1、明確模擬練習(xí)的目的。不但檢測知識的全面性、方法的熟練性和運算的準(zhǔn)確性，更是訓(xùn)練書寫規(guī)范，表述準(zhǔn)確的過程。
2、查漏補(bǔ)缺，以“錯”糾錯。每過一段時間，就把“錯題筆記”或標(biāo)記錯題的試卷有側(cè)重的看一下。查漏補(bǔ)缺的過程也就是反思的過程，逐漸實現(xiàn)保強(qiáng)攻弱的目標(biāo)。
3、嚴(yán)格有規(guī)律地進(jìn)行限時訓(xùn)練。特別是強(qiáng)化對解答選擇題、填空題的限時訓(xùn)練，將平時考試當(dāng)作高考，嚴(yán)格按時完成，并在速度體驗中提高正確率。
4、保證常規(guī)題型的堅持訓(xùn)練。做到百無一失，對學(xué)有余力的學(xué)生，可適當(dāng)拓展高考中難點的訓(xùn)練。
5、注重題后反思總結(jié)。出現(xiàn)問題不可怕，可怕的是不知道問題的存在，在復(fù)習(xí)中出現(xiàn)的問題越多，說明你距離成功越近，及時處理問題，爭取“問題不過夜”。
6、重視每次模擬考試的臨考前狀態(tài)的調(diào)整及考后心理的調(diào)整。以平和的心態(tài)面對高考。
專題13 ω 的取值范圍與最值問題
【考點預(yù)測】
1.在區(qū)間內(nèi)沒有零點
同理，在區(qū)間內(nèi)沒有零點
2.在區(qū)間內(nèi)有個零點
同理在區(qū)間內(nèi)有個零點

3. 在區(qū)間內(nèi)有個零點

同理在區(qū)間內(nèi)有個零點
4. 已知一條對稱軸和一個對稱中心，由于對稱軸和對稱中心的水平距離為，則．
5.已知單調(diào)區(qū)間，則.
【方法技巧與總結(jié)】
解決ω的取值范圍與最值問題主要方法是換元法和卡住ω的大致范圍.
【題型歸納目錄】
題型一：零點問題
題型二：單調(diào)問題
題型三：最值問題
題型四：極值問題
題型五：對稱性
題型六：性質(zhì)的綜合問題
【典例例題】
題型一：零點問題
例1．（2022·江西·臨川一中模擬預(yù)測（文））函數(shù)在上沒有零點，則的取值范圍是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】
【分析】
因為在上沒有零點，所以，解出的范圍，再結(jié)合題意得出或，代入即可求出答案.
【詳解】因為函數(shù)，在上沒有零點，所以
，所以，
即，
因為，所以，
又因為，所以，所以，
所以，因為，所以或，
當(dāng)時，；
當(dāng)時，，
又因為，所以的取值范圍是：.
故選：C.
例2．（2022·安徽·合肥市第八中學(xué)模擬預(yù)測（理））已知函數(shù)在區(qū)間上有且僅有4個零點，則的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】
【分析】
由的范圍，求出的范圍，結(jié)合正弦函數(shù)的性質(zhì)即可得結(jié)果.
【詳解】
根據(jù)題意，函數(shù)，
若，即，必有，
令，則，
設(shè)，
則函數(shù)和在區(qū)間內(nèi)有4個交點，
又由于，必有，即的取值范圍是，
故選：B.
例3．（2022·廣西·貴港市高級中學(xué)三模（理））已知在有且僅有6個實數(shù)根，則實數(shù)的取值范圍為（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】
【分析】
先化簡為，再根據(jù)題意得出，求解即可.
【詳解】
解：由，
得，即.
設(shè)，
即在有且僅有6個實數(shù)根，
因為，
故只需，
解得，
故選：D．
例4．（2022·海南華僑中學(xué)模擬預(yù)測）已知函數(shù)在上有且僅有個零點，則的取值范圍是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】
【分析】
當(dāng)時，，由已知條件可得出關(guān)于的不等式，即可解得的取值范圍.
【詳解】因為，當(dāng)時，，
因為函數(shù)在上有且僅有個零點，
則，解得.
故選：B.
例5．（2022·陜西·模擬預(yù)測（理））已知函數(shù)在上有且只有5個零點，則實數(shù)的范圍是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】
【分析】
由題知在上有且只有5個零點，進(jìn)而得，再結(jié)合正弦函數(shù)的圖像可知，解不等式即可得答案.
【詳解】
解：因為，
令，即，
所以，在上有且只有5個零點，
因為，所以，
所以，如圖，由正弦函數(shù)圖像，要使在上有且只有5個零點，
則，即，
所以實數(shù)的范圍是.
故選：C
例6．（2022·廣東·三模）已知函數(shù)，且f（x）在[0，]有且僅有3個零點，則的取值范圍是（ ）
A．[，）B．[，）C．[，）D．[，）
【答案】D
【解析】
【分析】
求出的范圍，然后由余弦函數(shù)性質(zhì)得不等關(guān)系，求得參數(shù)范圍．
【詳解】
因為，當(dāng)時，，
因為函數(shù)在上有且只有3個零點，
由余弦函數(shù)性質(zhì)可知，解得.
故選：D．
例7．（2022·江西贛州·一模（文））已知函數(shù)在區(qū)間上有且僅有2個不同的零點，給出下列三個結(jié)論：
①在區(qū)間上有且僅有2條對稱軸；
②在區(qū)間上單調(diào)遞增；
③的取值范圍是.
其中正確的個數(shù)為（ ）
A．0B．1C．2D．3
【答案】C
【解析】
【分析】
對于③，令，得，可知，求得；
對于①，利用的對稱軸為可判斷；對于②，利用利用的增區(qū)間為可判斷；
【詳解】
對于③，，，令，得，
由函數(shù)在區(qū)間上有且僅有2個不同的零點，即取得0，，
所以，解得，故③正確；對于①，當(dāng)，，
由，知，
令，由于值不確定，所以不一定取到，故①錯誤；
對于②，當(dāng)時，，
由，知
即，即在區(qū)間上單調(diào)遞增，故②正確；
所以正確的個數(shù)為2個.
故選：C
例8．（2022·全國·高三專題練習(xí)（理））已知函數(shù)在上恰有3個零點，則的取值范圍是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】
【分析】
先由零點個數(shù)求出，再用整體法得到不等式組，求出的取值范圍.
【詳解】
，，其中，解得：，
則，要想保證函數(shù)在恰有三個零點，滿足①，
，令，解得：；或要滿足②，，
令，解得：；經(jīng)檢驗，滿足題意，其他情況均不滿足條件，
綜上：的取值范圍是.
故選：C
【點睛】
三角函數(shù)相關(guān)的零點問題，需要利用整體思想，數(shù)形結(jié)合等進(jìn)行解決，通常要考慮最小正周期，確定的范圍，本題中就要根據(jù)零點個數(shù)，先得到，從而求出，再進(jìn)行求解.例9．（2022·山西·一模（文））已知函數(shù)在上恰有3個零點，則的取值范圍是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】
【分析】
根據(jù)題意，將問題轉(zhuǎn)化成函數(shù)在上恰有3個零點，根據(jù)正弦函數(shù)的性質(zhì)，即可求出結(jié)果.
【詳解】
函數(shù)在上恰有3個零點，，則
，求得：.
故選：D.
例10．（2022·山西·太原五中高三階段練習(xí)（文））已知函數(shù)，若方程在區(qū)間上恰有5個實根，則的取值范圍是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】
【分析】
由方程，解得，得到的可能取值，根據(jù)題意得到，即可求解.
【詳解】
由方程，可得，
所以，
當(dāng)時，，
所以的可能取值為，，，，，，…，
因為原方程在區(qū)間上恰有5個實根，所以，
解得，即的取值范圍是.
故選：D.例11．（2022·陜西渭南·一模（理））若關(guān)于的方程在上有實數(shù)根，則實數(shù)的取值范圍是________．
【答案】
【解析】
【分析】
利用三角函數(shù)的倍角公式,將方程整理化簡,利用三角函數(shù)的圖象和性質(zhì),確定條件關(guān)系,進(jìn)行求解即可.
【詳解】
，
，
即，
，即，
，，
設(shè)，則在上有實數(shù)根，
，在的圖像有交點，如圖
由于
由圖象可知， ，即
故答案為：
題型二：單調(diào)問題
例12．（2022·江西贛州·二模（理））已知函數(shù)相鄰兩個對稱軸之間的距離為2π，若f（x）在（-m，m）上是增函數(shù)，則m的取值范圍是（ ）
A．（0，]B．（0，]C．（0，]D．（0，]
【答案】B
【解析】
【分析】
根據(jù)題意可得周期，進(jìn)而求出，再求出的單調(diào)區(qū)間，即可求出.
【詳解】
因為相鄰兩個對稱軸之間的距離2π，則，即，則，則，
由，得，
所以在上是增函數(shù)，由得.
故選：B.
例13．（2022·內(nèi)蒙古赤峰·模擬預(yù)測（文））函數(shù)的圖象向右平移個單位長度后得到函數(shù)的圖象，的零點到軸的最近距離小于，且在上單調(diào)遞增，則的取值范圍是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】
【分析】
由為的一個零點，結(jié)合單調(diào)性得出，再由，得出的取值范圍.
【詳解】
設(shè)的最小正周期為，依題意為的一個零點，且在上單調(diào)遞增，所以，所以，因為的零點到軸的最近距離小于，所以，化簡得，即的取值范圍是.
故選：D
例14．（2022·安徽·蕪湖一中高三階段練習(xí)（文））函數(shù)在上是減函數(shù)，則的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】
【分析】
根據(jù)函數(shù)在上是減函數(shù)，由，求解.
【詳解】
解：因為函數(shù)在上是減函數(shù)，所以，，，
解得，
所以，
解得，又，
所以，
所以的取值范圍是.
故選：A
例15．（2022·河南·汝州市第一高級中學(xué)模擬預(yù)測（理））已知函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，則實數(shù)的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】
【分析】
先借助輔助角公式得到，再由正弦函數(shù)的單減區(qū)間解出的范圍即可.
【詳解】
由題意得，函數(shù)，令，
即.因為函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，則且，且，
解得，且，又，所以.
故選：C.
例16．（2022·陜西榆林·三模（理））已知，函數(shù)在上單調(diào)遞增，且對任意，都有，則的取值范圍為（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】
【分析】
由題可得，，進(jìn)而可得，，即得.
【詳解】由，得，
則，
解得．
又，
∴，
故，即．
由，得，
則，解得，
因為，
故，即，
綜上所述，的取值范圍為．
故選：A.
例17．（2022·全國·高三專題練習(xí)）將函數(shù)圖象上所有點的橫坐標(biāo)縮短到原來的倍縱坐標(biāo)不變，再向左平移個單位長度，得到函數(shù)的圖象，若在上單調(diào)遞減，則實數(shù)的取值范圍為（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】
【分析】
根據(jù)函數(shù)圖象變換關(guān)系求出的解析式，利用函數(shù)的單調(diào)性建立不等式進(jìn)行求解即可．
【詳解】
解：將函數(shù)圖象上所有點的橫坐標(biāo)縮短到原來的倍縱坐標(biāo)不變，得到，再向左平移個單位長度，得到函數(shù)的圖象，
即，若在上單調(diào)遞減，
則的周期，即，得，
由，，得，，
即，即的單調(diào)遞減區(qū)間為，，若在上單調(diào)遞減，則，，
即，，當(dāng)時，，即的取值范圍是.
故選：D．
例18．（2022·江西·上饒市第一中學(xué)模擬預(yù)測（理））已知函數(shù)在上單調(diào)遞增，則a的取值范圍為（ ）
A．B．C．D．或
【答案】C
【解析】
【分析】
根據(jù)函數(shù)單調(diào)遞增轉(zhuǎn)化為導(dǎo)數(shù)不小于0恒成立，分離參數(shù)求解即可.
【詳解】
因為函數(shù)在上單調(diào)遞增，
所以在上恒成立，
即在上恒成立，
由在上單調(diào)遞增知，，
所以，
故選：C
例19．（2022·天津市濱海新區(qū)塘沽第一中學(xué)三模）設(shè)，函數(shù)，，若在上單調(diào)遞增，且函數(shù)與的圖象有三個交點，則的取值范圍（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】
【分析】
根據(jù)在上單調(diào)遞增，結(jié)合正弦函數(shù)的單調(diào)性可得，從而可求得在上單調(diào)遞增這個條件的范圍，再根據(jù)函數(shù)與的圖象有三個交點，則在上函數(shù)與的圖象有兩個交點，即方程在上有兩個不同的實數(shù)根，從而可得第二個條件下的的范圍，取交集即可得出答案，注意說明時，函數(shù)與的圖象只有一個交點.
【詳解】
當(dāng)時，，
因為在上單調(diào)遞增，
所以，解得，
若在上函數(shù)與的圖象有兩個交點，
即方程在上有兩個不同的實數(shù)根，
即方程在上有兩個不同的實數(shù)根，
所以，解得，
當(dāng)時，令，
當(dāng)時，，
當(dāng)時，，，
結(jié)合圖象可得時，函數(shù)與的圖象只有一個交點，
綜上所述，當(dāng)時，函數(shù)與的圖象有三個交點，滿足題意，
故選：B.
例20．（2022·湖南·長沙一中模擬預(yù)測）已知函數(shù)，若在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減，則的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】
【分析】
轉(zhuǎn)化為在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增，根據(jù)正切函數(shù)的單調(diào)區(qū)間求出的單調(diào)遞增區(qū)間，再根據(jù)區(qū)間是的單調(diào)遞增區(qū)間的子集列式可求出結(jié)果.
【詳解】
因為在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減，所以，在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增，
由，，得，，
所以的單調(diào)遞增區(qū)間為，，
依題意得，，
所以，，
所以，，
由得，由得，
所以且，
所以或，
當(dāng)時，，又，所以，
當(dāng)時，.
綜上所述：.
故選：C.
題型三：最值問題
例21．（2022·重慶八中高三階段練習(xí)）函數(shù)在上的值域是，則的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】【分析】
根據(jù)求出，根據(jù)f(x)在上的值域是可知，據(jù)此即可求出ω的范圍.
【詳解】
，，則，
要使f(x)在上的值域是，
則.
故選：C.
例22．（2022·安徽馬鞍山·三模（理））函數(shù)在區(qū)間上恰有兩個最小值點，則的取值范圍為（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】
【分析】
運用換元法，結(jié)合正弦函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行求解即可.
【詳解】
令，因為，所以，
問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)在時恰有兩個最小值點，
所以有，因為，所以，
故選：A
例23．（2022·河南·寶豐縣第一高級中學(xué)模擬預(yù)測（理））已知函數(shù)在區(qū)間上的值域為，則的取值范圍為（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】
【分析】
由求得的范圍，再根據(jù)函數(shù)的直接結(jié)合正弦函數(shù)的性質(zhì)列出不等式，從而可得出答案.
【詳解】
解：當(dāng)時，，
因為函數(shù)在區(qū)間上的值域為，
所以，解得.
故選：.例24．（2022·全國·高三專題練習(xí)（文））已知函數(shù)的定義域為，值域為，則的取值范圍是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】
【分析】
由題意可確定，結(jié)合，從而確定
，解得答案.
【詳解】
由的值域為,可得，
由可得，所以，
解得，所以a的取值范圍是，
故選:C
例25．（2022·陜西·武功縣普集高級中學(xué)高三階段練習(xí)（理））函數(shù)在內(nèi)恰有兩個最小值點，則的范圍是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】
【分析】
根據(jù)正弦型函數(shù)的最小值的性質(zhì)，結(jié)合題意進(jìn)行求解即可.
【詳解】
當(dāng)時，即時，函數(shù)有最小值，
令時，有，，，，
因為函數(shù)在內(nèi)恰有兩個最小值點，，所以有：，
故選：B
【點睛】
關(guān)鍵點睛：根據(jù)正弦型函數(shù)的最值的性質(zhì)進(jìn)行求解是解題的關(guān)鍵.
例26．（2022·全國·高三專題練習(xí)（理））已知函數(shù)，若至少存在兩個不相等的實數(shù)，使得，則實數(shù)的取值范圍是________．
【答案】
【解析】
【分析】
當(dāng)時，易知必滿足題意；當(dāng)時，根據(jù)可得，由最大值點的個數(shù)可構(gòu)造不等式組，結(jié)合確定具體范圍.
【詳解】
至少存在兩個不相等的實數(shù)，使得，
當(dāng)，即時，必存在兩個不相等的實數(shù)滿足題意；
當(dāng)，即時，，
，；
當(dāng)時，解集為，不合題意；令，則；令，則；
綜上所述：實數(shù)的取值范圍為.
故答案為：.
【點睛】
關(guān)鍵點點睛：本題考查根據(jù)正弦型函數(shù)最值點的個數(shù)求解參數(shù)范圍的問題，解題關(guān)鍵是能夠采用整體對應(yīng)的方式，根據(jù)的范圍所需滿足的條件來構(gòu)造不等式組，解不等式組求得結(jié)果.
例27．（2022·貴州·鎮(zhèn)遠(yuǎn)縣文德民族中學(xué)校模擬預(yù)測（文））已知函數(shù)，若函數(shù)的圖象在區(qū)間上的最高點和最低點共有個，下列說法正確的是___________.
①在上有且僅有個零點；
②在上有且僅有個極大值點；
③的取值范圍是；
④在上為單遞增函數(shù).
【答案】②③【解析】
【分析】
利用輔助角公式可化簡得到，令，則，利用正弦函數(shù)圖象可確定的范圍，由此確定③正確；結(jié)合圖象可知①②的正誤；根據(jù)知④錯誤.
【詳解】
，
當(dāng)時，，
令，則在上的最高點和最低點共有個，
由圖象可知：需滿足：，解得：，③正確；
當(dāng)時，有且僅有個零點，即在上有且僅有個零點，①錯誤；
當(dāng)時，有且僅有個極大值點，②正確；
當(dāng)時，，則，
在上有增有減，④錯誤.
故答案為：②③.
【點睛】
關(guān)鍵點點睛：本題考查正弦型函數(shù)圖象與性質(zhì)的相關(guān)應(yīng)用，解題關(guān)鍵是能夠?qū)⒖醋鲆粋€整體，采用換元法研究的圖象，通過所需滿足的范圍確定范圍及的性質(zhì).
例28．（2022·全國·高三專題練習(xí)（文））已知函數(shù)在（0，2]上有最大值和最小值，且取得最大值和最小值的自變量的值都是唯一的，則的取值范圍是___________.
【答案】
【解析】
【分析】
考察第2、3個正最值點的位置可解.【詳解】
易知時不滿足題意，
由Z，得Z，
當(dāng)時，第2個正最值點，解得，
第3個正最值點，解得，故；
當(dāng)時，第2個正最值點，解得，
第3個正最值點，解得，故.
綜上，的取值范圍是.
故答案為：
題型四：極值問題
例29．（2022·全國·高三專題練習(xí)）若函數(shù)（）在上單調(diào)，且在上存在極值點，則ω的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】
【分析】
依據(jù)函數(shù)在上單調(diào)，可知，計算出函數(shù)的對稱軸，然后根據(jù)函數(shù)在所給區(qū)間存在極值點可知，最后計算可知結(jié)果.
【詳解】
因為在上單調(diào)，所以，則，由此可得.
因為當(dāng)，即時，函數(shù)取得極值，
欲滿足在上存在極值點，因為周期，故在上有且只有一個極值，
故第一個極值點，得，又第二個極值點，
要使在上單調(diào)，必須，得.
綜上可得，的取值范圍是.
故選：C
【點睛】
思路點點睛：第一步：先根據(jù)函數(shù)在所給區(qū)間單調(diào)判斷；第二步：計算對稱軸；第三步：依據(jù)函數(shù)在所給區(qū)間存在極值點可得，即可.
例30．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)在區(qū)間上無極值，則的取值范圍是（ ）
A．（0，5]B．（0，5）
C．（0，）D．（0，]
【答案】A
【解析】
【分析】
利用導(dǎo)數(shù)求解，將問題轉(zhuǎn)化為
或在區(qū)間上恒成立，然后利用正弦函數(shù)的圖象求解即可.
【詳解】
由已知條件得，
∵函數(shù)在區(qū)間上無極值，
∴函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)，
∴或在區(qū)間上恒成立，
當(dāng)時，，
∵，∴，在此范圍內(nèi)不成立；
當(dāng)時，，
∵，∴，即，解得，
則的取值范圍是，
故選：.
例31．（2022·安徽·安慶一中高三階段練習(xí)（文））已知函數(shù)在區(qū)間不存在極值點，則的取值范圍是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】
【分析】
依題意區(qū)間夾在相鄰的兩條對稱軸之間，列式即可求解
【詳解】，函數(shù)在區(qū)間上不存在極值點，
，且對任意的都成立，
，且，
，且，
或．
故選：D．
例32．（2022·湖北武漢·模擬預(yù)測）已知偶函數(shù)（，）在上恰有2個極大值點，則實數(shù)的取值范圍為（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】
【分析】
利用輔助角公式化簡函數(shù)，根據(jù)偶函數(shù)的性質(zhì)結(jié)合的取值范圍，求解的值，最后化簡得到，再根據(jù)函數(shù)在上恰有2個極大值，代入，即可求解的取值范圍.
【詳解】
解：，
因為，則，故，
又函數(shù)為偶函數(shù)，故，解得，
故，
因為函數(shù)在上恰有2個極大值，故當(dāng)時，，
即.
故選：D.
題型五：對稱性
例33．（2022·安徽·蒙城第一中學(xué)高三階段練習(xí)（理））已知函數(shù)在區(qū)間[0，]上有且僅有3條對稱軸，則的取值范圍是（ ）
A．（，]B．（，]C．[，）D．[，）
【答案】C
【解析】
【分析】
求出函數(shù)的對稱軸方程為，，原題等價于有3個整數(shù)k符合，解不等式即得解.
【詳解】
解：，令，，則，，
函數(shù)f（x）在區(qū)間[0，]上有且僅有3條對稱軸，即有3個整數(shù)k符合，
，得，則，
即，∴.
故選：C.
例34．（2022·福建龍巖·模擬預(yù)測）已知函數(shù)在內(nèi)有且僅有三條對稱軸，則的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】
【分析】
先利用正余弦倍角公式和輔助角公式化簡函數(shù)解析式，利用題中所給的自變量的范圍求得整體角的范圍，根據(jù)正弦函數(shù)的性質(zhì)以及題中條件，得到，進(jìn)而求得結(jié)果.
【詳解】
當(dāng)時，，
函數(shù)在內(nèi)有且僅有三條對稱軸，則有，
解得，
故選：B.
題型六：性質(zhì)的綜合問題
例35．（2022·全國·高考真題（理））設(shè)函數(shù)在區(qū)間恰有三個極值點、兩個零點，則的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】
【分析】
由的取值范圍得到的取值范圍，再結(jié)合正弦函數(shù)的性質(zhì)得到不等式組，解得即可．
【詳解】
解：依題意可得，因為，所以，
要使函數(shù)在區(qū)間恰有三個極值點、兩個零點，又，的圖象如下所示：
則，解得，即．
故選：C．
（多選題）例36．（2022·廣東韶關(guān)·二模）已知函數(shù)，則下列結(jié)論中正確的是（ ）
A．若ω=2，則將的圖象向左平移個單位長度后得到的圖象關(guān)于原點對稱
B．若 ，且 的最小值為，則ω=2
C．若在[0， ]上單調(diào)遞增，則ω的取值范圍為（0，3]
D．若在[0，π]有且僅有3個零點，則ω的取值范圍是
【答案】ABD
【解析】
【分析】
先化簡的解析式；由三角函數(shù)的圖像變換判斷選項A；由，可得是函數(shù)的最大、小值點，從而可判斷B；由在上單調(diào)遞增，則，可判斷選項C；設(shè)，即在僅有3個零點，可判斷選項D.
【詳解】
函數(shù)
選項A：若，，將的圖像向左平移個單位長度得函數(shù)的圖像，所以A正確；
選項B：若，則是函數(shù)的最大值點或最小值點，若的最小值為，則最小正周期是，所以，B正確；
選項C：若在上單調(diào)遞增，則，所以，C錯誤；
選項D：設(shè)，當(dāng)時，
若在僅有3個零點，即在僅有3個零點則，所以，D正確，
故選：ABD．
（多選題）例37．（2022·湖北武漢·模擬預(yù)測）已知，則下列判斷中，錯誤的是（ ）
A．若，，且，則
B．存在，使得的圖像右移個單位長度后得到的圖像關(guān)于軸對稱
C．若在上恰有7個零點，則的取值范圍為
D．若在上單調(diào)遞增，則的取值范圍為
【答案】ABC
【解析】
【分析】
首先利用二倍角公式及誘導(dǎo)公式將函數(shù)解析式化簡，再根據(jù)正弦函數(shù)的性質(zhì)一一判斷即可；
【詳解】
解：，周期．
對于A：由條件知，周期為，，故A錯誤；
對于B：函數(shù)圖象右移個單位長度后得到的函數(shù)為，其圖象關(guān)于軸對稱，則，，故對任意整數(shù)，，故B錯誤；
對于C：由，所以，所以，解得，故C不正確；
對于D：因為，所以，所以， ，故D正確．
故選：ABC．
例38．（2022·貴州貴陽·模擬預(yù)測（理））若函數(shù)在上有且僅有3個零點和2個極小值點，則的取值范圍為______．
【答案】
【解析】
【分析】
找到臨界位置，再根據(jù)條件建立不等式求解即可.
【詳解】
如下圖，作出簡圖，由題意知，，設(shè)函數(shù)的最小正周期為，
因為，則，，
結(jié)合有且，解得．
故答案為：
例39．（2022·湖南永州·三模）已知函數(shù)，若在內(nèi)單調(diào)且有一個零點，則的取值范圍是__________．
【答案】
【解析】
【分析】
由已知，確定范圍，再由正弦型三角函數(shù)圖像的性質(zhì)得到，進(jìn)而化簡求解.
【詳解】
在內(nèi)單調(diào)且，可得，，解得，
又∵，∴，
又 在上恰有一個零點，所以，
∴且，解之得.
故答案為：
例40．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù) (ω>0)，若在上恰有兩個零點，且在上單調(diào)遞增，則ω的取值范圍是________.
【答案】
【解析】
【分析】
由在上恰有兩個零點，令，，可得，令，，可得f(x)在上單調(diào)遞增，從而有，聯(lián)立求解即可得答案.
【詳解】
解：由題意，令，，得x＝，，
∴f(x)的第2個、第3個正零點分別為，，
∴，解得，
令，，
∴，，
令k＝0，f(x)在上單調(diào)遞增，
∴，
∴，解得，
綜上，ω的取值范圍是.
故答案為：.
例41．（2022·全國·高三專題練習(xí)（理））已知函數(shù)，滿足函數(shù)是奇函數(shù)，且當(dāng)取最小值時，函數(shù)在區(qū)間和上均單調(diào)遞增，則實數(shù)的取值范圍為__________．
【答案】
【解析】
【分析】
根據(jù)三角函數(shù)的奇偶性求得，再根據(jù)余弦型函數(shù)的單調(diào)性即可求得參數(shù)范圍.
【詳解】
因為函數(shù)，滿足函數(shù)是奇函數(shù)，
且當(dāng)取最小值時，，．函數(shù)在區(qū)間和上均單調(diào)遞增，
，求得，則實數(shù)的范圍為，
故答案為：
【過關(guān)測試】
一、單選題
1．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)在內(nèi)有且僅有兩個零點，則的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】
【分析】
根據(jù)給定條件確定的范圍，求解不等式作答.
【詳解】
由得，而當(dāng)，時，，
又，函數(shù)在內(nèi)有且僅有兩個零點，
于是得，解得，
所以的取值范圍是.
故選：D
2．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知，函數(shù)在上單調(diào)遞減，則的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】
【分析】
，，應(yīng)該是本身f(x)減區(qū)間的子集.
【詳解】
∵，∴，
函數(shù)在上單調(diào)遞減，
周期解得，故，
的減區(qū)間滿足：，
取，且解之得.
故答案為：.
故選：C.
3．（2021·安徽·銅陵一中高三階段練習(xí)（文））已知函數(shù)，若方程在上有且只有五個實數(shù)根，則實數(shù)的取值范圍為（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】
【分析】
輔助角公式化簡后解方程，由第五個正根小于，第六個正根大于等于可得.
【詳解】
由，得：或，即，或，
易知由小到大第5、6個正根分別為，.
因為方程在上有且只有五個實數(shù)根，
所以有且，解得.
故選：C.4．（2022·全國·高三專題練習(xí)（理））已知函數(shù)在區(qū)間上有且僅有4條對稱軸，給出下列四個結(jié)論：
①在區(qū)間上有且僅有3個不同的零點；
②的最小正周期可能是；
③的取值范圍是；
④在區(qū)間上單調(diào)遞增．
其中所有正確結(jié)論的序號是（ ）
A．①④B．②③C．②④D．②③④
【答案】B
【解析】
【分析】
令，則，由函數(shù)在區(qū)間上有且僅有4條對稱軸，即有4個整數(shù)符合，可求出判斷③，再利用三角函數(shù)的性質(zhì)可依次判斷①②④.
【詳解】
由函數(shù)，
令，則
函數(shù)在區(qū)間上有且僅有4條對稱軸，即有4個整數(shù)符合，
由，得，則，
即，，故③正確；
對于①，，，
當(dāng)時，在區(qū)間上有且僅有3個不同的零點；
當(dāng)時，在區(qū)間上有且僅有4個不同的零點；故①錯誤；對于②，周期，由，則，，
又，所以的最小正周期可能是，故②正確；
對于④，，，又，
又，所以在區(qū)間上不一定單調(diào)遞增，故④錯誤．
故正確結(jié)論的序號是：②③
故選：B
【點睛】
方法點睛：函數(shù)的性質(zhì)：
(1) .
(2)周期
(3)由 求對稱軸，由求對稱中心.
(4)由求增區(qū)間；由求減區(qū)間.
5．（2021·山東省濰坊第四中學(xué)高三開學(xué)考試）函數(shù)在有且僅有3個零點，則下列說法正確的是（ ）
A．在不存在，使得
B．函數(shù)在僅有1個最大值點
C．函數(shù)在上單調(diào)進(jìn)增
D．實數(shù)的取值范圍是
【答案】D
【解析】
【分析】
可根據(jù)題意作出函數(shù)的大致圖像，可判斷B錯；根據(jù)函數(shù)有三個零點，可判斷函數(shù)一定能取到最大和最小值，由此可判斷A的正誤；判斷D時，可求出y軸右側(cè)的四個零點，根據(jù)題意列出相應(yīng)的不等式組，求得的范圍，進(jìn)而判斷出D的正誤，由此求出的范圍，判斷函數(shù)的單調(diào)性，可知C的正誤.【詳解】
對于A,在上有且僅有3個零點，則函數(shù)的最小正周期 ，
所以在上存在 ，且 ，使得，故A錯誤；
由圖象可知，函數(shù)在可能有兩個最大值，故B錯誤;
對于選項D,令 ，
則函數(shù)的零點為 ,
所以函數(shù)在y軸右側(cè)的四個零點分別是： ，
函數(shù)在有且僅有3個零點，
所以 ，解得 ，故D正確；
由對選項D的分析可知，的最小值為 ，
當(dāng) 時， ，
但不是的子集，
所以函數(shù)在上不是單調(diào)進(jìn)增的，故C錯，
故選：D.
6．（2022·湖南·長沙市明德中學(xué)二模）已知函數(shù)，若，，則（ ）
A．點不可能是的一個對稱中心
B．在上單調(diào)遞減
C．的最大值為
D．的最小值為
【答案】D
【解析】【分析】
根據(jù)函數(shù)的周期性可得，再根據(jù)函數(shù)的最值求出，從而得到函數(shù)解析式，再根據(jù)正弦函數(shù)的性質(zhì)計算可得；
【詳解】
解：，的周期.
依題意可得，，則，即，
又，所以，
所以，所以點是的一個對稱中心，A錯誤；
當(dāng)時，B錯誤；當(dāng)時，取最小值，C錯誤，D正確；
故選：D.
7．（2022·甘肅酒泉·模擬預(yù)測（理））已知函數(shù)，，函數(shù)在上有且僅有一個極小值但沒有極大值，則的最小值為（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】
【分析】
先求出，由對稱性可得為最小值，即可求出的最小值.
【詳解】
∵，∴．又，∴．
當(dāng)時，函數(shù)取到最小值，此時，．解得，．
所以當(dāng)時，.
故選：C．
8．（2022·陜西西安·二模（理））已知函數(shù)，若函數(shù)的一個零點為．其圖像的一條對稱軸為直線，且在上單調(diào)，則的最大值為（ ）
A．2B．6C．10D．14
【答案】B
【解析】
【分析】
根據(jù)題意，由表示T，再由 是的一個單調(diào)區(qū)間，確定T的范圍，從而得到范圍，再逐一驗證.
【詳解】
解：由題意得：，
所以，，
又，
所以，
因為在上單調(diào)，
所以，則，
所以，即，解得，
所以，
當(dāng)時， ，
因為函數(shù)的一個零點為，
所以，
則，即，
因為，則，
所以，若，則，
因為在上不單調(diào)，不符合題意；
當(dāng)時， ，
因為函數(shù)的一個零點為，
所以，
則，即，
因為，無解；
當(dāng)時， ，
因為函數(shù)的一個零點為，
所以，
則，即，
因為，則，
所以，
若，則，
因為在上不單調(diào)，不符合題意；
當(dāng)時， ，
因為函數(shù)的一個零點為，
所以，
則，即，
因為，則，
所以，若，則，
因為在上不單調(diào)，不符合題意；
當(dāng)時， ，
因為函數(shù)的一個零點為，
所以，
則，即，
因為，則，
所以，
若，則，
因為在上單調(diào)，符合題意；
所以的最大值為6，
故選：B
二、多選題
9．（2022·全國·模擬預(yù)測）設(shè)函數(shù)，且函數(shù)在上是單調(diào)的，則下列說法正確是（ ）
A．若是奇函數(shù)，則的最大值為3
B．若，則的最大值為
C．若恒成立，則的最大值為2
D．若的圖象關(guān)于點中心對稱，則的最大值為
【答案】BCD
【解析】
【分析】
若是奇函數(shù)，則，要使函數(shù)在上是單調(diào)的，則，求出的范圍，即可判斷A；，可求出，要使函數(shù)在上是單調(diào)的，則，求出的范圍，即可判斷B；恒成立，可求出，要使函數(shù)在上是單調(diào)的，則，求出的范圍，即可判斷C；的圖象關(guān)于點中心對稱，可求出，要使函數(shù)在上是單調(diào)的，則，求出的范圍，即可判斷D.
【詳解】
對于A，若是奇函數(shù)，則，當(dāng)時，．要使函數(shù)在上是單調(diào)的，則，
∴，又，則的最大值為1，故A錯誤．
對于B，∵，∴，或，．
∵，∴，
此時，當(dāng)時，．要使函數(shù)在上是單調(diào)的，則，∴，
又，∴，則的最大值為，故B正確．
對于C，∵恒成立，∴．
∵，∴，此時．
∵，∴，要使函數(shù)在上是單調(diào)的，則，∴．
又，∴，則的最大值為2，故C正確．
對于D，的圖象關(guān)于點中心對稱，
則，，則，．
∵，∴，此時．當(dāng)時，．
要使函數(shù)在上是單調(diào)的，則，∴．
又，∴，則的最大值為，故D正確．
故選：BCD．
10．（2022·廣東·廣州市第四中學(xué)高三階段練習(xí)）若函數(shù)在區(qū)間內(nèi)沒有最值，則下列說法正確的是（ ）
A．函數(shù)的最小正周期可能為
B．的取值范圍是
C．當(dāng)取最大值時，是函數(shù)的一條對稱軸
D．當(dāng)取最大值時，是函數(shù)的一個對稱中心
【答案】AC
【解析】
【分析】
根據(jù)題意可知的第一個正最值點小于等于，第二個正最值點大于等于，或第一個正最值點大于等于可得的取值范圍，然后根據(jù)的范圍可解.
【詳解】
由，得
因為在區(qū)間內(nèi)沒有最值
所以，所以在區(qū)間內(nèi)最多有一個最值
所以，或
解得或
所以B錯誤；
當(dāng)時，所以，故A正確；
因為，
可知是函數(shù)的一條對稱軸，故C正確；
又由，可知D錯誤.
故選：AC
11．（2022·江蘇·南京市第一中學(xué)高三開學(xué)考試）已知函數(shù)，下面結(jié)論正確的是（ ）
A．若，是函數(shù)的兩個不同的極值點，且的最小值為，則
B．存在，使得往右平移個單位長度后得到的圖象關(guān)于原點對稱
C．若在上恰有6個零點，則的取值范圍是
D．若，則在上單調(diào)遞增
【答案】BCD
【解析】
【分析】
A選項由即可求出；B選項先平移得到，由即可求解；C選項求出整體的范圍，再由6個零點得到不等式求解；D選項求出整體的范圍，再由單調(diào)遞增得到不等式求解.
【詳解】
，
對于A，，∴，，錯誤；
對于B，平移后關(guān)于原點對稱，則，在時，，正確；對于C，，，，正確；
對于D，，，，∵，∴，正確.
故選：BCD.
三、填空題
12．（2022·四川成都·模擬預(yù)測（理））已知函數(shù)，若，且在上有最大值，沒有最小值，則的最大值為______．
【答案】17
【解析】
【分析】
利用三角函數(shù)的零點以及函數(shù)的單調(diào)性可知，，再結(jié)合函數(shù)的周期列式，即可求解.
【詳解】
由，且在上有最大值，沒有最小值，可得， 所以.
由在上有最大值，沒有最小值，可得，解得，又，當(dāng)時，，則的最大值為17，,
故答案為：17
13．（2022·江西上饒·二模（理））已知函數(shù)，若且在區(qū)間上有最小值無最大值，則_______．
【答案】4或10##10或4
【解析】
【分析】
根據(jù)可求出f(x)的一條對稱軸，根據(jù)該對稱軸可求出ω的表達(dá)式和可能取值，結(jié)合y＝sinx的圖像，根據(jù)在區(qū)間上有最小值無最大值判斷ω的取值范圍，從而判斷ω的取值.
【詳解】
∵f(x)滿足，∴是f(x)的一條對稱軸，
∴，∴，k∈Z，
∵ω＞0，∴.
當(dāng)時，，
y＝sinx圖像如圖：
要使在區(qū)間上有最小值無最大值，則：
或，
此時ω＝4或10滿足條件；
區(qū)間的長度為：，
當(dāng)時，f(x)最小正周期，則f(x)在既有最大值也有最小值，故不滿足條件.
綜上，ω＝4或10.
故答案為：4或10.
14．（2021·上海松江·一模）已知函數(shù)，若對任意的實數(shù)都成立，則的最小值為___________.
【答案】【解析】
【分析】
化簡，由可得，得到即可求解.
【詳解】
，且，
，
,
,
故答案為：
15．（2021·全國·高三專題練習(xí)）已知，，且在區(qū)間上有最小值，無最大值，則______.
【答案】
【解析】
【分析】
由題意可得函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱，再根據(jù)在區(qū)間上有最小值，無最大值，可得，由此求得的值．
【詳解】
依題意，當(dāng)時，y有最小值，即，
則，所以.
因為在區(qū)間上有最小值，無最大值，所以，
即，令，得.故答案為：
16．（2022·河北張家口·高三期末）已知函數(shù)，且函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，則的最大值為___________.
【答案】
【解析】
【分析】
由結(jié)合的取值范圍可求得的值，由可求得的取值范圍，根據(jù)已知條件可得出關(guān)于的不等式組，解出的范圍即可得解.
【詳解】
因為，又，所以，所以，，
當(dāng)且時，，
因為在區(qū)間上單調(diào)遞減，則，
即，即，
因為，則，則且，故，從而，
因此，的最大值為.
故答案為：.
17．（2022·全國·高三專題練習(xí)（文））已知函數(shù)為的零點，為圖像的對稱軸，且在單調(diào)，則的最大值是______ .
【答案】9
【解析】
【分析】
先根據(jù)正弦函數(shù)的零點以及它的圖象的對稱性，判斷為奇數(shù)，由在單調(diào)，分在單調(diào)遞增、單調(diào)遞減兩種情況，分別求得的最大值，綜合可得它的最大值．
【詳解】
解：函數(shù)，，為的零點，為圖象的對稱軸，
，，且，，
相減可得，，即，即為奇數(shù)．
在單調(diào)，
（1）若在單調(diào)遞增，
則，且，，
即①，且，②，
把①②可得：，，故有奇數(shù)的最大值為9．
當(dāng)時，，，，．
此時在單調(diào)遞減，不滿足題意．
當(dāng)時，，，，，
此時在不單調(diào)，不滿足題意；
故此時無解．
（2）若在單調(diào)遞減，
則，且，，
即③，且，④，
把③④可得：，，故有奇數(shù)的最大值為9．
當(dāng)時，，，，．此時在單調(diào)遞減，滿足題意．
故的最大值為9．
故答案為：9．
18．（2021·福建·莆田二中高三期中）函數(shù)，的圖象過點，且在上單調(diào)遞增，則的最大值為___________.
【答案】
【解析】
【分析】
先根據(jù)求得，然后根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性列不等式，由此求得的最大值.
【詳解】
依題意，
由于，所以.
所以.
當(dāng)時，，在上單調(diào)遞增.
所以.
由，化簡得，
由于在上單調(diào)遞增，
所以，，由于，故時，，的最大值為.
故答案為：
19．（2021·上?！?fù)旦附中高三階段練習(xí)）已知函數(shù)在內(nèi)有且僅有1個最大值點和3個零點，則的取值范圍是___________；
【答案】
【解析】
【分析】
先化簡函數(shù)式，然后根據(jù)的范圍求出的范圍，在在內(nèi)有且僅有1個最大值點和3個零點，再利用正弦函數(shù)的性質(zhì)得到不等式組，解得即可．
【詳解】
解：，
當(dāng)，則，
在內(nèi)有且僅有1個最大值點和3個零點，
，
解得，即，
故答案為：．
20．（2022·上海市建平中學(xué)高三期中）已知函數(shù)，若在區(qū)間內(nèi)沒有零點，則ω的取值范圍是__.
【答案】
【解析】
【分析】
由三角恒等變換得，進(jìn)而根據(jù)題意得，再分別解不等式即可得答案.
【詳解】
解：函數(shù)
∵在區(qū)間內(nèi)沒有零點，∴，即
∴①或②，
解①得，即，由于，故，即
解②得，即，由于，故，即，
綜上可得的取值范圍是
故答案為：
21．（2022·江蘇·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)，若在區(qū)間內(nèi)沒有極值點，則的取值范圍是___________.
【答案】
【解析】
【分析】
由題設(shè)得，根據(jù)區(qū)間內(nèi)沒有極值點，應(yīng)用整體代入法列不等式得或且，即可求的范圍.
【詳解】
，∴上，沒有極值點，
∴或，
∴或，而且得：，
∴，或.
故答案為：
【點睛】
關(guān)鍵點點睛：應(yīng)用三角恒等變換化簡函數(shù)式，由區(qū)間內(nèi)不存在極值點列不等式組求參數(shù)范圍.

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