?熱點(diǎn)05.二次函數(shù)

在各地中考中，二次函數(shù)考查形式靈活多變，大部分的試題難度較大，分值設(shè)置在18分左右。單獨(dú)考查有二次函數(shù)圖象與性質(zhì)、圖形變換（平移、對(duì)稱等）、二次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用（多考查現(xiàn)實(shí)生活中的“利潤(rùn)問(wèn)題”或“最值問(wèn)題”）。而壓軸部分主要考查二次函數(shù)與幾何圖形結(jié)合的面積、周長(zhǎng)、線段的最值問(wèn)題、二次函數(shù)與特殊的幾何圖形結(jié)合的存在性問(wèn)題等。

命題熱點(diǎn)1：二次函數(shù)的解析式
一般情況下：①當(dāng)已知拋物線上的無(wú)規(guī)律的三個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)時(shí)，常用一般式y(tǒng)＝ax2+bx+c（a≠0）求其表達(dá)式；②當(dāng)已知拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)（或者是對(duì)稱軸）時(shí)，常用頂點(diǎn)式y(tǒng)＝a（x-h）2+k（a≠0）求其表達(dá)式；
③當(dāng)已知拋物線與x軸兩交點(diǎn)坐標(biāo)時(shí)，常用交點(diǎn)式y(tǒng)＝a（x-x1）(x-x2)（a≠0）求其表達(dá)式；
命題熱點(diǎn)2：二次函數(shù)圖象及其性質(zhì)1
通過(guò)拋物線的圖形判斷系數(shù)的符號(hào)題型中，通常關(guān)注圖形中的一下幾點(diǎn)：
①拋物線開口的方向可確定a的符號(hào)：拋物線開口向上，a＞0；拋物線開口向下，a＜0
②對(duì)稱軸可確定b的符號(hào)：
對(duì)稱軸在x軸負(fù)半軸，則＜0，即ab＞0；對(duì)稱軸在x軸正半軸，則＞0，即ab＜0
③與y軸交點(diǎn)（0，c）可確定c的符號(hào)：交于y軸負(fù)半軸，則c＜0；交于y軸正半軸，則c＞0
④頂點(diǎn)坐標(biāo)；⑤若與x軸交點(diǎn)，；確定對(duì)稱軸為：x=
⑥韋達(dá)定理： 具體要考慮哪些量，需要視圖形告知的條件而定。
命題熱點(diǎn)3：二次函數(shù)圖象及其性質(zhì)2
二次函數(shù)的單調(diào)性是函數(shù)性質(zhì)的考查重點(diǎn)，主要考向有函數(shù)的最值，函數(shù)值的大小比較。
命題熱點(diǎn)4：二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系
1）二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a≠0），當(dāng)y=0時(shí)，就變成了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）．
2）ax2+bx+c=0（a≠0）的解是拋物線y=ax2+bx+c（a≠0）的圖象與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)．
3）（1）b2–4ac>0?方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，拋物線與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)；
（2）b2–4ac=0?方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，拋物線與x軸有且只有一個(gè)交點(diǎn)；
（3）b2–4ac0，故拋物線開口向上，故A錯(cuò)誤；
頂點(diǎn)坐標(biāo)為（1，5），故B錯(cuò)誤；該函數(shù)有最小值，是小值是5，故C錯(cuò)誤；
當(dāng)時(shí)，y隨x的增大而增大，故D正確，故選：D．
【點(diǎn)睛】本題考查的是拋物線與x軸的交點(diǎn)，主要考查函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，要求學(xué)生非常熟悉函數(shù)與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)、頂點(diǎn)等點(diǎn)坐標(biāo)的求法，及這些點(diǎn)代表的意義及函數(shù)特征．
3．（2022·湖南岳陽(yáng)·中考真題）已知二次函數(shù)（為常數(shù)，），點(diǎn)是該函數(shù)圖象上一點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，，則的取值范圍是（???????）
A．或 B． C．或 D．
【答案】A
【分析】先求出拋物線的對(duì)稱軸及拋物線與軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，再分兩種情況：或，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求得的不同取值范圍便可．
【詳解】解：∵二次函數(shù)，∴對(duì)稱軸為，拋物線與軸的交點(diǎn)為，
∵點(diǎn)是該函數(shù)圖象上一點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，，∴①當(dāng)時(shí)，對(duì)稱軸，
此時(shí)，當(dāng)時(shí)，，即，解得；
②當(dāng)時(shí)，對(duì)稱軸，當(dāng)時(shí)，隨增大而減小，
則當(dāng)時(shí)，恒成立；綜上，的取值范圍是：或．故選：A．
【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，關(guān)鍵是分情況討論．
4．（2022·貴州銅仁·中考真題）如圖，若拋物線與x軸交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，若．則的值為（???????）

A． B． C． D．
【答案】A
【分析】觀察圖象，先設(shè) ，，，根據(jù)已知條件及證明，得出，利用根與系數(shù)的關(guān)系知，最后得出答案．
【詳解】設(shè) ，，，
∵二次函數(shù)的圖象過(guò)點(diǎn)，∴，
∵，，∴，∴，
∴，即，令，
根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系知，∴，故 故選：A．
【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)與關(guān)于方程之間的相互轉(zhuǎn)換，同時(shí)要將線段的長(zhǎng)轉(zhuǎn)化為點(diǎn)的坐標(biāo)之間的關(guān)系，靈活運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的思想是解題關(guān)鍵．
5．（2022·廣西賀州·中考真題）已知二次函數(shù)y=2x2?4x?1在0≤x≤a時(shí)，y取得的最大值為15，則a的值為（???????）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D
【分析】先找到二次函數(shù)的對(duì)稱軸和頂點(diǎn)坐標(biāo)，求出y=15時(shí)，x的值，再根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)得出答案．
【詳解】解：∵二次函數(shù)y=2x2-4x-1=2（x-1）2-3，
∴拋物線的對(duì)稱軸為x=1，頂點(diǎn)（1，-3），
∵1>0，開口向上，∴在對(duì)稱軸x=1的右側(cè)，y隨x的增大而增大，
∵當(dāng)0≤x≤a時(shí)，即在對(duì)稱軸右側(cè)，y取得最大值為15，
∴當(dāng)x=a時(shí)，y=15，∴2（a-1）2-3=15，解得：a=4或a=-2（舍去），故a的值為4．故選：D．
【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)的性質(zhì)、二次函數(shù)的最值，解答本題的關(guān)鍵是二次函數(shù)的增減性，利用二次函數(shù)的性質(zhì)解答．
6．（2022·湖北鄂州·中考真題）如圖，已知二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a、b、c為常數(shù)，且a≠0）的圖像頂點(diǎn)為P（1，m），經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（2，1）；有以下結(jié)論：①a1時(shí)，y隨x的增大而減??；⑤對(duì)于任意實(shí)數(shù)t，總有at2+bt≤a+b，其中正確的有（　?。???

A．2個(gè) B．3個(gè) C．4個(gè) D．5個(gè)
【答案】C
【分析】①根據(jù)拋物線的開口方向向下即可判定；②先運(yùn)用二次函數(shù)圖像的性質(zhì)確定a、b、c的正負(fù)即可解答；③將點(diǎn)A的坐標(biāo)代入即可解答；④根據(jù)函數(shù)圖像即可解答；⑤運(yùn)用作差法判定即可．
【詳解】解：①由拋物線的開口方向向下，則a＜0，故①正確；
②∵拋物線的頂點(diǎn)為P（1，m）∴，b=-2a∵a＜0∴b＞0
∵拋物線與y軸的交點(diǎn)在正半軸∴c＞0∴abc＜0，故②錯(cuò)誤；
③∵拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（2，1）∴1＝a·22+2b+c，即4a+2b+c＝1，故③正確；
④∵拋物線的頂點(diǎn)為P（1，m），且開口方向向下
∴x>1時(shí)，y隨x的增大而減小，即④正確；
⑤∵a＜0∴at2+bt-（a+b）= at2-2at-a+2a= at2-2at+a=a（t2-2t+1）= a（t-1）2≤0
∴at2+bt≤a+b，則⑤正確綜上，正確的共有4個(gè)．故答案為C．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了二次函數(shù)圖像的性質(zhì)，靈活運(yùn)用二次函數(shù)圖像的性質(zhì)以及掌握數(shù)形結(jié)合思想成為解答本題的關(guān)鍵．
7．（2022·湖南株洲·中考真題）已知二次函數(shù)，其中、，則該函數(shù)的圖象可能為（???????）
A． B．C． D．
【答案】C
【分析】利用排除法，由得出拋物線與y軸的交點(diǎn)應(yīng)該在y軸的負(fù)半軸上，排除A選項(xiàng)和D選項(xiàng)，根據(jù)B選項(xiàng)和C選項(xiàng)中對(duì)稱軸，得出，拋物線開口向下，排除B選項(xiàng)，即可得出C為正確答案．
【詳解】解：對(duì)于二次函數(shù)，
令，則，∴拋物線與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為
∵，∴，∴拋物線與y軸的交點(diǎn)應(yīng)該在y軸的負(fù)半軸上，
∴可以排除A選項(xiàng)和D選項(xiàng)；
B選項(xiàng)和C選項(xiàng)中，拋物線的對(duì)稱軸，
∵ ，∴，∴拋物線開口向下，可以排除B選項(xiàng)，
【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)的圖象的性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)圖象與三個(gè)系數(shù)之間的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．
8．（2022·浙江寧波·中考真題）點(diǎn)A（m-1，y1），B（m，y2）都在二次函數(shù)y=（x-1）2+n的圖象上．若y1＜y2，則m的取值范圍為（???????）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根據(jù)y1＜y2列出關(guān)于m的不等式即可解得答案．
【詳解】解：∵點(diǎn)A（m-1，y1），B（m，y2）都在二次函數(shù)y=（x-1）2+n的圖象上，
∴y1=（m-1-1）2+n=（m-2）2+n，y2=（m-1）2+n，
∵y1＜y2，∴（m-2）2+n＜（m-1）2+n，∴（m-2）2-（m-1）2＜0，
即-2m+3＜0，∴m＞，故選：B．
【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，解題的關(guān)鍵是根據(jù)已知列出關(guān)于m的不等式．
9．（2022·山東泰安·中考真題）一元二次方程根的情況是（???????）
A．有一個(gè)正根，一個(gè)負(fù)根 B．有兩個(gè)正根，且有一根大于9小于12
C．有兩個(gè)正根，且都小于12 D．有兩個(gè)正根，且有一根大于12
【答案】D
【分析】將方程轉(zhuǎn)化為一次函數(shù)與二次函數(shù)的交點(diǎn)問(wèn)題求解．畫出函數(shù)圖象，找準(zhǔn)圖象與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)，結(jié)合圖象可選出答案．
【詳解】解：如圖，

由題意二次函數(shù)y=，與y交與點(diǎn)（0，12）與x軸交于（-4，0）（12，0），一次函數(shù)y=，與y交與點(diǎn)（0，15）與x軸交于（9，0）
因此，兩函數(shù)圖象交點(diǎn)一個(gè)在第一象限，一個(gè)在第四象限，所以兩根都大于0，且有一根大于12故選：D．
【點(diǎn)睛】本題考查了拋物線與x軸的交點(diǎn)，利用數(shù)形結(jié)合的思想，畫圖象時(shí)找準(zhǔn)關(guān)鍵點(diǎn)，與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)，由圖象得結(jié)果．
10．（2022·四川自貢·中考真題）已知A(?3，?2) ，B(1，?2)，拋物線y=ax2+bx+c(a>0)頂點(diǎn)在線段AB上運(yùn)動(dòng)，形狀保持不變，與x軸交于C，D兩點(diǎn)（C在D的右側(cè)），下列結(jié)論：
①c≥?2?；②當(dāng)x>0時(shí)，一定有y隨x的增大而增大；
③若點(diǎn)D橫坐標(biāo)的最小值為?5，點(diǎn)C橫坐標(biāo)的最大值為3；
④當(dāng)四邊形ABCD為平行四邊形時(shí)，a=．其中正確的是（???????）
A．①③ B．②③ C．①④ D．①③④
【答案】D
【分析】根據(jù)頂點(diǎn)在線段AB上拋物線與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為（0，c）可以判斷出c的取值范圍，可判斷①；根據(jù)二次函數(shù)的增減性判斷②；先確定x=1時(shí)，點(diǎn)D的橫坐標(biāo)取得最大值，然后根據(jù)二次函數(shù)的對(duì)稱性求出此時(shí)點(diǎn)C的橫坐標(biāo)，即可判斷③；令y=0，利用根與系數(shù)的關(guān)系與頂點(diǎn)的縱坐標(biāo)求出CD的長(zhǎng)度的表達(dá)式，然后根據(jù)平行四邊形的對(duì)邊平行且相等可得AB=CD，然后列出方程求出a的值，判斷④．
【詳解】解：∵點(diǎn)A，B的坐標(biāo)分別為(-3，-2)和(1，-2)，∴線段AB與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為(0，-2)，
又∵拋物線的頂點(diǎn)在線段AB上運(yùn)動(dòng)，拋物線與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為(0，c) ，
∴C≥-2，(頂點(diǎn)在y軸上時(shí)取“=”)，故①正確；∵拋物線的頂點(diǎn)在線段AB上運(yùn)動(dòng)，開口向上，
∴當(dāng)x＞1時(shí)，一定有y隨x的增大而增大，故②錯(cuò)誤；
．???
若點(diǎn)D的橫坐標(biāo)最小值為-5，則此時(shí)對(duì)稱軸為直線x=-3，
根據(jù)二次函數(shù)的對(duì)稱性，點(diǎn)C的橫坐標(biāo)最大值為1+2=3，故③正確；
令y=0，則ax2+bx+c=0，設(shè)該方程的兩根為x1，x2，則x1+x2=-，x1x2=，
∴CD2=( x1-x2) 2=( x1+x2) 2-4x1x2，
根據(jù)頂點(diǎn)坐標(biāo)公式，，∴，即，
∵四邊形ACDB為平行四邊形，∴CD=AB=1-（-3)=4，∴=42=16，解得a=，故④正確；
綜上所述，正確的結(jié)論有①③④．故選：D．
【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的綜合題型，主要利用了二次函數(shù)的頂點(diǎn)坐標(biāo)，二次函數(shù)的對(duì)稱性，根與系數(shù)的關(guān)系，平行四邊形的對(duì)邊平行且相等的性質(zhì)，要注意頂點(diǎn)在y軸上的情況．

11．（2022·福建·中考真題）已知拋物線與x軸交于A，B兩點(diǎn)，拋物線與x軸交于C，D兩點(diǎn)，其中n＞0，若AD＝2BC，則n的值為______．
【答案】8
【分析】先求出拋物線與x軸的交點(diǎn)，拋物線與x軸的交點(diǎn)，然后根據(jù)，得出，列出關(guān)于n的方程，解方程即可。
【詳解】解： 把y=0代入得：，
解得：，，
把y=0代入得：，
解得：，，
∵，∴，∴，
即，，
令，則，解得：，，
當(dāng)時(shí)，，解得：，
∵，∴不符合題意舍去；
當(dāng)時(shí)，，解得：，
∵，∴符合題意；綜上分析可知，n的值為8．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了拋物線與x軸的交點(diǎn)問(wèn)題，根據(jù)題意用n表示出，列出關(guān)于n的方程是解題的關(guān)鍵．
12．（2022·湖北荊州·中考真題）規(guī)定：兩個(gè)函數(shù)，的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，則稱這兩個(gè)函數(shù)互為“Y函數(shù)”．例如：函數(shù)與的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，則這兩個(gè)函數(shù)互為“Y函數(shù)”．若函數(shù)（k為常數(shù)）的“Y函數(shù)”圖象與x軸只有一個(gè)交點(diǎn)，則其“Y函數(shù)”的解析式為______．
【答案】或
【分析】分兩種情況，根據(jù)關(guān)于y軸對(duì)稱的圖形的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)特點(diǎn)，即可求得．
【詳解】解：函數(shù)（k為常數(shù)）的“Y函數(shù)”圖象與x軸只有一個(gè)交點(diǎn)，
函數(shù)（k為常數(shù)）的圖象與x軸也只有一個(gè)交點(diǎn)，
當(dāng)k=0時(shí)，函數(shù)解析為，它的“Y函數(shù)”解析式為，它們的圖象與x軸只有一個(gè)交點(diǎn)，
當(dāng)時(shí)，此函數(shù)是二次函數(shù)，
它們的圖象與x軸都只有一個(gè)交點(diǎn)，它們的頂點(diǎn)分別在x軸上，
，得，故k+1=0，解得k=-1，
故原函數(shù)的解析式為，故它的“Y函數(shù)”解析式為，
故答案為：或．
【點(diǎn)睛】本題考查了新定義，二次函數(shù)圖象與x軸的交點(diǎn)問(wèn)題，坐標(biāo)與圖形變換-軸對(duì)稱，求一次函數(shù)及二次函數(shù)的解析式，理解題意和采用分類討論的思想是解決本題的關(guān)鍵．
13．（2022·貴州黔東南·中考真題）在平面直角坐標(biāo)系中，將拋物線先繞原點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°，再向下平移5個(gè)單位，所得到的拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)是_______．
【答案】
【分析】先把拋物線配方為頂點(diǎn)式，求出定點(diǎn)坐標(biāo)，求出旋轉(zhuǎn)后的拋物線，再根據(jù)“上加下減，左加右減”的法則進(jìn)行解答即可．
【詳解】解：∵，∴拋物線的頂點(diǎn)為（-1，-2），
將拋物線先繞原點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°拋物線頂點(diǎn)為（1，2），
旋轉(zhuǎn)后的拋物線為，再向下平移5個(gè)單位，即．
∴新拋物線的頂點(diǎn)（1，-3） 故答案是：（1，-3）．
【點(diǎn)睛】本題考查的是拋物線的圖象與幾何變換，熟知函數(shù)圖象旋轉(zhuǎn)與平移的法則是解答此題的關(guān)鍵．
14．（2022·山東聊城·中考真題）某食品零售店新上架一款冷飲產(chǎn)品，每個(gè)成本為8元，在銷售過(guò)程中，每天的銷售量y（個(gè)）與銷售價(jià)格x（元/個(gè)）的關(guān)系如圖所示，當(dāng)時(shí)，其圖象是線段AB，則該食品零售店每天銷售這款冷飲產(chǎn)品的最大利潤(rùn)為______________元（利潤(rùn)=總銷售額-總成本）．

【答案】121
【分析】利用待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式，然后根據(jù)“利潤(rùn)=單價(jià)商品利潤(rùn)×銷售量”列出二次函數(shù)關(guān)系式，從而根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)分析其最值．
【詳解】解：當(dāng)時(shí)，設(shè)，把（10，20），（20，10）代入可得：
，解得，
∴每天的銷售量y（個(gè)）與銷售價(jià)格x（元/個(gè)）的函數(shù)解析式為，
設(shè)該食品零售店每天銷售這款冷飲產(chǎn)品的利潤(rùn)為w元，
，
∵10) ，y=(m>0) ，y=?0.1x2+ax+c中選擇適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)模型，模擬①號(hào)田和②號(hào)田的年產(chǎn)量變化趨勢(shì)．(1)小瑩認(rèn)為不能選．你認(rèn)同嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由；
(2)請(qǐng)從小亮提供的函數(shù)模型中，選擇適當(dāng)?shù)哪Ｐ头謩e模擬①號(hào)田和②號(hào)田的年產(chǎn)量變化趨勢(shì)，并求出函數(shù)表達(dá)式；(3)根據(jù)（2）中你選擇的函數(shù)模型，請(qǐng)預(yù)測(cè)①號(hào)田和②號(hào)田總年產(chǎn)量在哪一年最大？最大是多少？
【答案】(1)認(rèn)同，理由見解析
(2)①號(hào)田的函數(shù)關(guān)系式為y=0.5x+1(k>0)；②號(hào)田的函數(shù)關(guān)系式為y=?0.1x2+x+1；
(3)在2024年或2025年總年產(chǎn)量最大，最大是7.6噸．
【分析】（1）根據(jù)年產(chǎn)量變化情況，以及反比例函數(shù)的性質(zhì)即可判斷；
（2）利用待定系數(shù)法求解即可；
（3）設(shè)總年產(chǎn)量為w，依題意得w=?0.1x2+x+1+0.5x+1，利用二次函數(shù)的性質(zhì)即可求解．
(1)解：認(rèn)同，理由如下：
觀察①號(hào)田的年產(chǎn)量變化：每年增加0.5噸，呈一次函數(shù)關(guān)系；
觀察②號(hào)田的年產(chǎn)量變化：經(jīng)過(guò)點(diǎn)（1，1.9），（2，2.6），（3，3.1），
∵1×1.9=1.9，2×2.6=5.2，1.9≠5.2，
∴不是反比例函數(shù)關(guān)系，小瑩認(rèn)為不能選是正確的；
(2)解：由（1）知①號(hào)田符合y=kx+b(k>0)，由題意得，解得：，
∴①號(hào)田的函數(shù)關(guān)系式為y=0.5x+1(k>0)；檢驗(yàn)，當(dāng)x=4時(shí)，y=2+1=3，符合題意；
②號(hào)田符合y=?0.1x2+ax+c，
由題意得，解得：，
∴②號(hào)田的函數(shù)關(guān)系式為y=?0.1x2+x+1；檢驗(yàn)，當(dāng)x=4時(shí)，y=-1.6+4+1=3.4，符合題意；
(3)解：設(shè)總年產(chǎn)量為w，
依題意得：w=?0.1x2+x+1+0.5x+1=?0.1x2+1.5x+2=?0.1(x2-15x+-)+2=?0.1(x-7.5)2+7.625，
∵?0.1

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