1、明確模擬練習(xí)的目的。不但檢測知識的全面性、方法的熟練性和運算的準確性，更是訓(xùn)練書寫規(guī)范，表述準確的過程。
2、查漏補缺，以“錯”糾錯。每過一段時間，就把“錯題筆記”或標記錯題的試卷有側(cè)重的看一下。查漏補缺的過程也就是反思的過程，逐漸實現(xiàn)保強攻弱的目標。
3、嚴格有規(guī)律地進行限時訓(xùn)練。特別是強化對解答選擇題、填空題的限時訓(xùn)練，將平時考試當(dāng)作高考，嚴格按時完成，并在速度體驗中提高正確率。
4、保證常規(guī)題型的堅持訓(xùn)練。做到百無一失，對學(xué)有余力的學(xué)生，可適當(dāng)拓展高考中難點的訓(xùn)練。
5、注重題后反思總結(jié)。出現(xiàn)問題不可怕，可怕的是不知道問題的存在，在復(fù)習(xí)中出現(xiàn)的問題越多，說明你距離成功越近，及時處理問題，爭取“問題不過夜”。
6、重視每次模擬考試的臨考前狀態(tài)的調(diào)整及考后心理的調(diào)整。以平和的心態(tài)面對高考。
專題11 導(dǎo)數(shù)中的同構(gòu)問題
【考點預(yù)測】
知識點一、常見的同構(gòu)函數(shù)圖像
函數(shù)表達式
圖像
函數(shù)表達式
圖像
函數(shù)極值點
函數(shù)極值點
函數(shù)極值點
函數(shù)極值點
過定點
函數(shù)極值點
函數(shù)極值點
知識點二：同構(gòu)式的基本概念與導(dǎo)數(shù)壓軸題
1、同構(gòu)式：是指除了變量不同，其余地方均相同的表達式
2、同構(gòu)式的應(yīng)用：
（1）在方程中的應(yīng)用：如果方程和呈現(xiàn)同構(gòu)特征，則可視為方程的兩個根
（2）在不等式中的應(yīng)用：如果不等式的兩側(cè)呈現(xiàn)同構(gòu)特征，則可將相同的結(jié)構(gòu)構(gòu)造為一個函數(shù)，進而和函數(shù)的單調(diào)性找到聯(lián)系?？杀容^大小或解不等式。
①指對各一邊，參數(shù)是關(guān)鍵；②常用“母函數(shù)”：，；尋找“親戚函數(shù)”是關(guān)鍵；
③信手拈來湊同構(gòu)，湊常數(shù)、、參數(shù)；④復(fù)合函數(shù)（親戚函數(shù)）比大小，利用單調(diào)性求參數(shù)范圍.
（3）在解析幾何中的應(yīng)用：如果滿足的方程為同構(gòu)式，則為方程所表示曲線上的兩點。特別的，若滿足的方程是直線方程，則該方程即為直線的方程
（4）在數(shù)列中的應(yīng)用：可將遞推公式變形為“依序同構(gòu)”的特征，即關(guān)于與的同構(gòu)式，從而將同構(gòu)式設(shè)為輔助數(shù)列便于求解
3、常見的指數(shù)放縮：
4、常見的對數(shù)放縮：
5、常見三角函數(shù)的放縮：
6、學(xué)習(xí)指對數(shù)的運算性質(zhì)時，曾經(jīng)提到過兩個這樣的恒等式：
（1） 且時，有
（2） 當(dāng) 且時，有
再結(jié)合指數(shù)運算和對數(shù)運算的法則，可以得到下述結(jié)論（其中）
（3）
（4）
函數(shù)極值點
函數(shù)極值點
（5）
（6）
再結(jié)合常用的切線不等式lnxx-1， 等，可以得到更多的結(jié)論，這里僅以第（3）條為例進行引申：
（7）；
（8）；
【題型歸納目錄】
題型一：不等式同構(gòu)
題型二：同構(gòu)變形
題型三：零點同構(gòu)
題型四：利用同構(gòu)解決不等式恒成立問題
題型五：利用同構(gòu)求最值
題型六：利用同構(gòu)證明不等式
【典例例題】
題型一：不等式同構(gòu)
例1．（2022·陜西·西安中學(xué)模擬預(yù)測（理））已知，且，，，則（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】
【分析】
構(gòu)造函數(shù)，根據(jù)單調(diào)性即可確定的大小.
【詳解】
設(shè)函數(shù)，，當(dāng)，此時單調(diào)遞增，當(dāng)，此時單調(diào)遞減，由題，，，得，因為，所以，則，且，所以.
故選：A.
【點睛】
解本題的關(guān)鍵是發(fā)掘題中三個式子的相似性，并進行等價變形，易于構(gòu)造函數(shù)，本題多次利用函數(shù)的單調(diào)性，先利用單調(diào)性判斷函數(shù)值大小，再由函數(shù)單調(diào)性判斷自變量大小.
例2．（2022·河南焦作·三模（理））設(shè)，，，則（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】
【詳解】
因為，所以．
設(shè)，
則，
令，則．
當(dāng)時，，，，
所以，所以當(dāng)時，，
所以在上單調(diào)遞增，
從而，
因此，即．
綜上可得．
故選：A
【點睛】
比較函數(shù)值的大小，要結(jié)合函數(shù)值的特點，選擇不同的方法，本題中，可以作差進行比較大小，而的大小比較，則需要構(gòu)造函數(shù)，由導(dǎo)函數(shù)得到其單調(diào)性，從而比較出大小，有難度，屬于難題.例3．（2022·四川·廣安二中模擬預(yù)測（理））已知，且，其中e為自然對數(shù)的底數(shù)，則下列選項中一定成立的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】
【分析】
構(gòu)造，，求導(dǎo)研究其單調(diào)性，判斷出D選項，利用同角三角函數(shù)關(guān)系得到AB選項，構(gòu)造差函數(shù)，得到，從而判斷出C選項.
【詳解】
構(gòu)造，，則恒成立，
則，
當(dāng)時，，，
當(dāng)時，，
所以在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，
因為，所以，，
又，所以，D錯誤，
因為，所以，，
所以，所以，A錯誤，B正確.
令，則，
當(dāng)時，恒成立，
所以在上單調(diào)遞增，當(dāng)時，，即，
因為，
所以
因為，
所以，
因為在在單調(diào)遞減，
所以，即
因為在上單調(diào)遞減，
所以，C錯誤
故選：B
【點睛】
結(jié)合題目特征，構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)單調(diào)性比較函數(shù)值的大小，是比較大小很重要的方法，本題中構(gòu)造進行求解.
題型二：同構(gòu)變形
例4．（2022·全國·高三專題練習(xí)）對下列不等式或方程進行同構(gòu)變形，并寫出相應(yīng)的同構(gòu)函數(shù)．
(1)；
(2)；
(3)；
(4)；
(5)；
(6)；
(7)；
(8)．
【答案】(1)，.
(2)，.(3)，.
(4)，.
(5)，.
(6)，.
(7)，.
(8)，.
【解析】
【分析】
（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）（8）根據(jù)給定的不等式或等式，利用等式不等式性質(zhì)、指對數(shù)式互化變形成不等號或等號兩邊結(jié)構(gòu)相同的形式，再構(gòu)建函數(shù)作答.
(1)
顯然，則，.
(2)
顯然，則，.
(3)
顯然，則，.
(4)
顯然，則
，.
(5)
，.
(6)
，，.
(7)
，.
(8)
，.
題型三：零點同構(gòu)
例5．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)有兩個零點，則a的最小整數(shù)值為（ ）A．0B．1C．2D．3
【答案】C
【解析】
【分析】
先將函數(shù)化為，令，進而只需說明在R上有兩個零點，然后對函數(shù)求導(dǎo)，討論出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和最值，最后通過放縮法解決問題.
【詳解】
，
設(shè)，，即函數(shù)在上單調(diào)遞增，易得，于是問題等價于函數(shù)在R上有兩個零點，，
若，則，函數(shù)在R上單調(diào)遞增，至多有1個零點，不合題意，舍去；
若，則時，，單調(diào)遞減，時，，單調(diào)遞增.
因為函數(shù)在R上有兩個零點，所以，
而，
限定 ，記，，即在上單調(diào)遞增，于是，則時 ，，此時，因為，所以，于是時，.
綜上：當(dāng)時，有兩個交點，a的最小整數(shù)值為2.
故選：C.
例6．（2021·全國·模擬預(yù)測）在數(shù)學(xué)中，我們把僅有變量不同，而結(jié)構(gòu)、形式相同的兩個式子稱為同構(gòu)式，相應(yīng)的方程稱為同構(gòu)方程，相應(yīng)的不等式稱為同構(gòu)不等式．若關(guān)于的方程和關(guān)于的方程（，，）可化為同構(gòu)方程，則________，________．
【答案】 3 8
【解析】
【分析】
兩個方程分別取自然對數(shù)，轉(zhuǎn)化后由同構(gòu)的定義求得，然后利用新函數(shù)的單調(diào)性得關(guān)系，從而求得的值．
【詳解】
對兩邊取自然對數(shù)得 ①．對兩邊取自然對數(shù)得，即 ②．
因為方程①，②為兩個同構(gòu)方程，所以，解得．
設(shè)（），則，
所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以方程的解只有一個，所以，
所以，故．
故答案為：3；8．
例7．（2021·安徽安慶·高三階段練習(xí)（理））在數(shù)學(xué)中，我們把僅有變量不同，而結(jié)構(gòu)?形式相同的兩個式子稱為同構(gòu)式，相應(yīng)的方程稱為同構(gòu)方程，相應(yīng)的不等式稱為同構(gòu)不等式.若關(guān)于的方程和關(guān)于的方程可化為同構(gòu)方程.
（1）求的值；
（2）已知函數(shù).若斜率為的直線與曲線相交于，兩點，求證：.
【答案】（1）；（2）答案見解析.
【解析】
【分析】
（1）根據(jù)同構(gòu)方程的定義，以及關(guān)于的方程和關(guān)于的方程可化為同構(gòu)方程知，； 在 單調(diào)遞增，所以方程的解只有一個得，則可得；
（2）將所要證明的轉(zhuǎn)化為證明利用換元法將雙變量化為單變量，
故等價于證，通過證明和來達到證明原式的目的.
【詳解】
（1）對兩邊取自然對數(shù)，得(1),
對兩邊取自然對數(shù)，得
即，
因為(1)(2)方程為兩個同構(gòu)方程，所以 ，解得 ，
設(shè) ，則 ,
所以 在 單調(diào)遞增，所以方程的解只有一個,
所以 ，所以 ，故 .
（2）由（1）知：
所以
要證，即證明等價于
令 ，則只要證明 即可，
由 知， ，故等價于證
設(shè) 則 ，即 在 單調(diào)遞增，
故 ，即 .
設(shè)則 ，即在單調(diào)遞增，
故，即 。
由上可知成立，則.
例8．（2022·遼寧·大連市普蘭店區(qū)高級中學(xué)模擬預(yù)測）已知函數(shù)．
(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
(2)設(shè)函數(shù)，若函數(shù)有兩個零點，求實數(shù)a的取值范圍．
【答案】(1)單調(diào)遞增區(qū)間為；單減區(qū)間為
(2)
【解析】
【分析】
（1）求定義域，求導(dǎo)，由導(dǎo)函數(shù)的正負求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）同構(gòu)處理，為設(shè)函數(shù)，則，結(jié)合的單調(diào)性得到有兩個根，結(jié)合第一問中的結(jié)論，列出不等關(guān)系，求出a的取值范圍.
(1)
函數(shù)的定義域為，
．
函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為；單減區(qū)間為．
(2)要使函數(shù)有兩個零點，即有兩個實根，
即有兩個實根．
即．
整理為，
設(shè)函數(shù)，則上式為，
因為恒成立，所以單調(diào)遞增，所以．
所以只需使有兩個根，設(shè)．
由（1）可知，函數(shù)）的單調(diào)遞增區(qū)間為；單減區(qū)間為，
故函數(shù)在處取得極大值，．
當(dāng)時，；當(dāng)時，，
要想有兩個根，只需，解得：．
所以a的取值范圍是．
題型四：利用同構(gòu)解決不等式恒成立問題
例9．（2022·陜西·長安一中模擬預(yù)測（理））若對任意，恒有，則實數(shù)的最小值為（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】
【分析】
不等式兩邊同時乘以，等價變形為，利用，，將不等式變形為，構(gòu)造函數(shù)，不等式變形為，利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)在上單調(diào)遞增，從而確定在恒成立，即在恒成立.構(gòu)造新函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最大值，確定的取值范圍，即可.
【詳解】
由題意可知，不等式變形為.
設(shè)，則
.
當(dāng)時，即在上單調(diào)遞減.
當(dāng)時，即在上單調(diào)遞增.
則在上有且只有一個極值點，該極值點就是的最小值點.
所以，即在上單調(diào)遞增.
若使得對任意，恒有成立.
則需對任意，恒有成立.
即對任意，恒有成立，則在恒成立.
設(shè)則.
當(dāng)時，，函數(shù)在上單調(diào)遞增
當(dāng)時，，函數(shù)在上單調(diào)遞減
則在上有且只有一個極值點，該極值點就是的最大值點.
所以，即，則實數(shù)的最小值為.
故選：D
【點睛】
本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究不等式恒成立，求參數(shù)取值，屬于難題.
例10．（2022·河南·高三期末（理））若關(guān)于x的不等式恒成立，則a的取值范圍是______．
【答案】
【解析】
【分析】
先對不等式進行化簡換元得到，結(jié)合，對進行分類討論，得到不同情況下的單調(diào)性及極值，進而判斷出結(jié)果.
【詳解】
整理為：，其中，故，令，則，，注意到：，其中，當(dāng)時，令，解得：，令，解得：，則，滿足題意；
當(dāng)時，令得：，令得：，則在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，且，，所以當(dāng)時，，不合題意，舍去；
故不滿足題意，舍去；
當(dāng)時，令得：，令得：，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，且，，所以當(dāng)時，，不合題意，舍去；
當(dāng)時，，故不合題意，舍去.
綜上：a的取值范圍是.
故答案為：
【點睛】
求解參數(shù)的取值范圍，對于不容易參變分離的函數(shù)，處理方法，往往要結(jié)合函數(shù)解析式的特征，構(gòu)造新函數(shù)，而在構(gòu)造新函數(shù)的過程中，同構(gòu)是針對于同時出現(xiàn)指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)的一種有效方法，要能靈活應(yīng)用.
例11．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知，對任意的，不等式恒成立，則的最小值為___________.
【答案】
【解析】
【分析】
將已知轉(zhuǎn)化為對于任意，恒成立，利用同構(gòu)思想，構(gòu)造函數(shù)，將不等式轉(zhuǎn)化為，再結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性轉(zhuǎn)化為恒成立，利用參數(shù)分離，構(gòu)造函數(shù)即可得解.
【詳解】
∵對于任意，，不等式恒成立
∴對于任意，，即恒成立
當(dāng)時，；
當(dāng)，，
設(shè)，則，所以在上單調(diào)遞增，
由，知，即，即設(shè)，，求導(dǎo)
令，得
當(dāng)時，，單調(diào)遞減；當(dāng)時，，單調(diào)遞增；
∴在處取得極大值，且為最大值，
所以時，不等式恒成立
故答案為：
【點睛】
關(guān)鍵點點睛：本題主要考查了函數(shù)的恒成立問題，其中解答中涉及到利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性及其應(yīng)用，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值與最值，著重考查了函數(shù)的構(gòu)造思想、等價轉(zhuǎn)化思想與導(dǎo)數(shù)在函數(shù)中的綜合應(yīng)用，本題的解答中把恒成立問題利用同構(gòu)思想轉(zhuǎn)化為，再利用函數(shù)的單調(diào)性及求參方法求解.
例12．（2022·全國·高三專題練習(xí)）若關(guān)于x的不等式恒成立，則實數(shù)a的取值范圍為__________．
【答案】
【解析】
首先不等式變形為，經(jīng)討論不成立，當(dāng)時，不等式變形為，通過設(shè)函數(shù)，轉(zhuǎn)化為不等式恒成立，通過函數(shù)的單調(diào)性，和正負區(qū)間，討論求的取值范圍.
【詳解】
解：
若，時，，，∴，
此時不恒成立，∴，
，
令，，
時，，，，
在單調(diào)遞減，單調(diào)遞增，∴，
，時，，，原不等式恒成立；
時，
令，，，
時，，時，，
在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，
∴，∴，
∴，即，∴，∴．
故答案為：.
【點睛】
關(guān)鍵點點睛：本題考查不等式恒成立求參數(shù)的取值范圍，第一個關(guān)鍵是說明 不恒成立，第二個關(guān)鍵是時，不等式的變形，構(gòu)造函數(shù)，第三關(guān)鍵是證明.
例13．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知不等式對恒成立，則實數(shù)m的最小值為__________.
【答案】
【解析】
【分析】
先將不等式變形為，
再構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)單調(diào)性可得，，再分離參數(shù)轉(zhuǎn)化為
，然后求出函數(shù)的最大值，即解出．
【詳解】
可變?yōu)椋?br> 再變形可得，，設(shè)，原不等式等價于
，因為，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，在
上單調(diào)遞增，而，，
當(dāng)時，，所以由可得，，
因為，所以．設(shè)，，所以函數(shù)在上遞增，在上遞減，所以，即．
當(dāng)時，不等式在恒成立；
當(dāng)時，，無論是否存在，使得在上恒成立，都可判斷實數(shù)m的最小值為．
故答案為：．
【點睛】
本題主要考查構(gòu)造函數(shù)法的應(yīng)用，利用函數(shù)的單調(diào)性解不等式，分離參數(shù)法的應(yīng)用，導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的應(yīng)用，解題關(guān)鍵是構(gòu)造合適的函數(shù)模型，意在考查學(xué)生的數(shù)學(xué)建模能力，轉(zhuǎn)化能力和數(shù)學(xué)運算能力，屬于難題．
例14．（2022·全國·高三專題練習(xí)）設(shè)，若存在正實數(shù)，使得不等式成立，則的最大值為（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】
【分析】
化簡得，
從而，，
構(gòu)造函數(shù)，有單調(diào)性得，再化簡得，
再構(gòu)造函數(shù)，求得最大值即可.
【詳解】
解：因為，所以，
因為，所以，
即，
設(shè)函數(shù)，，
，
所以函數(shù)在為增函數(shù)，
所以所以，設(shè)函數(shù)，
，
所以函數(shù)在為增函數(shù)，在為減函數(shù)，
所以，
所以的最大值為，
故選：A.
例15．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)，不等式對任意恒成立，則實數(shù)m的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】
【分析】
問題等價于對任意恒成立，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的單調(diào)性，根據(jù)單調(diào)性求出的最小值，即可求出m的取值范圍.
【詳解】
由題可得對任意恒成立，等價于對任意恒成立，
令，則，
令，則，
在單調(diào)遞增，
，
存在唯一零點，且，使得，
在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，，
，即，令，顯然在單調(diào)遞增，則，即，
則，.
故選：A.
【點睛】
關(guān)鍵點睛：本題考查利用導(dǎo)數(shù)解決不等式的恒成立問題，解題的關(guān)鍵是分離參數(shù)，將題目轉(zhuǎn)化為求解的最小值.
例16．（2022·河南·高三階段練習(xí)（文））若關(guān)于的不等式在上恒成立，則實數(shù)的取值范圍為（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】
【分析】
先根據(jù)題目不等式構(gòu)造，得到，構(gòu)造，，證明出在上恒成立，得到在上單調(diào)遞減，轉(zhuǎn)化為在上恒成立，求出實數(shù)的取值范圍.
【詳解】
依題意，．
令，
則．
令，，
則，
所以在上單調(diào)遞減，
則，
所以在上恒成立，
故在上單調(diào)遞減，
所以在上恒成立，故在上恒成立，
其中在單調(diào)遞增，故．所以，實數(shù)的取值范圍是.
故選：D
【點睛】
同構(gòu)思想，在利用導(dǎo)函數(shù)求解參數(shù)的取值范圍問題上，經(jīng)?？疾欤ǔｎ}目特征為題干條件中同時出現(xiàn)了指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)，則可以考察同構(gòu)的方法.
例17．（2022·全國·高三專題練習(xí)（理））已知函數(shù)，對，恒有，則實數(shù)a的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】
【分析】
先求導(dǎo)確定在上單調(diào)遞減，由得到，
構(gòu)造函數(shù)得在上單調(diào)遞減，即在上恒成立，
參變分離后求出a的取值范圍即可.
【詳解】
由題意知，定義域為，，又，故，在上單調(diào)遞減，
不妨設(shè)，對，恒有，即，，
令，由上可知在上單調(diào)遞減，則在上恒成立，
從而恒成立，設(shè)，，
當(dāng)時，單減；當(dāng)時，單增；
，故.
故選：D.
【點睛】
本題關(guān)鍵點在于由的單調(diào)性，將轉(zhuǎn)化為，從而得到在上單調(diào)遞減，即在上恒成立，參變分離后求出a的取值范圍即可.
例18．（2022·全國·高三專題練習(xí)（理））已知函數(shù)，當(dāng)時，不等式恒成立，則k的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】
【分析】
參變分離，構(gòu)造函數(shù)，研究單調(diào)性，得到，再構(gòu)造，研究其單調(diào)性，得到有解，進而得到，求出結(jié)果.
【詳解】
因為，所以，則當(dāng)時，不等式恒成立等價于．設(shè)，則．當(dāng)時，，單調(diào)遞增；當(dāng)時，，單調(diào)遞減．則，即，即，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立．設(shè)，則．由，得；由，得．則在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．因為，，所以有解，則，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，從而，故．
故選：B
【點睛】
參變分離是一種求解參數(shù)取值范圍的重要方法，參變分離原則是容易分離且構(gòu)造的新函數(shù)不能太過復(fù)雜.
例19．（2022·安徽亳州·高三期末（理））已知，若時，恒成立，則的最小值為（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】
【分析】
構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)單調(diào)性解出，兩邊取對數(shù)，進行參變分離，求導(dǎo)后求出最值，得到答案.
【詳解】令，，則在上恒成立，
所以在上單調(diào)遞減，
因為，，所以，，
因為，所以，
兩邊取對數(shù)得，即，故，
令，，，
當(dāng)時，，當(dāng)時，，
故在上取得最大值，，故，
綜上：的最小值為.
故選：C.
【點睛】
結(jié)合不等式特點，構(gòu)造函數(shù)，結(jié)合函數(shù)不等式問題，要利用導(dǎo)函數(shù)研究其單調(diào)性，結(jié)合參變分離及最值問題處理恒成立問題.
例20．（2022·安徽合肥·高三期末（理））若不等式對恒成立（為自然對數(shù)的底數(shù)），則實數(shù)a的最大值為（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】
【分析】
由題設(shè)易得，并將原不等式化為，構(gòu)造結(jié)合導(dǎo)數(shù)研究單調(diào)性，可得，進而有在上恒成立，再構(gòu)造，應(yīng)用導(dǎo)數(shù)求其最小值，即可確定a的范圍，即知最大值.
【詳解】
由題設(shè)，在上恒成立，
∴，即，原不等式可化為，
∴，即，
令，則，即在上遞增，
由上知：，則，即在上恒成立，
令，則，又，，
∴，，即，故在上遞減，
∴，故，可得，
綜上，，故a的最大值為.
故選：A.
【點睛】
關(guān)鍵點點睛：將原不等式轉(zhuǎn)化為，應(yīng)用同構(gòu)法構(gòu)造，并確定其單調(diào)性得在上恒成立，進而構(gòu)造中間函數(shù)應(yīng)用導(dǎo)數(shù)求最值，可得參數(shù)范圍.
例21.（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知不等式對恒成立，則實數(shù)a的最小值為（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】
【分析】
先利用同構(gòu)變形得到，構(gòu)造函數(shù)，，
結(jié)合其單調(diào)性和求解的是a的最小值，考慮兩種情況，進行求解，最終求得實數(shù)a的最小值.
【詳解】
因為，
所以，即，
構(gòu)造函數(shù)，
所以
，
令，解得：，令，解得：，
故在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
當(dāng)時，與1的大小不定，但當(dāng)實數(shù)a最小時，只需考慮其為負數(shù)的情況，此時
因為當(dāng)時，單調(diào)遞減，
故，
兩邊取對數(shù)得：
，
令，則，
令得：，令得：，
所以在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，
所以
故a的最小值是．
當(dāng)時，，從四個選項均為負，考慮，此時有，
兩邊取對數(shù)得：，
所以
令，則，
當(dāng)時，恒成立，所以在上單調(diào)遞增，無最大值，
此時無解，
綜上：故a的最小值是．
故選：C【點睛】
同構(gòu)法針對與不等式或者等式中同時出現(xiàn)指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)時，要將兩邊變形得到結(jié)構(gòu)相同，再構(gòu)造函數(shù)進行求解.
題型五：利用同構(gòu)求最值
例22．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)，，若，，則的最小值為（ ）．
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】
由已知條件可推得，即有，結(jié)合目標式化簡可得，令，利用導(dǎo)函數(shù)研究其單調(diào)性并確定區(qū)間最小值，即為的最小值.
【詳解】
由題意，，得，
∴，即，
又，得
∵在上單調(diào)遞增，
∴綜上知：，
∴，
令，，則
∴，得；，得；
故在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.
∴，
故選：C
【點睛】
關(guān)鍵點點睛：根據(jù)條件的函數(shù)關(guān)系確定參數(shù)的等量關(guān)系，結(jié)合目標式化簡并構(gòu)造函數(shù)，應(yīng)用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，進而確定區(qū)間最小值.
例23．（2022·全國·高三專題練習(xí)（理））設(shè)大于1的兩個實數(shù)a，b滿足，則正整數(shù)n的最大值為（ ）．
A．7B．9C．11D．12
【答案】B
【解析】
【分析】
將已知條件變形為，構(gòu)造兩個函數(shù)，對函數(shù)求導(dǎo)，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出的最大值即可.
【詳解】
解：易知等價于．
令，則．
令得．
當(dāng)時；當(dāng)時．
所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
則有最大值．
令，則．
當(dāng)時不符合，舍去，所以．
則，．
當(dāng)時；當(dāng)時．
所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
則有最小值．
若成立，只需，
即，即．兩邊取自然對數(shù)可得．
當(dāng)時等式成立；當(dāng)時有．
令，本題即求的最大的正整數(shù)．
恒成立，則在上單調(diào)遞減．
因為，，，
所以的最大正整數(shù)為9．
故選：B．
題型六：利用同構(gòu)證明不等式
例24．（2022·福建南平·三模）已知函數(shù).
(1)討論函數(shù)的單調(diào)性；
(2)若，求證：函數(shù)有兩個零點，且.
【答案】(1)當(dāng)時，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；
(2)證明見解析
【解析】
【分析】
（1）直接求導(dǎo)，分和討論單調(diào)性即可；
（2）先討論當(dāng)時無零點，再討論時，通過同構(gòu)得到，即，確定在上的零點，即可證明有兩個零點；由相減得，換元令，進而得到，通過放縮構(gòu)造函數(shù)即可求證.
(1)
定義域為，，當(dāng)時，，在上單調(diào)遞增；
當(dāng)時，由得，當(dāng)時，單調(diào)遞減，當(dāng)時，單調(diào)遞增；綜上：當(dāng)時，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；
(2)
當(dāng)時，因為，所以，無零點.當(dāng)時，由，
得，即，設(shè)，則有，因為在上成立，
所以在上單調(diào)遞減，當(dāng)時，，所以等價于，
即，所以的零點與在上的零點相同.若，由（1）知在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
又， ，，
所以在和上各有一個零點，即在上有兩個零點，綜上有兩個零點.
不妨設(shè)，則，相減得，
設(shè)，則，代入上式，解得，所以，
因為，所以，因此要證，只需證，即證，
設(shè)，則，所以在遞增，，
即，因為，所以可化成，又因為，所以.
例25．（2022·四川眉山·三模（文））已知函數(shù).
(1)求的單調(diào)區(qū)間；(2)證明：當(dāng)時，.
【答案】(1)的單調(diào)增區(qū)間為，單調(diào)減區(qū)間為；
(2)詳解解析.
【解析】
【分析】
（1）由題可得，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)可得當(dāng)或時，，當(dāng)時，，進而即得；
（2）由題可轉(zhuǎn)化為證明，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)可得，結(jié)合（1）即證.
(1)
∵，
∴，
設(shè)，則，
當(dāng)時，單調(diào)遞增，當(dāng)時，單調(diào)遞減，
又，，
∴當(dāng)或時，，即單調(diào)遞增，當(dāng)時，，即單調(diào)遞減，
綜上，的單調(diào)增區(qū)間為，單調(diào)減區(qū)間為；
(2)
∵，，
要證，即證，
也就是證，
設(shè)，則，
∴當(dāng)時，單調(diào)遞增，
∴，
由（1）可知當(dāng)時，，即，
∴當(dāng)時，，所以，當(dāng)時，.
【點睛】
方法點睛：利用導(dǎo)數(shù)證明不等式問題，方法如下：
（1）直接構(gòu)造函數(shù)法：證明不等式（或）轉(zhuǎn)化為證明（或），進而構(gòu)造輔助函數(shù)；
（2）適當(dāng)放縮構(gòu)造法：一是根據(jù)已知條件適當(dāng)放縮；二是利用常見放縮結(jié)論；
（3）構(gòu)造“形似”函數(shù)，稍作變形再構(gòu)造，對原不等式同解變形，根據(jù)相似結(jié)構(gòu)構(gòu)造輔助函數(shù).
例26．（2022·河北·高三階段練習(xí)）已知函數(shù)．
(1)討論的單調(diào)性；
(2)設(shè)a，b為兩個不相等的正數(shù)，且，證明：．
【答案】(1)單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為
(2)證明見解析
【解析】
【分析】
（1）直接求導(dǎo)確定的單調(diào)性即可；
（2）令，先證，構(gòu)造函數(shù)，求導(dǎo)確定的單調(diào)性進而證得；再證，構(gòu)造函數(shù)，求導(dǎo)確定單調(diào)性進而證得.
(1)
，定義域為，
由，解得，
由，解得，
由，解得，
所以的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為．
(2)
∵a，b為兩個不相等的正數(shù)，且，
∴，即，由（1）可知，且，時，，
則令，
則為的兩根，且，
不妨設(shè)，則，
先證，即證，即證，
令，即證在上，，
則，
在上單調(diào)遞增，即，
∴在上恒成立，即在上單調(diào)遞減，，
∴，即可得；
再證，即證，
由（1）單調(diào)性可得證，
令，
，
在上單調(diào)遞增，
∴，且當(dāng)，
所以存在使得，
即當(dāng)時，單調(diào)遞減，
當(dāng)時，單調(diào)遞增，
又有，
且，所以恒成立，
∴，
則，即可證得．
【點睛】
本題關(guān)鍵點在于先令，再將轉(zhuǎn)化為兩個極值點偏移問題，先構(gòu)造函數(shù)，求導(dǎo)確定在上，即可證明；再構(gòu)造函數(shù)，求導(dǎo)得恒成立，即可證得，即可證得.
例27．（2022·河南鄭州·二模（文））已知函數(shù)，.
(1)求函數(shù)的極值；
(2)當(dāng)x>0時，證明：
【答案】(1)極大值為，無極小值
(2)證明見解析
【解析】
【分析】
（1）首先確定定義域為求導(dǎo)可得，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，
分和時，兩種情況討即可得解；
（2）要證即證，
令，求導(dǎo)利用隱零點問題的解決方法求得即可.
(1)
定義域為，
則，時，，在單調(diào)遞增，
時，，在單調(diào)遞減，
故函數(shù)的極大值為，無極小值
(2)
證明等價證明（），即.
令
，
令，則在上單調(diào)遞增，
而，
故在上存在唯一零點，且，
時，，在上單調(diào)遞減；
時，，在上單調(diào)遞增，
故，又因為即，
所以，從而，
即
【點睛】
本題考查了導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，導(dǎo)函數(shù)則原函數(shù)為增函數(shù)，原函數(shù)為減函數(shù)，同時考查了極值的概念.本題的關(guān)鍵點如下：
（1）極值點在何處取得；
（2）隱零點問題在求最值中的運用.
例28．（2022·河南省浚縣第一中學(xué)模擬預(yù)測（理））已知函數(shù)．
(1)討論f(x)的單調(diào)性．
(2)若a＝0，證明：對任意的x>1，都有．
【答案】(1)答案見解析
(2)證明見解析
【解析】
【分析】
（1）分類討論的取值范圍，利用導(dǎo)數(shù)求解函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（2）對原不等式整理化簡得到，將整體代換，并構(gòu)造函數(shù)求解的取值范圍，通過整體代換，構(gòu)造新函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求解函數(shù)的極值，結(jié)合的取值范圍，即可證明.
(1)解：由題意可得．
當(dāng)時，恒成立，則在上單調(diào)遞增；
當(dāng)時，由，得，由，得，
則在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．
綜上，當(dāng)時，在R上單調(diào)遞增；
當(dāng)時，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．
(2)
證明：由題得，時，對任意的，都有，即，
等價于，即.
設(shè)，則．
由，得；由，得．
則在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
故，即，即，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立．
設(shè)，則．
由，得；由，得．
則在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．
因為，，所以有解，
則，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立．
即，即．
【點睛】
導(dǎo)函數(shù)中常用的兩種常用的轉(zhuǎn)化方法：一是利用導(dǎo)數(shù)研究含參函數(shù)的單調(diào)性，常化為不等式恒成立問題．注意分類討論與數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用；二是函數(shù)的零點、不等式證明常轉(zhuǎn)化為函數(shù)的單調(diào)性、極(最)值問題處理．

相關(guān)試卷

最新高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)講義重難點突破篇 專題25 圓中的范圍與最值問題：

這是一份最新高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)講義重難點突破篇 專題25 圓中的范圍與最值問題，文件包含專題25圓中的范圍與最值問題教師版docx、專題25圓中的范圍與最值問題學(xué)生版docx等2份試卷配套教學(xué)資源，其中試卷共62頁， 歡迎下載使用。

最新高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)講義重難點突破篇 專題22 立體幾何中的軌跡問題：

這是一份最新高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)講義重難點突破篇 專題22 立體幾何中的軌跡問題，文件包含專題22立體幾何中的軌跡問題教師版docx、專題22立體幾何中的軌跡問題學(xué)生版docx等2份試卷配套教學(xué)資源，其中試卷共80頁， 歡迎下載使用。

最新高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)講義重難點突破篇 專題17 向量中的隱圓問題：

這是一份最新高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)講義重難點突破篇 專題17 向量中的隱圓問題，文件包含專題17向量中的隱圓問題教師版docx、專題17向量中的隱圓問題學(xué)生版docx等2份試卷配套教學(xué)資源，其中試卷共35頁， 歡迎下載使用。

英語朗讀寶

相關(guān)試卷 更多

最新高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)講義重難點突破篇 專題12 導(dǎo)數(shù)中的“距離”問題

最新高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)講義重難點突破篇 專題12 導(dǎo)數(shù)中的“距離”問題
最新高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)講義重難點突破篇 專題10 利用導(dǎo)數(shù)解決一類整數(shù)問題

最新高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)講義重難點突破篇 專題10 利用導(dǎo)數(shù)解決一類整數(shù)問題
最新高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)講義重難點突破篇 專題06 雙變量問題

最新高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)講義重難點突破篇 專題06 雙變量問題
【講通練透】重難點突破11 導(dǎo)數(shù)中的同構(gòu)問題（六大題型）-2024年高考數(shù)學(xué)重難點突破精講

【講通練透】重難點突破11 導(dǎo)數(shù)中的同構(gòu)問題（六大題型）-2024年高考數(shù)學(xué)重難點突破精講
資料下載及使用幫助
版權(quán)申訴
版權(quán)申訴
若您為此資料的原創(chuàng)作者，認為該資料內(nèi)容侵犯了您的知識產(chǎn)權(quán)，請掃碼添加我們的相關(guān)工作人員，我們盡可能的保護您的合法權(quán)益。
入駐教習(xí)網(wǎng)，可獲得資源免費推廣曝光，還可獲得多重現(xiàn)金獎勵，申請 精品資源制作， 工作室入駐。
版權(quán)申訴二維碼
高考專區(qū)
歡迎來到教習(xí)網(wǎng)
  • 900萬優(yōu)選資源，讓備課更輕松
  • 600萬優(yōu)選試題，支持自由組卷
  • 高質(zhì)量可編輯，日均更新2000+
  • 百萬教師選擇，專業(yè)更值得信賴
微信掃碼注冊
qrcode
二維碼已過期
刷新

微信掃碼，快速注冊

手機號注冊
手機號碼

手機號格式錯誤

手機驗證碼 獲取驗證碼

手機驗證碼已經(jīng)成功發(fā)送，5分鐘內(nèi)有效

設(shè)置密碼

6-20個字符，數(shù)字、字母或符號

注冊即視為同意教習(xí)網(wǎng)「注冊協(xié)議」及「隱私條款」
QQ注冊
手機號注冊
微信注冊

注冊成功

返回
頂部