知識點1：已知奇偶性求參數(shù)
知識點2：函數(shù)圖像的識別
知識點3：函數(shù)的實際應用
知識點4：基本初等函數(shù)的性質(zhì)：單調(diào)性、奇偶性
知識點5：分段函數(shù)問題
知識點6：函數(shù)的定義域、值域、最值問題
知識點7：函數(shù)性質(zhì)（對稱性、周期性、奇偶性）的綜合運用
近三年高考真題
知識點1：已知奇偶性求參數(shù)
1．（2023?乙卷）已知是偶函數(shù)，則
A．B．C．1D．2
2．（2023?新高考Ⅱ）若為偶函數(shù)，則
A．B．0C．D．1
3．（2023?甲卷）若為偶函數(shù)，則 ．
4．（2023?甲卷）若為偶函數(shù)，則 ．
5．（2022?乙卷）若是奇函數(shù)，則 ．
6．（2021?新高考Ⅰ）已知函數(shù)是偶函數(shù)，則 ．
7．（2022?上海）若函數(shù)，為奇函數(shù)，求參數(shù)的值為 ．
8．（2023?上海）已知，，函數(shù)．
（1）若，求函數(shù)的定義域，并判斷是否存在使得是奇函數(shù)，說明理由；
（2）若函數(shù)過點，且函數(shù)與軸負半軸有兩個不同交點，求此時的值和的取值范圍．
知識點2：函數(shù)圖像的識別
9．（2023?天津）函數(shù)的圖象如圖所示，則的解析式可能為
A．B．
C．D．
10．（2022?天津）函數(shù)的圖像為
A．
B．
C．
D．
11．（2022?甲卷）函數(shù)在區(qū)間，的圖像大致為
A．
B．
C．
D．
12．（2022?甲卷）函數(shù)在區(qū)間，的圖像大致為
A．
B．
C．
D．
13．（2022?乙卷（理））如圖是下列四個函數(shù)中的某個函數(shù)在區(qū)間，的大致圖像，則該函數(shù)是
A．B．
C．D．
14．（2021?天津）函數(shù)的圖象大致為
A．B．
C．D．
15．（2021?浙江）已知函數(shù)，，則圖象為如圖的函數(shù)可能是
A．B．
C．D．
16．(2021年北京卷數(shù)學試題) 已知函數(shù)，則圖象為如圖的函數(shù)可能是( )
A. B.
C. D.
知識點3：函數(shù)的實際應用
17．（多選題）（2023?新高考Ⅰ）噪聲污染問題越來越受到重視．用聲壓級來度量聲音的強弱，定義聲壓級，其中常數(shù)是聽覺下限閾值，是實際聲壓．下表為不同聲源的聲壓級：
已知在距離燃油汽車、混合動力汽車、電動汽車處測得實際聲壓分別為，，，則
A．B．C．D．
18．（2021?北京）某一時段內(nèi)，從天空降落到地面上的雨水，未經(jīng)蒸發(fā)、滲漏、流失而在水平面上積聚的深度，稱為這個時段的降雨量（單位：．24 降雨量的等級劃分如下：
在綜合實踐活動中，某小組自制了一個底面直徑為，高為的圓錐形雨量器．若一次降雨過程中，該雨量器收集的的雨水高度是 如圖所示），則這降雨量的等級是
A．小雨B．中雨C．大雨D．暴雨
19．（2021?甲卷）青少年視力是社會普遍關(guān)注的問題，視力情況可借助視力表測量．通常用五分記錄法和小數(shù)記錄法記錄視力數(shù)據(jù)，五分記錄法的數(shù)據(jù)和小數(shù)記錄法的數(shù)據(jù)滿足．已知某同學視力的五分記錄法的數(shù)據(jù)為4.9，則其視力的小數(shù)記錄法的數(shù)據(jù)約為
A．1.5B．1.2C．0.8D．0.6
20．（2021?上海）已知一企業(yè)今年第一季度的營業(yè)額為1.1億元，往后每個季度增加0.05億元，第一季度的利潤為0.16億元，往后每一季度比前一季度增長．
（1）求今年起的前20個季度的總營業(yè)額；
（2）請問哪一季度的利潤首次超過該季度營業(yè)額的？
知識點4：基本初等函數(shù)的性質(zhì)：單調(diào)性、奇偶性
21．（2023·北京·統(tǒng)考高考真題）下列函數(shù)中，在區(qū)間上單調(diào)遞增的是（ ）
A．B．
C．D．
22．（2023?新高考Ⅰ）設函數(shù)在區(qū)間單調(diào)遞減，則的取值范圍是
A．，B．，C．，D．，
23．（2023?上海）下列函數(shù)是偶函數(shù)的是
A．B．C．D．
24．（2021?全國）下列函數(shù)中為偶函數(shù)的是
A．B．
C．D．
25．（2021?全國）函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是
A．B．C．D．
26．（2021?北京）設函數(shù)的定義域為，，則“在區(qū)間，上單調(diào)遞增”是“在區(qū)間，上的最大值為（1）”的
A．充分而不必要條件B．必要而不充分條件
C．充分必要條件D．既不充分也不必要條件
27．（2021?上海）以下哪個函數(shù)既是奇函數(shù)，又是減函數(shù)
A．B．C．D．
28．（2021?甲卷）下列函數(shù)中是增函數(shù)的為
A．B．C．D．
29．（2021?甲卷）設是定義域為的奇函數(shù)，且．若，則
A．B．C．D．
30．（2021?乙卷）設函數(shù)，則下列函數(shù)中為奇函數(shù)的是
A．B．C．D．
知識點5：分段函數(shù)問題
31．（2023?天津）若函數(shù)有且僅有兩個零點，則的取值范圍為 ．
32．（2023?上海）已知函數(shù)，且，則方程的解為 ．
33．（2022?天津）設，對任意實數(shù)，記，．若至少有3個零點，則實數(shù)的取值范圍為 ．
34．（2022?浙江）已知函數(shù)則 ．
35．（2021?浙江）已知，函數(shù)若，則 ．
36．（2022?北京）設函數(shù)若存在最小值，則的一個取值為 ．
37．（2023?上海）已知函數(shù)，則函數(shù)的值域為 ．
知識點6：函數(shù)的定義域、值域、最值問題
38．（2023·北京·統(tǒng)考高考真題）已知函數(shù)，則____________．
39．（2023·北京·統(tǒng)考高考真題）設，函數(shù)，給出下列四個結(jié)論：
①在區(qū)間上單調(diào)遞減；
②當時，存在最大值；
③設，則；
④設．若存在最小值，則a的取值范圍是．
其中所有正確結(jié)論的序號是____________．
40．（2022?上海）下列函數(shù)定義域為的是
A．B．C．D．
41．（2022?上海）設函數(shù)滿足對任意，都成立，其值域是，已知對任何滿足上述條件的都有，，則的取值范圍為 ．
42．（2022?北京）函數(shù)的定義域是 ．
43．（2021?新高考Ⅰ）函數(shù)的最小值為 ．
知識點7：函數(shù)性質(zhì)（對稱性、周期性、奇偶性）的綜合運用
44．（2022?乙卷）已知函數(shù)，的定義域均為，且，．若的圖像關(guān)于直線對稱，（2），則
A．B．C．D．
45．（2022?新高考Ⅱ）已知函數(shù)的定義域為，且，（1），則
A．B．C．0D．1
46．（2021?新高考Ⅱ）已知函數(shù)的定義域為不恒為，為偶函數(shù)，為奇函數(shù)，則
A．B．C．（2）D．（4）
47．（2021?甲卷）設函數(shù)的定義域為，為奇函數(shù)，為偶函數(shù)，當，時，．若（3），則
A．B．C．D．
48．（多選題）（2023?新高考Ⅰ）已知函數(shù)的定義域為，，則
A．B．（1）
C．是偶函數(shù)D．為的極小值點
49．（2021?全國）已知函數(shù)，且，則（2） ．
50．（2021?新高考Ⅱ）寫出一個同時具有下列性質(zhì)①②③的函數(shù) ．
①；②當時，；③是奇函數(shù)．時，；當時，；是奇函數(shù)．
專題02 函數(shù)的概念與基本初等函數(shù)I
知識點目錄
知識點1：已知奇偶性求參數(shù)
知識點2：函數(shù)圖像的識別
知識點3：函數(shù)的實際應用
知識點4：基本初等函數(shù)的性質(zhì)：單調(diào)性、奇偶性
知識點5：分段函數(shù)問題
知識點6：函數(shù)的定義域、值域、最值問題
知識點7：函數(shù)性質(zhì)（對稱性、周期性、奇偶性）的綜合運用
近三年高考真題
知識點1：已知奇偶性求參數(shù)
1．（2023?乙卷）已知是偶函數(shù)，則
A．B．C．1D．2
【答案】
【解析】的定義域為，又為偶函數(shù)，
，
，
，
，．
故選：．
【點評】本題考查偶函數(shù)的性質(zhì)，化歸轉(zhuǎn)化思想，屬基礎題．
2．（2023?新高考Ⅱ）若為偶函數(shù)，則
A．B．0C．D．1
【答案】
【解析】由，得或，
由是偶函數(shù)，
，
得，
即，
，得，
得．
故選：．
【點評】本題主要考查函數(shù)奇偶性的應用，利用偶函數(shù)的定義建立方程，利用對數(shù)的運算法則進行化簡是解決本題的關(guān)鍵，是中檔題．
3．（2023?甲卷）若為偶函數(shù)，則 ．
【答案】2．
【解析】根據(jù)題意，設，
若為偶函數(shù)，則，
變形可得在上恒成立，必有．
故答案為：2．
【點評】本題考查函數(shù)奇偶性的定義，涉及三角函數(shù)的誘導公式，屬于基礎題．
4．（2023?甲卷）若為偶函數(shù)，則 ．
【答案】2．
【解析】根據(jù)題意，設，
其定義域為，
若為偶函數(shù)，則，
變形可得，必有．
故答案為：2．
【點評】本題考查函數(shù)奇偶性的性質(zhì)，涉及函數(shù)奇偶性的定義，屬于基礎題．
5．（2022?乙卷）若是奇函數(shù)，則 ．
【答案】；．
【解析】，
若，則函數(shù)的定義域為，不關(guān)于原點對稱，不具有奇偶性，
，
由函數(shù)解析式有意義可得，且，
且，
函數(shù)為奇函數(shù)，定義域必須關(guān)于原點對稱，
，解得，
，定義域為且，
由得，，
，
故答案為：；．
【點評】本題主要考查了奇函數(shù)的定義和性質(zhì)，屬于中檔題．
6．（2021?新高考Ⅰ）已知函數(shù)是偶函數(shù)，則 ．
【答案】1．
【解析】函數(shù)是偶函數(shù)，
為上的奇函數(shù)，
故也為上的奇函數(shù)，
所以，
所以．
法二：因為函數(shù)是偶函數(shù)，
所以，
即，
即，
即，
所以．
故答案為：1．
【點評】本題主要考查利用函數(shù)奇偶性的應用，考查計算能力，屬于基礎題．
7．（2022?上海）若函數(shù)，為奇函數(shù)，求參數(shù)的值為 ．
【答案】1．
【解析】函數(shù)，為奇函數(shù)，，
（1），，即，求得或．
當時，，不是奇函數(shù)，故；
當時，，是奇函數(shù)，故滿足條件，
綜上，，
故答案為：1．
【點評】本題主要考查函數(shù)的奇偶性的定義和性質(zhì)，屬于中檔題．
8．（2023?上海）已知，，函數(shù)．
（1）若，求函數(shù)的定義域，并判斷是否存在使得是奇函數(shù)，說明理由；
（2）若函數(shù)過點，且函數(shù)與軸負半軸有兩個不同交點，求此時的值和的取值范圍．
【解析】（1）若，則，
要使函數(shù)有意義，則，即的定義域為，
是奇函數(shù)，是偶函數(shù)，
函數(shù)為非奇非偶函數(shù)，不可能是奇函數(shù)，故不存在實數(shù)，使得是奇函數(shù)．
（2）若函數(shù)過點，則（1），得，得，
此時，若數(shù)與軸負半軸有兩個不同交點，
即，得，當時，有兩個不同的交點，
設，
則，得，得，即，
若即是方程的根，
則，即，得或，
則實數(shù)的取值范圍是且且，
即，，．
【點評】本題主要考查函數(shù)奇偶性的判斷，以及函數(shù)與方程的應用，根據(jù)條件建立方程，轉(zhuǎn)化為一元二次方程根的分布是解決本題的關(guān)鍵，是中檔題．
知識點2：函數(shù)圖像的識別
9．（2023?天津）函數(shù)的圖象如圖所示，則的解析式可能為
A．B．
C．D．
【答案】
【解析】由圖象可知，圖象關(guān)于軸對稱，為偶函數(shù)，故錯誤，
當時，恒大于0，與圖象不符合，故錯誤．
故選：．
【點評】本題主要考查函數(shù)的圖象，屬于基礎題．
10．（2022?天津）函數(shù)的圖像為
A．
B．
C．
D．
【答案】
【解析】函數(shù)的定義域為，，，
，
該函數(shù)為奇函數(shù)，故錯誤；
時，，；，；，，
故錯誤，正確．
故選：．
【點評】本題考查函數(shù)圖象，屬于基礎題．
11．（2022?甲卷）函數(shù)在區(qū)間，的圖像大致為
A．
B．
C．
D．
【答案】
【解析】，
可知，
函數(shù)是奇函數(shù)，排除；
當時，（1），排除．
故選：．
【點評】本題考查函數(shù)的奇偶性以及函數(shù)的圖象的判斷，是中檔題．
12．（2022?甲卷）函數(shù)在區(qū)間，的圖像大致為
A．
B．
C．
D．
【答案】
【解析】，
可知，
函數(shù)是奇函數(shù)，排除；
當時，（1），排除．
故選：．
【點評】本題考查函數(shù)的奇偶性以及函數(shù)的圖象的判斷，是中檔題．
13．（2022?乙卷（理））如圖是下列四個函數(shù)中的某個函數(shù)在區(qū)間，的大致圖像，則該函數(shù)是
A．B．
C．D．
【答案】
【解析】首先根據(jù)圖像判斷函數(shù)為奇函數(shù)，
其次觀察函數(shù)在存在零點，
而對于選項：令，即，解得，或或，故排除選項；
選項：當時，，，因為，，
故，且當時，，故，
而觀察圖像可知當時，，故選項錯誤．
選項，中，當時，，故排除選項．
故選：．
【點評】本題主要考查函數(shù)圖像的識別，屬于基礎題．
14．（2021?天津）函數(shù)的圖象大致為
A．B．
C．D．
【答案】
【解析】根據(jù)題意，，其定義域為，
有，是偶函數(shù)，排除，
在區(qū)間上，，必有，排除，
故選：．
【點評】本題考查函數(shù)的圖象分析，涉及函數(shù)的奇偶性、函數(shù)值的判斷，屬于基礎題．
15．（2021?浙江）已知函數(shù)，，則圖象為如圖的函數(shù)可能是
A．B．
C．D．
【答案】
【解析】由圖可知，圖象關(guān)于原點對稱，則所求函數(shù)為奇函數(shù)，
因為為偶函數(shù)，為奇函數(shù)，
函數(shù)為非奇非偶函數(shù)，故選項錯誤；
函數(shù)為非奇非偶函數(shù)，故選項錯誤；
函數(shù)，則對恒成立，
則函數(shù)在上單調(diào)遞增，故選項錯誤．
故選：．
【點評】本題考查了函數(shù)圖象的識別，解題的關(guān)鍵是掌握識別圖象的方法：可以從定義域、值域、函數(shù)值的正負、特殊點、特殊值、函數(shù)的性質(zhì)等方面進行判斷，考查了直觀想象能力與邏輯推理能力，屬于中檔題．
16．(2021年北京卷數(shù)學試題) 已知函數(shù)，則圖象為如圖的函數(shù)可能是( )
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由函數(shù)的奇偶性可排除A、B，結(jié)合導數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性可判斷C，即可得解.
【詳解】對于A，，該函數(shù)為非奇非偶函數(shù)，與函數(shù)圖象不符，排除A；
對于B，，該函數(shù)為非奇非偶函數(shù)，與函數(shù)圖象不符，排除B；
對于C，，則，
當時，，與圖象不符，排除C.
故選：D.
知識點3：函數(shù)的實際應用
17．（多選題）（2023?新高考Ⅰ）噪聲污染問題越來越受到重視．用聲壓級來度量聲音的強弱，定義聲壓級，其中常數(shù)是聽覺下限閾值，是實際聲壓．下表為不同聲源的聲壓級：
已知在距離燃油汽車、混合動力汽車、電動汽車處測得實際聲壓分別為，，，則
A．B．C．D．
【答案】
【解析】由題意得，，，
，，
，，
可得，正確；
，錯誤；
，正確；
，，正確．
故選：．
【點評】本題考查函數(shù)模型的運用，考查學生的計算能力，是中檔題．
18．（2021?北京）某一時段內(nèi)，從天空降落到地面上的雨水，未經(jīng)蒸發(fā)、滲漏、流失而在水平面上積聚的深度，稱為這個時段的降雨量（單位：．24 降雨量的等級劃分如下：
在綜合實踐活動中，某小組自制了一個底面直徑為，高為的圓錐形雨量器．若一次降雨過程中，該雨量器收集的的雨水高度是 如圖所示），則這降雨量的等級是
A．小雨B．中雨C．大雨D．暴雨
【答案】
【解析】圓錐的體積為，
因為圓錐內(nèi)積水的高度是圓錐總高度的一半，
所以圓錐內(nèi)積水部分的半徑為，
將，代入公式可得，
圖上定義的是平地上積水的厚度，即平地上積水的高，
平底上積水的體積為，且對于這一塊平地的面積，即為圓錐底面圓的面積，
所以，
則平地上積水的厚度，
因為，
由題意可知，這一天的雨水屬于中雨．
故選：．
【點評】本題考查了空間幾何體在實際生活中的應用，解題的關(guān)鍵是掌握錐體和柱體體積公式的應用，考查了邏輯推理能力與空間想象能力，屬于中檔題．
19．（2021?甲卷）青少年視力是社會普遍關(guān)注的問題，視力情況可借助視力表測量．通常用五分記錄法和小數(shù)記錄法記錄視力數(shù)據(jù)，五分記錄法的數(shù)據(jù)和小數(shù)記錄法的數(shù)據(jù)滿足．已知某同學視力的五分記錄法的數(shù)據(jù)為4.9，則其視力的小數(shù)記錄法的數(shù)據(jù)約為
A．1.5B．1.2C．0.8D．0.6
【答案】
【解析】在中，，所以，即，
解得，
所以其視力的小數(shù)記錄法的數(shù)據(jù)約為0.8．
故選：．
【點評】本題考查了對數(shù)與指數(shù)的互化問題，也考查了運算求解能力，是基礎題．
20．（2021?上海）已知一企業(yè)今年第一季度的營業(yè)額為1.1億元，往后每個季度增加0.05億元，第一季度的利潤為0.16億元，往后每一季度比前一季度增長．
（1）求今年起的前20個季度的總營業(yè)額；
（2）請問哪一季度的利潤首次超過該季度營業(yè)額的？
【解析】（1）由題意可知，可將每個季度的營業(yè)額看作等差數(shù)列，
則首項，公差，
，
即營業(yè)額前20季度的和為31.5億元．
（2）解法一：假設今年第一季度往后的第季度的利潤首次超過該季度營業(yè)額的，
則，
令，，
即要解，
則當時，，
令，解得：，
即當時，遞減；當時，遞增，
由于（1），因此的解只能在時取得，
經(jīng)檢驗，，，
所以今年第一季度往后的第25個季度的利潤首次超過該季度營業(yè)額的．
解法二：設今年第一季度往后的第季度的利潤與該季度營業(yè)額的比為，
則，
數(shù)列滿足，
注意到，，，
今年第一季度往后的第25個季度利潤首次超過該季度營業(yè)額的．
知識點4：基本初等函數(shù)的性質(zhì)：單調(diào)性、奇偶性
21．（2023·北京·統(tǒng)考高考真題）下列函數(shù)中，在區(qū)間上單調(diào)遞增的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】對于A，因為在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
所以在上單調(diào)遞減，故A錯誤；
對于B，因為在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
所以在上單調(diào)遞減，故B錯誤；
對于C，因為在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞減，
所以在上單調(diào)遞增，故C正確；
對于D，因為，，
顯然在上不單調(diào)，D錯誤.
故選：C.
22．（2023?新高考Ⅰ）設函數(shù)在區(qū)間單調(diào)遞減，則的取值范圍是
A．，B．，C．，D．，
【答案】
【解析】設，對稱軸為，拋物線開口向上，
是的增函數(shù)，
要使在區(qū)間單調(diào)遞減，
則在區(qū)間單調(diào)遞減，
即，即，
故實數(shù)的取值范圍是，．
故選：．
【點評】本題主要考查復合函數(shù)單調(diào)性的應用，利用換元法結(jié)合指數(shù)函數(shù)，二次函數(shù)的單調(diào)性進行求解是解決本題的關(guān)鍵，是基礎題．
23．（2023?上海）下列函數(shù)是偶函數(shù)的是
A．B．C．D．
【答案】
【解析】對于，由正弦函數(shù)的性質(zhì)可知，為奇函數(shù)；
對于，由正弦函數(shù)的性質(zhì)可知，為偶函數(shù)；
對于，由冪函數(shù)的性質(zhì)可知，為奇函數(shù)；
對于，由指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)可知，為非奇非偶函數(shù)．
故選：．
【點評】本題考查常見函數(shù)的奇偶性，屬于基礎題．
24．（2021?全國）下列函數(shù)中為偶函數(shù)的是
A．B．
C．D．
【答案】
【解析】對于，的定義域為，不關(guān)于原點對稱，故不正確；
對于，的定義域為，但，故不正確；
對于，的定義域為，，為奇函數(shù)，故不正確；
對于，，滿足，故為偶函數(shù)，故正確．
故選：．
【點評】本題考查函數(shù)的奇偶性的定義和運用，考查轉(zhuǎn)化思想和運算能力，屬于基礎題．
25．（2021?全國）函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是
A．B．C．D．
【答案】
【解析】設，，
則，
由為增函數(shù)，
即函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是函數(shù)，，的減區(qū)間，
又函數(shù)，，的減區(qū)間為，
即函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是，
故選：．
【點評】本題考查了復合函數(shù)的單調(diào)性，重點考查了對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，屬基礎題．
26．（2021?北京）設函數(shù)的定義域為，，則“在區(qū)間，上單調(diào)遞增”是“在區(qū)間，上的最大值為（1）”的
A．充分而不必要條件B．必要而不充分條件
C．充分必要條件D．既不充分也不必要條件
【答案】
【解析】若函數(shù)在，上單調(diào)遞增，
則函數(shù)在，上的最大值為（1），
若，則函數(shù)在，上的最大值為（1），
但函數(shù)在，上不單調(diào)，
故選：．
【點評】本題考查了充分、必要條件的判斷，屬于基礎題．
27．（2021?上海）以下哪個函數(shù)既是奇函數(shù)，又是減函數(shù)
A．B．C．D．
【答案】
【解析】在上單調(diào)遞減且為奇函數(shù)，符合題意；
因為在上是增函數(shù)，不符合題意；
，為非奇非偶函數(shù)，不符合題意；
故選：．
【點評】本題主要考查了基本初等函數(shù)的單調(diào)性及奇偶性的判斷，屬于基礎題．
28．（2021?甲卷）下列函數(shù)中是增函數(shù)的為
A．B．C．D．
【答案】
【解析】由一次函數(shù)性質(zhì)可知在上是減函數(shù)，不符合題意；
由指數(shù)函數(shù)性質(zhì)可知在上是減函數(shù)，不符合題意；
由二次函數(shù)的性質(zhì)可知在上不單調(diào)，不符合題意；
根據(jù)冪函數(shù)性質(zhì)可知在上單調(diào)遞增，符合題意．
故選：．
【點評】本題主要考查基本初等函數(shù)的單調(diào)性的判斷，屬于基礎題．
29．（2021?甲卷）設是定義域為的奇函數(shù)，且．若，則
A．B．C．D．
【答案】
【解析】由題意得，
又，
所以，
又，
則．
故選：．
【點評】本題主要考查了利用函數(shù)的奇偶性求解函數(shù)值，解題的關(guān)鍵是進行合理的轉(zhuǎn)化，屬于基礎題．
30．（2021?乙卷）設函數(shù)，則下列函數(shù)中為奇函數(shù)的是
A．B．C．D．
【答案】
【解析】因為，
所以函數(shù)的對稱中心為，
所以將函數(shù)向右平移一個單位，向上平移一個單位，
得到函數(shù)，該函數(shù)的對稱中心為，
故函數(shù)為奇函數(shù)．
故選：．
【點評】本題考查了函數(shù)奇偶性和函數(shù)的圖象變換，解題的關(guān)鍵是確定的對稱中心，考查了邏輯推理能力，屬于基礎題．
知識點5：分段函數(shù)問題
31．（2023?天津）若函數(shù)有且僅有兩個零點，則的取值范圍為 ．
【答案】，，，．
【解析】①當時，，不滿足題意；
②當方程滿足且△時，
有即，，，
此時，
，當時，不滿足，
當時，△，滿足；
③△時，，，，
記的兩根為，，不妨設，
則，
當時，，且，，，
但此時，舍去，
，，且，
但此時，舍去，
故僅有1與兩個解，
于是，，，，．
故答案為：，，，．
【點評】本題是含參數(shù)的函數(shù)零點問題，主要是分類討論思想的考查，屬偏難題．
32．（2023?上海）已知函數(shù)，且，則方程的解為 ．
【解析】當時，，解得；
當時，，解得（舍；
所以的解為：．
故答案為：．
【點評】本題考查了分段函數(shù)的性質(zhì)、對數(shù)的基本運算、指數(shù)的基本運算，屬于基礎題．
33．（2022?天津）設，對任意實數(shù)，記，．若至少有3個零點，則實數(shù)的取值范圍為 ．
【答案】，．
【解析】設，，由可得．
要使得函數(shù)至少有3個零點，則函數(shù)至少有一個零點，
則△，
解得或．
①當時，，作出函數(shù)、的圖象如圖所示：
此時函數(shù)只有兩個零點，不滿足題意；
②當時，設函數(shù)的兩個零點分別為、，
要使得函數(shù)至少有3個零點，則，
所以，，解得；
③當時，，作出函數(shù)、的圖象如圖所示：
由圖可知，函數(shù)的零點個數(shù)為3，滿足題意；
④當時，設函數(shù)的兩個零點分別為、，
要使得函數(shù)至少有3個零點，則，
可得，解得，此時．
綜上所述，實數(shù)的取值范圍是，．
故答案為：，．
【點評】本題考查了函數(shù)的零點、轉(zhuǎn)化思想、分類討論思想及數(shù)形結(jié)合思想，屬于中難題．
34．（2022?浙江）已知函數(shù)則 ．
【答案】；．
【解析】函數(shù)，，
；
作出函數(shù)的圖象如圖：
由圖可知，若當，時，，則的最大值是．
故答案為：；．
【點評】本題考查函數(shù)值的求法，考查分段函數(shù)的應用，考查數(shù)形結(jié)合思想，是中檔題．
35．（2021?浙江）已知，函數(shù)若，則 ．
【答案】2．
【解析】因為函數(shù)，
所以，
則（2），解得．
故答案為：2．
【點評】本題考查了函數(shù)的求值問題，主要考查的是分段函數(shù)求值，解題的關(guān)鍵是根據(jù)自變量的值確定使用哪一段解析式求解，屬于基礎題．
36．（2022?北京）設函數(shù)若存在最小值，則的一個取值為 ．
【答案】0，1．
【解析】當時，函數(shù)圖像如圖所示，不滿足題意，
當時，函數(shù)圖像如圖所示，滿足題意；
當時，函數(shù)圖像如圖所示，要使得函數(shù)有最小值，需滿足，解得：；
當時，函數(shù)圖像如圖所示，不滿足題意，
當時，函數(shù)圖像如圖所示，要使得函數(shù)有最小值，需，無解，故不滿足題意；
綜上所述：的取值范圍是，，
故答案為：0，1．
【點評】本題主要考查利用分段函數(shù)圖像確定函數(shù)最小值是分界點的討論，屬于較難題目．
37．（2023?上海）已知函數(shù)，則函數(shù)的值域為 ．
【答案】，．
【解析】當時，，
當時，，
所以函數(shù)的值域為，．
故答案為：，．
【點評】本題主要考查了求函數(shù)的值域，屬于基礎題．
知識點6：函數(shù)的定義域、值域、最值問題
38．（2023·北京·統(tǒng)考高考真題）已知函數(shù)，則____________．
【答案】1
【解析】函數(shù)，所以.
故答案為：1
39．（2023·北京·統(tǒng)考高考真題）設，函數(shù)，給出下列四個結(jié)論：
①在區(qū)間上單調(diào)遞減；
②當時，存在最大值；
③設，則；
④設．若存在最小值，則a的取值范圍是．
其中所有正確結(jié)論的序號是____________．
【答案】②③
【解析】依題意，，
當時，，易知其圖像為一條端點取不到值的單調(diào)遞增的射線；
當時，，易知其圖像是，圓心為，半徑為的圓在軸上方的圖像（即半圓）；
當時，，易知其圖像是一條端點取不到值的單調(diào)遞減的曲線；
對于①，取，則的圖像如下，

顯然，當，即時，在上單調(diào)遞增，故①錯誤；
對于②，當時，
當時，；
當時，顯然取得最大值；
當時，，
綜上：取得最大值，故②正確；
對于③，結(jié)合圖像，易知在，且接近于處，的距離最小，

當時，，當且接近于處，，
此時，，故③正確；
對于④，取，則的圖像如下，

因為，
結(jié)合圖像可知，要使取得最小值，則點在上，點在，
同時的最小值為點到的距離減去半圓的半徑，
此時，因為的斜率為，則，故直線的方程為，
聯(lián)立，解得，則，
顯然在上，滿足取得最小值，
即也滿足存在最小值，故的取值范圍不僅僅是，故④錯誤.
故答案為：②③.
40．（2022?上海）下列函數(shù)定義域為的是
A．B．C．D．
【答案】
【解析】，定義域為，
，定義域為，
，定義域為，
，定義域為．
定義域為的是．
故選：．
【點評】本題考查函數(shù)的定義域及其求法，是基礎題．
41．（2022?上海）設函數(shù)滿足對任意，都成立，其值域是，已知對任何滿足上述條件的都有，，則的取值范圍為 ．
【答案】，．
【解析】法一：令，解得（負值舍去），
當時，，
當時，，
且當時，總存在，使得，
故，
若，易得，
所以，
即實數(shù)的取值范圍為；
法二：原命題等價于任意，
所以恒成立，
即恒成立，又，
所以，
即實數(shù)的取值范圍為．
故答案為：．
【點評】本題考查了抽象函數(shù)的性質(zhì)的應用，同時考查了集合的應用，屬于中檔題．
42．（2022?北京）函數(shù)的定義域是 ．
【答案】，，．
【解析】要使函數(shù)有意義，
則，解得且，
所以函數(shù)的定義域為，，．
故答案為：，，．
【點評】本題主要考查函數(shù)定義域的求法，考查運算求解能力，屬于基礎題．
43．（2021?新高考Ⅰ）函數(shù)的最小值為 ．
【答案】1．
【解析】法一、函數(shù)的定義域為．
當時，，
此時函數(shù)在，上為減函數(shù)，
當時，，
則，
當，時，，單調(diào)遞減，
當時，，單調(diào)遞增，
在上是連續(xù)函數(shù)，
當時，單調(diào)遞減，當時，單調(diào)遞增．
當時取得最小值為（1）．
故答案為：1．
法二、令，，
分別作出兩函數(shù)的圖象如圖：
由圖可知，（1），
則數(shù)的最小值為1．
故答案為：1．
【點評】本題考查函數(shù)的最值及其幾何意義，利用導數(shù)求最值的應用，考查運算求解能力，是中檔題．
知識點7：函數(shù)性質(zhì)（對稱性、周期性、奇偶性）的綜合運用
44．（2022?乙卷）已知函數(shù)，的定義域均為，且，．若的圖像關(guān)于直線對稱，（2），則
A．B．C．D．
【答案】
【解析】的圖像關(guān)于直線對稱，則，
，，，故為偶函數(shù)，
（2），（2），得．由，得，代入，得，故關(guān)于點中心對稱，
（1），由，，得，
，故，周期為4，
由（2），得（2），又（3）（1），
所以（1）（2）（3）（4），
故選：．
【點評】本題主要考查了函數(shù)的奇偶性、對稱性和周期性，屬于中檔題．
45．（2022?新高考Ⅱ）已知函數(shù)的定義域為，且，（1），則
A．B．C．0D．1
【答案】
【解析】令，則，即，
，，
，則，
的周期為6，
令，得（1）（1）（1），解得，
又，
（2）（1），
（3）（2）（1），
（4）（3）（2），
（5）（4）（3），
（6）（5）（4），
，
（1）（2）（3）（4）．
故選：．
【點評】本題考查抽象函數(shù)以及函數(shù)周期性的運用，考查運算求解能力，屬于中檔題．
46．（2021?新高考Ⅱ）已知函數(shù)的定義域為不恒為，為偶函數(shù)，為奇函數(shù)，則
A．B．C．（2）D．（4）
【答案】
【解析】函數(shù)為偶函數(shù)，
，
為奇函數(shù)，
，
用替換上式中，得，
，，即，
故函數(shù)是以4為周期的周期函數(shù)，
為奇函數(shù)，
，即，
用替換上式中，可得，，
關(guān)于對稱，
又（1），
（1）．
故選：．
【點評】本題考查了函數(shù)的奇偶性的綜合應用，屬于中檔題．
47．（2021?甲卷）設函數(shù)的定義域為，為奇函數(shù)，為偶函數(shù)，當，時，．若（3），則
A．B．C．D．
【答案】
【解析】為奇函數(shù)，（1），且，
偶函數(shù)，，
，即，
．
令，則，
，．
當，時，．
（2），
（3）（1），
又（3），，解得，
（1），，
當，時，，
．
故選：．
【點評】本題主要考查函數(shù)的奇偶性與周期性，考查轉(zhuǎn)化思想與運算求解能力，屬于中檔題．
48．（多選題）（2023?新高考Ⅰ）已知函數(shù)的定義域為，，則
A．B．（1）
C．是偶函數(shù)D．為的極小值點
【答案】
【解析】由，
取，可得，故正確；
取，可得（1）（1），即（1），故正確；
取，得（1），即（1），
取，得，可得是偶函數(shù)，故正確；
由上可知，（1），而函數(shù)解析式不確定，
不妨取，滿足，
常數(shù)函數(shù)無極值，故錯誤．
故選：．
【點評】本題考查抽象函數(shù)的應用，取特值是關(guān)鍵，是中檔題．
49．（2021?全國）已知函數(shù)，且，則（2） ．
【答案】．
【解析】因為，
所以，
因為，
所以（2）．
故答案為：．
【點評】本題主要考查了函數(shù)的奇偶性在函數(shù)求值中的應用，屬于基礎題．
50．（2021?新高考Ⅱ）寫出一個同時具有下列性質(zhì)①②③的函數(shù) ．
①；②當時，；③是奇函數(shù)．時，；當時，；是奇函數(shù)．
【解析】．
另冪函數(shù)即可滿足條件①和②；偶函數(shù)即可滿足條件③，
綜上所述，取即可．聲源
與聲源的距離
聲壓級
燃油汽車
10
混合動力汽車
10
電動汽車
10
40
等級
降雨量（精確到
小雨
中雨
大雨
暴雨
聲源
與聲源的距離
聲壓級
燃油汽車
10
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10
電動汽車
10
40
等級
降雨量（精確到
小雨
中雨
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