所成角為，
過作垂直所在直線，垂足點為，
設(shè)等腰直角三角形的斜邊長為2，
則可易得，，又，
，，，
．
故選：．
25．（2022?浙江）如圖，已知正三棱柱，，，分別是棱，上的點．記與所成的角為，與平面所成的角為，二面角的平面角為，則
A．B．C．D．
【答案】
【解析】正三棱柱中，，
正三棱柱的所有棱長相等，設(shè)棱長為1，
如圖，過作，垂足點為，連接，則，
與所成的角為，且，
又，，，，
與平面所成的角為，且，，
，①，
再過點作，垂足點為，連接，
又易知底面，底面，
，又，平面，
二面角的平面角為，且，又，，
，，，②，
又，，③，
由①②③得，又，，，，在，單調(diào)遞增，
，
故選：．
26．（多選題）（2022?新高考Ⅰ）已知正方體，則
A．直線與所成的角為
B．直線與所成的角為
C．直線與平面所成的角為
D．直線與平面所成的角為
【答案】
【解析】如圖，
連接，由，，得四邊形為平行四邊形，
可得，，直線與所成的角為，故正確；
，，，平面，而平面，
，即直線與所成的角為，故正確；
設(shè)，連接，可得平面，即為直線與平面所成的角，
，直線與平面所成的角為，故錯誤；
底面，為直線與平面所成的角為，故正確．
故選：．
知識點5：外接球、內(nèi)切球問題
27．（2021?天津）兩個圓錐的底面是一個球的同一截面，頂點均在球面上，若球的體積為，兩個圓錐的高之比為，則這兩個圓錐的體積之和為
A．B．C．D．
【答案】
【解析】如圖，設(shè)球的半徑為，由題意，，
可得，則球的直徑為4，
兩個圓錐的高之比為，，，
由直角三角形中的射影定理可得：，即．
這兩個圓錐的體積之和為．
故選：．
28．（2021?新高考Ⅱ）北斗三號全球衛(wèi)星導航系統(tǒng)是我國航天事業(yè)的重要成果．在衛(wèi)星導航系統(tǒng)中，地球靜止同步軌道衛(wèi)星的軌道位于地球赤道所在平面，軌道高度為（軌道高度是指衛(wèi)星到地球表面的距離）．將地球看作是一個球心為，半徑為的球，其上點的緯度是指與赤道平面所成角的度數(shù)．地球表面上能直接觀測到的一顆地球靜止同步軌道衛(wèi)星點的緯度最大值為，該衛(wèi)星信號覆蓋地球表面的表面積（單位：，則占地球表面積的百分比約為
A．B．C．D．
【答案】
【解析】由題意，作出地球靜止同步衛(wèi)星軌道的左右兩端的豎直截面圖，
則，那么；
衛(wèi)星信號覆蓋的地球表面面積，
那么，占地球表面積的百分比為．
故選：．
29．（2022?新高考Ⅰ）已知正四棱錐的側(cè)棱長為，其各頂點都在同一球面上．若該球的體積為，且，則該正四棱錐體積的取值范圍是
A．，B．，C．，D．，
【答案】
【解析】如圖所示，正四棱錐各頂點都在同一球面上，連接與交于點，連接，則球心在直線上，連接，
設(shè)正四棱錐的底面邊長為，高為，
在中，，即，
球的體積為，球的半徑，
在中，，即，
，，
，又，，
該正四棱錐體積，
，
當時，，單調(diào)遞增；當時，，單調(diào)遞減，
（4），
又，，且，
，
即該正四棱錐體積的取值范圍是，，
故選：．
30．（2022?新高考Ⅱ）已知正三棱臺的高為1，上、下底面邊長分別為和，其頂點都在同一球面上，則該球的表面積為
A．B．C．D．
【答案】
【解析】當球心在臺體外時，由題意得，上底面所在平面截球所得圓的半徑為，下底面所在平面截球所得圓的半徑為，如圖，
設(shè)球的半徑為，則軸截面中由幾何知識可得，解得，
該球的表面積為．
當球心在臺體內(nèi)時，如圖，
此時，無解．
綜上，該球的表面積為．
故選：．
31．（2021?甲卷（理））已知，，是半徑為1的球的球面上的三個點，且，，則三棱錐的體積為
A．B．C．D．
【答案】
【解析】因為，，
所以底面為等腰直角三角形，
所以所在的截面圓的圓心為斜邊的中點，
所以平面，
在中，，則，
在中，，
故三棱錐的體積為．
故選：．
32．（多選題）（2023?新高考Ⅰ）下列物體中，能夠被整體放入棱長為1（單位：的正方體容器（容器壁厚度忽略不計）內(nèi)的有
A．直徑為的球體
B．所有棱長均為的四面體
C．底面直徑為，高為的圓柱體
D．底面直徑為，高為的圓柱體
【答案】
【解析】對于，棱長為1的正方體內(nèi)切球的直徑為，選項正確；
對于，如圖，
正方體內(nèi)部最大的正四面體的棱長為，選項正確；
對于，棱長為1的正方體的體對角線為，選項錯誤；
對于，如圖，六邊形為正六邊形，，，，，，為棱的中點，
高為0.01米可忽略不計，看作直徑為1.2米的平面圓，
六邊形棱長為米，，
所以米，故六邊形內(nèi)切圓直徑為米，
而，選項正確．
故選：．
33．（2023?甲卷（理））在正方體中，，分別為，的中點，則以為直徑的球面與正方體每條棱的交點總數(shù)為 ．
【答案】12．
【解析】在正方體中，，分別為，的中點，
設(shè)正方體中棱長為2，中點為，
取，中點，，側(cè)面的中心為，
連接，，，，，如圖，
由題意得為球心，在正方體中，，
，
則球心到的距離為，
球與棱相切，球面與棱只有一個交點，
同理，根據(jù)正方體的對稱性可知，其余各棱和球面也只有一個交點，
以為直徑的球面與正方體每條棱的交點總數(shù)為12．
故答案為：12．
知識點6：立體幾何中的范圍與最值問題及定值問題
34．（多選題）（2021?新高考Ⅰ）在正三棱柱中，，點滿足，其中，，，，則
A．當時，△的周長為定值
B．當時，三棱錐的體積為定值
C．當時，有且僅有一個點，使得
D．當時，有且僅有一個點，使得平面
【答案】
【解析】對于，當時，，即，所以，
故點在線段上，此時△的周長為，
當點為的中點時，△的周長為，
當點在點處時，△的周長為，
故周長不為定值，故選項錯誤；
對于，當時，，即，所以，
故點在線段上，
因為平面，
所以直線上的點到平面的距離相等，
又△的面積為定值，
所以三棱錐的體積為定值，故選項正確；
對于，當時，取線段，的中點分別為，，連結(jié)，
因為，即，所以，
則點在線段上，
當點在處時，，，
又，所以平面，
又平面，所以，即，
同理，當點在處，，故選項錯誤；
對于，當時，取的中點，的中點，
因為，即，所以，
則點在線的上，
當點在點處時，取的中點，連結(jié)，，
因為平面，又平面，所以，
在正方形中，，
又，，平面，
故平面，又平面，所以，
在正方體形中，，
又，，平面，所以平面，
因為過定點與定直線垂直的平面有且只有一個，
故有且僅有一個點，使得平面，故選項正確．
故選：．
35．（2021?上海）已知圓柱的底面圓半徑為1，高為2，為上底面圓的一條直徑，是下底面圓周上的一個動點，則的面積的取值范圍為 ．
【解析】如圖1，上底面圓心記為，下底面圓心記為，
連接，過點作，垂足為點，
則，
根據(jù)題意，為定值2，所以的大小隨著的長短變化而變化，
如圖2所示，當點與點重合時，，
此時取得最大值為；
如圖3所示，當點與點重合，取最小值2，
此時取得最小值為．
綜上所述，的取值范圍為．
故答案為：．

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