1、明確模擬練習(xí)的目的。不但檢測知識的全面性、方法的熟練性和運(yùn)算的準(zhǔn)確性，更是訓(xùn)練書寫規(guī)范，表述準(zhǔn)確的過程。
2、查漏補(bǔ)缺，以“錯”糾錯。每過一段時間，就把“錯題筆記”或標(biāo)記錯題的試卷有側(cè)重的看一下。查漏補(bǔ)缺的過程也就是反思的過程，逐漸實(shí)現(xiàn)保強(qiáng)攻弱的目標(biāo)。
3、嚴(yán)格有規(guī)律地進(jìn)行限時訓(xùn)練。特別是強(qiáng)化對解答選擇題、填空題的限時訓(xùn)練，將平時考試當(dāng)作高考，嚴(yán)格按時完成，并在速度體驗(yàn)中提高正確率。
4、保證常規(guī)題型的堅(jiān)持訓(xùn)練。做到百無一失，對學(xué)有余力的學(xué)生，可適當(dāng)拓展高考中難點(diǎn)的訓(xùn)練。
5、注重題后反思總結(jié)。出現(xiàn)問題不可怕，可怕的是不知道問題的存在，在復(fù)習(xí)中出現(xiàn)的問題越多，說明你距離成功越近，及時處理問題，爭取“問題不過夜”。
6、重視每次模擬考試的臨考前狀態(tài)的調(diào)整及考后心理的調(diào)整。以平和的心態(tài)面對高考。
專題21 利用傳統(tǒng)方法求線線角、線面角、二面角與距離的問題
【考點(diǎn)預(yù)測】
知識點(diǎn)1：線與線的夾角
（1）位置關(guān)系的分類：
（2）異面直線所成的角
①定義：設(shè)是兩條異面直線，經(jīng)過空間任一點(diǎn)作直線，把與所成的銳角（或直角）叫做異面直線與所成的角（或夾角）．
②范圍：
= 3 \* GB3 ③求法：平移法：將異面直線平移到同一平面內(nèi)，放在同一三角形內(nèi)解三角形．
知識點(diǎn)2：線與面的夾角
①定義：平面上的一條斜線與它在平面的射影所成的銳角即為斜線與平面的線面角．
②范圍：
= 3 \* GB3 ③求法：
常規(guī)法：過平面外一點(diǎn)做平面，交平面于點(diǎn)；連接，則即為直線與平面的夾角．接下來在中解三角形．即（其中即點(diǎn)到面的距離，可以采用等體積法求，斜線長即為線段的長度）；
知識點(diǎn)3：二面角
（1）二面角定義：從一條直線出發(fā)的兩個半平面所組成的圖形稱為二面角，這條直線稱為二面角的棱，這兩個平面稱為二面角的面．（二面角或者是二面角）
（2）二面角的平面角的概念：平面角是指以二面角的棱上一點(diǎn)為端點(diǎn)，在兩個半平面內(nèi)分別做垂直于棱的兩條射線，這兩條射線所成的角就叫做該二面角的平面角；范圍．
（3）二面角的求法
法一：定義法在棱上取點(diǎn)，分別在兩面內(nèi)引兩條射線與棱垂直，這兩條垂線所成的角的大小就是二面角的平面角，如圖在二面角的棱上任取一點(diǎn)，以為垂足，分別在半平面和內(nèi)作垂直于棱的射線和，則射線和所成的角稱為二面角的平面角（當(dāng)然兩條垂線的垂足點(diǎn)可以不相同，那求二面角就相當(dāng)于求兩條異面直線的夾角即可）．

法二：三垂線法
在面或面內(nèi)找一合適的點(diǎn)，作于，過作于，則為斜線在面內(nèi)的射影，為二面角的平面角．如圖1，具體步驟：
①找點(diǎn)做面的垂線；即過點(diǎn)，作于；
②過點(diǎn)（與①中是同一個點(diǎn)）做交線的垂線；即過作于，連接；
③計(jì)算：為二面角的平面角，在中解三角形．

圖1 圖2 圖3
法三：射影面積法
凡二面角的圖形中含有可求原圖形面積和該圖形在另一個半平面上的射影圖形面積的都可利用射影面積公式（，如圖2）求出二面角的大小；
法四：補(bǔ)棱法
當(dāng)構(gòu)成二面角的兩個半平面沒有明確交線時，要將兩平面的圖形補(bǔ)充完整，使之有明確的交線（稱為補(bǔ)棱），然后借助前述的定義法與三垂線法解題．當(dāng)二平面沒有明確的交線時，也可直接用法三的攝影面積法解題．
法五：垂面法
由二面角的平面角的定義可知兩個面的公垂面與棱垂直，因此公垂面與兩個面的交線所成的角，就是二面角的平面角．例如：過二面角內(nèi)一點(diǎn)作于，作于，面交棱于點(diǎn)，則就是二面角的平面角．如圖3．此法實(shí)際應(yīng)用中的比較少，此處就不一一舉例分析了．
知識點(diǎn)4：空間中的距離
求點(diǎn)到面的距離轉(zhuǎn)化為三棱錐等體積法求解．
【題型歸納目錄】
題型一：異面直線所成角
題型二：線面角
題型三：二面角
題型四：距離問題
【典例例題】
題型一：異面直線所成角
例1．（2022·吉林·長春市第二實(shí)驗(yàn)中學(xué)高三階段練習(xí)）如圖，在棱長為2的正方體中，分別是的中點(diǎn)，則異面直線與所成的角為（ ）
A．B．C．D．
例2．（2022·四川內(nèi)江·模擬預(yù)測（理））如圖，在直三棱柱中，面，，則直線與直線夾角的余弦值為（ ）
A．B．C．D．
例3．（2022·全國·模擬預(yù)測）已知正方體中，E，G分別為，的中點(diǎn)，則直線，CE所成角的余弦值為（ ）
A．B．C．D．
例4．（2022·全國·模擬預(yù)測）在如圖所示的圓錐中，底面直徑為，母線長為4，點(diǎn)C是底面直徑AB所對弧的中點(diǎn)，點(diǎn)D是母線PB的中點(diǎn)，則異面直線AB與CD所成角的余弦值為（ ）
A．B．C．D．
例5．（2020·黑龍江·哈師大附中高三期末（文））如圖，在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB=AA1=2，M、N分別是BB1和B1C1的中點(diǎn)，則直線AM與CN所成角的余弦值等于（ ）
A．B．C．D．
例6．（2023·全國·高三專題練習(xí)（文））如圖，在四面體ABCD中，平面BCD，，P為AC的中點(diǎn)，則直線BP與AD所成的角為（ ）
A．B．C．D．
例7．（2022·河南省杞縣高中模擬預(yù)測（文））如圖，在三棱柱中，平面ABC，，，，則異面直線與所成角的余弦值為（ ）
A．B．C．D．
例8．（2022·全國·高三專題練習(xí)）在正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，過點(diǎn)C做直線l，使得直線l與直線BA1和B1D1所成的角均為，則這樣的直線l（ ）
A．不存在B．2條
C．4條D．無數(shù)條
例9．（2022·湖南·長沙一中高三開學(xué)考試）已知點(diǎn)A為圓臺O1O2下底面圓O2的圓周上一點(diǎn)，S為上底面圓O1的圓周上一點(diǎn)，且SO1=1，O1O2=，O2A=2，記直線SA與直線O1O2所成角為，則（ ）
A．B．C．D．
例10．（2022·湖北武漢·模擬預(yù)測）已知異面直線，的夾角為，若過空間中一點(diǎn)，作與兩異面直線夾角均為的直線可以作4條，則的取值范圍是______．
例11．（2022·江蘇常州·模擬預(yù)測）在三棱錐中，已知平面，，若，，則與所成角的余弦值為___________．
題型二：線面角
例12．（2022·福建·三明一中模擬預(yù)測）已知正方體中，，點(diǎn)E為平面內(nèi)的動點(diǎn)，設(shè)直線與平面所成的角為，若，則點(diǎn)E的軌跡所圍成的面積為___________．
例13．（2022·全國·模擬預(yù)測（理））如圖，在三棱臺中，平面，，，，則與平面所成的角為（ ）
A．B．C．D．
例14．（2022·河南安陽·模擬預(yù)測（理））如圖，在三棱錐P-ABC中，底面ABC是直角三角形，AC=BC=2，PB=PC，D為AB的中點(diǎn)．
（1）證明：BC⊥PD；
（2）若AC⊥PB，PA=3，求直線PA與平面PBC所成的角的正弦值．
例15．（2022·河南安陽·模擬預(yù)測（理））如圖，在四面體ABCD中，，，E為BD的中點(diǎn)，F(xiàn)為AC上一點(diǎn)．
（1）求證：平面平面BDF；
（2）若，，，求直線BF與平面ACD所成角的正弦值的最大值．
例16．（2022·吉林·長春市第二實(shí)驗(yàn)中學(xué)高三階段練習(xí)）如圖，已知四棱錐中，平面，且．
（1）求證：平面；
（2）當(dāng)直線與底面所成的角都為，且時，求出多面體的體積．
例17．（2022·全國·高三專題練習(xí)（文））已知正三棱柱中，，是的中點(diǎn)．
（1）求證：平面；
（2）點(diǎn)是直線上的一點(diǎn)，當(dāng)與平面所成的角的正切值為時，求三棱錐的體積．
例18．（2022·四川省瀘縣第二中學(xué)模擬預(yù)測（文））如圖，在四棱錐中，底面ABCD為矩形，為等腰直角三角形，，，F(xiàn)是BC的中點(diǎn)．
（1）在AD上是否存在點(diǎn)E，使得平面平面，若存在，求出點(diǎn)E的位置；若不存在，請說明理由．
（2）為等邊三角形，在（1）的條件下，求直線SE與平面SBC所成角的正弦值．
例19．（2022·江蘇南通·模擬預(yù)測）如圖，在矩形ABCD中，AB＝2AD＝4，M，N分別是AB和CD的中點(diǎn)，P是BM的中點(diǎn)．將矩形AMND沿MN折起，形成多面體AMB－DNC．
（1）證明：BD平面ANP；
（2）若二面角A－MN－B大小為120°，求直線AP與平面ABCD所成角的正弦值．
題型三：二面角
例20．（2023·河北·高三階段練習(xí)）如圖，為圓柱的軸截面，是圓柱上異于的母線．
（1）證明：平面；
（2）若，當(dāng)三棱錐的體積最大時，求二面角的正弦值．
例21．（2023·全國·高三專題練習(xí)（理））如圖，在三棱錐中，，，O為AC的中點(diǎn)．
（1）證明：PO⊥平面ABC；
（2）若點(diǎn)M在棱BC上，且PM與面ABC所成角的正切值為，求二面角的平面角的余弦值．
例22．（2022·廣東·大埔縣虎山中學(xué)高三階段練習(xí)）如圖，AB是圓的直徑，PA垂直圓所在的平面，C是圓上的點(diǎn)．
（1）求證：平面PAC⊥平面PBC；
（2）若AB＝2，AC＝1，PA＝1，求：二面角C-PB-A的正切值．
例23．（2022·北京·景山學(xué)校模擬預(yù)測）如圖，正三棱柱中，E，F(xiàn)分別是棱，上的點(diǎn)，平面平面，M是AB的中點(diǎn)．
（1）證明：平面BEF；
（2）若，求平面BEF與平面ABC夾角的大?。?br>例24．（2022·湖南·雅禮中學(xué)二模）如圖，在正方體中，點(diǎn)在線段上，，點(diǎn)為線段上的動點(diǎn)．
（1）若平面，求的值；
（2）當(dāng)為中點(diǎn)時，求二面角的正切值．
例25．（2022·天津·耀華中學(xué)一模）如圖，在四棱錐中，平面平面，，，，，點(diǎn)為的中點(diǎn)．
（1）求證：平面；
（2）求平面與平面夾角的正弦值；
例26．（2022·浙江·海寧中學(xué)模擬預(yù)測）如圖所示，在四邊形ABCD中，，，現(xiàn)將沿BD折起，使得點(diǎn)A到E的位置．
（1）試在BC邊上確定一點(diǎn)F，使得；
（2）若平面平面BCD，求二面角所成角的正切值．
例27．（2022·湖北武漢·模擬預(yù)測）如圖，在三棱錐中，平面平面，，，D，E分別為，中點(diǎn)，且．
（1）求的值；
（2）若，求二面角的余弦值．
例28．（2022·陜西·西北工業(yè)大學(xué)附屬中學(xué)二模（理））在如圖所示的圓錐中，??是該圓錐的三條不同母線，?分別為?的中點(diǎn)，圓錐的高為，底面半徑為，，且圓錐的體積為．
（1）求證：直線平行于圓錐的底面；
（2）若三條母線??兩兩夾角相等，求平面與圓錐底面的夾角的余弦值．
例29．（2022·天津河北·二模）如圖，四邊形ABCD是邊長為2的菱形，，四邊形PACQ是矩形，，且平面平面ABCD．
（1）求直線BP與平面PACQ所成角的正弦值；
（2）求平面BPQ與平面DPQ的夾角的大小；
例30．（2021·江蘇蘇州·高三階段練習(xí)）已知四棱錐的底面是邊長為2的正方形，且平面平面．
（1）證明：；
（2）若點(diǎn)Q到平面的距離為2，記二面角的正切值為m，求的最小值．
題型四：距離問題
例31．（2022·四川廣安·模擬預(yù)測（文））如圖，四棱錐中，底面ABCD為直角梯形，其中，，面面ABCD，且，點(diǎn)M在棱AE上．
（1）若，求證：平面BDM．
（2）當(dāng)平面MBC時，求點(diǎn)E到平面BDM的距離．
例32．（2022·全國·模擬預(yù)測（文））如圖，在三棱錐中，平面平面，，，且點(diǎn)在以點(diǎn)為圓心為直徑的半圓上．
（1）求證：；
（2）若，且與平面所成角為，求點(diǎn)到平面的距離．
例33．（2022·河南安陽·模擬預(yù)測（文））如圖，在三棱錐中，底面ABC是直角三角形，，，D為AB的中點(diǎn)．
（1）證明：；
（2）若，，求點(diǎn)A到平面PDC的距離．
例34．（2022·全國·高三專題練習(xí)）如圖，在直棱柱中，底面是直角梯形，，，點(diǎn)P在面上，過點(diǎn)P和棱的平面把直棱柱分成體積相等的兩部分．
（1）求截面與直棱柱的側(cè)面所成角的正切值；
（2）求棱到截面的距離．
例35．（2021·湖南師大附中高三階段練習(xí)）如圖，已知為等邊三角形，D，E分別為，邊的中點(diǎn)，把沿折起，使點(diǎn)A到達(dá)點(diǎn)P，平面平面，若．
（1）求與平面所成角的正弦值；
（2）求直線到平面的距離．
例36．（2022·黑龍江齊齊哈爾·三模（文））如圖所示的斜三棱柱中，是正方形，且點(diǎn)在平面上的射影恰是AB的中點(diǎn)H，M是的中點(diǎn)．
（1）判斷HM與面的關(guān)系，并證明你的結(jié)論；
（2）若，，求斜三棱柱兩底面間的距離．
例37．（2023·全國·高三專題練習(xí)）如圖，在直三棱柱ABC—中，AB=1，；點(diǎn)D、E分別在上，且，四棱錐與直三棱柱的體積之比為3：5．求異面直線DE與的距離．
例38．（2022·上海市實(shí)驗(yàn)學(xué)校模擬預(yù)測）如圖，已知正三棱錐P-ABC的側(cè)棱長為2，側(cè)棱與底面所成角大小為60°．
（1）求此正三棱錐體積；
（2）求異面直線PA與BC的距離．
例39．（2020·全國·高三專題練習(xí)（文））如圖，四棱錐中，底面為矩形，底面，，，點(diǎn)是棱的中點(diǎn)．直線與平面的距離為（ ）
A．B．C．D．
例40．（2020·全國·高三專題練習(xí)（文））用六個完全相同的正方形圍成的立體圖形叫正六面體．已知正六面體的棱長為，則平面與平面間的距離為（ ）
A．B．C．D．

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