1、明確模擬練習(xí)的目的。不但檢測知識的全面性、方法的熟練性和運算的準(zhǔn)確性，更是訓(xùn)練書寫規(guī)范，表述準(zhǔn)確的過程。
2、查漏補缺，以“錯”糾錯。每過一段時間，就把“錯題筆記”或標(biāo)記錯題的試卷有側(cè)重的看一下。查漏補缺的過程也就是反思的過程，逐漸實現(xiàn)保強攻弱的目標(biāo)。
3、嚴(yán)格有規(guī)律地進(jìn)行限時訓(xùn)練。特別是強化對解答選擇題、填空題的限時訓(xùn)練，將平時考試當(dāng)作高考，嚴(yán)格按時完成，并在速度體驗中提高正確率。
4、保證常規(guī)題型的堅持訓(xùn)練。做到百無一失，對學(xué)有余力的學(xué)生，可適當(dāng)拓展高考中難點的訓(xùn)練。
5、注重題后反思總結(jié)。出現(xiàn)問題不可怕，可怕的是不知道問題的存在，在復(fù)習(xí)中出現(xiàn)的問題越多，說明你距離成功越近，及時處理問題，爭取“問題不過夜”。
6、重視每次模擬考試的臨考前狀態(tài)的調(diào)整及考后心理的調(diào)整。以平和的心態(tài)面對高考。
專題27 直線與圓的綜合應(yīng)用
【題型歸納目錄】
題型一：距離的創(chuàng)新定義
題型二：切比雪夫距離
題型三：曼哈頓距離、折線距離、直角距離問題
題型四：圓的包絡(luò)線問題
題型五：阿波羅尼斯圓問題、反演點問題、阿波羅尼斯球問題
題型六：圓中的垂直問題
題型七：圓的存在性問題
【典例例題】
題型一：距離的創(chuàng)新定義
例1．（2022·全國·高三專題練習(xí)）數(shù)學(xué)家華羅曾說：“數(shù)缺形時少直觀，形少數(shù)時難入微，”事實上，很多代數(shù)問題可以轉(zhuǎn)化為幾何問題加以解決，例如，與相關(guān)的代數(shù)問題，可以轉(zhuǎn)化為點A（x，y）與點B（a，b）之間的距離的幾何問題，結(jié)合上述觀點，可得方程的解是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】由可得
4
表示點（x，1）到定點（-3，0）和（3，0）的距離之差等于4，
由雙曲線的定義可知，點（x，1）在以（-3，0）和（3，0）為焦點，
的雙曲線的右支上，所以，所以雙曲線方程為，
令可得，因為，所以，
即方程的解是，
故選：C.
例2．（2022·安徽阜陽·高三期末（理））閔可夫斯基距離又稱為閔氏距離，是兩組數(shù)據(jù)間距離的定義.設(shè)兩組數(shù)據(jù)分別為和，這兩組數(shù)據(jù)間的閔氏距離定義為，其中q表示階數(shù).現(xiàn)有下列四個命題：①若，則；
②若，其中，則；
③若，其中，則；
④若，其中，則的最小值為.
其中所有真命題的個數(shù)是（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】C
【解析】對于①：，故①正確.
對于②：，故②錯誤.
對于③：，不妨設(shè)，，且均為非負(fù)數(shù)，所以故③正確.
對于④：構(gòu)造函數(shù)，則，的最小值即兩曲線動點間的最小距離，設(shè)與直線平行的切線方程為，聯(lián)立 得：，令得，，所以切線方程為：與之間的距離，所以最小值為，故④正確.
故選C.
例3．（2022·全國·高三專題練習(xí)（文））費馬點是指三角形內(nèi)到三角形三個頂點距離之和最小的點，當(dāng)三角形三個內(nèi)角均小120°時，費馬點與三個頂點連線正好三等分費馬點所在的周角，即該點所對三角形三邊的張角相等，均為120°.根據(jù)以上性質(zhì)，已知，，，為內(nèi)一點，記，則的最小值為（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】設(shè)為坐標(biāo)原點，由，，，
知,且為銳角三角形，
因此，費馬點M在線段上，設(shè)，如圖，
則為頂角是120°的等腰三角形，故，
所以，
則的最小值為.
故選：B
例4．（2022·全國·高三專題練習(xí)）在直角坐標(biāo)系中，已知點，，記，其中為正整數(shù)，稱為點，間的距離．下列說法正確的是（ ）．
A．若，則點的軌跡是正方形
B．若，則與重合
C．
D．
【答案】A
【解析】由得，所以點的軌跡是以為中心的正方形，故A正確；
記，，則，，
若，則，顯然有，滿足此等式，可取點，，顯然與不重合，故B錯誤；
取點，，，則，
此時，故C錯誤，也可得D錯誤．
故選：A.
例5．（2022·北京·牛欄山一中高三期中）如圖，平面內(nèi)兩條直線和相交于點，構(gòu)成的四個角中的銳角為.對于平面上任意一點，若，分別是到直線和的距離，則稱有序非負(fù)實數(shù)對是點的“距離坐標(biāo)”，給出下列四個命題：
①點有且僅有兩個；
②點有且僅有4個；
③若，則點的軌跡是兩條過點的直線；
④滿足的所有點位于一個圓周上.
其中正確命題的個數(shù)是（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】C
【解析】命題①，如圖，有且只有兩個點的距離坐標(biāo)為，即命題①正確.
命題②，如圖，虛線分別為到兩條直線的距離為2和3的平行直線，四條虛線總共4個交點，故點有且僅有4個，即命題②正確；
命題③，如圖，點的軌跡是兩條過點的直線l3和l4，即命題③正確；
命題④，如圖，和分別在直線l1和l2上，
易得，則點M都在以O(shè)為圓心，半徑為的圓上，
設(shè)點，即點A到兩條直線的距離都是，且滿足，
由幾何關(guān)系可得，，即點A在圓O外，故命題④錯誤.
綜上，正確命題為①②③.
故選：C.
例6．（多選題）（2022·河北廊坊·高三階段練習(xí)）閔可夫斯基距離又稱為閔氏距離，是兩組數(shù)據(jù)間距離的定義．設(shè)兩組數(shù)據(jù)分別為和，這兩組數(shù)據(jù)間的閔氏距離定義為，其中q表示階數(shù)．下列命題中為真命題的是（ ）
A．若，，則
B．若，，其中a，，則
C．若，，其中a，b，c，，則
D．若，，其中a，，則的最小值為
【答案】ACD
【解析】對于A：，故A正確．
對于B：，，故B錯誤．對于C：，，不妨設(shè)，，因為，所以，所以，所以，所以，故C正確．
對于D：構(gòu)造函數(shù)，，則的最小值即兩曲線動點間的最小距離，設(shè)直線與曲線相切，則由，得，由，得，所以切線方程為，
所以兩曲線動點間的最小距離為，故D正確．
故選：ACD
例7．（多選題）（2022·全國·高三專題練習(xí)）（多選）定義點到直線的有向距離為.已知點，到直線的有向距離分別是，，給出以下命題，其中是假命題的是（ ）
A．若，則直線與直線平行
B．若，則直線與直線平行
C．若，則直線與直線垂直
D．若，則直線與直線相交
【答案】ABC
【解析】設(shè)點，的坐標(biāo)分別為，，則，.若，則，即，所以
.
若，即，則，都在直線上，此時直線與直線重合，故選項，，均為假命題.
當(dāng)時，，在直線的兩側(cè)，則直線與直線相交，故選項D為真命題.
故選：ABC
例8．（2022·全國·高三專題練習(xí)）記，其中、，已知、是橢圓上的任意兩點，是橢圓右頂點，則的最大值是______.
【答案】【解析】設(shè)點，其中，易知點，
則.
①當(dāng)時，，
，則，當(dāng)時，取最大值；
②當(dāng)時，，
，則，當(dāng)時，取最大值.
綜上所述，的最大值，同理可知，的最大值也為.
因此，的最大值是.
故答案為：.
例9．（2022·四川涼山·三模（文））點是內(nèi)部或邊界上的點，若到三個頂點距離之和最小，則稱點是的費馬點（該問題是十七世紀(jì)法國數(shù)學(xué)家費馬提出）.若，，時，點是的費馬點，且已知在軸上，則的大小等于______.
【答案】
【解析】先證明：若到三個頂點距離之和最小，則
如圖將繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)60°得到，則≌，
，所以是等邊三角形，，
，當(dāng)四點共線時取得最小值，
此時，
同理可得
所以命題得證.
點是的費馬點，且已知在軸上，
，
，
所以，
所以=.
故答案為：
例10．（2022·浙江寧波·三模（理））定義：曲線上的點到點的距離的最小值稱為曲線到點的距離.已知曲線到點的距離為，則實數(shù)的值為___________．
【答案】或
【解析】設(shè)曲線上的一點，
則
令，有
當(dāng)時，在時，取得最小值，
所以，解得或（舍去）
當(dāng)時，在時取得最小值，
所以，解得或（舍去）
綜上所述，實數(shù)的值為或.故答案為：或.
例11．（2022·上?！つM預(yù)測）記到點與直線：的“有向距離”．
（1）分別求點與到直線：的“有向距離”，由此說明直線與兩點、的位置關(guān)系．
（2）求證：到兩條相交定直線（，不同時為零）的“有向距離”之積等于非零常數(shù)的動點的軌跡為雙曲線．
（3）利用上述（2）結(jié)論證明：曲線為雙曲線，并求其虛軸長．
【解析】（1）由，．
說明兩點、分別在直線的兩側(cè)，且點距離直線較遠(yuǎn)
（2）證明：設(shè)兩條相交的直線方程為（，不同時為零），動點，則有向距離之積為
即
即形式．顯然所求動點的軌跡為雙曲線．
反之，可以證明：雙曲線上任意一點到兩條漸近線的“有向距離”之積為常數(shù)．
證明：設(shè)雙曲線方程上任意一點為，它到雙曲線的兩條漸近線的有向距離之積為
（3）因為方程可以變?yōu)椋?br>所以方程表示為到軸和直線的有向距離之積為的軌跡，
因此曲線為雙曲線，且該雙曲線的兩條漸近線為軸和直線．
因為方程可以變?yōu)?，所以方程表示的曲線在第一、三象限內(nèi)，雙曲線實軸所在的直線為兩條漸近線所夾角的平分線，于是雙曲線的實軸所在的直線的方向向量為，斜率為，因此雙曲線實軸所在的直線為．聯(lián)立方程
求得解得雙曲線的頂點為，
因此．
故雙曲線的實軸長為．
設(shè)過點作實軸的垂直線交軸為，則直線的方程為．
令，得．
因此，．
故雙曲線的虛軸長為．
題型二：切比雪夫距離
例12．（2022·全國·高三專題練習(xí)（文））在平面直角坐標(biāo)系中，定義為兩點、的“切比雪夫距離”，又設(shè)點及上任意一點，稱的最小值為點到直線的“切比雪夫距離”，記作，給出四個命題，正確的是________.
①對任意三點、、，都有；
② 到原點的“切比雪夫距離”等于的點的軌跡是正方形；
③ 已知點和直線，則；
④ 定點、，動點滿足，則點的軌跡與直線（為常數(shù)）有且僅有個公共點.
【答案】①②③④
【解析】①對任意三點、、，若它們共線，設(shè)、、，
如下圖，結(jié)合三角形相似可得或，或，或，則；
若、或、對調(diào)，可得；
若、、不共線，且中為銳角或鈍角，由矩形或矩形，
；
則對任意的三點、、，都有，命題①正確；
②到原點的“切比雪夫距離”等于的點，即為，若，則；
若，則，故所求軌跡是正方形，命題②正確；
③設(shè)點是直線上一點，且，可得，
由，解得，即有.
當(dāng)時，取得最小值；
由，解得或，即有，
的取值范圍是，無最值，所以，、兩點的“切比雪夫距離”的最小值為，命題③正確；
④定點、，動點，滿足，
可得不在上，在線段間成立，可得，解得.
由對稱性可得也成立，即有兩點滿足條件；
若在第一象限內(nèi)，滿足，即為，為射線，
由對稱性可得在第二象限、第三象限和第四象限也有一條射線，
則點的軌跡與直線（為常數(shù)）有且僅有個公共點，命題④正確.
故答案為：①②③④.
例13．（2022·全國·高三專題練習(xí)（文））在平面直角坐標(biāo)系中，定義為兩點、的“切比雪夫距離”，又設(shè)點及直線上任一點，稱的最小值為點到直線的“切比雪夫距離”，記作.
（1）求證：對任意三點、、，都有；
（2）已知點和直線，求；
（3）定點，動點滿足（），請求出點所在的曲線所圍成圖形的面積.
【解析】（1）證明：設(shè)，則
，同理可得，
所以，
（2）設(shè)為直線上一點，則，
由，解得，即有，當(dāng)時，取得最小值；
由，解得或，即有，
的范圍是，無最大值，綜上可得，兩點的最小值為，
所以；
（3）設(shè)軌跡上動點為，則，
等價于或，
所以點的軌跡是以為中心，邊長為的正方形，
所以點所在的曲線所圍成圖形的面積為
例14．（2022·全國·高三專題練習(xí)（文））在平面直角坐標(biāo)系中，定義為兩點、
的“切比雪夫距離”，又設(shè)點及上任意一點，稱的最小值為點到
直線的“切比雪夫距離”，記作，給出下列三個命題：
① 對任意三點、、，都有；
② 已知點和直線，則；
③ 定點、，動點滿足（），
則點的軌跡與直線（為常數(shù)）有且僅有2個公共點；
其中真命題的個數(shù)是
A．0B．1C．2D．3
【答案】D
【解析】設(shè)，由題意可得：
同理可得：,則：
，
命題①成立；
設(shè)點Q是直線y=2x-1上一點，且Q（x,2x-1），可得，
由，解得，即有，當(dāng)時取得最小值；
由，解得或，即有，
的范圍是，無最小值.綜上可得，P,Q兩點的“切比雪夫距離”的最小值為.
說法②正確.
定點、，動點滿足（），則：
，
顯然上述方程所表示的曲線關(guān)于原點對稱，故不妨設(shè)x≥0，y≥0.
(1)當(dāng)時，有，得：；
(2)當(dāng)時，有，此時無解；
(3)當(dāng)時，有；
則點P的軌跡是如圖所示的以原點為中心的兩支折線.
結(jié)合圖象可知，點的軌跡與直線（為常數(shù)）有且僅有2個公共點，命題③正確.
綜上可得命題①②③均正確，真命題的個數(shù)是3.
本題選擇D選項.
例15．（2022·全國·高三專題練習(xí)（文））在平面直角坐標(biāo)系中，定義為兩點、的“切比雪夫距離”，又設(shè)點及直線上任意一點，稱的最小值為點到直線的“切比雪夫距離”，記作，給出下列三個命題：
①對任意三點、、，都有；
②已知點和直線，則；
③定義，動點滿足，則動點的軌跡圍成平面圖形的面積是4；
其中真命題的個數(shù)（ ）
A．0B．1C．2D．3
【答案】B【解析】①設(shè)，則，
，
顯然，同理，
∴，①正確；
②設(shè)是直線上任一點，則，
，易知在上是增函數(shù)，在上是減函數(shù)，∴時，，②錯；
③由得，易知此曲線關(guān)于軸，軸，原點都對稱，它是以為頂點的正方形，其轉(zhuǎn)成圖形面積為，③錯．
故選：B．
例16．（2022·全國·高三專題練習(xí)（文））在平面直角坐標(biāo)系中,定義為兩點的“切比雪夫距離”，又設(shè)點及上任意一點,稱的最小值為點到直線的“切比雪夫距離”記作給出下列四個命題:
①對任意三點，都有
②已知點和直線則
③到原點的“切比雪夫距離”等于的點的軌跡是正方形；
其中真命題的是（ ）
A．①②B．②③C．①③D．①②③
【答案】D
【解析】① 對任意三點、、，若它們共線，設(shè)，、，，，，如圖，結(jié)合三角形的相似可得，，為，，，或，，，則；
若，或，對調(diào)，可得；
若，，不共線，且三角形中為銳角或鈍角，如圖，
由矩形或矩形，；
則對任意的三點，，，都有，故①正確；
②設(shè)點是直線上一點，且，
可得，，
由，解得，即有，
當(dāng)時，取得最小值；
由，解得或，即有，
的范圍是，無最值；
綜上可得，，兩點的“切比雪夫距離”的最小值為；故②正確；
③由題，到原點的“切比雪夫距離”的距離為1的點滿足，即或，顯然點的軌跡為正方形，故③正確；
故選：D
題型三：曼哈頓距離、折線距離、直角距離問題
例17．（多選題）（2022·全國·高三專題練習(xí)）“出租車幾何”或“曼哈頓距離”（Manhattan Distance）是由十九世紀(jì)的赫爾曼·閔可夫斯基所創(chuàng)詞匯，是種被使用在幾何度量空間的幾何學(xué)用語．在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，對于任意兩點、，定義它們之間的“歐幾里得距離”，“曼哈頓距離”為，則下列說法正確的是（ ）
A．若點為線段上任意一點，則為定值
B．對于平面上任意一點，若，則動點的軌跡長度為
C．對于平面上任意三點、、，都有
D．若、為橢圓上的兩個動點，則最大值為【答案】AC
【解析】對于A選項，設(shè)點為線段上任意一點，
則，A對；
對于B選項，設(shè)點，則，
當(dāng)，時，則；當(dāng)，時，則；
當(dāng)，時，則；當(dāng)，時，則.
作出點的軌跡如下圖所示：
由圖可知，點的軌跡是邊長為的正方形，故動點的軌跡長度為，B錯；
對于C選項，設(shè)點、、，
由絕對值三角不等式可得，
同理可得，
所以，，即，C對；
對于D選項，設(shè)點、，
不妨設(shè)，，
則
，其中為銳角，且，
取，，等號成立，D錯.
故選：AC.
例18．（多選題）（2022·山東省實驗中學(xué)模擬預(yù)測）對于平面直角坐標(biāo)系內(nèi)的任意兩點，，定義它們之間的一種“距離”為．已知不同三點A，B，C滿足，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A．A，B，C三點可能共線
B．A，B，C三點可能構(gòu)成銳角三角形C．A，B，C三點可能構(gòu)成直角三角形
D．A，B，C三點可能構(gòu)成鈍角三角形
【答案】ACD
【解析】令點，設(shè)點，則有，
由得：，
當(dāng)時，A，B，C三點共線，且有成立，A正確；
當(dāng)時，則A，B，C三點不共線，
若，有，且成立，為直角三角形，C正確；
若，顯然是鈍角，且成立，為鈍角三角形，D正確；
若，不成立，顯然A，B，C三點不可能構(gòu)成銳角三角形，B不正確.
故選：ACD
例19．（多選題）（2022·江蘇·金陵中學(xué)高三階段練習(xí)）對于直角坐標(biāo)平面內(nèi)的任意兩點，，定義它們之間的一種“距離”：，則下列說法正確的是（ ）
A．若點C是線段AB的中點，則
B．在中，若，則
C．在中，
D．在正方形ABCD中，有
【答案】ACD
【解析】對于A，，故A正確；
對于B，取，則，而，不滿足，故B錯誤；
對于C，設(shè)，則，因為
，
同理，所以，故C正確；
對于D，設(shè)正方形ABCD的邊長為a，當(dāng)正方形的邊與坐標(biāo)軸平行時，易知，如圖，設(shè)AB與x軸的夾角為，由圖可知
，故D正確.
故選：ACD
例20．（多選題）（2022·湖北·十堰市教育科學(xué)研究院高三期末）“曼哈頓距離”是由赫爾曼·閔可夫斯基所創(chuàng)的詞匯，是一種使用在幾何度量空間的幾何學(xué)用語．在平面直角坐標(biāo)系中，點，的曼哈頓距離為．若點，Q是圓上任意一點，則的取值可能為（ ）
A．4B．3C．2D．1
【答案】ABC
【解析】依題意圓，
設(shè)，
當(dāng)時，，
，，，
當(dāng)時，,
，，.
綜上所述，，ABC選項符合，D選項不符合.
故選：ABC
例21．（多選題）（2022·江蘇無錫·高三期末）已知平面直角坐標(biāo)系中兩點和，用以下方式度量兩點距離：，則下列說法正確的是（ ）
A．在平面直角坐標(biāo)系中，，，滿足的點的橫坐標(biāo)范圍為
B．在平面直角坐標(biāo)系中，任意取三點，恒成立
C．在平面直角坐標(biāo)系中，點是坐標(biāo)原點，則滿足的點所形成的圖形是圓D．在平面直角坐標(biāo)系中，點在上，，則滿足的點共有個
【答案】ABD
【解析】 對于A，設(shè)，因為 ，
，所以，故A正確.
因為，，
對于B，令，，，，故B正確.
對于C，設(shè)，不是圓，故C不正確.
對于D，設(shè)，，，
①時，，，
②時，，，
③時，時，，
④時，，，故D正確，
故選：ABD.
例22．（多選題）（2022·江蘇蘇州·高三階段練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系中，已知點?，定義為兩點A，B的“折線距離”，又設(shè)點P及直線l上任意一點Q，稱的最小值為點P到直線l的“折線距離”，記作，下列說法正確的是（ ）
A．對任意的兩點A，B，都有
B．對任意三點A?B?C，都有
C．已知點和直線，則
D．已知點，動點滿足，則動點P的軌跡圍成平面圖形的面積是2
【答案】ABD
【解析】,
所以，即，A正確；
由絕對值三角不等式知，，
所以，即，B正確；設(shè)是上任一點，，
當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，所以的最小值為2，即，C錯；
設(shè)，則，
在平面直角坐標(biāo)系中，曲線是一個正方形，
如圖，，得正方形內(nèi)部面積為，D正確．
故選：ABD．
例23．（2022·全國·模擬預(yù)測（文））設(shè)點是：上的動點，點是直線：上的動點，記，則的最小值是______．
【答案】
【解析】依題意，設(shè)，顯然圓C與直線l相離，
，當(dāng)且僅當(dāng)時取“=”，
當(dāng)時，，，，
，其中銳角由確定，
此時，當(dāng)且僅當(dāng)時取“=”，
當(dāng)時，，，，
，其中銳角由確定，此時，當(dāng)且僅當(dāng)時取“=”，
顯然，因此，當(dāng)時，，則，
所以的最小值是.
故答案為：
例24．（2022·江蘇南通·一模（文））在平面直角坐標(biāo)系中有兩點、，現(xiàn)定義由點A到點B的折線距離，若已知點，點M為直線上的動點，則取最小值時點M的坐標(biāo)是______．
【答案】
【解析】因點M在直線上，設(shè)，
于是得，
當(dāng)時，，當(dāng)時，，當(dāng)時，，
因此，當(dāng)且僅當(dāng)時，取最小值，
所以點M的坐標(biāo)是.
故答案為：
例25．（2022·重慶八中高三階段練習(xí)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，定義，兩點間的直角距離為，將曲線依次以原點O為中心逆時針旋轉(zhuǎn)三次，得到由四段圓弧構(gòu)成的曲線E.若點P為曲線E上任意一點，則的取值范圍為___________.
【答案】
【解析】由對稱性可知，可只考慮在的情形，
設(shè)，
則，
，，
的取值范圍為.
故答案為：.
例26．（2022·全國·高三專題練習(xí)（文））在平面直角坐標(biāo)系中，定義、兩點間的直角距離為，如圖，是圓當(dāng)時的一段弧，是與軸的交點，將依次以原點為中心逆時針旋轉(zhuǎn)五次，得到由六段圓弧構(gòu)成的曲線．則_______．若點為曲線上任一點，則的最大值為________．
【答案】 【解析】由圖可知，點位于第一象限，在圓的方程中，令，可得，則點.
如圖可得，點，所以；
根據(jù)對稱性，只需討論點在第一象限的情況：
當(dāng)點在上時，設(shè)，則，則，
所以，
，則，當(dāng)時，；
當(dāng)點不在上時，所在圓的圓心為，
易知直線軸，設(shè)，，同理可得，則，，
，
，則，當(dāng)時，.
因為，所以，的最大值為.
故答案為：.
例27．（2022·全國·高三專題練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系中，定義，兩點的折線距離.設(shè)點，，，，若，則的取值范圍___________.
【答案】
【解析】由題意，設(shè)，，
所以，
當(dāng)時，，
，，，時，，
，，，
綜上，，
故答案為：，
例28．（2022·上?！?fù)旦附中模擬預(yù)測）在平面直角坐標(biāo)系中，兩點間的“L-距離”定義為則平面內(nèi)與軸上兩個不同的定點的“L-距離”之和等于定值（大于）的點的軌跡可以是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】設(shè)，再設(shè)動點，動點到定點的“L-距離”之和等于，由題意可得：，即，當(dāng)時，方程化為；當(dāng)時，方程化為；當(dāng)時，方程化為；當(dāng)時，方程化為；當(dāng)時，方程化為；當(dāng)時，方程化為；結(jié)合題目中給出四個選項可知，選項A中的圖象符合要求，故選A．
考點：軌跡方程．
例29．（2022·全國·高三專題練習(xí)）“曼哈頓距離”也叫“出租車距離”，是19世紀(jì)德國猶太人數(shù)學(xué)家赫爾曼·閔可夫斯基首先提出來的名詞，用來表示兩個點在標(biāo)準(zhǔn)坐標(biāo)系上的絕對軸距總和，即在直角坐標(biāo)平面內(nèi)，若，，則，兩點的“曼哈頓距離”為，下列直角梯形中的虛線可以作為，兩點的“曼哈頓距離”是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】根據(jù)題意：，兩點的“曼哈頓距離”為，再結(jié)合四個選項可以判斷只有C選項符合題意.
故選：C．
題型四：圓的包絡(luò)線問題
例30．（2022?重慶月考）設(shè)直線系，則下列命題中是真命題的個數(shù)是

①存在一個直線與所有直線相交；
②中所有直線均經(jīng)過一個定點；
③對于任意實數(shù)，存在正邊形，其所有邊均在中的直線上；
④中的直線所能圍成的正三角形面積都相等．
A．0B．1C．2D．3
【解析】解：根據(jù)直線系，得到所有直線都為圓心為，半徑為1的圓的切線．
①不存在一條直線與所有直線相交，因此不正確；
②所有的直線與一個圓相切，沒有過定點，②不正確；
③對于任意實數(shù)，作圓的外切正邊形，其所有邊均在中的直線上，因此正確；
④中的直線所能圍成的正三角形的邊長不一等，故它們的面積不一定相等，
如圖中：等邊三角形和面積不相等，故④不正確．
所以真命題的個數(shù)為1個
故選：．
例31．（2022春?鶴崗校級期末）設(shè)直線系，對于下列四個結(jié)論：
（1）當(dāng)直線垂直于軸時，或；（2）當(dāng)時，直線傾斜角為；
（3）中所有直線均經(jīng)過一個定點；
（4）存在定點不在中任意一條直線上．
其中正確的是
A．①②B．③④C．②③D．②④
【解析】解：直線系，
（1）當(dāng)直線垂直于軸時，則，解得或或，故（1）錯誤；
（2）當(dāng)時，直線傾斜角為，故（2）正確；
（3）如圖示：
，
由 直線系，
可令，
消去可得 ，故 直線系表示圓 的
切線的集合，故（3）不正確．
（4）因為對任意，存在定點不在直線系中的任意一條上，故（4）正確；
故選：．
例32．（2022春?朝陽區(qū)校級期末）設(shè)直線系．下列四個命題中不正確的是
A．存在一個圓與所有直線相交
B．存在一個圓與所有直線不相交
C．存在一個圓與所有直線相切
D．中的直線所能圍成的正三角形面積都相等
【解析】解：由點到直線：的距離為
，所以直線系表示圓切線的集合；
對于，由于直線系表示圓的所有切線，所以存在這樣的圓，
使所有的直線與圓相交，所以正確；
對于，存在這樣的圓，
使所有的直線與圓不相交，所以正確；
對于，由題意知，存在圓，
使所有的直線都與這個圓相切，所以正確；
對于，如圖所示，中的直線所能圍成的正三角形有兩類，
其一是如型，是圓的外切三角形，此類面積都相等；
另一類是在圓同一側(cè)，如型，此一類面積相等，但兩類之間面積不等，
所以面積大小不一定相等，選項錯誤．
故選：．
例33．（2022?西湖區(qū)校級模擬）已知直線與圓相切，則滿足條件的直線有 條
A．1B．2C．3D．4
【解析】解：由已知，直線滿足到原點的距離為1，到點的距離為2，
滿足條件的直線即為圓和圓的公切線，
圓和圓外切，
這兩個圓有兩條外公切線和一條內(nèi)公切線，
滿足條件的直線有3條．
故選：．例34．（2022?安徽模擬）已知直線與圓相交，則的取值范圍是
A．B．C．D．
【解析】解：圓心到直線的距離為，故，
故選：．
例35．（多選題）設(shè)有一組圓．下列四個命題中真命題的是
A．存在一條定直線與所有的圓均相切
B．存在一條定直線與所有的圓均相交
C．存在一條定直線與所有的圓均不相交
D．所有的圓均不經(jīng)過原點
【解析】解：根據(jù)題意得：圓心，
圓心在直線上，故存在直線與所有圓都相交，正確；
考慮兩圓的位置關(guān)系，
圓：圓心，半徑為，
圓：圓心，，即，半徑為，
兩圓的圓心距，
兩圓的半徑之差，
任取或2時，，含于之中，選項錯誤；
若取無窮大，則可以認(rèn)為所有直線都與圓相交，選項錯誤；
將帶入圓的方程，則有，即，
因為左邊為奇數(shù)，右邊為偶數(shù)，故不存在使上式成立，即所有圓不過原點，選項正確．
故選：．
例36．（多選題）（2022?思明區(qū)校級月考）已知圓，直線，下面五個命題，其中正確的是
A．對任意實數(shù)與，直線和圓有公共點
B．對任意實數(shù)與，直線與圓都相離
C．存在實數(shù)與，直線和圓相離
D．對任意實數(shù)，必存在實數(shù)，使得直線與圓相切
E．對任意實數(shù)，必存在實數(shù)，使得直線與圓相切
【解析】解：選項，由題意知圓的圓心為，半徑為，直線的方程可以寫作，過定點，因為點在圓上，所以直線與圓相切或相交，
任意實數(shù)與，直線和圓有公共點，正確，錯誤；
選項，由以上分析知不存在實數(shù)與，直線和圓相離，錯誤；
選項，當(dāng)直線與圓相切時，點恰好為直線與圓的切點，故直線與直線垂直，①當(dāng)時，直線與軸垂直，則，即，解得，存在，使得直線與圓相切；
②當(dāng)時，若直線與直線垂直，則，
直線的斜率為，
所以，即，
此時對任意的，均存在實數(shù)，使得，則直線與直線垂直，
綜上所述，對任意實數(shù)，必存在實數(shù)，使得直線與圓相切，正確．
選項，點到直線的距離為，
令，當(dāng)時，；
當(dāng)時，，即此時恒成立，
直線與圓必相交，故此時不存在實數(shù)，使得直線與圓相切，錯誤．
故選：．
例37．（2022?啟東市校級模擬）在平面直角坐標(biāo)系中，對任意的實數(shù)，集合中的點都不在直線上，則集合所對應(yīng)的平面圖形面積的最大值為 ．
【解析】解：將方程看做的一元二次方程，即，
集合中的點都不在直線上，
無解，
即對應(yīng)的判別式△，
即，
整理得，
即集合所對應(yīng)的平面圖形為圓心為，半徑為1的圓以及內(nèi)部，
集合所對應(yīng)的平面圖形面積的最大值為，
故答案為：
題型五：阿波羅尼斯圓問題、反演點問題、阿波羅尼斯球問題例38．（2022?贛州期末）如圖，在等腰梯形中，，，分別是底邊，的中點，把四邊形沿直線折起，使得平面平面．若動點平面，設(shè)，與平面所成的角分別為，，均不為．若，則動點的軌跡圍成的圖形的面積為
A．B．C．D．
【解析】解：由題意，，，
，，
．
以所在直線為軸，的垂直平分線為軸建立坐標(biāo)系，
設(shè)，，，，，則
，
，即，軌跡為圓，面積為．
故選：．
【點睛】本題考查軌跡方程，考查學(xué)生的計算能力，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．
例39．（2022?青羊區(qū)校級月考）阿波羅尼斯（約公元前年）證明過這樣一個命題：平面內(nèi)到兩定點距離之比為常數(shù)的點的軌跡是圓，后人將該圓稱為波羅圓．若平面內(nèi)兩定點、間的距離為2，動點滿足，當(dāng)、、不共線時，三角形面積的最大值是
A．B．C．D．
【解析】解：如圖所示，以經(jīng)過、的直線為軸，線段的垂直平分線為軸，建立直角坐標(biāo)系，
則、，設(shè)，
因為，所以，
平方并整理得：，即，
所以面積的最大值是．
故選：．
【點睛】本題主要考查軌跡方程及其應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．
例40．（2022?沙坪壩區(qū)校級期中）古希臘數(shù)學(xué)家波羅尼斯（約公元前年）的著作《圓錐曲線論》是古代世界光輝的科學(xué)成果．他證明過這樣一個命題：平面內(nèi)與兩定點距離的比為常數(shù)且的點的軌跡是圓，后人將這個園稱為“阿波羅尼斯圓”．在平面直角坐標(biāo)系中，設(shè)，，動點滿足，則動點的軌跡圍成的面積為
A．B．C．D．
【解析】解：設(shè)，
則，
同理，
而，
，
化簡得：，即，
整理得：，
從而的軌跡是以為圓心，4為半徑得圓，
動點的軌跡圍成的面積為，故選：．
例41．（2022?七模擬）阿波羅尼斯（古希臘數(shù)學(xué)家，約公元前年）的著作《圓錐曲線論》是古代世界光輝的科學(xué)成果，他證明過這樣一個命題：平面內(nèi)與兩個定點距離的比為常數(shù)的點的軌跡是圓，后人把這個圓稱為阿波羅尼斯圓．已知定點，，動點滿足，則動點的軌跡為一個阿波羅尼斯圓，記此圓為圓，已知點在圓上（點在第一象限），交圓于點，連接并延長交圓于點，連接，當(dāng)時，直線的斜率為
A．B．C．D．
【解析】解：如圖所示，設(shè)動點，則有，
化簡可得，即圓的方程為：，
由正弦定理可得，，解得，
所以為等邊三角形，
過圓心作于點，則，
所以，
故．
故選：．
【點睛】本題考查了動點軌跡方程的求解，圓的方程的應(yīng)用，直線與圓位置關(guān)系的應(yīng)用，要掌握常見的求解軌跡的方法：直接法、定義法、代入法、消參法、交軌法等等，屬于中檔題．
例42．（2022?余姚市校級模擬）如圖，已知平面，，、是直線上的兩點，、是平面內(nèi)的兩點，且，，，，，是平面上的一動點，且直線、與平面所成角相等，則二面角的余弦值的最小值是
A．B．C．D．1
【解析】解：，，，，
，同理：．
為直線與平面所成的角，為直線與平面所成的角，
，又，
，
，
在平面內(nèi)，以為軸，以的中垂線為軸建立平面直角坐標(biāo)系，
則，．設(shè)，
，整理得．
點在平面內(nèi)的軌跡為以為圓心，以4為半徑的上半圓．
平面平面，，，
為二面角的平面角．
當(dāng)與圓相切時，最大，取得最小值．
此時，，，．
．
故選：．
例43．（2022?雙流區(qū)校級一模）已知三棱錐中，底面為等邊三角形，，，點為的中點，點為的中點．若點、是空間中的兩動點，且，，則
A．3B．4C．6D．8
【解析】解：，底面為等邊三角形，且，
，，
建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系．
則，，，，2，，，
又為的中點，，
點為的中點，，，，
設(shè)，，，由，
取，，
則，，，
，
點在以，0，為球心，以1為半徑的球上，同理也在這個球上，
且，為球的直徑，
則
．
故選：．
例44．（2022春?寶山區(qū)校級期末）阿波羅尼斯（約公元前年）證明過這樣一個命題：平面內(nèi)到兩定點距離之比為常數(shù)的點的軌跡是圓，后人將這個圓稱為阿氏圓，已知、分別是圓，圓上的動點，是坐標(biāo)原點，則的最小值是 ．
【解析】解：設(shè)，，設(shè)，若，整理得，
由圓方程得，解得．則對于圓上任意一點，．
因為，
當(dāng)且僅當(dāng)，，，四點共線時，等號成立．
故答案為：．
【點睛】本題考查以圓為背景的軌跡問題，距離的最值問題，屬于中檔題．
例45．（2022春?新華區(qū)校級期末）阿波羅尼斯（約公元前年）證明過這樣一個命題：平面內(nèi)到兩定點距離之比為常數(shù)的點的軌跡是圓，后人將這個圓稱為阿波羅尼斯圓．若平面內(nèi)兩定點、間的距離為2，動點滿足，則的最小值 ．
【解析】解：根據(jù)題意，以經(jīng)過，的直線為軸，的中點為坐標(biāo)元福安，線段的垂直平分線為軸，
建立直角坐標(biāo)系，則，，
設(shè)，
若，即，即，
變形可得，即，
所以點的軌跡是以為圓心，為半徑的圓，
變形可得：，且，
則有，
又由，則的最小值為；
故答案為：．
例46．已知是邊長為2的正方形的內(nèi)切圓，是上任意一點，則的最小值為 ．
【解析】解：如圖所示：
取的中點
所以，又
所以所以，
所以，，三點共線時取最小值為．
所以
例47．（2022?溫州期末）阿波羅尼斯是古希臘著名數(shù)學(xué)家，與歐幾里得、阿基米德被稱為亞歷山大時期數(shù)學(xué)三巨匠，他對圓錐曲線有深刻而系統(tǒng)的研究，主要研究成果擊中在他的代表作《圓錐曲線》一書，阿波羅尼斯圓是他的研究成果之一，指的是：已知動點與兩定點、的距離之比為，那么點的軌跡就是阿波羅尼斯圓．下面，我們來研究與此相關(guān)的一個問題．已知圓：和點，點，為圓上動點，則的最小值為 ．
【解析】解：如圖，取點，連接、．
，，，
，
，
，
，
，
，
在中，，
的最小值為的長，
，，
故答案為：．
例48．（2022春?錫山區(qū)校級期中）點為圓上一動點，為圓上一動點，為坐標(biāo)原點，則的最小值為 ．
【解析】解：為圓上一動點，為圓上一動點，為坐標(biāo)原點，
取，則，
，
，
，
故答案為：9．
例49．（2022?成都模擬）在長方體中，已知底面為正方形，為的中點，，點是正方形所在平面內(nèi)的一個動點，且，則線段的長度的最大值為 ．
【解析】解：在正方形所在平面內(nèi)建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)
則有，．
，可得．
點的軌跡是以為圓心，半徑為2的圓，線段的長度的最大值為．
故答案為：6
例50．（2022?浙江二模）棱長為36的正四面體的內(nèi)切球球面上有一動點，則的最小值為 ．
【解析】解：由阿波羅尼斯球得內(nèi)切球球心是線段上以，為定點，
空間中滿足的點的集合，
連結(jié)并延長交平面于，交內(nèi)切球上方的點設(shè)為，
過作，交于，連結(jié)，，
設(shè)，由已知得，，
，，解得，
，
，，
，
在中，，，
，
．
的最小值為．
故答案為：．
例51．（2022春?諸暨市月考）如圖，在正方體中，，點，在線段上，且，點是正方體表面上的一動點，點，是空間兩動點，若且，則的最小值為 ．
【解析】解：如圖，由題意可得，，
在線段上取一點，使得，，
設(shè)的中點為，
由于，則點，在以為直徑的球的表面上，球心為，球的直徑為4，
由于，故是球的直徑，
即，
故要求的最小值，只需要求出的最小值，
設(shè)點在平面內(nèi)的射影為，則當(dāng)在處時，有最小值，
此時，故答案為：
題型六：圓中的垂直問題
例52．（2022?薊縣一模）已知圓，過圓內(nèi)定點作兩條相互垂直的弦和，那么四邊形面積最大值為
A．21B．C．D．42
【解析】解：設(shè)圓心到、的距離分別為，．
則．．
四邊形的面積為：
．
當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，
故選：．
例53．（2022?湖北模擬）過圓內(nèi)一點，作傾斜角互補的直線和，分別與圓交于、和、，則四邊形面積的最大值為
A．B．C．D．
【解析】解：如圖，
設(shè)的傾斜角為，
則．
設(shè)，，，，
由對稱性可得：
．
聯(lián)立，得．
，．
則．
令，
則，．
當(dāng)時，，當(dāng)時，，
當(dāng)時，．
故選：．
例54．（2022?西湖區(qū)校級模擬）過坐標(biāo)原點在圓內(nèi)作兩條互相垂直的弦，，則的最大值 ．
【解析】解：化圓為，如圖，
可知，，，，
當(dāng)所在直線斜率不存在時，當(dāng)斜率存在時，設(shè)方程為，則方程為．
聯(lián)立，得．
設(shè)，，，，
則，．
則
同理求得．
．
則．
設(shè)，，
則，令．
如圖：由圖可知，當(dāng)直線過，時，有最大值為．
故答案為：．
例55．（2022?武漢模擬）過圓外一點作兩條互相垂直的直線和分別交圓于，和，點，則四邊形面積的最大值為 ．
【解析】解：如圖所示，由作，的垂線，，連接，，
記，，則．
，，
，，
故
．
當(dāng)且僅當(dāng)時取等號．
故答案為：．
例56．過點作兩條相互垂直的直線分別交圓于、和、兩點，則四邊形面積的最大值為 ．
【解析】解：圓，
圓心坐標(biāo)，半徑，
設(shè)圓心到、的距離分別為、，
，
則，
，，
四邊形的面積為
，
當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，
四邊形面積的最大值為23．
故答案為：23．
例57．過定點作兩條相互垂直的直線、，設(shè)原點到直線、的距離分別為、，則的最大值是 ．
【解析】解：作交于點，作交于點，可得四邊形為矩形，
，故可設(shè)，
，其中，
當(dāng)取最大值1時，取最大值
故答案為：
例58．（2022春?永順縣校級期末）已知圓過點，且與圓關(guān)于直線對稱．
（1）求圓的方程；
（2）直線過點，截圓所得的弦長為2，求直線的方程；
（3）過點作兩條相異直線分別與圓相交于，，且直線和直線的傾斜角互補，為坐標(biāo)原點，試判斷直線和是否平行？請說明理由．
【解析】解：（1）由題意可得點和點關(guān)于直線對稱，且圓和圓的半徑相等，都等于．
設(shè)，由，且求得，
故原的方程為．
再把點代入圓的方程，求得，故圓的方程為．
（2）直線過點，當(dāng)直線的斜率不存在時，
方程為，截圓得到的弦長等于，滿足條件．
當(dāng)直線的斜率存在時，設(shè)直線的方程為，即，
則圓心到直線的距離，
再由弦長公式可得，解得，故所求的直線方程為，即．
綜上可得，直線的方程為，或．
（3）過點作兩條相異直線分別與圓相交于，，且直線和直線的傾斜角互補，為坐標(biāo)原點，
則得直線和平行，理由如下：
由題意知，直線和直線的斜率存在，且互為相反數(shù)，故可設(shè)，．
由，得，
因為的橫坐標(biāo)一定是該方程的解，故利用韋達(dá)定理求得．
同理，所以．
由于的斜率的斜率），
所以，直線和一定平行．
題型七：圓的存在性問題
例59．（2022·安徽·高二月考）已知圓和兩點，，若圓C上存在點P，使得，則實數(shù)a的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】圓的圓心，半徑為，
因為圓心C到距離為，所以圓C上的點到的距離最大值為，最小值為，
又因為，則以為直徑的圓和圓C有交點，可得，
所以有.
故選：D．
例60．（2022·福建省南安市僑光中學(xué)高二月考）已知圓：和兩點，，若圓上存在點，滿足，則實數(shù)的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】因為點，，所以以線段AB為直徑的圓的方程為：，
因為圓上存在點，滿足，
聯(lián)立，得，
因為，
所以，即，
故選：C
例61．（2022·四川·閬中中學(xué)高二月考（理））已知圓：和兩點，若圓上存在點，使得，則的最小值為（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】由得點在圓上，因此由兩圓有交點得：
，即的最小值為.
故選:B.
例62．（2022·江西·上高二中高二月考（理））已知點A（1，0），B（1，6），圓，若在圓C上存在唯一的點P使，則（ ）
A．–3或3B．57C．–3或57D．3或57
【答案】C
【解析】由題意，只需以AB為直徑的圓與圓C有且僅有一個公共點，即兩圓相切.
因為，，
所以以AB為直徑的圓M的方程為，
圓.
因為兩圓相切，
所以，即，
解得或.
故選：C
例63．（2022·黑龍江·哈爾濱三中高二月考）如果圓上總存在兩個點到原點的距離均為，則實數(shù)的取值范圍是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】到原點的距離為的點的軌跡為圓，因此圓上總存在兩個點到原點的距離均為
轉(zhuǎn)化為圓與圓有兩個交點，
∵兩圓的圓心和半徑分別為，，，，
∴，∴，
解得實數(shù)的取值范圍是.
故選：A.
例64．（2022·四川成都·高二月考（文））已知圓上存在四個點到直線的距離等于，則實數(shù)范圍是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】由知圓心，半徑為3，
若圓上存在四個點到直線的距離等于，
則點C到直線的距離，
∴，
∴.
故選：D.
例65．（2022·四川省武勝烈面中學(xué)校高二月考（理））設(shè)點，若在圓上存在點，使得，則的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】以為一邊作正方形，若對角線與圓有交點，則滿足條件的存在，此時正方形的中心在圓上或圓內(nèi)，即，
所以，所以，所以.
故選：D.
例66．（2022·黑龍江·哈爾濱三中高二月考）在平面直角坐標(biāo)系中，已知圓，是直線上的兩點，若對線段上任意一點，圓上均存在兩點，使得，則線段長度的最大值為（ ）
A．2B．C．D．4
【答案】C
【解析】由題意，圓心到直線的距離為
（半徑）
故直線和圓相交；
當(dāng)點在圓外時，從直線上的點向圓上的點連線成角，
當(dāng)且僅當(dāng)兩條線均為切線時，
才是最大的角，
不妨設(shè)切線為，，則由，
得，
；
當(dāng)時，，
設(shè)，
，
解得：，
設(shè)，
如圖，之間的任何一個點，圓上均存在兩點，使得，線段長度的最大值為
故選：C
例67．（2022·重慶·高二期中）已知是圓的一條弦，且，是的中點，當(dāng)弦在圓上運動時，直線上存在兩點，使得恒成立，則線段長度的最小值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】由題可知：，圓心，半徑，
又，是的中點，所以，
所以點的軌跡方程，圓心為點，半徑為，
若直線上存在兩點，使得恒成立，
則以為直徑的圓要包括圓，
點到直線的距離為，
所以長度的最小值為，
故選：B．
例68．（2022·江西·南昌大學(xué)附屬中學(xué)高二月考）在平面直角坐標(biāo)系中，已知點，圓，在圓上存在點滿足，則實數(shù)的取值范圍是
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】設(shè)點，由可得
化簡得即點的軌跡是圓心為，半徑為的圓，
因為點在圓上，所以圓和有公共點，
所以，
，又，所以
故選：D
例69．（2022·全國·高二課時練習(xí)）設(shè)點在圓外，若圓上存在點，使得，則實數(shù)的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】如圖所示：
上存在點使得，
則的最大值大于或者等于時，一定存在點使得，
當(dāng)與圓相切時，取得最大值，
此時，，
，解得：，即，
又在圓外，
，
解得：，
綜上所述：.
故選：C.
例70．（2022·江西·余干縣第三中學(xué)高一月考）已知點，若圓上存在點，使得線段的中點也在圓上，則的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】設(shè)，的中點，
由已知有解得，
即的中點的軌跡為圓，
又線段的中點也在圓上，∴兩圓有公共點，
∴，解得.
故選:B.
例71．（多選題）（2022·江蘇·蘇州中學(xué)高二）已知二次函數(shù)交軸于兩點（不重合），交軸于點．圓過三點．下列說法正確的是（ ）
A．圓心在直線上B．的取值范圍是
C．圓半徑的最小值為D．存在定點，使得圓恒過點
【答案】AD
【解析】對于A，對稱軸為，過兩點的圓的圓心必在中垂線，即上，A正確；
對于B，與軸交于兩點，，解得：，
即且，B錯誤；對于C，設(shè)在左側(cè)，由得：，則，
設(shè)圓：，又，
，解得：，
且，，C錯誤；
對于D，由C可知，圓：，
即，，
令，解得：或，圓恒過定點或，D正確.
故選：AD.
例72．（多選題）（2022·江蘇南京·高二月考）若直線上存在點，過點可作圓：的兩條切線，，切點為，，且，則實數(shù)的取值可以為（ ）
A．B．0C．D．3
【答案】ABC
【解析】由題意，圓半徑為，又，易知：，
∴要使上存在點有，則，
∴.
故選：ABC
例73．（多選題）（2022·遼寧·渤海大學(xué)附屬高級中學(xué)高二月考）設(shè)圓：，點，若圓上存在兩點到的距離為2，則的可能取值為（ ）
A．3B．4C．5D．6
【答案】BCD
【解析】根據(jù)題意設(shè)以為圓心，2為半徑的圓為圓，
所以圓：，圓心為，半徑為，則兩圓圓心距為：，
因為圓上存在兩點到的距離為2，所以圓與圓相交，
所以，解得：.
又，所以的可能取值為4,5,6
故選：BCD
例74．（2022·上海奉賢區(qū)致遠(yuǎn)高級中學(xué)高二月考）在矩形中，，平面，且．若邊上存在兩個不同的點，使得，則的取值范圍是_____________
【答案】
【解析】a如圖所示，若，又有平面，得到，
則有平面，所以，
則“邊上存在兩個點使得”
就轉(zhuǎn)化為“邊上存在兩個點使得，”，
即以為直徑的圓與邊有兩個交點，
則圓的圓心到邊的距離小于半徑，即，
其中，，所以，即，
所以的取值范圍是.
故答案為：.
例75．（2022·江西·九江一中高二月考（理））中，所在平面內(nèi)存在點P使得，，則的面積最大值為__________________．
【答案】
【解析】以的中點為坐標(biāo)原點，所在直線為軸建立平面直角坐標(biāo)系，
設(shè)，則，設(shè)，由，，可得，
即，
即點P既在以為圓心，半徑為的圓上，也在為圓心，為半徑的圓上，
可得，
由兩邊平方化簡可得，
則的面積為，
由，可得．
故答案為：.
例76．（2022·江蘇·泰州中學(xué)高二月考）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知圓C：，點，若圓C上存在點M，滿足，則點M的縱坐標(biāo)的取值范圍是___________.
【答案】
【解析】解析：設(shè)，
因為，所以，
化簡得，
則圓C：與圓：有公共點，
將兩圓方程相減可得兩圓公共弦所在直線方程為
代入可得，
故答案為：.
例77．（2022·全國·高二單元測試）在平面直角坐標(biāo)系中，圓的方程為，若直線上至多存在一點，使得以該點為圓心，1為半徑的圓與圓相切，則實數(shù)的取值范圍為______．
【答案】【解析】由于圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，
則圓的圓心坐標(biāo)為，半徑為1．
要使直線上至多存在一點，
使得以該點為圓心，1為半徑的圓與圓相切，
則只需滿足圓的圓心到直線的距離，
即，解得．
故答案為：．

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