最新高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)講義重難點(diǎn)突破篇專(zhuān)題22 立體幾何中的軌跡問(wèn)題-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

1、明確模擬練習(xí)的目的。不但檢測(cè)知識(shí)的全面性、方法的熟練性和運(yùn)算的準(zhǔn)確性，更是訓(xùn)練書(shū)寫(xiě)規(guī)范，表述準(zhǔn)確的過(guò)程。
2、查漏補(bǔ)缺，以“錯(cuò)”糾錯(cuò)。每過(guò)一段時(shí)間，就把“錯(cuò)題筆記”或標(biāo)記錯(cuò)題的試卷有側(cè)重的看一下。查漏補(bǔ)缺的過(guò)程也就是反思的過(guò)程，逐漸實(shí)現(xiàn)保強(qiáng)攻弱的目標(biāo)。
3、嚴(yán)格有規(guī)律地進(jìn)行限時(shí)訓(xùn)練。特別是強(qiáng)化對(duì)解答選擇題、填空題的限時(shí)訓(xùn)練，將平時(shí)考試當(dāng)作高考，嚴(yán)格按時(shí)完成，并在速度體驗(yàn)中提高正確率。
4、保證常規(guī)題型的堅(jiān)持訓(xùn)練。做到百無(wú)一失，對(duì)學(xué)有余力的學(xué)生，可適當(dāng)拓展高考中難點(diǎn)的訓(xùn)練。
5、注重題后反思總結(jié)。出現(xiàn)問(wèn)題不可怕，可怕的是不知道問(wèn)題的存在，在復(fù)習(xí)中出現(xiàn)的問(wèn)題越多，說(shuō)明你距離成功越近，及時(shí)處理問(wèn)題，爭(zhēng)取“問(wèn)題不過(guò)夜”。
6、重視每次模擬考試的臨考前狀態(tài)的調(diào)整及考后心理的調(diào)整。以平和的心態(tài)面對(duì)高考。
專(zhuān)題22 立體幾何中的軌跡問(wèn)題
【題型歸納目錄】
題型一：由動(dòng)點(diǎn)保持平行求軌跡
題型二：由動(dòng)點(diǎn)保持垂直求軌跡
題型三：由動(dòng)點(diǎn)保持等距（或定長(zhǎng)）求軌跡
題型四：由動(dòng)點(diǎn)保持等角（或定角）求軌跡
題型五：投影求軌跡
題型六：翻折與動(dòng)點(diǎn)求軌跡
【典例例題】
題型一：由動(dòng)點(diǎn)保持平行求軌跡
例1．（多選題）（2022·廣東梅州·高一期末）如圖，已知正方體的棱長(zhǎng)為2，點(diǎn)M為的中點(diǎn)，點(diǎn)P為正方形上的動(dòng)點(diǎn)，則（）
A．滿(mǎn)足MP//平面的點(diǎn)P的軌跡長(zhǎng)度為
B．滿(mǎn)足的點(diǎn)P的軌跡長(zhǎng)度為
C．存在點(diǎn)P，使得平面AMP經(jīng)過(guò)點(diǎn)B
D．存在點(diǎn)P滿(mǎn)足
例2．（多選題）（2022·重慶南開(kāi)中學(xué)模擬預(yù)測(cè)）已知正四棱錐的側(cè)面是邊長(zhǎng)為6的正三角形，點(diǎn)M在棱PD上，且，點(diǎn)Q在底面及其邊界上運(yùn)動(dòng)，且面，則下列說(shuō)法正確的是（）
A．點(diǎn)Q的軌跡為線(xiàn)段
B．與CD所成角的范圍為
C．的最小值為
D．二面角的正切值為
例3．（多選題）（2022·全國(guó)·高一單元測(cè)試）已知正方體的邊長(zhǎng)為2，M為的中點(diǎn)，P為側(cè)面上的動(dòng)點(diǎn)，且滿(mǎn)足平面，則下列結(jié)論正確的是（）
A．B．平面
C．與所成角的余弦值為D．動(dòng)點(diǎn)P的軌跡長(zhǎng)為
例4．（多選題）（2022·江蘇揚(yáng)州·高一期末）如圖，正方體的棱長(zhǎng)為2，E是棱的中點(diǎn)，F(xiàn)是側(cè)面上的動(dòng)點(diǎn)，且滿(mǎn)足平面，則下列結(jié)論中正確的是（）
A．平面截正方體所得截面面積為
B．點(diǎn)F的軌跡長(zhǎng)度為
C．存在點(diǎn)F，使得
D．平面與平面所成二面角的正弦值為
例5．（2022·湖南師大附中三模）已知棱長(zhǎng)為的正四面體，為的中點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)滿(mǎn)足，平面經(jīng)過(guò)點(diǎn)，且平面平面，則平面截點(diǎn)的軌跡所形成的圖形的周長(zhǎng)為_(kāi)________．
例6．（2022·山西·太原五中高一階段練習(xí)）如圖，在正四棱錐中，是的中點(diǎn)，點(diǎn)在側(cè)面內(nèi)及其邊界上運(yùn)動(dòng)，并且總是保持平面．則動(dòng)點(diǎn)的軌跡與組成的相關(guān)圖形最有可能是圖中的（）
A．B．C．D．
例7．（2022·安徽省宣城中學(xué)高二期末）已知正方體的棱長(zhǎng)為分別是棱?的中點(diǎn)，點(diǎn)為底面四邊形內(nèi)（包括邊界）的一動(dòng)點(diǎn)，若直線(xiàn)與平面無(wú)公共點(diǎn)，則點(diǎn)的軌跡長(zhǎng)度為（）
A．2B．C．D．
例8．（2022·河南安陽(yáng)·高二期末（理））如圖，在正方體中，是棱的中點(diǎn)，是側(cè)面內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)，且平面，下面說(shuō)法中正確的是______（將所有正確的序號(hào)都填上）
①存在一點(diǎn)，使得；②存在一點(diǎn)，使得；
③點(diǎn)的軌跡是一條直線(xiàn)；④三棱錐的體積是定值．
【方法技巧與總結(jié)】（1）線(xiàn)面平行轉(zhuǎn)化為面面平行得軌跡
（2）平行時(shí)可利用法向量垂直關(guān)系求軌跡
題型二：由動(dòng)點(diǎn)保持垂直求軌跡
例9．（2022·湖北·高一期末）直四棱柱的底面是邊長(zhǎng)為的正方形，，點(diǎn)為的中點(diǎn)，點(diǎn)為的中點(diǎn)，則點(diǎn)到底面的距離為_(kāi)_________若為底面內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)，且，則動(dòng)點(diǎn)的軌跡長(zhǎng)度為_(kāi)_________．
例10．（2022·湖南·雅禮中學(xué)二模）已知菱形的各邊長(zhǎng)為．如圖所示，將沿折起，使得點(diǎn)到達(dá)點(diǎn)的位置，連接，得到三棱錐，此時(shí)．則三棱錐的體積為_(kāi)_________，是線(xiàn)段的中點(diǎn)，點(diǎn)在三棱錐的外接球上運(yùn)動(dòng)，且始終保持，則點(diǎn)的軌跡的周長(zhǎng)為_(kāi)_________．
例11．（2022·四川雅安·高一期末）點(diǎn)M是棱長(zhǎng)為2的正方體的內(nèi)切球O球面上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)N為BC邊上中點(diǎn)，若，則動(dòng)點(diǎn)M的軌跡的長(zhǎng)度為_(kāi)_____．
例12．（多選題）（2022·湖北孝感·高二期末）如圖，已知正方體ABCD—的棱長(zhǎng)為1，P為正方形底面ABCD內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的有（）
A．三棱錐-的體積為定值
B．存在點(diǎn)P，使得
C．若，則P點(diǎn)在正方形底面ABCD內(nèi)的運(yùn)動(dòng)軌跡是線(xiàn)段AC
D．若點(diǎn)P是AD的中點(diǎn)，點(diǎn)Q是的中點(diǎn)，過(guò)P，Q作平面α垂直于平面，則平面α截正方體的截面周長(zhǎng)為3
例13．（多選題）（2022·全國(guó)·高二專(zhuān)題練習(xí)）已知棱長(zhǎng)為4的正方體中，，點(diǎn)P在正方體的表面上運(yùn)動(dòng)，且總滿(mǎn)足，則下列結(jié)論正確的是（）
A．點(diǎn)P的軌跡所圍成圖形的面積為5B．點(diǎn)P的軌跡過(guò)棱上靠近的四等分點(diǎn)
C．點(diǎn)P的軌跡上有且僅有兩個(gè)點(diǎn)到點(diǎn)C的距離為6D．直線(xiàn)與直線(xiàn)MP所成角的余弦值的最大值為
例14．（2022·全國(guó)·高一專(zhuān)題練習(xí)）在正方體中，點(diǎn)P在側(cè)面及其邊界上運(yùn)動(dòng)，并且總保持，則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡是（）
A．線(xiàn)段
B．線(xiàn)段
C．中點(diǎn)與中點(diǎn)連成的線(xiàn)段
D．中點(diǎn)與中點(diǎn)連成的線(xiàn)段
例15．（2022·河南許昌·三模（文））如圖，在體積為3的三棱錐P-ABC中，PA，PB，PC兩兩垂直，，若點(diǎn)M是側(cè)面CBP內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，且滿(mǎn)足，則點(diǎn)M的軌跡長(zhǎng)度的最大值為（）

A．3B．6C．D．
例16．（2022·浙江·杭州市富陽(yáng)區(qū)場(chǎng)口中學(xué)高二期末）如圖，在直三棱柱中，是邊長(zhǎng)為2的正三角形，，N為棱上的中點(diǎn)，M為棱上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)N作平面ABM的垂線(xiàn)段，垂足為點(diǎn)O，當(dāng)點(diǎn)M從點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)O的軌跡長(zhǎng)度為（）
A．B．C．D．
例17．（2022·浙江·高二階段練習(xí)）已知正四棱錐，底面邊長(zhǎng)為，，交于點(diǎn)，平面，，為的中點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)在該棱錐的側(cè)面上運(yùn)動(dòng)，并且，則點(diǎn)軌跡長(zhǎng)度為（）
A．1B．C．D．2
例18．（2022·云南·昆明一中高三階段練習(xí)（理））已知四面體，，二面角為，為棱中點(diǎn)，為四面體表面上一動(dòng)點(diǎn)，且總滿(mǎn)足，則點(diǎn)軌跡的長(zhǎng)度為_(kāi)_______．
【方法技巧與總結(jié)】
（1）可利用線(xiàn)線(xiàn)線(xiàn)面垂直，轉(zhuǎn)化為面面垂直，得交線(xiàn)求軌跡
（2）利用空間坐標(biāo)運(yùn)算求軌跡（3）利用垂直關(guān)系轉(zhuǎn)化為平行關(guān)系求軌跡
題型三：由動(dòng)點(diǎn)保持等距（或定長(zhǎng)）求軌跡
例19．（2022·四川成都·高二期中（理））如圖，已知棱長(zhǎng)為2的正方體A′B′C′D′－ABCD，M是正方形BB′C′C的中心，P是△A′C′D內(nèi)（包括邊界）的動(dòng)點(diǎn)，滿(mǎn)足PM=PD，則點(diǎn)P的軌跡長(zhǎng)度為_(kāi)_____．
例20．（多選題）（2022·山東·模擬預(yù)測(cè)）如圖，正方體的棱長(zhǎng)為2，點(diǎn)M是其側(cè)面上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（含邊界），點(diǎn)P是線(xiàn)段上的動(dòng)點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（）
A．存在點(diǎn)P，M，使得平面與平面平行
B．存在點(diǎn)P，M，使得二面角大小為
C．當(dāng)P為棱的中點(diǎn)且時(shí)，則點(diǎn)M的軌跡長(zhǎng)度為
D．當(dāng)M為中點(diǎn)時(shí)，四棱錐外接球的內(nèi)接正四面體的表面積為
例21．（多選題）（2022·福建·莆田二中模擬預(yù)測(cè)）在棱長(zhǎng)為1的正方體中，點(diǎn)M是的中點(diǎn)，點(diǎn)P，Q，R在底面四邊形ABCD內(nèi)（包括邊界），平面，，點(diǎn)R到平面的距離等于它到點(diǎn)D的距離，則（）
A．點(diǎn)P的軌跡的長(zhǎng)度為B．點(diǎn)Q的軌跡的長(zhǎng)度為
C．PQ長(zhǎng)度的最小值為D．PR長(zhǎng)度的最小值為
例22．（2022·江西·模擬預(yù)測(cè)（理））已知正方體的棱長(zhǎng)為3，點(diǎn)P在的內(nèi)部及其邊界上運(yùn)動(dòng)，且，則點(diǎn)P的軌跡長(zhǎng)度為（）
A． B． C． D．
例23．（多選題）（2022·遼寧·高一期末）如圖，正方體棱長(zhǎng)為2，點(diǎn)M是其側(cè)面上的動(dòng)點(diǎn)（含邊界），點(diǎn)P是線(xiàn)段上的動(dòng)點(diǎn)，下列結(jié)論正確的是（）
A．存在點(diǎn)P，M，使得平面與平面PBD平行
B．當(dāng)點(diǎn)P為中點(diǎn)時(shí)，過(guò)點(diǎn)的平面截該正方體所得的截面是梯形
C．過(guò)點(diǎn)A，P，M的平面截該正方體所得的截面圖形不可能為五邊形
D．當(dāng)P為棱的中點(diǎn)且時(shí)，則點(diǎn)M的軌跡長(zhǎng)度為
例24．（2022·河南安陽(yáng)·模擬預(yù)測(cè)（文））在四邊形ABCD中，，，P為空間中的動(dòng)點(diǎn)，，E為PD的中點(diǎn)，則動(dòng)點(diǎn)E的軌跡長(zhǎng)度為（）
A．B．C．D．
例25．（2022·四川達(dá)州·高二期末（理））正方體的棱長(zhǎng)為1，點(diǎn)P在正方體內(nèi)部及表面上運(yùn)動(dòng)，下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（）
A．若點(diǎn)P在線(xiàn)段上運(yùn)動(dòng)，則AP與所成角的范圍為
B．若點(diǎn)P在矩形內(nèi)部及邊界上運(yùn)動(dòng)，則AP與平面所成角的取值范圍是
C．若點(diǎn)P在內(nèi)部及邊界上運(yùn)動(dòng)，則AP的最小值為
D．若點(diǎn)P滿(mǎn)足，則點(diǎn)P軌跡的面積為
例26．（2022·江西省樂(lè)平中學(xué)高一期末）已知正方體的棱長(zhǎng)為，過(guò)頂點(diǎn)的平面為，點(diǎn)是平面內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)，，則點(diǎn)的軌跡長(zhǎng)度等于（）
A．B．C．D．
【方法技巧與總結(jié)】
（1）距離，可轉(zhuǎn)化為在一個(gè)平面內(nèi)的距離關(guān)系，借助于圓錐曲線(xiàn)定義或者球和圓的定義等知識(shí)求解軌跡
（2）利用空間坐標(biāo)計(jì)算求軌跡
題型四：由動(dòng)點(diǎn)保持等角（或定角）求軌跡
例27．（2022·福建·三明一中模擬預(yù)測(cè)）已知正方體中，，點(diǎn)E為平面內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)，設(shè)直線(xiàn)與平面所成的角為，若，則點(diǎn)E的軌跡所圍成的面積為_(kāi)__________．
例28．（多選題）（2022·云南·昭通市第一中學(xué)高一階段練習(xí)）（多選）如圖，若正方體的棱長(zhǎng)為，點(diǎn)是正方體的側(cè)面上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（含邊界），是棱的中點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（）
A．沿正方體的表面從點(diǎn)到點(diǎn)的最短路程為
B．若保持，則點(diǎn)在側(cè)面內(nèi)運(yùn)動(dòng)路徑的長(zhǎng)度為
C．三棱錐的體積最大值為
D．若點(diǎn)滿(mǎn)足，則點(diǎn)的軌跡為線(xiàn)段
例29．（多選題）（2022·福建·廈門(mén)外國(guó)語(yǔ)學(xué)校高二階段練習(xí)）如圖，在棱長(zhǎng)為1的正方體ABCD—中，E為側(cè)面的中心，F(xiàn)是棱的中點(diǎn)，若點(diǎn)P為線(xiàn)段上的動(dòng)點(diǎn)，N為ABCD所在平面內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)，則下列說(shuō)法正確的是（）
A．·的最小值為
B．若，則平面PAC截正方體所得截面的面積為
C．若與AB所成的角為，則N點(diǎn)的軌跡為雙曲線(xiàn)的一部分
D．若正方體繞旋轉(zhuǎn)θ角度后與其自身重合，則θ的最小值是
例30．（2022·福建省福州第一中學(xué)三模）在三棱錐中，平面，，，則三棱錐外接球的表面積為_(kāi)__________；若動(dòng)點(diǎn)M在該三棱錐外接球上，且，則點(diǎn)M的軌跡長(zhǎng)為_(kāi)__________．
例31．（2022·江西·景德鎮(zhèn)一中高一期末）已知正方體的棱長(zhǎng)為1，空間一動(dòng)點(diǎn)滿(mǎn)足，且，則______，點(diǎn)的軌跡圍成的封閉圖形的面積為_(kāi)_____．
例32．（多選題）（2022·福建龍巖·高二期末）若正方體的棱長(zhǎng)為1，且，其中，則下列結(jié)論正確的是（）
A．當(dāng)時(shí)，三棱錐的體積為定值
B．當(dāng)時(shí)，三棱錐的體積為定值
C．當(dāng)時(shí)，的最小值為
D．若，點(diǎn)P的軌跡為一段圓弧
例33．（多選題）（2022·江蘇鹽城·高二期末）在長(zhǎng)方體中，點(diǎn)M是棱AD的中點(diǎn)，，點(diǎn)P在側(cè)面的邊界及其內(nèi)部運(yùn)動(dòng)，則（）
A．直線(xiàn)MP與直線(xiàn)所成角的最大值為90°B．若，則點(diǎn)P的軌跡為橢圓的一部分
C．不存在點(diǎn)P，使得∥平面
D．若平面與平面ABCD和平面與平面所成的銳二面角相等，則點(diǎn)P的軌跡長(zhǎng)度為
例34．（多選題）（2022·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）在三棱錐中，，，，二面角的大小為，點(diǎn)M為側(cè)面△PAB上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)M到直線(xiàn)PA的距離為，點(diǎn)M到平面ABC的距離為，若，則（）
A．B．點(diǎn)M到直線(xiàn)AB的距離等于
C．點(diǎn)M的軌跡為一段圓弧D．點(diǎn)M的軌跡長(zhǎng)度為
例35．（多選題）（2022·湖北·宜昌市一中高一階段練習(xí)）如圖，點(diǎn)是棱長(zhǎng)為1的正方體中的側(cè)面上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（包含邊界），則下列結(jié)論正確的是（）
A．存在無(wú)數(shù)個(gè)點(diǎn)滿(mǎn)足
B．當(dāng)點(diǎn)在棱上運(yùn)動(dòng)時(shí)，的最小值為
C．在線(xiàn)段上存在點(diǎn)，使異面直線(xiàn)與所成的角是
D．滿(mǎn)足的點(diǎn)的軌跡長(zhǎng)度是
例36．（多選題）（2022·山東聊城·三模）在直四棱柱中，所有棱長(zhǎng)均2，，P為的中點(diǎn)，點(diǎn)Q在四邊形內(nèi)（包括邊界）運(yùn)動(dòng)，下列結(jié)論中正確的是（）
A．當(dāng)點(diǎn)Q在線(xiàn)段上運(yùn)動(dòng)時(shí)，四面體的體積為定值
B．若平面，則AQ的最小值為
C．若的外心為M，則為定值2
D．若，則點(diǎn)Q的軌跡長(zhǎng)度為
例37．（2022·廣東茂名·模擬預(yù)測(cè)）在四棱錐中，平面，點(diǎn)M是矩形內(nèi)（含邊界）的動(dòng)點(diǎn)，且，直線(xiàn)與平面所成的角為．記點(diǎn)M的軌跡長(zhǎng)度為，則（）
A．B．1C．D．2
【方法技巧與總結(jié)】
（1）直線(xiàn)與面成定角，可能是圓錐側(cè)面．
（2）直線(xiàn)與定直線(xiàn)成等角，可能是圓錐側(cè)面
（3）利用空間坐標(biāo)系計(jì)算求軌跡
題型五：投影求軌跡
例38．（2022·山東日照·三模）如圖所示，二面角的平面角的大小為，是上的兩個(gè)定點(diǎn)，且，滿(mǎn)足與平面所成的角為，且點(diǎn)在平面上的射影在的內(nèi)部（包括邊界），則點(diǎn)的軌跡的長(zhǎng)度等于_________．
例39．（2022·云南師大附中高二期中）1822年，比利時(shí)數(shù)學(xué)家Dandelin利用圓錐曲線(xiàn)的兩個(gè)內(nèi)切球，證明了用一個(gè)平面去截圓錐，可以得到橢圓（其中兩球與截面的切點(diǎn)即為橢圓的焦點(diǎn)），實(shí)現(xiàn)了橢圓截線(xiàn)定義與軌跡定義的統(tǒng)一性．在生活中，有一個(gè)常見(jiàn)的現(xiàn)象：用手電筒斜照地面上的籃球，留下的影子會(huì)形成橢圓．這是由于光線(xiàn)形成的圓錐被地面所截產(chǎn)生了橢圓的截面．如圖，在地面的某個(gè)占正上方有一個(gè)點(diǎn)光源，將小球放置在地面，使得與小球相切．若，小球半徑為2，則小球在地面的影子形成的橢圓的離心率為（）
A．B．C．D．
例40．（2022·河南·一模（理））橢圓是日常生活中常見(jiàn)的圖形，在圓柱形的玻璃杯中盛半杯水，將杯體傾斜一個(gè)角度，水面的邊界即是橢圓．現(xiàn)有一高度為12厘米，底面半徑為3厘米的圓柱形玻璃杯，且杯中所盛水的體積恰為該玻璃杯容積的一半（玻璃厚度忽略不計(jì)），在玻璃杯傾斜的過(guò)程中（杯中的水不能溢出），杯中水面邊界所形成的橢圓的離心率的取值范圍是（）
A．B．C．D．
例41．（2022·重慶市第十一中學(xué)校高三階段練習(xí)）參加數(shù)學(xué)興趣小組的小何同學(xué)在打籃球時(shí)，發(fā)現(xiàn)當(dāng)籃球放在地面上時(shí)，籃球的斜上方燈泡照過(guò)來(lái)的光線(xiàn)使得籃球在地面上留下的影子有點(diǎn)像數(shù)學(xué)課堂上學(xué)過(guò)的橢圓，但他自己還是不太確定這個(gè)想法，于是回到家里翻閱了很多參考資料，終于明白自己的猜想是沒(méi)有問(wèn)題的，而且通過(guò)學(xué)習(xí)，他還確定地面和籃球的接觸點(diǎn)（切點(diǎn)）就是影子橢圓的焦點(diǎn)．他在家里做了個(gè)探究實(shí)驗(yàn)：如圖所示，桌面上有一個(gè)籃球，若籃球的半徑為個(gè)單位長(zhǎng)度，在球的右上方有一個(gè)燈泡（當(dāng)成質(zhì)點(diǎn)），燈泡與桌面的距離為個(gè)單位長(zhǎng)度，燈泡垂直照射在平面的點(diǎn)為，影子橢圓的右頂點(diǎn)到點(diǎn)的距離為個(gè)單位長(zhǎng)度，則這個(gè)影子橢圓的離心率______．
例42．（2022·江西南昌·二模（理））通過(guò)研究發(fā)現(xiàn)：點(diǎn)光源P斜照射球，在底面上形成的投影是橢圓，且球與底面相切于橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)（如圖所示），如圖是底面邊長(zhǎng)為2?高為3的正四棱柱，一實(shí)心小球與正四棱柱的下底面及四個(gè)側(cè)面均相切，若點(diǎn)光源P位于的中點(diǎn)處時(shí)，則在平面上的投影形成的橢圓的離心率是___________．
例43．（2022·吉林·東北師大附中模擬預(yù)測(cè)（理））如圖，已知水平地面上有一半徑為4的球，球心為，在平行光線(xiàn)的照射下，其投影的邊緣軌跡為橢圓O．如圖，橢圓中心為O，球與地面的接觸點(diǎn)為E，．若光線(xiàn)與地面所成角為，橢圓的離心率__________．
【方法技巧與總結(jié)】
（1）球的非正投影，可能是橢圓面
（2）多面體的投影，多為多邊形．題型六：翻折與動(dòng)點(diǎn)求軌跡
例44．（2022·江西萍鄉(xiāng)·三模（理））如圖，在正方形中，點(diǎn)是邊的中點(diǎn)，將沿翻折到，連接，在翻折到的過(guò)程中，下列說(shuō)法正確的是_________．（將正確說(shuō)法的序號(hào)都寫(xiě)上）

①點(diǎn)的軌跡為圓??；
②存在某一翻折位置，使得；
③棱的中點(diǎn)為，則的長(zhǎng)為定值；
例45．（2022·河南·襄城縣教育體育局教學(xué)研究室二模（文））已知矩形ABCD中，，點(diǎn)M，N分別為線(xiàn)段AB，CD的中點(diǎn)，現(xiàn)將△ADM沿DM翻轉(zhuǎn)，直到與△NDM首次重合，則此過(guò)程中，點(diǎn)A的運(yùn)動(dòng)軌跡長(zhǎng)度為（）
A．B．C．D．
例46．（2022·河南·模擬預(yù)測(cè)（理））如圖，在長(zhǎng)方形ABCD中，，，E為BC的中點(diǎn)，將△沿AE向上翻折到的位置，連接PC，PD，在翻折的過(guò)程中，以下結(jié)論錯(cuò)誤的是（）
A．四棱錐體積的最大值為
B．PD的中點(diǎn)F的軌跡長(zhǎng)度為
C．EP，CD與平面PAD所成的角相等
D．三棱錐外接球的表面積有最小值
例47．（多選題）（2022·山西大同·高一期末）已知正方形ABCD的邊長(zhǎng)為2，將沿AC翻折到的位置，得到四面體，在翻折過(guò)程中，點(diǎn)始終位于所在平面的同一側(cè)，且的最小值為，則下列結(jié)論正確的是（）A．四面體的外接球的表面積為
B．四面體體積取最大值時(shí)，與平面ABC所成角為45°
C．點(diǎn)D的運(yùn)動(dòng)軌跡的長(zhǎng)度為
D．邊AD旋轉(zhuǎn)所形成的曲面的面積為
【方法技巧與總結(jié)】
（1）翻折過(guò)程中尋找不變的垂直的關(guān)系求軌跡
（2）翻折過(guò)程中尋找不變的長(zhǎng)度關(guān)系求軌跡
（3）可以利用空間坐標(biāo)運(yùn)算求軌跡

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