【中考二輪】2024年中考數(shù)學(xué)【熱點?重點?難點】（全國通用）熱點05 二次函數(shù)的圖象及簡單應(yīng)用（8大題型滿分技巧限時分層檢測）-專題訓(xùn)練.zip-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

中考數(shù)學(xué)中《二次函數(shù)的圖象及簡單應(yīng)用》部分主要考向分為五類：
一、二次函數(shù)圖象與性質(zhì)（每年1道，3~4分）
二、二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系（每年1題，3~4份）
三、二次函數(shù)與一元二次方程（每年1~2道，4~8分）
四、二次函數(shù)的簡單應(yīng)用（每年1題，6~10分）
二次函數(shù)是初中數(shù)學(xué)三中函數(shù)中知識點和性質(zhì)最多的一個函數(shù)，也是中考數(shù)學(xué)中的重點和難點，考簡答題時經(jīng)常在二次函數(shù)的幾何背景下，和其他幾何圖形一起出成壓軸題；也經(jīng)常出應(yīng)用題利用二次函數(shù)的增減性考察問題的最值。此外，二次函數(shù)的性質(zhì)、二次函數(shù)與系數(shù)的關(guān)系、二次函數(shù)上點的坐標(biāo)特征也是中考中經(jīng)常考到的考點，都需要大家準(zhǔn)確記憶二次函數(shù)的對應(yīng)考點。只有熟悉掌握二次函數(shù)的一系列考點，才能在遇到對應(yīng)問題時及時提取有用信息來應(yīng)對。
考向一：二次函數(shù)圖象與性質(zhì)
【題型1 二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)】
1．（2023?沈陽）二次函數(shù)y＝﹣（x+1）2+2圖象的頂點所在的象限是（）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D(zhuǎn)．第四象限
2．（2023?蘭州）已知二次函數(shù)y＝﹣3（x﹣2）2﹣3，下列說法正確的是（）
A．對稱軸為直線x＝﹣2B．頂點坐標(biāo)為（2，3）
C．函數(shù)的最大值是﹣3D．函數(shù)的最小值是﹣3
3．（2023?陜西）在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)y＝x2+mx+m2﹣m（m為常數(shù)）的圖象經(jīng)過點（0，6），其對稱軸在y軸左側(cè)，則該二次函數(shù)有（）
A．最大值5B．最大值C．最小值5D．最小值
【題型2 二次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征】
1．（2023?廣東）如圖，拋物線y＝ax2+c經(jīng)過正方形OABC的三個頂點A，B，C，點B在y軸上，則ac的值為（）
A．﹣1B．﹣2C．﹣3D．﹣4
2．若點P（m，n）在拋物線y＝ax2（a≠0）上，則下列各點在拋物線y＝a（x+1）2上的是（）
A．（m，n+1）B．（m+1，n）C．（m，n﹣1）D．（m﹣1，n）
3．（2023?十堰）已知點A（x1，y1）在直線y＝3x+19上，點B（x2，y2），C（x3，y3）在拋物線y＝x2+4x﹣1上，若y1＝y(tǒng)2＝y(tǒng)3，x1＜x2＜x3，則x1+x2+x3的取值范圍是（）
A．﹣12＜x1+x2+x3＜﹣9B．﹣8＜x1+x2+x3＜﹣6
C．﹣9＜x1+x2+x3＜0D．﹣6＜x1+x2+x3＜1
【題型3 二次函數(shù)圖象與幾何變換】
1．（2023?廣西）將拋物線y＝x2先向右平移3個單位，再向上平移4個單位，得到的拋物線是（）
A．y＝（x﹣3）2+4B．y＝（x+3）2+4
C．y＝（x﹣3）2﹣4D．y＝（x+3）2﹣4
2．（2023?西藏）將拋物線y＝（x﹣1）2+5平移后，得到拋物線的解析式為y＝x2+2x+3，則平移的方向和距離是（）
A．向右平移2個單位長度，再向上平移3個單位長度
B．向右平移2個單位長度，再向下平移3個單位長度
C．向左平移2個單位長度，再向上平移3個單位長度
D．向左平移2個單位長度，再向下平移3個單位長度
3．（2023?益陽）我們在學(xué)習(xí)一次函數(shù)、二次函數(shù)圖象的平移時知道：將一次函數(shù)y＝2x的圖象向上平移1個單位得到y(tǒng)＝2x+1的圖象；將二次函數(shù)y＝x2+1的圖象向左平移2個單位得到y(tǒng)＝（x+2）2+1的圖象，若將反比例函數(shù)y＝的圖象向下平移3個單位，如圖所示，則得到的圖象對應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式是．
考向二：二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系
【題型4 二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系】
1．（2023?阜新）如圖，二次函數(shù)y＝ax2+bx+c的圖象與x軸的一個交點為（3，0），對稱軸是直線x＝1，下列結(jié)論正確的是（）
A．a(chǎn)bc＜0
B．2a+b＝0
C．4ac＞b2
D．點（﹣2，0）在函數(shù)圖象上
2．（2023?眉山）如圖，二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a≠0）的圖象與x軸的一個交點坐標(biāo)為（1，0），對稱軸為直線x＝﹣1，下列四個結(jié)論：
①abc＜0；
②4a﹣2b+c＜0；
③3a+c＝0；
④當(dāng)﹣3＜x＜1時，ax2+bx+c＜0．
其中正確結(jié)論的個數(shù)為（）
A．1個B．2個C．3個D．4個
3．（2023?婁底）已知二次函數(shù)y＝ax2+bx+c的圖象如圖所示，給出下列結(jié)論：
①abc＜0；
②4a﹣2b+c＞0；
③a﹣b＞m（am+b）（m為任意實數(shù)）；
④若點（﹣3，y1）和點（3，y2）在該圖象上，則y1＞y2；
其中正確的結(jié)論是（）
A．①②B．①④C．②③D．②④
4．（2023?黃石）已知二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a≠0）的圖象經(jīng)過三點A（x1，y1），B（x2，y2），C（﹣3，0），且對稱軸為直線x＝﹣1．有以下結(jié)論：①a+b+c＝0；②2c+3b＝0；③當(dāng)﹣2＜x1＜﹣1，0＜x2＜1時，有y1＜y2；④對于任何實數(shù)k＞0，關(guān)于x的方程ax2+bx+c＝k（x+1）必有兩個不相等的實數(shù)根．其中結(jié)論正確的有（）
A．1個B．2個C．3個D．4個
5．（2023?青島）如圖，二次函數(shù)y＝ax2+bx+c的圖象與正比例函數(shù)y＝kx的圖象相交于A，B兩點，已知點A的橫坐標(biāo)為﹣3，點B的橫坐標(biāo)為2，二次函數(shù)圖象的對稱軸是直線x＝﹣1．下列結(jié)論：①abc＜0；②3b+2c＞0；③關(guān)于x的方程ax2+bx+c＝kx的兩根為x1＝﹣3，x2＝2；④k＝a．其中正確的是 .（只填寫序號）
考向三：二次函數(shù)與一元二次方程
【題型5 拋物線與x軸交點問題】
1．（2023?自貢）經(jīng)過A（2﹣3b，m），B（4b+c﹣1，m）兩點的拋物線y＝﹣x2+bx﹣b2+2c（x為自變量）與x軸有交點，則線段AB的長為（）
A．10B．12C．13D．15
2．（2023?婁底）如圖，拋物線y＝ax2+bx+c與x軸相交于點A（1，0）、點B（3，0），與y軸相交于點C，點D在拋物線上，當(dāng)CD∥x軸時，CD＝．
3．（2023?郴州）已知拋物線y＝x2﹣6x+m與x軸有且只有一個交點，則m＝．
4．（2023?泰州）二次函數(shù)y＝x2+3x+n的圖象與x軸有一個交點在y軸右側(cè)，則n的值可以是 .（填一個值即可）
5．（2023?黑龍江）如圖，拋物線y＝ax2+bx+3與x軸交于A（﹣3，0），B（1，0）兩點．交y軸于點C．
（1）求拋物線的解析式；
（2）拋物線上是否存在一點P，使得S△PBC＝S△ABC，若存在，請直接寫出點P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．
【題型6 二次函數(shù)與不等式】
1．（2023?新疆）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線y1＝mx+n與拋物線y2＝ax2+bx﹣3相交于點A，B．結(jié)合圖象，判斷下列結(jié)論：①當(dāng)﹣2＜x＜3時，y1＞y2；②x＝3是方程ax2+bx﹣3＝0的一個解；③若（﹣1，t1），（4，t2）是拋物線上的兩點，則t1＜t2；④對于拋物線y2＝ax2+bx﹣3，當(dāng)﹣2＜x＜3時，y2的取值范圍是0＜y2＜5．其中正確結(jié)論的個數(shù)是（）
A．4個B．3個C．2個D．1個
2．（2023?通遼）如圖，拋物線y＝ax2+bx+c（a≠0）與x軸交于點（x1，0），（2，0），其中0＜x1＜1 下列四個結(jié)論：①abc＜0；②a+b+c＞0；③2b+3c＜0；④不等式ax2+bx+c＜﹣x+c的解集為0＜x＜2．其中正確結(jié)論的個數(shù)是（）
A．1B．2C．3D．4
考向四：二次函數(shù)的應(yīng)用
【題型7 利用二次函數(shù)的性質(zhì)求最值】
1．（2023?臨沂）綜合與實踐：
問題情境
小瑩媽媽的花卉超市以15元/盆的價格新購進(jìn)了某種盆栽花卉，為了確定售價，小瑩幫媽媽調(diào)查了附近A，B，C，D，E五家花卉店近期該種盆栽花卉的售價與日銷售量情況，記錄如下：
數(shù)據(jù)整理：
（1）請將以上調(diào)查數(shù)據(jù)按照一定順序重新整理，填寫在下表中：
模型建立
（2）分析數(shù)據(jù)的變化規(guī)律，找出日銷售量與售價間的關(guān)系．
拓廣應(yīng)用
（3）根據(jù)以上信息，小瑩媽媽在銷售該種花卉中，
①要想每天獲得400元的利潤，應(yīng)如何定價？
②售價定為多少時，每天能夠獲得最大利潤？
2．（2023?十堰）“端午節(jié)”吃粽子是中國傳統(tǒng)習(xí)俗，在“端午節(jié)”來臨前，某超市購進(jìn)一種品牌粽子，每盒進(jìn)價是40元，并規(guī)定每盒售價不得少于50元，日銷售量不低于350盒．根據(jù)以往銷售經(jīng)驗發(fā)現(xiàn)，當(dāng)每盒售價定為50元時，日銷售量為500盒，每盒售價每提高1元，日銷售量減少10盒．設(shè)每盒售價為x元，日銷售量為p盒．
（1）當(dāng)x＝60時，p＝；
（2）當(dāng)每盒售價定為多少元時，日銷售利潤W（元）最大？最大利潤是多少？
（3）小強說：“當(dāng)日銷售利潤最大時，日銷售額不是最大．”小紅說：“當(dāng)日銷售利潤不低于8000元時，每盒售價x的范圍為60≤x≤80．”你認(rèn)為他們的說法正確嗎？若正確，請說明理由；若不正確，請直接寫出正確的結(jié)論．
【題型8 將實際問題轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)模型】
1．（2023?天津）如圖，要圍一個矩形菜園ABCD，其中一邊AD是墻，且AD的長不能超過26m，其余的三邊AB，BC，CD用籬笆，且這三邊的和為40m，有下列結(jié)論：①AB的長可以為6m；②AB的長有兩個不同的值滿足菜園ABCD面積為192m2；③菜園ABCD面積的最大值為200m2．其中，正確結(jié)論的個數(shù)是（）
A．0B．1C．2D．3
2．（2023?長春）2023年5月28日，C919商業(yè)首航完成——中國民航商業(yè)運營國產(chǎn)大飛機正式起步．12時31分航班抵達(dá)北京首都機場，穿過隆重的“水門禮”（寓意“接風(fēng)洗塵”，是國際民航中高級別的禮儀）．如圖①，在一次“水門禮”的預(yù)演中，兩輛消防車面向飛機噴射水柱，噴射的兩條水柱近似看作形狀相同的拋物線的一部分．如圖②，當(dāng)兩輛消防車噴水口A、B的水平距離為80米時，兩條水柱在拋物線的頂點H處相遇．此時相遇點H距地面20米，噴水口A、B距地面均為4米．若兩輛消防車同時后退10米，兩條水柱的形狀及噴水口A′、B′到地面的距離均保持不變，則此時兩條水柱相遇點H'距地面
米．
3．（2023?河南）小林同學(xué)不僅是一名羽毛球運動愛好者，還喜歡運用數(shù)學(xué)知識對羽毛球比賽進(jìn)行技術(shù)分析，下面是他對擊球線路的分析．
如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點A，C在x軸上，球網(wǎng)AB與y軸的水平距離 OA＝3m，CA＝2m，擊球點P在y軸上．若選擇扣球，羽毛球的飛行高度y（m）與水平距離x（m）近似滿足一次函數(shù)關(guān)系y＝﹣0.4x+2.8；若選擇吊球，羽毛球的飛行高度y（m）與水平距離x（m）近似滿足二次函數(shù)關(guān)系y＝a（x﹣1）2+3.2．
（1）求點P的坐標(biāo)和a的值；
（2）小林分析發(fā)現(xiàn)，上面兩種擊球方式均能使球過網(wǎng)．要使球的落地點到C點的距離更近，請通過計算判斷應(yīng)選擇哪種擊球方式．
（建議用時：40分鐘）
1．（2023?大連）已知二次函數(shù)y＝x2﹣2x﹣1，當(dāng)0≤x≤3時，函數(shù)的最大值為（）
A．﹣2B．﹣1C．0D．2
2．（2023?臺州）拋物線y＝ax2﹣a（a≠0）與直線y＝kx交于A（x1，y1），B（x2，y2）兩點，若x1+x2＜0，則直線y＝ax+k一定經(jīng)過（）
A．第一、二象限B．第二、三象限
C．第三、四象限D(zhuǎn)．第一、四象限
3．（2023?安徽）下列函數(shù)中，y的值隨x值的增大而減小的是（）
A．y＝x2+1B．y＝﹣x2+1C．y＝2x+1D．y＝﹣2x+1
4．（2023?邵陽）已知P1（x1，y1），P2（x2，y2）是拋物線y＝ax2+4ax+3（a是常數(shù)，a≠0）上的點，現(xiàn)有以下四個結(jié)論：①該拋物線的對稱軸是直線x＝﹣2；②點（0，3）在拋物線上；③若x1＞x2＞﹣2，則y1＞y2；④若y1＝y(tǒng)2，則x1+x2＝﹣2，其中，正確結(jié)論的個數(shù)為（）
A．1個B．2個C．3個D．4個
5．（2023?河南）二次函數(shù)y＝ax2+bx的圖象如圖所示，則一次函數(shù)y＝ax+b的圖象一定不經(jīng)過（）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D(zhuǎn)．第四象限
6．（2023?湖北）已知二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a＜0）的圖象與x軸的一個交點坐標(biāo)為（﹣1，0），對稱軸為直線x＝1，下列結(jié)論中：①a﹣b+c＝0；②若點（﹣3，y1），（2，y2），（4，y3）均在該二次函數(shù)圖象上，則y1＜y2＜y3；③若m為任意實數(shù)，則am2+bm+c?﹣4a；④方程ax2+bx+c+1＝0的兩實數(shù)根為x1，x2，且x1＜x2，則x1＜﹣1，x2＞3．正確結(jié)論的序號為（）
A．①②③B．①③④C．②③④D．①④
7．（2023?巴中）在平面直角坐標(biāo)系中，直線y＝kx+1與拋物線y＝x2交于A、B兩點，設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），則下列結(jié)論正確的個數(shù)為（）
①x1?x2＝﹣4．
②y1+y2＝4k2+2．
③當(dāng)線段AB長取最小值時，則△AOB的面積為2．
④若點N（0，﹣1），則AN⊥BN．
A．1B．2C．3D．4
8．（2023?福建）已知拋物線y＝ax2﹣2ax+b（a＞0）經(jīng)過A（2n+3，y1），B（n﹣1，y2）兩點，若A，B分別位于拋物線對稱軸的兩側(cè)，且y1＜y2，則n的取值范圍是．
9．（2023?樂至縣）如圖，拋物線y＝ax2+bx+c（a≠0）的對稱軸為直線x＝﹣2，且過點（1，0）．現(xiàn)有以下結(jié)論：①abc＜0；②5a+c＝0；③對于任意實數(shù)m，都有2b+bm≤4a﹣am2；④若點A（x1，y1）、B（x2，y2）是圖象上任意兩點，且|x1+2|＜|x2+2|，則y1＜y2，其中正確的結(jié)論是（）
A．①②B．②③④C．①②④D．①②③④
10．（2023?麗水）一個球從地面豎直向上彈起時的速度為10米/秒，經(jīng)過t（秒）時球距離地面的高度h（米）適用公式h＝10t﹣5t2，那么球彈起后又回到地面所花的時間t（秒）是（）
A．5B．10C．1D．2
11．（2023?菏澤）若一個點的縱坐標(biāo)是橫坐標(biāo)的3倍，則稱這個點為“三倍點”，如：A（1，3），B（﹣2，﹣6），C（0，0）等都是“三倍點”．在﹣3＜x＜1的范圍內(nèi)，若二次函數(shù)y＝﹣x2﹣x+c的圖象上至少存在一個“三倍點”，則c的取值范圍是（）
A．﹣≤c＜1B．﹣4≤c＜﹣3C．﹣≤c＜6D．﹣4≤c＜5
12．（2023?南充）拋物線y＝﹣x2+kx+k﹣與x軸的一個交點為A（m，0），若﹣2≤m≤1，則實數(shù)k的取值范圍是（）
A．≤k≤1B．k≤﹣或k≥1
C．﹣5≤k≤D．k≤﹣5或k≥
13．（2023?寧波）已知二次函數(shù)y＝ax2﹣（3a+1）x+3（a≠0），下列說法正確的是（）
A．點（1，2）在該函數(shù)的圖象上
B．當(dāng)a＝1且﹣1≤x≤3時，0≤y≤8
C．該函數(shù)的圖象與x軸一定有交點
D．當(dāng)a＞0時，該函數(shù)圖象的對稱軸一定在直線x＝的左側(cè)
14．（2023?隨州）如圖，已知開口向下的拋物線y＝ax2+bx+c與x軸交于點（6，0），對稱軸為直線x＝2．則下列結(jié)論正確的有（）
①abc＜0；
②a﹣b+c＞0；
③方程cx2+bx+a＝0的兩個根為x1＝，x2＝﹣；
④拋物線上有兩點P（x1，y1）和Q（x2，y2），若x1＜2＜x2且x1+x2＞4，則y1＜y2．
A．1個B．2個C．3個D．4個
15．（2023?宜昌）如圖，一名學(xué)生推鉛球，鉛球行進(jìn)高度y（單位：m）與水平距離x（單位：m）之間的關(guān)系是y＝﹣（x﹣10）（x+4），則鉛球推出的距離OA＝ m．
16．（2023?巴中）規(guī)定：如果兩個函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對稱，那么稱這兩個函數(shù)互為“Y函數(shù)”．例如：函數(shù)y＝x+3與y＝﹣x+3互為“Y函數(shù)”．若函數(shù)y＝x2+（k﹣1）x+k﹣3的圖象與x軸只有一個交點，則它的“Y函數(shù)”圖象與x軸的交點坐標(biāo)為．
17．（2023?武漢）拋物線y＝ax2+bx+c（a，b，c是常數(shù)，c＜0）經(jīng)過（1，1），（m，0），（n，0）三點，且n≥3．下列四個結(jié)論：
①b＜0；
②4ac﹣b2＜4a；
③當(dāng)n＝3時，若點（2，t）在該拋物線上，則t＞1；
④若關(guān)于x的一元二次方程ax2+bx+c＝x有兩個相等的實數(shù)根，則．
其中正確的是（填寫序號）．
18．（2023?紹興）已知二次函數(shù)y＝﹣x2+bx+c．
（1）當(dāng)b＝4，c＝3時，
①求該函數(shù)圖象的頂點坐標(biāo)；
②當(dāng)﹣1≤x≤3時，求y的取值范圍；
（2）當(dāng)x≤0時，y的最大值為2；當(dāng)x＞0時，y的最大值為3，求二次函數(shù)的表達(dá)式．
19．（2023?北京）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，M（x1，y1），N（x2，y2）是拋物線y＝ax2+bx+c（a＞0）上任意兩點，設(shè)拋物線的對稱軸為x＝t．
（1）若對于x1＝1，x2＝2，有y1＝y(tǒng)2，求t的值；
（2）若對于0＜x1＜1，1＜x2＜2，都有y1＜y2，求t的取值范圍．
20．（2023?南京）已知二次函數(shù)y＝ax2﹣2ax+3（a為常數(shù)，a≠0）．
（1）若a＜0，求證：該函數(shù)的圖象與x軸有兩個公共點．
（2）若a＝﹣1，求證：當(dāng)﹣1＜x＜0時，y＞0．
（3）若該函數(shù)的圖象與x軸有兩個公共點（x1，0），（x2，0），且﹣1＜x1＜x2＜4，則a的取值范圍是．
21．（2023?杭州）設(shè)二次函數(shù)y＝ax2+bx+1（a≠0，b是實數(shù)）．已知函數(shù)值y和自變量x的部分對應(yīng)取值如下表所示：
（1）若m＝4，
①求二次函數(shù)的表達(dá)式；
②寫出一個符合條件的x的取值范圍，使得y隨x的增大而減?。?br>（2）若在m，n，p這三個實數(shù)中，只有一個是正數(shù)，求a的取值范圍．
22．（2023?淮安）已知二次函數(shù)y＝x2+bx﹣3（b為常數(shù)）．
（1）該函數(shù)圖象與x軸交于A、B兩點，若點A坐標(biāo)為（3，0），
①b的值是，點B的坐標(biāo)是；
②當(dāng)0＜y＜5時，借助圖象，求自變量x的取值范圍；
（2）對于一切實數(shù)x，若函數(shù)值y＞t總成立，求t的取值范圍（用含b的式子表示）；
（3）當(dāng)m＜y＜n時（其中m、n為實數(shù)，m＜n），自變量x的取值范圍是1＜x＜2，求n與b的值及m的取值范圍．
23．（2023?云南）數(shù)和形是數(shù)學(xué)研究客觀物體的兩個方面，數(shù)（代數(shù)）側(cè)重研究物體數(shù)量方面，具有精確性，形（幾何）側(cè)重研究物體形的方面，具有直觀性．?dāng)?shù)和形相互聯(lián)系，可用數(shù)來反映空間形式，也可用形來說明數(shù)量關(guān)系．?dāng)?shù)形結(jié)合就是把兩者結(jié)合起來考慮問題，充分利用代數(shù)、幾何各自的優(yōu)勢，數(shù)形互化，共同解決問題．
同學(xué)們，請你結(jié)合所學(xué)的數(shù)學(xué)解決下列問題．
在平面直角坐標(biāo)系中，若點的橫坐標(biāo)、縱坐標(biāo)都為整數(shù)，則稱這樣的點為整點．設(shè)函數(shù)y＝（4a+2）x2+（9﹣6a）x﹣4a+4（實數(shù)a為常數(shù)）的圖象為圖象T．
（1）求證：無論a取什么實數(shù)，圖象T與x軸總有公共點；
（2）是否存在整數(shù)a，使圖象T與x軸的公共點中有整點？若存在，求所有整數(shù)a的值；若不存在，請說明理由．
25．（2023?朝陽）某超市以每件10元的價格購進(jìn)一種文具，銷售時該文具的銷售單價不低于進(jìn)價且不高于19元．經(jīng)過市場調(diào)查發(fā)現(xiàn)，該文具的每天銷售數(shù)量y（件）與銷售單價x（元）之間滿足一次函數(shù)關(guān)系，部分?jǐn)?shù)據(jù)如下表所示：
（1）直接寫出y與x之間的函數(shù)關(guān)系式；
（2）若該超市每天銷售這種文具獲利192元，則銷售單價為多少元？
（3）設(shè)銷售這種文具每天獲利w（元），當(dāng)銷售單價為多少元時，每天獲利最大？最大利潤是多少元？
26．（2023?溫州）一次足球訓(xùn)練中，小明從球門正前方8m的A處射門，球射向球門的路線呈拋物線．當(dāng)球飛行的水平距離為6m時，球達(dá)到最高點，此時球離地面3m．已知球門高OB為2.44m，現(xiàn)以O(shè)為原點建立如圖所示直角坐標(biāo)系．
（1）求拋物線的函數(shù)表達(dá)式，并通過計算判斷球能否射進(jìn)球門（忽略其他因素）；
（2）對本次訓(xùn)練進(jìn)行分析，若射門路線的形狀、最大高度均保持不變，則當(dāng)時他應(yīng)該帶球向正后方移動多少米射門，才能讓足球經(jīng)過點O正上方2.25m處？
26．（2023?濟(jì)南）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，正方形ABCD的頂點A，B在x軸上，C（2，3），D（﹣1，3）．拋物線y＝ax2﹣2ax+c（a＜0）與x軸交于點E（﹣2，0）和點F．
（1）如圖1，若拋物線過點C，求拋物線的表達(dá)式和點F的坐標(biāo)；
（2）如圖2，在（1）的條件下，連接CF，作直線CE，平移線段CF，使點C的對應(yīng)點P落在直線CE上，點F的對應(yīng)點Q落在拋物線上，求點Q的坐標(biāo)；
（3）若拋物線y＝ax2﹣2ax+c（a＜0）與正方形ABCD恰有兩個交點，求a的取值范圍．
（建議用時：45分鐘）
1．（2024?瀘縣一模）對于拋物線y＝﹣+3，下列說法正確的是（）
A．開口向上，頂點坐標(biāo)（﹣5，3）
B．開口向上，頂點坐標(biāo)（5，3）
C．開口向下，頂點坐標(biāo)（﹣5，3）
D．開口向下，頂點坐標(biāo)（5，3）
2．（2023?西安一模）對于二次函數(shù)y＝﹣4（x+6）2﹣5的圖象，下列說法正確的是（）
A．圖象與y軸交點的坐標(biāo)是（0，5）
B．對稱軸是直線x＝6
C．頂點坐標(biāo)為（﹣6，5）
D．當(dāng)x＜﹣6時，y隨x的增大而增大
3．（2023?橫山區(qū)模擬）已知拋物線y＝﹣x2+2x+c，若點（0，y1）（1，y2）（3，y3）都在該拋物線上，則y1、y2、y3的大小關(guān)系是（）
A．y3＞y1＞y2B．y3＜y2＜y1C．y3＞y2＞y1D．y3＜y1＜y2
4．（2024?深圳模擬）將拋物線y＝﹣（x﹣1）2+4先向左平移2個單位，再向下平移3個單位后，拋物線的解析式為（）
A．y＝﹣（x+1）2+1B．y＝﹣（x+3）2+1
C．y＝﹣（x﹣3）2+1D．y＝﹣（x+1）2+7
5．（2024?應(yīng)縣一模）在同一平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)y＝ax2與一次函數(shù)y＝bx+c的圖象如圖所示，則二次函數(shù)y＝ax2+bx﹣c的圖象可能是（）
A．B．C．D．
6．（2023?定遠(yuǎn)縣二模）在同一直角坐標(biāo)系中，一次函數(shù)y＝ax﹣b與二次函數(shù)y＝bx2+ax的圖象可能是（）
A．
B．
C．
D．
7．（2024?碑林區(qū)校級二模）已知拋物線y＝ax2﹣4ax+b（a＜0）經(jīng)過A（m﹣3，y1），B（m+1，y2）兩點，若A，B分別位于拋物線對稱軸的兩側(cè)，且y1＞y2，則m的值可能是（）
A．1B．2C．3D．4
8．（2023?江北區(qū)一模）已知拋物線y＝（x﹣b）2+c經(jīng)過A（1﹣n，y1），B（n，y2），C（n+3，y3）三點，y1＝y(tǒng)3．當(dāng)1﹣n≤x≤n時，二次函數(shù)的最大值與最小值的差為16，則n的值為（）
A．﹣5B．3C．D．4
9．（2024?雁塔區(qū)校級二模）點P（t，n）在以直線x＝1為對稱軸的二次函數(shù)y＝x2+ax+4的圖象上，則t﹣n的最大值等于（）
A．B．C．D．
10．（2024?旺蒼縣一模）如圖，二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a≠0）的圖象經(jīng)過點（1，2）且與x軸交點的橫坐標(biāo)分別為x1，x2其中﹣1＜x1＜0，1＜x2＜2，下列結(jié)論：①abc＞0；②2a+b＜0；③4a+2b+c＜0；④4ac﹣b2＞8a；⑤a≤﹣1，其中，結(jié)論正確的個數(shù)有（）
A．2個B．3個C．4個D．5個
11．（2024?鞍山模擬）如圖，以40m/s的速度將小球沿與地面成30°角的方向擊出時，小球的飛行路線將是一條拋物線．如果不考慮空氣阻力，小球的飛行高度h（單位：m）與飛行時間t（單位：s）之間具有函數(shù)關(guān)系h＝20t﹣5t2．下列敘述正確的是（）
A．小球的飛行高度不能達(dá)到15m
B．小球的飛行高度可以達(dá)到25m
C．小球從飛出到落地要用時4s
D．小球飛出1s時的飛行高度為10m
12．（2023?鼓樓區(qū)校級模擬）如圖，拋物線y＝ax2+c與直線y＝mx+n交于A（﹣1，p），B（3，q）兩點，則不等式ax2﹣mx+c＞n的解為（）
A．x＞﹣1B．x＜3C．x＜﹣1或x＞3D．﹣1＜x＜3
13．（2023?營口）如圖，拋物線y＝ax2+bx+c（a≠0）與x軸交于點A（﹣3，0）和點B（1，0），與y軸交于點C．下列說法：①abc＜0；②拋物線的對稱軸為直線x＝﹣1；③當(dāng)﹣3＜x＜0時，ax2+bx+c＞0；④當(dāng)x＞1時，y隨x的增大而增大；⑤am2+bm≤a﹣b（m為任意實數(shù)），其中正確的個數(shù)是（）
A．1個B．2個C．3個D．4個
14．（2023?西湖區(qū)校級二模）已知拋物線y＝ax2+bx+c（a≠0）經(jīng)過不同的兩點A（2﹣m，n），B（m，n），下列說法正確的是（）
A．若m＞2時都有n＞c，則a＜0
B．若m＞1 時都有n＜c，則a＜0
C．若m＜0時都有n＞c，則a＞0
D．若m＜0時都有n＜c，則a＞0
15．（2023?紫金縣一模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點A、E在拋物線y＝ax2上，過點A、E分別作y軸的垂線，交拋物線于點B、F，分別過點E、F作x軸的垂線交線段AB于兩點C、D．當(dāng)點E（2，4），四邊形CDFE為正方形時，則線段AB的長為（）
A．4B．4C．5D．5
16．（2024?雁塔區(qū)校級一模）如圖，拋物線y＝ax2+bx+c的一部分經(jīng)過點A（﹣1，0），且其對稱軸是直線x＝2，則一元二次方程ax2+bx+c＝0的根是．
17．（2022?洛陽三模）有一條拋物線，兩位同學(xué)分別說了它的一個特點：
甲：對稱軸是直線x＝4；
乙：頂點到x軸的距離為2．
請你寫出一個符合條件的解析式：．
18．（2024?鞍山模擬）如圖，二次函數(shù)y＝﹣x2+2x+3的圖象與x軸交于點A，B（點A在點B左側(cè)），與y軸交于點C．點P是此函數(shù)圖象上在第一象限內(nèi)的一動點，當(dāng)S△PCB＝3時，點P的坐標(biāo)為．
19．（2023?成都模擬）在平面直角坐標(biāo)系中，如果一個點的橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)互為相反數(shù)，則稱該點為“黎點”．例如（﹣1，1），（2023，﹣2023）都是“黎點”．若拋物線y＝ax2﹣9x+c（a，c為常數(shù)）上有且只有一個“黎點”，當(dāng)a＞1時，c的取值范圍是．
20．（2024?歷下區(qū)校級模擬）如圖，拋物線C1的解析式為y＝﹣x2+4，將拋物線繞點O順時針旋轉(zhuǎn)45°得到圖形G，圖形G分別與y軸、x軸正半軸交于點A、B，連接AB，則△OAB的面積為．
21．（2024?浙江模擬）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線y＝ax2+bx+c（a，b，c為常數(shù)，且a≠0）經(jīng)過A（﹣2，﹣4）和B（3，1）兩點．
（1）求b和c的值（用含a的代數(shù)式表示）；
（2）若該拋物線開口向下，且經(jīng)過C（2m﹣3，n），D（7﹣2m，n）兩點，當(dāng)k﹣3＜x＜k+3時，y隨x的增大而減小，求k的取值范圍；
（3）已知點M（﹣6，5），N（2，5），若該拋物線與線段MN恰有一個公共點時，結(jié)合函數(shù)圖象，求a的取值范圍．
22．（2023?永興縣二模）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，對于點P（x，y）和Q（x，y′），給出如下定義：
如果y′＝，那么稱點Q為點P的“關(guān)聯(lián)點”．
例如點（5，6）的“關(guān)聯(lián)點”為點（5，6），點（﹣5，6）的“關(guān)聯(lián)點”為點（﹣5，﹣6）．
（1）在點E（0，0），F(xiàn)（2，5），G（﹣1，﹣1），H（﹣3，5）中，的“關(guān)聯(lián)點”在函數(shù)y＝2x+1的圖象上；
（2）如果一次函數(shù)y＝x+3圖象上點M的“關(guān)聯(lián)點”是N（m，2），求點M的坐標(biāo)；
（3）如果點P在函數(shù)y＝﹣x2+4（﹣2＜x≤a）的圖象上，其“關(guān)聯(lián)點”Q的縱坐標(biāo)y′的取值范圍是﹣4＜y′≤4，求實數(shù)a的取值范圍．
23．（2024?澗西區(qū)校級一模）一座拋物線型拱橋如圖所示，當(dāng)橋下水面寬度AB為20米時，拱頂點O距離水面的高度為4米．如圖，以點O為坐標(biāo)原點，以橋面所在直線為x軸建立平面直角坐標(biāo)系．
（1）求拋物線的解析式；
（2）汛期水位上漲，一艘寬為5米的小船裝滿物資，露出水面部分的高度為3米（橫截面可看作是長為5m，寬為3m的矩形），若它恰好能從這座拱橋下通過，求此時水面的寬度（結(jié)果保留根號）．
24．（2024?鎮(zhèn)海區(qū)校級模擬）某款旅游紀(jì)念品很受游客喜愛，每個紀(jì)念品進(jìn)價40元，規(guī)定銷售單價不低于44元，且不高于52元．某商戶在銷售期間發(fā)現(xiàn)，當(dāng)銷售單價定為44元時，每天可售出300個，銷售單價每上漲1元，每天銷量減少10個．現(xiàn)商家決定提價銷售，設(shè)每天銷售量為y個，銷售單價為x元．
（1）求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式；
（2）將紀(jì)念品的銷售單價定為多少元時，商家每天銷售紀(jì)念品獲得的利潤w元最大？最大利潤是多少元？
（3）該商戶從每天的利潤中捐出200元做慈善，為了保證捐款后每天剩余利潤不低于2200元，求銷售單價x的范圍．
25．（2023?柘城縣三模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y＝﹣x2+bx+c（b，c為常數(shù)）與x軸正半軸的交點坐標(biāo)是（1，0），對稱軸為直線x＝﹣2．
（1）求拋物線的解析式．
（2）點A，B均在這個拋物線上，點A的橫坐標(biāo)為a，點B的橫坐標(biāo)為a+4，將A，B兩點之間的部分（包括A，B兩點）記為圖象G，設(shè)圖象G的最高點的縱坐標(biāo)與最低點的縱坐標(biāo)的差為h．
①當(dāng)A，B兩點的縱坐標(biāo)相等時，求h的值；
②當(dāng)0＜h＜9時，直接寫出a的取值范圍．
26．（2024?石家莊一模）跳臺滑雪是冬季奧運會的比賽項目之一．如圖，運動員通過助滑道后在點A處起跳經(jīng)空中飛行后落在著陸坡BC上的點P處，他在空中飛行的路線可以看作拋物線的一部分．這里OA表示起跳點A到地面OB的距離，OC表示著陸坡BC的高度，OB表示著陸坡底端B到點O的水平距離．建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，從起跳到著陸的過程中，運動員的豎直高度y（單位：m）與水平距離x（單位：m）近似滿足函數(shù)關(guān)系y＝﹣+bx+c．已知OA＝70m，OC＝60m，落點P的水平距離是40m，豎直高度是30m．
（1）點A的坐標(biāo)是，點P的坐標(biāo)是；
（2）求滿足的函數(shù)關(guān)系y＝﹣+bx+c；
（3）運動員在空中飛行過程中，當(dāng)他與著陸坡BC豎直方向上的距離達(dá)到最大時，直接寫出此時的水平距離．
27．（2024?碑林區(qū)校級一模）陜北窯洞，具有十分濃厚的民俗風(fēng)情和鄉(xiāng)土氣息．如圖所示，某窯洞口的下部近似為矩形OABC，上部近似為一條拋物線．已知OA＝3米，AB＝2米，窯洞的最高點M（拋物線的頂點）離地面OA的距離為米．
（1）建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，求拋物線的表達(dá)式；
（2）若在窯洞口的上部要安裝一個正方形窗戶DEFG，使得點D、E在矩形OABC的邊BC上，點F、G在拋物線上，那么這個正方形窗戶DEFG的邊長為多少米？
滿分技巧
對于二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a≠0）的圖象：
形狀：拋物線；對稱軸：直線；頂點坐標(biāo)：；
2、拋物線的增減性問題，由a的正負(fù)和對稱軸同時確定，單一的直接說y隨x的增大而增大（或減小）是不對的，必須在確定a的正負(fù)后，附加一定的自變量x取值范圍；
3、當(dāng)a＞0，拋物線開口向上，函數(shù)有最小值；當(dāng)a＜0，拋物線開口向下，函數(shù)有最大值；而函數(shù)的最值都是定點坐標(biāo)的縱坐標(biāo)。
滿分技巧
牢記一句話，“點在圖象上，點的坐標(biāo)符合其對應(yīng)解析式”，然后，和哪個幾何圖形結(jié)合，多想與之結(jié)合的幾何圖形的性質(zhì)
滿分技巧
1、二次函數(shù)的幾何變化，多考察其平移規(guī)律，對應(yīng)方法是：
①將一般式轉(zhuǎn)化為頂點式；②根據(jù)口訣“左加右減，上加下減”去變化。
2、二次函數(shù)一般式往頂點式轉(zhuǎn)化，可以用頂點公式轉(zhuǎn)化，也可以用配方法
滿分技巧
1、二次函數(shù)圖象與系數(shù)a、b、c的關(guān)系
a的特征與作用
b的特征與作用(a與b“左同右異”）
c的特征與作用
2、二次函數(shù)圖象題符號判斷類問題大致分為以下幾種基本情形∶
①a、b、c單個字母的判斷，a 由開口判斷，b由對稱軸判斷（左同右異），c由圖象與y軸交點判斷;
②含有a、b兩個字母時，考慮對稱軸;
③含有a、b、c三個字母，且a 和b系數(shù)是平方關(guān)系，給x取值，結(jié)合圖像判斷，
例如∶二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a≠0），
當(dāng)x=1時，y=a+b+c，
當(dāng)x=-1時，y=a-b+c，
當(dāng)x=2時，y=4a+2b+c
當(dāng)x=-2 時，y=4a-2b+c;
另：含有 a、b、c 三個字母，a和b系數(shù)不是平方關(guān)系，想辦法消掉一到兩個字母再判斷∶
④含有b2和 4ac，考慮頂點坐標(biāo)，或考慮△.
⑤其他類型，可考慮給x取特殊值，聯(lián)立方程進(jìn)行判斷;也可結(jié)合函數(shù)最值，圖像增減性進(jìn)行判斷。
滿分技巧
1、求拋物線與x軸的交點，就是讓拋物線解析式的y=0，就得到了一元二次方程，而①一元二次方程的解法、②根的判別式、③根與系數(shù)的關(guān)系等性質(zhì)也就分別對應(yīng)①拋物線與x軸交點橫坐標(biāo)、②交點個數(shù)、③交點橫坐標(biāo)與其對稱軸的關(guān)系的考點；
2、求拋物線與直線的交點時，聯(lián)立拋物線與直線的解析式，得新的一元二次方程時，上述結(jié)論與用法大多依然適用，使用時注意聯(lián)想和甄別。
滿分技巧
1、當(dāng)拋物線與x軸相交、與直線相交時，只要有交點，就可以接著考察兩圖象的上下關(guān)系，進(jìn)而得不等式，根據(jù)圖象直接寫出不等式的解集。
2、由函數(shù)圖象直接寫出不等式解集的方法歸納：①根據(jù)圖象找出交點橫坐標(biāo)，②不等式中不等號開口朝向的一方，圖象在上方，對應(yīng)交點的左邊或右邊符合，則x取對應(yīng)一邊的范圍。
滿分技巧
1、利用二次函數(shù)的性質(zhì)求解最值多出現(xiàn)在銷售問題中，利用二次函數(shù)解決銷售中最大利潤問題一般步驟如下：
①設(shè)自變量，用含自變量的代數(shù)式表示銷售單價或銷售量及銷售收入
②用含自變量的代數(shù)式表示銷售商品成本
③用含自變量的關(guān)系式分別表示銷售利潤，根據(jù)銷售利潤=單件利潤×銷售量，得到函數(shù)表達(dá)式
④根據(jù)函數(shù)表達(dá)式求出最值及取得最值時的自變量的值
2.利潤最大化問題與二次函數(shù)模型
牢記兩公式：①單位利潤=售價-進(jìn)價；
②總利潤=單件利潤×銷量；
謹(jǐn)記兩轉(zhuǎn)化：①銷量轉(zhuǎn)化為售價的一次函數(shù)；
②總利潤轉(zhuǎn)化為售價的二次函數(shù)；
函數(shù)性質(zhì)的應(yīng)用：常利用二次函數(shù)的性質(zhì)求出在自變量取值范圍內(nèi)的函數(shù)最值；
售價（元/盆）

日銷售量（盆）

滿分技巧
題型一：利用二次函數(shù)解決拋物線形問題
解決此類問題一般步驟：
①合理建立直角坐標(biāo)系，把已知數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)化為點的坐標(biāo)；
②根據(jù)題意，把所求問題轉(zhuǎn)化為求最值或已知x的范圍就y的值的問題。
題型二：二次函數(shù)在實際生活中的應(yīng)用
利用二次函數(shù)解決生活中的實際問題時，一般先根據(jù)題意建議二次函數(shù)表達(dá)式，并確定自變量的取值范圍，然后利用二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)解決問題。
x
…
﹣1
0
1
2
3
…
y
…
m
1
n
1
p
…
銷售單價x/元
…
12
13
14
…
每天銷售數(shù)量y/件
…
36
34
32
…

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