1.的展開式中的第3項為( )
A.3x4B.C.x2D.x2
2.的展開式中x-2的系數(shù)是( )
A.15B.-15C.10D.-10
3.若的展開式中x2的系數(shù)為,則x5的系數(shù)為( )
A.B.C.D.
4.已知(1+ax)·(1+x)5的展開式中x2的系數(shù)為5,則a=( )
A.-4B.-3C.-2D.-1
5.若的展開式中含有常數(shù)項,則n的最小值等于( )
A.3B.4C.5D.6
6.(多選)對于二項式(n∈N*),以下判斷正確的有( )
A.存在n∈N*,展開式中有常數(shù)項
B.對任意n∈N*,展開式中沒有常數(shù)項
C.對任意n∈N*,展開式中沒有含x的項
D.存在n∈N*,展開式中有含x的項
7.(x2+3y-y2)7的展開式中x12y2的系數(shù)為( )
A.7B.-7
C.42D.-42
8.設(shè)的展開式的各項系數(shù)之和為M,二項式系數(shù)之和為N,若M-17N=480,則其展開式中含x3的項的系數(shù)為( )
A.40B.30C.20D.15
9. (x2+x+1)的展開式中的常數(shù)項為( )
A.40B.80C.120D.140
10. x2+6的展開式中常數(shù)項是 .
綜合提升組
11.若的展開式中二項式系數(shù)和為256,則二項展開式中有理項系數(shù)之和為( )
A.85B.84C.57D.56
12.(多選)已知(a>0)的展開式中第5項與第7項的二項式系數(shù)相等,且展開式的各項系數(shù)之和為1 024,則下列說法正確的是( )
A.展開式中奇數(shù)項的二項式系數(shù)和為256
B.展開式中第6項的系數(shù)最大
C.展開式中存在常數(shù)項
D.展開式中含x15的項的系數(shù)為45
13.已知(1+λx)n的展開式中第三項的二項式系數(shù)與第四項的二項式系數(shù)相等,(1+λx)n=a0+a1x+a2x2+…+anxn,若a1+a2+…+an=242,則a0-a1+a2-…+(-1)nan的值為( )
A.1B.-1
C.81D.-81
14.設(shè)a,b,m為整數(shù)(m>0),若a和b被m除得的余數(shù)相同,則稱a和b對模m同余,記為a≡b(md m).若a=·2+·22+…+·220,a≡b(md 10),則b的值可以是( )
A.2 018B.2 019
C.2 020D.2 021
15.(多選)若(1-2x)2 009=a0+a1x+a2x2+a3x3+…+a2 009x2 009,則( )
A.a0=1
B.a1+a3+a5+…+a2 009=
C.a0+a2+a4+…+a2 008=
D.+…+=-1
創(chuàng)新應(yīng)用組
16. “楊輝三角”揭示了二項式系數(shù)在三角形中的一種幾何排列規(guī)律,最早在中國南宋數(shù)學(xué)家楊輝1261年所著的《詳解九章算法》一書中出現(xiàn).如下圖,在由二項式系數(shù)所構(gòu)成的“楊輝三角”中,第10行中從左至右第5與第6個數(shù)的比值為 .
17.若(2-x)17=a0+a1(1+x)+a2(1+x)2+…+a16(1+x)16+a17(1+x)17,則a0+a1+a2+…+a16= ;a1+2a2+3a3+…+16a16= .
參考答案
課時規(guī)范練49 二項式定理
與楊輝三角
1.C ∵(a+b)n的展開式的通項為Tk+1=an-k·bk,的展開式中的第3項是T3=T2+1=x6-2x2.
2.D 的展開式的通項Tk+1=(-1)k=(-1)kxk-5,當k=3時,T4=-x-2=-10x-2,即x-2的系數(shù)為-10.
3.C 由已知得Tk+1=a8-k,令8-=2,解得k=4,所以a4=,解得a=±令8-=5,得k=2,故x5的系數(shù)為a6=
4.D 由題意知,+a=5,解得a=-1,故選D.
5.C 由題意的展開式的通項為Tk+1=x6n-kk=,令6n-k=0,得n=k,當k=4 時,n取到最小值5.故選C.
6.AD 設(shè)(n∈N*)的展開式的通項為Tk+1,則Tk+1=x4k-n,不妨令n=4,則當k=1時,展開式中有常數(shù)項,故A正確,B錯誤;令n=3,則當k=1時,展開式中有含x的項,故C錯誤,D正確.
7.B 將(x2+3y-y2)7看作7個因式相乘,要得到x12y2項,需要7個因式中有6個因式取x2,1個因式取-y2,故x12y2的系數(shù)為(-1)=-7.
8.D 由4n-17×2n=480,得n=5.Tk+1=(3x)5-k·()k=35-k,令5-=3,得k=4.故其展開式中含x3的項的系數(shù)為3=15,故選D.
9.B 的展開式的通項為Tk+1=x6-k=(-2)kx6-2k,則(x2+x+1)的展開式中的常數(shù)項為(-2)3+(-2)4=-160+240=80.
10.240 ∵x2+6的通項為Tk+1=(x2)6-kx12-3k2k,∴當且僅當12-3k=0,即k=4時,Tk+1為常數(shù)項,即T5=24=240.
11.A 的展開式中二項式系數(shù)和為256,故2n=256,n=8.Tk+1=x-k=,展開式為有理項,則k=2,5,8,則二項展開式中有理項系數(shù)之和為=85.
12.BCD 由二項展開式中第5項與第7項的二項式系數(shù)相等可知n=10.又因為展開式的各項系數(shù)之和為1024,即當x=1時,(a+1)10=1024,所以a=1.所以二項式為二項式系數(shù)和為210=1024,則奇數(shù)項的二項式系數(shù)和為1024=512,故A錯誤;由n=10可知展開式共有11項,中間項的二項式系數(shù)最大,即第6項的二項式系數(shù)最大,因為x2與的系數(shù)均為1,則該二項式展開式的二項式系數(shù)與系數(shù)相同,所以第6項的系數(shù)最大,故B正確;若展開式中存在常數(shù)項,由通項Tk+1=x2(10-k)可得2(10-k)-k=0,解得k=8,故C正確;由通項Tk+1=x2(10-k)可得2(10-k)-k=15,解得k=2,所以展開式中含x15的項的系數(shù)為=45,故D正確.
13.B 因為(1+λx)n的展開式中第三項的二項式系數(shù)與第四項的二項式系數(shù)相等,故可得n=5.令x=0,故可得1=a0.又因為a1+a2+…+a5=242,令x=1,則(1+λ)5=a0+a1+a2+…+a5=243,解得λ=2.令x=-1,則(1-2)5=a0-a1+a2-…+(-1)5a5=-1.
14.D a=2+22+…+220=(1+2)20=320=(80+1)5,它被10除所得余數(shù)為1.又因為a≡b(md10),所以b的值可以是2021.
15.ACD 由題意,當x=0時,a0=12009=1,故A正確;當x=1時,a0+a1+a2+a3+…+a2009=(-1)2009=-1,當x=-1時,a0-a1+a2-a3+…-a2009=32009,所以a1+a3+a5+…+a2009=-,a0+a2+a4+…+a2008=,故B錯誤,C正確;+…+=a1+a2×2+…+a2009×2009,當x=時,0=a0+a1+a2×2+…+a2009×2009,所以a1+a2×2+…+a2009×2009=-a0=-1,故D正確.故選ACD.
16 由題意第10行的數(shù)就是(a+b)10的展開式中各項的二項式系數(shù),因此從左至右第5與第6個數(shù)的比值為
17.217+1 17×(1-216) 由題意,可化為(2-x)17=[3-(1+x)]17,由T18==-(1+x)17,可得a17=-1,令1+x=1,即x=0,可得a0+a1+a2+…+a16+a17=217,所以a0+a1+a2+…+a16=217-a17=217+1.
令g(x)=a0+a1(1+x)+a2(1+x)2+…+a16(1+x)16+a17(1+x)17=(2-x)17,則g'(x)=a1+2a2(1+x)+…+16a16(1+x)15+17a17(1+x)16=-17×(2-x)16,則g'(0)=a1+2a2+…+16a16+17a17=-17×216,又因為17a17=-17,所以a1+2a2+3a3+…+16a16=-17×216+17=17×(1-216).

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