TOC \ "1-3" \h \u
\l "_Tc2652" 【題型1 判斷三邊能否構(gòu)成直角三角形】 PAGEREF _Tc2652 \h 1
\l "_Tc7249" 【題型2 圖形上與已知兩點(diǎn)構(gòu)成直角三角形的點(diǎn)】 PAGEREF _Tc7249 \h 3
\l "_Tc32186" 【題型3 在網(wǎng)格中判斷直角三角形】 PAGEREF _Tc32186 \h 6
\l "_Tc9878" 【題型4 勾股數(shù)的探究】 PAGEREF _Tc9878 \h 9
\l "_Tc19434" 【題型5 利用勾股定理的逆定理證明】 PAGEREF _Tc19434 \h 13
\l "_Tc9893" 【題型6 利用勾股定理的逆定理求解】 PAGEREF _Tc9893 \h 17
\l "_Tc30460" 【題型7 勾股逆定理的應(yīng)用】 PAGEREF _Tc30460 \h 20
\l "_Tc25171" 【題型8 勾股定理及其逆定理的綜合】 PAGEREF _Tc25171 \h 23
【知識(shí)點(diǎn) 勾股定理的逆定理】
如果三角形的三邊長(zhǎng)a，b，c滿足a2+b2=c2，那么這個(gè)三角形就是直角三角形．
【題型1 判斷三邊能否構(gòu)成直角三角形】
【例1】（2023春·黑龍江哈爾濱·八年級(jí)哈爾濱德強(qiáng)學(xué)校?？计谥校┯删€段a、b、c組成的三角形是直角三角形的是（ ）
A．a(chǎn)=5,b=3,c=3B．a(chǎn)=13,b=15,c=14
C．a(chǎn)=6,b=4,c=5D．a(chǎn)=7,b=24,c=25
【答案】D
【分析】根據(jù)勾股定理的逆定理，進(jìn)行計(jì)算即可解答．
【詳解】解：A、32+32=18≠52，故不能組成直角三角形，故不合題意；
B、152+142=41400≠132，故不能組成直角三角形，故不合題意；
C、42+52=41≠62，故不能組成直角三角形，故不合題意；
D、72+242=625=252，故不能組成直角三角形，故不合題意；
故選：D．
【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理的逆定理，熟練掌握勾股定理的逆定理是解題的關(guān)鍵．
【變式1-1】（2023春·湖北孝感·八年級(jí)統(tǒng)考期中）一個(gè)三角形的三邊長(zhǎng)分別為a，b，c，且滿足a+ba?b=c2，則這個(gè)三角形是（ ）
A．等腰三角形B．直角三角形C．銳角三角形D．不確定
【答案】B
【分析】將原式整理為a2=b2+c2，即可判斷.
【詳解】解：∵a+ba?b=c2，
∴a2?b2=c2，
∴a2=b2+c2，
∴這個(gè)三角形是直角三角形；
故選：B.
【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理的逆定理和平方差公式，熟練掌握勾股定理逆定理、得出a2=b2+c2是解題的關(guān)鍵.
【變式1-2】（2023春·八年級(jí)單元測(cè)試）如圖，以△ABC的兩邊BC、AC分別向外作正方形，它們的面積分別是S1，S2，若S1=2，S2=3，AB2=5，則△ABC的形狀是________三角形．
【答案】直角
【分析】根據(jù)正方形的面積公式結(jié)合勾股定理的逆定理即可得出答案．
【詳解】解：∵S1=2，S2=3，
∴BC2=2，AC2=3，
∵AB2=5，
∴AC2+BC2=AB2，
∴△ABC是直角三角形，
故答案為：直角．
【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理的逆定理和正方形面積的應(yīng)用，理解勾股定理的逆定理的內(nèi)容是解題的關(guān)鍵．
【變式1-3】（2023春·廣東惠州·八年級(jí)?？计谥校┯兴姆N說(shuō)法：①三個(gè)內(nèi)角之比為5:6:1； ②三邊形長(zhǎng)分別為：2,7,5；③三邊之長(zhǎng)為9、40、41；④三邊之比為1.5∶2∶3．其中是直角三角形的有___________（填序號(hào)）．
【答案】①②③
【分析】根據(jù)三角形內(nèi)角和定理和勾股定理進(jìn)行求解即可．
【詳解】解：∵三角形三個(gè)內(nèi)角之比為5:6:1，
∴三角形最大的內(nèi)角為180°×65+6+1=90°，
∴該三角形為直角三角形，故①正確；
∵22+52=72，
∴該三角形為直角三角形，故②正確；
∵92+402=412，
∴該三角形為直角三角形，故③正確；
∵1.52+22≠32，
∴該三角形不是直角三角形，故④錯(cuò)誤；
故答案為：①②③．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角形內(nèi)角和定理，勾股定理得逆定理，熟知三角形內(nèi)角和為180度和勾股定理的逆定理是解題的關(guān)鍵．
【題型2 圖形上與已知兩點(diǎn)構(gòu)成直角三角形的點(diǎn)】
【例2】（2023春·全國(guó)·八年級(jí)專題練習(xí)）同一平面內(nèi)有A，B，C三點(diǎn)，A，B兩點(diǎn)之間的距離為5cm，點(diǎn)C到直線AB的距離為2cm，且△ABC為直角三角形，則滿足上述條件的點(diǎn)C有______個(gè)．
【答案】8
【分析】該題存在兩種情況；（1）AB為斜邊，則∠C=90°；（2）AB為直角邊，AC=2cm或BC=2cm；
【詳解】（1）當(dāng)AB為斜邊時(shí)，點(diǎn)C到直線AB的距離為2cm，即AB邊上的高為2cm，符合要求的C點(diǎn)有4個(gè)，如圖：
（2）當(dāng)AB為直角邊時(shí)，AC=2cm或BC=2cm，符合條件的點(diǎn)有4個(gè)，如圖；
符合要求的C點(diǎn)有8個(gè)；
故答案是8．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了勾股定理的應(yīng)用，準(zhǔn)確分析判斷是解題的關(guān)鍵．
【變式2-1】（2023春·八年級(jí)單元測(cè)試）在如圖所示的5×5的方格圖中，點(diǎn)A和點(diǎn)B均為圖中格點(diǎn)．點(diǎn)C也在格點(diǎn)上，滿足△ABC為以AB為斜邊的直角三角形．這樣的點(diǎn)C有（ ）
A．1個(gè)B．2個(gè)C．3個(gè)D．4個(gè)
【答案】D
【分析】結(jié)合網(wǎng)格的性質(zhì)和直角三角形的判定找到對(duì)應(yīng)點(diǎn)即可．
【詳解】解：如圖，滿足條件的點(diǎn)C共有4個(gè)，
故選D．
【點(diǎn)睛】此題主要考查了勾股定理逆定理，正確進(jìn)行討論，把每種情況考慮全，是解決本題的關(guān)鍵．
【變式2-2】（2023春·全國(guó)·八年級(jí)專題練習(xí)）點(diǎn) A（2，m），B（2，m-5）在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)．若△ABO是直角三角形，則m的值不可能是（ ）
A．4B．2C．1D．0
【答案】B
【分析】分∠OAB＝90°，∠OBA＝90°，∠AOB＝90°三種情況考慮：當(dāng)∠OAB＝90°時(shí)，點(diǎn)A在x軸上，進(jìn)而可得出m＝0；當(dāng)∠OBA＝90°時(shí)，點(diǎn)B在x軸上，進(jìn)而可得出m＝5；當(dāng)∠AOB＝90°時(shí)，利用勾股定理可得出關(guān)于m的一元二次方程，解之即可得出m的值．綜上，對(duì)照四個(gè)選項(xiàng)即可得出結(jié)論．
【詳解】
解：分三種情況考慮（如圖所示）：
當(dāng)∠OAB＝90°時(shí)，m＝0；
當(dāng)∠OBA＝90°時(shí)，m?5＝0，解得：m＝5；
當(dāng)∠AOB＝90°時(shí)，AB2＝OA2＋OB2，即25＝4＋m2＋4＋m2?10m＋25，
解得：m1＝1，m2＝4．
綜上所述：m的值可以為0，5，1，4．
故選B．
【點(diǎn)睛】本題考查了坐標(biāo)與圖形性質(zhì)以及勾股定理，分∠OAB＝90°，∠OBA＝90°，∠AOB＝90°三種情況求出m的值是解題的關(guān)鍵．
【變式2-3】（2023春·全國(guó)·八年級(jí)專題練習(xí)）如圖，方格紙中的每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)均為1，點(diǎn)A，B在小正方形的頂點(diǎn)上，在圖中畫(huà)ΔABC（點(diǎn)C在小正方形的頂點(diǎn)上），使ΔABC為直角三角形，并說(shuō)明理由.（要求畫(huà)出兩個(gè)，且兩個(gè)三角形不全等）
【答案】ΔABC為直角三角形，理由詳見(jiàn)解析.
【分析】根據(jù)勾股定理逆定理和勾股定理進(jìn)行判斷即可.
【詳解】解：如圖所示.
圖1 圖2
如圖1，在ΔABC中，
AC=5，BC=3，
AB2=32+52=34
因?yàn)锳C2+BC2=52+32=34=AB2，
所以∠ACB=90°，
即ΔABC為直角三角形.
如圖2，在RtΔACD中，
AC2=CD2+AD2=12+12=2.
在RtΔBCE中，CB2=CE2+BE2=42+42=32.
在RtΔABF中，AB2=AF2+BF2=32+52=34.
所以AC2+CB2=AB2，
所以∠ACB=90°，即ΔABC為直角三角形.
【點(diǎn)睛】考核知識(shí)點(diǎn)：根據(jù)勾股定理逆定理畫(huà)直角三角形.掌握勾股定理逆定理并會(huì)運(yùn)用是關(guān)鍵.
【題型3 在網(wǎng)格中判斷直角三角形】
【例3】（2023春·北京西城·八年級(jí)?？计谥校┤鐖D，在正方形網(wǎng)格中，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)為1，△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)A，B，C都在格點(diǎn)上，AD是BC邊上的中線，那么AD的長(zhǎng)為（ ）

A．2.5B．3C．22D．5
【答案】A
【分析】由勾股定理可得AC2=5,BC2=25,AB2=20,則AC2+AB2=BC2，即△ABC是直角三角形，然后由直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半即可解答．
【詳解】解：由勾股定理可得AC2=5,BC2=25,AB2=20,
∴AC2+AB2=BC2，即△ABC是直角三角形，
∵AD是BC邊上的中線，
∴AD=12BC=2.5．
故選：A．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了勾股定理、直角三角形斜邊上中線的性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，根據(jù)勾股定理逆定理判定△ABC是直角三角形是基礎(chǔ)，掌握斜邊上的中線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
【變式3-1】（2023春·廣東湛江·八年級(jí)校考階段練習(xí)）如圖，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)為1，A、B、C是小正方形的頂點(diǎn)，則∠ABC的度數(shù)為_(kāi)________．

【答案】45°
【分析】根據(jù)勾股定理得到AB，BC，AC的長(zhǎng)度，再判斷△ABC是等腰直角三角形，進(jìn)而得出結(jié)論．
【詳解】解：如圖，連接AC，

由題意，AC=22+12=5 ，BC=22+12=5，AB=12+32=10，
∴AC=BC，AB2=AC2+BC2，
∴△ABC是等腰直角三角形，且∠ACB=90°，
∴∠ABC=∠CAB=45°．
故答案為：45°．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了勾股定理及其逆定理，等腰直角三角形的判定與性質(zhì)，判斷出△ABC是等腰直角三角形是解決本題的關(guān)鍵．
【變式3-2】（2023春·廣東惠州·八年級(jí)校考階段練習(xí)）如圖，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)為 1．

(1)求四邊形 ABCD的面積與周長(zhǎng)；
(2)求證： ∠BCD=90°．
【答案】(1)周長(zhǎng)為：82+234；面積為：32
(2)見(jiàn)解析
【分析】（1）借助正方形的小格，根據(jù)勾股定理分別計(jì)算四邊形的各邊的長(zhǎng)，從而求得四邊形的周長(zhǎng)；
（2）在△ABC中，根據(jù)勾股定理的逆定理進(jìn)行判定．
【詳解】（1）解：根據(jù)勾股定理可知AB=3 2，BC= 34，CD= 34，AD=5 2，
∴四邊形ABCD的周長(zhǎng)為32+52+34+34=82+234；
面積為：8×8?12×3×3?12×5×5?12×5×3?12×3×5=32．
（2）證明：連接BD，

∵BC= 34，CD= 34，DB= 68，
∴BC2+CD2=BD2．
∴△BCD是直角三角形，即∠BCD=90°．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了勾股定理的運(yùn)用以及勾股定理逆定理的運(yùn)用，掌握勾股定理是解題的關(guān)鍵．
【變式3-3】（2023春·八年級(jí)單元測(cè)試）如圖所示的是2×5的正方形網(wǎng)格，點(diǎn)A，B，P都在網(wǎng)格點(diǎn)上，則∠APB=________．

【答案】135°
【分析】根據(jù)勾股定理和勾股定理的逆定理可得△PCB是等腰直角三角形，可得∠BPC=45°，即可求解．
【詳解】解：延長(zhǎng)AP至C，連接BC，
CP=CB=22+12=5，
BP=32+12=10，
∵(5)2+(5)2=(10)2，即CP2+CB2=BP2，
∴△PCB是等腰直角三角形，
∴∠BPC=45°，
∴∠APB=180°?45°=135°，
故答案為：135°．

【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理和勾股定理的逆定理，關(guān)鍵是得到△PCB是等腰直角三角形．
【題型4 勾股數(shù)的探究】
【例4】（2023春·安徽阜陽(yáng)·八年級(jí)統(tǒng)考期末）法國(guó)數(shù)學(xué)家費(fèi)爾馬早在17世紀(jì)就研究過(guò)形如x2+y2=z2的方程，顯然，這個(gè)方程有無(wú)數(shù)組解．我們把滿足該方程的正整數(shù)的解x,y,z叫做勾股數(shù)．如3,4,5就是一組勾股數(shù)．
(1)請(qǐng)你再寫(xiě)出兩組勾股數(shù)：（___________），（___________）；
(2)在研究直角三角形的勾股數(shù)時(shí)，古希臘的哲學(xué)家柏拉圖曾指出：如果n表示大于1的整數(shù)，x=2n，y=n2?1，z=n2+1，那么，以x，y，z為三邊的三角形為直角三角形（即x，y，z為勾股數(shù)），請(qǐng)你加以證明．
【答案】(1)5，12，13；7，24，25
(2)證明見(jiàn)解析
【分析】（1）根據(jù)x2+y2=z2，即可得出5，12，13、7，24，25是勾股數(shù)；
（2）根據(jù)勾股定理的逆定理，可得答案．
【詳解】（1）∵52+122=169,132=169，
∴52+122=132，
∴5，12，13是勾股數(shù)；
∵72+242=625,252=625，
∴72+242=252，
∴7，24，25是勾股數(shù)；
故答案為：5，12，13；7，24，25；
（2）證明：∵x=2n，y=n2?1，
∴x2+y2
=2n2+n2?12
=4n2+n4?2n2+1
=n4+2n2+1
=n2+12
=z2，
即x，y，z為勾股數(shù)．
∴以x，y，z為三邊的三角形為直角三角形．
【點(diǎn)睛】此題考查勾股逆定理的證明，勾股數(shù)的規(guī)律探究，掌握勾股逆定理的證明，根據(jù)勾股定理得出勾股數(shù)是解題的關(guān)鍵．
【變式4-1】（2023春·四川達(dá)州·八年級(jí)?？计谥校┮韵铝懈鹘M數(shù)據(jù)中的三個(gè)數(shù)，其中是勾股數(shù)的是（ ）
A． 3,4,5B．6，8，10C．1,2,3D．2，3，4
【答案】B
【分析】根據(jù)勾股數(shù)的定義進(jìn)行分析，從而得到答案．
【詳解】解：A、32+42=7，52=5，7≠5，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤；
B、62+82=100，102=100，且100=100，故此選項(xiàng)正確；
C、12+22=3，32=3，3=3，2，3不是整數(shù)，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤；
D、22+32=13，42=16，13≠16，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤．
故答案為：B．
【點(diǎn)睛】此題考查了勾股數(shù)，解答此題要用到勾股定理的逆定理和勾股數(shù)的定義，滿足a2+b2=c2．
【變式4-2】（2023春·全國(guó)·八年級(jí)專題練習(xí)）一個(gè)直角三角形三邊長(zhǎng)都是正整數(shù)，這樣的直角三角形叫做“整數(shù)直角三角形”，這三個(gè)整數(shù)叫做一組“勾股數(shù)”老師給出了下表（其中m，n為正整數(shù)，且m>n）：
(1)探究a，b，c與m，n之間的關(guān)系并用含m，n的代數(shù)式表示：a=______，b=______，c=______．
(2)以a，b，c為邊長(zhǎng)的三角形是否一定為直角三角形？請(qǐng)說(shuō)明理由．
【答案】(1)m2+n2，2mn，m2?n2
(2)以a，b，c為邊長(zhǎng)的三角形一定為直角三角形，理由見(jiàn)解析
【分析】（1）根據(jù)給出的數(shù)據(jù)總結(jié)即可；
（2）分別計(jì)算出a2、b2、c2，根據(jù)勾股定理逆定理進(jìn)行判斷．
【詳解】（1）解：觀察可得a=m2+n2，b=2mn，c=m2?n2，
故答案為：m2+n2，2mn，m2?n2；
（2）以a，b，c為邊長(zhǎng)的三角形一定為直角三角形，理由如下：
a2=(m2+n2)2=m4+2m2n2+n4，
b2+c2=m4?2m2n2+n4+4m2n2=m4+2m2n2+n4，
∴a2=b2+c2，
∴以a，b，c為邊長(zhǎng)的三角形一定為直角三角形．
【點(diǎn)睛】本題考查了勾股數(shù)，勾股定理的逆定理，熟練掌握：如果三角形的三邊長(zhǎng)a,b,c滿足a2+b2=c2，那么這個(gè)三角形就是直角三角形是解題的關(guān)鍵．
【變式4-3】（2023春·重慶北碚·八年級(jí)西南大學(xué)附中?？计谥校┕垂啥ɡ硎且粋€(gè)基本的幾何定理，早在我國(guó)西漢時(shí)期算書(shū)《周髀算經(jīng)》就有“勾三股四弦五”的記載．如果一個(gè)直角三角形三邊長(zhǎng)都是正整數(shù)，這樣的直角三角形叫“整數(shù)直角三角形”；這三個(gè)整數(shù)叫做一組“勾股數(shù)”，如：3，4，5；5，12，13；7，24，25；8，15，17；9，40，41等等都是勾股數(shù)．
（1）小李在研究勾股數(shù)時(shí)發(fā)現(xiàn)，某些整數(shù)直角三角形的斜邊能寫(xiě)成兩個(gè)整數(shù)的平方和，有一條直角邊能寫(xiě)成這兩個(gè)整數(shù)的平方差．如3，4，5中，5＝22+12，3＝22﹣12；5，12，13中，13＝32+22，5＝32﹣22；請(qǐng)證明：m，n為正整數(shù)，且m＞n，若有一個(gè)直角三角形斜邊長(zhǎng)為m2+n2，有一條直角長(zhǎng)為m2﹣n2，則該直角三角形一定為“整數(shù)直角三角形”；
（2）有一個(gè)直角三角形兩直角邊長(zhǎng)分別為7a?7和150?30b，斜邊長(zhǎng)415，且a和b均為正整數(shù)，用含b的代數(shù)式表示a，并求出a和b的值；
（3）若c1＝a12+b12，c2＝a22+b22，其中，a1、a2、b1、b2均為正整數(shù)．證明：存在一個(gè)整數(shù)直角三角形，其斜邊長(zhǎng)為c1?c2．
【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）a=97+30b7，a＝31，b＝4；（3）見(jiàn)解析
【分析】（1）根據(jù)勾股定理：利用（m2+n2）2﹣（m2﹣n2）2，解得另一條直角邊長(zhǎng)為2mn，因?yàn)閙，n為正整數(shù)，所以2mn也為正整數(shù)，即可得證；
（2）首先根據(jù)勾股定理求出a關(guān)于b的代數(shù)式，再根據(jù)被開(kāi)方數(shù)需大于等于0，即可求得a、b的范圍，且a、b均為正整數(shù)，將b的可能值：1，2，3，4分別代入，即可求得符合條件的正整數(shù)a、b；
（3）觀察發(fā)現(xiàn)，當(dāng)a1＝b1＝1，a2＝b2＝2時(shí)，c1?c2＝5×5＝25，而252=152+202，故存在．
【詳解】（1）證明：∵（m2+n2）2﹣（m2﹣n2）2
＝（m2+n2+m2﹣n2）?（m2+n2﹣m2+n2）
＝2m2?2n2
＝（2mn）2，
∴（2mn）2+（m2﹣n2）2＝（m2+n2）2，
∵m，n為正整數(shù)，且m＞n，
∴2mn，m2﹣n2，m2+n2均為正整數(shù)，
∴該直角三角形一定為“整數(shù)直角三角形”；
（2）由勾股定理得：
7a﹣7+（150﹣30b）＝16×15，
∴a=97+30b7，
由題意可知：7a﹣7＞0，150﹣30b＞0，
∴a＞1，0＜b＜5，
∵a和b均為正整數(shù)，
∴b的可能值為：1，2，3，4，
當(dāng)b＝1時(shí)，a=97+307=1277 ，不是正整數(shù)，故b＝1不符合題意；
當(dāng)b＝2時(shí)，a=97+607=1577，不是正整數(shù)，故b＝2不符合題意；
當(dāng)b＝3時(shí)，a=97+907=1877，不是正整數(shù)，故b＝3不符合題意；
當(dāng)b＝4時(shí)，a=97+1207=2177=31，是正整數(shù)，此時(shí)7a?7=210 150?30b=30，
∵2102+302=240，4152=240，
∴2102+302=4152，
∴b＝4符合題意，
∴a=97+30b7，a＝31，b＝4；
（3）證明：觀察發(fā)現(xiàn)，當(dāng)a1＝b1＝1，a2＝b2＝2時(shí)，c1?c2＝5×5＝25，
152+202＝225+400＝625，252＝625，
∴152+202＝252．
∴存在一個(gè)整數(shù)直角三角形，其斜邊長(zhǎng)為c1?c2．
【點(diǎn)睛】本題目考查勾股定理，難度一般，也是中考的常考知識(shí)點(diǎn)，熟練掌握勾股定理的應(yīng)用以及二次根式的相關(guān)性質(zhì)是順利解答此題的關(guān)鍵．
【題型5 利用勾股定理的逆定理證明】
【例5】（2023·江蘇·八年級(jí)假期作業(yè)）如圖，已知CD⊥AB，垂足為D，BD=1，CD=2，AD=4．求證：∠ACB=90°．
【答案】見(jiàn)解析
【分析】根據(jù)勾股定理得出BC2，AC2，進(jìn)而利用勾股定理的逆定理解答即可．
【詳解】證明：∵CD⊥AB，垂足為D，BD=1，CD=2，AD=4，
∴BC2=BD2+CD2=12+22=5，AC2=AD2+CD2=42+22=20，
∵AB=AD+BD=4+1=5，
∴AB2=25=AC2+BC2=20+5，
∴△ABC是直角三角形，
∴∠ACB=90°．
【點(diǎn)睛】此題考查勾股定理及其逆定理，掌握勾股定理與其逆定理的區(qū)別是解題的關(guān)鍵．
【變式5-1】（2023·江蘇·八年級(jí)假期作業(yè)）在△ABC的三邊分別是a、b、c，且a=n2?1,b=2n,c=n2+1，判斷△ABC的形狀，證明你的結(jié)論．
【答案】直角三角形，理由見(jiàn)解析
【分析】根據(jù)勾股定理的逆定理判斷即可．
【詳解】解：∵a=n2?1,b=2n,c=n2+1
∴a2=n2?12=n4?2n2+1，
b2=2n2=4n2，
c2=n2+12=n4+2n2+1，
∴a2+b2=c2，
故△ABC是直角三角形．
【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理的逆定理、完全平方公式，會(huì)利用勾股定理的逆定理判定三角形是否為直角三角形是解答的關(guān)鍵．
【變式5-2】（2023春·八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，以△ABC的每一條邊為邊作三個(gè)正方形．已知這三個(gè)正方形構(gòu)成的圖形中，綠色部分的面積與藍(lán)色部分的面積相等，則△ABC是直角三角形嗎？請(qǐng)證明你的判斷．
【答案】△ABC是直角三角形，證明見(jiàn)解析
【分析】設(shè)坐標(biāo)綠色部分的面積和為a，右邊綠色部分的面積為b，藍(lán)色部分的面積和為c，坐標(biāo)空白部分的面積為d，右邊空白部分的面積為e，
【詳解】設(shè)坐標(biāo)綠色部分的面積和為a，右邊綠色部分的面積為b，藍(lán)色部分的面積和為c，坐標(biāo)空白部分的面積為d，右邊空白部分的面積為e，然后根據(jù)綠色部分的面積與藍(lán)色部分的面積相等列式得到(a+d)+(b+e)=c+d+e，然后由a+d=AC2,b+e=BC2求解即可．．
∵綠色部分的面積與藍(lán)色部分的面積相等
∴a+b=c
∴a+b+d+e=c+d+e
∴(a+d)+(b+e)=c+d+e
∵a+d=AC2,b+e=BC2
∴c+d+e=AB2
∴AC2+BC2=AB2
∴△ABC是直角三角形．
【點(diǎn)睛】此題考查了勾股定理的逆定理的運(yùn)用，解題的關(guān)鍵是熟練掌握勾股定理的逆定理．
【變式5-3】（2023春·江蘇鹽城·八年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，在△ABC中，AB=7，AC=25，AD是中線，點(diǎn)E在AD的延長(zhǎng)線上，且AD=ED=12．
(1)求證：△CDE≌△BDA；
(2)證明：CE⊥AE；
(3)求△ABC的面積．
【答案】(1)見(jiàn)解析
(2)見(jiàn)解析
(3)84
【分析】（1）根據(jù)SAS證明△CDE≌△BDA即可；
（2）結(jié)論：△ACE是直角三角形；首先根據(jù)△CDE≌△BDA，推出CE=AB=7，最后根據(jù)勾股定理的逆定理即可證明；
（3）由全等三角形的性質(zhì)得出S△ABC=S△ACE，所以計(jì)算△ACE的面積，即可得出△ABC的面積．
【詳解】（1）證明：∵AD是邊BC上的中線，
∴BD=CD，
在△BDA和△CDE中，
AD=BD∠ADB=∠EDCBD=CD，
∴△CDE≌△BDA（SAS），
（2）結(jié)論：△ACE是直角三角形；
理由：由（1）知：△CDE≌△BDA,
∴CE=AB=7，
∵AD=ED=12，
∴AE=24，
∵AE2+CE2=242+72=625，AC2=252=625，
∴AE2+CE2=AC2，
∴∠E=90°，
∴△ACE是直角三角形；
（3）∵△CDE≌△BDA，
∴S△CDE+S△ADC=S△ADC+S△BDA，
∴S△ABC=S△ACE，
∵S△ACE=12AE·CE =12×24×7=84，
∴S△ABC=84．
【點(diǎn)睛】此題是三角形的綜合題，考查三角形全等的判定與性質(zhì)，勾股定理的逆定理的運(yùn)用，三角形的面積計(jì)算方法，掌握三角形全等的判定方法與勾股定理逆定理是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．
【題型6 利用勾股定理的逆定理求解】
【例6】（2023春·山西呂梁·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在△ABC中，AB=5，BC=4，AC=3，將三角形紙片沿AD折疊，使點(diǎn)C落在AB邊上的點(diǎn)E處，則△BDE的周長(zhǎng)為（ ）

A．3B．4C．5D．6
【答案】D
【分析】利用勾股定理的逆定理判斷出∠C=90°，利用翻折不變性可得AE=AC=3，推出BE=2，即可解決問(wèn)題．
【詳解】解：在△ABC中，∵AB=5，BC=4，AC=3，
∴AB2=BC2+AC2，
∴△ABC是直角三角形，且∠C=90°，
由翻折的性質(zhì)可知：AE=AC=3，CD=DE，
∴BE=2，
∴△BDE的周長(zhǎng)=DE+BD+BE=CD+BD+BE=BC+BE=4+2=6，
故選：D．
【點(diǎn)睛】本題考查翻折變換，勾股定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握基本知識(shí)，屬于中考常考題型．
【變式6-1】（2023春·湖北襄陽(yáng)·八年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，在△ABC中，點(diǎn)D在AB上，AB=AC，BC=5，BD=3，CD=4．求AC的長(zhǎng)．
【答案】AC=256
【分析】由勾股定理的逆定理判定∠BDC=90°，再在Rt△ADC中利用勾股定理列方程即可解答．
【詳解】解： ∵BC=5，BD=3，CD=4，
∴BD2＋CD2=32＋42=25=BC2．
∴∠BDC=90°．
∴∠ADC=180°?∠BDC=90°．
∴AD2＋CD2＝AC2．
設(shè)AC=x．
∵AB=AC，BD=3，
∴AD=x?3．
∴(x?3)2＋42＝x2．
解得x=256．
∴AC=256．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了勾股定理及其逆定理的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵在于熟練掌握定理，靈活運(yùn)用．
【變式6-2】（2023春·河南開(kāi)封·八年級(jí)統(tǒng)考期末）已知△ABC的三邊分別為a、b、c，且滿足a+2b?112+2a?b?2=10c?25?c2，請(qǐng)你判斷△ABC的形狀，并求出其周長(zhǎng)與面積．
【答案】△ABC是直角三角形，它的周長(zhǎng)是12，面積是6
【分析】首先把原等式變形為a+2b?112+2a?b?2+c?52=0，利用非負(fù)數(shù)的性質(zhì)，建立三元一次方程組，求得a、b、c的數(shù)值，利用勾股定理的逆定理判定三角形的形狀，進(jìn)一步求得周長(zhǎng)和面積即可．
【詳解】解：由題意得a+2b?112+2a?b?2+c2?10c+25=0，
∴a+2b?112+2a?b?2+c?52=0，
∴a+2b?11=02a?b?2=0c?5=0，
∴a=3，b=4，c=5，
∵a2+b2=c2，
∴△ABC是直角三角形，它的周長(zhǎng)是3+4+5=12，
面積是12×3×4=6．
【點(diǎn)睛】此題考查了完全平方公式，非負(fù)數(shù)的性質(zhì)，解三元一次方程組，勾股定理逆定理以及三角形的周長(zhǎng)和面積的計(jì)算方法；注意解題的思路與方法的靈活性．
【變式6-3】（2023春·陜西榆林·八年級(jí)?？计谀┮阎凇鰽CB中，AC=12,BC=5,AB=13，點(diǎn)E為邊AC上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)F為邊AB上的動(dòng)點(diǎn)，則FE+EB的最小值是_________．
【答案】12013
【分析】先根據(jù)勾股定理的逆定理可得∠ACB=90°，再作點(diǎn)B關(guān)于AC的對(duì)稱點(diǎn)B′，連接B′E,B′F,AB′，然后根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短、垂線段最短可得當(dāng)B′F⊥AB時(shí)，線段FE+EB的值最小，最小值為B′F，最后利用三角形的面積公式即可得．
【詳解】解：∵在△ACB中，AC=12,BC=5,AB=13，
∴AC2+BC2=AB2，
∴△ABC是直角三角形，且∠ACB=90°，
如圖，作點(diǎn)B關(guān)于AC的對(duì)稱點(diǎn)B′，連接B′E,B′F,AB′，
∴B′C=BC=5,BB′=2BC=10,B′E=BE，
∴FE+EB=FE+B′E，
由兩點(diǎn)之間線段最短可知，當(dāng)點(diǎn)B′,E,F共線時(shí)，F(xiàn)E+B′E最小，最小值為B′F，
由垂線段最短可知，當(dāng)B′F⊥AB時(shí)，B′F的值最小，
又∵S△ABB′=12AB?B′F=12AC?BB′，
∴12×13B′F=12×12×10，
解得B′F=12013，
即FE+EB的最小值為12013，
故答案為：12013．
【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理的逆定理、兩點(diǎn)之間線段最短、垂線段最短、軸對(duì)稱的性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，熟練掌握軸對(duì)稱的性質(zhì)和勾股定理的逆定理是解題關(guān)鍵．
【題型7 勾股逆定理的應(yīng)用】
【例7】（2023春·廣東廣州·八年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，在筆直的公路AB旁有一座山，從山另一邊的C處到公路上的停靠站A的距離為AC=15km，與公路上另一?？空綛的距離為BC=20km，?？空続、B之間的距離為AB=25km，為方便運(yùn)輸貨物現(xiàn)要從公路AB上的D處開(kāi)鑿隧道修通一條公路到C處，且CD⊥AB．
(1)請(qǐng)判斷△ABC的形狀？
(2)求修建的公路CD的長(zhǎng)．
【答案】(1)直角三角形
(2)12km
【分析】（1）根據(jù)勾股定理的逆定理，由AC2+BC2=AB2得到△ABC是直角三角形．
（2）利用△ABC的面積公式可得，CD?AB=AC?BC，從而求出CD的長(zhǎng)．
【詳解】（1）解：△ABC是直角三角形．
理由：∵AC=15km，BC=20km，AB=25km，
∴ 152+202=252，
∴AC2+BC2=AB2，
∴∠ACB=90°，
∴△ABC是直角三角形．
（2）解：∵CD⊥AB，
∴S△ABC=12AB?CD=12AC?BC，
∴CD=AC?BCAB=15×2025=12km．
答：修建的公路CD的長(zhǎng)是12km．
【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理，勾股定理逆定理的應(yīng)用，以及三角形的面積公式等知識(shí)，熟練掌握勾股定理及其逆定理是解題的關(guān)鍵．
【變式7-1】（2023春·廣西南寧·八年級(jí)南寧市天桃實(shí)驗(yàn)學(xué)校?？茧A段練習(xí)）森林火災(zāi)是一種常見(jiàn)的自然災(zāi)害，危害很大．隨著中國(guó)科技、經(jīng)濟(jì)的不斷發(fā)展，開(kāi)始應(yīng)用飛機(jī)灑水的方式撲滅火源．如圖，△ABC區(qū)域內(nèi)是一片森林，有一臺(tái)救火飛機(jī)沿東西方向AB，由點(diǎn)A飛向點(diǎn)B，已知點(diǎn)C為其中一個(gè)著火點(diǎn)，且點(diǎn)C與點(diǎn)A，B的距離分別為600m和800m，又AB=1000m，飛機(jī)中心周圍500m以內(nèi)可以受到灑水影響．
(1)求△ABC的面積．
(2)著火點(diǎn)C能否受到灑水影響？為什么？
【答案】(1)240000m2
(2)受影響
【分析】（1）利用勾股定理的逆定理得出△ABC是直角三角形，再利用面積公式計(jì)算即可；
（2）過(guò)點(diǎn)C作CD⊥AB于D，利用三角形面積得出CD的長(zhǎng)，進(jìn)而得出海港C是否受臺(tái)風(fēng)影響．
【詳解】（1）解：∵AC=600m，BC=800m，AB=1000m，
∴AC2+BC2=AB2，
∴△ABC是直角三角形，
∴S△ABC=12×AC×BC=240000m2；
（2）如圖，過(guò)點(diǎn)C作CD⊥AB于D，
∴S△ΔABC=12AC?BC=12CD?AB，
∴600×800=1000CD，
∴CD=480，
∵飛機(jī)中心周圍500m以內(nèi)可以受到灑水影響，
∴著火點(diǎn)C受灑水影響．
【點(diǎn)睛】本題考查的是勾股定理在實(shí)際生活中的運(yùn)用，解答此類題目的關(guān)鍵是構(gòu)造出直角三角形，再利用勾股定理解答．
【變式7-2】（2023春·廣西桂林·八年級(jí)統(tǒng)考期中）一根12米的電線桿AB，用鐵絲AC、AD固定，現(xiàn)已知用去鐵絲AC＝15米，AD＝13米，又測(cè)得地面上B、C兩點(diǎn)之間距離是9米，B、D兩點(diǎn)之間距離是5米，則電線桿和地面是否垂直，為什么？
【答案】電線桿和地面垂直，理由見(jiàn)解析
【分析】由勾股定理的逆定理判斷△ABD是直角三角形，△ABC是直角三角形，即可解答．
【詳解】解：電線桿和地面垂直，理由如下：
連接BD
在△ABD中，∵BD2+AB2＝52+122＝169＝132＝AD2，
∴△ABD是直角三角形，且∠ABD＝90°，
∴AB⊥BD，
在△ABC中，∵BC2+AB2＝92+122＝225＝152＝AC2，
∴△ABC是直角三角形，且∠ABC＝90°，
∴AB⊥BC，
∴電線桿和地面垂直．
【點(diǎn)睛】本題考查勾股定理的逆定理，是重要考點(diǎn)，掌握相關(guān)知識(shí)是解題關(guān)鍵．
【變式7-3】（2023春·八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）海面上有兩個(gè)疑似漂浮目標(biāo)．A艦艇以12海里/時(shí)的速度離開(kāi)港口O，向北偏西50°方向航行；同時(shí)，B艦艇在同地以16海里/時(shí)的速度向北偏東一定角度的航向行駛，如圖所示，離開(kāi)港口5小時(shí)后兩船相距100海里，則B艦艇的航行方向是______．
【答案】北偏東40°
【分析】根據(jù)勾股定理的逆定理判斷△AOB是直角三角形，求出∠BOD的度數(shù)即可．
【詳解】由題意得，OA=12×5=60（海里），OB=16×5=80（海里），
又∵AB=100海里，
∵602+802=1002，
即OB2+OA2=AB2
∴∠AOB=90°，
∵∠DOA=50°，
∴∠BOD=40°，
則B艦艇的航行方向是北偏東40°，
故答案為：北偏東40°．
【點(diǎn)睛】本題考查的是勾股定理的逆定理的應(yīng)用和方位角的知識(shí)，根據(jù)題意判斷出△AOB是直角三角形是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．
【題型8 勾股定理及其逆定理的綜合】
【例8】（2023春·全國(guó)·八年級(jí)期末）如圖，在△ABC中，D是△ABC內(nèi)一點(diǎn)，連接AD、BD，且AD⊥BD．已知AD=4，BD=3，AC=13，BC=12．則圖中陰影部分的面積為_(kāi)_______．

【答案】24
【分析】先根據(jù)勾股定理求出AB，然后根據(jù)勾股定理的逆定理，得△ABC是直角三角形，根據(jù)陰影部分的面積S等于S△ABC?S△ABD，即可．
【詳解】∵AD⊥BD，
∴AB2=AD2+BD2，
∵AD=4，BD=3，
∴AB=5，
∵AC=13，BC=12，
∴AC2=169，BC2=144，AB2=25，
∴AC2=BC2+AB2，
∴△ABC是直角三角形，
設(shè)陰影部分的面積S，
∴S=S△ABC?S△ABD=12×AB×BC?12×AD×BD，
∴S=24，
∴設(shè)陰影部分的面積為：24．
故答案為：24．
【點(diǎn)睛】本題考查勾股定理的知識(shí)，解題的關(guān)鍵是掌握勾股定理的運(yùn)用和勾股定理的逆定理．
【變式8-1】（2023春·江西贛州·八年級(jí)期中）如圖，已知正方形ABCD的邊長(zhǎng)為4，E為AB中點(diǎn)，F(xiàn)為AD上的一點(diǎn)，且AF=14AB，求證：∠FEC=90°．
【答案】見(jiàn)解析
【分析】由正方形的性質(zhì)和已知求得AF=1，F(xiàn)D=3，由中點(diǎn)的性質(zhì)得AE=EB=2，利用勾股定理求得EF，EC，F(xiàn)C，再根據(jù)勾股定理的逆定理，即可得出結(jié)論．
【詳解】證明：∵正方形ABCD的邊長(zhǎng)為4，且AF=14AB，
∴AF=1，F(xiàn)D=3，DC=BC=4，
∵E為AB的中點(diǎn)，
∴AE=EB=2，
在Rt△AEF中，EF=AF2+AE2=12+22=5，
在Rt△DFC中，F(xiàn)C=DF2+DC2=32+42=5，
在Rt△EBC中，EC=EB2+BC2=22+42=25．
∴EC2+EF2=FC2，
∴△EFC是以EC、EF為直角邊的直角三角形，
∴∠FEC=90°．
【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理和勾股定理的逆定理及正方形的性質(zhì)，利用勾股定理求出三角形三邊長(zhǎng)，再利用勾股定理逆定理解答是證明此題的關(guān)鍵．
【變式8-2】（2023春·重慶九龍坡·八年級(jí)重慶實(shí)驗(yàn)外國(guó)語(yǔ)學(xué)校?？茧A段練習(xí)）為迎接六十周年校慶，重慶外國(guó)語(yǔ)學(xué)校準(zhǔn)備將一塊三角形空地ABC進(jìn)行新的規(guī)劃，如圖，點(diǎn)D是BC邊上的一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)D作垂直于AC的小路DE，點(diǎn)E在AC邊上．經(jīng)測(cè)量，AB=26米，AD=24米，BD=10米，AC比DC長(zhǎng)12米．
(1)求△ABD的面積；
(2)求小路DE的長(zhǎng)．
【答案】(1)120平方米
(2)14.4米
【分析】（1）根據(jù)勾股定理逆定理得出△ABD是直角三角形，再根據(jù)三角形面積公式求解即可；
（2）設(shè)DC=x米，利用勾股定理求解出DC=18米，AC=30米，再利用等積法求解即可．
【詳解】（1）∵BD2=102=100，AD2=242=576，AB2=262=676，
∴BD2+AD2=AB2，
∴△ABD是直角三角形，∠ADB=90°，
∴S△ABD=12BD?AD=12×10×24=120（平方米）；
（2）設(shè)DC=x米，則AC=x+12米，
由（1）知∠ADB=90°，
由勾股定理得x2+242=x+122，
解得x=18，
∴DC=18米，AC=30米，
∵DE⊥AC，
∴S△ACD=12AC?DE=12DC?AD，
∴30DE=18×24，
∴DE=14.4（米）．
【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理和勾股定理逆定理，熟練運(yùn)用勾股定理逆定理證明是解題的關(guān)鍵．
【變式8-3】（2023春·江蘇宿遷·八年級(jí)?？计谀┤鐖D，已知正方形OABC的邊長(zhǎng)為8，邊OA在x軸上，邊OC在y軸上，點(diǎn)D是x軸上一點(diǎn)，坐標(biāo)為(2，0)，點(diǎn)E為OC的中點(diǎn)，連接BD、BE、ED．
(1)求點(diǎn)B的坐標(biāo)；
(2)判斷△BED的形狀，并證明你的結(jié)論．
【答案】(1)(8，8)
(2)△BED是直角三角形
【分析】（1）根據(jù)正方形的性質(zhì)可得OA=OC=8，進(jìn)而求出點(diǎn)B的坐標(biāo)；
（2）求出BD、BE、ED的平方，根據(jù)勾股定理逆定理判斷即可．
【詳解】（1）解：正方形OABC的邊長(zhǎng)為8，邊OA在x軸上，邊OC在y軸上，
所以O(shè)A=OC=8，
因此，點(diǎn)B的坐標(biāo)為(8，8)．
（2）解：△BED是直角三角形；
點(diǎn)D是x軸上一點(diǎn)，坐標(biāo)為(2，0)，點(diǎn)E為OC的中點(diǎn)，
∴OD=2，OE=CE=4，DA=6，
∴ED2=OD2+OE2=20，EB2=BC2+CE2=80，DB2=BA2+AD2=100，
∴ED2+EB2=DB2，
∴△BED是直角三角形．
【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的性質(zhì)和勾股定理及逆定理，解題關(guān)鍵是根據(jù)正方形性質(zhì)寫(xiě)出點(diǎn)的坐標(biāo)，利用坐標(biāo)求出線段的平方．
m
2
3
3
4
4
…
n
1
1
2
1
2
…
a
22+12
32+12
32+22
42+12
42+22
…
b
4
6
12
8
16
…
c
22?12
32?12
32?22
42?12
42?22
…

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