知識點(diǎn)1：獨(dú)立事件的乘法公式
知識點(diǎn)2：獨(dú)立性檢驗與回歸分析
知識點(diǎn)3：頻率分布直方圖的實(shí)際應(yīng)用
知識點(diǎn)4：求離散型隨機(jī)變量的分布列與期望
知識點(diǎn)5：概率遞推問題
近三年高考真題
知識點(diǎn)1：獨(dú)立事件的乘法公式
1．（2023?北京）為了研究某種農(nóng)產(chǎn)品價格變化的規(guī)律，收集到了該農(nóng)產(chǎn)品連續(xù)40天的價格變化數(shù)據(jù)，如表所示，在描述價格變化時，用“”表示“上漲”；即當(dāng)天價格比前一天價格高，用“”表示“下跌”，即當(dāng)天價格比前一天價格低：用“0”表示“不變”，即當(dāng)天價格與前一天價格相同．
用頻率估計概率．
（Ⅰ）試估計該農(nóng)產(chǎn)品“上漲”的概率；
（Ⅱ）假設(shè)該農(nóng)產(chǎn)品每天的價格變化是相互獨(dú)立的，在未來的日子里任取4天，試估計該農(nóng)產(chǎn)品價格在這4天中2天“上漲”、1天“下跌”、1天“不變”的概率；
（Ⅲ）假設(shè)該農(nóng)產(chǎn)品每天的價格變化只受前一天價格的影響，判斷第41天該農(nóng)產(chǎn)品價格“上漲”、“下跌”和“不變”的概率估計值哪個最大．（結(jié)論不要求證明）
知識點(diǎn)2：獨(dú)立性檢驗與回歸分析
2．（2023?甲卷（理））一項試驗旨在研究臭氧效應(yīng)，試驗方案如下：選40只小白鼠，隨機(jī)地將其中20只分配到試驗組，另外20只分配到對照組，試驗組的小白鼠飼養(yǎng)在高濃度臭氧環(huán)境，對照組的小白鼠飼養(yǎng)在正常環(huán)境，一段時間后統(tǒng)計每只小白鼠體重的增加量（單位：．
（1）設(shè)表示指定的兩只小鼠中分配到對照組的只數(shù)，求的分布列和數(shù)學(xué)期望；
（2）試驗結(jié)果如下：
對照組的小白鼠體重的增加量從小到大排序為
3．2 18.8 20.2 21.3 22.5 23.2 25.8 26.5 27.5 30.1
4．6 34.3 34.8 35.6 35.6 35.8 36.2 37.3 40.5 43.2
試驗組的小白鼠體重的增加量從小到大排序為
5．8 9.2 11.4 12.4 13.2 15.5 16.5 18.0 18.8 19.2
6．8 20.2 21.6 22.8 23.6 23.9 25.1 28.2 32.3 36.5
求40只小白鼠體重的增加量的中位數(shù)，再分別統(tǒng)計兩樣本中小于與不小于的數(shù)據(jù)的個數(shù)，完成如下列聯(lián)表：
根據(jù)中的列聯(lián)表，能否有的把握認(rèn)為小白鼠在高濃度臭氧環(huán)境中與在正常環(huán)境中體重的增加量有差異？
附：，
7．（2022?新高考Ⅰ）一醫(yī)療團(tuán)隊為研究某地的一種地方性疾病與當(dāng)?shù)鼐用竦男l(wèi)生習(xí)慣（衛(wèi)生習(xí)慣分為良好和不夠良好兩類）的關(guān)系，在已患該疾病的病例中隨機(jī)調(diào)查了100例（稱為病例組），同時在未患該疾病的人群中隨機(jī)調(diào)查了100人（稱為對照組），得到如下數(shù)據(jù)：
（1）能否有的把握認(rèn)為患該疾病群體與未患該疾病群體的衛(wèi)生習(xí)慣有差異？
（2）從該地的人群中任選一人，表示事件“選到的人衛(wèi)生習(xí)慣不夠良好”， 表示事件“選到的人患有該疾病”， 與的比值是衛(wèi)生習(xí)慣不夠良好對患該疾病風(fēng)險程度的一項度量指標(biāo)，記該指標(biāo)為．
（ⅰ）證明：；
（ⅱ）利用該調(diào)查數(shù)據(jù)，給出，的估計值，并利用（?。┑慕Y(jié)果給出的估計值．
附：．
知識點(diǎn)3：頻率分布直方圖的實(shí)際應(yīng)用
8．（2023?新高考Ⅱ）某研究小組經(jīng)過研究發(fā)現(xiàn)某種疾病的患病者與未患病者的某項醫(yī)學(xué)指標(biāo)有明顯差異，經(jīng)過大量調(diào)查，得到如下的患病者和未患病者該指標(biāo)的頻率分布直方圖：
利用該指標(biāo)制定一個檢測標(biāo)準(zhǔn)，需要確定臨界值，將該指標(biāo)大于的人判定為陽性，小于或等于的人判定為陰性，此檢測標(biāo)準(zhǔn)的漏診率是將患病者判定為陰性的概率，記為（c）；誤診率是將未患病者判定為陽性的概率，記為（c）．假設(shè)數(shù)據(jù)在組內(nèi)均勻分布，以事件發(fā)生的頻率作為相應(yīng)事件發(fā)生的概率．
（1）當(dāng)漏診率（c）時，求臨界值和誤診率（c）；
（2）設(shè)函數(shù)（c）（c）（c）．當(dāng)，，求（c）的解析式，并求（c）在區(qū)間，的最小值．
9．（2022?新高考Ⅱ）在某地區(qū)進(jìn)行流行病學(xué)調(diào)查，隨機(jī)調(diào)查了100位某種疾病患者的年齡，得到如下的樣本數(shù)據(jù)的頻率分布直方圖：
（1）估計該地區(qū)這種疾病患者的平均年齡（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值為代表）；
（2）估計該地區(qū)一位這種疾病患者的年齡位于區(qū)間，的概率；
（3）已知該地區(qū)這種疾病患者的患病率為，該地區(qū)年齡位于區(qū)間，的人口占該地區(qū)總?cè)丝诘模畯脑摰貐^(qū)中任選一人，若此人的年齡位于區(qū)間，，求此人患這種疾病的概率（以樣本數(shù)據(jù)中患者的年齡位于各區(qū)間的頻率作為患者的年齡位于該區(qū)間的概率，精確到0.0001 ．
知識點(diǎn)4：求離散型隨機(jī)變量的分布列與期望
10．（2023?上海）2023年6月7日，21世紀(jì)汽車博覽會在上海舉行，已知某汽車模型公司共有25個汽車模型，其外觀和內(nèi)飾的顏色分布如下表所示：
（1）若小明從這些模型中隨機(jī)拿一個模型，記事件為小明取到紅色外觀的模型，事件為小明取到棕色內(nèi)飾的模型，求（B）和，并判斷事件和事件是否獨(dú)立；
（2）該公司舉行了一個抽獎活動，規(guī)定在一次抽獎中，每人可以一次性從這些模型中拿兩個汽車模型，給出以下假設(shè)：
假設(shè)1：拿到的兩個模型會出現(xiàn)三種結(jié)果，即外觀和內(nèi)飾均為同色、外觀和內(nèi)飾都異色、以及僅外觀或僅內(nèi)飾同色；
假設(shè)2：按結(jié)果的可能性大小，概率越小獎項越高；
假設(shè)3：該抽獎活動的獎金額為：一等獎600元，二等獎300元、三等獎150元；
請你分析獎項對應(yīng)的結(jié)果，設(shè)為獎金額，寫出的分布列并求出的數(shù)學(xué)期望．
11．（2022?甲卷（理））甲、乙兩個學(xué)校進(jìn)行體育比賽，比賽共設(shè)三個項目，每個項目勝方得10分，負(fù)方得0分，沒有平局．三個項目比賽結(jié)束后，總得分高的學(xué)校獲得冠軍．已知甲學(xué)校在三個項目中獲勝的概率分別為0.5，0.4，0.8，各項目的比賽結(jié)果相互獨(dú)立．
（1）求甲學(xué)校獲得冠軍的概率；
（2）用表示乙學(xué)校的總得分，求的分布列與期望．
12．（2022?北京）在校運(yùn)動會上，只有甲、乙、丙三名同學(xué)參加鉛球比賽，比賽成績達(dá)到以上（含的同學(xué)將獲得優(yōu)秀獎．為預(yù)測獲得優(yōu)秀獎的人數(shù)及冠軍得主，收集了甲、乙、丙以往的比賽成績，并整理得到如下數(shù)據(jù)（單位：
甲：9.80，9.70，9.55，9.54，9.48，9.42，9.40，9.35，9.30，9.25；
乙：9.78，9.56，9.51，9.36，9.32，9.23；
丙：9.85，9.65，9.20，9.16．
假設(shè)用頻率估計概率，且甲、乙、丙的比賽成績相互獨(dú)立．
（Ⅰ）估計甲在校運(yùn)動會鉛球比賽中獲得優(yōu)秀獎的概率；
（Ⅱ）設(shè)是甲、乙、丙在校運(yùn)動會鉛球比賽中獲得優(yōu)秀獎的總?cè)藬?shù)，估計的數(shù)學(xué)期望；
（Ⅲ）在校運(yùn)動會鉛球比賽中，甲、乙、丙誰獲得冠軍的概率估計值最大？（結(jié)論不要求證明）
13．（2021?北京）在核酸檢測中，“合1”混采核酸檢測是指：先將個人的樣本混合在一起進(jìn)行1次檢測，如果這個人都沒有感染新冠病毒，則檢測結(jié)果為陰性，得到每人的檢測結(jié)果都為陰性，檢測結(jié)束；如果這個人中有人感染新冠病毒，則檢測結(jié)果為陽性，此時需對每人再進(jìn)行1次檢測，得到每人的檢測結(jié)果，檢測結(jié)束．
現(xiàn)對100人進(jìn)行核酸檢測，假設(shè)其中只有2人感染新冠病毒，并假設(shè)每次檢測結(jié)果準(zhǔn)確．
（Ⅰ）將這100人隨機(jī)分成10組，每組10人，且對每組都采用“10合1”混采核酸檢測．
（ⅰ）如果感染新冠病毒的2人在同一組，求檢測的總次數(shù)：
（ⅱ）已知感染新冠病毒的2人分在同一組的概率為．設(shè)是檢測的總次數(shù)，求的分布列與數(shù)學(xué)期望．
（Ⅱ）將這100人隨機(jī)分成20組，每組5人，且對每組都采用“5合1”混采核酸檢測．設(shè)是檢測的總次數(shù)，試判斷數(shù)學(xué)期望與（Ⅰ）中的大?。ńY(jié)論不要求證明）
14．（2021?新高考Ⅰ）某學(xué)校組織“一帶一路”知識競賽，有，兩類問題．每位參加比賽的同學(xué)先在兩類問題中選擇一類并從中隨機(jī)抽取一個問題回答，若回答錯誤則該同學(xué)比賽結(jié)束；若回答正確則從另一類問題中再隨機(jī)抽取一個問題回答，無論回答正確與否，該同學(xué)比賽結(jié)束．類問題中的每個問題回答正確得20分，否則得0分；類問題中的每個問題回答正確得80分，否則得0分．
已知小明能正確回答類問題的概率為0.8，能正確回答類問題的概率為0.6，且能正確回答問題的概率與回答次序無關(guān)．
（1）若小明先回答類問題，記為小明的累計得分，求的分布列；
（2）為使累計得分的期望最大，小明應(yīng)選擇先回答哪類問題？并說明理由．
知識點(diǎn)5：概率遞推問題
15．（2023?新高考Ⅰ）甲、乙兩人投籃，每次由其中一人投籃，規(guī)則如下：若命中則此人繼續(xù)投籃，若未命中則換為對方投籃．無論之前投籃情況如何，甲每次投籃的命中率均為0.6，乙每次投籃的命中率均為0.8．由抽簽確定第1次投籃的人選，第1次投籃的人是甲、乙的概率各為0.5．
（1）求第2次投籃的人是乙的概率；
（2）求第次投籃的人是甲的概率；
（3）已知：若隨機(jī)變量服從兩點(diǎn)分布，且，，2，，，則．記前次（即從第1次到第次投籃）中甲投籃的次數(shù)為，求．
16．（2021?新高考Ⅱ）一種微生物群體可以經(jīng)過自身繁殖不斷生存下來，設(shè)一個這種微生物為第0代，經(jīng)過一次繁殖后為第1代，再經(jīng)過一次繁殖后為第2代，，該微生物每代繁殖的個數(shù)是相互獨(dú)立的且有相同的分布列，設(shè)表示1個微生物個體繁殖下一代的個數(shù)，，1，2，．
（Ⅰ）已知，，，，求；
（Ⅱ）設(shè)表示該種微生物經(jīng)過多代繁殖后臨近滅絕的概率，是關(guān)于的方程：的一個最小正實(shí)根，求證：當(dāng)時，，當(dāng)時，；
（Ⅲ）根據(jù)你的理解說明（2）問結(jié)論的實(shí)際含義．17．（2022年全國乙卷（文））某地經(jīng)過多年的環(huán)境治理，已將荒山改造成了綠水青山．為估計一林區(qū)某種樹木的總材積量，隨機(jī)選取了10棵這種樹木，測量每棵樹的根部橫截面積（單位：m2）和材積量（單位：m3），得到如下數(shù)據(jù)：
并計算得i=110xi2=0.038,i=110yi2=1.6158,i=110xiyi=0.2474．
(1)估計該林區(qū)這種樹木平均一棵的根部橫截面積與平均一棵的材積量；
(2)求該林區(qū)這種樹木的根部橫截面積與材積量的樣本相關(guān)系數(shù)（精確到0.01）；
(3)現(xiàn)測量了該林區(qū)所有這種樹木的根部橫截面積，并得到所有這種樹木的根部橫截面積總和為186m2．已知樹木的材積量與其根部橫截面積近似成正比．利用以上數(shù)據(jù)給出該林區(qū)這種樹木的總材積量的估計值．
附：相關(guān)系數(shù)r=i=1n(xi?x)(yi?y)i=1n(xi?x)2i=1n(yi?y)2,1.896≈1.377．
時段
價格變化
第1天到
第20天
0
0
0
0
0
第21天
到第40天
0
0
0
0
0
對照組
實(shí)驗組
0.100
0.050
0.010
2.706
3.841
6.635
不夠良好
良好
病例組
40
60
對照組
10
90
0.050
0.010
0.001
3.841
6.635
10.828
紅色外觀
藍(lán)色外觀
棕色內(nèi)飾
12
8
米色內(nèi)飾
2
3
樣本號ｉ
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
總和
根部橫截面積xi
0.04
0.06
0.04
0.08
0.08
0.05
0.05
0.07
0.07
0.06
0.6
材積量yi
0.25
0.40
0.22
0.54
0.51
0.34
0.36
0.46
0.42
0.40
3.9
專題15 概率與統(tǒng)計（解答題）（理）
知識點(diǎn)目錄
知識點(diǎn)1：獨(dú)立事件的乘法公式
知識點(diǎn)2：獨(dú)立性檢驗與回歸分析
知識點(diǎn)3：頻率分布直方圖的實(shí)際應(yīng)用
知識點(diǎn)4：求離散型隨機(jī)變量的分布列與期望
知識點(diǎn)5：概率遞推問題
近三年高考真題
知識點(diǎn)1：獨(dú)立事件的乘法公式
1．（2023?北京）為了研究某種農(nóng)產(chǎn)品價格變化的規(guī)律，收集到了該農(nóng)產(chǎn)品連續(xù)40天的價格變化數(shù)據(jù)，如表所示，在描述價格變化時，用“”表示“上漲”；即當(dāng)天價格比前一天價格高，用“”表示“下跌”，即當(dāng)天價格比前一天價格低：用“0”表示“不變”，即當(dāng)天價格與前一天價格相同．
用頻率估計概率．
（Ⅰ）試估計該農(nóng)產(chǎn)品“上漲”的概率；
（Ⅱ）假設(shè)該農(nóng)產(chǎn)品每天的價格變化是相互獨(dú)立的，在未來的日子里任取4天，試估計該農(nóng)產(chǎn)品價格在這4天中2天“上漲”、1天“下跌”、1天“不變”的概率；
（Ⅲ）假設(shè)該農(nóng)產(chǎn)品每天的價格變化只受前一天價格的影響，判斷第41天該農(nóng)產(chǎn)品價格“上漲”、“下跌”和“不變”的概率估計值哪個最大．（結(jié)論不要求證明）
【解析】（Ⅰ）由表可知，40天中“上漲”的有16天，則該農(nóng)產(chǎn)品“上漲”的概率為．
（Ⅱ）由表可知，40天中“上漲”的有16天，則該農(nóng)產(chǎn)品“下降”的概率為，
40天中“不變”的有10天，則該農(nóng)產(chǎn)品“上漲”的概率為，
則該農(nóng)產(chǎn)品價格在這4天中2天“上漲”、1天“下跌”、1天“不變”的概率．
（Ⅲ）由于第40天處于“上漲”狀態(tài)，從前39天中15次“上漲”進(jìn)行分析，
“上漲”后下一次仍“上漲”的有4次，概率為，
“上漲”后下一次“不變”的有9次，概率為，
“上漲”后下一次“下降”的有2次，概率為，
故第41天該農(nóng)產(chǎn)品價格“不變”的概率估值最大．
知識點(diǎn)2：獨(dú)立性檢驗與回歸分析
2．（2023?甲卷（理））一項試驗旨在研究臭氧效應(yīng)，試驗方案如下：選40只小白鼠，隨機(jī)地將其中20只分配到試驗組，另外20只分配到對照組，試驗組的小白鼠飼養(yǎng)在高濃度臭氧環(huán)境，對照組的小白鼠飼養(yǎng)在正常環(huán)境，一段時間后統(tǒng)計每只小白鼠體重的增加量（單位：．
（1）設(shè)表示指定的兩只小鼠中分配到對照組的只數(shù)，求的分布列和數(shù)學(xué)期望；
（2）試驗結(jié)果如下：
對照組的小白鼠體重的增加量從小到大排序為
3．2 18.8 20.2 21.3 22.5 23.2 25.8 26.5 27.5 30.1
4．6 34.3 34.8 35.6 35.6 35.8 36.2 37.3 40.5 43.2
試驗組的小白鼠體重的增加量從小到大排序為
5．8 9.2 11.4 12.4 13.2 15.5 16.5 18.0 18.8 19.2
6．8 20.2 21.6 22.8 23.6 23.9 25.1 28.2 32.3 36.5
求40只小白鼠體重的增加量的中位數(shù)，再分別統(tǒng)計兩樣本中小于與不小于的數(shù)據(jù)的個數(shù)，完成如下列聯(lián)表：
根據(jù)中的列聯(lián)表，能否有的把握認(rèn)為小白鼠在高濃度臭氧環(huán)境中與在正常環(huán)境中體重的增加量有差異？
附：，
【解析】（1）根據(jù)題意可得，1，2，
又，
，
，
的分布列為：
；
（2）個數(shù)據(jù)從小到大排列后，中位數(shù)即為第20位和第21位數(shù)的平均數(shù)，
第20位數(shù)為23.2，第21位數(shù)為23.6，
，
補(bǔ)全列聯(lián)表為：
由可知，
能有的把握認(rèn)為藥物對小鼠生長有抑制作用．
7．（2022?新高考Ⅰ）一醫(yī)療團(tuán)隊為研究某地的一種地方性疾病與當(dāng)?shù)鼐用竦男l(wèi)生習(xí)慣（衛(wèi)生習(xí)慣分為良好和不夠良好兩類）的關(guān)系，在已患該疾病的病例中隨機(jī)調(diào)查了100例（稱為病例組），同時在未患該疾病的人群中隨機(jī)調(diào)查了100人（稱為對照組），得到如下數(shù)據(jù)：
（1）能否有的把握認(rèn)為患該疾病群體與未患該疾病群體的衛(wèi)生習(xí)慣有差異？
（2）從該地的人群中任選一人，表示事件“選到的人衛(wèi)生習(xí)慣不夠良好”， 表示事件“選到的人患有該疾病”， 與的比值是衛(wèi)生習(xí)慣不夠良好對患該疾病風(fēng)險程度的一項度量指標(biāo)，記該指標(biāo)為．
（ⅰ）證明：；
（ⅱ）利用該調(diào)查數(shù)據(jù)，給出，的估計值，并利用（?。┑慕Y(jié)果給出的估計值．
附：．
【解析】（1）補(bǔ)充列聯(lián)表為：
計算，
所以有的把握認(rèn)為患該疾病群體與未患該疾病群體的衛(wèi)生習(xí)慣有差異．
（2）證明：；
（ⅱ）利用調(diào)查數(shù)據(jù)，，，，，
所以．
知識點(diǎn)3：頻率分布直方圖的實(shí)際應(yīng)用
8．（2023?新高考Ⅱ）某研究小組經(jīng)過研究發(fā)現(xiàn)某種疾病的患病者與未患病者的某項醫(yī)學(xué)指標(biāo)有明顯差異，經(jīng)過大量調(diào)查，得到如下的患病者和未患病者該指標(biāo)的頻率分布直方圖：
利用該指標(biāo)制定一個檢測標(biāo)準(zhǔn)，需要確定臨界值，將該指標(biāo)大于的人判定為陽性，小于或等于的人判定為陰性，此檢測標(biāo)準(zhǔn)的漏診率是將患病者判定為陰性的概率，記為（c）；誤診率是將未患病者判定為陽性的概率，記為（c）．假設(shè)數(shù)據(jù)在組內(nèi)均勻分布，以事件發(fā)生的頻率作為相應(yīng)事件發(fā)生的概率．
（1）當(dāng)漏診率（c）時，求臨界值和誤診率（c）；
（2）設(shè)函數(shù)（c）（c）（c）．當(dāng)，，求（c）的解析式，并求（c）在區(qū)間，的最小值．
【解析】（1）當(dāng)漏診率（c）時，
則，解得；
（c）；
（2）當(dāng)，時，
（c）（c）（c），
當(dāng)，時，（c）（c）（c），
故（c），
所以（c）的最小值為0.02．
9．（2022?新高考Ⅱ）在某地區(qū)進(jìn)行流行病學(xué)調(diào)查，隨機(jī)調(diào)查了100位某種疾病患者的年齡，得到如下的樣本數(shù)據(jù)的頻率分布直方圖：
（1）估計該地區(qū)這種疾病患者的平均年齡（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值為代表）；
（2）估計該地區(qū)一位這種疾病患者的年齡位于區(qū)間，的概率；
（3）已知該地區(qū)這種疾病患者的患病率為，該地區(qū)年齡位于區(qū)間，的人口占該地區(qū)總?cè)丝诘模畯脑摰貐^(qū)中任選一人，若此人的年齡位于區(qū)間，，求此人患這種疾病的概率（以樣本數(shù)據(jù)中患者的年齡位于各區(qū)間的頻率作為患者的年齡位于該區(qū)間的概率，精確到0.0001 ．
【解析】（1）由頻率分布直方圖得該地區(qū)這種疾病患者的平均年齡為：
歲．
（2）該地區(qū)一位這種疾病患者的年齡位于區(qū)間，的頻率為：
，
估計該地區(qū)一位這種疾病患者的年齡位于區(qū)間，的概率為0.89．
（3）設(shè)從該地區(qū)中任選一人，此人的年齡位于區(qū)間，為事件，此人患這種疾病為事件，
則．
知識點(diǎn)4：求離散型隨機(jī)變量的分布列與期望
10．（2023?上海）2023年6月7日，21世紀(jì)汽車博覽會在上海舉行，已知某汽車模型公司共有25個汽車模型，其外觀和內(nèi)飾的顏色分布如下表所示：
（1）若小明從這些模型中隨機(jī)拿一個模型，記事件為小明取到紅色外觀的模型，事件為小明取到棕色內(nèi)飾的模型，求（B）和，并判斷事件和事件是否獨(dú)立；
（2）該公司舉行了一個抽獎活動，規(guī)定在一次抽獎中，每人可以一次性從這些模型中拿兩個汽車模型，給出以下假設(shè)：
假設(shè)1：拿到的兩個模型會出現(xiàn)三種結(jié)果，即外觀和內(nèi)飾均為同色、外觀和內(nèi)飾都異色、以及僅外觀或僅內(nèi)飾同色；
假設(shè)2：按結(jié)果的可能性大小，概率越小獎項越高；
假設(shè)3：該抽獎活動的獎金額為：一等獎600元，二等獎300元、三等獎150元；
請你分析獎項對應(yīng)的結(jié)果，設(shè)為獎金額，寫出的分布列并求出的數(shù)學(xué)期望．
【解析】（1）若紅色外觀的模型，則分棕色內(nèi)飾12個，米色內(nèi)飾2個，則對應(yīng)的概率（A），
若小明取到棕色內(nèi)飾，分紅色外觀12，藍(lán)色外觀8，則對應(yīng)的概率（B）．
取到紅色外觀的模型同時是棕色內(nèi)飾的有12個，即，
則．
（A）（B），（A）（B），
即事件和事件不獨(dú)立．
（2）由題意知，300，150，
則外觀和內(nèi)飾均為同色的概率，
外觀和內(nèi)飾都異色的概率，
僅外觀或僅內(nèi)飾同色的概率，
，
，，，
則的分布列為：
則（元．
11．（2022?甲卷（理））甲、乙兩個學(xué)校進(jìn)行體育比賽，比賽共設(shè)三個項目，每個項目勝方得10分，負(fù)方得0分，沒有平局．三個項目比賽結(jié)束后，總得分高的學(xué)校獲得冠軍．已知甲學(xué)校在三個項目中獲勝的概率分別為0.5，0.4，0.8，各項目的比賽結(jié)果相互獨(dú)立．
（1）求甲學(xué)校獲得冠軍的概率；
（2）用表示乙學(xué)校的總得分，求的分布列與期望．
【解析】（1）甲學(xué)校在三個項目中獲勝的概率分別為0.5，0.4，0.8，可以得到兩個學(xué)校每場比賽獲勝的概率如下表：
甲學(xué)校要獲得冠軍，需要在3場比賽中至少獲勝2場，
①甲學(xué)校3場全勝，概率為：，
②甲學(xué)校3場獲勝2場敗1場，概率為：，
所以甲學(xué)校獲得冠軍的概率為：；
（2）乙學(xué)校的總得分的可能取值為：0，10，20，30，其概率分別為：
，
，
，
，
則的分布列為：
的期望．
12．（2022?北京）在校運(yùn)動會上，只有甲、乙、丙三名同學(xué)參加鉛球比賽，比賽成績達(dá)到以上（含的同學(xué)將獲得優(yōu)秀獎．為預(yù)測獲得優(yōu)秀獎的人數(shù)及冠軍得主，收集了甲、乙、丙以往的比賽成績，并整理得到如下數(shù)據(jù)（單位：
甲：9.80，9.70，9.55，9.54，9.48，9.42，9.40，9.35，9.30，9.25；
乙：9.78，9.56，9.51，9.36，9.32，9.23；
丙：9.85，9.65，9.20，9.16．
假設(shè)用頻率估計概率，且甲、乙、丙的比賽成績相互獨(dú)立．
（Ⅰ）估計甲在校運(yùn)動會鉛球比賽中獲得優(yōu)秀獎的概率；
（Ⅱ）設(shè)是甲、乙、丙在校運(yùn)動會鉛球比賽中獲得優(yōu)秀獎的總?cè)藬?shù)，估計的數(shù)學(xué)期望；
（Ⅲ）在校運(yùn)動會鉛球比賽中，甲、乙、丙誰獲得冠軍的概率估計值最大？（結(jié)論不要求證明）
【解析】（Ⅰ）甲以往的10次成績中有4次獲得優(yōu)秀獎，用頻率估計概率，則甲在校運(yùn)動會鉛球比賽中獲得優(yōu)秀獎的概率．
（Ⅱ）用頻率估計概率，則乙在校運(yùn)動會鉛球比賽中獲得優(yōu)秀獎的概率為，丙在校運(yùn)動會鉛球比賽中獲得優(yōu)秀獎的概率為，
的所有可能取值為0，1，2，3，
則，
，
，
，
．
（Ⅲ）由題中數(shù)據(jù)可知，乙與丙獲得優(yōu)秀獎的概率較大，均為，且丙投出過三人成績中的最大值，
在三人中有一定優(yōu)勢，
故如果發(fā)揮較好的話丙獲得的概率估計值最大．
13．（2021?北京）在核酸檢測中，“合1”混采核酸檢測是指：先將個人的樣本混合在一起進(jìn)行1次檢測，如果這個人都沒有感染新冠病毒，則檢測結(jié)果為陰性，得到每人的檢測結(jié)果都為陰性，檢測結(jié)束；如果這個人中有人感染新冠病毒，則檢測結(jié)果為陽性，此時需對每人再進(jìn)行1次檢測，得到每人的檢測結(jié)果，檢測結(jié)束．
現(xiàn)對100人進(jìn)行核酸檢測，假設(shè)其中只有2人感染新冠病毒，并假設(shè)每次檢測結(jié)果準(zhǔn)確．
（Ⅰ）將這100人隨機(jī)分成10組，每組10人，且對每組都采用“10合1”混采核酸檢測．
（?。┤绻腥拘鹿诓《镜?人在同一組，求檢測的總次數(shù)：
（ⅱ）已知感染新冠病毒的2人分在同一組的概率為．設(shè)是檢測的總次數(shù)，求的分布列與數(shù)學(xué)期望．
（Ⅱ）將這100人隨機(jī)分成20組，每組5人，且對每組都采用“5合1”混采核酸檢測．設(shè)是檢測的總次數(shù)，試判斷數(shù)學(xué)期望與（Ⅰ）中的大?。ńY(jié)論不要求證明）
【解析】（Ⅰ）（ⅰ）若采用“10合1檢測法”，每組檢查一次，共10次；
又兩名患者在同一組，需要再檢查10次，
因此一共需要檢查20次．
（ⅱ）由題意可得：，30．
，．
可得分布列：
．
（Ⅱ）由題意可得：，30．
，．
可得分布列：
．
．
另設(shè)“10合1”混采核酸檢測兩名感染患者在同一組的概率為，“5合1”混采核酸檢測兩名感染患者在同一組的概率為，則，
此時有；
而，
．
14．（2021?新高考Ⅰ）某學(xué)校組織“一帶一路”知識競賽，有，兩類問題．每位參加比賽的同學(xué)先在兩類問題中選擇一類并從中隨機(jī)抽取一個問題回答，若回答錯誤則該同學(xué)比賽結(jié)束；若回答正確則從另一類問題中再隨機(jī)抽取一個問題回答，無論回答正確與否，該同學(xué)比賽結(jié)束．類問題中的每個問題回答正確得20分，否則得0分；類問題中的每個問題回答正確得80分，否則得0分．
已知小明能正確回答類問題的概率為0.8，能正確回答類問題的概率為0.6，且能正確回答問題的概率與回答次序無關(guān)．
（1）若小明先回答類問題，記為小明的累計得分，求的分布列；
（2）為使累計得分的期望最大，小明應(yīng)選擇先回答哪類問題？并說明理由．
【解析】（1）由已知可得，的所有可能取值為0，20，100，
則，
，
所以的分布列為：
（2）由（1）可知小明先回答類問題累計得分的期望為，
若小明先回答類問題，記為小明的累計得分，
則的所有可能取值為0，80，100，
，
，
，
則的期望為，
因為，
所以為使累計得分的期望最大，小明應(yīng)選擇先回答類問題．
知識點(diǎn)5：概率遞推問題
15．（2023?新高考Ⅰ）甲、乙兩人投籃，每次由其中一人投籃，規(guī)則如下：若命中則此人繼續(xù)投籃，若未命中則換為對方投籃．無論之前投籃情況如何，甲每次投籃的命中率均為0.6，乙每次投籃的命中率均為0.8．由抽簽確定第1次投籃的人選，第1次投籃的人是甲、乙的概率各為0.5．
（1）求第2次投籃的人是乙的概率；
（2）求第次投籃的人是甲的概率；
（3）已知：若隨機(jī)變量服從兩點(diǎn)分布，且，，2，，，則．記前次（即從第1次到第次投籃）中甲投籃的次數(shù)為，求．
【解析】（1）設(shè)第2次投籃的人是乙的概率為，
由題意得；
（2）由題意設(shè)為第次投籃的是甲，
則，
，
又，則是首項為，公比為0.4的等比數(shù)列，
，即，
第次投籃的人是甲的概率為；
（3）由（2）得，
由題意得甲第次投籃次數(shù)服從兩點(diǎn)分布，且，
，
當(dāng)時，；
當(dāng)時，，
綜上所述，，．
16．（2021?新高考Ⅱ）一種微生物群體可以經(jīng)過自身繁殖不斷生存下來，設(shè)一個這種微生物為第0代，經(jīng)過一次繁殖后為第1代，再經(jīng)過一次繁殖后為第2代，，該微生物每代繁殖的個數(shù)是相互獨(dú)立的且有相同的分布列，設(shè)表示1個微生物個體繁殖下一代的個數(shù)，，1，2，．
（Ⅰ）已知，，，，求；
（Ⅱ）設(shè)表示該種微生物經(jīng)過多代繁殖后臨近滅絕的概率，是關(guān)于的方程：的一個最小正實(shí)根，求證：當(dāng)時，，當(dāng)時，；
（Ⅲ）根據(jù)你的理解說明（2）問結(jié)論的實(shí)際含義．
【解析】（Ⅰ）由題意，，，，，
故；
（Ⅱ）證明：由題意可知，，則，
所以，變形為，
所以，
即，
即，
令，
若時，則的對稱軸為，
注意到，（1），
若時，（1），
當(dāng)時，（1），的正實(shí)根，原方程的最小正實(shí)根，
當(dāng)時，（1），的正實(shí)根，原方程的最小正實(shí)根，
（Ⅲ）當(dāng)1個微生物個體繁殖下一代的期望小于等于1時，這種微生物經(jīng)過多代繁殖后臨近滅絕；
當(dāng)1個微生物個體繁殖下一代的期望大于1時，這種微生物經(jīng)過多代繁殖后還有繼續(xù)繁殖的可能．
17．（2022年全國乙卷（文））某地經(jīng)過多年的環(huán)境治理，已將荒山改造成了綠水青山．為估計一林區(qū)某種樹木的總材積量，隨機(jī)選取了10棵這種樹木，測量每棵樹的根部橫截面積（單位：m2）和材積量（單位：m3），得到如下數(shù)據(jù)：
并計算得i=110xi2=0.038,i=110yi2=1.6158,i=110xiyi=0.2474．
(1)估計該林區(qū)這種樹木平均一棵的根部橫截面積與平均一棵的材積量；
(2)求該林區(qū)這種樹木的根部橫截面積與材積量的樣本相關(guān)系數(shù)（精確到0.01）；
(3)現(xiàn)測量了該林區(qū)所有這種樹木的根部橫截面積，并得到所有這種樹木的根部橫截面積總和為186m2．已知樹木的材積量與其根部橫截面積近似成正比．利用以上數(shù)據(jù)給出該林區(qū)這種樹木的總材積量的估計值．
附：相關(guān)系數(shù)r=i=1n(xi?x)(yi?y)i=1n(xi?x)2i=1n(yi?y)2,1.896≈1.377．
【答案】(1)0.06m2；0.39m3
(2)0.97
(3)1209m3
【解析】
【分析】
（1）計算出樣本的一棵根部橫截面積的平均值及一棵材積量平均值，即可估計該林區(qū)這種樹木平均一棵的根部橫截面積與平均一棵的材積量；
（2）代入題給相關(guān)系數(shù)公式去計算即可求得樣本的相關(guān)系數(shù)值；
（3）依據(jù)樹木的材積量與其根部橫截面積近似成正比，列方程即可求得該林區(qū)這種樹木的總材積量的估計值．
(1)
樣本中10棵這種樹木的根部橫截面積的平均值x=0.610=0.06
樣本中10棵這種樹木的材積量的平均值y=3.910=0.39
據(jù)此可估計該林區(qū)這種樹木平均一棵的根部橫截面積為0.06m2，
平均一棵的材積量為0.39m3
(2)
r=i=110(xi?x)(yi?y)i=110(xi?x)2i=110(yi?y)2=i=110xiyi?10xyi=110xi2?10x2i=110yi2?10y2
=0.2474?10×0.06×0.39(0.038?10×0.062)(1.6158?10×0.392)=≈≈0.97
則r≈0.97
(3)
設(shè)該林區(qū)這種樹木的總材積量的估計值為Ym3，
又已知樹木的材積量與其根部橫截面積近似成正比，
可得，解之得Y=1209m3．
則該林區(qū)這種樹木的總材積量估計為1209m3
時段
價格變化
第1天到
第20天
0
0
0
0
0
第21天
到第40天
0
0
0
0
0
對照組
實(shí)驗組
0.100
0.050
0.010
2.706
3.841
6.635
0
1
2
合計
對照組
6
14
20
實(shí)驗組
14
6
20
合計
20
20
40
不夠良好
良好
病例組
40
60
對照組
10
90
0.050
0.010
0.001
3.841
6.635
10.828
不夠良好
良好
合計
病例組
40
60
100
對照組
10
90
100
合計
50
150
200
紅色外觀
藍(lán)色外觀
棕色內(nèi)飾
12
8
米色內(nèi)飾
2
3
150
300
600
第一場比賽
第二場比賽
第三場比賽
甲學(xué)校獲勝概率
0.5
0.4
0.8
乙學(xué)校獲勝概率
0.5
0.6
0.2
0
10
20
30
0.16
0.44
0.34
0.06
20
30
25
30
0
20
100
0.2
0.32
0.48
樣本號ｉ
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
總和
根部橫截面積xi
0.04
0.06
0.04
0.08
0.08
0.05
0.05
0.07
0.07
0.06
0.6
材積量yi
0.25
0.40
0.22
0.54
0.51
0.34
0.36
0.46
0.42
0.40
3.9

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