知識點2：條件概率
知識點3：信息圖表處理
知識點4：頻率分布直方圖
知識點5：概率最值問題
知識點6：古典概型
知識點7：正態(tài)分布與相互獨立
知識點8：平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)、方差、標(biāo)準差、極差
知識點9：概率綜合問題
近三年高考真題
知識點1：回歸分析
1．（2023?天津）調(diào)查某種花萼長度和花瓣長度，所得數(shù)據(jù)如圖所示，其中相關(guān)系數(shù)，下列說法正確的是
A．花瓣長度和花萼長度沒有相關(guān)性
B．花瓣長度和花萼長度呈現(xiàn)負相關(guān)
C．花瓣長度和花萼長度呈現(xiàn)正相關(guān)
D．若從樣本中抽取一部分，則這部分的相關(guān)系數(shù)一定是0.8245
2．（2023?上海）根據(jù)所示的散點圖，下列說法正確的是
A．身高越大，體重越大B．身高越大，體重越小
C．身高和體重成正相關(guān)D．身高和體重成負相關(guān)
知識點2：條件概率
3．（2022?天津）52張撲克牌，沒有大小王，無放回地抽取兩次，則兩次都抽到的概率為 ；已知第一次抽到的是，則第二次抽取的概率為 ．
4．（2023?甲卷（理））有50人報名足球俱樂部，60人報名乒乓球俱樂部，70人報名足球或乒乓球俱樂部，若已知某人報足球俱樂部，則其報乒乓球俱樂部的概率為
A．0.8B．0.4C．0.2D．0.1
知識點3：信息圖表處理
5．（2023?上海）如圖為年上海市貨物進出口總額的條形統(tǒng)計圖，則下列對于進出口貿(mào)易額描述錯誤的是
A．從2018年開始，2021年的進出口總額增長率最大
B．從2018年開始，進出口總額逐年增大
C．從2018年開始，進口總額逐年增大
D．從2018年開始，2020年的進出口總額增長率最小
6．（2023?上海）現(xiàn)有某地一年四個季度的（億元），第一季度為232（億元），第四季度為241（億元），四個季度的逐季度增長，且中位數(shù)與平均數(shù)相同，則該地一年的為 ．
知識點4：頻率分布直方圖
7．（2023?上海）某校抽取100名學(xué)生測身高，其中身高最大值為，最小值為，根據(jù)身高數(shù)據(jù)繪制頻率組距分布直方圖，組距為5，且第一組下限為153.5，則組數(shù)為 ．
8．（2022?天津）為研究某藥品的療效，選取若干名志愿者進行臨床試驗，所有志愿者的舒張壓數(shù)據(jù)（單位：的分組區(qū)間為，，，，，，，，，，將其按從左到右的順序分別編號為第一組，第二組，，第五組，右圖是根據(jù)試驗數(shù)據(jù)制成的頻率分布直方圖．已知第一組與第二組共有20人，第三組中沒有療效的有6人，則第三組中有療效的人數(shù)為
A．8B．12C．16D．18
9．（2021?天津）從某網(wǎng)絡(luò)平臺推薦的影視作品中抽取400部，統(tǒng)計其評分數(shù)據(jù)，將所得400個評分數(shù)據(jù)分為8組：，，，，，，，并整理得到如下的頻率分布直方圖，則評分在區(qū)間，內(nèi)的影視作品數(shù)量是
A．20B．40C．64D．80
知識點5：概率最值問題
10．（2022?乙卷（理））某棋手與甲、乙、丙三位棋手各比賽一盤，各盤比賽結(jié)果相互獨立．已知該棋手與甲、乙、丙比賽獲勝的概率分別為，，，且．記該棋手連勝兩盤的概率為，則
A．與該棋手和甲、乙、丙的比賽次序無關(guān)
B．該棋手在第二盤與甲比賽，最大
C．該棋手在第二盤與乙比賽，最大
D．該棋手在第二盤與丙比賽，最大
知識點6：古典概型
11．（2023?上海）為了學(xué)習(xí)宣傳黨的二十大精神，某校學(xué)生理論宣講團赴社區(qū)宣講，已知有4名男生，6名女生，從10人中任選3人，則恰有1名男生2名女生的概率為 ．
12．（2022?上海）為了檢測學(xué)生的身體素質(zhì)指標(biāo)，從游泳類1項，球類3項，田徑類4項共8項項目中隨機抽取4項進行檢測，則每一類都被抽到的概率為 ．
13．（2022?甲卷（理））從正方體的8個頂點中任選4個，則這4個點在同一個平面的概率為 ．
14．（2021?上海）已知花博會有四個不同的場館，，，，甲、乙兩人每人選2個去參觀，則他們的選擇中，恰有一個館相同的概率為 ．
15．（2022?新高考Ⅰ）從2至8的7個整數(shù)中隨機取2個不同的數(shù)，則這2個數(shù)互質(zhì)的概率為
A．B．C．D．
16．（2023?天津）甲、乙、丙三個盒子中裝有一定數(shù)量的黑球和白球，其總數(shù)之比為．這三個盒子中黑球占總數(shù)的比例分別為，，．現(xiàn)從三個盒子中各取一個球，取到的三個球都是黑球的概率為 ；將三個盒子混合后任取一個球，是白球的概率為 ．
17．（2021?全國）3位男同學(xué)與3位女同學(xué)隨機排成一行，其中兩端都不是女同學(xué)的概率為
A．B．C．D．
18．（2021?甲卷（理））將4個1和2個0隨機排成一行，則2個0不相鄰的概率為
A．B．C．D．
知識點7：正態(tài)分布與相互獨立
19．（2021?新高考Ⅱ）某物理量的測量結(jié)果服從正態(tài)分布，則下列結(jié)論中不正確的是
A．越小，該物理量在一次測量中落在內(nèi)的概率越大
B．該物理量在一次測量中大于10的概率為0.5
C．該物理量在一次測量中小于9.99與大于10.01的概率相等
D．該物理量在一次測量中結(jié)果落在與落在的概率相等
20．（2021?新高考Ⅰ）有6個相同的球，分別標(biāo)有數(shù)字1，2，3，4，5，6，從中有放回的隨機取兩次，每次取1個球．甲表示事件“第一次取出的球的數(shù)字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的數(shù)字是2”，丙表示事件“兩次取出的球的數(shù)字之和是8”，丁表示事件“兩次取出的球的數(shù)字之和是7”，則
A．甲與丙相互獨立B．甲與丁相互獨立
C．乙與丙相互獨立D．丙與丁相互獨立
知識點8：平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)、方差、標(biāo)準差、極差
21．（多選題）（2023?新高考Ⅰ）有一組樣本數(shù)據(jù)，，，，其中是最小值，是最大值，則
A．，，，的平均數(shù)等于，，，的平均數(shù)
B．，，，的中位數(shù)等于，，，的中位數(shù)
C．，，，的標(biāo)準差不小于，，，的標(biāo)準差
D．，，，的極差不大于，，，的極差
22．（多選題）（2021?新高考Ⅱ）下列統(tǒng)計量中，能度量樣本，，，的離散程度的有
A．樣本，，，的標(biāo)準差B．樣本，，，的中位數(shù)
C．樣本，，，的極差D．樣本，，，的平均數(shù)
23．（多選題）（2021?新高考Ⅰ）有一組樣本數(shù)據(jù)，，，，由這組數(shù)據(jù)得到新樣本數(shù)據(jù)，，，，其中，2，，，為非零常數(shù)，則
A．兩組樣本數(shù)據(jù)的樣本平均數(shù)相同
B．兩組樣本數(shù)據(jù)的樣本中位數(shù)相同
C．兩組樣本數(shù)據(jù)的樣本標(biāo)準差相同
D．兩組樣本數(shù)據(jù)的樣本極差相同
知識點9：概率綜合問題
24．（多選題）（2023?新高考Ⅱ）在信道內(nèi)傳輸0，1信號，信號的傳輸相互獨立．發(fā)送0時，收到1的概率為，收到0的概率為；發(fā)送1時，收到0的概率為，收到1的概率為．考慮兩種傳輸方案：單次傳輸和三次傳輸．單次傳輸是指每個信號只發(fā)送1次，三次傳輸是指每個信號重復(fù)發(fā)送3次．收到的信號需要譯碼，譯碼規(guī)則如下：單次傳輸時，收到的信號即為譯碼；三次傳輸時，收到的信號中出現(xiàn)次數(shù)多的即為譯碼（例如，若依次收到1，0，1，則譯碼為
A．采用單次傳輸方案，若依次發(fā)送1，0，1，則依次收到1，0，1的概率為
B．采用三次傳輸方案，若發(fā)送1，則依次收到1，0，1的概率為
C．采用三次傳輸方案，若發(fā)送1，則譯碼為1的概率為
D．當(dāng)時，若發(fā)送0，則采用三次傳輸方案譯碼為0的概率大于采用單次傳輸方案譯碼為0的概率
25．（2022?浙江）現(xiàn)有7張卡片，分別寫上數(shù)字1，2，2，3，4，5，6．從這7張卡片中隨機抽取3張，記所抽取卡片上數(shù)字的最小值為，則 ， ．
26．（2022?新高考Ⅱ）已知隨機變量服從正態(tài)分布，且，則 ．
27．（2021?天津）甲、乙兩人在每次猜謎活動中各猜一個謎語，若一方猜對且另一方猜錯，則猜對的一方獲勝，否則本次平局．已知每次活動中，甲、乙猜對的概率分別為和，且每次活動中甲、乙猜對與否互不影響，各次活動也互不影響，則一次活動中，甲獲勝的概率為 ；3次活動中，甲至少獲勝2次的概率為 ．
28．（2021?浙江）袋中有4個紅球，個黃球，個綠球．現(xiàn)從中任取兩個球，記取出的紅球數(shù)為，若取出的兩個球都是紅球的概率為，一紅一黃的概率為，則 ， ．
專題14 概率與統(tǒng)計（選擇題、填空題）（理）
知識點目錄
知識點1：回歸分析
知識點2：條件概率
知識點3：信息圖表處理
知識點4：頻率分布直方圖
知識點5：概率最值問題
知識點6：古典概型
知識點7：正態(tài)分布與相互獨立
知識點8：平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)、方差、標(biāo)準差、極差
知識點9：概率綜合問題
近三年高考真題
知識點1：回歸分析
1．（2023?天津）調(diào)查某種花萼長度和花瓣長度，所得數(shù)據(jù)如圖所示，其中相關(guān)系數(shù)，下列說法正確的是
A．花瓣長度和花萼長度沒有相關(guān)性
B．花瓣長度和花萼長度呈現(xiàn)負相關(guān)
C．花瓣長度和花萼長度呈現(xiàn)正相關(guān)
D．若從樣本中抽取一部分，則這部分的相關(guān)系數(shù)一定是0.8245
【答案】
【解析】相關(guān)系數(shù)，且散點圖呈左下角到右上角的帶狀分布，
花瓣長度和花萼長度呈正相關(guān)．
若從樣本中抽取一部分，則這部分的相關(guān)系數(shù)不一定是0.8245．
故選：．
2．（2023?上海）根據(jù)所示的散點圖，下列說法正確的是
A．身高越大，體重越大B．身高越大，體重越小
C．身高和體重成正相關(guān)D．身高和體重成負相關(guān)
【答案】
【解析】根據(jù)散點圖的分布可得：身高和體重成正相關(guān)．
故選：．
知識點2：條件概率
3．（2022?天津）52張撲克牌，沒有大小王，無放回地抽取兩次，則兩次都抽到的概率為 ；已知第一次抽到的是，則第二次抽取的概率為 ．
【答案】；．
【解析】由題意，設(shè)第一次抽到的事件為，第二次抽到的事件為，
則，（B），
，
故答案為：；．
4．（2023?甲卷（理））有50人報名足球俱樂部，60人報名乒乓球俱樂部，70人報名足球或乒乓球俱樂部，若已知某人報足球俱樂部，則其報乒乓球俱樂部的概率為
A．0.8B．0.4C．0.2D．0.1
【答案】
【解析】根據(jù)題意，在報名足球或乒乓球俱樂部的70人中，設(shè)某人報足球俱樂部為事件，報乒乓球俱樂部為事件，
則（A），
由于有50人報名足球俱樂部，60人報名乒乓球俱樂部，則同時報名兩個俱樂部的由人，則，
則．
故選：．
知識點3：信息圖表處理
5．（2023?上海）如圖為年上海市貨物進出口總額的條形統(tǒng)計圖，則下列對于進出口貿(mào)易額描述錯誤的是
A．從2018年開始，2021年的進出口總額增長率最大
B．從2018年開始，進出口總額逐年增大
C．從2018年開始，進口總額逐年增大
D．從2018年開始，2020年的進出口總額增長率最小
【答案】
【解析】顯然2021年相對于2020年進出口額增量增加特別明顯，故最后一年的增長率最大，對；
統(tǒng)計圖中的每一年條形圖的高度逐年增加，故對；
2020年相對于2019的進口總額是減少的，故錯；
顯然進出口總額2021年的增長率最大，而2020年相對于2019年的增量比2019年相對于2018年的增量小，
且計算增長率時前者的分母還大，故2020年的增長率一定最小，正確．
故選：．
6．（2023?上海）現(xiàn)有某地一年四個季度的（億元），第一季度為232（億元），第四季度為241（億元），四個季度的逐季度增長，且中位數(shù)與平均數(shù)相同，則該地一年的為 ．
【答案】946（億元）．
【解析】設(shè)第二季度為億元，第三季度為億元，則，
中位數(shù)與平均數(shù)相同，
，
，
該地一年的為（億元）．
故答案為：946（億元）．
知識點4：頻率分布直方圖
7．（2023?上海）某校抽取100名學(xué)生測身高，其中身高最大值為，最小值為，根據(jù)身高數(shù)據(jù)繪制頻率組距分布直方圖，組距為5，且第一組下限為153.5，則組數(shù)為 ．
【答案】7．
【解析】極差為，組距為5，且第一組下限為153.5，
，故組數(shù)為7組，
故答案為：7．
8．（2022?天津）為研究某藥品的療效，選取若干名志愿者進行臨床試驗，所有志愿者的舒張壓數(shù)據(jù)（單位：的分組區(qū)間為，，，，，，，，，，將其按從左到右的順序分別編號為第一組，第二組，，第五組，右圖是根據(jù)試驗數(shù)據(jù)制成的頻率分布直方圖．已知第一組與第二組共有20人，第三組中沒有療效的有6人，則第三組中有療效的人數(shù)為
A．8B．12C．16D．18
【答案】
【解析】志愿者的總?cè)藬?shù)為，
第3組的人數(shù)為，
有療效的人數(shù)為人．
故選：．
9．（2021?天津）從某網(wǎng)絡(luò)平臺推薦的影視作品中抽取400部，統(tǒng)計其評分數(shù)據(jù)，將所得400個評分數(shù)據(jù)分為8組：，，，，，，，并整理得到如下的頻率分布直方圖，則評分在區(qū)間，內(nèi)的影視作品數(shù)量是
A．20B．40C．64D．80
【答案】
【解析】由頻率分布直方圖知，
評分在區(qū)間，內(nèi)的影視作品的頻率為，
故評分在區(qū)間，內(nèi)的影視作品數(shù)量是，
故選：．
知識點5：概率最值問題
10．（2022?乙卷（理））某棋手與甲、乙、丙三位棋手各比賽一盤，各盤比賽結(jié)果相互獨立．已知該棋手與甲、乙、丙比賽獲勝的概率分別為，，，且．記該棋手連勝兩盤的概率為，則
A．與該棋手和甲、乙、丙的比賽次序無關(guān)
B．該棋手在第二盤與甲比賽，最大
C．該棋手在第二盤與乙比賽，最大
D．該棋手在第二盤與丙比賽，最大
【答案】
【解析】選項，已知棋手與甲、乙、丙比賽獲勝的概率不相等，所以受比賽次序影響，故錯誤；
設(shè)棋手在第二盤與甲比賽連贏兩盤的概率為，棋手在第二盤與乙比賽連贏兩盤的概率為，棋手在第二盤與丙比賽連贏兩盤的概率為，
，
同理可得，，
，
，，
最大，即棋手在第二盤與丙比賽連贏兩盤的概率最大．
故選：．
知識點6：古典概型
11．（2023?上海）為了學(xué)習(xí)宣傳黨的二十大精神，某校學(xué)生理論宣講團赴社區(qū)宣講，已知有4名男生，6名女生，從10人中任選3人，則恰有1名男生2名女生的概率為 ．
【答案】0.5．
【解析】從10人中任選3人的事件個數(shù)為，
恰有1名男生2名女生的事件個數(shù)為，
則恰有1名男生2名女生的概率為．
故答案為：0.5．
12．（2022?上海）為了檢測學(xué)生的身體素質(zhì)指標(biāo)，從游泳類1項，球類3項，田徑類4項共8項項目中隨機抽取4項進行檢測，則每一類都被抽到的概率為 ．
【答案】．
【解析】從游泳類1項，球類3項，田徑類4項共8項項目中隨機抽取4項進行檢測，
則每一類都被抽到的方法共有種，
而所有的抽取方法共有種，
故每一類都被抽到的概率為，
故答案為：．
13．（2022?甲卷（理））從正方體的8個頂點中任選4個，則這4個點在同一個平面的概率為 ．
【答案】．
【解析】根據(jù)題意，從正方體的8個頂點中任選4個，有種取法，
若這4個點在同一個平面，有底面2個和側(cè)面4個、對角面6個，一共有12種情況，
則這4個點在同一個平面的概率；
故答案為：．
14．（2021?上海）已知花博會有四個不同的場館，，，，甲、乙兩人每人選2個去參觀，則他們的選擇中，恰有一個館相同的概率為 ．
【答案】．
【解析】甲選2個去參觀，有種，乙選2個去參觀，有種，共有種，
若甲乙恰有一個館相同，則選確定相同的館有種，然后從剩余3個館種選2個進行排列，有種，共有種，
則對應(yīng)概率，
故答案為：．
15．（2022?新高考Ⅰ）從2至8的7個整數(shù)中隨機取2個不同的數(shù)，則這2個數(shù)互質(zhì)的概率為
A．B．C．D．
【答案】
【解析】從2至8的7個整數(shù)中任取兩個數(shù)共有種方式，
其中互質(zhì)的有：23，25，27，34，35，37，38，45，47，56，57，58，67，78，共14種，
故所求概率為．
故選：．
16．（2023?天津）甲、乙、丙三個盒子中裝有一定數(shù)量的黑球和白球，其總數(shù)之比為．這三個盒子中黑球占總數(shù)的比例分別為，，．現(xiàn)從三個盒子中各取一個球，取到的三個球都是黑球的概率為 ；將三個盒子混合后任取一個球，是白球的概率為 ．
【答案】；．
【解析】設(shè)盒子中共有球個，
則甲盒子中有黑球個，白球個，
乙盒子中有黑球個，白球個，
丙盒子中有黑球個，白球個，
從三個盒子中各取一個球，取到的三個球都是黑球的概率為；
將三個盒子混合后任取一個球，是白球的概率．
故答案為：；．
17．（2021?全國）3位男同學(xué)與3位女同學(xué)隨機排成一行，其中兩端都不是女同學(xué)的概率為
A．B．C．D．
【答案】
【解析】3位男同學(xué)與3位女同學(xué)隨機排成一行，排法總數(shù)，
其中兩端都不是女同學(xué)的排法種數(shù)為，
則其中兩端都不是女同學(xué)的概率為．
故選：．
18．（2021?甲卷（理））將4個1和2個0隨機排成一行，則2個0不相鄰的概率為
A．B．C．D．
【答案】
【解析】6個空位選2兩個放0，剩余4個放1，故總的排放方法有種，
利用插空法，4個1有5個位置可以放0，故排放方法有種，
所以所求概率為．
故選：．
知識點7：正態(tài)分布與相互獨立
19．（2021?新高考Ⅱ）某物理量的測量結(jié)果服從正態(tài)分布，則下列結(jié)論中不正確的是
A．越小，該物理量在一次測量中落在內(nèi)的概率越大
B．該物理量在一次測量中大于10的概率為0.5
C．該物理量在一次測量中小于9.99與大于10.01的概率相等
D．該物理量在一次測量中結(jié)果落在與落在的概率相等
【答案】
【解析】因為某物理量的測量結(jié)果服從正態(tài)分布，
所以測量的結(jié)果的概率分布關(guān)于10對稱，且方差越小，則分布越集中，
對于，越小，概率越集中在10左右，則該物理量一次測量結(jié)果落在內(nèi)的概率越大，故選項正確；
對于，測量結(jié)果大于10的概率為0.5，故選項正確；
對于，由于概率分布關(guān)于10對稱，所以測量結(jié)果大于10.01的概率等于小于9.99的概率，故選項正確；
對于，由于概率分布是集中在10附近的，分布在10附近的區(qū)域大于分布在10附近的區(qū)域，
故測量結(jié)果落在內(nèi)的概率大于落在內(nèi)的概率，故選項錯誤．
故選：．
20．（2021?新高考Ⅰ）有6個相同的球，分別標(biāo)有數(shù)字1，2，3，4，5，6，從中有放回的隨機取兩次，每次取1個球．甲表示事件“第一次取出的球的數(shù)字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的數(shù)字是2”，丙表示事件“兩次取出的球的數(shù)字之和是8”，丁表示事件“兩次取出的球的數(shù)字之和是7”，則
A．甲與丙相互獨立B．甲與丁相互獨立
C．乙與丙相互獨立D．丙與丁相互獨立
【答案】
【解析】由題意可知，兩點數(shù)和為8的所有可能為：，，，，，
兩點數(shù)和為7的所有可能為，，，，，，
（甲，（乙，（丙，（丁，
（甲丙）（甲（丙，
（甲?。祝ǘ?，
（乙丙）（乙（丙，
（丙?。ūǘ?，
故選：．
知識點8：平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)、方差、標(biāo)準差、極差
21．（多選題）（2023?新高考Ⅰ）有一組樣本數(shù)據(jù)，，，，其中是最小值，是最大值，則
A．，，，的平均數(shù)等于，，，的平均數(shù)
B．，，，的中位數(shù)等于，，，的中位數(shù)
C．，，，的標(biāo)準差不小于，，，的標(biāo)準差
D．，，，的極差不大于，，，的極差
【答案】
【解析】選項，，，，的平均數(shù)不一定等于，，，的平均數(shù)，錯誤；
選項，，，，的中位數(shù)等于，，，，的中位數(shù)等于，正確；
選項，設(shè)樣本數(shù)據(jù)，，，為0，1，2，8，9，10，可知，，，的平均數(shù)是5，，，，的平均數(shù)是5，
，，，的方差，
，，，的方差，
，，錯誤．
選項，，，，正確．
故選：．
22．（多選題）（2021?新高考Ⅱ）下列統(tǒng)計量中，能度量樣本，，，的離散程度的有
A．樣本，，，的標(biāo)準差B．樣本，，，的中位數(shù)
C．樣本，，，的極差D．樣本，，，的平均數(shù)
【答案】
【解析】中位數(shù)是反應(yīng)數(shù)據(jù)的變化，
方差是反應(yīng)數(shù)據(jù)與均值之間的偏離程度，
極差是用來表示統(tǒng)計資料中的變異量數(shù)，反映的是最大值與最小值之間的差距，
平均數(shù)是反應(yīng)數(shù)據(jù)的平均水平，
故能反應(yīng)一組數(shù)據(jù)離散程度的是標(biāo)準差，極差．
故選：．
23．（多選題）（2021?新高考Ⅰ）有一組樣本數(shù)據(jù)，，，，由這組數(shù)據(jù)得到新樣本數(shù)據(jù)，，，，其中，2，，，為非零常數(shù)，則
A．兩組樣本數(shù)據(jù)的樣本平均數(shù)相同
B．兩組樣本數(shù)據(jù)的樣本中位數(shù)相同
C．兩組樣本數(shù)據(jù)的樣本標(biāo)準差相同
D．兩組樣本數(shù)據(jù)的樣本極差相同
【答案】
【解析】對于，兩組數(shù)據(jù)的平均數(shù)的差為，故錯誤；
對于，兩組樣本數(shù)據(jù)的樣本中位數(shù)的差是，故錯誤；
對于，標(biāo)準差，
兩組樣本數(shù)據(jù)的樣本標(biāo)準差相同，故正確；
對于，，2，，，為非零常數(shù)，
的極差為，的極差為，
兩組樣本數(shù)據(jù)的樣本極差相同，故正確．
故選：．
知識點9：概率綜合問題
24．（多選題）（2023?新高考Ⅱ）在信道內(nèi)傳輸0，1信號，信號的傳輸相互獨立．發(fā)送0時，收到1的概率為，收到0的概率為；發(fā)送1時，收到0的概率為，收到1的概率為．考慮兩種傳輸方案：單次傳輸和三次傳輸．單次傳輸是指每個信號只發(fā)送1次，三次傳輸是指每個信號重復(fù)發(fā)送3次．收到的信號需要譯碼，譯碼規(guī)則如下：單次傳輸時，收到的信號即為譯碼；三次傳輸時，收到的信號中出現(xiàn)次數(shù)多的即為譯碼（例如，若依次收到1，0，1，則譯碼為
A．采用單次傳輸方案，若依次發(fā)送1，0，1，則依次收到1，0，1的概率為
B．采用三次傳輸方案，若發(fā)送1，則依次收到1，0，1的概率為
C．采用三次傳輸方案，若發(fā)送1，則譯碼為1的概率為
D．當(dāng)時，若發(fā)送0，則采用三次傳輸方案譯碼為0的概率大于采用單次傳輸方案譯碼為0的概率
【答案】
【解析】采用單次傳輸方案，若依次發(fā)送1，0，1，則依次收到1，0，1的概率為：，故正確；
采用三次傳輸方案，若發(fā)送1，依次收到1，0，1的概率為：，故正確；
采用三次傳輸方案，若發(fā)送1，
則譯碼為1包含收到的信號為包含兩個1或3個1，
故所求概率為：，故錯誤；
三次傳輸方案發(fā)送0，譯碼為0的概率，
單次傳輸發(fā)送0譯碼為0的概率，
，
當(dāng)時，，
故，故正確．
故選：．
25．（2022?浙江）現(xiàn)有7張卡片，分別寫上數(shù)字1，2，2，3，4，5，6．從這7張卡片中隨機抽取3張，記所抽取卡片上數(shù)字的最小值為，則 ， ．
【答案】；．
【解析】根據(jù)題意可得：的取值可為1，2，3，4，
又，
，
，
，
，
故答案為：；．
26．（2022?新高考Ⅱ）已知隨機變量服從正態(tài)分布，且，則 ．
【答案】0.14．
【解析】隨機變量服從正態(tài)分布，
，
，
故答案為：0.14．
27．（2021?天津）甲、乙兩人在每次猜謎活動中各猜一個謎語，若一方猜對且另一方猜錯，則猜對的一方獲勝，否則本次平局．已知每次活動中，甲、乙猜對的概率分別為和，且每次活動中甲、乙猜對與否互不影響，各次活動也互不影響，則一次活動中，甲獲勝的概率為 ；3次活動中，甲至少獲勝2次的概率為 ．
【答案】；．
【解析】一次活動中，甲獲勝的概率為，
次活動中，甲至少獲勝2次的概率為．
故答案為：；．
28．（2021?浙江）袋中有4個紅球，個黃球，個綠球．現(xiàn)從中任取兩個球，記取出的紅球數(shù)為，若取出的兩個球都是紅球的概率為，一紅一黃的概率為，則 ， ．
【答案】1；．
【解析】由題意，，
又一紅一黃的概率為，
所以，
解得，，故；
由題意，的可能取值為0，1，2，
所以，
，
，
所以．
故答案為：1；．

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