1、明確模擬練習(xí)的目的。不但檢測知識的全面性、方法的熟練性和運算的準(zhǔn)確性，更是訓(xùn)練書寫規(guī)范，表述準(zhǔn)確的過程。
2、查漏補缺，以“錯”糾錯。每過一段時間，就把“錯題筆記”或標(biāo)記錯題的試卷有側(cè)重的看一下。查漏補缺的過程也就是反思的過程，逐漸實現(xiàn)保強攻弱的目標(biāo)。
3、嚴(yán)格有規(guī)律地進行限時訓(xùn)練。特別是強化對解答選擇題、填空題的限時訓(xùn)練，將平時考試當(dāng)作高考，嚴(yán)格按時完成，并在速度體驗中提高正確率。
4、保證常規(guī)題型的堅持訓(xùn)練。做到百無一失，對學(xué)有余力的學(xué)生，可適當(dāng)拓展高考中難點的訓(xùn)練。
5、注重題后反思總結(jié)。出現(xiàn)問題不可怕，可怕的是不知道問題的存在，在復(fù)習(xí)中出現(xiàn)的問題越多，說明你距離成功越近，及時處理問題，爭取“問題不過夜”。
6、重視每次模擬考試的臨考前狀態(tài)的調(diào)整及考后心理的調(diào)整。以平和的心態(tài)面對高考。
專題18 最全歸納平面向量中的范圍與最值問題
【考點預(yù)測】
一．平面向量范圍與最值問題常用方法：
（1）定義法
第一步:利用向量的概念及其基本運算將所求問題轉(zhuǎn)化為相應(yīng)的等式關(guān)系
第二步：運用基木不等式求其最值問題
第三步:得出結(jié)論
（2）坐標(biāo)法
第一步 : 根據(jù)題意建立適當(dāng)?shù)闹苯亲鴺?biāo)系并寫出相應(yīng)點的坐標(biāo)
第二步: 將平面向量的運算坐標(biāo)化
第三步:運用適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)方法如二次函數(shù)的思想、基本不等式的思想、三角函數(shù)思想等求解
（3）基底法
第一步：利用其底轉(zhuǎn)化向量
第二步：根據(jù)向量運算律化簡目標(biāo)
第三步：運用適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)方法如二次函數(shù)的思想、基本不等式的思想、三角函數(shù)思想等得出結(jié)論
（4）幾何意義法
第一步: 先確定向量所表達的點的軌跡
第二步: 根據(jù)直線與曲線位置關(guān)系列式
第三步：解得結(jié)果
二．極化恒等式
（1）平行四邊形平行四邊形對角線的平方和等于四邊的平方和：
證明：不妨設(shè) ，則，
①
②
①②兩式相加得：
（2）極化恒等式：
上面兩式相減，得：————極化恒等式
①平行四邊形模式：
幾何意義：向量的數(shù)量積可以表示為以這組向量為鄰邊的平行四邊形的“和對角線”與“差對角線”平方差的.
②三角形模式：（M為BD的中點）
A
B
C
M
三.矩形大法
矩形所在平面內(nèi)任一點到其對角線端點距離的平方和相等已知點O是矩形ABCD與所在平面內(nèi)任一點，證明：。
【證明】（坐標(biāo)法）設(shè)，以AB所在直線為軸建立平面直角坐標(biāo)系xy，
則，設(shè)，則
四.等和線
（1）平面向量共線定理
已知，若，則三點共線；反之亦然。
（2）等和線
平面內(nèi)一組基底及任一向量，，若點在直線上或者在平行于的直線上，則（定值），反之也成立，我們把直線以及與直線平行的直線稱為等和線。①當(dāng)?shù)群途€恰為直線時，；
②當(dāng)?shù)群途€在點和直線之間時，；
③當(dāng)直線在點和等和線之間時，；
④當(dāng)?shù)群途€過點時，；
⑤若兩等和線關(guān)于點對稱，則定值互為相反數(shù)；
【題型歸納目錄】
題型一：三角不等式
題型二：定義法
題型三：基底法
題型四：幾何意義法
題型五：坐標(biāo)法
題型六：極化恒等式
題型七：矩形大法
題型八：等和線
【典型例題】
題型一：三角不等式
例1．（2022·河南·洛寧縣第一高級中學(xué)高一階段練習(xí)）已知向量滿足，若對任意，恒成立，則 的取值范圍是___________.
【答案】
【解析】
【分析】
由條件可得，由向量性質(zhì)可得，從而，然后代入結(jié)合可得出答案.
【詳解】
解析：因為，則， 因為，
由，
由，即，由，則恒成立.
由,即
則
，
解得，又
所以.
故答案為：
例2．（2022·安徽省舒城中學(xué)三模（理））已知平面向量，，，，若，，則的最小值是________.
【答案】##
【解析】
【分析】
令，，即可得到且，令，，，，根據(jù)數(shù)量積的坐標(biāo)表示及三角不等式計算可得；
【詳解】
解：令，，則，故，且，
令，，，，
所以根據(jù)已知條件有，
所以，
即，
當(dāng)且僅當(dāng)，，時等號成立，所以的最小值是
故答案為：
例3．（2022·浙江湖州·模擬預(yù)測）已知平面向量滿足，若，則的最小值是_____________．
【答案】
【解析】
【分析】
利用絕對值三角不等式，及三角函數(shù)的有界性可進行化簡分析.
【詳解】
設(shè)，由，根據(jù)三角不等式，有
，
得，
故
.
故答案為：.
例4．（2022·浙江·模擬預(yù)測）已知平面內(nèi)兩單位向量，若滿足，則的最小值是___________.
【答案】
【解析】
【分析】
設(shè)出得到，由不得關(guān)系得到，從而得到最小值.
【詳解】
由題意,可以設(shè)，則由得，
由，
所以，解得：
即的最小值是.
例5．（浙江省紹興市柯橋區(qū)2022屆高三下學(xué)期5月第二次適應(yīng)性考試數(shù)學(xué)試題）已知平面向量滿足：與的夾角為，記是的最大值，則的最小值是__________．
【答案】
【解析】
【分析】
設(shè)為AB中點，令，結(jié)合圖形，利用向量的線性運算求出，轉(zhuǎn)化為函數(shù)求最小值即可.
【詳解】
如圖，
設(shè)為AB中點，令，
則 ①，
因為，
故有，
②，由①②得，從而，
因為，所以，即點C在以AB為直徑的圓E上.
，
，
當(dāng)且僅當(dāng)時，即時等號成立.
故答案為：
例6．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知非零平面向量滿足，則的最小值是（ ）
A．4B．3C．2D．1
【答案】A
【解析】
【分析】
把給定等式兩邊平方，利用平面向量數(shù)量積性質(zhì)轉(zhuǎn)化為的不等式即可得解.
【詳解】
依題意，，，
，
當(dāng)時，上述最后等式不成立，從而有，
，當(dāng)且僅當(dāng)時取“=”，
又，當(dāng)且僅當(dāng)與同方向時取“=”，
則有，解得，當(dāng)且僅當(dāng)=時取“=”，
所以的最小值是4.
故選：A
例7．（2022·湖北·華中師大一附中高一階段練習(xí)）已知圓C的半徑為2，點A滿足，E，F(xiàn)分別是C上兩個動點，且，則的取值范圍是（ ）
A．[6，24]B．[4，22]C．[6，22]D．[4，24]
【答案】C
【解析】
【分析】借助于垂徑定理處理，結(jié)合向量整理可得，再根據(jù)向量的加法可得．
【詳解】
取EF的中點M，連接CM，則，
，
又，所以，
所以，
當(dāng)且僅當(dāng)向量與共線同向時，取得最大值22；向量與共線反向時，取得最小值6，
故選：C．
例8．（2022·浙江·高三專題練習(xí)）已知平面向量，，滿足，．若，則的最大值是______．
【答案】
【解析】
【分析】
將代入所求，可得到，分情況討論，同號和異號兩種情況，利用向量模的平方等于向量的平方計算可得和的最大值.
【詳解】
當(dāng)，同號時，
，而，則．
當(dāng)，異號時，
，
而，則．
因此的最大值為．
故答案為：．
例9．（2022·全國·高一課時練習(xí)）已知在三角形中，，，則的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】
【分析】
根據(jù)三角形三邊關(guān)系得到的取值范圍，再利用余弦定理表示出，最后根據(jù)平面向量數(shù)量積的定義計算可得；
【詳解】
解：因為，，所以，即，解得，由余弦定理，所以
，因為，所以，所以，即；
故選：A
例10．（2022·全國·高一專題練習(xí)）已知，，與的夾角為，若向量滿足，則的取值范圍是（ ）
A．B．
C．D．【答案】C
【解析】
【分析】
根據(jù)平面向量數(shù)量積運算性質(zhì)及三角不等式計算判斷．
【詳解】
因為，，與的夾角為，
所以，，，
所以滿足，
因為，
所以，
所以，
故選：C
例11．（2022·浙江寧波·高三期末）已知平面向量，，，其中，是單位向量且滿足，，若，則的最小值為___________.
【答案】
【解析】
【分析】
根據(jù)已知條件將向量代入整理可得關(guān)于x、y的二元二次方程，然后通過換元，利用方程有解可得.
【詳解】
又，是單位向量且
上式
令，代入上式整理得：
關(guān)于x的方程有實數(shù)解
整理得：，解得故答案為：.
例12．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知向量，是平面內(nèi)的兩個非零向量，則當(dāng)取最大值時，與夾角為________．
【答案】##
【解析】
【分析】
根據(jù)，結(jié)合平面向量數(shù)量積的運算性質(zhì)推出，再根據(jù)題意以及等號成立條件，即可求解.
【詳解】
∵向量，是平面內(nèi)的兩個非零向量，
∴，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，
∴，即，
∴，即，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，即，則與夾角為，
∴當(dāng)取最大值時，與夾角為.
故答案為：.
題型二：定義法
例13．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知向量，滿足，，則的最大值為______.
【答案】
【解析】
【分析】
先求得、，進而平方，計算即得結(jié)論．
【詳解】
設(shè)向量的夾角為，
，
，則，
令，
則，
據(jù)此可得：，
即的最大值是
故答案為：.
例14．（2022·全國·高三專題練習(xí)）在中，角的邊長分別為，點為的外心，若，則的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】
【分析】
作出輔助線，對數(shù)量積進行轉(zhuǎn)化得到，求出的取值范圍，進而求出答案.
【詳解】
取的中點，則，所以.
因為，則，即.
所以，
故選：D.
例15．（2022·江蘇省江陰高級中學(xué)高三開學(xué)考試）如圖，正六邊形的邊長為2，動點從頂點出發(fā)，沿正六邊形的邊逆時針運動到頂點，若的最大值和最小值分別是，，則（ ）
A．9B．10C．11D．12
【答案】D
【解析】
【分析】
連接，根據(jù)正六邊形的特征可得，從而可得，再根據(jù)當(dāng)在上運動時，與均逐漸增大，當(dāng)從移動到時，與均逐漸減小，即可求得，，從而得出答案.
【詳解】
解：連接，在正六邊形中，，
∴，
∵正六邊形的邊長為2，∴，
因為當(dāng)在上運動時，與均逐漸增大，當(dāng)從移動到時，與均逐漸減小，
所以當(dāng)在上運動時，取得最大值，為，
當(dāng)移動到點時，取得最小值，為0．
∴，，∴．
故選：D.
例16．（2022·四川·成都市錦江區(qū)嘉祥外國語高級中學(xué)模擬預(yù)測（理））已知，點在線段上，且的最小值為，則（）的最小值為（ ）
A．B．C．2D．
【答案】B
【解析】
【分析】
由取得最小值得點為線段的中點，由得，
由配方可得答案.
【詳解】
當(dāng)時，取得最小值，因為，
所以此時點為線段的中點，
因為，所以，故，
則，
因為，
故．
故選：B.
例17．（2022·河南·平頂山市第一高級中學(xué)模擬預(yù)測（文））已知A，B為圓上的兩動點，，點P是圓上的一點，則的最小值是（ ）
A．2B．4C．6D．8
【答案】C【解析】
【分析】
根據(jù)向量的運算律將題意轉(zhuǎn)化為圓上的點到的中點的距離最值問題即可得解.
【詳解】
設(shè)M是AB的中點，因為，所以，
即M在以O(shè)為圓心，1為半徑的圓上，
，所以．
又，所以，
所以．
故選：C.
例18．（2022·黑龍江·哈九中二模（理））窗的運用是中式園林設(shè)計的重要組成部分，在表現(xiàn)方式上常常運用象征、隱喻、借景等手法，將民族文化與哲理融入其中，營造出廣闊的審美意境．從窗的外形看，常見的有圓形、菱形、正六邊形、正八邊形等．已知圓O是某窗的平面圖，O為圓心，點A在圓O的圓周上，點P是圓O內(nèi)部一點，若，且，則的最小值是（ ）
A．3B．4C．9D．16
【答案】A
【解析】
【分析】
利用向量的線性運算，結(jié)合數(shù)量積，可求得，確定其取值范圍，再根據(jù)平方后的式子，即可求得答案.
【詳解】
因為，所以，
所以，即，則．
因為點P是圓O內(nèi)部一點，所以，所以，
則，
當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，故的最小值是3,
故選：A.
例19．（2022·全國·三模（理））已知平面向量，，均為單位向量，且，的取值范圍是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】
【分析】
通過數(shù)量積與模長的關(guān)系可得，，再根據(jù)數(shù)量積的運算律以及概念即可得結(jié)果.
【詳解】
，
因為，所以，所以，
所以，，
設(shè)與的夾角為，
故，
因為，所以，
故選：A.
題型三：基底法
例20．（2022·天津河北·二模）已知菱形ABCD的邊長為2，，點E，F(xiàn)分在邊BC，CD上，，．若，則的最小值為___________．
【答案】
【解析】
【分析】
由題意畫出圖形，把用表示，最后轉(zhuǎn)化為含有，的代數(shù)式，再結(jié)合及基本不等式求得的最小值．
【詳解】
解：如圖，
，，且，
，
．
由題意可得，，，
，
，則，
（當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立），
的最小值為．
故答案為：．
例21．（2022·山西省長治市第二中學(xué)校高三階段練習(xí)（理））菱形中，，點是線段上的動點（包括端點），則的最小值為__________.
【答案】##
【解析】
【分析】
設(shè)，運用向量的線性運算和數(shù)量積運算得，設(shè)，利用二次函數(shù)的性質(zhì)可求得的最小值.
【詳解】
解：不妨設(shè)，則，
所以
，
因為，所以，
設(shè)，則，
對稱軸為，
所以，
所以的最小值為.
故答案為：.
例22．（2022·全國·高一）在矩形中，，動點在以點為圓心且與相切的圓上，則的取值范圍為（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】
【分析】
先求出圓的半徑，由，結(jié)合向量數(shù)量積運算律將的最大值轉(zhuǎn)化為求的最大值，即可求出結(jié)論.
【詳解】
由題意，設(shè)到的距離為，則，
故，
其中，設(shè)的夾角為，，
當(dāng)且僅當(dāng)與反向或同向時取得端點值；
綜上，的范圍為.
故選：A．
例23．（2022·全國·高三專題練習(xí)）在△ABC中，M為邊BC上任意一點，N為AM中點，且滿足，則的最小值為（ ）
A．B．C．D．1
【答案】C
【解析】
【分析】
根據(jù)給定條件探求出，結(jié)合轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)并求函數(shù)的最小值即可.
【詳解】
在△ABC中，M為邊BC上任意一點，則，
于是得，而，且與不共線，
則，即有，因此，，
當(dāng)且僅當(dāng)時取“=”，此時M為BC中點，
所以的最小值為.
故選：C
例24．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知在中，，，點是邊上的動點，則當(dāng)取得最小值時，（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】
【分析】
利用“插點法”，重新表述，結(jié)合向量的數(shù)量積運算，將其轉(zhuǎn)化為的二次函數(shù)形式進行求解.
【詳解】
在中，，，.，則當(dāng)時，取得最小值，此時
，.
故選：.
例25．（2022·全國·高三專題練習(xí)）如圖，已知兩個模都為10的向量，它們的夾角為，點C在以O(shè)為圓心，10為半徑的上運動，則的最小值為（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】
【分析】
根據(jù)向量的運算及數(shù)量積的運算性質(zhì)化簡，問題轉(zhuǎn)化為求的最大值，由模為定長知同向時最大求解即可.
【詳解】
要使最小，即最大
而為定值，為定值10
只要與同向即可使最大
的最小值為.
故選：A
例26．（2022·吉林長春·模擬預(yù)測（理））已知中，，，，點P為邊AB上的動點，則的最小值為（ ）
A．-4B．-2C．2D．4
【答案】A【解析】
【分析】
結(jié)合向量運算以及二次函數(shù)的性質(zhì)求得正確答案.
【詳解】
設(shè),
,
所以當(dāng)時，取得最小值為.
故選：A
例27．（2022·全國·高三專題練習(xí)）在凸四邊形中，，，且為等邊三角形，若點在四邊形上運動，則的最小值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】
分別討論E點在每條邊上運動時，向量點積的最小值，即可得到最小值.
【詳解】
如圖所示，
四邊形關(guān)于直線對稱，故點在四邊形上運動時，只需考慮點在邊上的運動情況即可，易知，則，
①當(dāng)點在邊上運動時，設(shè)，則，
∴，
當(dāng)時，的最小值為；
②當(dāng)點在邊上運動時，設(shè)，則，
∴，當(dāng)時，的最小值為；
綜上，的最小值為；
故選：B.
【點睛】
方法點睛：根據(jù)向量定義把向量點積轉(zhuǎn)化為函數(shù)問題來求解最值.
題型四：幾何意義法
例28．（2022·全國·高三專題練習(xí)（理））已知平面向量，，滿足，，與的夾角為，則的最大值為___________．
【答案】
【解析】
【分析】
利用向量的模的運算求得，設(shè)平面向量，，都是以O(shè)為起點，終點分別是A,B,C，求得平面向量+的終點N的軌跡，由與的夾角為，得到C的軌跡，利用圓的性質(zhì)得到|NC|的距離的最大值，即為所求.
【詳解】
解：∵，,∴，
如圖所示，設(shè)平面向量，，都是以O(shè)為起點，終點分別是A,B,C，
則平面向量+的終點N到O的距離為2，
設(shè)AB的中點為M,則|MN|=1,∴N在以M為圓心，半徑為1的圓周上.
由與的夾角為，∴點C在以AB為弦的圓周角為的優(yōu)弧上，
當(dāng)C,M,N共線，且C,N在直線AB的兩側(cè)，并且CM⊥AB時，|CN|最大，也就是取得最大值,
此時,, |CN|=,
故答案為：.
例29．（2022·上海市建平中學(xué)高一階段練習(xí)）已知平面向量滿足，且與的夾角為，則的取值范圍是___________.
【答案】
【解析】
【分析】
畫出圖形，表示出，，從而確定，利用正弦定理得到，結(jié)合，求出的取值范圍.
【詳解】
設(shè)，，如圖所示，
則，
因為與的夾角為，
所以，
因為，所以由正弦定理得：
，所以，
因為，所以
故答案為：.
例30．（2022·全國·高三專題練習(xí)）在平面內(nèi)，若有，，則的最大值為________．
【答案】
【解析】
【分析】
由條件可以求得，從而可作，并連接，取的中點，連接，則有，根據(jù)條件可以得到，可作，并連接，，從而可以得到，即點在以為直徑的圓上，從而得出當(dāng)在上的投影最大時，最大．通過計算，即得出在上的投影最大值，從而得出的最大值.
【詳解】
解：根據(jù)條件，；
；
，如圖，作，則，連接，取的中點，連接，則；
由得，；
；
作，連接，，則；
；
點在以為直徑的圓上；
當(dāng)運動到圓的最右側(cè)時，在上的投影最大，即最大；又,
又,且,
所以,
所以在上的最大投影為，
所以,
故答案為：
例31．（2022·北京朝陽·高三期末）已知平面向量，滿足，與的夾角為120°，記，的取值范圍為（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】
【分析】
設(shè)，根據(jù)與的夾角為120°，得到，再根據(jù)，得到的終點在直線AB上求解.
【詳解】
設(shè)，如圖所示：
則，
因為與的夾角為120°，
所以，
因為，且的起點相同，
所以其終點共線，即在直線AB上，
所以當(dāng)時，最小，最小值為，無最大值，
所以的取值范圍為，
故選；A
例32．（2022·江蘇·高二）飛鏢運動于十五世紀(jì)興起于英格蘭，二十世紀(jì)初，成為人們在酒吧日常休閑的必備活動．某熱愛飛鏢的小朋友用紙片折出如圖所示的十字飛鏢，該十字飛鏢由四個全等的四邊形拼成．在四邊形中，，，，，點P是八邊形內(nèi)（不含邊界）一點，則的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】
【分析】
根據(jù)給定圖形，求出在方向上的投影向量長的范圍即可計算作答.【詳解】
在四邊形中，，，，則，且，
過D，H分別作直線OA的垂線，垂足分別為N，M，如圖，
依題意，，，因此，，
對任意點P，過P作于Q，而點P是八邊形內(nèi)（不含邊界）一點，
當(dāng)點P在四邊形和四邊形內(nèi)時，，當(dāng)點P在四邊形和四邊形內(nèi)時，，
顯然，，而，則，
當(dāng)點P在四邊形內(nèi)時，，則，
當(dāng)點P在四邊形內(nèi)時，，則，
當(dāng)點P在四邊形內(nèi)時，，則，
當(dāng)點P在四邊形內(nèi)時，，則，
所以的取值范圍是.
故選：B
例33．（2022·湖南·模擬預(yù)測）已知直線與圓：相交于不同兩點，，點為線段的中點，若平面上一動點滿足，則的取值范圍是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】
【分析】
由題意，判斷得點在線段外，從而得是直角三角形，進而表示出，可得，由，可得的取值范圍.
【詳解】因為，所以，，三點共線，
且點在線段外，因為點為線段的中點，
所以，即是直角三角形，
所以，由數(shù)量積的定義可得：
，
因為，所以，即，
故選:C.
【點睛】
求兩個向量的數(shù)量積有三種方法：利用定義；利用向量的坐標(biāo)運算；利用數(shù)量積的幾何意義．具體應(yīng)用時可根據(jù)已知條件的特征來選擇，同時要注意數(shù)量積運算律的應(yīng)用．
例34．（2022·浙江紹興·高三期末）已知為圓：上長度為4的動弦，點是直線：上的動點，則的最小值為（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】
【分析】
設(shè)的中點為，則，則由題意可得點在以為圓心，1為半徑的圓上，從而可得的最小值即為圓心到直線的距離減去半徑1，進而可求得答案
【詳解】
由，得，所以圓心，半徑，
設(shè)的中點為，則，
因為，半徑，所以，
所以點在以為圓心，1為半徑的圓上，
所以的最小值即為圓心到直線的距離減去半徑1，
所以，
所以的最小值為，
故選：A
例35．（2022·福建廈門·高三階段練習(xí)）平面四邊形ABCD中，AB=1，AC=，AC⊥AB， ∠ADC=，則的最小值為（ ）
A．-B．-1C．-D．-
【答案】D
【解析】
【分析】
由題設(shè)畫出示意圖，易得且在以中點為圓心，為半徑的劣弧上，根據(jù)圓的性質(zhì)可求的最小值.
【詳解】
由題設(shè)，可得如下示意圖，
所以，
因為，即在以中點為圓心，為半徑的劣弧上，
所以要使的最小，即最大即可，
由圓的性質(zhì)知：當(dāng)為劣弧的中點時最大，又AC=，
此時，故的最小值為-.故選：D
例36．（2022·安徽·合肥一六八中學(xué)模擬預(yù)測（理））已知△ABC的外接圓半徑長為1，則的最小值為（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】
【分析】
先分析取最小值的狀態(tài)，結(jié)合數(shù)量積的意義和二次函數(shù)可求答案.
【詳解】
由題意，為鈍角時，取到最小值；如圖，為的中點，在上的投影向量為；
由可知當(dāng)在上的投影長最長時，即 與圓 相切時，可取到最小值；
，
當(dāng)時，，所以的最小值為.
故選：B.
例37．（2022·北京工業(yè)大學(xué)附屬中學(xué)三模）已知向量滿足，與的夾角為，則當(dāng)實數(shù)變化時，的最小值為（ ）
A．B．2C．D．2
【答案】A
【解析】
【分析】
有題意知，當(dāng)時，取得最小值，過作，即取得最小值為，求出即可得出答案.
【詳解】
如圖，設(shè)，
當(dāng)時，取得最小值，
過作，即取得最小值為，
因為與的夾角為，
所以，
所以.
故選：A.
例38．（2022·內(nèi)蒙古·海拉爾第二中學(xué)高三期末（理））已知平面向量、滿足，且與的夾角為，若，則的最小值為（ ）
A．1B．C．D．
【答案】C
【解析】
【分析】
設(shè)，，則，可令，可得出，結(jié)合圖形可知，當(dāng)時，線段最短，由此可求得的最小值.
【詳解】
如圖所示，設(shè)，，則，可令，
則，點在上，
因為與的夾角為，則，
當(dāng)時，線段最短，此時取最小值，即.
故選：C.
例39．（2022·江蘇·高二）如圖，已知四邊形ABCD為直角梯形，，，AB=1，AD=3，，設(shè)點P為直角梯形ABCD內(nèi)一點（不包含邊界），則的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】
【分析】
依題意過點作交的延長線于點，即可求出，設(shè)與的夾角為，結(jié)合圖形即可得到在方向上的投影的取值范圍，再根據(jù)數(shù)量積的幾何意義計算可得；
【詳解】
解：依題意過點作交的延長線于點，則，
設(shè)與的夾角為，
因為點為直角梯形內(nèi)一點（不包含邊界），所以在方向上的投影，且，
所以
故選：A
例40．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知兩個不相等的非零向量，滿足，且與的夾角為60°，則的取值范圍是（ ）
A．（0，）B．[，1）C．[，+∞）D．（1，+∞）
【答案】D
【解析】
【分析】
設(shè)，，則，進而得為射線上的動點（不包括點），故.
【詳解】
解：如圖所示，設(shè)，，則.
因為與的夾角為60°，
所以，則，
則為射線上的動點（不包括點），
又，即，
所以由圖可知，.
故選:D.
題型五：坐標(biāo)法
例41．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知向量，滿足，，則的最大值為___________.
【答案】5
【解析】
【分析】
利用換元法令，再將模的問題轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)問題，接著利用換元法和導(dǎo)數(shù)求得函數(shù)的最值.
【詳解】
令，
，
，
，
令，
設(shè)，則
，，
令，
若函數(shù)存在極值點，則是函數(shù)的唯一極值點，
顯然，函數(shù)在取得最值，
，
故答案為：5.
例42．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知是平面上的單位向量，則的最大值是__________.
【答案】
【解析】
【分析】
先設(shè)，且，再根據(jù)向量模化簡，最后化簡整理結(jié)合柯西不等式即可求出結(jié)果.
【詳解】
設(shè)，且，而，所以
，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時，等號成立，所以的最大值為，
故答案為：.
例43．（2022·浙江·效實中學(xué)模擬預(yù)測）已知平面向量滿足，，，則的最小值為___________.
【答案】
【解析】
【分析】
結(jié)合數(shù)量積的運算律，可根據(jù)求得，進而得到；令，，設(shè)，根據(jù)數(shù)量積的坐標(biāo)運算可求得點滿足的軌跡方程，將問題轉(zhuǎn)化為直線上的點到和的距離之和；通過作出點關(guān)于直線的對稱點，可知所求最小值為；利用點關(guān)于直線對稱點的求法求得坐標(biāo)后，即可利用兩點間距離公式得到結(jié)果.
【詳解】
，，，
解得：，即，即，
不妨令，，設(shè)，
則，
，，
則的幾何意義為：直線上的點到和的距離之和，即；
作出點關(guān)于直線的對稱點，
，（當(dāng)且僅當(dāng)三點共線時取等號），
設(shè)，則，解得：，
，即的最小值為.
故答案為：.
例44．（2022·江蘇·阜寧縣東溝中學(xué)模擬預(yù)測）已知半徑為1的圓O上有三個動點A，B，C，且，則的最小值為______．
【答案】
【解析】
【分析】
先判斷出，再以為原點，所在直線為軸建立平面直角坐標(biāo)系：然后利用平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示求出，再根據(jù)圓心到直線的距離小于等于半徑可求出結(jié)果.
【詳解】
因為，又，所以，所以，
以為原點，所在直線為軸建立平面直角坐標(biāo)系：
則，，設(shè)，則，
，，
所以，
設(shè)，即，
依題意直線與圓有交點，
所以，得，
所以的最小值為.
故答案為：
例45．（四川省瀘縣第四中學(xué)2022屆高三下學(xué)期高考適應(yīng)性考試數(shù)學(xué)（理）試題）已知是平面內(nèi)兩個互相垂直的單位向量，若向量 滿足，則的最大值是_________．
【答案】
【解析】
【分析】
由題意可設(shè)的坐標(biāo)，設(shè)，利用求得的終點的軌跡方程，即可求得答案.
【詳解】
因為是平面內(nèi)兩個互相垂直的單位向量，
故不妨設(shè)，設(shè)，
由得：，
即，即，
則的終點在以為圓心，半徑為的圓上，故的最大值為，
故答案為：
例46．（2022·北京市第十二中學(xué)三模）為等邊三角形，且邊長為，則與的夾角大小為，若，，則的最小值為___________.
【答案】
【解析】
【分析】
以點為坐標(biāo)原點，、分別為、軸的正方向建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)點，利用平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)運算以及余弦函數(shù)的有界性可求得的最小值.
【詳解】
因為是邊長為的等邊三角形，且，則為的中點，故，
以點為坐標(biāo)原點，、分別為、軸的正方向建立如下圖所示的平面直角坐標(biāo)系，
則、、，設(shè)點，
，，
所以，，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，
因此，的最小值為.
故答案為：.
例47．（江蘇省泰州市2022屆高三下學(xué)期第四次調(diào)研測試數(shù)學(xué)試題）平面向量滿足，與的夾角為，且則的最小值是___．
【答案】##
【解析】
【分析】設(shè)，，設(shè)，根據(jù)結(jié)合數(shù)量積的運算求得C的軌跡是以為圓心，1為半徑的圓,利用的幾何意義可求得答案.
【詳解】
由題意不妨設(shè)O為坐標(biāo)原點，令，，設(shè)，
由于,
∴，∴，
即，故C的軌跡是以為圓心，1為半徑的圓,
故，
故答案為：
例48．（2022·全國·高三專題練習(xí)）點是邊長為2的正六邊形內(nèi)或邊界上一動點，則的最大值與最小值之差為（ ）
A．2B．4C．6D．8
【答案】D
【解析】
【分析】
建立平面直角坐標(biāo)系，將向量的運算轉(zhuǎn)化為坐標(biāo)的運算以實現(xiàn)簡化.
【詳解】
解：如圖，以為軸，為軸建立平面直角坐標(biāo)系，
則，，設(shè)，
在中，∵，，
∴，高，∴，∴，，
∵，，∴，
∵，∴，
∴最大值與最小值之差為8.
故選：D.
例49．（2022·全國·高三專題練習(xí)）如圖，在矩形ABCD中，，M，N分別為線段BC，DC上的動點，且，則的最小值為（ ）
A．B．15C．16D．17
【答案】B
【解析】
【分析】
以為原點，建立適當(dāng)?shù)闹苯亲鴺?biāo)系，設(shè)，根據(jù)的長度得到的坐標(biāo)，利用平面向量的數(shù)量積的坐標(biāo)表示得到關(guān)于的三角函數(shù)表達式，利用輔助角公式化簡，并利用三角函數(shù)的性質(zhì)得到最小值.
【詳解】
以A為原點，AB所在的直線為x軸，AB所在的直線為y軸建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)，
則
，
即，其中．
時取“=”，所以的最小值為15，
故答案為：15.
例50．（2022·全國·高三專題練習(xí)）如圖，在平面四邊形中，.若點E為邊上的動點，則的最小值為（ ）
A．B．2C．D．
【答案】D
【解析】
【分析】
以D為原點，以所在的直線為x軸，以所在的直線為y軸，建立平面直角坐標(biāo)系，求出各點坐標(biāo)，設(shè)，用數(shù)量積的坐標(biāo)表示求出數(shù)量積，結(jié)合二次函數(shù)性質(zhì)得最小值．
【詳解】
如圖所示，以D為原點，以所在的直線為x軸，以所在的直線為y軸，建立平面直角坐標(biāo)系，如圖，
過點B做軸，過點B做軸，
∵，
∴
∴，∴，∵，
∴，∴，設(shè)，∴.；
∴，當(dāng)時.
取得最小值為.
故選：D．
例51．（2022·四川·成都七中模擬預(yù)測（理））在等腰梯形中，是腰上的動點，則的最小值為（ ）
A．B．3C．D．
【答案】C
【解析】
【分析】
如圖，以為原點，射線為軸正半軸建立直角坐標(biāo)系，用坐標(biāo)表示出，即可求出答案
【詳解】
解：如圖，以為原點，射線為軸正半軸建立直角坐標(biāo)系，則由題意可得，設(shè)，其，
則，
所以，
所以
，
所以當(dāng)時，取最小值，
故選：C
例52．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知是邊長為2的正三角形，點為所在平面內(nèi)的一點，且，則長度的最小值為（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】
【分析】
通過建立直角坐標(biāo)系，利用向量的坐標(biāo)表示結(jié)合基本不等式解決向量模長問題.
【詳解】
如圖，以的中點為原點，，所在直線分別為軸，
軸建立直角坐標(biāo)系，即，，，
則，.
設(shè)，則，，，
所以.
設(shè)，，
解得，，
則，所以長度的最小值為.
故選：B
例53．（2022·全國·高三專題練習(xí)）等邊的面積為，且的內(nèi)心為M，若平面內(nèi)的點N滿足，則的最小值為（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】
【分析】
根據(jù)三角形面積求出三角形的邊長，以為軸，的中垂線為軸建立平面直角坐標(biāo)系，由條件得出點N在以M為圓心，1為半徑的圓上，其方程為，且，然后用向量數(shù)量積的坐標(biāo)公式得出的表達式，在求其最小值.
【詳解】
設(shè)等邊的邊長為，則面積，解得
以為軸，的中垂線為軸建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系.
由為的內(nèi)心，則M在上，且
則，
由，則點N在以M為圓心，1為半徑的圓上.
設(shè)，則，即，且
，
故選: A

【點睛】
本題考查動點的軌跡方程和利用坐標(biāo)求向量的數(shù)量積的最值，解答本題的關(guān)鍵是建立坐標(biāo)系得出點N在以M為圓心，1為半徑的圓上，其方程為，且，進而得出，屬于中檔題.
例54．（2022·遼寧沈陽·一模）如圖，在直角梯形中，，，，，是線段上的動點，則的最小值為（ ）
A．B．6C．D．4
【答案】B
【解析】
【分析】
根據(jù)題意，建立直角坐標(biāo)系，利用坐標(biāo)法求解即可.
【詳解】
解：如圖，以點為坐標(biāo)原點，建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)，，
因為，，
所以，
所以，，
所以，
所以，
所以當(dāng)，即時，的最小值為.
故選：B
例55．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知是邊長為2的正方形，為平面內(nèi)一點，則的最小值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】
【分析】
根據(jù)給定條件建立平面直角坐標(biāo)系，利用向量運算的坐標(biāo)表示即可計算作答.
【詳解】
是邊長為2的正方形，則以點A為原點，直線AB，AD分別為x軸，y軸建立平面直角坐標(biāo)系，如圖：
則，設(shè)點，
，
于是得：，
當(dāng)時，取得最小值，
所以的最小值是.
故選：B例56．（2022·全國·高三專題練習(xí)）四葉回旋鏢可看作是由四個相同的直角梯形圍成的圖形，如圖所示，，，，M為線段上一動點，則的最小值為（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】
【分析】
以為原點建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，利用向量數(shù)量積的坐標(biāo)運算即可求解.
【詳解】
解：由題意，以為原點建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系
則，，
M為線段上一動點，設(shè)，其中
，
，
當(dāng)時，
的最小值為.
故選：D.
例57．（2022·四川·射洪中學(xué)模擬預(yù)測（文））是等腰直角三角形，，，，其中，則的最小值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】
【分析】
由平行四邊形法則以及向量共線的性質(zhì)得出點在直線上，建立坐標(biāo)系，由數(shù)量積公式以及距離公式得出的最小值.
【詳解】
由知點為的中點，設(shè)為中點，由得，因為，所以點在直線上，建立如下圖所示的平面直角坐標(biāo)系，，，當(dāng)時，最小，的直線方程為，即，由點到直線的距離公式可得：，即的最小值.
故選：B
例58．（2022·山東濰坊·模擬預(yù)測）折扇又名“撒扇”“紙扇”，是一種用竹木或象牙做扇骨，韌紙或綾絹做扇面的能折疊的扇子，如圖1.其平面圖如圖2的扇形AOB，其中∠AOB＝120°，OA＝2OC＝2，點E在弧CD上，則的最小值是（ ）
A．－1B．1C．－3D．3
【答案】C【解析】
【分析】
建立平面直角坐標(biāo)系，利用坐標(biāo)法表示，結(jié)合三角函數(shù)的知識求得正確答案.
【詳解】
以為原點，為軸的正方形建立平面直角坐標(biāo)系，
則，設(shè)，
，
所以當(dāng)時，取得最小值.
故選：C
例59．（2022·湖南·臨澧縣第一中學(xué)高三階段練習(xí)）在中，，，，是的外接圓上的一點，若，則的最小值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】
【分析】
先解三角形得到為直角三角形，建立直角坐標(biāo)系，通過表示出，借助三角函數(shù)求出最小值.
【詳解】
由余弦定理得，所以，所以，所以．以AC的中點為原點，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，易得A（－1，0），C（1，0），B（－，），設(shè)P的坐標(biāo)為，所以，，，又，所以，所以，，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立．
故選：B．
例60．（2022·山西·二模（理））在菱形中，，點在菱形所在平面內(nèi)，則的最小值為（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】
【分析】
根據(jù)題意，設(shè)交于點，以為坐標(biāo)原點，直線分別為軸，軸建立直角坐標(biāo)系，利用坐標(biāo)法求解即可.
【詳解】
解：由菱形中，，可得且，
設(shè)交于點，以為坐標(biāo)原點，直線分別為軸，軸建立直角坐標(biāo)系，如圖，
取中點，則，，
設(shè)，
則
，
所以當(dāng)，時，取得最小值.
故選：C．
例61．（2022·陜西·西安中學(xué)模擬預(yù)測（文））在直角三角形中，，點是線段上的動點，且，則的最小值為（ ）
A．12B．8C．D．6
【答案】B
【解析】
【分析】
在直角三角形中，易得，作于點，如圖，以為原點建立平面直角坐標(biāo)系，不妨設(shè)點在點的左側(cè)，設(shè)，則，，根據(jù)數(shù)量積的坐標(biāo)表示結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)即可得解.
【詳解】
解：直角三角形中，，
所以，所以，
作于點，
則，如圖，以為原點建立平面直角坐標(biāo)系，
不妨設(shè)點在點的左側(cè)，
設(shè)，則，，
，
則，
所以，
當(dāng)且僅當(dāng)時，的最小值8.
故選：B.
例62．（2022·廣東惠州·高三階段練習(xí)）已知平面向量，，滿足，且，則最小值為（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】
【分析】
根據(jù)，得到，不妨設(shè)，利用坐標(biāo)法求解.
【詳解】
解：因為，
所以，又，
所以，
如圖所示：
不妨設(shè)，
則，
所以，
因為，
所以，即，
表示點C在以為圓心，以2為半徑的圓上，
所以最小值為，
故選：D
例63．（2022·山東·勝利一中模擬預(yù)測）已知為單位向量，滿足，則的最小值為（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】
【分析】
設(shè)，以為原點建立直角坐標(biāo)系，設(shè)，，可得.
【詳解】
設(shè)，則，所以為等邊三角形，
以為原點建立如圖所示直角坐標(biāo)系，則，
設(shè)，，則，
所以在以為圓心，1為半徑的圓上，
因為，所以.
故選：A.
例64．（2022·全國·高三專題練習(xí)（文））已知梯形ABCD 中，，，，，，點P，Q在線段BC上移動，且，則的最小值為（ ）
A．1B．C．D．
【答案】D
【解析】
【分析】
如圖以B為坐標(biāo)原點，BC所在的直線為x軸建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)，則，然后表示出，求其最小值即可，
【詳解】
如圖，以B為坐標(biāo)原點，BC所在的直線為x軸建立平面直角坐標(biāo)系，
因為，，，，
所以，不妨設(shè)，，
則，
所以當(dāng)時，取得最小值，
故選：D
例65．（2022·全國·高三專題練習(xí)）如圖，已知兩個單位向量，，且它們的夾角為，點C在以O(shè)為圓心，1為半徑的上運動，則·的最小值為（ ）
A．B．0C．D．－
【答案】A
【解析】
【分析】
可以O(shè)為原點，OB為x軸建立坐標(biāo)系，將C點設(shè)為，利用坐標(biāo)法進行求解.
【詳解】
以為坐標(biāo)原點建立如圖坐標(biāo)系，
則由已知得.
由點在以為圓心，1為半徑的上運動可設(shè)，.∴
，
由知，，
∴，
因此當(dāng)時，有最小值.
故選：A.
例66．（2022·全國·高三專題練習(xí)）騎行是目前很流行的一種綠色健身和環(huán)保出行方式，騎行屬于全身性有氧活動?能有效地鍛煉大腦?心臟等人體器官機能，它帶給人們的不僅是簡單的身體上的運動鍛煉，更是心靈上的釋放.如圖是某一自行車的平面結(jié)構(gòu)示意圖，已知圖中的圓（前輪），圓（后輪）的半徑均為，，，均是邊長為4的等邊三角形.設(shè)點為后輪上一點，則在騎行該自行車的過程中，的最小值為（ ）
A．B．12C．D．24
【答案】B
【解析】
【分析】
根據(jù)題意，如圖建立平面直角坐標(biāo)系，故，，，，進而利用坐標(biāo)法結(jié)合三角函數(shù)性質(zhì)求解即可.
【詳解】
解：如圖，以點為坐標(biāo)原點，所在直線為軸，建立平面直角坐標(biāo)系，
因為圓（前輪），圓（后輪）的半徑均為，，，均是邊長為4的等邊三角形
所以點，，，
所以，所以，
所以當(dāng)， 的最小值為.
故選：B
題型六：極化恒等式
例67．（2022·山東師范大學(xué)附中模擬預(yù)測）邊長為的正方形內(nèi)有一內(nèi)切圓，是內(nèi)切圓的一條弦，點為正方形四條邊上的動點，當(dāng)弦的長度最大時，的取值范圍是_________.
【答案】
【解析】
【分析】
設(shè)正方形的內(nèi)切圓為圓，當(dāng)弦的長度最大時，為圓的一條直徑，計算可得出，計算出的取值范圍，即可得解.
【詳解】
如下圖所示：
設(shè)正方形的內(nèi)切圓為圓，當(dāng)弦的長度最大時，為圓的一條直徑，
，
當(dāng)為正方形的某邊的中點時，，當(dāng)與正方形的頂點重合時，，即，
因此，.
故答案為：.
例68．（2022·湖北省仙桃中學(xué)模擬預(yù)測）如圖直角梯形ABCD中，EF是CD邊上長為6 的可移動的線段，，， ，則的取值范圍為 ________________ .
【答案】
【解析】
【分析】
首先在上取一點，使得，取的中點，連接，，根據(jù)題意得到，再根據(jù)的最值求解即可.
【詳解】
在上取一點，使得，取的中點，連接，，
如圖所示：
則，，，
，即.
，
當(dāng)時，取得最小值，此時，所以.
當(dāng)與重合時，，，
則，
當(dāng)與重合時，，，
則，
所以，即的取值范圍為.
故答案為：
例69．（2022·全國·高一）設(shè)三角形ABC，P0是邊AB上的一定點，滿足P0B=AB，且對于邊AB上任一點P，恒有，則三角形ABC形狀為___________.
【答案】C為頂角的等腰三角形
【解析】
【分析】
取BC的中點D，設(shè)O為AB的中點，根據(jù)可得，從而可知，再由中位線定理可知，，即可解出．
【詳解】
取BC的中點D，連接PD，P0D，如圖所示：
，同理，，
，設(shè)O為AB的中點，
即三角形ABC為以C為頂角的等腰三角形.
故答案為：C為頂角的等腰三角形．例70．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知直線與圓相切于點，設(shè)直線與軸的交點為，點為圓上的動點，則的最大值為______．
【答案】
【解析】
【分析】
因為相切，圓心到直線的距離等于半徑，再將點代入圓方程解出，進而求得中點，則即可求解．
【詳解】
圓的圓心的為，因為直線與圓相切于點則
所以得，所以，，
所以直線方程為，圓的方程為，所以，，
的中點，
則
因為，
所以
故，所以的最大值為
故答案為：
例71．（2022·全國·高三專題練習(xí)）如圖，在邊長為2的正方形ABCD中，M，N分別為邊BC，CD上的動點，以MN為邊作等邊，使得點A，P位于直線MN的兩側(cè)，則的最小值為______．
【答案】
【解析】
【分析】
設(shè)出邊長，通過做輔助線，將轉(zhuǎn)化為，然后利用解三角形的知識，把和表示出來，建立函數(shù)關(guān)系求解最值即可.
【詳解】
如圖，連接BN，設(shè)BN，MN中點分別為E，F(xiàn)，連接PE，PF，EF．
設(shè)，，
，
在中，由勾股定理得，則，
BN，MN中點分別為E，F(xiàn)，則EF為的中位線，
∴且，∴，
在中，由勾股定理得，
∴，
在等邊中，F(xiàn)為MN中點，則，，
，
在中，由余弦定理得
，
當(dāng)N與C重合時，，，不存在，但可驗證上述等式依然成立，
當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立．
∵關(guān)于b的函數(shù)在上單調(diào)遞增，
∴，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立．
∴，當(dāng)且僅當(dāng)，時等號成立.
故答案為：．
例72．（2022·陜西榆林·三模（文））四邊形為菱形，，，是菱形所在平面的任意一點，則的最小值為________.
【答案】
【解析】
【分析】
取的中點，連接，，，應(yīng)用向量加減法的幾何意義及數(shù)量積的運算律可得，即可求最小值.
【詳解】
由題設(shè)，，取的中點，連接，，，
則，，
所以.
故答案為：
例73．（2022·重慶八中模擬預(yù)測）中，，，，PQ為內(nèi)切圓的一條直徑，M為邊上的動點，則的取值范圍為（ ）A．B．C．D．
【答案】C
【解析】
【分析】
易知是直角三角形，利用等面積法可得內(nèi)切圓半徑，設(shè)內(nèi)切圓圓心為，根據(jù)為直徑，可知，，整理，進而根據(jù)的運動情況來求解.
【詳解】
由題可知，，所以是直角三角形，，
設(shè)內(nèi)切圓半徑為，則，解得，
設(shè)內(nèi)切圓圓心為，因為是內(nèi)切圓的一條直徑，
所以，，
則，，
所以，
因為M為邊上的動點，所以；當(dāng)與重合時，，
所以的取值范圍是，
故選：C
例74．（2022·江蘇·蘇州市相城區(qū)陸慕高級中學(xué)高一階段練習(xí)）半徑為2的圓上有三點滿足，點是圓內(nèi)一點，則的取值范圍為（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】
【分析】
設(shè)交于點，則由題意可得四邊形是菱形，利用菱形的性質(zhì)以及數(shù)量積的運算性質(zhì)可得，由即可求得
【詳解】
如圖，設(shè)交于點，由，可得,
所以四邊形為平行四邊形，
因為，所以四邊形為菱形，且，
所以，
由圖可知，，所以,
因為，
所以,
所以，
因為點為圓內(nèi)一點，所以，
所以，
所以的取值范圍為，
故選：A
例75．（2022·黑龍江·佳木斯一中高二期中）已知P為橢圓上任意一點，EF為圓任意一條直徑，則的取值范圍為（ ）
A．[8，12]B．C．D．
【答案】C
【解析】
【分析】
由題意可得圓心恰好是橢圓的右焦點，將化簡得，由橢圓的性質(zhì)可知，從而可求出的取值范圍
【詳解】
由，得，則，
圓的圓心恰好是橢圓的右焦點，圓的半徑為2，
因為
，
因為P為橢圓上任意一點，為橢圓的右焦點，
所以，即，
所以，所以，
所以的取值范圍為，
故選：C
例76．（2022·四川涼山·三模（理））已知下圖中正六邊形ABCDEF的邊長為4，圓O的圓心為正六邊形的中心，直徑為2，若點P在正六邊形的邊上運動，MN為圓O的直徑，則的取值范圍是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】
【分析】
根正六邊形的性質(zhì)，求得內(nèi)切圓和外接圓的半徑，再化簡得到，結(jié)合，即可求解.
【詳解】
由正六邊形的邊長為4，圓的圓心為正六邊形的中心，半徑為1，
所以正六邊形的內(nèi)切圓的半徑為，
外接圓的半徑為，
又由
，
因為，即，可得，所以的取值范圍是.
故選：B.
例77．（2022·全國·高三專題練習(xí)）如圖，在中，點是線段上一動點.若以為圓心?半徑為1的圓與線段交于兩點，則的最小值為（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】B
【解析】
【分析】
根據(jù)為的中點，將用表示出來，然后利用向量運算法則，即可將問題轉(zhuǎn)化為的最小值，即到線段的距離的平方．
【詳解】
解：由題意，，且，，
所以，，
所以，
易知，當(dāng)時，最小，
所以，即，解得，
故的最小值為．
故選：B．
例78．（2022·福建莆田·模擬預(yù)測）已知P是邊長為4的正三角形所在平面內(nèi)一點，且，則的最小值為（ ）
A．16B．12C．5D．4
【答案】C
【解析】
【分析】
延長到D，使得，可得點P在直線上，化簡可得，求出最小值即可.
【詳解】
如圖，延長到D，使得．
因為，所以點P在直線上．
取線段的中點O，連接，
則．
顯然當(dāng)時，取得最小值，
因為，則，所以，
所以的最小值為．
故選：C.
例79．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知直線l：與圓C：交于A，B兩點，O為坐標(biāo)原點，則的最小值為（ ）．
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】
【分析】
由題意直線l過圓心，則，當(dāng)OC垂直直線l時，取得最小值得出答案.
【詳解】
圓的圓心，滿足，所以直線l過圓心，
所以，
當(dāng)OC垂直直線l時，取得最小值，所以的最小值為
所以的得最小值為，故的最小值為．故選：A
例80．（2022·北京·人大附中模擬預(yù)測）窗花是貼在窗紙或窗戶玻璃上的剪紙，是中國古老的傳統(tǒng)民間藝術(shù)．圖1是一張由卷曲紋和回紋構(gòu)成的正六邊形前紙窗花．圖2中正六邊形的邊長為4，圓的圓心為該正六邊形的中心，圓的半徑為2，圓的直徑，點在正六邊形的邊上運動，則的最小值為（ ）
A．5B．6C．7D．8
【答案】D
【解析】
【分析】
計算得出，求出的取值范圍，由此可求得的取值范圍，從而可得最小值.
【詳解】
如下圖所示，由正六邊形的幾何性質(zhì)可知，、、、、、均為邊長為的等邊三角形，
當(dāng)點位于正六邊形的頂點時，取最大值，
當(dāng)點為正六邊形各邊的中點時，取最小值，即，
所以，.
所以，.
的最小值為.
故選：D.例81．（2022·江西·二模（理））已知△ABC是面積為的等邊三角形，且，其中實數(shù)x，y滿足，則的最小值為（ ）
A．4B．5C．6D．7
【答案】B
【解析】
【分析】
延長AC至M，使得，化簡所給條件可知三點共線，取線段AC的中點O，連接OD，利用向量的加法減法及數(shù)量積運算化簡，轉(zhuǎn)化為求的最小值.
【詳解】
依題意，解得AB＝4，延長AC至M，使得,如圖，
因為，
所以點D在直線BM上，取線段AC的中點O，連接OD，
則，
顯然當(dāng)OD⊥BM時，有最小值3，所以，
故的最小值為5，
故選：B．
題型七：矩形大法
例82．（貴州省貴陽市第一中學(xué)2022屆高三上學(xué)期高考適應(yīng)性月考卷（三）數(shù)學(xué)（文）試題）已知平面向量，，，滿足，且，則的最小值為（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)向量數(shù)量積的夾角公式可得，設(shè)，，，，，，根據(jù)數(shù)量積的坐標(biāo)表示可得點的軌跡為圓，由幾何意義可知：的最小值為減去半徑即可求解.
【詳解】
因為，所以，
因為，所以
不妨設(shè)，，，，，
，
則，，
因為，所以，
化簡為：，
所以對應(yīng)的點是以為圓心，半徑為的圓，
所以的最小值為，
故選：B.
例83．（北京市人大附中朝陽學(xué)校2019-2020學(xué)年度高一下學(xué)期期末模擬數(shù)學(xué)試題（1））設(shè)向量，，滿足，，，則的最小值是（ ）
A．B．C．D．1
【答案】B【解析】
建立坐標(biāo)系，以向量，的角平分線所在的直線為軸，使得，的坐標(biāo)分別為，，設(shè)的坐標(biāo)為，由已知可得，表示以為圓心，為半徑的圓，求出圓心到原點的距離，再減去半徑即為所求
【詳解】
解：建立坐標(biāo)系，以向量，的角平分線所在的直線為軸，使得，的坐標(biāo)分別為，，設(shè)的坐標(biāo)為，
因為，
所以，化簡得，
表示以為圓心，為半徑的圓，
則的最小值表示圓上的點到原點的距離的最小值，
因為圓到原點的距離為，所以圓上的點到原點的距離的最小值為，
故選：B
【點睛】
此題考查平面向量的數(shù)量積運算，解題的關(guān)鍵是寫出滿足條件的對應(yīng)的點，考查數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想，考查數(shù)形結(jié)合的思想，屬于中檔題
例84．（四川省資陽市2021-2022學(xué)年高三第一次診斷考試數(shù)學(xué)（理）試題）已知為單位向量，向量滿足：，則的最大值為（ ）
A．B．C．D．【答案】C
【解析】
【分析】
可設(shè)，，根據(jù)，可得的關(guān)系式，并得出的范圍，，將用表示，再根據(jù)函數(shù)的最值即可得解.
【詳解】
解：可設(shè)，，
則，
即，則，，
，
當(dāng)時，取得最大值為6，
即的最大值為6.
故選：C
題型八：等和線
例85．（2022·全國·高三專題練習(xí)）在矩形中，，，，分別是，上的動點，且滿足，設(shè)，則的最小值為（ ）
A．48B．49C．50D．51
【答案】B
【解析】
【分析】
建立平面直角坐標(biāo)系，假設(shè)點坐標(biāo)，然后得到，然后代入并結(jié)合基本不等式進行計算即可.
【詳解】
如圖，建立平面直角坐標(biāo)系，
則，，，，
設(shè)，，因為，
所以，，.
因為，所以，，
所以.
當(dāng)且僅當(dāng)，即，時取等號.
故選: B.
例86．（2022·山東煙臺·三模）如圖，邊長為2的等邊三角形的外接圓為圓，為圓上任一點，若，則的最大值為（ ）
A．B．2C．D．1
【答案】A
【解析】
【分析】
等和線的問題可以用共線定理，或直接用建系的方法解決.
【詳解】
作BC的平行線與圓相交于點P，與直線AB相交于點E，與直線AC相交于點F，
設(shè)，則，
∵BC//EF，∴設(shè)，則
∴，
∴
∴
故選：A.
例87．（2022·全國·高一期末）在中，M為BC邊上任意一點，N為線段AM上任意一點，若（，），則的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】
【分析】
設(shè)，，當(dāng)時， 可得，從而有；當(dāng)時，有，根據(jù)、、三點共線，可得，進而可得，從而即可求解.
【詳解】
解：由題意，設(shè)，，
當(dāng)時，，所以，
所以，從而有；
當(dāng)時，因為（，），
所以，即，
因為、、三點共線，所以，即.
綜上，的取值范圍是.
故選：C.
例88．（2022·江蘇·高二）如圖，已知點在由射線、線段，線段的延長線所圍成的平面區(qū)域內(nèi)（包括邊界），且與平行，若，當(dāng)時，的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】
【分析】
根據(jù)向量加法的平行四邊形法則，為平行四邊形的對角線，該四邊形應(yīng)是以與的反向延長線為兩鄰邊，當(dāng)時，要使點落在指定區(qū)域內(nèi)，即點應(yīng)落在上，得到的取值范圍.
【詳解】
∵，，
由向量加法的平行四邊形法則，為平行四邊形的對角線，
該四邊形應(yīng)是以與的反向延長線為兩鄰邊，
當(dāng)時，要使點落在指定區(qū)域內(nèi)，即點應(yīng)落在上，
，
∴的取值范圍為.
故選：D.
例89．（2022·寧夏·銀川一中一模（文））在直角中，，，以為直徑的半圓上有一點（包括端點），若，則的最大值為（ ）
A．4B．
C．2D．
【答案】C
【解析】
【分析】
建立平面直角坐標(biāo)系，利用坐標(biāo)表示，結(jié)合三角函數(shù)最值的求法，求得的最大值.
【詳解】
依題意在直角中，，，
以為原點建立如圖所示平面直角坐標(biāo)系，
，設(shè)是的中點，則.
，所以滿足，
設(shè)（為參數(shù)，），
依題意，
即，
，
，，
所以當(dāng)時，取得最大值為.
故選：C
例90．（2022·上?！じ呷龑ｎ}練習(xí)）已知的外接圓圓心為，，若(，?)，則的最小值為（ ）
A．B．C．D．2
【答案】D
【解析】
【分析】
設(shè)與 交點為，則其中，由于，得，因為 故的最小值可得.
【詳解】
設(shè)與 交點為，設(shè)，圓的半徑為，為中點，如圖所示：
則，設(shè)，因為三點共線，則
所以，故
因為，則所以 則 ，故 所以的最小值為2
故選：D
【點睛】
設(shè)，因為三點共線，則，得是解題的關(guān)鍵.
例91．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知是內(nèi)一點，且，點在內(nèi)（不含邊界），若，則的取值范圍是
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】
根據(jù)可知O為的重心；根據(jù)點M在內(nèi)，判斷出當(dāng)M與O重合時，最??；當(dāng)M與C重合時，的值最大，因不含邊界，所以取開區(qū)間即可．
【詳解】
因為是內(nèi)一點，且
所以O(shè)為的重心
在內(nèi)（不含邊界），且當(dāng)M與O重合時，最小，此時

所以，即
當(dāng)M與C重合時，最大，此時

所以，即
因為在內(nèi)且不含邊界
所以取開區(qū)間，即
所以選B
【點睛】
本題考查了向量在三角形中的線性運算，特殊位置法的應(yīng)用，屬于難題．
例92．（2022·全國·高三專題練習(xí)）在矩形ABCD中，AB=1，AD=2，動點P在以點C為圓心且與BD相切的圓上．若= +，則+的最大值為
A．3B．2C．D．2
【答案】A【解析】
【詳解】
如圖所示，建立平面直角坐標(biāo)系.
設(shè),
易得圓的半徑，即圓C的方程是，
，若滿足，
則 ，，所以，
設(shè)，即，點在圓上，
所以圓心到直線的距離，即，解得，
所以的最大值是3，即的最大值是3，故選A.
例93．（2022·四川綿陽·高一期中）在扇形中，，為弧上的一動點，若，則的取值范圍是_________．
【答案】
【解析】
【分析】
以O(shè)為原點，分別為x，y軸正方向建立平面直角坐標(biāo)系.向量坐標(biāo)化進行坐標(biāo)運算，利用三角函數(shù)求出的取值范圍.
【詳解】
以O(shè)為原點，分別為x，y軸正方向建立平面直角坐標(biāo)系.
則.不妨設(shè).
因為，所以，解得：，
所以.
因為在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞減，所以在上單調(diào)遞減.
所以當(dāng)時最大；當(dāng)時最小.
所以的取值范圍是.
故答案為：.
例94．（2022·上海·模擬預(yù)測）在直角中，為直角，，M是內(nèi)一點，且，若，則的最大值為_________．
【答案】
【解析】
【分析】
由得出，即，且由，，設(shè)，，然后利用輔助角公式可求出的最大值.
【詳解】
，，，，則，且，
則，點在內(nèi)，則，，設(shè)，，
，其中，
因此，的最大值為.
故答案為：.
例95．（2022·山東菏澤·高一期中）如圖，在邊長為2的正六邊形ABCDEF中，動圓Q的半徑為1，圓心Q在線段CD（含端點）上運動，P是圓Q上及其內(nèi)部的動點，設(shè)向量（m，n為實數(shù)），則m＋n的最大值為______．
【答案】5
【解析】
【分析】
根據(jù)及得到，根據(jù)平面向量知識得到，利用可求出結(jié)果.
【詳解】
在邊長為的正六邊形中，，，
所以，當(dāng)且僅當(dāng)與重合時，等號成立，
又，即，當(dāng)時，是的延長線與圓的交點，此時，由可知，.
因為，且，
所以
，
所以，結(jié)合圖形可知，，由，得，即，即，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，
所以，
所以，又，時，等號成立，
所以，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立.
即m＋n的最大值為.
故答案為：.
例96．（2022·全國·高一期末）如圖，扇形的半徑為1，且，點C在弧上運動，若，則的最大值是__________
【答案】
【解析】
【分析】
根據(jù)題意將，兩邊同時平方可得，再三角代換，利用三角函數(shù)的性質(zhì)即得．
【詳解】
由題意得，，，，
由，等式兩邊同時平方，得，
所以，令，則，
則，其中，
因為，
所以，所以，
即的最大值為.故答案為：．

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最新高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)講義重難點突破篇 專題13 ω的取值范圍與最值問題：

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