1、明確模擬練習的目的。不但檢測知識的全面性、方法的熟練性和運算的準確性，更是訓練書寫規(guī)范，表述準確的過程。
2、查漏補缺，以“錯”糾錯。每過一段時間，就把“錯題筆記”或標記錯題的試卷有側(cè)重的看一下。查漏補缺的過程也就是反思的過程，逐漸實現(xiàn)保強攻弱的目標。
3、嚴格有規(guī)律地進行限時訓練。特別是強化對解答選擇題、填空題的限時訓練，將平時考試當作高考，嚴格按時完成，并在速度體驗中提高正確率。
4、保證常規(guī)題型的堅持訓練。做到百無一失，對學有余力的學生，可適當拓展高考中難點的訓練。
5、注重題后反思總結。出現(xiàn)問題不可怕，可怕的是不知道問題的存在，在復習中出現(xiàn)的問題越多，說明你距離成功越近，及時處理問題，爭取“問題不過夜”。
6、重視每次模擬考試的臨考前狀態(tài)的調(diào)整及考后心理的調(diào)整。以平和的心態(tài)面對高考。
專題19 數(shù)列的綜合應用
【題型歸納目錄】
題型一：數(shù)列在數(shù)學文化與實際問題中的應用
題型二：數(shù)列中的新定義問題
題型三：數(shù)列與函數(shù)、不等式的綜合問題
題型四：數(shù)列在實際問題中的應用
題型五：數(shù)列不等式的證明
題型六：公共項問題
題型七：插項問題
題型八：蛛網(wǎng)圖問題
題型九：整數(shù)的存在性問題（不定方程）
題型十：數(shù)列與函數(shù)的交匯問題
題型十一：數(shù)列與導數(shù)的交匯問題
題型十二：數(shù)列與概率的交匯問題
題型十三：數(shù)列與幾何的交匯問題
【典型例題】
題型一：數(shù)列在數(shù)學文化與實際問題中的應用
例1．（2023·全國·高三專題練習）歷史上數(shù)列的發(fā)展，折射出許多有價值的數(shù)學思想方法，對時代的進步起了重要的作用，比如意大利數(shù)學家列昂納多斐波那契以兔子繁殖為例，引入“兔子數(shù)列”：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，……即，此數(shù)列在現(xiàn)代物理、準晶體結構及化學等領域有著廣泛的應用，若此數(shù)列被4整除后的余數(shù)構成一個新的數(shù)列，則的值為（ ）
A．2696B．2697C．2698D．2700
例2．（2022·新疆喀什·高三期末（文））70周年國慶閱兵活動向全世界展示了我軍威武文明之師的良好形象，展示了科技強軍的偉大成就以及維護世界和平的堅定決心，在閱兵活動的訓練工作中，不僅使用了北斗導航、電子沙盤、仿真系統(tǒng)、激光測距機、邁速表和高清攝像頭等新技術裝備，還通過管理中心對每天產(chǎn)生的大數(shù)據(jù)進行存儲、分析，有效保證了閱兵活動的順利進行，假如訓練過程中第一天產(chǎn)生的數(shù)據(jù)量為a，其后每天產(chǎn)生的數(shù)據(jù)量都是前一天的倍，那么訓練n天產(chǎn)生的總數(shù)據(jù)量為（ ）
A．B．C．D．
例3．（2023·全國·高三專題練習）大衍數(shù)列來源于《乾坤譜》中對易傳“大衍之數(shù)五十”的推論，主要用于解釋中國傳統(tǒng)文化中的太極衍生原理，數(shù)列中的每一項，都代表太極衍生過程中，曾經(jīng)經(jīng)歷過的兩儀數(shù)量總和，是中華傳統(tǒng)文化中隱藏的世界數(shù)學史上第一道數(shù)列題．其前10項依次是0、2、4、8、12、18、24、32、40、50，則此數(shù)列的第21項是（ ）
A．200B．210C．220D．242
例4．（2022·全國·模擬預測（理））《孫子算經(jīng)》是中國古代重要的數(shù)學著作，上面記載了一道有名的“孫子問題”，后來南宋數(shù)學家秦九韶在《算書九章·大衍求一術》中將此問題系統(tǒng)解決．“大衍求一術”屬現(xiàn)代數(shù)論中的一次同余式組問題，后傳入西方，被稱為“中國剩余定理”．現(xiàn)有一道同余式組問題：將正整數(shù)中，被3除余2且被5除余1的數(shù)，按由小到大的順序排成一列數(shù)，則281是第幾個數(shù)（ ）
A．18B．19C．20D．21
例5．（2022·山西太原·三模（理））斐波那契數(shù)列，又稱黃金分割數(shù)列，該數(shù)列在現(xiàn)代物理、準晶體結構、化學等領域有著非常廣泛的應用，在數(shù)學上，斐波那契數(shù)列是用如下遞推方法定義的： 已知 是該數(shù)列的第100項，則m=（ ）
A．98B．99
C．100D．101
【方法技巧與總結】
（1）解決數(shù)列與數(shù)學文化相交匯問題的關鍵
（2）解答數(shù)列應用題需過好“四關”
題型二：數(shù)列中的新定義問題
例6．（2022·陜西·長安一中模擬預測（理））意大利數(shù)學家列昂納多·斐波那契是第一個研究了印度和阿拉伯數(shù)學理論的歐洲人，斐波那契數(shù)列被譽為是最美的數(shù)列，斐波那契數(shù)列滿足，，.若將數(shù)列的每一項按照下圖方法放進格子里，每一小格子的邊長為1，記前n項所占的格子的面積之和為，每段螺旋線與其所在的正方形所圍成的扇形面積為，則其中不正確結論的是（ ）
A．B．
C．D．
例7．（2022·全國·高三專題練習）意大利數(shù)學家列昂那多·斐波那契以兔子繁殖為例，引入“兔子數(shù)列”（斐波那契數(shù)列）：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，…，在實際生活中，很多花朵（如梅花，飛燕草等）的瓣數(shù)恰是斐波那契數(shù)列中的數(shù)，斐波那契數(shù)列在物理及化學等領域也有著廣泛的應用．已知斐波那契數(shù)列滿足：，，，若，則k等于（ ）
A．12B．13C．89D．144
例8．（2022·全國·高三專題練習）高斯函數(shù)也稱為取整函數(shù)，其中表示不超過x的最大整數(shù)，例如．已知數(shù)列滿足，，設數(shù)列的前n項和為，則______．
例9．（2022·陜西西安·二模（理））“0，1數(shù)列”在通信技術中有著重要應用，它是指各項的值都等于0或1的數(shù)列．設A是一個有限“0，1數(shù)列”，表示把A中每個0都變?yōu)?，0，1，每個1都變?yōu)?，1，0，所得到的新的“0，1數(shù)列”，例如，則．設是一個有限“0，1數(shù)列”，定義，k=1，2，3，…．若有限“0，1數(shù)列”，則數(shù)列的所有項之和為______．
例10．（2022·甘肅張掖·高三階段練習（文））已知數(shù)列滿足．給出定義：使數(shù)列的前項和為正整數(shù)的叫做“好數(shù)”，則在內(nèi)的所有“好數(shù)”的和為________
例11．（2022·山東濰坊·模擬預測）對于項數(shù)為m(m≥3)的有窮數(shù)列，若存在項數(shù)為m+1的等比數(shù)列，使得，其中k=1，2，…，m，則稱數(shù)列為的“等比分割數(shù)列”．已知數(shù)列7，14，38，60，則該數(shù)列的一個“等比分割數(shù)列”可以是_______．(寫出滿足條件的一個各項為整數(shù)的數(shù)列即可)
例12．（2022·全國·高三專題練習）已知表示不小于x的最小整數(shù)，表示不大于x的最大整數(shù)，如，，數(shù)列滿足，且對，有，若為遞增數(shù)列，則整數(shù)b的最小值為______．
例13．（2022·江蘇南通·高三期末）數(shù)列：1，1，2，3，5，8，…，稱為斐波那契數(shù)列，該數(shù)列是由意大利數(shù)學家菜昂納多·斐波那契(Lenard Fibnacci)從觀察兔子繁殖而引入，故又稱為“兔子數(shù)列”．數(shù)學上，該數(shù)列可表述為，．對此數(shù)列有很多研究成果，如：該數(shù)列項的個位數(shù)是以60為周期變化的，通項公式等．借助數(shù)學家對人類的此項貢獻，我們不難得到，從而易得＋＋＋…＋值的個位數(shù)為__________．
例14．（2022·全國·高三專題練習）在數(shù)列中，，若（為常數(shù)），則稱為“等差比數(shù)列”，下列是對“等差比數(shù)列”的判斷：
①不可能為0；
②等差數(shù)列一定是“等差比數(shù)列”；
③等比數(shù)列一定是“等差比數(shù)列”；
④“等差比數(shù)列”中可以有無數(shù)項為0.
其中所有正確的序號是________．
例15．（2022·全國·高三階段練習（文））任取一個正整數(shù)，若是奇數(shù)，就將該數(shù)乘再加上；若是偶數(shù)，就將該數(shù)除以.反復進行上述兩種運算，經(jīng)過有限步驟后，必進入循環(huán)圈.這就是數(shù)學史上著名的“冰雹猜想”(又稱“角谷猜想”等).如取正整數(shù)，根據(jù)上述運算法則得出，至少需經(jīng)過個步驟變成(簡稱為步“雹程”).一般地，一個正整數(shù)首次變成需經(jīng)過個步驟(簡稱為步“雹程”).現(xiàn)給出冰雹猜想的遞推，關系如下：已知數(shù)列滿足為正整數(shù))，，若，即步“雹程”對應的的所有可能取值的中位數(shù)為__________.
【方法技巧與總結】
（1）新定義數(shù)列問題的特點
通過給出一個新的數(shù)列的概念，或約定一種新運算，或給出幾個新模型來創(chuàng)設全新的問題情景，要求考生在閱讀理解的基礎上，依據(jù)題目提供的信息，聯(lián)系所學的知識和方法，實現(xiàn)信息的遷移，達到靈活解題的目的．
（2）新定義問題的解題思路
遇到新定義問題，應耐心讀題，分析新定義的特點，弄清新定義的性質(zhì)，按新定義的要求，“照章辦事”，逐條分析、運算、驗證，使問題得以解決．
題型三：數(shù)列與函數(shù)、不等式的綜合問題
例16．（2022·山西呂梁·二模（文））已知是各項均為正數(shù)的等比數(shù)列，，且，則k的最小值是___________.
例17．（2022·山東煙臺·三模）已知數(shù)列的前項和為，，當時，.
(1)求；
(2)設數(shù)列的前項和為，若恒成立，求的取值范圍.
例18．（2022·全國·高三專題練習）設等差數(shù)列的前n項和為，，.若對任意的正整數(shù)n，都有，則整數(shù)k＝（ ）
A．34B．35C．18D．19
例19．（2022·四川省瀘縣第二中學模擬預測（文））已知等差數(shù)列的前n項和為，，.若對任意且，總有恒成立，則實數(shù)的最小值為（ ）
A．1B．C．D．
例20．（2022·河南·模擬預測（理））已知數(shù)列中，，，則滿足的n的最大值為（ ）
A．3B．5C．7D．9
例21．（2022·四川·樹德中學高三開學考試（理））已知數(shù)列的首項，且滿足，則存在正整數(shù)n，使得成立的實數(shù)組成的集合為（ ）
A．B．C．D．
例22．（2022·寧夏·銀川一中三模（文））已知數(shù)列滿足，（且），若恒成立，則M的最小值是（ ）
A．2B．C．D．3
例23．（2022·浙江·高三專題練習）數(shù)列的前n項和為，且，若對任意，恒成立，則實數(shù)的取值范圍為（ ）
A．B．
C．D．
例24．（2022·全國·高三專題練習）已知數(shù)列的通項公式為，前項和為，若實數(shù)滿足對任意正整數(shù)恒成立，則實數(shù)的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
例25．（2022·全國·高三專題練習）已知數(shù)列中，，，若對于任意的，不等式恒成立，則的最小值是（ ）
A．2B．3C．4D．5
【方法技巧與總結】
（1）數(shù)列與函數(shù)綜合問題的主要類型及求解策略
①已知函數(shù)條件，解決數(shù)列問題，此類問題一般利用函數(shù)的性質(zhì)、圖象研究數(shù)列問題．
②已知數(shù)列條件，解決函數(shù)問題，解決此類問題一般要利用數(shù)列的通項公式、前n項和公式、求和方法等對式子化簡變形．
注意數(shù)列與函數(shù)的不同，數(shù)列只能看作是自變量為正整數(shù)的一類函數(shù)，在解決問題時要注意這一特殊性．
（2）數(shù)列與不等式綜合問題的求解策略
解決數(shù)列與不等式的綜合問題時，若是證明題，則要靈活選擇不等式的證明方法，如比較法、綜合法、分析法、放縮法等；若是含參數(shù)的不等式恒成立問題，則可分離參數(shù)，轉(zhuǎn)化為研究最值問題來解決．
利用等價轉(zhuǎn)化思想將其轉(zhuǎn)化為最值問題.
恒成立；
恒成立.
題型四：數(shù)列在實際問題中的應用
例26．（2022·上海長寧·二模）甲、乙兩人同時分別入職兩家公司，兩家公司的基礎工資標準分別為：公司第一年月基礎工資數(shù)為3700元，以后每年月基礎工資比上一年月基礎工資增加300元；公司第一年月基礎工資數(shù)為4000元，以后每年月基礎工資都是上一年的月基礎工資的1.05倍．
(1)分別求甲、乙兩人工作滿10年的基礎工資收入總量（精確到1元）
(2)設甲、乙兩人入職第年的月基礎工資分別為、元，記，討論數(shù)列的單調(diào)性，指出哪年起到哪年止相同年份甲的月基礎工資高于乙的月基礎工資，并說明理由．
例27．（2022·全國·高三專題練習）保障性租賃住房，是政府為緩解新市民、青年人住房困難，作出的重要決策部署．2021年7月，國務院辦公廳發(fā)布《關于加快發(fā)展保障性租賃住房的意見》后，國內(nèi)多個城市陸續(xù)發(fā)布了保障性租賃住房相關政策或征求意見稿．為了響應國家號召，某地區(qū)計劃2021年新建住房40萬平方米，其中有25萬平方米是保障性租賃住房．預計在今后的若干年內(nèi)，該市每年新建住房面積平均比上一年增長，另外，每年新建住房中，保障性租賃住房的面積均比上一年增加5萬平方米．
(1)到哪一年底，該市歷年所建保障性租賃住房的累計面積(以2021年為累計的第一年)將首次不少于475萬平方米?
(2)到哪一年底，當年建造的保障性租賃住房的面積占該年建造住房面積的比例首次大于?
例28．（2022·內(nèi)蒙古·海拉爾第二中學高三期中（理））某高校2021屆畢業(yè)生春季大型招聘會上，A，B兩家公司的工資標準分別是：A公司許諾第一年的月工資為3000元，以后每年月工資比上一年月工資增加300元；B公司許諾第一年月工資為3500元，以后每年月工資在上一年的月工資基礎上增加5%.若某人被A，B兩家公司同時錄取，試問：
（1）若此人分別在A公司或B公司連續(xù)工作年，則他在第n年的月工資收入分別是多少？
（2）此人打算連續(xù)在一家公司工作10年，僅從工資總收入作為應聘的標準，此人應該選擇哪家公司？
參考數(shù)據(jù)：.
例29．（2022·全國·高三專題練習）商學院為推進后勤社會化改革，與桃園新區(qū)商定：由該區(qū)向建設銀行貸款500萬元在桃園新區(qū)為學院建一棟可容納一千人的學生公寓，工程于2002年初動工，年底竣工并交付使用，公寓管理處采用收費償還建行貸款形式（年利率5%，按復利計算），公寓所收費用除去物業(yè)管理費和水電費18萬元.其余部分全部在年底還建行貸款.
（1）若公寓收費標準定為每生每年800元，問到哪一年可償還建行全部貸款；
（2）若公寓管理處要在2010年底把貸款全部還清，則每生每年的最低收費標準是多少元（精確到元）？（參考數(shù)據(jù)：lg1.7343=0.2391，lg1.05=0.0212，1.058=1.4774）
例30．（2022·全國·高三專題練習）在如圖所示的數(shù)陣中，從任意一個數(shù)開始依次從左下方選出來的數(shù)可組成等差數(shù)列，如：，，，，…；依次選出來的數(shù)可組成等比數(shù)列，如：，，，，….
記第行第個數(shù)為.
（Ⅰ）若，寫出，，的表達式，并歸納出的表達式；
（Ⅱ）求第行所有數(shù)的和.
例31．（2022·全國·模擬預測（文））某企業(yè)年初在一個項目上投資千萬元，據(jù)市場調(diào)查，每年獲得的利潤為投資的，為了企業(yè)長遠發(fā)展，每年底需要從利潤中取出萬元進行科研、技術改造，其余繼續(xù)投入該項目．設經(jīng)過年后，該項目的資金為萬元．
（1）求證：數(shù)列為等比數(shù)列；
（2）若該項目的資金達到翻一番，至少經(jīng)過幾年？（，）
例32．（2022·遼寧實驗中學模擬預測）冠狀病毒是一個大型病毒家族，已知可引起感冒以及中東呼吸綜合征(MERS)和嚴重急性呼吸綜合征(SARS)等較嚴重疾病.新型冠狀病毒是以前從未在人體中發(fā)現(xiàn)的冠狀病毒新毒株，人感染了冠狀病毒后常見體征有呼吸道癥狀?發(fā)熱?咳嗽?氣促和呼吸困難等.日前正在世界范圍內(nèi)廣泛傳播，并對人類生命構成了巨大威脅.針對病毒對人類的危害，科研人員正在不斷研發(fā)冠狀病毒的抑制劑.某種病毒抑制劑的有效率為60%，現(xiàn)設計針對此抑制劑的療效試驗：每次對病毒使用此抑制劑，如病毒被抑制，得分為2分，如抑制劑無效，得分1分，持續(xù)進行試驗.設得分為時的概率為.
（1）進行兩次試驗后，總得分為隨機變量，求的分布列和數(shù)學期望；
（2）求證：.
例33．（2022·全國·高三專題練習（理））足球運動被譽為“世界第一運動”．深受青少年的喜愛．
（Ⅰ）為推廣足球運動，某學校成立了足球社團，由于報名人數(shù)較多，需對報名者進行“點球測試”來決定是否錄取，規(guī)則如下：踢點球一次，若踢進，則被錄?。蝗魶]踢進，則繼續(xù)踢，直到踢進為止，但是每人最多踢點球3次．
下表是某同學6次的訓練數(shù)據(jù)，以這150個點球中的進球頻率代表其單次點球踢進的概率．為加入足球社團，該同學進行了“點球測試”，每次點球是否踢進相互獨立，他在測試中所踢的點球次數(shù)記為，求的分布列及數(shù)學期望；
（Ⅱ）社團中的甲、乙、丙三名成員將進行傳球訓練，從甲開始隨機地將球傳給其他兩人中的任意一人，接球者再隨機地將球傳給其他兩人中的任意一人，如此不停地傳下去，且假定每次傳球都能被接到．記開始傳球的人為第1次觸球者，第次觸球者是甲的概率記為，即．
（i）求（直接寫出結果即可）；
（ii）證明：數(shù)列為等比數(shù)列，并判斷第19次還是第20次觸球者是甲的概率大．
【方法技巧與總結】
現(xiàn)實生活中涉及銀行利率、企業(yè)股金、產(chǎn)品利潤、人口增長、產(chǎn)品產(chǎn)量等問題，常常考慮用數(shù)列的知識去解決．
（1）數(shù)列實際應用中的常見模型
①等差模型：如果增加(或減少)的量是一個固定的數(shù)，則該模型是等差模型，這個固定的數(shù)就是公差；
②等比模型：如果后一個量與前一個量的比是一個固定的數(shù)，則該模型是等比模型，這個固定的數(shù)就是公比；
③遞推數(shù)列模型：如果題目中給出的前后兩項之間的關系不固定，隨項的變化而變化，則應考慮是第項與第項的遞推關系還是前項和與前項和之間的遞推關系．
在實際問題中建立數(shù)列模型時，一般有兩種途徑：一是從特例入手，歸納猜想，再推廣到一般結論；二是從一般入手，找到遞推關系，再進行求解．一般地，涉及遞增率或遞減率要用等比數(shù)列，涉及依次增加或減少要用等差數(shù)列，有的問題需通過轉(zhuǎn)化得到等差或等比數(shù)列，在解決問題時要往這些方面聯(lián)系．
（2）解決數(shù)列實際應用題的3個關鍵點
①根據(jù)題意，正確確定數(shù)列模型；
②利用數(shù)列知識準確求解模型；
③問題作答，不要忽視問題的實際意義．題型五：數(shù)列不等式的證明
例34．（2022·浙江·模擬預測）已知正項數(shù)列滿足．
(1)求證：；
(2)求證：．
例35．（2022秋?邛崍市月考）已知函數(shù)，其中為實常數(shù)．
（1）若函數(shù)定義域內(nèi)恒成立，求的取值范圍；
（2）證明：當時，；
（3）求證：．
例36．（2022?廣州二模）已知數(shù)列和滿足，且對任意都有，．
（1）求數(shù)列和的通項公式；
（2）證明：．
例37．（2022秋?泰山區(qū)校級月考）設函數(shù)，其中．
（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；
（2）當且時證明不等式：．
例38．（2021·山東·嘉祥縣第一中學高三期中）已知函數(shù)，，．
（1）求的最大值；
（2）若對，總存在，使得成立，求實數(shù)的取值范圍；
（3）證明不等式（其中是自然對數(shù)的底數(shù)）．
例39．（2021·四川·射洪中學高三月考（文））已知函數(shù)，，.
（1）求的最大值；
（2）若對，總存在使得成立，求的取值范圍；
（3）證明不等式：.
例40．（2021·全國·高三專題練習）已知正項數(shù)列的前項和為，且.
（1）計算、、，猜想數(shù)列的通項公式；
（2）用數(shù)學歸納法證明數(shù)列的通項公式；
（3）證明不等式對任意恒成立.
例41．（2021·全國·高二單元測試）設數(shù)列的前項和為，已知，且．
（1）證明為等比數(shù)列，并求數(shù)列的通項公式；
（2）設，且，證明；
（3）在（2）的條件下，若對于任意的不等式恒成立，求實數(shù)的取值范圍．
例42．（2021·全國·高三月考（理））設函數(shù)，其中．
（1）當時，求函數(shù)的圖象在點處的切線方程；
（2）討論函數(shù)的單調(diào)性；
（3）當，且時，證明不等式．
【方法技巧與總結】
（1）構造輔助函數(shù)（數(shù)列）證明不等式
（2）放縮法證明不等式
在證明不等式時，有時把不等式的一邊適當放大或縮小，利用不等式的傳遞性來證明，我們稱這種方法為放縮法.
放縮時常采用的方法有：舍去一些正項或負項、在和或積中放大或縮小某些項、擴大（或縮?。┓质降姆肿樱ɑ蚍帜福?放縮法證不等式的理論依據(jù)是：；.
放縮法是一種重要的證題技巧，要想用好它，必須有目標，目標可從要證的結論中去查找.
方法1：對進行放縮，然后求和.
當既不關于單調(diào)，也不可直接求和，右邊又是常數(shù)時，就應考慮對進行放縮，使目標變成可求和的情形，通常變?yōu)榭闪秧椣嘞驂嚎s等比的數(shù)列.證明時要注意對照求證的結論，調(diào)整與控制放縮的度.
方法2：添舍放縮
方法3：對于一邊是和或者積的數(shù)列不等式，可以把另外一邊的含n的式子看作是一個數(shù)列的前n項的和或者積，求出該數(shù)列通項后再左、右兩邊一對一地比較大小，這種思路非常有效，還可以分析出放縮法證明的操作方法，易于掌握.需要指出的是，如果另外一邊不是含有n的式子，而是常數(shù)，則需要尋找目標不等式的加強不等式，再予以證明.
方法4：單調(diào)放縮
題型六：公共項問題
例43．（2022·全國·高二課時練習）已知兩個等差數(shù)列5，8，11，…，302與3，7，11，…，399，則它們所有公共項的個數(shù)為（ ）
A．23B．24C．25D．26
例44．（多選題）（2022·全國·高三專題練習）已知，將數(shù)列與數(shù)列的公共項從小到大排列得到數(shù)列，則（ ）
A．B．
C．的前項和D．的前項和為
例45．（2022·江蘇·蘇州市蘇州高新區(qū)第一中學高二開學考試）已知兩個等差數(shù)列：5，8，11，…與：3，7，11，…，它們的公共項組成數(shù)列，則數(shù)列的通項公式___________；若數(shù)列和的項數(shù)均為100，則的項數(shù)是___________.
例46．（2022·北京昌平·高二期末）數(shù)列，，，，；，，，，，定義數(shù)列，，，，，，，.
①設，，，則數(shù)列的所有項的和等于___________；
②設，，，則數(shù)列與有___________個公共項.
例47．（2022·江蘇·高二單元測試）將數(shù)列與的公共項從小到大排列得到數(shù)列{an}，則{an}的前10項和為________
例48．（2022·江西·南昌市八一中學高一月考）將數(shù)列與的公共項從小到大排列得到數(shù)列，則的前n項和為_____________．
例49．（2022·河南商丘·高三月考（理））將數(shù)列與的公共項從小到大排列得到數(shù)列，則其通項___________.
題型七：插項問題
例50．（2022·全國·高三專題練習（文））若在數(shù)列的每相鄰兩項之間插入此兩項的和，形成新的數(shù)列，再把所得數(shù)列按照同樣的方法不斷構造出新的數(shù)列.現(xiàn)將數(shù)列1，2進行構造，第1次得到數(shù)列1，3，2；第2次得到數(shù)列1，4，3，5，2；依次構造，第n（）次得到數(shù)列1，，，，…，，2；記，若成立，則n的最小值為___________.
例51．（2022·全國·高二課時練習）在和3之間插入n個數(shù)，使這個數(shù)組成和為的等差數(shù)列，則（ ）
A．4B．5C．6D．7
例52．（2022·全國·高二專題練習）已知數(shù)列的通項公式為，在和之間插入1個數(shù)，使成等差數(shù)列；在和之間插入2個數(shù)，使成等差數(shù)列；…在和之間插入n個數(shù)，使成等差數(shù)列．這樣得到一個新數(shù)列：，記數(shù)列的前項和為，有下列結論：①②③④其中，所有正確結論的個數(shù)是（ ）
A．1B．2C．3D．4
例53．（2022·全國·高二課時練習）已知數(shù)列滿足，在，之間插入n個1，構成數(shù)列：，1，，1，1，，1，1，1，，…，則數(shù)列的前100項的和為（ ）
A．211B．232C．247D．256
例54．（2022·全國·高二專題練習）在中插入個數(shù)，使它們和組成等差數(shù)列，則（ ）A．B．
C．D．
例55．（2022·全國·高二課時練習）等比數(shù)列的通項公式為，現(xiàn)把每相鄰兩項之間都插入兩個數(shù)，構成一個新的數(shù)列，那么162是新數(shù)列的
A．第5項B．第12項C．第13項D．第6項
例56．（多選題）（2022·吉林松原·高三月考）在數(shù)學課堂上，為提高學生探究分析問題的能力，教師引導學生構造新數(shù)列：現(xiàn)有一個每項都為1的常數(shù)列，在此數(shù)列的第項與第項之間插入首項為2，公比為2，的等比數(shù)列的前項，從而形成新的數(shù)列，數(shù)列的前項和為，則（ ）
A．B．
C．D．
例57．（多選題）（2022·湖南·永州市第一中學高三月考）在數(shù)學課堂上，教師引導學生構造新數(shù)列：在數(shù)列的每相鄰兩項之間插入此兩項的和，形成新的數(shù)列，再把所得數(shù)列按照同樣的方法不斷構造出新的數(shù)列.將數(shù)列1,2進行構造，第1次得到數(shù)列1,3,2；第2次得到數(shù)列1,4,3,5,2；…；第次得到數(shù)列1，，2；…記，數(shù)列的前項為，則（ ）
A．B．C．D．
題型八：蛛網(wǎng)圖問題
例58．（2022秋?虹口區(qū)校級期中）已知數(shù)列滿足：，，前項和為，則下列選項錯誤的是 （參考數(shù)據(jù)：，
A．是單調(diào)遞增數(shù)列，是單調(diào)遞減數(shù)列
B．
C．
D．
例59．（2022?浙江模擬）數(shù)列滿足，，，表示數(shù)列前項和，則下列選項中錯誤的是 A．若，則
B．若，則遞減
C．若，則
D．若，則
例60．（2022?浙江模擬）已知數(shù)列滿足：，，前項和為（參考數(shù)據(jù)：，，則下列選項中錯誤的是
A．是單調(diào)遞增數(shù)列，是單調(diào)遞減數(shù)列
B．
C．
D．
例61．（2022?下城區(qū)校級模擬）已知數(shù)列滿足：，且，下列說法正確的是
A．若，則B．若，則
C．D．
例62．（多選題）（2022秋?9月份月考）已知數(shù)列滿足：，，前項和為（參考數(shù)據(jù)：，，則下列選項正確的是
A．是單調(diào)遞增數(shù)列，是單調(diào)遞減數(shù)列
B．
C．
D．
題型九：整數(shù)的存在性問題（不定方程）
例63．（2022·全國·高三專題練習）已知數(shù)列的前n項和為，．
(1)求數(shù)列的通項公式；(2)判斷數(shù)列中是否存在成等差數(shù)列的三項，并證明你的結論．
例64．（2022·福建省福州格致中學模擬預測）在①，②這兩個條件中任選一個補充在下面問題中，并解答下列題目.
設首項為2的數(shù)列的前項和為，前項積為，且___________.
(1)求數(shù)列的通項公式；
(2)在數(shù)列中是否存在連續(xù)三項構成等比數(shù)列，若存在，請舉例說明，若不存在，請說明理由.
注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分.
例65．（2022·天津·耀華中學一模）設數(shù)列是公差不為零的等差數(shù)列，滿足，.數(shù)列的前項和為，且滿足.
(1)求數(shù)列和的通項公式；
(2)在和之間插入1個數(shù)，使，，成等差數(shù)列；在和之間插入2個數(shù)，，使，，，成等差數(shù)列；……；在和之間插入個數(shù)，，…，，使，，，…，，成等差數(shù)列.
（i）求；
（ii）是否存在正整數(shù)，，使成立？若存在，求出所有的正整數(shù)對；若不存在，請說明理由.
例66．（2022·江蘇南通·模擬預測）已知等差數(shù)列{an}滿足a5=16，a7=22，正項等比數(shù)列{bn}的前n項和為Sn，滿足S6=5S4－4S2，且b2=a1．
(1)求{an}和{bn}的通項公式；
(2)是否存在n使得，若存在，求出所有n的值；若不存在，請說明理由．
例67．（2022·江蘇·模擬預測）已知正項數(shù)列的前n項和為，現(xiàn)在有以下三個條件：
①數(shù)列的前n項和為；
②；③，當時，．
從上述三個條件中任選一個，完成以下問題：
(1)求數(shù)列的通項公式；
(2)設數(shù)列滿足，試問中是否存在連續(xù)三項，使得構成等差數(shù)列？請說明理由．
例68．（2022·遼寧遼陽·二模）①為等差數(shù)列，且；②為等比數(shù)列，且.從①②兩個條件中任選一個，補充在下面的問題中，并解答．
在數(shù)列中，，________.
(1)求的通項公式；
(2)已知的前n項和為，試問是否存在正整數(shù)p，q，r，使得？若存在，求p，q，r的值；若不存在，說明理由.
例69．（2022·全國·高三專題練習（理））等差數(shù)列中，分別是如表所示第一、二、三行中的某一個數(shù)，且其中的任意兩個數(shù)不在表格的同一列.
(1)請選擇一個可能的組合，并求數(shù)列的通項公式.
(2)記（1）中您選擇的的前n項和為Sn，判斷是否存在正整數(shù)k，使得成等比數(shù)列?若存在，請求出k的值;若不存在，請說明理由.
例70．（2022·天津·耀華中學模擬預測）已知數(shù)列{an}的奇數(shù)項是首項為1的等差數(shù)列，偶數(shù)項是首項為2的等比數(shù)列．數(shù)列{an}前n項和為Sn，且滿足S3=a4，a3+a5=2+a4
(1)求數(shù)列{an}的通項公式；
(2)求數(shù)列{an}前2k項和S2k；
(3)在數(shù)列{an}中，是否存在連續(xù)的三項am，am+1，am+2第一列
第二列
第三列
第一行
5
8
2
第二行
4
3
12
第三行
16
6
9
，按原來的順序成等差數(shù)列？若存在，求出所有滿足條件的正整數(shù)m的值；若不存在，說明理由．
例71．（2022·浙江·舟山市田家炳中學高三開學考試）已知數(shù)列是公差大于0的等差數(shù)列，其前項和為，且成等比數(shù)列．
(1)求數(shù)列的通項公式；
(2)設，其前項和為，則是否存在正整數(shù)，使得成等差數(shù)列？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由．
例72．（2022·河南·南陽中學模擬預測（文））已知等差數(shù)列的前項和為，公差，，且是與的等比中項.
(1)求的通項公式；
(2)設，是否存在一個非零常數(shù)，使得數(shù)列也為等差數(shù)列？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由.
題型十：數(shù)列與函數(shù)的交匯問題
例73．（2022?龍泉驛區(qū)校級一模）已知定義在上的函數(shù)是奇函數(shù)且滿足，，數(shù)列是等差數(shù)列，若，，則
A．B．C．2D．3
例74．（2022?日照模擬）已知數(shù)列的通項公式，則
A．150B．162C．180D．210
例75．（2022?新鄭市校級模擬）已知等差數(shù)列的前項和為，若，
，下列為真命題的序號為
①；②；③；④．
A．①②B．②③C．②④D．③④
例76．（2022秋?仁壽縣月考）設等差數(shù)列的前項和為，已知，，則下列結論中正確的是
A．，B．，
C．，D．，
例77．（2022?瓊海校級模擬）已知函數(shù)．項數(shù)為27的等差數(shù)列滿足，且公差，若，當時，則的值為
A．14B．13C．12D．11
例78．（2022秋?江蘇期中）已知定義域為的函數(shù)滿足，當，時，，設在，上的最大值為則數(shù)列的前項和的值為
A．B．C．D．
題型十一：數(shù)列與導數(shù)的交匯問題
例79．（2022?全國模擬）函數(shù)，曲線在點，（1）處的切線在軸上的截距為．
（1）求；
（2）討論的單調(diào)性；
（3）設，，證明：．
例80．（2022?棗莊期末）已知函數(shù)，，曲線在點，（1）處的切線在軸上的截距為．
（1）求；
（2）討論函數(shù)和的單調(diào)性；
（3）設，，求證：．
例81．（2022?武侯區(qū)校級模擬）已知，，其中與關于直線對稱）
（1）若函數(shù)在區(qū)間上遞增，求的取值范圍；
（2）證明：；
（3）設，其中恒成立，求滿足條件的最小整數(shù)的值．
例82．（2022?揭陽一模）已知函數(shù)，，其中，．
（1）若函數(shù)有極值1，求的值；
（2）若函數(shù)在區(qū)間上為減函數(shù)，求的取值范圍；
（3）證明：．
題型十二：數(shù)列與概率的交匯問題
例83．（2022·江蘇·鎮(zhèn)江江河藝術高級中學有限公司高二期中）隨機數(shù)表是人們根據(jù)需要編制出來的，由0，1，2，3，4，5，6，7，8，9這10個數(shù)字組成，表中每一個數(shù)都是用隨機方法產(chǎn)生的，隨機數(shù)的產(chǎn)生方法主要有抽簽法、拋擲骰子法和計算機生成法．現(xiàn)有甲、乙、丙三位同學合作在一個正二十面（如圖）的各面寫上0~9這10個數(shù)字（相對的兩個面上的數(shù)字相同），這樣就得到一個產(chǎn)生0~9的隨機數(shù)的骰子．依次投擲這個骰子，并逐個記下朝上一面的數(shù)字，就能按順序排成一個隨機數(shù)表，若甲、乙、丙依次投擲一次，按順序記下三個數(shù)，三個數(shù)恰好構成等差數(shù)列的概率為（ ）參考答案
A．B．C．D．
例84．（2022·全國·高二專題練習）在流行病學中，基本傳染數(shù)是指在沒有外力介入，同時所有人都沒有免疫力的情況下，一個感染者平均傳染的人數(shù)．一般由疾病的感染周期?感染者與其他人的接觸頻率?每次接觸過程中傳染的概率決定．假設某種傳染病的基本傳染數(shù)，平均感染周期為7天，那么感染人數(shù)由1個初始感染者增加到1000人大約需要（ ）輪傳染？（初始感染者傳染個人為第一輪傳染，這個人每人再傳染個人為第二輪傳染……）
A．4B．5C．6D．7
例85．（2022·江蘇海安·模擬預測）如圖，一顆棋子從三棱柱的一個頂點沿棱移到相鄰的另一個頂點的概率均為，剛開始時，棋子在上底面點處，若移了次后，棋子落在上底面頂點的概率記為．則（ ）
A．B．
C．D．
例86．（2022·全國·高三專題練習（文））滿足，的數(shù)列稱為斐波那契數(shù)列，又稱黃金分割數(shù)列．如圖，依次以斐波那契數(shù)列各項為邊長作正方形，在每個正方形中取半徑為該正方形邊長、圓心角為90°的圓弧，依次連接圓弧端點所成的曲線被稱為斐波那契螺旋線（也稱“黃金螺旋”）．下圖圓心角為90°的扇形OAB中的曲線是斐波那契螺旋線的一段，若在該扇形內(nèi)任取一點，則該點在圖中陰影部分的概率為（ ）
A．B．
C．D．
例87．（2022·河南·溫縣第一高級中學高三月考（文））意大利數(shù)學家斐波那契在他的《算盤全書》中提出了一個關于兔子繁殖的問題：如果一對兔子每月能生1對小兔子（一雄一雌），而每1對小兔子在它出生后的第三個月里，又能生1對小兔子，假定在不發(fā)生死亡的情況下，從第1個月1對初生的小兔子開始，以后每個月的兔子總對數(shù)是：1，1，2，3，5，8，13，21，…，這就是著名的斐波那契數(shù)列，它的遞推公式是，其中，．若從該數(shù)列的前2021項中隨機地抽取一個數(shù)，則這個數(shù)是偶數(shù)的概率為（ ）
A．B．
C．D．
例88．（2022·全國·高二課時練習）已知隨機變量ξ只能取三個值x1，x2，x3，其概率依次成等差數(shù)列，則該等差數(shù)列公差的取值范圍是（ ）
A．B．C．[－3，3]D．[0，1]
例89．（2022·河北·衡水第一中學高三月考（理））甲、乙兩人拿兩顆如圖所示的正四面體骰子做拋擲游戲，規(guī)則如下：由一人同時擲兩個骰子，觀察底面點數(shù)，若兩個點數(shù)之和為5，則由原擲骰子的人繼續(xù)擲；若擲出的點數(shù)之和不是5，就由對方接著擲．第一次由甲開始擲，設第n次由甲擲的概率為，則的值為（ ）
A．B．C．D．
例90．（2022·江蘇·海安高級中學高二期中）根據(jù)中國古代重要的數(shù)學著作《孫子算經(jīng)》記載，我國古代諸侯的等級自低到高分為：男、子、伯、侯、公五個等級，現(xiàn)有每個級別的諸侯各一人，君王要把50處領地全部分給5位諸侯，要求每位諸侯都分到領地且級別每高一級就多分處（為正整數(shù)），按這種分法，下列結論正確的是（ ）
A．為“男”的諸侯分到的領地不大于6處的概率是
B．為“子”的諸侯分到的領地不小于6處的概率是
C．為“伯”的諸侯分到的領地恰好為10處的概率是1
D．為“公”的諸侯恰好分到16處領地的概率是
題型十三：數(shù)列與幾何的交匯問題
例91．（2022·全國·高三專題練習）已知等差數(shù)列的首項為，公差為，其前項和為，若直線與圓的兩個交點關于直線對稱，則數(shù)列的前100項和等于（ ）
A．B．C．D．1
例92．（2022·全國·高三專題練習）已知各項都不相等的數(shù)列，2，，，圓，圓，若圓平分圓的周長，則的所有項的和為（ ）
A．2014B．2015C．4028D．4030
例93．（2022·浙江·高考真題）已知，函數(shù).若成等比數(shù)列，則平面上點的軌跡是（ ）
A．直線和圓B．直線和橢圓C．直線和雙曲線D．直線和拋物線
例94．（2022·江西信豐·高三月考（理））已知ABCD-A1B1C1D1為單位正方體，黑白兩個螞蟻從點A出發(fā)沿棱向前爬行，每走完一條棱稱為“走完一段”，白螞蟻爬行的路線是AA1→A1D1→……，黑螞蟻爬行的路線是AB→BB1→……，它們都遵循如下規(guī)則：所爬行的第與第段所在直線必須是異面直線(其中是自然數(shù))，設白，黑螞蟻都走完2011段后各停止在正方體的某個頂點處，這時黑，白兩螞蟻的距離是
A．1B．C．D．0
例95．（多選題）（2022·吉林·長春市第二實驗中學高二期中）已知雙曲線且，設直線與雙曲線在第一象限內(nèi)的交點為，點在的兩條漸近線上的射影分別為，記的面積為，則下列說法正確的是（ ）
A．雙曲線的漸近線方程為B．
C．數(shù)列為等差數(shù)列D．
例96．（2022·湖北黃石·高三開學考試）在平面直角坐標系中，O是坐標原點，是圓上兩個不同的動點，是的中點，且滿足．設到直線的距離之和的最大值為，則下列說法中正確的是（ ）
A．向量與向量所成角為
B．
C．
D．若，則數(shù)列的前n項和為

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