知識點1：恒成立與有解問題
知識點2：極最值問題
知識點3：證明不等式
知識點4：雙變量問題（極值點偏移、拐點偏移）
知識點5：零點問題
近三年高考真題
知識點1：恒成立與有解問題
1．（2023?甲卷（理））已知，．
（1）若，討論的單調(diào)性；
（2）若恒成立，求的取值范圍．
2．（2021?天津）已知，函數(shù)．
（1）求曲線在點，處的切線方程；
（2）證明函數(shù)存在唯一的極值點；
（3）若，使得對任意的恒成立，求實數(shù)的取值范圍．
3．（2023?上海）已知函數(shù)，（其中，，，若任意，均有，則稱函數(shù)是函數(shù)的“控制函數(shù)”，且對所有滿足條件的函數(shù)在處取得的最小值記為．
（1）若，，試判斷函數(shù)是否為函數(shù)的“控制函數(shù)”，并說明理由；
（2）若，曲線在處的切線為直線，證明：函數(shù)為函數(shù)的“控制函數(shù)”，并求的值；
（3）若曲線在，處的切線過點，且，，證明：當(dāng)且僅當(dāng)或時，（c）（c）．
知識點2：極最值問題
4．（2023·北京·統(tǒng)考高考真題）設(shè)函數(shù)，曲線在點處的切線方程為．
(1)求的值；
(2)設(shè)函數(shù)，求的單調(diào)區(qū)間；
(3)求的極值點個數(shù)．
5．（2023?新高考Ⅱ）（1）證明：當(dāng)時，；參考答案
（2）已知函數(shù)，若為的極大值點，求的取值范圍．
6．（2023?乙卷（理））已知函數(shù)．
（1）當(dāng)時，求曲線在點，（1）處的切線方程；
（2）是否存在，，使得曲線關(guān)于直線對稱，若存在，求，的值，若不存在，說明理由；
（3）若在存在極值，求的取值范圍．
知識點3：證明不等式
7．（2022?新高考Ⅱ）已知函數(shù)．
（1）當(dāng)時，討論的單調(diào)性；
（2）當(dāng)時，，求的取值范圍；
（3）設(shè)，證明：．
8．（2023?新高考Ⅰ）已知函數(shù)．
（1）討論的單調(diào)性；
（2）證明：當(dāng)時，．
9．（2021?乙卷（理））已知函數(shù)，已知是函數(shù)的極值點．
（1）求；
（2）設(shè)函數(shù)．證明：．
10．（2023?天津）已知函數(shù)．
（Ⅰ）求曲線在處的切線斜率；
（Ⅱ）當(dāng)時，求證：；
（Ⅲ）證明：．
知識點4：雙變量問題（極值點偏移、拐點偏移）
11．（2021?新高考Ⅰ）已知函數(shù)．
（1）討論的單調(diào)性；
（2）設(shè)，為兩個不相等的正數(shù)，且，證明：．
12．（2022?天津）已知，，函數(shù)，．
（1）求函數(shù)在，處的切線方程；
（2）若和有公共點．
（ⅰ）當(dāng)時，求的取值范圍；
（ⅱ）求證：．
13．（2022?浙江）設(shè)函數(shù)．
（Ⅰ）求的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）已知，，曲線上不同的三點，，，，，處的切線都經(jīng)過點．證明：
（?。┤簦瑒t（a）；
（ⅱ）若，，則．
（注是自然對數(shù)的底數(shù)）
14．（2022?北京）已知函數(shù)．
（Ⅰ）求曲線在點，處的切線方程；
（Ⅱ）設(shè)，討論函數(shù)在，上的單調(diào)性；
（Ⅲ）證明：對任意的，，有．
知識點5：零點問題
15．（2022?甲卷（理））已知函數(shù)．
（1）若，求的取值范圍；
（2）證明：若有兩個零點，，則．
16．（2022?新高考Ⅰ）已知函數(shù)和有相同的最小值．
（1）求；
（2）證明：存在直線，其與兩條曲線和共有三個不同的交點，并且從左到右的三個交點的橫坐標(biāo)成等差數(shù)列．
17．（2021?新高考Ⅱ）已知函數(shù)．
（Ⅰ）討論的單調(diào)性；
（Ⅱ）從下面兩個條件中選一個，證明：恰有一個零點．
①，；
②，．
18．（2021?浙江）設(shè)，為實數(shù)，且，函數(shù)．
（Ⅰ）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）若對任意，函數(shù)有兩個不同的零點，求的取值范圍；
（Ⅲ）當(dāng)時，證明：對任意，函數(shù)有兩個不同的零點，，滿足．
（注是自然對數(shù)的底數(shù)）
19．（2021?甲卷（理））已知且，函數(shù)．
（1）當(dāng)時，求的單調(diào)區(qū)間；
（2）若曲線與直線有且僅有兩個交點，求的取值范圍．20．（2022年全國乙卷）已知函數(shù)fx=ln1+x+axe?x
(1)當(dāng)a=1時，求曲線y=fx在點0,f0處的切線方程；
(2)若fx在區(qū)間?1,0,0,+∞各恰有一個零點，求a的取值范圍．
專題04 導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用（解答題）（理）
知識點目錄
知識點1：恒成立與有解問題
知識點2：極最值問題
知識點3：證明不等式
知識點4：雙變量問題（極值點偏移、拐點偏移）
知識點5：零點問題
近三年高考真題
知識點1：恒成立與有解問題
1．（2023?甲卷（理））已知，．
（1）若，討論的單調(diào)性；
（2）若恒成立，求的取值范圍．
【解析】（1）已知，函數(shù)定義域為，
若，此時，
可得
，
因為，，
所以當(dāng)，即時，，單調(diào)遞增；
當(dāng)，即時，，單調(diào)遞減；
（2）不妨設(shè)，函數(shù)定義域為，
，
令，，
此時，
不妨令，
可得，
所以單調(diào)遞增，
此時（1），
①當(dāng)時，，
所以在上單調(diào)遞減，
此時，
則當(dāng)時，恒成立，符合題意；
②當(dāng)時，
當(dāng)時，，
所以，
又（1），
所以在區(qū)間上存在一點，使得，
即存在，使得，
當(dāng)時，，
所以當(dāng)時，，單調(diào)遞增，
可得當(dāng)時，，不符合題意，
綜上，的取值范圍為，．
2．（2021?天津）已知，函數(shù)．
（1）求曲線在點，處的切線方程；
（2）證明函數(shù)存在唯一的極值點；
（3）若，使得對任意的恒成立，求實數(shù)的取值范圍．
【解析】（1）因為，所以，而，
所以在，處的切線方程為；
（2）證明：令，則，
令，則，令，解得，
當(dāng)時，，單調(diào)遞減，
當(dāng)時，，單調(diào)遞增，
當(dāng)時，，當(dāng)時，，
作出圖象，如圖，
所以當(dāng)時，與僅有一個交點，令，
則，且，
當(dāng)時，，，為增函數(shù)；
當(dāng)時，，，為減函數(shù)；
所以時是的極大值點，故僅有一個極值點；
（3）由（2）知，
此時，，
所以，
令，
若存在，使對任意的恒成立，
則等價于存在，使得，即，
而，，
當(dāng)時，，為單調(diào)減函數(shù)，
當(dāng)時，，為單調(diào)增函數(shù)，
所以（1），故，
所以實數(shù)的取值范圍，．
3．（2023?上海）已知函數(shù)，（其中，，，若任意，均有，則稱函數(shù)是函數(shù)的“控制函數(shù)”，且對所有滿足條件的函數(shù)在處取得的最小值記為．
（1）若，，試判斷函數(shù)是否為函數(shù)的“控制函數(shù)”，并說明理由；
（2）若，曲線在處的切線為直線，證明：函數(shù)為函數(shù)的“控制函數(shù)”，并求的值；
（3）若曲線在，處的切線過點，且，，證明：當(dāng)且僅當(dāng)或時，（c）（c）．
【解析】（1），設(shè)，
，當(dāng)，時，易知，即單調(diào)減，
，即，
是的“控制函數(shù)“；
（2），
，
，即為函數(shù)的“控制函數(shù)“，
又，且，；
證明：（3），，
在處的切線為，
，，（1）（1），
，
，
，
，
恒成立，
函數(shù)必是函數(shù)的“控制函數(shù)“，
是函數(shù)的“控制函數(shù)“，
此時“控制函數(shù)“必與相切于點，與在處相切，且過點，
在之間的點不可能使得在切線下方，所以或，
所以曲線在處的切線過點，且，，
當(dāng)且僅當(dāng)或時，．
知識點2：極最值問題
4．（2023·北京·統(tǒng)考高考真題）設(shè)函數(shù)，曲線在點處的切線方程為．
(1)求的值；
(2)設(shè)函數(shù)，求的單調(diào)區(qū)間；
(3)求的極值點個數(shù)．
【解析】（1）因為，所以，
因為在處的切線方程為，
所以，，
則，解得，
所以.
（2）由（1）得，
則，
令，解得，不妨設(shè)，，則，
易知恒成立，
所以令，解得或；令，解得或；
所以在，上單調(diào)遞減，在，上單調(diào)遞增，
即的單調(diào)遞減區(qū)間為和，單調(diào)遞增區(qū)間為和.
（3）由（1）得，，
由（2）知在，上單調(diào)遞減，在，上單調(diào)遞增，
當(dāng)時，，，即
所以在上存在唯一零點，不妨設(shè)為，則，
此時，當(dāng)時，，則單調(diào)遞減；當(dāng)時，，則單調(diào)遞增；
所以在上有一個極小值點；
當(dāng)時，在上單調(diào)遞減，
則，故，
所以在上存在唯一零點，不妨設(shè)為，則，
此時，當(dāng)時，，則單調(diào)遞增；當(dāng)時，，則單調(diào)遞減；
所以在上有一個極大值點；
當(dāng)時，在上單調(diào)遞增，
則，故，
所以在上存在唯一零點，不妨設(shè)為，則，
此時，當(dāng)時，，則單調(diào)遞減；當(dāng)時，，則單調(diào)遞增；
所以在上有一個極小值點；
當(dāng)時，，
所以，則單調(diào)遞增，
所以在上無極值點；
綜上：在和上各有一個極小值點，在上有一個極大值點，共有個極值點.
5．（2023?新高考Ⅱ）（1）證明：當(dāng)時，；參考答案
（2）已知函數(shù)，若為的極大值點，求的取值范圍．
【解析】（1）證明：設(shè)，，
則，，
在上單調(diào)遞減，
，
在上單調(diào)遞減，
，
即，，
，，
設(shè)，，
則，
在上單調(diào)遞增，
，，
即，，
，，
綜合可得：當(dāng)時，；
（2），，
且，，
①若，即時，
易知存在，使得時，，
在上單調(diào)遞增，，
在上單調(diào)遞增，這顯然與為函數(shù)的極大值點相矛盾，故舍去；
②若，即或時，
存在，使得，時，，
在，上單調(diào)遞減，又，
當(dāng)時，，單調(diào)遞增；
當(dāng)時，，單調(diào)遞減，滿足為的極大值點，符合題意；
③若，即時，為偶函數(shù)，
只考慮的情況，
此時，時，
，
在上單調(diào)遞增，與顯然與為函數(shù)的極大值點相矛盾，故舍去．
綜合可得：的取值范圍為，，．
6．（2023?乙卷（理））已知函數(shù)．
（1）當(dāng)時，求曲線在點，（1）處的切線方程；
（2）是否存在，，使得曲線關(guān)于直線對稱，若存在，求，的值，若不存在，說明理由；
（3）若在存在極值，求的取值范圍．
【解析】（1）時，（1），
，（1），
曲線在點，（1）處的切線方程為．
（2），定義域為，，，
要使函數(shù)的圖像關(guān)于對稱，則由，且，可知，
即的圖像關(guān)于對稱，
則（1），，
得，解得．
綜上，，；
（3），
要使在存在極值點，則方程有正根，
記，，，
①當(dāng)時，，故在上單調(diào)遞增，，不符合題意；
②當(dāng)時，，故在上單調(diào)遞減，，不符合題意；
③當(dāng)時，令，，令，，
故在上單調(diào)遞增，，不符合題意；
易知時，，
故只需，
記，，，
故在上單調(diào)遞增，
（2），
故取，，有，即，符合題意；
綜上所述，時，在存在極值點．
知識點3：證明不等式
7．（2022?新高考Ⅱ）已知函數(shù)．
（1）當(dāng)時，討論的單調(diào)性；
（2）當(dāng)時，，求的取值范圍；
（3）設(shè)，證明：．
【解析】（1）當(dāng)時，，
，
，
當(dāng)時，，單調(diào)遞增；當(dāng)時，，單調(diào)遞減．
（2）令，
，，
在上恒成立，
又，
令，則，
，
①當(dāng)，即，存在，使得當(dāng)時，，即在上單調(diào)遞增．
因為，所以在內(nèi)遞增，所以，這與矛盾，故舍去；
②當(dāng)，即，
，
若，則，
所以在，上單調(diào)遞減，，符合題意．
若，則，
所以在上單調(diào)遞減，，符合題意．
綜上所述，實數(shù)的取值范圍是．
另的導(dǎo)數(shù)為，
①當(dāng)時，，
所以在遞增，所以，與題意矛盾；
②當(dāng)時，，
所以在遞減，所以，滿足題意；．
③當(dāng)時，．
設(shè)，，則在遞減，所以，
，所以在遞減，所以，滿足題意；
④當(dāng)時，，
令，則，，
可得遞減，，
所以存在，使得．當(dāng)時，，
在遞增，此時，
所以當(dāng)時，，在遞增，所以，與題意矛盾．
綜上可得，的取值范圍是，．
（3）由（2）可知，當(dāng)時，，
令得，，
整理得，，
，
，，
即．
另運用數(shù)學(xué)歸納法證明．
當(dāng)時，左邊成立．
假設(shè)當(dāng)時，不等式成立，即．
當(dāng)時，要證，
只要證，
即證．
可令，則，，則需證明，
再令，則需證明．
構(gòu)造函數(shù)，，
，
可得在，上遞減，
則（1），所以原不等式成立，
即時，成立．
綜上可得，成立．
8．（2023?新高考Ⅰ）已知函數(shù)．
（1）討論的單調(diào)性；
（2）證明：當(dāng)時，．
【解析】（1），
則，
①當(dāng)時，恒成立，在上單調(diào)遞減，
②當(dāng)時，令得，，
當(dāng)時，，單調(diào)遞減；當(dāng)，時，，單調(diào)遞增，
綜上所述，當(dāng)時，在上單調(diào)遞減；當(dāng)時，在上單調(diào)遞減，在，上單調(diào)遞增．
證明：（2）由（1）可知，當(dāng)時，，
要證，只需證，
只需證，
設(shè)（a），，
則（a），
令（a）得，，
當(dāng)時，（a），（a）單調(diào)遞減，當(dāng)，時，（a），（a）單調(diào)遞增，
所以（a），
即（a），
所以得證，
即得證．
9．（2021?乙卷（理））已知函數(shù)，已知是函數(shù)的極值點．
（1）求；
（2）設(shè)函數(shù)．證明：．
【解析】（1）由題意，的定義域為，
令，則，，
則，
因為是函數(shù)的極值點，則有，即，所以，
當(dāng)時，，且，
因為，
則在上單調(diào)遞減，
所以當(dāng)時，，
當(dāng)時，，
所以時，是函數(shù)的一個極大值點．
綜上所述，；
（2）證明：由（1）可知，，
要證，即需證明，
因為當(dāng)時，，
當(dāng)時，，
所以需證明，即，
令，
則，
所以，當(dāng)時，，
當(dāng)時，，
所以為的極小值點，
所以，即，
故，
所以．
10．（2023?天津）已知函數(shù)．
（Ⅰ）求曲線在處的切線斜率；
（Ⅱ）當(dāng)時，求證：；
（Ⅲ）證明：．
【解析】（Ⅰ）對函數(shù)求導(dǎo)，可得，
則曲線在處的切線斜率為（2）；
（Ⅱ）證明：當(dāng)時，，即，即，
而 在上單調(diào)遞增，
因此，原不等式得證；
（Ⅲ）證明：設(shè)數(shù)列的前項和，
則；
當(dāng)時，，
由（2），，
故，不等式右邊得證；
要證，只需證：對任意的，，
令，則，
當(dāng)時，，函數(shù)在上單調(diào)遞減，
則，即，
則，
因此當(dāng)時，，
當(dāng)時，累加得
，
又，，
故，即得證．
知識點4：雙變量問題（極值點偏移、拐點偏移）
11．（2021?新高考Ⅰ）已知函數(shù)．
（1）討論的單調(diào)性；
（2）設(shè)，為兩個不相等的正數(shù)，且，證明：．
【解析】（1）由函數(shù)的解析式可得，
，，單調(diào)遞增，
，，單調(diào)遞減，
則在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減．
（2）證明：由，得，
即，
由（1）在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，
所以（1），且（e），
令，，
則，為 的兩根，其中．
不妨令，，則，
先證，即證，即證，
令，
則在單調(diào)遞減，
所以（1），
故函數(shù)在單調(diào)遞增，
（1）．，，得證．
同理，要證，
（法一）即證，
根據(jù)（1）中單調(diào)性，
即證，
令，，
則，令，
，，單調(diào)遞增，
，，，單調(diào)遞減，
又時，，且（e），
故，
（1）（1），
恒成立，
得證，
（法二），，
又，故，，
故，，
令，，，
在上，，單調(diào)遞增，
所以（e），
即，所以，得證，
則．
12．（2022?天津）已知，，函數(shù)，．
（1）求函數(shù)在，處的切線方程；
（2）若和有公共點．
（?。┊?dāng)時，求的取值范圍；
（ⅱ）求證：．
【解析】（1），，
，，
函數(shù)在處的切線方程為；
（2）（ⅰ），，又和有公共點，
方程有解，
即有解，顯然，
在上有解，
設(shè)，，
，
當(dāng)時，；當(dāng)，時，，
在上單調(diào)遞減，在，上單調(diào)遞增，
，且當(dāng)時，；當(dāng)時，，
，，
的范圍為，；
（ⅱ）證明：令交點的橫坐標(biāo)為，則，
由柯西不等式可得
，
又易證時，，，，
，
故．
13．（2022?浙江）設(shè)函數(shù)．
（Ⅰ）求的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）已知，，曲線上不同的三點，，，，，處的切線都經(jīng)過點．證明：
（?。┤簦瑒t（a）；
（ⅱ）若，，則．
（注是自然對數(shù)的底數(shù)）
【解析】（Ⅰ）函數(shù)，
，，
由，得，在，上單調(diào)遞增；
由，得，在上單調(diào)遞減．
（Ⅱ）證明：過有三條不同的切線，
設(shè)切點分別為，，，，，，
，，2，，方程有3個不同的根，
該方程整理為，
設(shè)，
則，
當(dāng)或時，；當(dāng)時，，
在，上為減函數(shù)，在上為增函數(shù)，
有3個不同的零點，（e）且（a），
，且，
整理得到且，
此時，，且，
此時，，
整理得，且，
此時，（a），
設(shè)（a）為上的減函數(shù)，（a），
．
當(dāng)時，同討論，得：
在，上為減函數(shù)，在上為增函數(shù)，
不妨設(shè)，則，
有3個不同的零點，（a），且（e），
，且，
整理得，
，，
，
設(shè)，則方程即為：
，即為，
記，
則，，為有三個不同的根，
設(shè)，，
要證：，
即證，
即證：，
而，且，
，
，
即證，
即證，
即證，
記，則，
在為增函數(shù)，，
，
設(shè)，，
則，
在上是增函數(shù)，（1），
，
即，
若，，則．
14．（2022?北京）已知函數(shù)．
（Ⅰ）求曲線在點，處的切線方程；
（Ⅱ）設(shè)，討論函數(shù)在，上的單調(diào)性；
（Ⅲ）證明：對任意的，，有．
【解析】（Ⅰ）對函數(shù)求導(dǎo)可得：，
將代入原函數(shù)可得，將代入導(dǎo)函數(shù)可得：，
故在處切線斜率為1，故，化簡得：；
（Ⅱ）解法一：由（Ⅰ）有：，
，
令，令，
設(shè)，恒成立，
故在，單調(diào)遞增，又因為，
故在，恒成立，故，
故在，單調(diào)遞增；
解法二：由（Ⅰ）有：，
，
設(shè)，，則，
由指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)得上上是增函數(shù)，且，
，當(dāng)時，，單調(diào)遞增，
且當(dāng)時，，
在，單調(diào)遞增．
（Ⅲ）證明：由（Ⅱ）有在，單調(diào)遞增，又，
故在，恒成立，故在，單調(diào)遞增，
設(shè)，，
由（Ⅱ）有在，單調(diào)遞增，又因為，所以，
故單調(diào)遞增，又因為，故，
即：，又因為函數(shù)，
故，得證．
知識點5：零點問題
15．（2022?甲卷（理））已知函數(shù)．
（1）若，求的取值范圍；
（2）證明：若有兩個零點，，則．
【解析】（1）的定義域為，，
令，解得，故函數(shù)在單調(diào)遞減，單調(diào)遞增，
故（1），要使得恒成立，僅需，
故，故的取值范圍是，；
（2）證明：由已知有函數(shù)要有兩個零點，故（1），即，
不妨設(shè)，要證明，即證明，
，，
即證明：，又因為在單調(diào)遞增，
即證明：，
構(gòu)造函數(shù)，，
，
構(gòu)造函數(shù)，
，因為，所以，
故在恒成立，故在單調(diào)遞增，
故（1）
又因為，故在恒成立，故在單調(diào)遞增，
又因為（1），故（1），
故，即．得證．
16．（2022?新高考Ⅰ）已知函數(shù)和有相同的最小值．
（1）求；
（2）證明：存在直線，其與兩條曲線和共有三個不同的交點，并且從左到右的三個交點的橫坐標(biāo)成等差數(shù)列．
【解析】（1）定義域為，
，
，
若，
則，無最小值，
故，
當(dāng)時，，
當(dāng)時，，函數(shù)在上單調(diào)遞減，
當(dāng)時，，函數(shù)在上單調(diào)遞增，
故，
的定義域為，
，
，
令，解得，
當(dāng)時，，函數(shù)在上單調(diào)遞減，
當(dāng)時，，函數(shù)在，上單調(diào)遞增，
故，
函數(shù)和有相同的最小值
，
，
化為，
令，，
則，
，
恒成立，
在上單調(diào)遞增，
又（1），
（a）（1），僅有此一解，
．
（2）證明：由（1）知，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
設(shè)，
則，當(dāng)時，，
所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，因為（1），
所以當(dāng)時，（1）恒成立，即在時恒成立，
所以時，，
因為，函數(shù)在上單調(diào)遞增，（1），函數(shù)在上單調(diào)遞減，
所以函數(shù)與函數(shù)的圖象在上存在唯一交點，設(shè)該交點為，，
此時可作出函數(shù)和的大致圖象，
由圖象知當(dāng)直線與兩條曲線和共有三個不同的交點時，
直線必經(jīng)過點，，即，
因為，所以，即，
令得，解得或，由，得，
令得，解得或，由，得，
所以當(dāng)直線與兩條曲線和共有三個不同的交點時，
從左到右的三個交點的橫坐標(biāo)依次為，，，，
因為，所以，
所以，，成等差數(shù)列．
存在直線，其與兩條曲線和共有三個不同的交點，并且從左到右的三個交點的橫坐標(biāo)成等差數(shù)列．
17．（2021?新高考Ⅱ）已知函數(shù)．
（Ⅰ）討論的單調(diào)性；
（Ⅱ）從下面兩個條件中選一個，證明：恰有一個零點．
①，；
②，．
【解析】（Ⅰ），，
①當(dāng)時，當(dāng)時，，當(dāng)時，，
在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
②當(dāng)時，令，可得或，
當(dāng)時，
當(dāng)或時，，當(dāng)時，，
在，，上單調(diào)遞增，在，上單調(diào)遞減，
時，
且等號不恒成立，在上單調(diào)遞增，
當(dāng)時，
當(dāng)或時，，當(dāng)時，，
在，，上單調(diào)遞增，在，上單調(diào)遞減．
綜上所述：
當(dāng) 時， 在上單調(diào)遞減；在上 單調(diào)遞增；
當(dāng) 時， 在， 和上單調(diào)遞增；在，上單調(diào)遞減；
當(dāng) 時， 在 上單調(diào)遞增；
當(dāng) 時， 在和， 上單調(diào)遞增；在， 上單調(diào)遞減．
（Ⅱ）證明：若選①，由 （Ⅰ）知， 在上單調(diào)遞增，， 單調(diào)遞減，， 上 單調(diào)遞增．
注意到．
在 上有一個零點；
，
由 得，，
，當(dāng) 時，，此時 無零點．
綜上： 在 上僅有一個零點．
另當(dāng)，時，有，，
而，于是
，
所以在沒有零點，當(dāng)時，，
于是，所以在，上存在一個零點，命題得證．
若選②，則由（Ⅰ）知：在， 上單調(diào)遞增，
在，上單調(diào)遞減，在 上單調(diào)遞增．
，
，，，，
當(dāng) 時，，此時 無零點．
當(dāng) 時， 單調(diào)遞增，注意到，
取，，，又易證，
，
在上有唯一零點，即在上有唯一零點．
綜上： 在 上有唯一零點．
18．（2021?浙江）設(shè)，為實數(shù)，且，函數(shù)．
（Ⅰ）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）若對任意，函數(shù)有兩個不同的零點，求的取值范圍；
（Ⅲ）當(dāng)時，證明：對任意，函數(shù)有兩個不同的零點，，滿足．
（注是自然對數(shù)的底數(shù)）
【解析】（Ⅰ），
①當(dāng)時，由于，則，故，此時在上單調(diào)遞增；
②當(dāng)時，令，解得，令，解得，
此時在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增；
綜上，當(dāng)時，的單調(diào)遞增區(qū)間為；當(dāng)時，的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為；
（Ⅱ）注意到時，，當(dāng)時，，
由（Ⅰ）知，要使函數(shù)有兩個不同的零點，只需即可，
對任意均成立，
令，則，即，即，即，
對任意均成立，
記，則，
令（b），得，
①當(dāng)，即時，易知（b）在，單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，
此時（b），不合題意；
②當(dāng)，即時，易知（b）在，單調(diào)遞減，
此時，
故只需，即，則，即；
綜上，實數(shù)的取值范圍為，；
（Ⅲ）證明：當(dāng)時，，，令，解得，
易知，
有兩個零點，不妨設(shè)為，，且，
由，可得，
要證，只需證，只需證，
而，則，
要證，只需證，只需證，
而，
，即得證．
19．（2021?甲卷（理））已知且，函數(shù)．
（1）當(dāng)時，求的單調(diào)區(qū)間；
（2）若曲線與直線有且僅有兩個交點，求的取值范圍．
【解析】（1）時，，
，
當(dāng)時，，當(dāng)，時，，
故在上單調(diào)遞增，在，上單調(diào)遞減．
（2）由題知在有兩個不等實根，
，
令，，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
又當(dāng)時，，（1），（e），當(dāng)時，，
作出的圖象，如圖所示：
由圖象可得，解得且，
即的取值范圍是，，．
20．（2022年全國乙卷）已知函數(shù)fx=ln1+x+axe?x
(1)當(dāng)a=1時，求曲線y=fx在點0,f0處的切線方程；
(2)若fx在區(qū)間?1,0,0,+∞各恰有一個零點，求a的取值范圍．
【答案】(1)y=2x (2)(?∞,?1)
【解析】
【分析】
（1）先算出切點,再求導(dǎo)算出斜率即可
（2）求導(dǎo),對a分類討論,對x分(?1,0),(0,+∞)兩部分研究
(1)
f(x)的定義域為(?1,+∞)
當(dāng)a=1時,f(x)=ln(1+x)+xex,f(0)=0,所以切點為(0,0) f'(x)=11+x+1?xex,f'(0)=2,所以切線斜率為2
所以曲線y=f(x)在點(0,f(0))處的切線方程為y=2x
(2)
f(x)=ln(1+x)+axex
f'(x)=11+x+a(1?x)ex=ex+a1?x2(1+x)ex
設(shè)g(x)=ex+a1?x2
1°若a>0,當(dāng)x∈(?1,0),g(x)=ex+a1?x2>0,即f'(x)>0
所以f(x)在(?1,0)上單調(diào)遞增,f(x)0
所以f(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增,f(x)>f(0)=0
故f(x)在(0,+∞)上沒有零點,不合題意
3°若a0,f(x)單調(diào)遞增
所以
當(dāng)x∈(0,m),f(x)0
所以g'(x)在(?1,0)單調(diào)遞增
g'(?1)=1e+2a0,g(x)單調(diào)遞增,g(x)

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