1.已知A為拋物線C:y2=2px(p>0)上一點,點A到C的焦點的距離為12,到y(tǒng)軸的距離為9,則p=( )
A.2B.3C.6D.9
2.若拋物線x2=ay的焦點到準線的距離為1,則a=( )
A.2B.4C.±2D.±4
3.若拋物線y2=2px(p>0)的焦點是橢圓=1的一個焦點,則p=( )
A.2B.3C.4D.8
4.
位于德國東部薩克森州的萊科勃克橋有“仙境之橋”之稱,它的橋形可近似地看成拋物線,該橋的高度為5 m,跨徑為12 m,則橋形對應(yīng)的拋物線的焦點到準線的距離為( )
A. mB. mC. mD. m
5.(多選)已知拋物線C:y2=2px(p>0)的焦點為F,直線l的斜率為且經(jīng)過點F,與拋物線C交于A,B兩點(點A在第一象限),與拋物線C的準線交于點D,若|AF|=4,則以下結(jié)論正確的是( )
A.p=2B.F為AD的中點
C.|BD|=2|BF|D.|BF|=2
6.已知直線y=k(x+2)(k>0)與拋物線C:y2=8x相交于A,B兩點,F為拋物線C的焦點.若|FA|=2|FB|,則k=( )
A.B.C.D.
7.以拋物線C的頂點為圓心的圓交拋物線C于A,B兩點,交拋物線C的準線于D,E兩點.已知|AB|=4,|DE|=2,則拋物線C的焦點到準線的距離為 .
8.過拋物線C:y2=2px(p>0)的焦點F且傾斜角為銳角的直線l與拋物線C交于A,B兩點,過線段AB的中點N且垂直于l的直線與拋物線C的準線交于點M,若|MN|=|AB|,則直線l的斜率為 .
9.已知拋物線C:y2=2px(p>0)的焦點為F,準線l:x=-1,點M在拋物線C上,點M在準線l上的射影為A,且直線AF的斜率為-,則△AMF的面積為 .
10.已知點M(-1,1)和拋物線C:y2=4x,過拋物線C的焦點且斜率為k的直線與拋物線C交于A,B兩點.若∠AMB=90°,則k= .
綜合提升組
11.已知F為拋物線C:y2=6x的焦點,過點F的直線l與拋物線C相交于A,B兩點,且|AF|=3|BF|,則|AB|=( )
A.6B.8C.10D.12
12.已知拋物線C:x2=4y的焦點為F,直線l與拋物線C交于A,B兩點,連接AF并延長,交拋物線C于點D,若AB中點的縱坐標為|AB|-1,則當(dāng)∠AFB最大時,|AD|=( )
A.4B.8C.16D.
13.已知拋物線C:x2=2py(p>0)和定點M(0,1),設(shè)過點M的動直線交拋物線C于A,B兩點,拋物線C在點A,B處的切線的交點為N.
(1)若點N在以AB為直徑的圓上,求p的值;
(2)若△ABN的面積的最小值為4,求拋物線C的方程.
14.
如圖,已知橢圓C1:+y2=1,拋物線C2:y2=2px(p>0),點A是橢圓C1與拋物線C2的交點,過點A的直線l交橢圓C1于點B,交拋物線C2于M(B,M不同于A).
(1)若p=,求拋物線C2的焦點坐標;
(2)若存在不過原點的直線l使M為線段AB的中點,求p的最大值.
創(chuàng)新應(yīng)用組
15.
(多選)如圖,已知橢圓C1:+y2=1,過拋物線C2:x2=4y的焦點F的直線交拋物線C2于M,N兩點,連接NO,MO并延長,分別交橢圓C1于點A,B,連接AB,△OMN與△OAB的面積分別記為S△OMN,S△OAB,則下列說法正確的為( )
A.若直線NO,MO的斜率分別為k1,k2,則k1k2為定值-
B.S△OAB為定值1
C.|OA|2+|OB|2為定值5
D.設(shè)λ=,則λ≥2
16.已知拋物線C:x2=2py(p>0)的焦點為F,點M(2,m)(m>0)在拋物線C上,且|MF|=2.
(1)求拋物線C的方程;
(2)若點P(x0,y0)為拋物線C上任意一點,過該點的切線為l0,證明:過點F作切線l0的垂線,垂足必在x軸上.
參考答案
課時規(guī)范練47 拋物線
1.C 解析設(shè)點A的坐標為(x,y).由點A到y(tǒng)軸的距離為9可得x=9,由點A到拋物線C的焦點的距離為12,可得x+=12,解得p=6.故選C.
2.C ∵x2=ay,∴p==1,∴a=±2.故選C.
3.D ∵y2=2px的焦點坐標為,0,橢圓=1的焦點坐標為(±,0),∴3p-p=,解得p=8.故選D.
4.D 建立平面直角坐標系如圖所示.
設(shè)拋物線的解析式為x2=-2py,p>0,
因為拋物線過點(6,-5),所以36=10p,解得p=所以橋形對應(yīng)的拋物線的焦點到準線的距離為m.故選D.
5.
ABC 如圖,點F,0,直線l的斜率為,則直線l的方程為y=x-.
由得12x2-20px+3p2=0,解得xA=p,xB=p.
由|AF|=p+=2p=4,得p=2.故拋物線C的方程為y2=4x.又xB=p=,所以|BF|=+1=,
所以|BD|=,
所以|BD|=2|BF|.
因為|BD|+|BF|==4=|AF|,所以F為AD的中點.故選ABC.
6.D 設(shè)拋物線C:y2=8x的準線為l,則直線l的方程為x=-2,直線y=k(x+2)恒過定點P(-2,0).
如圖,分別過點A,B作AM⊥l于點M,BN⊥l于點N,由|FA|=2|FB|,知|AM|=2|BN|,所以B為線段AP的中點.連接OB,則|OB|=|FA|,所以|OB|=|FB|,所以點B的橫坐標為1.
因為k>0,點B在拋物線C上,所以點B的坐標為(1,2).
所以k=故選D.
7.4 依題意,不妨設(shè)拋物線C的方程為y2=2px(p>0).由|AB|=4,|DE|=2,可取A,2,D-.設(shè)O為坐標原點,由|OA|=|OD|,得+8=+5,解得p=4.
8 設(shè)拋物線C的準線為m,分別過點A,N,B作AA'⊥m,NN'⊥m,BB'⊥m,垂足分別為A',N',B'(圖略).
因為直線l過拋物線C的焦點F,所以|BB'|=|BF|,|AA'|=|AF|.又N為線段AB的中點,|MN|=|AB|,所以|NN'|=(|BB'|+|AA'|)=(|BF|+|AF|)=|AB|=|MN|,所以∠MNN'=60°,所以直線MN的傾斜角為120°.
又MN⊥l,所以直線l的傾斜角為30°,所以直線l的斜率為
9.4 設(shè)準線l與x軸交于點N,
則|FN|=2.
∵直線AF的斜率為-,
∴∠AFN=60°,
∴∠MAF=60°,|AF|=4.
由拋物線的定義可得|MA|=|MF|,
∴△AMF是邊長為4的等邊三角形.
∴S△AMF=42=4
10.2 (方法1)由題意知拋物線C的焦點坐標為(1,0),則過拋物線C的焦點且斜率為k的直線方程為y=k(x-1)(k≠0).
由消去y,得k2x2-(2k2+4)x+k2=0.設(shè)點A(x1,y1),B(x2,y2),則x1+x2=,x1x2=1.所以y1+y2=k(x1-1)+k(x2-1)=,y1y2=k2(x1-1)(x2-1)=-4.由∠AMB=90°,得=x1x2+(x1+x2)+1+y1y2-(y1+y2)+1=0,即1++1+(-4)-+1=0,解得k=2.
(方法2)設(shè)拋物線的焦點為F,點A(x1,y1),B(x2,y2),則所以=4(x1-x2),所以k=取AB的中點N(x0,y0),分別過點A,B作準線x=-1的垂線,垂足分別為A',B',又∠AMB=90°,點M在準線x=-1上,所以|MN|=|AB|=(|AF|+|BF|)=(|AA'|+|BB'|).又N為AB的中點,所以MN平行于x軸,所以y0=1,所以y1+y2=2,所以k=2.
11.B 由已知得拋物線C:y2=6x的焦點坐標為,0,準線方程為x=-
設(shè)點A(x1,y1),B(x2,y2),
因為|AF|=3|BF|,所以x1+=3x2+,|y1|=3|y2|.
所以x1=3x2+3,x1=9x2,
所以x1=,x2=
所以|AB|=x1++x2+=8.故選B.
12.C 設(shè)點A(x1,y1),B(x2,y2),D(x3,y3),由拋物線的定義得|AF|+|BF|=y1+y2+2,
因為=|AB|-1,
所以|AF|+|BF|=2|AB|,所以cs∠AFB=
=
,
當(dāng)且僅當(dāng)|AF|=|BF|時,等號成立.
所以當(dāng)∠AFB最大時,△AFB為等邊三角形,AB∥x軸.
不妨設(shè)此時直線AD的方程為y=x+1,由消去y,得x2-4x-4=0,所以x1+x3=4,
所以y1+y3=(x1+x3)+2=14.
所以|AD|=16.故選C.
13.解設(shè)直線AB:y=kx+1,點A(x1,y1),B(x2,y2),
將直線AB的方程代入拋物線C的方程得x2-2pkx-2p=0,
則x1+x2=2pk,x1x2=-2p.
(1)由x2=2py得y'=,則拋物線C在點A,B處的切線斜率的乘積為=-
因為點N在以AB為直徑的圓上,所以AN⊥BN,所以-=-1,解得p=2.
(2)由題意得直線AN:y-y1=(x-x1),直線BN:y-y2=(x-x2),
由
解得即點N(pk,-1).
因為|AB|=|x2-x1|=
=,
點N到直線AB的距離d=,所以△ABN的面積S△ABN=|AB|·d=2,當(dāng)k=0時取等號.
因為△ABN的面積的最小值為4,
所以2=4,解得p=2.
故拋物線C的方程為x2=4y.
14.解(1)由p=,得C2的焦點坐標是
(2)由題意可設(shè)直線l:x=my+t(m≠0,t≠0),點A(x0,y0).
將直線l的方程代入橢圓C1:+y2=1,得
(m2+2)y2+2mty+t2-2=0,
所以點M的縱坐標yM=-
將直線l的方程代入拋物線C2:y2=2px,得
y2-2pmy-2pt=0,
所以y0yM=-2pt,
解得y0=,
因此x0=
由=1,得
=4+2160,所以當(dāng)且僅當(dāng)m=,t=時取等號,p取到最大值
15.ABCD 由已知得點F(0,1),直線MN的斜率一定存在.
設(shè)直線MN的方程為y=kx+1,點M(x1,y1),N(x2,y2),
由消去y,得x2-4kx-4=0,則x1+x2=4k,x1x2=-4,
所以y1y2=(kx1+1)(kx2+1)=k2x1x2+k(x1+x2)+1=1,
所以k1k2==-故A正確.
設(shè)直線OA的方程為y=mx(m>0),則直線OB的方程為y=-x.由得x2=,由題圖知點A在第三象限,則點A-,-,同理點B-,即點B-,所以點A到直線OB的距離
d=
=,
|OB|=
=,
所以S△OAB=|OB|·d==1.故B正確.
因為|OA|2=,|OB|2=,
所以|OA|2+|OB|2==5.故C正確.
由得x(x-4m)=0,解得x=0或x=4m,故點N(4m,4m2),所以|ON|=4m同理點M-,所以點M到直線OA的距離h=
所以S△OMN=|ON|·h=2m+2,當(dāng)且僅當(dāng)2m=,即m=時,等號成立.
又S△OAB=1,所以λ==S△OMN≥2.故D正確.故選ABCD.
16.(1)解由拋物線的定義,可知|MF|=m+=2.①
又點M(2,m)在拋物線C上,所以2pm=4.②
由①②解得p=2,m=1.
所以拋物線C的方程為x2=4y.
(2)證明①當(dāng)x0=0,即點P為原點時,顯然符合;
②當(dāng)x0≠0,即點P不在原點時,
由(1)得x2=4y,即y=,則y'=x,所以拋物線C在點P處的切線l0的斜率為x0,所以拋物線C在點P處的切線l0的方程為y-y0=x0(x-x0).
又=4y0,所以y-y0=x0(x-x0)可化為y=x0x-y0.
過點F(0,1)且與切線l0垂直的直線方程為y-1=-x.
由
消去x,得y=-(y-1)-y0.
因為=4y0,
所以y=-yy0,即(y0+1)y=0.由y0>0,可知y=0,即垂足必在x軸上.
綜上所述,過點F作切線l0的垂線,垂足必在x軸上.

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