1、明確模擬練習的目的。不但檢測知識的全面性、方法的熟練性和運算的準確性，更是訓練書寫規(guī)范，表述準確的過程。
2、查漏補缺，以“錯”糾錯。每過一段時間，就把“錯題筆記”或標記錯題的試卷有側(cè)重的看一下。查漏補缺的過程也就是反思的過程，逐漸實現(xiàn)保強攻弱的目標。
3、嚴格有規(guī)律地進行限時訓練。特別是強化對解答選擇題、填空題的限時訓練，將平時考試當作高考，嚴格按時完成，并在速度體驗中提高正確率。
4、保證常規(guī)題型的堅持訓練。做到百無一失，對學有余力的學生，可適當拓展高考中難點的訓練。
5、注重題后反思總結(jié)。出現(xiàn)問題不可怕，可怕的是不知道問題的存在，在復習中出現(xiàn)的問題越多，說明你距離成功越近，及時處理問題，爭取“問題不過夜”。
6、重視每次模擬考試的臨考前狀態(tài)的調(diào)整及考后心理的調(diào)整。以平和的心態(tài)面對高考。
專題20 玩轉(zhuǎn)外接球、內(nèi)切球、棱切球
【考點預測】
知識點一：正方體、長方體外接球
1．正方體的外接球的球心為其體對角線的中點，半徑為體對角線長的一半．
2．長方體的外接球的球心為其體對角線的中點，半徑為體對角線長的一半．
3．補成長方體
（1）若三棱錐的三條側(cè)棱兩兩互相垂直，則可將其放入某個長方體內(nèi)，如圖1所示．
（2）若三棱錐的四個面均是直角三角形，則此時可構(gòu)造長方體，如圖2所示．
（3）正四面體可以補形為正方體且正方體的棱長，如圖3所示．
（4）若三棱錐的對棱兩兩相等，則可將其放入某個長方體內(nèi)，如圖4所示
圖1 圖2 圖3 圖4
知識點二：正四面體外接球
如圖，設正四面體的的棱長為，將其放入正方體中，則正方體的棱長為，顯然正四面體和正方體有相同的外接球．正方體外接球半徑為，即正四面體外接球半徑為．
知識點三：對棱相等的三棱錐外接球
四面體中，，，，這種四面體叫做對棱相等四面體，可以通過構(gòu)造長方體來解決這類問題．
如圖，設長方體的長、寬、高分別為，則，三式相加可得而顯然四面體和長方體有相同的外接球，設外接球半徑為，則，所以．
知識點四：直棱柱外接球
如圖1，圖2，圖3，直三棱柱內(nèi)接于球（同時直棱柱也內(nèi)接于圓柱，棱柱的上下底面可以是任意三角形）

圖1 圖2 圖3
第一步：確定球心的位置，是的外心，則平面；
第二步：算出小圓的半徑，（也是圓柱的高）；
第三步：勾股定理：，解出
知識點五：直棱錐外接球
如圖，平面，求外接球半徑．
解題步驟：
第一步：將畫在小圓面上，為小圓直徑的一個端點，作小圓的直徑，連接，則必過球心；
第二步：為的外心，所以平面，算出小圓的半徑(三角形的外接圓直徑算法：利用正弦定理，得)，；第三步：利用勾股定理求三棱錐的外接球半徑： = 1 \* GB3 ①；
= 2 \* GB3 ②．
知識點六：正棱錐與側(cè)棱相等模型
1．正棱錐外接球半徑： ．
2．側(cè)棱相等模型：
如圖，的射影是的外心
三棱錐的三條側(cè)棱相等
三棱錐的底面在圓錐的底上，頂點點也是圓錐的頂點．

解題步驟：
第一步：確定球心的位置，取的外心，則三點共線；
第二步：先算出小圓的半徑，再算出棱錐的高（也是圓錐的高）；
第三步：勾股定理：，解出．
知識點七：側(cè)棱為外接球直徑模型
方法：找球心，然后作底面的垂線，構(gòu)造直角三角形．
知識點八：共斜邊拼接模型
如圖，在四面體中，，，此四面體可以看成是由兩個共斜邊的直角三角形拼接而形成的，為公共的斜邊，故以“共斜邊拼接模型”命名之．設點為公共斜邊的中點，根據(jù)直角三角形斜邊中線等于斜邊的一半的結(jié)論可知，，即點到，，，四點的距離相等，故點就是四面體外接球的球心，公共的斜邊就是外接球的一條直徑．
知識點九：垂面模型
如圖1所示為四面體，已知平面平面，其外接球問題的步驟如下：
（1）找出和的外接圓圓心，分別記為和．
（2）分別過和作平面和平面的垂線，其交點為球心，記為．
（3）過作的垂線，垂足記為，連接，則．
（4）在四棱錐中，垂直于平面，如圖2所示，底面四邊形的四個頂點共圓且為該圓的直徑．

圖1 圖2
知識點十：最值模型
這類問題是綜合性問題，方法較多，常見方法有：導數(shù)法，基本不等式法，觀察法等
知識點十一：二面角模型
如圖1所示為四面體，已知二面角大小為，其外接球問題的步驟如下：
（1）找出和的外接圓圓心，分別記為和．
（2）分別過和作平面和平面的垂線，其交點為球心，記為．
（3）過作的垂線，垂足記為，連接，則．
（4）在四棱錐中，垂直于平面，如圖2所示，底面四邊形的四個頂點共圓且為該圓的直徑．
知識點十二：坐標法
對于一般多面體的外接球，可以建立空間直角坐標系，設球心坐標為，利用球心到各頂點的距離相等建立方程組，解出球心坐標，從而得到球的半徑長．坐標的引入，使外接球問題的求解從繁瑣的定理推論中解脫出來，轉(zhuǎn)化為向量的計算，大大降低了解題的難度．
知識點十三：圓錐圓柱圓臺模型
1．球內(nèi)接圓錐
如圖，設圓錐的高為，底面圓半徑為，球的半徑為．通常在中，由勾股定理建立方程來計算．如圖，當時，球心在圓錐內(nèi)部；如圖，當時，球心在圓錐外部．和本專題前面的內(nèi)接正四棱錐問題情形相同，圖2和圖3兩種情況建立的方程是一樣的，故無需提前判斷．
由圖、圖可知，或，故，所以．
2．球內(nèi)接圓柱
如圖，圓柱的底面圓半徑為，高為，其外接球的半徑為，三者之間滿足．
3．球內(nèi)接圓臺，其中分別為圓臺的上底面、下底面、高．
知識點十四：錐體內(nèi)切球
方法：等體積法，即
知識點十五：棱切球
方法：找切點，找球心，構(gòu)造直角三角形
【題型歸納目錄】
題型一：正方體、長方體模型
題型二： 正四面體模型
題型三：對棱相等模型
題型四：直棱柱模型
題型五：直棱錐模型
題型六：正棱錐與側(cè)棱相等模型
題型七：側(cè)棱為外接球直徑模型
題型八：共斜邊拼接模型
題型九：垂面模型
題型十：最值模型
題型十一：二面角模型
題型十二：坐標法模型
題型十三：圓錐圓柱圓臺模型
題型十四：錐體內(nèi)切球
題型十五：棱切球
【典例例題】
題型一：正方體、長方體模型
例1．（2022·陜西安康·高二期末（理））長方體的長，寬，高分別為3，，1，其頂點都在球O的球面上，則球O的體積為（ ）
A．B．C．D．
例2．（2022·全國·高一階段練習）已知三棱錐中，，底面，，，則該三棱錐的外接球的體積為（ ）
A．B．C．D．
例3．（2022·北京市第三十五中學高一階段練習）已知正方體外接球的體積是，那么正方體的體對角線等于（ ）
A．B．4C．D．．
例4．（2022·黑龍江·勃利縣高級中學高一期中）據(jù)《九章算術(shù)》記載，“鱉臑”為四個面都是直角三角形的三棱錐．如圖所示，現(xiàn)有一個“鱉臑”，底面，，且，三棱錐外接球表面積為（ ）
A．B．C．D．
例5．（2022·河北·高一期中）《九章算術(shù)》中將底面為長方形且有一條側(cè)棱與底面垂直的四棱錐稱為“陽馬”．現(xiàn)有一“陽馬”，平面，，的面積為4，則該“陽馬”外接球的表面積的最小值為（ ）
A．B．C．D．
例6．（2022·河南·模擬預測（文））在三棱錐中，已知平面，，且，，，則該三棱錐外接球的表面積為（ ）
A．B．C．D．
題型二： 正四面體模型
例7．（2022·全國·高三專題練習（理））棱長為a的正方體內(nèi)有一個棱長為x的正四面體，且該正四面體可以在正方體內(nèi)任意轉(zhuǎn)動，則x的最大值為（ ）
A．B．C．D．
例8．（2022·河南·西平縣高級中學模擬預測（理））一個正四面體的棱長為2，則這個正四面體的外接球的體積為（ ）
A．B．C．D．
例9．（2022·貴州師大附中高二開學考試（理））已知正四面體的棱長為2，則其外接球的表面積為（ ）
A．B．C．D．
例10．（2022·河北·石家莊二中一模（理））如圖所示，正四面體中，是棱的中點，是棱上一動點，的最小值為，則該正四面體的外接球表面積是（ ）
A．B．C．D．
例11．（2022·貴州·凱里一中高二期末（理））我們將四個面均為正三角形的四面體稱為“正四面體”，在正四面體中，分別為棱的中點，當時，四面體的外接球的表面積為
A．B．C．D．
例12．（2022·全國·高三專題練習）金剛石是碳原子的一種結(jié)構(gòu)晶體，屬于面心立方晶胞（晶胞是構(gòu)成晶體的最基本的幾何單元），即碳原子處在立方體的個頂點，個面的中心，此外在立方體的對角線的處也有個碳原子，如圖所示（綠色球），碳原子都以共價鍵結(jié)合，原子排列的基本規(guī)律是每一個碳原子的周圍都有個按照正四面體分布的碳原子．設金剛石晶胞的棱長為，則正四面體的棱長為__________；正四面體的外接球的體積是__________．
題型三：對棱相等模型
例13．（2022?讓胡路區(qū)校級模擬）在四面體中，若，，，則四面體的外接球的表面積為
A．B．C．D．
例14．已知四面體中，，，，若該四面體的各個頂點都在同一球面上，則此球的表面積為
A．B．C．D．
例15．如圖，在三棱錐中，，，，則三棱錐外接球的體積為
A．B．C．D．
例16．（2022?永安市校級期中）在三棱錐中，，，，則三棱錐的外接球的表面積為
A．B．C．D．
例17．（2022?羅湖區(qū)月考）已知在四面體中，，則四面體的外接球表面積為 ．
例18．（2022?三模擬）在四面體中，，，，則其外接球的表面積為 ．
題型四：直棱柱模型
例19．（2022·山西·太原五中高一階段練習）在直三棱柱中，若，則該直三棱柱外接球的表面積為（ ）
A．B．C．D．
例20．（2022·安徽·合肥市第六中學高一期中）設直三棱柱的所有頂點都在一個球面上，，，且底面的面積為，則此直三棱柱外接球的表面積是（ ）
A．B．C．D．
例21．（2022·河南·高三階段練習（文））已知正六棱柱的每個頂點都在球O的球面上，且，，則球O的表面積為（ ）
A．B．C．D．
例22．（2022·全國·高二課時練習）表面積為81π的球，其內(nèi)接正四棱柱（底面是正方形的直棱柱）的高是7，則這個正四棱柱的底面邊長為______．
例23．（2022·河南·高三階段練習（理））已知正三棱柱的外接球表面積為，則正三棱柱的所有棱長之和的最大值為______．
例24．（2022·浙江·高二期中）在直三棱柱中，且，已知該三棱柱的體積為2，則此三棱柱外接球表面積的最小值為______．
題型五：直棱錐模型
例25．（2022·青海·海東市第一中學模擬預測（理））已知四棱錐P-ABCD中，平面ABCD，底面ABCD是矩形，，若四棱錐P-ABCD外接球的表面積為，則四棱錐P-ABCD的體積為（ ）
A．3B．2C．D．1
例26．（2022·全國·高三專題練習）《九章算術(shù)》中將四個面都為直角三角形的三棱錐稱之為鱉臑．若三棱錐為鱉臑，平面，，，，三棱錐的四個頂點都在球的球面上，則球的表面積為（ ）
A．B．C．D．
例27．（2022·廣西·賓陽中學高一階段練習）已知三棱錐中， 平面，，三棱錐外接球的表面積為，則球的體積為_______，異面直線，所成角的余弦值為________．
例28．（2022·河南·新鄉(xiāng)市第一中學高一期末）已知三棱錐中，平面，，，，則三棱錐外接球的表面積為______．
例29．（2022·青?！ず|市第一中學模擬預測（文））已知在三棱錐中，，，，平面，則三棱錐的外接球的表面積是（ ）
A．B．C．D．
例30．（2022·全國·高一階段練習）已知三棱錐中，，底面，，，則該三棱錐的外接球的體積為（ ）
A．B．C．D．
例31．（2022·河北滄州·高一期末）已知在三棱錐中，平面，，則三棱錐外接球的表面積為（ ）
A．B．C．D．
題型六：正棱錐與側(cè)棱相等模型
例32．（2022·江西·高三階段練習（文））在正三棱錐中，，P到平面ABC的距離為2，則該三棱錐外接球的表面積為（ ）
A．B．C．D．
例33．（2022·江蘇·高一課時練習）如圖在正三棱錐中，分別是棱的中點，為棱上的一點，且，，若，則此正三棱錐的外接球的體積為（ ）
A．B．C．D．
例34．（2022·重慶市實驗中學高一階段練習）三棱錐體積為，且，則三棱錐外接球的表面積為____________．
例35．（2022·重慶·高二期末）如圖，在三棱錐中，，二面角的余弦值為，若三棱錐的體積為，則三棱錐外接球的表面積為______．
例36．（2022·全國·高一期末）在正三棱錐中，，正三棱錐的體積是，則正三棱錐外接球的表面積是（ ）
A．B．C．D．
例37．（2022·天津市咸水沽第一中學模擬預測）已知正三棱錐的三條側(cè)棱兩兩垂直，且側(cè)棱長為1，則此三棱錐的外接球的表面積為（ ）
A．B．C．D．
例38．（2022·河南安陽·高二階段練習（理））如圖，在三棱錐中，，，二面角的大小為，則三棱錐的外接球的表面積為（ ）
A．B．C．D．
例39．（2022·江蘇南通·高三期末）已知正四棱錐的底面邊長為，側(cè)棱PA與底面ABCD所成的角為45°，頂點P，A，B，C，D在球O的球面上，則球O的體積是（ ）
A．16πB．C．8πD．
例40．（2022·全國·高考真題）已知正四棱錐的側(cè)棱長為l，其各頂點都在同一球面上．若該球的體積為，且，則該正四棱錐體積的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
題型七：側(cè)棱為外接球直徑模型
例41．（2022?五華區(qū)校級期末）已知三棱錐的所有頂點都在球的球面上，，，，為球的直徑，，則這個三棱錐的體積為
A．B．C．D．
例42．（2022?紅花崗區(qū)校級月考）已知三棱錐的所有頂點都在同一個球面上，是邊長為2的正三角形，為球的直徑，若該三棱錐的體積為，則該球的表面積
A．B．C．D．
例43．（2022?撫順校級月考）已知三棱錐的所有頂點都在球的球面上，為球的直徑，且，，為等邊三角形，三棱錐的體積為，則球的表面積為
A．B．C．D．
例44．（2022?永春縣校級月考）已知三棱錐的所有頂點都在球的球面上，是邊長為1的正三角形，為球的直徑，且，則此棱錐的體積為
A．B．C．D．
例45．（2022?本溪月考）已知三棱錐的所有頂點都在球的球面上，是邊長為1的正三角形，為球的直徑，且；則棱錐 A．B．C．D．
例46．（2022?云南校級月考）已知三棱錐的所有頂點都在球的球面上，是邊長為2的正三角形，為球的直徑，且，則此棱錐的體積為
A．B．C．D．
題型八：共斜邊拼接模型
例47．在矩形中，，沿將矩形折成一個直二面角，則四面體的外接球的體積為（ ）
A． B． C． D．
例48．三棱錐中，平面平面， ，，，則三棱錐的外接球的半徑為
例49．在平行四邊形中，滿足，，若將其沿折成直二面角，則三棱錐的外接球的表面積為
A．B．C．D．
例50．在平行四邊形中，，，若將其沿折成直二面角，則三棱錐的外接球的表面積為
A．B．C．D．
例51．（2022·全國·高一期末）已知三棱錐A-BCD中，，，則此幾何體外接球的表面積為（ ）
A．B．C．D．
例52．（2022·江西·高二階段練習（理））如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面是菱形， 底面ABCD， 是對角線與的交點，若，，則三棱錐的外接球的體積為（ ）
A．B．C．D．
題型九：垂面模型
例53．已知是以為斜邊的直角三角形，為平面外一點，且平面平面，，，，則三棱錐外接球的表面積為 ．
【解析】由題意知的中點為 外接圓的圓心，且平面平面
過 作面的垂線，則垂線 一定在面 內(nèi)．
根據(jù)球的性質(zhì)，球心一定在垂線 上，
球心一定在平面 內(nèi)，且球心也是 外接圓的圓心．
在 中，由余弦定理得，，
由正弦定理得：，解得，
三棱錐的外接球的表面積．
故答案為：．
例54．已知點是以為直徑的圓上異于，的動點，為平面外一點，且平面平面，，，，則三棱錐外接球的表面積為 ．
【解析】因為為外接圓的圓心，且平面平面，過作面的垂線，則垂線一定在面內(nèi)，
根據(jù)球的性質(zhì)，球心一定在垂線，
球心一定在面內(nèi)，即球心也是外接圓的圓心，在中，由余弦定理得，，
由正弦定理得：，解得，
三棱錐外接球的表面積為，
故答案為：．
例55．在三棱錐中，，，，平面平面，則三棱錐外接球的表面積為 ．
【解析】如圖，設的外接圓的圓心為
連接，，，連接．
由題意可得，且，．
因為平面平面，且，
所以平面，且．
設為三棱錐外接球的球心，
連接，，，過作，垂足為，
則外接球的半徑滿足，
即，解得，
從而，故三棱錐外接球的表面積為．
故答案為：．
例56．在菱形中，，將這個菱形沿對角線折起，使得平面平面，若此時三棱錐的外接球的表面積為，則的長為 ．
【解析】取的中點，連接，，
在等邊三角形中，，
在等邊三角形中，，
由平面平面，，平面平面，
可得平面，即有，
為等腰直角三角形，
設三棱錐的外接球的球心為，半徑設為，
底面的中心為，面的外心為，
則，，
在直角三角形中，．
而，解得，則，解得，
故答案為：．
例57．在邊長為菱形中，，將這個菱形沿對角線折起，使得平面平面，若此時三棱錐的外接球的表面積為，則
A．B．C．D．3
【解析】取的中點，連接，，
在等邊三角形中，，
在等邊三角形中，，
由平面平面，，平面平面，
可得平面，即有，
為等腰直角三角形，
設三棱錐的外接球的球心為，半徑設為，
底面的中心為，
在直角三角形中，，
而，解得，
則，解得，
故選：．
例58．在三棱錐中，平面平面，，且直線與平面所成角的正切值為2，則該三棱錐的外接球的表面積為
A．B．C．D．
【解析】如圖，過點 作 于， 為 的中點，
設 的外心是，半徑是，連接，，，
由正弦定理得，則，
為 的中點，，
，所以，
因為平面平面， 于，平面平面，
則平面，所以直線 與平面 所成的角是，則
，即，
因為，所以
，則，故，
設三棱錐 外接球球心是，
連接，，，過 作 于，
則平面，于是，從而 是矩形，
所以外接球半徑 滿足
，
解得．
所以外接球的表面積為．
故選：．
例59．已知在三棱錐中，是等邊三角形，，平面平面，若該三棱錐的外接球表面積為，則
A．B．C．D．
【解析】設外接球球心，半徑，由題意可得，，解可得，根據(jù)題意可得為正三角形的中心，
因為，所以，，
所以正三角形的邊長為，
由可得，
因為平面平面，所以，
所以．
故選：．
例60．如圖，已知四棱錐的底面為矩形，平面平面，，，則四棱錐的外接球的表面積為
A．B．C．D．
【解析】取的中點，連接，
中，，，，，
設的中心為，球心為，則，
設到平面的距離為，則，
，，四棱錐的外接球的表面積為．
故選：．
題型十：最值模型
例61．（2022·河南省杞縣高中模擬預測（文））在邊長為6的菱形ABCD中，，現(xiàn)將沿BD折起到的位置，當三棱錐的體積最大時，三棱錐的外接球的表面積為（ ）
A．60πB．45πC．30πD．20π
例62．已知，是球的球面上兩點，，為該球面上的動點，若三棱錐體積的最大值為36，則球的表面積為
A．B．C．D．
【解析】如圖所示，當點位于垂直于面的直徑端點時，三棱錐的體積最大，設球的半徑為，此時，故，則球的表面積為，
故選：．
例63．已知三棱錐的頂點，，都在半徑為2的球面上，是球心，，當與的面積之和最大時，三棱錐的體積為
A．B．C．D．
【解析】設球的半徑為，因為，所以當時，取得最大值，此時，所以平面，所以．
例64．體積為的正三棱錐的每個頂點都在半徑為的球的球面上，球心在此三棱錐內(nèi)部，且，點為的中點，過點作球的截面，則所得截面圓面積的最小值是 ．
【解析】設，則，因為體積為的正三棱錐的每個頂點都在半徑為的球的球面上，所以，解得．
由，得或（舍），所以．
由題意知點為的中點，在中，，解得，
所以當截面垂直于時，截面圓的半徑為，
故截面圓面積的最小值是．
例65．已知底面為正三角形的三棱柱內(nèi)接于半徑為1的球，則三棱柱的體積的最大值為 ．
【解析】解過球心作平面，則為正三角形的中心，連結(jié)，則．
設三棱柱的底面邊長為，則．．
．
棱柱的高．
棱柱的體積．
令．
則，令得或（舍或（舍．當時，，當時，．
當時，（a）取得最大值，
當時，取得最大值1．
故答案為1．
例66．已知底面為正三角形的直三棱柱內(nèi)接于半徑為1的球，當三棱柱的體積最大時，三棱柱的高為 ．
【解析】如圖所示，設為外接球球心，三棱柱的高為，則由題意可知，，，，，
此時三棱柱的體積為，其中．
令，則，令，
則，當時，，函數(shù)增，
當時，，函數(shù)減．故當三棱柱的體積最大時，三棱柱的高為．
故答案為：．
例67．如圖，四邊形的面積為，且，把繞旋轉(zhuǎn)，使點運動到，此時向量與向量的夾角為．則四面體外接球表面積的最小值為
A．B．C．D．
【解析】由題意，設，，，
向量與向量的夾角為．
則，
四面體外接球為
，
當且僅當時，取等號，
故四面體外接球表面積的最小值．
故選：．
例68．已知長方體的體積，，若四面體的外接球的表面積為，則的最小值為
A．B．C．D．
【解析】設，，由于，所以．
根據(jù)長方體的對稱性可知四面體的外接球的即為長方體的外接球，
所以，
所以（當且僅當，等號成立）．
故選：．例69．如圖，在四棱錐中，頂點在底面的投影恰為正方形的中心且，設點、分別為線段、上的動點，已知當取得最小值時，動點恰為的中點，則該四棱錐的外接球的表面積為
A．B．C．D．
【解析】在上取點，使得，
則，
當時，取得最小值，
即的最小值為，
為的中點，故而為的中點，
，，
設外接球的半徑為，則，
解得：．
外接球的表面積為．
故選：．
題型十一：二面角模型
例70．（2022·全國·高三專題練習（文））在三棱錐A-BCD中，，，二面角A-BD-C是鈍角．若三棱錐A-BCD的體積為2，則A-BCD的外接球的表面積是（ ）
A．12πB．13πC．D．
例71．（2022·河南·高三階段練習（理））在三棱錐中，是邊長為的等邊三角形，，二面角是150°，則三棱錐外接球的表面積是（ ）
A．B．
C．D．
例72．（2022·全國·高三專題練習）在三棱錐中，為等腰直角三角形，，為正三角形，且二面角的平面角為，則三棱錐的外接球表面積為（ ）
A．B．C．D．
例73．（2022·陜西·寶雞中學模擬預測）兩個邊長為2的正三角形與，沿公共邊折疊成的二面角，若點在同一球的球面上，則球的表面積為（ ）
A．B．C．D．
例74．（2022·安徽·蒙城第一中學高三階段練習（理））已知空間四邊形ABCD，，，，二面角A-BD-C是，若A?B?C?D四點在同一球面上，則該球的表面積是（ ）
A．15B．18C．21D．24
例75．（2022·黑龍江·哈爾濱三中三模（理））已知菱形中，，將其沿對角線折成四面體，使得二面角的大小為，若該四面體的所有頂點在同一個球面上，則該球的表面積為（ ）
A．B．C．D．
例76．（2022·全國·高三專題練習）四邊形ABDC是菱形，，，沿對角線BC翻折后，二面角A-BD-C的余弦值為，則三棱錐D-ABC的外接球的體積為_____．
例77．（2022·河南·南陽中學三模（文））在邊長為4的正方形ABCD中，E，F(xiàn)，G分別為AD，BC，AB的中點，現(xiàn)將矩形CDEF沿EF折起，使平面CDEF與平面ABFE所成的二面角為直二面角，則四面體CEGF的外接球的表面積為___________．
題型十二：坐標法模型
例78．（2022·黑龍江·大慶實驗中學模擬預測）直角中，是斜邊上的一動點，沿將翻折到，使二面角為直二面角，當線段的長度最小時，四面體的外接球的表面積為（ ）
A．B．C．D．
例79．（2022·全國·高三專題練習（理））如圖，在長方體中，，，，是棱上靠近的三等分點，分別為的中點，是底面內(nèi)一動點，若直線與平面垂直，則三棱錐的外接球的表面積是（ ）
A．B．C．D．
例80．（2022·山西·一模（理））如圖①，在中，，，D，E分別為，的中點，將沿折起到的位置，使，如圖②.若F是的中點，則四面體的外接球體積是（ ）
A．B．C．D．
例81．（2022·全國·高三專題練習）如圖，已知四棱錐，底面是邊長為3的正方形，面，，，，若，則四棱錐外接球表面積為（ ）
A．B．C．D．
例82．（2022·江蘇南通·一模）在三棱錐中，已知是邊長為的正三角形，平面，、分別是、的中點，若異面直線、所成角的余弦值為，則的長為______，三棱錐的外接球表面積為______．
例83．（2022·全國·高三專題練習）如圖，在直角梯形中，，.已知.將沿直線翻折成，連接.當三棱錐的體積取得最大值時，異面直線與所成角的余弦值為___________；若此時三棱錐外接球的體積為，則a的值為___________.
例84．（2022·全國·高三專題練習）一個四面體的頂點在空間直角坐標系中的坐標分別是、、、，則該四面體的內(nèi)切球與外接球體積之比為______
例85．（2022·遼寧·沈陽二十中高三期末）在直四棱柱中，底面是邊長為的菱形，，，過點與直線垂直的平面交直線于點，則三棱錐的外接球的表面積為____.
題型十三：圓錐圓柱圓臺模型
例86．（2022·青?！ず|市第一中學模擬預測（文））已知某圓臺的母線長為2，母線與軸所在直線的夾角是，且上、下底面的面積之比為1∶4，則該圓臺外接球的表面積為（ ）
A．B．C．D．
例87．（2022·遼寧·東北育才雙語學校模擬預測）已知圓錐的頂點和底面圓周均在球的球面上.若該圓錐的底面半徑為，高為6，則球的表面積為（ ）
A．B．C．D．
例88．（2022·河南洛陽·二模（文））已知高為4的圓錐外接球的體積為，則圓錐的體積為（ ）
A．B．C．D．
例89．（2022·青?！ず|市第一中學模擬預測（文））已知某圓臺的母線長為2，母線與軸所在直線的夾角是，且上、下底面的面積之比為1∶4，則該圓臺外接球的表面積為（ ）
A．B．C．D．
例90．（2022·河南焦作·高二期末（理））已知圓臺的母線長為2，母線與軸的夾角為60°，且上、下底面的面積之比為1：4，則該圓臺外接球的表面積為（ ）
A．B．C．D．
例91．（2022·廣西·高二階段練習（理））已知一個圓臺的上下底面半徑分別為5和12，高為7，則它的外接球的表面積為（ ）
A．B．C．D．
例92．（2022·浙江溫州·高一期末）軸截面為正方形的圓柱內(nèi)接于球，則它們的表面積之比是（ ）
A．B．C．D．
例93．（2022·河南商丘·三模（理））已知體積為的圓錐的側(cè)面展開圖為一個半圓，則該圓錐的外接球的表面積為___________．
例94．（2022·湖北·黃岡中學三模）圓柱上、下底面的圓周都在一個體積為的球面上，圓柱底面直徑為8，則該圓柱的體積為_______
例95．（2022·全國·模擬預測）如圖，棱長均相等的直三棱柱的上、下底面均內(nèi)接于圓柱的上、下底面，則圓柱的側(cè)面積與其外接球的表面積之比為______．
題型十四：錐體內(nèi)切球
例96．（2022春?虎丘區(qū)校級期末）在三棱錐中，平面，，且，，，若球在三棱錐的內(nèi)部且與四個面都相切（稱球為三棱錐的內(nèi)切球），則球的表面積為
A．B．C．D．
例97．（2022春?寧波期末）已知正四棱錐的底面邊長為4，側(cè)棱長為，其內(nèi)切球與兩側(cè)面，分別切于點，，則的長度為 A．B．C．D．
例98．（2022?青海模擬）已知四面體的所有棱長都相等，其外接球的體積等于，則下列結(jié)論錯誤的是
A．四面體的棱長均為2
B．異面直線與的距離為
C．異面直線與所成角為
D．四面體的內(nèi)切球的體積等于
例99．（2022?煙臺三模）如圖，在三棱錐中，，，若三棱錐的內(nèi)切球的表面積為，則此三棱錐的體積為
A．B．C．D．
例100．（2022春?南和區(qū)校級月考）已知某圓柱的內(nèi)切球半徑為，則該圓柱的側(cè)面積為
A．B．C．D．
例101．（2022春?山西月考）設體積為的正四面體的外接球和內(nèi)切球的半徑分別為和，則的值為
A．4B．C．D．1
例102．（2022春?江西月考）已知四面體中的所有棱長為，球是其內(nèi)切球．若在該四面體中再放入一個球，使其與平面、平面、平面以及球均相切，則球與球的半徑之比為
A．B．C．D．
例103．（2022春?重慶月考）在直角中，．以為旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)一周得到一個幾何體，則該幾何體的內(nèi)切球的體積為
A．B．C．D．
例104．（2022?南京模擬）在三棱錐中，垂直底面，，，若三棱錐的內(nèi)切球半徑為，則此三棱錐的側(cè)面積為 ．
題型十五：棱切球
例105．（2022?涪城區(qū)校級開學）一個正方體的內(nèi)切球、外接球、與各棱都相切的球的半徑之比為

A．B．C．D．
例106．（2022?江蘇模擬）正四面體的棱長為4，若球與正四面體的每一條棱都相切，則球的表面積為
A．B．C．D．
例107．（2022?昆都侖區(qū)校級一模）已知正三棱柱的高等于1，一個球與該正三棱柱的所有棱都相切，則該球的體積為
A．B．C．D．
例108．（2022春?東至縣校級期末）某禮品店銷售的一裝飾擺件如圖所示，由球和正三棱柱加工組合而成，球嵌入正三棱柱內(nèi)一部分且與上底面三條棱均相切，正三棱柱的高為4，底面正三角形邊長為6，球的體積為，則該幾何體最高點到正三棱柱下底面的距離為
A．5B．6C．7D．8
例109．（2022?遼寧模擬）已知球與棱長為2的正方體的各條棱都相切，則球內(nèi)接圓柱的側(cè)面積的最大值為
A．B．C．D．
例110．（2022秋?南昌縣期末）正三棱錐的底面邊長為，側(cè)棱長為，若球與正三棱錐所有的棱都相切，則這個球的表面積為
A．B．C．D．
例111．（2022春?河南期末）已知正三棱柱的各棱長均為，以為球心的球與棱相切，則球位于正三棱柱內(nèi)的部分的體積為 ．
例112．（2022春?蓬江區(qū)校級期中）已知一球與棱長為2的正方體的各條棱都相切，則該球的表面積為 ．
例113．（2022春?梁園區(qū)校級期中）已知正三棱錐，，，球與三棱錐的所有棱相切，則球的表面積為 ．
例114．（2022?三模擬）已知三棱錐所有棱長都相等，球與它的六條棱都相切，球與它的四個面都相切，則球與球的表面積之比為 ．
聲明：試題解析著作權(quán)屬所有，未經(jīng)書面同意，不得復制發(fā)布日期：2022/7/16 15:19:14；用戶：18316341968；郵箱：18316341968；學號：32362679

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