1、明確模擬練習(xí)的目的。不但檢測知識的全面性、方法的熟練性和運(yùn)算的準(zhǔn)確性，更是訓(xùn)練書寫規(guī)范，表述準(zhǔn)確的過程。
2、查漏補(bǔ)缺，以“錯”糾錯。每過一段時間，就把“錯題筆記”或標(biāo)記錯題的試卷有側(cè)重的看一下。查漏補(bǔ)缺的過程也就是反思的過程，逐漸實(shí)現(xiàn)保強(qiáng)攻弱的目標(biāo)。
3、嚴(yán)格有規(guī)律地進(jìn)行限時訓(xùn)練。特別是強(qiáng)化對解答選擇題、填空題的限時訓(xùn)練，將平時考試當(dāng)作高考，嚴(yán)格按時完成，并在速度體驗(yàn)中提高正確率。
4、保證常規(guī)題型的堅持訓(xùn)練。做到百無一失，對學(xué)有余力的學(xué)生，可適當(dāng)拓展高考中難點(diǎn)的訓(xùn)練。
5、注重題后反思總結(jié)。出現(xiàn)問題不可怕，可怕的是不知道問題的存在，在復(fù)習(xí)中出現(xiàn)的問題越多，說明你距離成功越近，及時處理問題，爭取“問題不過夜”。
6、重視每次模擬考試的臨考前狀態(tài)的調(diào)整及考后心理的調(diào)整。以平和的心態(tài)面對高考。
專題08 證明不等式問題
【方法技巧與總結(jié)】
利用導(dǎo)數(shù)證明不等式問題，方法如下：
（1）直接構(gòu)造函數(shù)法：證明不等式（或）轉(zhuǎn)化為證明（或），進(jìn)而構(gòu)造輔助函數(shù)；
（2）適當(dāng)放縮構(gòu)造法：一是根據(jù)已知條件適當(dāng)放縮；二是利用常見放縮結(jié)論；
（3）構(gòu)造“形似”函數(shù)，稍作變形再構(gòu)造，對原不等式同解變形，根據(jù)相似結(jié)構(gòu)構(gòu)造輔助函數(shù).
（4）對數(shù)單身狗，指數(shù)找基友
（5）凹凸反轉(zhuǎn)，轉(zhuǎn)化為最值問題
（6）同構(gòu)變形
【題型歸納目錄】
題型一：直接法
題型二：構(gòu)造函數(shù)（差構(gòu)造、變形構(gòu)造、換元構(gòu)造、遞推構(gòu)造）
題型三：分析法
題型四：凹凸反轉(zhuǎn)、拆分函數(shù)
題型五：對數(shù)單身狗，指數(shù)找朋友
題型六：放縮法
題型七：虛設(shè)零點(diǎn)
題型八：同構(gòu)法
題型九：泰勒展式和拉格朗日中值定理
題型十：分段分析法、主元法、估算法
題型十一：割線法證明零點(diǎn)差大于某值，切線法證明零點(diǎn)差小于某值
題型十二：函數(shù)與數(shù)列不等式問題
題型十三：三角函數(shù)
【典例例題】
題型一：直接法
例1．已知函數(shù)，．
（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；
（2）當(dāng)時，證明：，．
【解答】解：（1），
因，，
①當(dāng)時，，函數(shù)在內(nèi)單調(diào)遞增，在內(nèi)單調(diào)遞減，在內(nèi)單調(diào)遞增；
②當(dāng)時，，函數(shù)在內(nèi)單調(diào)遞增；
③當(dāng)時，，函數(shù)在內(nèi)單調(diào)遞增，在內(nèi)單調(diào)遞減，在內(nèi)單調(diào)遞增；
綜上：當(dāng)時，函數(shù)在內(nèi)單調(diào)遞增，在內(nèi)單調(diào)遞減，在內(nèi)單調(diào)遞增；
當(dāng)時，函數(shù)在內(nèi)單調(diào)遞增；
當(dāng)時，函數(shù)在內(nèi)單調(diào)遞增，在內(nèi)單調(diào)遞減，在內(nèi)單調(diào)遞增；
（2）當(dāng)時，由（1）得，函數(shù)在內(nèi)單調(diào)遞增，在內(nèi)單調(diào)遞減，在內(nèi)單調(diào)遞增，
函數(shù)在內(nèi)的最小值為，
欲證不等式成立，即證，即證，
因，所以只需證，
令，則，
所以，函數(shù)在，內(nèi)單調(diào)遞減，（1），
又因，即．所以，
即當(dāng)時，成立，
綜上，當(dāng)時，，．
例2．設(shè)函數(shù)，．
（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；
（2）當(dāng)且時，證明：．【解答】解：（1）函數(shù)，定義域?yàn)椋?br>，
①當(dāng)時，，則在上單調(diào)遞減；
②當(dāng)時，令，解得，
當(dāng)時，，
當(dāng)，時，，
所以的單調(diào)遞增區(qū)間為，，遞減區(qū)間為．
綜上所述，當(dāng)時，的單調(diào)遞減區(qū)間為；
當(dāng)時，的單調(diào)遞增區(qū)間為，，遞減區(qū)間為．
（2）證明：當(dāng)時，令，
則，
因?yàn)椋瑒t，
所以在上單調(diào)遞減，
故（1），
則，
故．
例3．已知函數(shù)．
（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；
（2）當(dāng)，，時，證明：．
【解答】解：（1）函數(shù)的定義域?yàn)椋?br>當(dāng)時，在上恒成立，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，
當(dāng)時，由解得，由解得，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減；
（2）證明：令，則，（1），
再令，則，
當(dāng)時，，
，即，
在，上單調(diào)遞增，
（1）（1），
（1），
在，上單調(diào)遞增，
（1），
綜上可知，．
題型二：構(gòu)造函數(shù)（差構(gòu)造、變形構(gòu)造、換元構(gòu)造、遞推構(gòu)造）
例4．已知曲線與曲線在公共點(diǎn)處的切線相同，
（Ⅰ）求實(shí)數(shù)的值；
（Ⅱ）求證：當(dāng)時，．
【解答】（Ⅰ）解：，，
依題意（1）（1），；
（Ⅱ）證明：由，得，
令，則，
時，，遞減；
時，，遞增．
時，（1），即，
綜上所述，時，．
例5．已知．（1）若時，不等式恒成立，求的取值范圍；
（2）求證：當(dāng)時，．
【解答】解：（1）不等式恒成立，
即恒成立，
令，則，
當(dāng)時，對任意，，有，得在，上單調(diào)遞增，
，即滿足題意；
當(dāng)時，若，則，
在上單調(diào)遞減，，
與矛盾，不合題意．
綜上所述，；
證明：（2）令，
，
在上單調(diào)遞增，且（1），（2），
存在唯一的，使得，
當(dāng)時，，單調(diào)遞減，
當(dāng)，時，，單調(diào)遞增，
，
由，得，，
，
，上式“”不成立，
，
即．
例6．已知函數(shù)．
（1）當(dāng)時，求在點(diǎn)，處的切線方程；
（2）當(dāng)時，若的極大值點(diǎn)為，求證：．【解答】解：（1）當(dāng)時，，
因?yàn)椋?br>所以，
因?yàn)椋?br>所以在點(diǎn)，處的切線方程為．
證明：（2）的定義域?yàn)?，?br>令，△，
①當(dāng)△，即時，，故，
所以在上單調(diào)遞增．此時無極大值．
②當(dāng)△，即當(dāng)時，的對稱軸，
因?yàn)?，?br>所以函數(shù)在區(qū)間有兩個零點(diǎn)，，不妨設(shè)，其中，．
所以當(dāng)時，，，
所以在上單調(diào)遞增；
當(dāng)時，，，
所以在，上單調(diào)遞減；
當(dāng)時，，，
所以在，上單調(diào)遞增．
此時函數(shù)有唯一的極大值點(diǎn)為，且，
又因?yàn)椋?br>所以，
所以，
記，則，
所以單調(diào)遞增，，
即．
例7．已知函數(shù)．
（1）判斷的單調(diào)性，并說明理由；
（2）若數(shù)列滿足，，求證：對任意，．
【解答】（1）解：，
令，，
在上遞增，，，
在上單調(diào)遞增．
（2）證明：由，
要證，只需證，
即證：，，
，，
先證左邊：，
令證，即證，
令，，在上遞增，，得證．
再證右邊：，即證，，
令，，
在上遞減，，也得證．
綜上：對，，．
題型三：分析法
例8．已知，函數(shù)，其中為自然對數(shù)的底數(shù)．
（Ⅰ）證明：函數(shù)在上有唯一零點(diǎn)；（Ⅱ）記為函數(shù)在上的零點(diǎn)，證明：
（?。?；
（ⅱ）．
【解答】證明：（Ⅰ），恒成立，
在上單調(diào)遞增，
，（2），又，
函數(shù)在上有唯一零點(diǎn)．
（Ⅱ），，
，，
令，，，
一方面，，，
，在單調(diào)遞增，
，
，，
另一方面，，，
當(dāng)時，成立，
只需證明當(dāng)時，，
，，，
當(dāng)時，，當(dāng)時，，
，（1），，（1），
，在單調(diào)遞減，
，，
綜上，，
．
要證明，只需證，
由得只需證，
，只需證，只需證，即證，
，，
，
．
例9．已知，函數(shù)，其中為自然對數(shù)的底數(shù)．
（Ⅰ）證明：函數(shù)在上有唯一零點(diǎn)；
（Ⅱ）記為函數(shù)在上的零點(diǎn)，證明：．（參考數(shù)值：
【解答】證明：（Ⅰ），
在上恒成立，所以在上單調(diào)遞增，
，（a），
所以存在，使得，
故，，在上單調(diào)遞減；
，，在，上單調(diào)遞增，
又，所以，當(dāng)時，，
故由零點(diǎn)存在定理，在，上有唯一零點(diǎn)，在上沒有零點(diǎn)，
所以函數(shù)在上有唯一零點(diǎn)．
（Ⅱ）由（Ⅰ）得：在，上單調(diào)遞增，且，，
故要證：，只要證（a），
即證：在時恒成立，
設(shè)（a），故（a），（a），
由（a），所以（a）在遞減，在遞增，
（1），，，
所以存在，使得，
所以（a）在遞減，，遞增，所以（a），
因?yàn)椋?），故只需證明，
由，所以，，由二次函數(shù)的單調(diào)性，得．
綜上，得證．
例10．已知函數(shù)在上有零點(diǎn)，其中是自然對數(shù)的底數(shù)．
（Ⅰ）求實(shí)數(shù)的取值范圍；
（Ⅱ）記是函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，證明：．
【解答】（Ⅰ）解：函數(shù)，則，
①當(dāng)時，恒成立，
則在上單調(diào)遞增，
所以，故函數(shù)無零點(diǎn)，不符合題意；
②當(dāng)時，由，得，
若，即，此時在上單調(diào)遞增，不符合題意；
若，即，則在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
又，故，使得，
而當(dāng)時，時，
故，使得，
根據(jù)零點(diǎn)存在定理，，，使得，符合題意；
綜上所述，實(shí)數(shù)的取值范圍是；
（Ⅱ）證明：，
所以，即，
由（Ⅰ）知且在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
故只要證明：，
即，，
設(shè)，
則，
故在上單調(diào)遞增，即（1），
所以成立；
綜上所述，成立．
題型四：凹凸反轉(zhuǎn)、拆分函數(shù)例11．已知函數(shù)且（1）．
（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（2）證明：．
【解答】解：（1）依題意，，又，解得，
，
令，解得，令，解得，
的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為；
（2）證明：要證成立，只需證成立，
令，則，
令，解得，令，解得，
在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
，
又由（1）可得在上，
，故不等式得證．
例12．已知函數(shù)，．
（1）若恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；
（2）求證：當(dāng)時，．
【解答】（1）解：令，
則，
當(dāng)時，，則單調(diào)遞增，
當(dāng)時，，則單調(diào)遞減，
所以當(dāng)時，取得最大值（1），
因?yàn)楹愠闪?，即恒成立?br>則，解得，故實(shí)數(shù)的取值范圍為，；
（2）證明：由（1）可知，恒成立，即，
所以要證，
只需證明成立即可，
令，
則，
令，
則，
當(dāng)時，，則單調(diào)遞減，
當(dāng)時，，則單調(diào)遞增，
又，（1），
因?yàn)?，則，
所以存在，使得，
故當(dāng)時，，則單調(diào)遞增，
當(dāng)，時，，則單調(diào)遞減，
當(dāng)時，，則單調(diào)遞增，
又（1），
所以，
因此，當(dāng)時，．
例13．已知函數(shù)．
（Ⅰ）當(dāng)時，判斷函數(shù)的單調(diào)性；
（Ⅱ）證明：當(dāng)時，不等式恒成立．
【解答】（Ⅰ）解：的定義域是，
，
時，，，
故，在，遞增；
（Ⅱ）證明：當(dāng)時，，而，，即在，成立；
當(dāng)時，在遞增，
，
時，恒成立，
，
在，恒成立；
當(dāng)時，，
，，
故，，使得，
在遞增，
是的唯一極小值點(diǎn)，也是最小值點(diǎn)，
從而，，，
，，
在，遞減，
，
在，恒成立；
綜上，當(dāng)時，不等式恒成立．
題型五：對數(shù)單身狗，指數(shù)找朋友
例14．已知函數(shù)．
（Ⅰ）當(dāng)時，求在，上最大值及最小值；
（Ⅱ）當(dāng)時，求證．【解答】解：（Ⅰ），；
時，；，時，；
（1）是函數(shù)的極小值，即的最小值；又，（2）；
的最大值是；
函數(shù)在上的最小值是0，最大值是；
（Ⅱ），要證明原不等式成立，只要證明；
設(shè)，則；
函數(shù)在上是增函數(shù)，（1）；
；
原不等式成立．
例15．已知函數(shù)，曲線在點(diǎn)，（1）處的切線方程為．
（1）求、的值；
（2）當(dāng)且時．求證：．
【解答】解：（1）函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為，
曲線在點(diǎn)，（1）處的切線方程為，
可得（1），（1），
解得；
（2）證明：當(dāng)時，，
即為，
即，
當(dāng)時，，
即為，設(shè)，，
可得在遞增，
當(dāng)時，（1），即有；
當(dāng)時，（1），即有．
綜上可得，當(dāng)且時，都成立．
例16．已知函數(shù)．
（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；
（2）若函數(shù)圖象過點(diǎn)，求證：．
【解答】解：（1）函數(shù)的定義域?yàn)椋郑?br>當(dāng)時，，在上單調(diào)遞增；
當(dāng)時，由得，
若，則在上單調(diào)遞增；
若，則在上單調(diào)遞減；
（2）證明：函數(shù)圖象過點(diǎn)，可得，此時，
要證，令，則，
令，則，
當(dāng)時，，故在上單調(diào)遞增，
由，即，故存在使得，此時，故，
當(dāng)時，，當(dāng)，時，，
函數(shù)在上單減，在，上單增，
故當(dāng)時，有最小值，
成立，即得證．
例17．已知函數(shù)．（Ⅰ）討論函數(shù)的單調(diào)性；
（Ⅱ）若函數(shù)圖象過點(diǎn)，求證：．
【解答】解：（Ⅰ）函數(shù)的定義域?yàn)?，?br>當(dāng)時，，在上單調(diào)遞增；
當(dāng)時，由，得．
若，，單調(diào)遞增；
若，，單調(diào)遞減
綜合上述：當(dāng)時，在上單調(diào)遞增；
當(dāng)時，在單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減．
（Ⅱ）證明：函數(shù)圖象過點(diǎn)，
，解得．
．即．．
令．．．
令，，
函數(shù)在上單調(diào)遞增，
存在，使得，可得，．
．
成立．
題型六：放縮法
例18．已知函數(shù)．（其中常數(shù)，是自然對數(shù)的底數(shù)．
（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；
（2）證明：對任意的，當(dāng)時，．
【解答】（1）解：由，得．
①當(dāng)時，，函數(shù)在上單調(diào)遞增；
②當(dāng)時，由，解得，由，解得，故在，上單調(diào)遞增，在，上單調(diào)遞減．
綜上所述，當(dāng)時，函數(shù)在上單調(diào)遞增；
當(dāng)時，在，上單調(diào)遞增，在，上單調(diào)遞減．
（2）證明：．
令，則．
當(dāng)時，．
令，則當(dāng)時，．
當(dāng)時，單調(diào)遞增，．
當(dāng)時，；當(dāng)時，；當(dāng)時，．
（1）．
即，故．
例19．已知函數(shù)，
（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；
（2）求證：當(dāng)時，．
【解答】解：（1），
當(dāng)，即時，，函數(shù)在上單調(diào)遞增
當(dāng)，即時，
由解得，由解得，
函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．
綜上所述，當(dāng)時，函數(shù)在上單調(diào)遞增；
當(dāng)時函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．
（2）令
當(dāng)時，欲證，即證．即證，即，
即證
先證：．
設(shè)則設(shè)，在上單調(diào)遞減，在，上單調(diào)遞增
，，則，
即，當(dāng)且僅當(dāng)，時取等號．
再證：．
設(shè)，則．
在上單調(diào)遞增，則，即．
，所以．．當(dāng)且僅當(dāng)時取等號．
又與．兩個不等式的等號不能同時取到，
成立，
即當(dāng)時，成立．
例20．已知函數(shù)．
（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（2）解關(guān)于的不等式
【解答】解：（1）函數(shù)．定義域?yàn)椋海?br>，（1）．
令，，
函數(shù)在定義域上單調(diào)遞增．
，．，函數(shù)單調(diào)遞減．時，，函數(shù)單調(diào)遞增．
（2）不等式，即．
，，舍去．
當(dāng)時，不等式的左邊右邊，舍去．
，且．
①時，由，要證不等式．可以證明：．等價于證明：．
令．
，
函數(shù)在上單調(diào)遞減，
（1）．
②當(dāng)時，不等式．
令，．
，函數(shù)在上單調(diào)遞增，
（1）．
由，
．
不等式成立．
綜上可得：不等式的解集為：．
題型七：虛設(shè)零點(diǎn)
例21．設(shè)函數(shù)．
（1）討論的導(dǎo)函數(shù)零點(diǎn)的個數(shù)；
（2）證明：當(dāng)時，．
【解答】解：（1）函數(shù)的定義域，，
當(dāng)，恒成立，沒有零點(diǎn)，
當(dāng)時，在上單調(diào)遞增，
又因?yàn)闀r，，時，，
故只有1個零點(diǎn)；
（2）令，則，，由（1）知，當(dāng)時，只有1個零點(diǎn)，設(shè)為，則，
，，
故，
當(dāng)，，單調(diào)遞減，當(dāng)時，，單調(diào)遞增，
故當(dāng)時，函數(shù)取得最小值，
．
例22．設(shè)函數(shù)．
（Ⅰ）討論的導(dǎo)函數(shù)零點(diǎn)的個數(shù)；
（Ⅱ）證明：當(dāng)時，．
【解答】解：（Ⅰ）的定義域?yàn)椋?br>．
當(dāng)時，恒成立，故沒有零點(diǎn)，
當(dāng)時，為單調(diào)遞增，單調(diào)遞增，
在單調(diào)遞增，
又（a），
假設(shè)存在滿足時，且，（b），
故當(dāng)時，導(dǎo)函數(shù)存在唯一的零點(diǎn)，
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，可設(shè)導(dǎo)函數(shù)在上的唯一零點(diǎn)為，
當(dāng)時，，
當(dāng)，時，，
故在單調(diào)遞減，在，單調(diào)遞增，
所以當(dāng)時，取得最小值，最小值為，
由于，
所以．故當(dāng)時，．
例23．已知函數(shù)．
（1）若函數(shù)在上單調(diào)遞增，求的取值范圍；
（2）若，證明：當(dāng)時，．
參考數(shù)據(jù)：，．
【解答】解：（1）解法，
函數(shù)在遞增，
，得，
設(shè)，則，
令，解得：，
當(dāng)時，，
當(dāng)時，，
故函數(shù)在遞減，在遞增，
故時，取得最小值，
故，
故的范圍是；
解法2：由，
設(shè)，則，
令，解得：，
當(dāng)時，，
當(dāng)時，，
故函數(shù)在遞減，在遞增，
故時，取得最小值，
函數(shù)在遞增，故，
由于，則，解得：，
故的范圍是；
（2）證明：若，則，得，
由（1）知函數(shù)在遞減，在遞增，
又，（1），，則存在，使得，即，
當(dāng)時，，當(dāng)，時，，
則函數(shù)在遞減，在，遞增，
則當(dāng)時，函數(shù)取最小值，
故當(dāng)時，，
由，得，
則
，
由于，
則
，
故時，．
題型八：同構(gòu)法
例24．已知函數(shù)．
（1）討論在區(qū)間上的單調(diào)性；
（2）當(dāng)時，證明：．
【解答】解：（1）因?yàn)楹瘮?shù)，，
所以，，
由，得，
當(dāng)，即時，，在區(qū)間上單調(diào)遞減；
當(dāng)，即時，由，得，由，得，所以在上單調(diào)遞增，在，上單調(diào)遞減．
綜上可得，當(dāng)時，在區(qū)間上單調(diào)遞減；
當(dāng)時，在上單調(diào)遞增，在，上單調(diào)遞減．
（2）當(dāng)時，，
要證，
即證，
即證，
令，，
則，令，可得，令，可得，
所以在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，
所以，
所以，
所以，
所以，得證．
例25．已知函數(shù)，．
（1）討論的單調(diào)區(qū)間；
（2）當(dāng)時，證明．
【解答】解：（1）的定義域?yàn)椋?br>，
①當(dāng)時，，此時在上單調(diào)遞減，
②當(dāng)時，由可得，由，可得，
在上單調(diào)遞減，在，上單調(diào)遞增，
③當(dāng)時，由可得，由，可得，在上單調(diào)遞增，在，上單調(diào)遞減，
證明（2）設(shè)，則，
由（1）可得在上單調(diào)遞增，
（1），
當(dāng)時，，
當(dāng)時，，
在上單調(diào)遞減，
當(dāng)時，，
，
，
．
例26．已知函數(shù)，．
（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；
（2）若，，證明：當(dāng)時，
【解答】（1）解：，
①時，恒成立，故在上單調(diào)遞減，
②當(dāng)時，若，，，函數(shù)單調(diào)遞增，當(dāng)時，，函數(shù)單調(diào)遞減，
③當(dāng)時，若，，，函數(shù)單調(diào)遞減，當(dāng)時，，函數(shù)單調(diào)遞增
（2）證明：時，，
要證，
即證，
即證，令，上面不等式等價于，
要證明對于任意，都成立，即證單調(diào)遞增，
又，
令，則，
當(dāng)時，，函數(shù)單調(diào)遞增，當(dāng)時，，函數(shù)單調(diào)遞減，
故，即恒成立，
故當(dāng)時，，，
當(dāng)時，，，
綜上可得，又恒成立，故單調(diào)遞增，得證．
題型九：泰勒展式和拉格朗日中值定理
例27．已知函數(shù)，．
（1）若恰為的極小值點(diǎn)．
（ⅰ）證明：；
（ⅱ）求在區(qū)間上的零點(diǎn)個數(shù)；
（2）若，，
又由泰勒級數(shù)知：，．證明：．
【解答】解：（1）證明：（?。┯深}意得：，
因?yàn)闉楹瘮?shù)的極值點(diǎn)，所以，
令，則，在上單調(diào)遞增，
因?yàn)椋?br>所以在上有唯一的零點(diǎn)，
所以；
（ⅱ）由（?。┲?，，，
①當(dāng)時，由，，，得：，所以在上單調(diào)遞減，，
所以在區(qū)間上不存在零點(diǎn)；
②當(dāng)時，設(shè)，則，
若，令，則，
所以在上單調(diào)遞減，因?yàn)椋?br>所以存在，滿足，
當(dāng)時，，在上單調(diào)遞增；
當(dāng)時，，在上單調(diào)遞減；
若，令，則，
所以在區(qū)間上單調(diào)遞減，所以，
又因?yàn)椋?br>所以，在上單調(diào)遞減；
若，則，在上單調(diào)遞減；
由得，在上單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，
因?yàn)?，?br>所以存在使得，
所以當(dāng)時，，在上單調(diào)遞增，，
當(dāng)時，，在上單調(diào)遞減，
因?yàn)?，，所以在區(qū)間上有且只有一個零點(diǎn)；
綜上，在區(qū)間上的零點(diǎn)個數(shù)為2個；
（2）因?yàn)棰?br>對，
兩邊求導(dǎo)得：，
，所以②
比較①②式中的系數(shù)，得：
所以．
例28．已知函數(shù)．
（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（2）若，對，恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；
（3）當(dāng)時．若正實(shí)數(shù)，滿足，，，，證明：．
【解答】解：（1），，△，
①時，恒成立，
故函數(shù)在遞增，無遞減區(qū)間，
②時，或，
故函數(shù)在，，遞增，在，遞減，
綜上，時，函數(shù)在遞增，無遞減區(qū)間，
時，函數(shù)在，，遞增，在，遞減，
（2），對，恒成立，
即，時，恒成立，
令，，則，
令，
則，在遞減且（1），
時，，，遞增，
當(dāng)，，，遞減，
（1），
綜上，的范圍是，．（3）證明：當(dāng)時，，
，不妨設(shè)，
下先證：存在，，使得，
構(gòu)造函數(shù)，
顯然，且，
則由導(dǎo)數(shù)的幾何意義可知，存在，，使得，
即存在，，使得，
又為增函數(shù)，
，即，
設(shè)，則，，
①，
②，
由①②得，，
即．
例29．英國數(shù)學(xué)家泰勒發(fā)現(xiàn)了如下公式：，其中，此公式有廣泛的用途，例如利用公式得到一些不等式：當(dāng)時，，，，．
（1）證明：當(dāng)時，；
（2）設(shè)，若區(qū)間，滿足當(dāng)定義域?yàn)?，時，值域也為，，則稱為的“和諧區(qū)間”，
（ⅰ）時，是否存在“和諧區(qū)間”？若存在，求出的所有“和諧區(qū)間”，若不存在，請說明理由；
（ⅱ）時，是否存在“和諧區(qū)間”？若存在，求出的所有“和諧區(qū)間”，若不存在，請說明理由．
【解答】（1）證明：由已知當(dāng)時，，得，
所以當(dāng)時，．
（2）時，假設(shè)存在，則由知，注意到，
故，所以在，單調(diào)遞增，
于是，即，是方程的兩個不等實(shí)根，
易知不是方程的根，
由已知，當(dāng)時，，
令，則有時，，即，
故方程只有一個實(shí)根0，故不存在和諧區(qū)間．
時，假設(shè)存在，則由知，
若，，則由，，，知，與值域是，，矛盾，
故不存在和諧區(qū)間，
同理，，時，也不存在，
下面討論，
若，則，故最小值為，于是，
所以，
所以最大值為2，故，
此時的定義域?yàn)?，，值域?yàn)椋?，符合題意．
若，當(dāng)時，同理可得，，舍去，
當(dāng)時，在，上單調(diào)遞減，
所以，于是，
若即，則，故，，
與矛盾；若，同理，矛盾，
所以，即，
由（1）知當(dāng)時，，
因?yàn)?，所以，從而，，從而，矛盾?br>綜上所述，有唯一的和諧區(qū)間，．
題型十：分段分析法、主元法、估算法
例30．設(shè)且，函數(shù)．
（1）若在區(qū)間有唯一極值點(diǎn)，證明：，；
（2）若在區(qū)間沒有零點(diǎn)，求的取值范圍．
【分析】（1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，通過討論的范圍，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出函數(shù)的極值點(diǎn)，從而證明結(jié)論成立即可；
（2）通過討論的范圍，結(jié)論零點(diǎn)存在性定理判斷函數(shù)的零點(diǎn)個數(shù)，從而確定的范圍．
【解答】解：（1）證明：，
若，則在區(qū)間至少有，兩個變號零點(diǎn)，故，
令，得，，其中，，僅當(dāng)時，，
且在的左右兩側(cè)，導(dǎo)函數(shù)的值由正變負(fù)，
故時，在區(qū)間有唯一極值點(diǎn)，
此時，將代入得：
，
①當(dāng)，即時，，
由不等式：時，知：
，
②當(dāng)，即當(dāng)時，，
，由不等式知：，
由①②知，．
（2）①當(dāng)時，，，
故，
由零點(diǎn)存在性定理知：在區(qū)間，上至少有1個零點(diǎn)，
②當(dāng)時，，，，
，，，
由零點(diǎn)存在性定理知，在區(qū)間至少有1個零點(diǎn)，
③當(dāng)時，，
令，則，
在區(qū)間上，，，遞增，
在區(qū)間上，，即遞減，即遞減，，
故在上遞增，在，上遞減，
又，，即在上，，
故在區(qū)間上沒有零點(diǎn)，滿足題意，
綜上，若在區(qū)間上沒有零點(diǎn)，
則正數(shù)的取值范圍是，．
例31．已知函數(shù)，其中，為自然對數(shù)的底數(shù)．
（1）當(dāng)時，討論函數(shù)的單調(diào)性；
（2）當(dāng)時，求證：對任意的，，．
【分析】（1）求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用函數(shù)單調(diào)性和導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系進(jìn)行討論即可．
（2）對任意的，，轉(zhuǎn)化為證明對任意的，，，即可，構(gòu)造函數(shù)，求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)進(jìn)行研究即可．
【解答】解：（1）當(dāng)時，，
則，，
故
則在上單調(diào)遞減．
（2）當(dāng)時，，
要證明對任意的，，．
則只需要證明對任意的，，．
設(shè)（a），
看作以為變量的一次函數(shù)，
要使，
則，即，
恒成立，①恒成立，
對于②，令，
則，
設(shè)時，，即．
，，
在上，，單調(diào)遞增，在上，，單調(diào)遞減，
則當(dāng)時，函數(shù)取得最大值
，
故④式成立，
綜上對任意的，，．
例32．已知函數(shù)=.
（1）討論的單調(diào)性；
（2）設(shè)，當(dāng)時，,求的最大值；
（3）已知，估計ln2的近似值（精確到0.001）
【詳解】
（1）因?yàn)?，?dāng)且僅當(dāng)時等號成立，所以函數(shù)在R上是增函數(shù)；（2）因?yàn)?，
所以=.
當(dāng)時,,等號僅當(dāng)時成立，所以在R上單調(diào)遞增，而，所以對任意，；
當(dāng)時，若滿足，即時，，而，
因此當(dāng)時，，
綜上，的最大值為2.
（3）由（2）知，，
當(dāng)時，，；
當(dāng)時，，，
，所以的近似值為.
例33．已知函數(shù)．
（1）若恒成立，求的取值范圍；
（2）若取，試估計的范圍．（精確到0.01）
試題解析：
（1）;
= 1 \* GB3 \* MERGEFORMAT ①當(dāng)時，恒成立，所以時，
，單調(diào)遞增，恒成立．
= 2 \* GB3 \* MERGEFORMAT ②當(dāng)時，，解得
且
（i）當(dāng)，則，故時，，
單調(diào)遞增，恒成立．
（ii）當(dāng)，則，當(dāng)時，，單調(diào)遞減；
恒成立．這與恒成立矛盾．
綜上所述，的取值范圍是．（2）由（1）得恒成立，取，
得.
又由（１）可知時，在時恒成立，
令，解得，取，
即有在上恒成立，
取，得∴
（精確到）,取.
題型十一：割線法證明零點(diǎn)差大于某值，切線法證明零點(diǎn)差小于某值
例34．已知函數(shù)為自然對數(shù)的底數(shù)）．
（1）求函數(shù)的零點(diǎn)，以及曲線在處的切線方程；
（2）設(shè)方程有兩個實(shí)數(shù)根，，求證：．
【解答】解：（1）由，得，
函數(shù)的零點(diǎn)，，，．
曲線在處的切線方程為，，（1），
曲線在處的切線方程為；
（2）證明：，
當(dāng)時，；當(dāng)時，．
的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為．
由（1）知，當(dāng)或時，；當(dāng)時，．
下面證明：當(dāng)時，．
當(dāng)時，．易知，在，上單調(diào)遞增，
而，
對恒成立，
當(dāng)時，．
由得．記．
不妨設(shè)，則，
．
要證，只要證，即證．
又，
只要證，即．
，即證．
令，．
當(dāng)時，，為單調(diào)遞減函數(shù)；
當(dāng)時，，為單調(diào)遞增函數(shù)．
，
，
．
例35．已知函數(shù)為自然對數(shù)的底數(shù)）．
（1）求函數(shù)的零點(diǎn)，以及曲線在其零點(diǎn)處的切線方程；
（2）若方程有兩個實(shí)數(shù)根，，求證：．
【解答】解：（1）由，得，或，所以的零點(diǎn)為1，；
因?yàn)椋裕?），（e）．
因?yàn)椋?）（e），所以曲線線在處的切線方程為，在處的切線方程為分
（2）證明：因?yàn)?，所以，所以單調(diào)遞減．令，，
下面證，即，
記，則，，
所以單調(diào)遞增，且（1），故在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增．
所以（1），即，
同法可證，即．
不妨設(shè)，
因?yàn)椋覟樵龊瘮?shù)，所以，
由，得，
同理，，，
所以，
所以，，
所以，分
例36．已知函數(shù)為自然對數(shù)的底數(shù)）．
（1）求曲線在點(diǎn)，處的切線方程：
（2）若方程有兩個不等的實(shí)數(shù)根，，求證：．
【解答】解：（1），，，
所以曲線在，處的切線方程為．
（2）證明：令，得，
因?yàn)橛袃蓚€不等的實(shí)數(shù)根，，
所以，
不妨設(shè)，
令，
令，
所以對任意，，
所以，即，
所以，
所以，所以．
題型十二：函數(shù)與數(shù)列不等式問題
例37．已知函數(shù)，其中為實(shí)常數(shù)．
（1）若函數(shù)定義域內(nèi)恒成立，求的取值范圍；
（2）證明：當(dāng)時，；
（3）求證：．
【解答】解：（1）由題意
則
即在，上單調(diào)遞增，
，
，；
（2）即證，，，
設(shè)，
在，上單調(diào)遞減，
，
，，；
（3）利用，，，
令，得：
，
，
，
，
累加得：，當(dāng)時，；
例38．證明：．
【解答】證明：
．
．
令，
當(dāng)，，
，在，上遞增，，
．
綜上：．
例39．已知，為自然對數(shù)的底數(shù)）．
（1）求證：恒成立；
（2）設(shè)是正整數(shù)，對任意正整數(shù)，，求的最小值．
【解答】解：（1）令，，，
則，當(dāng)，；時，，所以在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，
所以，即恒成立；
所以；
（2）由（1）令，可知，由不等式性質(zhì)得
．所以的最小值為2．
題型十三：三角函數(shù)
例40．已知函數(shù).
(1)設(shè)且，求函數(shù)的最小值；
(2)當(dāng)，證明：.
【答案】(1)
(2)證明見解析
【解析】
【分析】
（1）通過求導(dǎo)來判斷函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)而求出最值；
（2）構(gòu)造新函數(shù)，轉(zhuǎn)化為證明新函數(shù)的最小值大于等于0即可.
(1)
，又，
又，，
當(dāng)時，，，
當(dāng)時，，，
所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減
的最小值為；
(2)
不等式等價于，
令，
令，，
又，，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，又，，，
所以函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，又，
，所以原不等式成立.
例41．已知函數(shù)，其中為自然對數(shù)的底數(shù)．
（1）若，求實(shí)數(shù)的值；
（2）證明：．
【答案】（1）1；（2）證明見解析；
【解析】
【分析】
（1），令，，則等價于，對任意恒成立，令，可知當(dāng)時不恒成立；當(dāng)時，利用導(dǎo)數(shù)求其最大值，由最大值等于0求得值；
（2）由（1）知，當(dāng)時，，即，可得，把問題轉(zhuǎn)化為證明，即證：，構(gòu)造函數(shù)，再由導(dǎo)數(shù)證明即可．
【詳解】
（1）解：，令，．
則等價于，對任意恒成立，令，
當(dāng)時，，與恒成立矛盾，不合題意；
當(dāng)時，，，與恒成立矛盾，不合題意；
當(dāng)時，，在上遞減，在上遞增，
的最小值為．
令，則，知在上遞增，在上遞減，
，要使，當(dāng)且僅當(dāng)．
綜上，實(shí)數(shù)的值為1；
（2）證明：由（1）知，當(dāng)時，，即，
，
下面證明，即證：．
令，．當(dāng)時，顯然單調(diào)遞增，，
在，上單調(diào)遞減，，
當(dāng)時，顯然，即．
故對一切，都有，即．
故原不等式成立．
【點(diǎn)睛】
本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，考查利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想方法，考查邏輯思維能力與推理論證能力，屬難題．
例42．已知.
（1）當(dāng)有兩個零點(diǎn)時，求a的取值范圍；
（2）當(dāng)，時，設(shè)，求證：.
【答案】（1）或；（2）證明見解析.
【解析】
【分析】
（1）化簡，根據(jù)題意得有一個非零實(shí)根，設(shè)，利用導(dǎo)數(shù)求得函數(shù)的單調(diào)性和極值，結(jié)合函數(shù)的值的變化趨勢，即可求解；
（2）化簡，根據(jù)題意轉(zhuǎn)化為，令，得到新函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求得函數(shù)的單調(diào)性與最小值，即可求解.
【詳解】
（1）由題意，函數(shù)
因?yàn)橛袃蓚€零點(diǎn)，又因?yàn)闀r，解得，
所以當(dāng)有一個非零實(shí)根，
設(shè)，可得，
當(dāng)時，，單調(diào)遞減；
當(dāng)時，，單調(diào)遞增，
所以當(dāng)時，函數(shù)取得最小值，最小值為，
又由，時，；時，，
所以或，即實(shí)數(shù)a的取值范圍是.（2）由題意，可得，
要證，即證，
令，令，可得，
令，即，解得；
令，即，解得，
所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
所以，即，即.
【點(diǎn)睛】
利用導(dǎo)數(shù)證明不等式問題：
（1）直接構(gòu)造法：證明不等式轉(zhuǎn)化為證明，進(jìn)而構(gòu)造輔助函數(shù)；
（2）適當(dāng)放縮構(gòu)造法：一是根據(jù)已知條件適當(dāng)放縮；二是利用常見放縮結(jié)論；
（3）構(gòu)造“形似”函數(shù)，變形再構(gòu)造，對原不等式同解變形，根據(jù)相似結(jié)構(gòu)構(gòu)造輔助函數(shù).
【過關(guān)測試】
1．（2022·重慶市第十一中學(xué)校高二階段練習(xí)）已知函數(shù)，且．
(1)求曲線在點(diǎn)處的切線方程；
(2)若函數(shù)有三個極值點(diǎn)，且，求證：．
【答案】(1)；
(2)證明見解析.
【解析】
【分析】
（1）對函數(shù)進(jìn)行求導(dǎo)，把代入導(dǎo)函數(shù)中，得到切線斜率，再利用點(diǎn)斜式方程即可求出答案.
（2）對函數(shù)進(jìn)行求導(dǎo)，原函數(shù)有三個極值點(diǎn)，即導(dǎo)函數(shù)有三個零點(diǎn)，其中，方程有兩個根，即有兩個交點(diǎn)，
令， 對進(jìn)行求導(dǎo)，則在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，與的圖象有兩個交點(diǎn)，則，即，要證，即證，由對數(shù)平均數(shù)表達(dá)式可得
，即可得證.(1)
對函數(shù)進(jìn)行求導(dǎo)，
，，切點(diǎn)為
故切線為.
(2)


由題意知，有三個實(shí)數(shù)跟，則，
方程有兩個根，即有兩個交點(diǎn)
令，
當(dāng)時，，故在上單調(diào)遞增；
當(dāng)時，，故在上單調(diào)遞減；
作出，的圖象如圖
由圖可知，，與的圖象有兩個交點(diǎn)，
橫坐標(biāo)分別為，且
要證
即證
即證
，則
則
即，由對數(shù)平均數(shù)表達(dá)式可得


故
即可證得.
2．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)在上有兩個極值點(diǎn)，，且．
(1)求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
(2)證明：當(dāng)時，．
【答案】(1)
(2)證明見解析
【解析】
【分析】
（1）根據(jù)題意得方程在上有兩不等實(shí)根，進(jìn)而結(jié)合二次函數(shù)零點(diǎn)分布求解即可；
（2）根據(jù)題意得，進(jìn)而得，再構(gòu)造函數(shù)，研究單調(diào)性得在單調(diào)遞增，進(jìn)而.
(1)
解：∵，
∴，
∵函數(shù)在上有兩個極值點(diǎn)，且
∴由題意知方程在上有兩不等實(shí)根，
設(shè)，其圖像的對稱軸為直線，
故有 ，解得所以，實(shí)數(shù)a的取值范圍是.
(2)
證明：由題意知是方程的較大的根，故，
由于，∴，
∴．
設(shè)，，，
∴在單調(diào)遞增，
∴，即成立．
∴不等式成立,證畢.
3．（2022·黑龍江·哈爾濱三中模擬預(yù)測（文））已知.
(1)若在區(qū)間上有且僅有一個極值點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍；
(2)在（1）的條件下，證明.
【答案】(1)
(2)證明見解析
【解析】
【分析】
（1）由題知在區(qū)間上有且僅有一個零點(diǎn)，進(jìn)而構(gòu)造函數(shù)，再研究函數(shù)的性質(zhì)即可求解；
（2）結(jié)合（1）得，進(jìn)而得，再研究函數(shù)在上的單調(diào)性，利用單調(diào)性證明即可.
(1)
解：，
因?yàn)樵趨^(qū)間上有且僅有一個極值點(diǎn)，
所以在區(qū)間上有且僅有一個零點(diǎn)，
設(shè)，當(dāng)單調(diào)遞減，
因?yàn)椋手恍瑁?br>所以
(2)
解：由（1）知，在區(qū)間上有且僅有一個極值點(diǎn)，
所以，即，
所以
所以，
所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，
所以，即，證畢.
4．（2022·全國·哈師大附中模擬預(yù)測（文））已知函數(shù)（其中是自然對數(shù)的底數(shù)）.
(1)求曲線在點(diǎn)處的切線方程；
(2)求證：.
【答案】(1)
(2)證明見解析
【解析】
【分析】
（1）根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義計算即可
（2）根據(jù)題意構(gòu)造函數(shù)，證明即可，利用導(dǎo)數(shù)研究的單調(diào)性，求出的最小值即可
(1)
，
，，
所以在處的切線方程為，即
(2)
，
構(gòu)造函數(shù)，則.
令，則，
當(dāng)時，當(dāng)時，
于是在上遞減，在上遞增，于是.
于是當(dāng)時，，當(dāng)時，，
所以在上遞減，在上遞增，
于是，命題獲證.
5．（2022·江蘇江蘇·高二階段練習(xí)）已知函數(shù)， .
(1)試討論f（x）的單調(diào)性；
(2)若對任意 ， 均有 ，求a的取值范圍；
(3)求證: .
【答案】(1)答案見解析
(2)
(3)證明見解析
【解析】
【分析】
（1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，討論a的取值情況，根據(jù)導(dǎo)數(shù)正負(fù)，判斷函數(shù)的單調(diào)性；
（2）分類討論，說明當(dāng)時,符合題意；當(dāng)時,不合題意，當(dāng)時令函數(shù)的最大值小于等于0，求得答案;
（3）利用當(dāng) 時，即，從而，進(jìn)而，再采用累加，然后結(jié)合裂項(xiàng)求和的方法證明結(jié)論.
(1)
,
若 則， 在 上單調(diào)遞減；
若，則由,得,
當(dāng)時,在上單調(diào)遞增,
當(dāng)時,,在 上單調(diào)遞減.
(2)當(dāng)時,符合題意；
當(dāng)時,由（1）知在 上單調(diào)遞減，
而 ，不合題意；
當(dāng)時,結(jié)合（1）得，，
即，得，
綜上，的取值范圍是；
(3)
證明：由（2）知，當(dāng) 時，即
所以，
所以，
所以 ，
即得證.
6．（2022·天津·模擬預(yù)測）已知函數(shù).
(1)試判斷函數(shù)在上單調(diào)性并證明你的結(jié)論；
(2)若對于恒成立，求正整數(shù)的最大值；
(3)求證：．
【答案】(1)函數(shù)在上為減函數(shù)，證明見解析
(2)
(3)證明見解析
【解析】
【分析】
（1）利用導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系可得出結(jié)論；
（2）由恒成立，即恒成立，構(gòu)造函數(shù)，其中，利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的最小值，即可得出整數(shù)的最大值；（3）由（2）可得出，令，可得出，利用裂項(xiàng)法結(jié)合指數(shù)與對數(shù)互化可證得結(jié)論成立.
(1)
解：函數(shù)在上為減函數(shù)，證明如下：
因?yàn)?，所以?br>又因?yàn)?，所以，，所以?br>即函數(shù)在上為減函數(shù).
(2)
解：由恒成立，即恒成立，
即，
設(shè)，其中，所以，
令，則，即在為增函數(shù)，
又 ，，
即存在唯一的實(shí)數(shù)，滿足，
當(dāng)時，，，當(dāng)時，，，
即函數(shù)在為減函數(shù)，在為增函數(shù)，
則，
故整數(shù)的最大值為.
(3)
證明：由（2）知，，則，其中，
令，則，
則
，
故.
【點(diǎn)睛】
結(jié)論點(diǎn)睛：利用參變量分離法求解函數(shù)不等式恒（能）成立，可根據(jù)以下原則進(jìn)行求解：
（1），；
（2），；
（3），；
（4），.
7．（2022·山東·肥城市教學(xué)研究中心模擬預(yù)測）已知函數(shù).
(1)若是的極值點(diǎn)，求的值域；
(2)當(dāng)時，證明：
【答案】(1)
(2)證明見解析
【解析】
【分析】
（1）根據(jù)極值點(diǎn)的定義得到方程，求出，檢驗(yàn)得到符合題意，再求導(dǎo)得到單調(diào)性，極值，最值情況，求出值域；（2）構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)函數(shù)求出最值，結(jié)合基本不等式證明出不等式.
(1)
∵，是的極值點(diǎn)，
∴，解得:．
經(jīng)檢驗(yàn)符合題意
∴函數(shù)，其定義域?yàn)椋?br>∵
設(shè)，則，
所以在上為增函數(shù)，
又∵，所以當(dāng)時，，即；
當(dāng)時，，即．
所以在上為減函數(shù)；在上為增函數(shù)；因此的最小值為，
∴的值域?yàn)?br>(2)
證明：要證，即證
設(shè)，
即證
當(dāng)，， 在上為增函數(shù)，
且中，．
故在上有唯一實(shí)數(shù)根，且．
當(dāng)時，，當(dāng)時，，
從而當(dāng)時，取得最小值．
由，得，
故．
綜上，當(dāng)時， 即
【點(diǎn)睛】
導(dǎo)函數(shù)證明不等式，求定義域，求導(dǎo)，得到函數(shù)的極值和最值情況，有時會用到隱零點(diǎn)和基本不等式或放縮法進(jìn)行證明.
8．（2022·湖北·華中師大一附中模擬預(yù)測）已知函數(shù)在處的切線方程為.
(1)求實(shí)數(shù)的值；
(2)（i）證明：函數(shù)有且僅有一個極小值點(diǎn)，且；
（ii）證明：.
參考數(shù)據(jù)：，，，.
【答案】(1)
(2)（i）證明見解析；（ii）證明見解析
【解析】
【分析】（1）直接利用導(dǎo)數(shù)的意義列方程組，即可解得；
（2）（i）求出導(dǎo)函數(shù).利用導(dǎo)數(shù)和零點(diǎn)存在對立即可證明；
（ii）求出，令，利用導(dǎo)數(shù)判斷出在上單調(diào)遞減，
即可證明；要證，即證.令，利用導(dǎo)數(shù)證明出；令，利用導(dǎo)數(shù)證明出，得到，即可證明.
(1)
定義域?yàn)椋?br>由題意知，解得.
(2)
（i）由（1）知，
令，則，從而即單調(diào)遞增
又，故存在唯一的使得
從而有且僅有一個極小值點(diǎn)，且
（ii），的極小值0
極小值
令，則，從而在上單調(diào)遞減，，故
下證，即證
一方面令，則，則在上單調(diào)遞增，從而
另一方面，令，
令有
從而
從而即成立，故.
【點(diǎn)睛】
導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用主要有：
（1）利用導(dǎo)函數(shù)幾何意義求切線方程；
（2）利用導(dǎo)數(shù)研究原函數(shù)的單調(diào)性，求極值（最值）；
（3）利用導(dǎo)數(shù)求參數(shù)的取值范圍；
（4）利用導(dǎo)數(shù)證明不等式.
9．（2022·廣東·高二階段練習(xí)）關(guān)于的函數(shù)，我們曾在必修一中學(xué)習(xí)過“0
極大值
二分法”求其零點(diǎn)近似值.現(xiàn)結(jié)合導(dǎo)函數(shù)，介紹另一種求零點(diǎn)近似值的方法——“牛頓切線法”.
(1)證明：有唯一零點(diǎn)，且；
(2)現(xiàn)在，我們?nèi)稳?1,a)開始，實(shí)施如下步驟：
在處作曲線的切線，交軸于點(diǎn)；
在處作曲線的切線，交軸于點(diǎn)；
……
在處作曲線的切線，交軸于點(diǎn)；
可以得到一個數(shù)列，它的各項(xiàng)都是不同程度的零點(diǎn)近似值.
（i）設(shè)，求的解析式(用表示)；
（ii）證明：當(dāng)，總有.
【答案】(1)證明見解析；
(2)（i）；（ii）證明見解析.
【解析】
【分析】
（1）根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合零點(diǎn)存在性定理證明即可；
（2）（i）由導(dǎo)數(shù)的幾何意義得曲線在處的切線方程為，進(jìn)而得；
（ii）令，進(jìn)而構(gòu)造函數(shù)，結(jié)合函數(shù)單調(diào)性證明，再根據(jù)證明即可得答案.
(1)
證明：，定義域?yàn)椋?br>所以，在上恒成立，
所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，
因?yàn)椋?br>所以，存在唯一，使得，即：有唯一零點(diǎn)，且.
(2)解：（i）由（1）知，
所以，曲線在處的切線斜率為，
所以，曲線在處的切線方程為，即
令得
所以，切線與軸的交點(diǎn)，即，
所以，.
(ii)對任意的，由（i）知，曲線在處的切線方程為：
，故令，
令
所以，，
所以，當(dāng)時，單調(diào)遞增，當(dāng)時，單調(diào)遞減；
所以，恒有，即恒成立，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，
另一方面，由（i）知，，且當(dāng)時，，
（若，則，故任意，顯然矛盾）
因?yàn)槭堑牧泓c(diǎn)，
所以
因?yàn)闉閱握{(diào)遞增函數(shù)，
所以，對任意的時，總有
又因?yàn)椋?br>所以，對于任意，均有，
所以，
所以，
綜上，當(dāng)，總有【點(diǎn)睛】
本題考查利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義，不等式的證明，考查運(yùn)算求解能力，邏輯推理能力，是難題.本題第二問解題的關(guān)鍵在于結(jié)合切線方程，構(gòu)造函數(shù)，進(jìn)而結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性證明不等式.
10．（2022·浙江大學(xué)附屬中學(xué)高三階段練習(xí)）已知函數(shù)．（其中e是自然底數(shù)，）
(1)求證：；
(2)求證：當(dāng)；
(3)當(dāng)時，恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．
【答案】(1)證明見解析
(2)證明見解析
(3)
【解析】
【分析】
（1）求導(dǎo)，由證明；
（2）轉(zhuǎn)化為當(dāng)時，恒成立證明；
（3）轉(zhuǎn)化為，時恒成立，令，用導(dǎo)數(shù)法求解.
(1)
證明：當(dāng)時，，
當(dāng)，；當(dāng)，．
所以，
即當(dāng)，．
(2)
依題意，即證：當(dāng)時，恒成立，
由（1）即證：，
即證：．
而，，
故顯然成立．
(3)
當(dāng)時，恒成立，即，時恒成立．
令，則，
，
由（2）知：，即
在上單調(diào)遞增．所以，
當(dāng)，則，即，所以，符合題意；
當(dāng)時，在上單調(diào)遞增，且，，，
則存在，使得，，即，這顯然與題意矛盾．
綜上，實(shí)數(shù)的取值范圍為．
【點(diǎn)睛】
方法點(diǎn)睛：求解不等式恒成立時參數(shù)的取值范圍問題，一般常用分離參數(shù)的方法，但是如果分離參數(shù)后對應(yīng)的函數(shù)不便于求解其最值，或者求解其函數(shù)最值繁瑣時，可采用直接構(gòu)造函數(shù)的方法求解．

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