TOC \ "1-3" \h \u
\l "_Tc17141" 【題型1 利用角平分線的性質(zhì)求長(zhǎng)度】 PAGEREF _Tc17141 \h 1
\l "_Tc22379" 【題型2 利用角平分線的性質(zhì)求面積】 PAGEREF _Tc22379 \h 6
\l "_Tc19085" 【題型3 利用角平分線的性質(zhì)證明】 PAGEREF _Tc19085 \h 10
\l "_Tc32587" 【題型4 角平分線的判定】 PAGEREF _Tc32587 \h 17
\l "_Tc6038" 【題型5 尺規(guī)作角平分線】 PAGEREF _Tc6038 \h 23
\l "_Tc18514" 【題型6 角平分線的性質(zhì)與判定綜合運(yùn)用】 PAGEREF _Tc18514 \h 28
\l "_Tc12720" 【題型7 利用角平分線的性質(zhì)判斷多結(jié)論問(wèn)題】 PAGEREF _Tc12720 \h 40
\l "_Tc2449" 【題型8 角平分線的性質(zhì)的實(shí)際應(yīng)用】 PAGEREF _Tc2449 \h 46
【知識(shí)點(diǎn)1 角平分線的性質(zhì)】
角的平分線的性質(zhì)：角的平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等.
用符號(hào)語(yǔ)言表示角的平分線的性質(zhì)定理：
若CD平分∠ADB，點(diǎn)P是CD上一點(diǎn)，且PE⊥AD于點(diǎn)E，PF⊥BD于點(diǎn)F，則PE＝PF.
【題型1 利用角平分線的性質(zhì)求長(zhǎng)度】
【例1】（2023春·遼寧丹東·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，AC平分∠DAB，CE⊥AB，BC=DC，AB=17，AD=9，則AE的長(zhǎng)為（ ）

A．13B．12C．11D．10
【答案】A
【分析】過(guò)點(diǎn)C作CF⊥AD，交AD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，由HL可證明Rt△DFC≌Rt△BEC和Rt△AFC≌Rt△AEC，從而得到BE=DF和AF=AE，利用AB+AD=AE+BE+AF?DF=2AE即可得到答案．
【詳解】解：過(guò)點(diǎn)C作CF⊥AD，交AD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，

∵AC平分∠DAB，CE⊥AB于點(diǎn)E，CF⊥AD于點(diǎn)F，
∴CF=CE，∠DFC=∠BEC=90°，
在Rt△DFC和Rt△BEC中，
CE=CFCD=CB，
∴Rt△DFC≌Rt△BECHL，
∴BE=DF，
在Rt△AFC和Rt△AEC中，
CE=CFAC=AC，
∴Rt△AFC≌Rt△AECHL，
∴AF=AE，
∵AB=17，AD=9，
∴AB+AD=AE+BE+AF?DF=2AE=17+9=26，
∴AE=13．
故選：A．
【點(diǎn)睛】本題考查全等三角形的性質(zhì)和判定、角平分線的性質(zhì)，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，找出所求問(wèn)題需要的條件，利用全等三角形的性質(zhì)和角平分線的性質(zhì)解答．
【變式1-1】（2023春·貴州·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，已知AB∥CD，射線AE平分∠BAC，過(guò)點(diǎn)E作EH⊥AC于點(diǎn)H，作EF⊥AB于點(diǎn)F，并延長(zhǎng)FE交CD于點(diǎn)G，連接CE．若∠AEC=90°，EH=1則FG的長(zhǎng)為 ．

【答案】2
【分析】先根據(jù)平行線的性質(zhì)可得∠BAC+∠ACD=180°，再根據(jù)角平分線的定義和“等角的余角相等”可得∠ACE=∠ECD，再由AB∥CD,GF⊥AB，可得GF⊥CD，由角平分線的性質(zhì)可得EF=EH,EG=EH，即可求出FG的長(zhǎng)．
【詳解】∵AB∥CD，
∴∠BAC+∠ACD=180°，
即∠BAE+∠CAE+∠ACE+∠ECD=180°．
∵∠AEC=90°，
∴∠CAE+∠ACE=90°，
∴∠BAE+∠ECD=90°．
∵AE平分∠BAC，
∴∠BAE=∠CAE，
∴∠ACE=∠ECD，
∴CE平分∠ACD．
∵AB∥CD,GF⊥AB，
∴GF⊥CD．
∵EH⊥AC，
∴EF=EH=1,EG=EH=1，
∴FG=EF+EG=2．
故答案為：2
【點(diǎn)睛】本題主要考查了平行線的性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)，“等角對(duì)等邊”．熟練掌握以上知識(shí)，且證明CE平分∠ACD是解題的關(guān)鍵．
【變式1-2】（2023春·福建漳州·八年級(jí)?？计谥校┤鐖D，△ABC中，∠A=90°，CD是△ABC的角平分線，DE⊥BC于點(diǎn)E，若AB=8cm，AC=6cm，BC=10cm，則△BDE的周長(zhǎng)是 cm．

【答案】12
【分析】根據(jù)角平分線的性質(zhì)得出DE=AD，再證Rt△DAC ≌ Rt△DECHL，推出CE=AC，進(jìn)而解答即可．
【詳解】解：∵∠A=90°，CD是△ABC的角平分線，DE⊥BC于點(diǎn)E，
∴DE=AD，
在Rt△DAC和Rt△DEC中，
DE=DADC=DC，
∴Rt△DAC ≌ Rt△DECHL，
∴AC=EC，
∴△BDE的周長(zhǎng)=BD+DE+BE=BD+AD+BE=AB+BC?CE=AB+BC?AC=8+10?6=12cm，
故答案為：12．
【點(diǎn)睛】本題主要考查角平分線的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是根據(jù)角平分線的性質(zhì)得出DE=AD．
【變式1-3】（2023春·陜西西安·八年級(jí)陜西師大附中校考開(kāi)學(xué)考試）如圖，Rt△ABC中，∠A=90°，AB=AC，∠ABC的平分線BD交AC于點(diǎn)D，CE⊥BD，交BD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，若BD=5，則CE的值為 ．
【答案】52
【分析】延長(zhǎng)BA、CE相交于點(diǎn)F，由角平分線的性質(zhì)可得∠ABD=∠CBD，利用ASA證明△BCE≌△BFE，得到CE=EF，根據(jù)同角的余角相等得到∠ABD=∠ACF，通過(guò)ASA證明△ABD≌△ACF，得到BD=CF，從而即可得到答案．
【詳解】解：如圖，延長(zhǎng)BA、CE相交于點(diǎn)F，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD=∠CBD，
∵CE⊥BD，
∴∠BEF=∠BEC=90°，
在△BCE和△BFE中，
∠ABD=∠CBDBE=BE∠BEF=∠BEC=90°，
∴△BCE≌△BFEASA，
∴CE=EF，
∵∠BAC=90°，CE⊥BD，
∴∠ACF+∠F=90°，∠ABD+∠F=90°，
∴∠ABD=∠ACF，
∵∠BAC=90°，∠BAC+∠CAF=180°，
∴∠BAC=∠CAF=90°，
在△ABD和△ACF中，
∠ABD=∠ACFAB=AC∠BAC=∠CAF=90°，
∴△ABD≌△ACFASA，
∴BD=CF，
∵CF=CE+EF=2CE，
∴BD=2CE=5，
∴CE=52，
故答案為：52．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、角平分線的性質(zhì)、同角的余角相等，熟練掌握全等三角形的判定與性質(zhì)、角平分線的性質(zhì)、同角的余角相等，添加適當(dāng)?shù)妮o助線，是解題的關(guān)鍵．
【題型2 利用角平分線的性質(zhì)求面積】
【例2】（2023春·陜西西安·八年級(jí)校考期末）如圖，已知△ABC的周長(zhǎng)是18，OB，OC分別平分∠ABC和∠ACB，OD⊥BC于D，且OD=2，則△ABC的面積是（ ）

A．6B．9C．18D．36
【答案】C
【分析】由角平分線的性質(zhì)得到OM=OD=ON，由△ABC的面積=△AOB的面積+△OBC的面積+△OAC的面積，得到△ABC的面積=12AB+BC+AC?OD，由△ABC的周長(zhǎng)=18，OD=2，即可求出△ABC的面積=12×18×2=18．
【詳解】解：過(guò)O作OM⊥AB于M，ON⊥AC于N，
∵OB，OC分別平分∠ABC和∠ACB，
∴OM=OD，ON=OD，
∵△ABC的面積=△AOB的面積+△OBC的面積+△OAC的面積，
∴△ABC的面積=12AB?OM+12BC?OD+12AC?ON=12AB+BC+AC?OD，
∵△ABC的周長(zhǎng)=18，OD=2，
∴△ABC的面積=12×18×2=18．
故選：C．

【點(diǎn)睛】本題考查角平分線的性質(zhì)，三角形的面積，關(guān)鍵是由三角形面積公式得到△ABC的面積=12AB+BC+AC?OD．
【變式2-1】（2023春·河南洛陽(yáng)·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，已知在△ABC中，CD是AB邊上的高線，BE平分∠ABC，交CD于點(diǎn)E，BC=10，DE=3，則△BCE的面積等于（ ）
A．9B．13C．15D．30
【答案】C
【分析】過(guò)E作EF⊥BC于F，根據(jù)角平分線性質(zhì)得出EF=DE=3，根據(jù)三角形面積公式求出即可．
【詳解】解：過(guò)E作EF⊥BC于F，
∵CD是AB邊上的高線，BE平分∠ABC，
∴EF=DE=3，
∵BC=10，
∴△BCE的面積為12×BC×EF=15．
故選C．
【點(diǎn)睛】考查了三角形的面積和角平分線性質(zhì)，能根據(jù)角平分線性質(zhì)求出DE=EF是解此題的關(guān)鍵，注意：角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等．
【變式2-2】（2023春·福建福州·八年級(jí)?？计谥校┤鐖D，∠B=∠C=90°，AE平分∠BAD，DE平分∠ADC，若S△CDE:S△ABE=2:3，則S△ADE∶S△DCE= ．

【答案】5:2
【分析】過(guò)點(diǎn)E作EF⊥AD于F，根據(jù)角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊距離相等可得BE=EF，然后證明Rt△ABE≌Rt△AFEHL，根據(jù)全等三角形的面積相等可得S△ABE=S△AFE，同理可得：S△EFD=S△ECD，設(shè)S△CDE=2k，S△ABE=3k，表示出S△ADE=5k，然后求解即可．
【詳解】如圖，過(guò)點(diǎn)E作EF⊥AD于F，

∵∠B=90°，
∴EB⊥AB，
∵AE平分∠BAD，
∴BE=EF，
在Rt△ABE和Rt△AFE中，
AE=AEBE=EF，
∴Rt△ABE≌Rt△AFEHL，
∴S△ABE=S△AFE，
同理：S△EFD=S△ECD，
設(shè)S△CDE=2k，S△ABE=3k，
∴S△ADE=S△AFE+S△EFD=S△ABE+S△CDE=3k+2k=5k，
∴S△ADE:S△DCE=5k:2k=5:2，
故答案為：5:2．
【點(diǎn)睛】此題考查了角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊距離相等的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，熟記性質(zhì)并作輔助線構(gòu)造出全等三角形是解題的關(guān)鍵．
【變式2-3】（2023春·山東棗莊·八年級(jí)?？计谀┤鐖D，AD是△ABC的角平分線，DF⊥AB，垂足為F，DE=DG，△ADG和△EFD的面積分別為50和4.5，則△AED的面積為 ．
【答案】41
【分析】過(guò)點(diǎn)D作DH⊥AC于H，根據(jù)角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊距離相等可得DF=DH，再利用“HL”證明Rt△ADF≌Rt△ADH，Rt△DEF≌Rt△DGH，然后根據(jù)全等三角形的面積相等列方程求解即可．
【詳解】解：如圖，過(guò)點(diǎn)D作DH⊥AC于H，如圖，
∵AD是△ABC的角平分線，DF⊥AB，DH⊥AC，
∴DF=DH，
在Rt△ADF和Rt△ADH中，
AD=ADDF=DH，
∴Rt△ADF≌Rt△ADHHL，
∴SRt△ADF=SRt△ADH，
在Rt△DEF和Rt△DGH中，
DE=DGDF=DH，
∴Rt△DEF≌Rt△DGHHL，
∴SRt△DEF=SRt△DGH，
∵△ADG和△EFD的面積分別為50和4.5，SRt△ADE+SRt△DEF=S△ADG?SRt△DGH，
∴SRt△ADE+4.5=50?4.5
∴SRt△ADE=41．
故答案為：41．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了角平分線的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)與判定，熟記性質(zhì)并作出輔助線構(gòu)造全等三角形是解題的關(guān)鍵．
【題型3 利用角平分線的性質(zhì)證明】
【例3】（2023春·四川綿陽(yáng)·八年級(jí)校考期中）如圖，已知∠C=60°，AE,BD是△ABC的角平分線，且交于點(diǎn)P．
(1)直接寫出∠DPE=___________°；

(2)求證：PD=PE；
(3)探究AB、AD、BE的數(shù)量關(guān)系．
【答案】(1)120
(2)見(jiàn)解析
(3)AB=AD+BE
【分析】（1）根據(jù)角平分線平分線以及三角形的內(nèi)角和定理，求出∠APB的度數(shù)，對(duì)頂角相等，即可得到∠DPE的度數(shù)；
（2）過(guò)點(diǎn)P作PF⊥AB,PG⊥AC,PH⊥BC，證明△PGD≌△PHE，即可得證；
（3）在AB上截取BM=BE，證明△BPM≌△BPE，△APM≌△APD即可得出結(jié)論．
【詳解】（1）解：∵∠C=60°，
∴∠ABC+∠CAB=180°?∠C=120°，
∵AE,BD是△ABC的角平分線，
∴∠PAB=12∠CAB,∠PBA=12∠CBA，
∴∠PAB+∠PBA=12∠CAB+12∠CBA=60°，
∴∠APB=180°?∠PAB+∠PBA=120°，
∴∠DPE=∠APB=120°；
故答案為：120；
（2）證明：過(guò)點(diǎn)P作PF⊥AB,PG⊥AC,PH⊥BC，

則：∠PGD=∠PGC=∠PHE=90°，
∵AE,BD是△ABC的角平分線，且交于點(diǎn)P，
∴PG=PF=PH，
∵∠C+∠PGC+∠PHC+∠GPH=180°，
∴∠GPH=120°，
∵∠DPE=120°，
∴∠DPG=∠EPH，
∴△PGD≌△PHE，
∴PD=PE；
（3）解：在AB上截取BM=BE，

∵BP平分∠ABC，
∴∠PBM=∠PBE，
∵BP=BP，
∴△BPM≌△BPE，
∴∠BPM=∠BPE=180°?∠APB=60°，
∴∠APM=∠APB?∠BPM=60°，
∵∠APD=180°?∠APB=60°，
∴∠APD=∠APM，
∵AP平分∠DAB，
∴∠DAP=∠MAP，
又AP=AP，
∴△APM≌△APD，
∴AM=AD，
∴AB=AM+BM=AD+AE．
【點(diǎn)睛】本題考查角平分線的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是添加合適的輔助線，證明三角形全等．
【變式3-1】（2023春·江蘇揚(yáng)州·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，△ABC中，D為BC的中點(diǎn)，DE⊥BC交∠BAC的平分線于E，EF⊥AB，交AB于F，EG⊥AC，交AC的延長(zhǎng)線于G，試問(wèn)：BF與CG的大小如何？證明你的結(jié)論．
【答案】相等，證明見(jiàn)解析
【分析】連接EB、EC，利用角平分線的性質(zhì)和垂直平分線的性質(zhì)可得EF=EG、EB=EC，然后借助“HL”證明Rt△EFB≌Rt△EGC，由全等三角形的性質(zhì)可證明BF=CG．
【詳解】BF與CG的大小關(guān)系為相等．
證明如下：連接EB、EC，如下圖，
∵AE是∠BAC的平分線，且EF⊥AB于F，EG⊥AC于G，
∴EF=EG，
∵ED⊥BC于D，D是BC的中點(diǎn)，
∴EB=EC，
∴Rt△EFB≌Rt△EGC(HL)，
∴BF=CG．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、角平分線的性質(zhì)以及垂直平分線段的性質(zhì)，正確作出輔助線，熟練掌握相關(guān)判定與性質(zhì)是解題關(guān)鍵．
【變式3-2】（2023春·湖北荊門·八年級(jí)校聯(lián)考期末）如圖，已知△ABC中，∠BAC、∠ABC的平分線交于O，AO交BC于D，BO交AC于E，連接OC，過(guò)O作OF⊥BC于F，

(1)試判斷∠AOB與∠COF有何數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論；
(2)若∠ACB=60°，探究OE與OD的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論．
【答案】(1)∠AOB+∠COF=180°，證明見(jiàn)詳解
(2)OE=OD，證明見(jiàn)詳解
【分析】（1）過(guò)O作OM⊥AC于M，ON⊥AB于N，根據(jù)角平分線性質(zhì)求出OM=ON=OF，求出CO平分∠ACB，求出∠AOB=90°+12∠ACB，∠COF=90°?∠OCF，即可求出答案．
（2）求出∠MOE=∠DOF，∠OME=∠OFD，根據(jù)AAS證出△MOE≌△FOD即可．
【詳解】（1）∠AOB+∠COF=180°，
證明：過(guò)O作OM⊥AC于M，ON⊥AB于N，

∵AD平分∠CAB，BE平分∠CBA，OF⊥BC，
∴OM=ON，ON=OF，
∴OM=OF，
∴O在∠ACB的角平分線上，
∴∠OCF=12∠ACB，
∵OF⊥BC，
∴∠CFO=90°，
∴∠COF+∠OCF=90°，
∴∠COF=90°?∠OCF，①
∵AD平分∠CAB，BE平分∠CBA，
∴∠OAB=12∠CAB，∠OBA=12∠CBA，
∴∠AOB=180°?∠OAB+∠OBA
=180°?12∠CAB+∠CBA
=180°?12180°?∠ACB
=90°+12∠ACB
=90°+∠OCF，②
由①②得：∠AOB+∠COF=90°+∠OCF+90°?∠OCF=180°；
（2）OE=OD，
證明：∵∠ACB=60°，
∴由（1）知：∠AOB=90°+12∠ACB=90°+30°=120°，
∴∠EOD=∠AOB=120°，
∵OM⊥AC，OF⊥BC，
∴∠OME=∠OFD=90°，∠CMO=∠CFO=90°，
∴∠MOF=360°?90°?90°?60°=120°，
∴∠MOE=∠DOF=120°?∠MOD，
在△EOM和△DOF中
∠OME=∠OFD∠MOE=∠DOFOM=OF
∴△EOM≌△DOFAAS，
∴OE=OD．
【點(diǎn)睛】本題考查了角平分線性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)和判定，三角形的內(nèi)角和定理的應(yīng)用，主要考查學(xué)生的推理能力．
【變式3-3】（2023春·湖北荊門·八年級(jí)校聯(lián)考期末）如圖，已知△ABC中，∠BAC、∠ABC的平分線交于O，AO交BC于D，BO交AC于E，連OC，過(guò)O作OF⊥BC于F．
(1)試判斷∠AOB與∠COF有何數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論；
(2)若∠ACB=60°，探究OE與OD的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論．
【答案】(1)∠AOB+∠COF=180°，見(jiàn)解析
(2)OE=OD，見(jiàn)解析
【分析】（1）過(guò)O作OM⊥AC于M，ON⊥AB于N，根據(jù)角平分線性質(zhì)求出OM=ON=OF，求出CO平分∠ACB，求出∠AOB=90°+12∠ACB，∠COF=90°?∠OCF，即可求出答案．
（2）求出∠MOE=∠DOF，∠OME=∠OFD，根據(jù)AAS證出△MOE≌△FOD即可．
【詳解】（1）∠AOB+∠COF=180°，
證明：過(guò)O作OM⊥AC于M，ON⊥AB于N，
∵AD平分∠CAB，BE平分∠CBA，OF⊥BC，
∴OM=ON，ON=OF，
∴OM=OF，
∴O在∠ACB的角平分線上，
∴∠OCF=12∠ACB，
∵OF⊥BC，
∴∠CFO=90°，
∴∠COF+∠OCF=90°，
∴∠COF=90°?∠OCF，①
∵AD平分∠CAB，BE平分∠CBA，
∴∠OAB=12∠CAB，∠OBA=12∠CBA，
∴∠AOB=180°?∠OAB+∠OBA
=180°?12∠CAB+∠CBA
=180°?12180°?∠ACB
=90°+12∠ACB
=90°+∠OCF，②
由①②得：∠AOB+∠COF=90°+∠OCF+90°?∠OCF=180°；
（2）OE=OD，
證明：∵∠ACB=60°，
∴由（1）知：∠AOB=90°+12∠ACB=90°+30°=120°，
∴∠EOD=∠AOB=120°，
∵OM⊥AC，OF⊥BC，
∴∠OME=∠OFD=90°，∠CMO=∠CFO=90°，
∴∠MOF=360°?90°?90°?60°=120°，
∴∠MOE=∠DOF=120°?∠MOD，
在△EOM和△DOF中
∠OME=∠OFD∠MOE=∠DOFOM=OF
∴△EOM≌△DOFAAS，
∴OE=OD．
【點(diǎn)睛】本題考查了角平分線性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)和判定，三角形的內(nèi)角和定理的應(yīng)用，主要考查學(xué)生的推理能力．
【知識(shí)點(diǎn)2 角平分線的判定】
角平分線的判定：角的內(nèi)部到角兩邊距離相等的點(diǎn)在角的平分線上.
用符號(hào)語(yǔ)言表示角的平分線的判定：
若PE⊥AD于點(diǎn)E，PF⊥BD于點(diǎn)F，PE＝PF，則PD平分∠ADB
【題型4 角平分線的判定】
【例4】（2023春·廣東江門·八年級(jí)臺(tái)山市新寧中學(xué)校考期中）如圖，在△AOB和△COD中，OA=OB，OC=OD（OABC，直線l垂直平分AC；作∠ABC的平分線交直線l于點(diǎn)D，連接AD，CD；
(1)尺規(guī)作圖補(bǔ)全圖形；
(2)判斷∠BAD和∠BCD的數(shù)量關(guān)系，并證明．
【答案】(1)見(jiàn)解析
(2)∠BAD+∠BCD=180°；證明見(jiàn)解析
【分析】（1）根據(jù)尺規(guī)作角平分線的方法作圖即可；
（2）DM⊥AB交AB于點(diǎn)M；作DN⊥BC交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)N；構(gòu)造Rt△DMA≌Rt△DNC(HL)可得∠BAD=∠DCN；進(jìn)而得出結(jié)論；
【詳解】（1）解：作圖如下：
（2）解：∠BAD+∠BCD=180° ；理由如下：
如圖，作DM⊥AB交AB于點(diǎn)M；作DN⊥BC交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)N；
∵l 垂直平分AC
∴DA=DC
∵BD平分∠ABC
∴DM=DN
在Rt△DMA 和Rt△DNC中
DA=DCDM=DN
∴Rt△DMA≌Rt△DNC(HL)
∴∠BAD=∠DCN
∵∠DCN+∠BCD=180°
∴∠BAD+∠BCD=180°
【點(diǎn)睛】本題考查了尺規(guī)作角平分線、中垂線的性質(zhì)、角平分線的性質(zhì)；運(yùn)用角平分線的性質(zhì)構(gòu)造全等三角形是解題的關(guān)鍵．
【題型6 角平分線的性質(zhì)與判定綜合運(yùn)用】
【例6】（2023春·四川達(dá)州·八年級(jí)?？计谥校┤鐖D，△ABC中，點(diǎn)D在邊BC延長(zhǎng)線上，∠ACB=100°，∠ABC的平分線交AD于點(diǎn)E，過(guò)點(diǎn)E作EH⊥BD，垂足為H，且∠CEH=50°．

(1)求∠ACE的度數(shù)；
(2)求證：AE平分∠CAF；
(3)若AC+CD=14，AB=10，且S△ACD=21，求△ABE的面積．
【答案】(1)40°
(2)見(jiàn)解析
(3)15
【分析】（1）根據(jù)鄰補(bǔ)角的定義和垂直的定義可得∠ACD=80°、∠CHE=90°，進(jìn)而得到∠ECH=40°,然后根據(jù)∠ACE=∠ACD?∠ECH即可解答；
（2）如圖：過(guò)E點(diǎn)分別作EM⊥BF于M，EN⊥AC與N，根據(jù)角平分線的性質(zhì)定理以及角平分線的定義可得EM＝EH、CE平分∠ACD、EN=EH，最后根據(jù)角平分線的判定定理即可解答；
（3）根據(jù)S△ACD=S△ACE+S△CED結(jié)合已知條件可得EM=3，最后運(yùn)用三角形的面積公式即可解答．
【詳解】（1）解：∵∠ACB=100°，
∴∠ACD=180°?100°=80°，
∵EH⊥BD，
∴∠CHE=90°，
∵∠CEH=50°，
∴∠ECH=90°?50°=40°，
∴∠ACE=∠ACD?∠ECH=80°?40°=40°．
（2）證明：如圖：過(guò)E點(diǎn)分別作EM⊥BF于M，EN⊥AC與N，

∵BE平分∠ABC，
∴EM＝EH，
∵∠ACE=∠ECH=40°，
∴CE平分∠ACD，
∴EN=EH，
∴EM=EN，
∴AE平分∠CAF．
（3）解：∵AC+CD=14，S△ACD=21，EM=EN=EH，
∴S△ACD=S△ACE+S△CED=12AC?EN+12CD?EH=12(AC+CD)?EM=21，
即12×14?EM=21，解得EM=3，
∵AB=10，
∴S△ABE=12AB?EM=15．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了鄰補(bǔ)角的性質(zhì)、角平分線的性質(zhì)與判定定理、三角形的面積等知識(shí)點(diǎn)，靈活運(yùn)用相關(guān)知識(shí)點(diǎn)成為解答本題的關(guān)鍵．
【變式6-1】（2023春·黑龍江哈爾濱·八年級(jí)?？计谥校┰凇鰽BC中，點(diǎn)D、E分別在AB、AC邊上，連接DE、CD，EF⊥CD于F，DE＝CE．
（1）如圖1，求證：DF＝CF；
（2）如圖2，若∠AED＝∠ABC，EG⊥BC于G，連接BE交CD于H，求證：∠ABE＝∠CBE；
（3）如圖3，在（2）的條件下，若BC＝6CG，DH＝4，求HF的長(zhǎng)．
【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）證明見(jiàn)解析；（3）1
【分析】（1）證明Rt△EFD?Rt△EFC(HL)，可得結(jié)論．
（2）證明ΔEMD?ΔEGC(AAS)，推出EM=EG，再利用角平分線的性質(zhì)定理解決問(wèn)題即可．
（3）如圖3中，過(guò)點(diǎn)B作BN⊥CD于N，過(guò)點(diǎn)E作EM⊥AB于M，過(guò)點(diǎn)H作HQ⊥BC于Q，HP⊥AB于P．利用面積法證明DH:CH=2:3，求出CH，CF，可得結(jié)論．
【詳解】（1）證明：如圖1中，∵EF⊥CD，
∴∠EFD=∠EFC=90°，
在RtΔEFD和RtΔEFC中，
ED=ECEF=EF，
∴Rt△EFD?Rt△EFC(HL)，
∴DF=CF．
（2）證明：如圖2中，過(guò)點(diǎn)E作EM⊥AB于M．
∵EG⊥BC，
∴∠EMD=∠EGC=90°，
∵∠AED+∠DEC=180°，∠AED=∠ABC，
∴∠ABC+∠DEC=180°，
∵∠ABC+∠BCE+∠DEC+∠BDE=360°，
∴∠BCE+∠BDE=180°，
∵∠ADE+∠BDE=180°，
∴∠ADE=∠BCE，
在ΔEMD和ΔEGC中，
∠EMD=∠EGC=90°∠ADE=∠BCEED=EC，
∴ΔEMD?ΔEGC(AAS)，
∴EM=EG，
∵EM⊥AB，EG⊥BC，
∴BE平分∠ABC，
∴∠ABE=∠CBE．
（3）解：如圖3中，過(guò)點(diǎn)B作BN⊥CD于N，過(guò)點(diǎn)E作EM⊥AB于M，過(guò)點(diǎn)H作HQ⊥BC于Q，HP⊥AB于P．
∵ΔEMD?ΔEGC，
∴DM=GC，EM=EG，
在Rt△BEM和Rt△BEG中，
BE=BEEM=EG，
∴Rt△BEM?Rt△BEG(HL)，
∴BM=BG，
∵BC=6CG，
∴BD=BM?DM=BG?CG=BC?2CG=4CG，
∵BH平分∠ABC，HP⊥AB，HQ⊥BC，
∴HP=HQ，
∴SΔDBH:SΔCBH=12?BD?HP:12?BC?HQ=4:6=2:3，
∵SΔDBH:SΔCBH=12?DH?BN:12?CH?BN，
∴DH:CH=2:3，
∵DH=4，
∴CH=6，
∴CD=DH+CH=4+6=10，
∴CF=12CD=5，
∴HF=CH?CF=6?5=1．
【點(diǎn)睛】本題屬于三角形綜合題，考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，角平分線的判定定理和性質(zhì)定理，三角形的面積等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是正確尋找全等三角形解決問(wèn)題，屬于中考?？碱}型．
【變式6-2】（2023春·湖北武漢·八年級(jí)統(tǒng)考期中）我們定義：三角形一個(gè)內(nèi)角的平分線所在的直線與另一個(gè)內(nèi)角相鄰的外角的平分線相交所成的銳角稱為該三角形第三個(gè)內(nèi)角的遙望角．
(1)如圖1，∠E是△ABC中∠A的遙望角．
①直接寫出∠E與∠A的數(shù)量關(guān)系___________；
②連接AE，猜想∠BAE與∠CAE的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由．
(2)如圖2，四邊形ABCD中，∠ABC=∠ADC=90°，點(diǎn)E在BD的延長(zhǎng)線上，連CE，若已知DE=DC=AD，求證：∠BEC是△ABC中∠BAC的遙望角．
【答案】(1)①∠E=12∠A；②∠CAE+∠BAE=180°，理由見(jiàn)解析
(2)見(jiàn)解析
【分析】（1）①運(yùn)用角平分線的定義，以及三角形外角的性質(zhì)，推導(dǎo)得到∠DCE=∠ABE+12∠A，∠DCE=∠ABE+∠E，即、可得出∠E=12∠A；②過(guò)點(diǎn)E作EM⊥BA交BA延長(zhǎng)線于點(diǎn)M，過(guò)點(diǎn)E作EN⊥AC交AC于點(diǎn)N，過(guò)點(diǎn)E作EH⊥BD交BD延長(zhǎng)線于點(diǎn)H，運(yùn)用角平分線的性質(zhì)及判定定理可證∠MAE=∠CAE，由∠MAE+∠BAE=180°，可得∠CAE+∠BAE=180°；
（2）過(guò)D作DM⊥BA交BA于點(diǎn)M，過(guò)D作DN⊥BC交BC延長(zhǎng)線于點(diǎn)N，先證四邊形DMBN是矩形，再證△AMD≌△CND，最后證得CE平分∠ACN，BD平分∠ABC即可．
【詳解】（1）解：①∵BE平分∠ABC，即∠ABE=∠EBC=12∠ABC，
∴∠ACD=∠ABC+∠A=2∠ABE+∠A．
∵CE平分∠ACD，即∠ACE=∠ECD=12∠ACD，
∴∠DCE=∠ABE+12∠A．
又∵∠DCE=∠ABE+∠E，
∴∠E=12∠A．
②猜想：∠CAE+∠BAE=180°，理由如下：
如圖2，過(guò)點(diǎn)E作EM⊥BA交BA延長(zhǎng)線于點(diǎn)M，過(guò)點(diǎn)E作EN⊥AC交AC于點(diǎn)N，過(guò)點(diǎn)E作EH⊥BD交BD延長(zhǎng)線于點(diǎn)H，
∵CE平分∠ACD，EN⊥AC，EH⊥BD，
∴EN=EH，
同理，EM=EH，
∴EM=EN，
∵EM⊥AB，EN⊥AC，
∴AE平分∠MAC，即∠MAE=∠CAE，
∵∠MAE+∠BAE=180°，
∴∠CAE+∠BAE=180°．
（2）證明：如圖3，過(guò)D作DM⊥BA交BA于點(diǎn)M，過(guò)D作DN⊥BC交BC延長(zhǎng)線于點(diǎn)N，
∵DM⊥BA，DN⊥BC，∠ABC=90°，
∴∠DMB=90°，∠DNB=90°，∠ABC=90°，
∴四邊形DMBN是矩形，
∴∠MDN=90°，
即∠MDC+∠CDN=90°，
∵∠ADC=90°，
∴∠ADM+∠MDC=90°，
∴∠ADM=∠CDN，
∵DM⊥BA，DN⊥BC，
∴∠AMD=∠DNC=90°，
在△AMD與△DNC中，
∵∠AMD=∠DNC∠ADM=∠CDNAD=DC，
∴△AMD≌△CNDAAS，
∴DM=DN，
∵DM⊥BA，DN⊥BC，
∴BD平分∠ABC，
∴∠ABD=∠DBC=12∠ABC=45°，即BD平分∠ABC，
∴∠ECN=∠DBC+∠E=45°+∠E，
∵∠ADC=90°，AD=DC，
∴∠ACD=∠CAD=45°，
∴∠ACE=45°+∠DCE，
∵DE=DC，
∴∠E=∠DCE，
∴∠ACE=∠ECN，
∴CE平分∠ACN，
∵BD平分∠ABC，
∴∠BEC是△ABC中∠BAC的遙望角．
【點(diǎn)睛】本題考查了角平分線的性質(zhì)及判定，全等三角形的性質(zhì)及判定，熟練掌握角平分線判定定理及相關(guān)性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
【變式6-3】（2023春·黑龍江哈爾濱·八年級(jí)統(tǒng)考期末）在△ABC中，∠BAC=60°，線段BF、CE分別平分∠ABC、∠ACB交于點(diǎn)G．

(1)如圖1，求∠BGC的度數(shù)；
(2)如圖2，求證：EG=FG；
(3)如圖3，過(guò)點(diǎn)C作CD⊥EC交BF延長(zhǎng)線于點(diǎn)D，連接AD，點(diǎn)N在BA延長(zhǎng)線上，連接NG交AC于點(diǎn)M，使∠DAC=∠NGD，若EB:FC=1:2，CG=10，求線段MN的長(zhǎng)．
【答案】(1)120°
(2)見(jiàn)解析
(3)5
【分析】（1）根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出∠ABC+∠ACB=120°，根據(jù)BF平分∠ABC、CE平分∠ACB，得出∠GBC=∠GBE=12∠ABC，∠GCB=∠GCF=12∠ACB，求出∠GBC+∠GCB=60°，根據(jù)三角形內(nèi)角和得出∠BGC+∠GBC+∠GCB=180°，即可求出結(jié)果；
（2）作GH平分∠BGC交BC于點(diǎn)H，證明△BGE≌△BGH，得出EG=GH，證明△CGF≌△CGH，得出FG=GH，即可證明結(jié)論；
（3）作DP⊥BC交BC延長(zhǎng)線于點(diǎn)P，作DQ⊥AB交BA延長(zhǎng)線于點(diǎn)Q，作DR⊥AC于點(diǎn)R，證明CD平分∠ACP，根據(jù)DR⊥AC，DP⊥BC，得出DR=DP，根據(jù)BF平分∠ABC，DR⊥AC，DQ⊥AB，得出DP=DQ，證明DR=DQ，證明△NEG≌△CFG，得出NG=CG=10，證明△BEG≌△MFG，得出BE=MF，作FL⊥NG于點(diǎn)L，F(xiàn)K⊥CG于點(diǎn)K，GW⊥MC于點(diǎn)W，根據(jù)S△MGF=12MG?FL=12MF?GW，S△CGF=12GC?FK=12FC?GW，得出MGGC=MFFC=12，求出MG=5即可得出答案．
【詳解】（1）解：在△ABC中，∠BAC+∠ABC+∠ACB=180°，
∵∠BAC=60°
∴∠ABC+∠ACB=120°，
∵BF平分∠ABC、CE平分∠ACB，
∴∠GBC=∠GBE=12∠ABC，∠GCB=∠GCF=12∠ACB，
∴∠GBC+∠GCB=60°，
在△BGC中，∠BGC+∠GBC+∠GCB=180°，
∴∠BGC=120°．
（2）解：作GH平分∠BGC交BC于點(diǎn)H，如圖所示：

∴∠BGH=∠CGH=60°，
∵∠BGE=∠CGF=∠GBC+∠GCB=60°，
∴∠BGH=∠CGH=∠BGE=∠CGF，
∵∠GBC=∠GBE，BG=BG
∴△BGE≌△BGH，
∴EG=GH，
∵∠GCH=∠GCF，CG=CG，
∴△CGF≌△CGH，
∴FG=GH，
∴EG=FG；
（3）解：作DP⊥BC交BC延長(zhǎng)線于點(diǎn)P，作DQ⊥AB交BA延長(zhǎng)線于點(diǎn)Q，作DR⊥AC于點(diǎn)R，如圖所示：
∵CE平分∠ACB，
∴∠ACB=2∠ACE，
∵CD⊥EC，
∴∠ECD=90°，
∴∠ACE+∠ACD=90°，
∵∠ACB+∠ACP=180°，
∴∠ACP=2∠ACD，
∴CD平分∠ACP，
∵DR⊥AC，DP⊥BC，
∴DR=DP，
∵BF平分∠ABC，DR⊥AC，DQ⊥AB，
∴DP=DQ，
∴DR=DQ，
∴AD平分∠QAC，
∵∠BAC=60°，
∴∠DAQ=∠DAC=60°，
∴∠NGD=∠DAC=60°，
由（1）得∠BGC=120°，
∴∠BEG=∠FGC=180°?∠BGC=60°，
∵∠MGF=∠ABF+∠BNG=60°，
∠FGC=∠FBC+∠ECB=60°，
∠ABF=∠FBC，
∴∠BNG=∠ECB，
∵∠ECB=∠ACE，
∴∠ACE=∠BNG，
由（2）得EG=FG，
∴△NEG≌△CFG，
∴NG=CG=10，
∠NEG=∠CFG，
∵∠NEG+∠BEG=180°，
∠CFG+∠MFG=180°，
∴∠BEG=∠MFG，
∴△BEG≌△MFG，
∴BE=MF，
∵BE:FC=1:2，
∴MF:FC=1:2，
作FL⊥NG于點(diǎn)L，F(xiàn)K⊥CG于點(diǎn)K，GW⊥MC于點(diǎn)W，
∵∠MGF=∠CGF=60°，
∴FK=FL，
S△MGF=12MG?FL=12MF?GW，
S△CGF=12GC?FK=12FC?GW，
∴MGGC=MFFC=12，
∴MG=5，
∴MN=NG?MG=5．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角形全等的判定和性質(zhì)，角平分線的判定和性質(zhì)，三角形面積的計(jì)算，三角形內(nèi)角和定理的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是作出輔助線，熟練掌握三角形全等的判定方法．
【題型7 利用角平分線的性質(zhì)判斷多結(jié)論問(wèn)題】
【例7】（2023春·湖北襄陽(yáng)·八年級(jí)統(tǒng)考開(kāi)學(xué)考試）如圖，在△ABC中，AD是高，AE是角平分線，BF是中線，AE與BF相交于O，∠C>∠ABC以下結(jié)論正確的有（ ）

①∠BAD+∠ABD=∠CAD+∠C；②S△ABF=S△CBF；
③∠EAD=12∠C?∠ABC；④S△ABE:S△ACE=AB:AC；
A．1個(gè)B．2個(gè)C．3個(gè)D．4個(gè)
【答案】D
【分析】解：由高的定義，得∠BAD+∠ABD=∠CAD+∠C=90°，①正確；由中線得AF=CF，兩三角形等底同高，于是S△ABF=S△CBF,②正確；根據(jù)直角三角形兩銳角互余及外角知識(shí)，得∠EAD=90°?(∠ABC+∠BAE)，結(jié)合角平分線定義可判斷③正確；如圖，過(guò)點(diǎn)E作EH⊥AB,EI⊥AC，垂足為H，I，根據(jù)角平分線性質(zhì)，得EH=EI，可證得S△ABE:S△ACE=(12AB?EH):(12AC?EI)=AB:AC．④正確．
【詳解】解：∵AD是高，
∴∠ADB=∠ADC=90°．
∴∠BAD+∠ABD=∠CAD+∠C=90°，①正確；
∵BF是中線，
∴AF=CF．
令△ABC中AC邊上的高為h，
∴S△ABF=12AF??=12CF??=S△CBF,②正確；
∵∠EAD+∠AED=90°,∠AED=∠ABC+∠BAE
∴∠EAD=90°?(∠ABC+∠BAE).
∵AE是角平分線，
∴∠BAE=12∠BAC=12(180°?∠ABC?∠ACB)=90°?12∠ABC?12∠ACB．
∴∠EAD=90°?(∠ABC+90°?12∠ABC?12∠ACB)=12(∠C?∠ABC)，③正確；
如圖，過(guò)點(diǎn)E作EH⊥AB,EI⊥AC，垂足為H，I，
∵AE是角平分線，
∴EH=EI．

S△ABE:S△ACE=(12AB?EH):(12AC?EI)=AB:AC．④正確．
故選：D．
【點(diǎn)睛】本題考查三角形角平分線，中線，高的定義，直角三角形性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，角平分線性質(zhì)；熟練掌握相關(guān)定義是解題的關(guān)鍵．
【變式7-1】（2023春·山東威?！ぐ四昙?jí)統(tǒng)考期末）如圖，在△ABC中，∠ABC=40°，∠ACB=80°，BD，CE分別是∠ABC和∠ACB的角平分線，BD，CE交于點(diǎn)O，分別過(guò)點(diǎn)O作OM⊥AB于點(diǎn)M，作ON⊥AC于點(diǎn)N．下列結(jié)論：①∠BOC=120°；②OE=OD；③AM=AN；④EM=DN．其中正確的有（ ）

A．4個(gè)B．3個(gè)C．2個(gè)D．1個(gè)
【答案】A
【分析】根據(jù)BD，CE分別是∠ABC和∠ACB的角平分線，求出∠OBC=20°,∠OCB=40°，再根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理，即可求出∠BOC=120°，即可判斷①；連接AO，則AO平分∠BAC，推出∠BOE=∠COD=60°，則∠OEM=∠OBE+∠BOE=80°，∠ODN=180°?∠OCD?∠COD=80°，進(jìn)而得出△OEM≌△ODNAAS，即可判斷②④；通過(guò)證明Rt△AOM≌Rt△AONHL，即可判斷③．
【詳解】解：①∵∠ABC=40°，∠ACB=80°，BD，CE分別是∠ABC和∠ACB的角平分線，
∴∠OBC=20°,∠OCB=40°，
在△OBC中，∠BOC=180°?20°?40°=120°，
故①正確，符合題意；
②④連接AO，
∵BD，CE分別是∠ABC和∠ACB的角平分線，
∴AO平分∠BAC，
∵OM⊥AB，ON⊥AC，
∴OM=ON，∠OME=∠OND=90°，
∵∠BOC=120°，
∴∠BOE=∠COD=180°?120°=60°，
∴∠OEM=∠OBE+∠BOE=20°+60°=80°，∠ODN=180°?∠OCD?∠COD=80°，
∴∠OEM=∠ODN，
在△OEM和△ODN中，
∠OEM=∠ODN∠OME=∠OND=90°OM=ON，
∴△OEM≌△ODNAAS，
∴OE=OD，EM=DN．
故②④正確，符合題意；
③在Rt△AOM和Rt△AON中，
AO=AOOM=ON，
∴Rt△AOM≌Rt△AONHL，
∴AM=AN，
故③正確，符合題意．
綜上：正確的有①②③④，共4個(gè)．
故選：A．

【點(diǎn)睛】本題主要考查了角平分線的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理，三角形的外角定理，解題的關(guān)鍵是掌握三角形的三條角平分線交于一點(diǎn)，角平分線上的點(diǎn)到兩邊距離相等．
【變式7-2】（2023春·遼寧沈陽(yáng)·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，AD，BE，CF分別是△ABC的中線、角平分線和高線，BE交CF于點(diǎn)G，交AD于點(diǎn)H，下面說(shuō)法中一定正確的是（ ）
△ACD的面積等于△ABD的面積； ②∠CEG=∠CGE；
③∠ACF=2∠ABE； ④AH=BH．

A．①②③④B．①②③C．②④D．①③
【答案】B
【分析】①根據(jù)三角形中線平分三角形的面積，即可判斷△ACD的面積等于△ABD的面積；
②先根據(jù)同角的余角相等證得∠CAB=∠BCG，再根據(jù)角平分線的定義得出∠ABE=∠CBE，最后根據(jù)三角形外角的性質(zhì)得出∠CEG=∠CAB+∠ABE，∠CGE=∠CBE+∠BCG，即可得證；
③先根據(jù)同角的余角相等證得∠ACF=∠CBF再根據(jù)角平分線的定義得出∠CBF=2∠ABE，于是推出∠ACF=2∠ABE；
④無(wú)法證得AH=BH．
【詳解】解：∵AD是△ABC的中線，
∴CD=BD，
∴△ACD的面積等于△ABD的面積，
故①正確；
∵BE是△ABC的角平分線，
∴∠ABE=∠CBE，
∵CF是△ABC的高線，
∴∠CFA=90°，
∴∠CAB+∠ACF=90°，
∵∠ACB=90°，
∴∠ACF+∠BCG=90°，
∴∠CAB=∠BCG，
∵∠CEG是△ABE的一個(gè)外角，
∴∠CEG=∠CAB+∠ABE，
∵∠CGE是△BCG的一個(gè)外角，
∴∠CGE=∠CBE+∠BCG，
∴∠CEG=∠CGE，
故②正確；
∵CF是△ABC的高線，
∴∠CFB=90°，
∴∠CBF+∠BCF=90°，
∵∠ACB=90°，
∴∠ACF+∠BCF=90°，
∴∠ACF=∠CBF，
∵BE是△ABC的角平分線，
∴∠CBF=2∠ABE，
∴∠ACF=2∠ABE，
故③正確；
無(wú)法證得AH=BH，故④錯(cuò)誤；
故正確的有①②③
故選∶B．
【點(diǎn)睛】本題考查了三角形的面積，三角形外角的性質(zhì)，同角的余角相等，角平分線的定義，熟練掌握這些性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
【變式7-3】（2023春·湖北武漢·八年級(jí)?？计谥校┤鐖D，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BE平分∠ABC，∠BOD=45°，OF⊥AD，下列結(jié)論：①AD平分∠BAC；②AD=OG+OF；③若BD=3，AB=12，則AG=9；④ S△ACD:S△ABD=AB:AC；其中正確的是（ ）

A．①③④B．①②③C．①③D．①②③④
【答案】B
【分析】證出＋∠DAC=∠F=45°?∠CBO=∠BAO，則可得出①正確； 證明△ABO≌△FBOASA，由全等三角形的性質(zhì)得出 AO=FO，AB=BF，證明 △AOG≌△FODASA，由全等三角形的性質(zhì)得出 OD=OG，DF=AG，則可判斷②正確； 求出 AG=DF=BF?BD=9，可得出③正確，由三角形面積公式及角平分線的性質(zhì)可得出④錯(cuò)誤．
【詳解】∵BE平分∠ABC，
∴∠ABO=∠CBO=12∠ABC，
∵∠BOD=45°，
∴∠AOB=180°?∠BOD=180°?45°=135°，
∵OF⊥AD，
∴∠AOE=∠EOG=45°，
∴∠BOF=180°?∠EOG=135°，
∴∠BAO=180°?135°?∠ABO=45°?∠ABO，
∵OF⊥AD，∠ACB=90°，
∴∠F=∠DAC，
∴∠DAC=∠F=180°?135°?∠CBO=45°?∠CBO=∠BAO，
∴AD平分∠BAC，
故①正確；
∵∠BOA=∠BOF=135°，
又∵BO=BO，∠ABO=∠FBO，
∴△ABO≌△FBOASA，
∴AO=FO，AB=BF，
∵∠ADC+∠DAC=90°=∠ADC+∠F，
∴∠F=∠DAC，
又∵∠AOF=∠FOD=90°，
∴△AOG≌△FODASA，
∴OD=OG，DF=AG，
∴AD=AO+OD=OF+OG，
故②正確；
∵BD=3，AB=12，
∴BF=AB=12，
∴AG=DF=BF?BD=9，
故③正確；
∵AD平分∠BAC，
∴點(diǎn)D到AB，AC的距離相等，設(shè)為?，
∴S△ACD=12×AC×?，S△ABD=12×AB×?，
∴S△ACDS△ABD=12×AC×?12×AB×?=ACAB，
故④錯(cuò)誤；
故選: B.
【點(diǎn)睛】此題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)等知識(shí)，證明三角形全等是解題的關(guān)鍵．
【題型8 角平分線的性質(zhì)的實(shí)際應(yīng)用】
【例8】（2023春·遼寧丹東·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，兩條公路AO，BO交于點(diǎn)O，村莊M，N的位置如圖所示，M在公路OA上，現(xiàn)要修建一個(gè)快遞站P，使快遞站到兩條公路的距離相等，且到兩村莊的距離也相等（要求：尺規(guī)作圖，不寫作法，保留作圖痕跡）．

【答案】見(jiàn)解析
【分析】作線段MN的垂直平分線EF，作∠AOB的角平分線OT，則OT交EF于一點(diǎn)，即為點(diǎn)P．
【詳解】解：點(diǎn)P即為所求，如圖所示：

【點(diǎn)睛】本題主要考查了角平分線的性質(zhì)，線段垂直平分線的性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是理解題意，靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題．
【變式8-1】（2023春·湖南株洲·八年級(jí)?？计谀┤鐖D，有三條道路圍成Rt△ABC，其中BC=1000m，一個(gè)人從B處出發(fā)沿著B(niǎo)C行走了800m到達(dá)D處，AD恰為∠CAB的平分線，則此時(shí)這個(gè)人到AB的最短距離為 m．

【答案】200
【分析】過(guò)D作DE⊥AB于點(diǎn)E，根據(jù)角平分線的性質(zhì)得出DE=DC，再求出DC的長(zhǎng)即可．
【詳解】解：如圖，過(guò)D作DE⊥AB于點(diǎn)E，
，
∵∠ACB=90°，
∴DC⊥AC，
∵AD為∠CAB的平分線，DE⊥AB，
∴DE=DC，
∵BC=1000m，BD=800m，
∴DC=BC?BD=200m，
∴DE=DC=200m，
∴此時(shí)這個(gè)人到AB的最短距離為200m，
故答案為：200．
【點(diǎn)睛】本題考查的是角平分線的性質(zhì)，垂線段最短，熟練掌握角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等是解題的關(guān)鍵．
【變式8-2】（2023春·陜西咸陽(yáng)·八年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖是一塊三角形草坪，現(xiàn)要在草坪上建一個(gè)涼亭P供大家休息，且涼亭P到草坪三邊的距離相等，利用直尺和圓規(guī)，確定涼亭P的位置．（保留作圖痕跡，不寫作法）
【答案】見(jiàn)解析
【分析】分別作∠ABC與∠ACB的平分線，兩角平分線的交點(diǎn)就是涼亭P的位置．
【詳解】以點(diǎn)B為圓心，適當(dāng)長(zhǎng)為半徑畫弧分別交AB、BC于點(diǎn)D、E，分別以點(diǎn)D、E為圓心，大于12DE長(zhǎng)為半徑畫弧，兩弧交于點(diǎn)M，作射線BM；再以點(diǎn)C為圓心，適當(dāng)長(zhǎng)為半徑畫弧分別交AC、BC于點(diǎn)G、F，分別以點(diǎn)G、F為圓心，大于12GF長(zhǎng)為半徑畫弧，兩弧交于點(diǎn)N，作射線CN．CN交BM于點(diǎn)P，P就是涼亭的位置．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了尺規(guī)作圖——作角平分線，解決問(wèn)題的關(guān)鍵是熟練掌握基本作圖——作角的平分線，角平分線的性質(zhì)．
【變式8-3】（2023春·陜西西安·八年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，兩條公路AB，CD形成S區(qū)域，S區(qū)域內(nèi)有兩個(gè)農(nóng)貿(mào)市場(chǎng)E，F(xiàn)，現(xiàn)想在S區(qū)域內(nèi)建一個(gè)貨物中轉(zhuǎn)站M，使M不僅到兩條公路距離相等，且到兩個(gè)農(nóng)貿(mào)市場(chǎng)距離也相等，請(qǐng)?jiān)趫D中求作點(diǎn)M的位置．（要求用尺規(guī)作圖，保留作圖痕跡）
【答案】見(jiàn)解析
【分析】作CT平分∠BCD，作PS垂直平分線段EF，PS交CT于點(diǎn)M，點(diǎn)M即為所求．
【詳解】解：如圖，點(diǎn)M即為所求．
【點(diǎn)睛】本題考查了作圖—應(yīng)用與設(shè)計(jì)作圖，角平分線的性質(zhì)，線段垂直平分線，正確的理解題意并作出圖形是解決本題的關(guān)鍵．

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