TOC \ "1-3" \h \u
\l "_Tc17513" 【題型1 同類二次根式的判斷】 PAGEREF _Tc17513 \h 1
\l "_Tc16179" 【題型2 求同類二次根式中的參數(shù)】 PAGEREF _Tc16179 \h 3
\l "_Tc23646" 【題型3 二次根式的加減運算】 PAGEREF _Tc23646 \h 4
\l "_Tc17779" 【題型4 二次根式的混合運算】 PAGEREF _Tc17779 \h 6
\l "_Tc19681" 【題型5 已知字母的值化簡求值】 PAGEREF _Tc19681 \h 7
\l "_Tc8513" 【題型6 已知條件式化簡求值】 PAGEREF _Tc8513 \h 9
\l "_Tc3094" 【題型7 二次根式的新定義運算】 PAGEREF _Tc3094 \h 11
\l "_Tc23532" 【題型8 二次根式的應用】 PAGEREF _Tc23532 \h 12
【知識點1 同類二次根式】
把幾個二次根式化為最簡二次根式以后，如果被開方數(shù)相同，那么這幾個二次根式叫做同類二次根式．
①同類二次根式類似于整式中的同類項；
②幾個同類二次根式在沒有化簡之前，被開方數(shù)完全可以互不相同；
③判斷兩個二次根式是否是同類二次根式，首先要把它們化為最簡二次根式，然后再看被開方數(shù)是否相同．
【題型1 同類二次根式的判斷】
【例1】（2022春?西華縣期末）下列各組二次根式中，化簡后可以合并的是（ ）
A．3與32B．6與12C．5與75D．12與27
【分析】化簡二次根式，判斷被開方數(shù)是否相同即可得出答案．
【解答】解：A選項，3與42不是同類二次根式，故該選項不符合題意；
B選項，6與23不是同類二次根式，故該選項不符合題意；
C選項，5與53不是同類二次根式，故該選項不符合題意；
D選項，23與33是同類二次根式，可以合并，故該選項符合題意；
故選：D．
【變式1-1】（2022春?郯城縣期中）下列根式中，與6x不是同類二次根式的是（ ）
A．x6B．6xC．16xD．6+x
【分析】根據(jù)同類二次根式的概念進行分析排除，即幾個最簡二次根式的被開方數(shù)相同，則它們是同類二次根式．
【解答】解：A、x6=166x，與6x是同類二次根式；
B、6x=1x6x，與6x是同類二次根式；
C、16x=16x6x，與6x是同類二次根式；
D、6+x與6x不是同類二次根式，
故選：D．
【變式1-2】（2022春?肥城市期中）若兩個二次根式化為最簡二次根式后被開方數(shù)相同，則稱這樣的二次根式為同類二次根式，那么下列各組二次根式，不是同類二次根式的一組是（ ）
A．8與32B．45與20C．27與75D．24與80
【分析】幾個二次根式化簡成最簡二次根式后，如果被開方數(shù)相同，這幾個二次根式叫做同類二次根式．根據(jù)定義逐個判斷可知答案為D
【解答】解：∵24=26，80=45，
∵5≠6，
∴24與 80不是同類二次根式，
故選：D．
【變式1-3】（2022春?河西區(qū)校級月考）下列各式中與a+b是同類二次根式的是（ ）
A．1a(a+b)2B．133(a+b)C．a(chǎn)+b2D．9a+b
【分析】根據(jù)同類二次根式的定義逐個判斷即可．
【解答】解：A、1a(a+b)2=a+ba與a+b不是同類二次根式，故本選項不符合題意；
B、133(a+b)=133a+3b與a+b不是同類二次根式，故本選項不符合題意；
C、a+b2=2a+2b2與a+b不是同類二次根式，故本選項不符合題意；
D、9a+b=3a+ba+b與a+b是同類二次根式，故本選項符合題意；
故選：D．
【題型2 求同類二次根式中的參數(shù)】
【例2】（2022春?懷遠縣期中）已知二次根式?x?2．
（1）求使得該二次根式有意義的x的取值范圍；
（2）已知?x?2為最簡二次根式，且與52為同類二次根式，求x的值，并求出這兩個二次根式的積．
【分析】（1）根據(jù)二次根式有意義的條件得出x﹣2≥0，求出不等式的解集即可；
（2）先求出52=1210，得出x﹣2＝10，求出x即可．
【解答】解：（1）要使?x?2有意義，必須x﹣2≥0，
即x≥2，
所以使得該二次根式有意義的x的取值范圍是x≥2；
（2）52=1210，
所以x﹣2＝10，
解得：x＝12，
這兩個二次根式的積為?10×52=?5．
【變式2-1】（2022秋?倉山區(qū)校級期末）如果最簡二次根式3a+8與12?a是同類二次根式，那么3a的值為 3 ．
【分析】根據(jù)最簡二次根式及同類二次根式概念作答．
【解答】解：由題意得3a+8＝12﹣a，
解得a＝1，
當a＝1時3a=3．
故答案為：3．
【變式2-2】先閱讀下面的解題過程，再回答后面的問題：
如果16(2m+n)和m?n?1m+7在二次根式的加減運算中可以合并成一項，求m、n的值．
解：因為16(2m+n)與m?n?1m+7可以合并
所以m?n?1=216(2m+n)=m+7即m?n=331m+16n=7
解得m=5547n=?8647
問：
（1）以上解是否正確？答 不正確 ．
（2）若以上解法不正確，請給出正確解法．
【分析】（1）要知道，同類二次根式是化簡后被開方數(shù)相同，故要分兩種情況討論．
（2）分兩種情況討論：被開方數(shù)相同和化簡后被開方數(shù)相同．
【解答】解：（1）不正確；
（2）∵16(2m+n)與m?n?1m+7可以合并，
∴m?n?1=22m+n=m+7或m?n?1=216(2m+n)=m+7或m?n?1=24(2m+n)=m+7
解得m=5n=2或m=5547n=?8647或m=1911n=?1411．
故答案為：不正確．
【變式2-3】（2022春?孟村縣期中）若最簡二次根式3x?102x+y?5和x?3y+11是同類二次根式．
（1）求x，y的值；
（2）求x2+y2的值．
【分析】（1）根據(jù)同類二次根式的定義：①被開方數(shù)相同；②均為二次根式；列方程解組求解；
（2）根據(jù)x，y的值和算術(shù)平方根的定義即可求解．
【解答】解：（1）根據(jù)題意知3x?10=22x+y?5=x?3y+11，
解得：x=4y=3；
（2）當x＝4、y＝3時，
x2+y2=42+32=25=5．
【知識點2 二次根式的加減法則】
二次根式相加減，先把各個二次根式化成最簡二次根式，再把被開方數(shù)相同的二次根式進行合并，合并方
法為系數(shù)相加減，根式不變．
【題型3 二次根式的加減運算】
【例3】（2022春?普蘭店區(qū)期中）計算：
（1）18?32+2
（2）7a8a?4a218a+7a2a．
【分析】（1）首先化簡二次根式，進而利用二次根式加減運算法則計算得出答案；
（2）首先化簡二次根式，進而利用二次根式加減運算法則計算得出答案．
【解答】解：（1）18?32+2
＝32?42+2
＝0
（2）7a8a?4a218a+7a2a
＝7a×22a?4a2×2a4a+7a2a
＝14a2a?a2a+7a2a
＝20a2a．
【變式3-1】（2022春?高密市校級月考）計算：
（1）0.25+925+0.49+|?1100|
（2）0.01?1100+（﹣1）3(?0.01)2+0
（3）45+45?8+42．
【分析】（1）先去絕對值符號，根據(jù)數(shù)的開方法則計算出各數(shù)，再由有理數(shù)的加減法則進行計算即可；
（2）先根據(jù)數(shù)的開方法則計算出各數(shù)，再由有理數(shù)的加減法則進行計算即可；
（3）先把各式化為最簡二次根式，再合并同類項即可．
【解答】解：（1）原式＝0.5+35+0.7+110
＝1.9；
（2）原式＝0.1?110?0.01+0
＝﹣0.01；
（3）原式＝45+35?22+42
＝75+22．
【變式3-2】（2022秋?浦東新區(qū)期中）化簡：8ab?b2ab?ab2a（a＞0，b＞0）
【分析】本題較簡單，分別將各二次根式化為最簡，然后合并同類二次根式即可．
【解答】解：原式＝22ab?2ab?2ab2
=2ab2．
【變式3-3】（2022秋?浦東新區(qū)期末）計算下列各式：
（1）5?6?20+23+95
（2）12?0.5?213?18+18
（3）27a?a3a+3a3+12a75a3
（4）23x9x+6xyx+yxy?x21x．
【分析】先將二次根式化為最簡，然后合并同類二次根式即可．
【解答】解：（1）原式=5?6?25+63+355
=?255?263；
（2）原式＝23?22?233?24+32
=433+924；
（3）原式＝33a?3a+3a+523a
=113a2；
（4）原式＝2xx+6xy+xy?xx
＝xx+7xy．
【題型4 二次根式的混合運算】
【例4】（2022春?安慶期末）計算：
（1）48÷3+215×30?（22+3）2
（2）（?12）﹣2﹣（﹣1）2012×(π?2)0?(?4)2+25
【分析】（1）先利用二次根式的乘除法則運算，再利用完全平方公式計算，然后合并即可；
（2）根據(jù)負整數(shù)指數(shù)冪、零指數(shù)冪和二次根式的性質(zhì)計算．
【解答】解：（1）原式=48÷3+215×30?（8+46+3）
＝4+26?11﹣46
＝﹣7﹣26；
（2）原式＝4﹣1×1﹣4+5
＝4﹣1﹣4+5
＝4．
【變式4-1】（2022春?岳池縣期中）計算：2×63+（3?2）2?2（2?6）
【分析】利用乘法公式展開，化簡后合并同類二次根式即可．
【解答】解：2×63+（3?2）2?2（2?6）
＝2+3﹣43+4﹣2+23
＝7﹣23
【變式4-2】（2022春?天心區(qū)校級期中）計算：
（1）（20+5+5）÷5?13×24?5；
（2）18?92?3+63+（3?2）0+(1?2)2．
【分析】（1）原式利用二次根式的乘除法則計算即可得到結(jié)果；
（2）原式各項后，計算即可求出值．
【解答】解：（1）原式＝（4+1+5）?8?5=3+5?22?5=3﹣22；
（2）原式＝32?322?（1+2）+1+（2?1）=322?1?2+1+2?1=322?1．
【變式4-3】（2022秋?昌江區(qū)校級期末）（a+b?aba+b）÷（aab+b+bab?a?a+bab）（a≠b）．
【分析】先將兩個括號內(nèi)的分式分別通分，然后分解因式并約分．
【解答】解：原式=a+ab+b?aba+b÷aab(ab?a)+bab(ab+b)?(a+b)(ab+b)(ab?a)ab(ab+b)(ab?a)
=a+ba+b÷a2?aab?bab?b2?a2+b2ab(a+b)(a?b)
=a+ba+b?ab(a?b)(a+b)?ab(a+b)
=?a+b．
【題型5 已知字母的值化簡求值】
【例5】（2022秋?如東縣期末）已知x＝1?3，求代數(shù)式（4+23）x2+（1?3）x+83．
【分析】將x＝1?3代入原式，再根據(jù)二次根式的性質(zhì)和運算法則計算可得．
【解答】解：當x＝1?3時，
原式＝（4+23）×（1?3）2+（1?3）2+83
＝（4+23）×（4﹣23）+4﹣23+83
＝16﹣12+4﹣23+83
＝8+63．
【變式5-1】（2022秋?楊浦區(qū)期中）計算與求值．
已知a=12+3，求a2?2a+1a?1?a2?2a+1a2?a的值．
【分析】首先關(guān)鍵a的值求得1a=2+3，a﹣1＝1?3＜0，然后把原代數(shù)式變形為a﹣1+1a，再進一步代入求得數(shù)值即可．
【解答】解：∵a=12+3，
∴a＝2?3，
∴1a=2+3，a﹣1＝1?3＜0，
∴a2?2a+1a?1?a2?2a+1a2?a
=(a?1)2a?1+a?1a(a?1)
＝a﹣1+1a
＝1?3+2+3
＝3．
【變式5-2】（2022春?容縣校級月考）已知a＝2，b＝3，求式子a3b?ab+a3b3的值．
【分析】根據(jù)題目中a、b的值可以求得所求式子的值，本題得以解決．
【解答】解：∵a＝2，b＝3，
a3b?ab+a3b3
=aab?ab+abab
＝（a﹣1+ab）ab
＝（2﹣1+2×3）×2×3
＝76．
【變式5-3】（2022秋?天河區(qū)校級月考）已知x=12021?2020，則x6﹣22020x5?x4+x3?22021x2+2x?2021的值為（ ）
A．0B．1C．2020D．2021
【分析】把已知的條件進行分母有理化，再把所求的式子進行整理，再代入相應的值運算即可．
【解答】解：∵x=12021?2020，
∴x=2021+2020，
∴x6﹣22020x5?x4+x3?22021x2+2x?2021
=x4(x2?22020x?1)+x（x2?22021x+2）?2021
=x4[(x?2020)2?2021]+x[(x?2021)2?2019]?2021
=x4[(2021+2020?2020)2?2021]+x[(2021+2020?2021)2?2019]?2021
=x4(2021?2021)+x(2020?2019)?2021
＝x?2021
=2021+2020?2021
=2020．
故選：C．
【題型6 已知條件式化簡求值】
【例6】（2022秋?虹口區(qū)校級期中）已知x?ba=2?x?ab，且a+b＝2，請化簡并求值以下代數(shù)式：x+1?xx+1+x+x+1+xx+1?x．
【分析】解方程得出x＝2，再分母有理化，化簡得出原式＝4x+2，最后代入求出即可．
【解答】解：x?ba=2?x?ab，
b（x﹣b）＝2ab﹣a（x﹣a），
bx+ax＝（a+b）2，
∵a+b＝2，
∴2x＝4，
∴x＝2，
∴x+1?xx+1+x+x+1+xx+1?x
=(x+1?x)2(x+1+x)(x+1?x)+(x+1+x)2(x+1?x)(x+1+x)
＝x+1﹣2x(x+1)+x+x+1+2x(x+1)+x
＝4x+2
＝4×2+2
＝10．
【變式6-1】（2022春?陽信縣期中）已知x?69?x=x?69?x，且x為奇數(shù)，求（1+x）?x2?5x+4x2?1的值．
【分析】先根據(jù)二次根式的乘除法則求出x的值，再把原式進行化簡，把x的值代入進行計算即可．
【解答】解：∵x?69?x=x?69?x，
∴x?6≥09?x＞0，
解得6≤x＜9．
又∵x是奇數(shù)，∴x＝7．
∴（1+x）?x2?5x+4x2?1
＝（1+x）(x?1)(x?4)(x+1)(x?1)
＝（1+x）x?4x+1
∴當x＝7時，
原式＝（1+7）7?47+1
＝26．
【變式6-2】（2022秋?鼓樓區(qū)校級期末）若三個正數(shù)a，b，c滿足a+4ab+3b﹣2bc?c＝0，則a+bc的值是 1 ．
【分析】直接將原式湊成平方差公式，即可得出答案正數(shù)．
【解答】解：a+4ab+3b﹣2bc?c＝0，
(a+2b)2?(b+c)2=0，
∵a，b，c是正數(shù)，
∴a+2b=b+c，
∴a+b=c，
∴a+bc=1．
故答案為：1．
【變式6-3】（2022春?芝罘區(qū)期末）若實數(shù)a，b滿足（a+b）（a+b?2）＝3，則a+b的值是 3 ．
【分析】求出（a+b）2﹣2（a+b）﹣3＝0，再分解因式（a+b?3）（a+b+1）＝0，根據(jù)二次根式的性質(zhì)得出a+b≥0，求出a+b?3＝0即可．
【解答】解：∵實數(shù)a，b滿足（a+b）（a+b?2）＝3，
∴（a+b）2﹣2（a+b）﹣3＝0，
∴（a+b?3）（a+b+1）＝0，
∵a+b≥0，
∴a+b?3＝0，
∴a+b=3，
故答案為：3．
【題型7 二次根式的新定義運算】
【例7】（2022春?鄖陽區(qū)期中）對于任意的正數(shù)m，n定義運算*為：m*n=m?n(m≥n)m+n(m＜n)，計算（3*2）+（8*12）的結(jié)果為 33+2 ．
【分析】結(jié)合有理數(shù)的大小比較和新定義運算法則及二次根式的加減法運算法則先算小括號里面的，然后再算加法．
【解答】解：∵3＞2，8＜12，
∴原式＝（3?2）+（8+12）
=3?2+22+23
＝33+2，
故答案為：33+2．
【變式7-1】（2022春?江岸區(qū)校級月考）對于實數(shù)a、b作新定義：a@b＝ab，a※b＝ab，在此定義下，計算：（43?32）@12?（75?43）※2＝ 1﹣32 ．
【分析】利用新定義：a@b＝ab，a※b＝ab求解即可．
【解答】解：（43?32）@12?（75?43）※2
＝（233?62）×23?（75?43）2
＝（4﹣32）﹣3
＝1﹣32．
故答案為：1﹣32．
【變式7-2】（2022秋?內(nèi)江期末）我們規(guī)定運算符號“△”的意義是：當a＞b時，a△b＝a+b；當a≤b時，a△b＝a﹣b，其它運算符號的意義不變，計算：（3△2）﹣（23△32）＝ ?3+42 ．
【分析】根據(jù)已知將原式化簡進而求出即可．
【解答】解：∵當a＞b時，a△b＝a+b；當a≤b時，a△b＝a﹣b，3＞2，23＜32，
∴（3△2）﹣（23△32）
=3+2?（23?32）
=?3+42．
故答案為：?3+42．
【變式7-3】（2022秋?廈門期末）若a+b＝2，則稱a與b是關(guān)于1的平衡數(shù)．
（1）3與 ﹣1 是關(guān)于1的平衡數(shù)，5?2與 ﹣3+2 是關(guān)于1的平衡數(shù)；
（2）若（m+3）×（1?3）＝﹣5+33，判斷m+3與5?3是否是關(guān)于1的平衡數(shù)，并說明理由．
【分析】（1）根據(jù)所給的例子，可得出平衡數(shù)的求法，由此可得出答案．
（2）根據(jù)所給的等式，解出m的值，進而再代入判斷即可．
【解答】解：（1）由題意得，3+（﹣1）＝2，5?2+（﹣3+2）＝2，
∴3與﹣1是關(guān)于1的平衡數(shù)，5?2與﹣3+2是關(guān)于1的平衡數(shù)．
（2）不是．
∵（m+3）×（1?3）
＝m?3m+3?3，…（5分）
又∵（m+3）×（1?3）＝﹣5+33，
∴m?3m+3?3＝﹣5+33，
∴m?3m＝﹣2+23．
即 m（1?3）＝﹣2（1?3）．
∴m＝﹣2．
∴（m+3）+（5?3）
＝（﹣2+3）+（5?3）
＝3，
∴（﹣2+3）與（5?3）不是關(guān)于1的平衡數(shù)．
【題型8 二次根式的應用】
【例8】（2022春?定州市校級月考）2016年6月4日葫蘆島日報報道，南票區(qū)住建局已全面加大城鎮(zhèn)園林綠化力度，組織環(huán)衛(wèi)工作人員加緊開展9000m2的草坪種植，切實掀起了綠化城區(qū)的熱潮．若環(huán)衛(wèi)工人在一塊長方形的土地上種植草坪，已知該長方形土地的長為243m、寬為128m．
（1）求該長方形土地的周長；
（2）若在該長方形土地上種植造價為每平方米2元的草坪，求在該長方形土地上全部種植草坪的總費用（提示：6≈2.45）
【分析】（1）根據(jù)長方形的周長＝（長+寬）×2，可以解答本題；
（2）根據(jù)長方形的面積＝長×寬和造價為每平方米2元的草坪，可以求得在該長方形土地上全部種植草坪的總費用．
【解答】解：（1）由題意可得，
該長方形土地的周長是：（243+128）×2=(93+82)×2=(183+162)m，
即該長方形土地的周長是(183+162)m；
（2）由題意可得，
在該長方形土地上全部種植草坪的總費用是：243×128×2=93×82×2=1446≈352.8（元），
即在該長方形土地上全部種植草坪的總費用352.8元．
【變式8-1】（2022春?岱岳區(qū)期末）在一個邊長為（23+35）cm的正方形的內(nèi)部挖去一個長為（23+10）cm，寬為（6?5）cm的矩形，求剩余部分圖形的面積．
【分析】用大正方形的面積減去長方形的面積即可求出剩余部分的面積．
【解答】解：剩余部分的面積為：（23+35）2﹣（23+10）（6?5）＝（12+1215+45）﹣（62?215+215?52）＝（57+1215?2）（cm2）．
【變式8-2】（2022春?廣豐區(qū)校級期中）閱讀材料：如果一個三角形的三邊長分別為a，b，c，記p=a+b+c2，那么這個三角形的面積S=p(p?a)(p?b)(p?c)．這個公式叫“海倫公式”，它是利用三角形三條邊的邊長直接求三角形面積的公式．中國的秦九韶也得出了類似的公式，稱三斜求積術(shù)，故這個公式又被稱為“海倫﹣﹣秦九韶公式”．完成下列問題：
如圖，在△ABC中，a＝9，b＝7，c＝8．
（1）求△ABC的面積；
（2）設AB邊上的高為h1，AC邊上的高為h2，求h1+h2的值．
【分析】（1）根據(jù)題意先求p，再將p，a，b，c的值代入題中所列面積公式計算即可；
（2）按照三角形的面積=12×底×高分別計算出h1和h2的值，再求和即可．
【解答】解：（1）根據(jù)題意知p=a+b+c2=9+7+82=12，
所以S=p(p?a)(p?b)(p?c)=12×(12?9)×(12?7)×(12?8)=125，
∴△ABC的面積為125；
（2）∵S=12ch1=12bh2＝125，
∴12×8h1=12×7h2＝125，
∴h1＝35，h2=2475，
∴h1+h2=4575．
【變式8-3】（2022秋?長安區(qū)校級期末）某居民小區(qū)有塊形狀為長方形ABCD的綠地，長方形綠地的長BC為83米，寬AB為98米，現(xiàn)要在長方形綠地中修建一個長方形花壇（即圖中陰影部分），長方形花壇的長為13+1米，寬為13?1米．
（1）長方形ABCD的周長是多少？（結(jié)果化為最簡二次根式）
（2）除去修建花壇的地方．其它地方全修建成通道，通道上要鋪上造價為6元/m2的地磚，要鋪完整個通道，則購買地磚需要花費多少元？（結(jié)果化為最簡二次根式）
【分析】（1）根據(jù)長方形ABCD的周長列出算式，再利用二次根式的混合運算順序和運算法則計算可得；
（2）先計算出空白部分面積，再計算即可，
【解答】解：（1）長方形ABCD的周長＝2×（83+98）＝2（83+72）＝163+142（米），
答：長方形ABCD的周長是163+142（米），
（2）通道的面積=(83×98)?(13+1)(13?1)
＝566?（13﹣1）
＝566?12（平方米），
購買地磚需要花費＝6×（566?12）＝3366?72（元）．
答：購買地磚需要花費3366?72元

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