1.橢圓4x2+9y2=144內(nèi)有一點(diǎn)P(3,2),則以P為中點(diǎn)的弦所在直線的斜率為( )
A.-B.-C.-D.-
2.傾斜角為的直線經(jīng)過(guò)橢圓=1(a>b>0)的右焦點(diǎn)F,與橢圓交于A,B兩點(diǎn),且=2,則該橢圓的離心率為( )
A.B.C.D.
3.設(shè)F1,F2分別是橢圓+y2=1的左、右焦點(diǎn),若橢圓上存在一點(diǎn)P,使()·=0(O為坐標(biāo)原點(diǎn)),則△F1PF2的面積是( )
A.4B.3C.2D.1
4.(多選)已知橢圓C:=1(a>b>0)的離心率為,點(diǎn)M(2,1)在橢圓C上,直線l平行于OM且在y軸上的截距為m,直線l與橢圓C交于A,B兩點(diǎn).下面結(jié)論正確的有( )
A.橢圓C的方程為=1
B.kOM=
C.-20)的左頂點(diǎn)為M(-2,0),離心率為.
(1)求橢圓C的方程;
(2)過(guò)點(diǎn)N(1,0)的直線l交橢圓C于A,B兩點(diǎn),當(dāng)取得最大值時(shí),求△MAB的面積.
8.已知橢圓C1:=1(a>b>0)的右焦點(diǎn)F與拋物線C2的焦點(diǎn)重合,C1的中心與C2的頂點(diǎn)重合.過(guò)F且與x軸垂直的直線交C1于A,B兩點(diǎn),交C2于C,D兩點(diǎn),且|CD|=|AB|.
(1)求C1的離心率;
(2)設(shè)M是C1與C2的公共點(diǎn).若|MF|=5,求C1與C2的標(biāo)準(zhǔn)方程.
9.已知橢圓C:=1(a>b>0)的焦點(diǎn)坐標(biāo)分別為F1(-1,0),F2(1,0),P為橢圓C上一點(diǎn),滿足3|PF1|=5|PF2|且cs∠F1PF2=.
(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)設(shè)直線l:y=kx+m與橢圓C交于A,B兩點(diǎn),點(diǎn)Q,若|AQ|=|BQ|,求k的取值范圍.
綜合提升組
10.已知F1,F2是橢圓=1(a>b>0)的左、右焦點(diǎn),過(guò)點(diǎn)F2的直線與橢圓交于P,Q兩點(diǎn),PQ⊥PF1,且|QF1|=2|PF1|,則△PF1F2與△QF1F2的面積之比為( )
A.2-B.-1
C.+1D.2+
11.(多選)已知B1,B2是橢圓=1(a>b>0)的下、上頂點(diǎn),P是橢圓上不同于短軸端點(diǎn)的任意一點(diǎn),點(diǎn)Q與點(diǎn)P關(guān)于y軸對(duì)稱,則下列四個(gè)結(jié)論正確的是( )
A.直線PB1與PB2的斜率之積為定值-
B.>0
C.△PB1B2的外接圓半徑的最大值為
D.直線PB1與QB2的交點(diǎn)M的軌跡為雙曲線
12.已知F1,F2為橢圓=1的左、右焦點(diǎn),點(diǎn)A的坐標(biāo)為,則∠F1AF2的平分線所在直線的斜率為 .
13.已知橢圓C:=1(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1,F2,離心率為,點(diǎn)A在橢圓C上,|AF1|=2,∠F1AF2=60°,過(guò)點(diǎn)F2與坐標(biāo)軸不垂直的直線l與橢圓C交于P,Q兩點(diǎn),N為線段PQ的中點(diǎn).則橢圓C的方程為 ;若點(diǎn)M的坐標(biāo)為,且MN⊥PQ,則線段MN所在的直線方程為 .
14.在平面直角坐標(biāo)系xOy中,長(zhǎng)為+1的線段的兩端點(diǎn)C,D分別在x軸、y軸上滑動(dòng),.記點(diǎn)P的軌跡為曲線E.
(1)求曲線E的方程;
(2)經(jīng)過(guò)點(diǎn)(0,1)作直線與曲線E相交于A,B兩點(diǎn),,當(dāng)點(diǎn)M在曲線E上時(shí),求四邊形AOBM的面積.
創(chuàng)新應(yīng)用組
15.在圓O:x2+y2=4上取一點(diǎn)P,過(guò)點(diǎn)P作x軸的垂線段PD,D為垂足,當(dāng)點(diǎn)P在圓O上運(yùn)動(dòng)時(shí),設(shè)線段PD中點(diǎn)M的軌跡為曲線E.
(1)求曲線E的方程;
(2)試問(wèn)在曲線E上是否存在M,N兩點(diǎn)關(guān)于直線l:y=kx+對(duì)稱,且以MN為直徑的圓恰好經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)?若存在,求出直線l的方程;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.
參考答案
課時(shí)規(guī)范練45 直線與橢圓
1.A 設(shè)以P為中點(diǎn)的弦所在的直線與橢圓交于點(diǎn)A(x1,y1),B(x2,y2),斜率為k,則4+9=144,4+9=144,兩式相減得4(x1+x2)(x1-x2)+9(y1+y2)(y1-y2)=0,又x1+x2=6,y1+y2=4,=k,代入解得k=-
2.B 由題可設(shè)直線的方程為y=x-c,與橢圓方程聯(lián)立得(b2+a2)y2+2b2cy-b4=0,由于直線過(guò)橢圓的右焦點(diǎn),故直線與橢圓有交點(diǎn),則Δ>0.設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),則=2,所以(c-x1,-y1)=2(x2-c,y2),所以-y1=2y2,可得
所以,所以e=故選B.
3.D 因?yàn)?)=()=0,
所以PF1⊥PF2,∠F1PF2=90°.
設(shè)|PF1|=m,|PF2|=n,
則m+n=4,m2+n2=12,所以2mn=4,mn=2,所以mn=1.
4.ABC 由題意得解得故橢圓C的方程為=1,故A正確.
kOM=,故B正確.
因?yàn)橹本€l的斜率k=kOM=,
又l在y軸上截距為m,所以l的方程為y=x+m.由
得x2+2mx+2m2-4=0.
因?yàn)橹本€l與橢圓C交于A,B兩點(diǎn),所以Δ=(2m)2-4(2m2-4)>0,解得-20,①
設(shè)AB的中點(diǎn)為M(x0,y0),連接QM,則x0=,y0=kx0+m=,
因?yàn)閨AQ|=|BQ|,所以AB⊥QM,又Q,M為AB的中點(diǎn),所以k≠0,直線QM的斜率存在,所以k·kQM=k=-1,解得m=-,②
把②代入①得3+4k2>,整理得16k4+8k2-3>0,即(4k2-1)(4k2+3)>0,解得k>或k0,又=(-x0,-b-y0),=(-x0,b-y0),-b2>0,故B正確;
當(dāng)點(diǎn)P在長(zhǎng)軸的頂點(diǎn)A時(shí),∠B1PB2最小且為銳角,設(shè)△PB1B2的外接圓半徑為r,由正弦定理可得2r=rPB1B2的外接圓半徑的最大值為,故C正確;
直線PB1的方程為y+b=x,直線QB2的方程為y-b=x,兩式相乘,得y2-b2=x2,即=1,由于點(diǎn)P不與B1,B2重合,∴M的軌跡為雙曲線的一部分,故D錯(cuò)誤.故選BC.
12.-2 (方法1)如圖.
因?yàn)镕1,F2是橢圓=1的左、右焦點(diǎn),所以F1(-1,0),F2(1,0),又A,所以AF1⊥x軸,
所以|AF1|=,則|AF2|=,
所以點(diǎn)F2(1,0)關(guān)于直線l(∠F1AF2的平分線所在直線)對(duì)稱的點(diǎn)F2'在線段AF1的延長(zhǎng)線上,又|AF2'|=|AF2|=,所以|F2'F1|=1,
所以F2'(-1,-1),線段F2'F2的中點(diǎn)坐標(biāo)為,所以所求直線的斜率為=-2.
(方法2)如圖.
設(shè)∠F1AF2的平分線交x軸于點(diǎn)N,
∠F1AN=β,∠ANF2=α.
因?yàn)閠an2β=,所以tanβ=或tanβ=-2(舍去).
在Rt△AF1N中,tanβ=,即,所以|F1N|=,
所以kl=tanα=tan(π-∠ANF1)=-tan∠ANF1=-=-=-2.
13=1 16x+8y-1=0或16x+24y-3=0 ∵e=,∴a=2c,
∴|AF1|=2,|AF2|=2a-2,
由余弦定理,得|AF1|2+|AF2|2-2|AF1|·|AF2|cs∠F1AF2=|F1F2|2,
即4+(2a-2)2-2×2×(2a-2)=a2,解得a=2,則c=1,
∴b2=a2-c2=3,
∴橢圓C的方程為=1.
設(shè)直線l的方程為y=k(x-1),P(x1,y1),Q(x2,y2),
聯(lián)立整理得(3+4k2)x2-8k2x+4k2-12=0,
則x1+x2=,y1+y2=k(x1+x2)-2k=,
∴N
又M,則kMN==-MN⊥PQ,
∴kMN=-,得k=或k=,
則kMN=-2或kMN=-,故直線MN的方程為16x+8y-1=0或16x+24y-3=0.
14.解(1)設(shè)點(diǎn)C(m,0),D(0,n),P(x,y).
由,得(x-m,y)=(-x,n-y).所以
得
由||=+1,得m2+n2=(+1)2,所以(+1)2x2+y2=(+1)2,則曲線E的方程為x2+=1.
(2)設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),由,
知點(diǎn)M的坐標(biāo)為(x1+x2,y1+y2).
由題意知,直線AB的斜率存在.
設(shè)直線AB的方程為y=kx+1,代入曲線E的方程,得(k2+2)x2+2kx-1=0,則x1+x2=-,x1x2=-
y1+y2=k(x1+x2)+2=
由點(diǎn)M在曲線E上,知(x1+x2)2+=1,即=1,解得k2=2.
這時(shí)|AB|=|x1-x2|=,原點(diǎn)到直線AB的距離d=,
所以四邊形AOBM的面積S=|AB|·d=
15.解(1)設(shè)M(x,y),則點(diǎn)P(x,2y),將P(x,2y)代入圓O:x2+y2=4,可得x2+4y2=4,∴曲線E的方程為+y2=1.
(2)顯然直線MN斜率存在,設(shè)直線MN的方程為y=-x+m,由消去y,得(k2+4)x2-8mkx+4k2·(m2-1)=0,
Δ=(-8mk)2-16k2(k2+4)(m2-1)>0,化為k2+4>k2m2.
設(shè)M(x1,y1),N(x2,y2),則x1+x2=,x1x2=
依題意得OM⊥ON,即=0,
∴x1x2+y1y2=0.
又y1y2=-x1+m-x2+m=x1x2-(x1+x2)+m2,
∴x1x2+y1y2=x1x2-(x1+x2)+m2=+m2=0,解得k2=
又MN的中點(diǎn)在直線y=kx+上,
=k,
=k,化為=0,把k2=代入化為10m2+m-6=0,
解得m=(舍去)或m=-,
∴k2==2,解得k=±,滿足k2+4>k2m2,即滿足Δ>0.
∴在曲線E上存在兩點(diǎn)M,N關(guān)于直線l:y=kx+對(duì)稱,且以MN為直徑的圓恰好經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn),直線l的方程為y=±x+

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