中考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)：專題21.2 二次根式的乘除【九大題型】（舉一反三）（華東師大版）（解析版）-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

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\l "_Tc7597" 【題型1 求字母的取值范圍】 PAGEREF _Tc7597 \h 1
\l "_Tc30159" 【題型2 二次根式乘除的運(yùn)算】 PAGEREF _Tc30159 \h 2
\l "_Tc30502" 【題型3 二次根式的符號化簡】 PAGEREF _Tc30502 \h 3
\l "_Tc26588" 【題型4 最簡二次根式的判斷】 PAGEREF _Tc26588 \h 5
\l "_Tc16820" 【題型5 化為最簡二次根式】 PAGEREF _Tc16820 \h 6
\l "_Tc20913" 【題型6 已知最簡二次根式求參數(shù)】 PAGEREF _Tc20913 \h 7
\l "_Tc9440" 【題型7 分母有理化】 PAGEREF _Tc9440 \h 8
\l "_Tc20176" 【題型8 比較二次根式的大小】 PAGEREF _Tc20176 \h 10
\l "_Tc8121" 【題型9 分母有理化的應(yīng)用】 PAGEREF _Tc8121 \h 11
【知識點(diǎn)1 二次根式的乘除法則】
①二次根式的乘法法則：a?b=a?b(a≥0,b≥0)；
②積的算術(shù)平方根：a?b=a?b(a≥0,b≥0)；
③二次根式的除法法則：ab=ab(a≥0,b>0)；
④商的算術(shù)平方根：ab=ab(a≥0,b>0).
【題型1 求字母的取值范圍】
【例1】（2022春?趙縣校級月考）若要使等式xx?8=xx?8成立，則x的取值范圍是 x＞8 ．
【分析】直接利用二次根式的性質(zhì)進(jìn)而得出關(guān)于x的不等式組求出答案．
【解答】解：∵等式xx?8=xx?8成立，
∴x≥0x?8＞0，
則x的取值范圍是：x＞8．
故答案為：x＞8．
【變式1-1】（2022秋?犍為縣校級月考）已知(x?3)?(?x?2)=3?x?x+2，使等式成立的x的取值范圍是 ﹣2≤x≤3 ．
【分析】根據(jù)二次根式的性質(zhì)得出關(guān)于x的不等式組，進(jìn)而求出答案．
【解答】解：∵(x?3)?(?x?2)=3?x?x+2，
∴3?x≥0x+2≥0，
解得：﹣2≤x≤3．
故答案為：﹣2≤x≤3．
【變式1-2】（2022秋?南崗區(qū)期末）能使等式x?2x=x?2x成立的x的取值范圍是（）
A．x＞0B．x≥0C．x＞2D．x≥2
【分析】根據(jù)二次根式和分式有意義的條件進(jìn)行解答即可．
【解答】解：由題意得：
x?2≥0x＞0，
解得：x≥2，
故選：D．
【變式1-3】（2022?寶山區(qū)校級月考）已知實(shí)數(shù)x滿足2x2?x3=x?2?x，則x的取值范圍是 0≤x≤2 ．
【分析】依據(jù)二次根式被開方數(shù)大于等于0和a2=a（a≥0）列不等式組求解即可．
【解答】解：∵原式=(2?x)x2=x?2?x，
∴x≥0且2﹣x≥0．
解得：0≤x≤2．
故答案為：0≤x≤2．
【題型2 二次根式乘除的運(yùn)算】
【例2】（2022?長寧區(qū)期中）計(jì)算：
（1）5827?827?354；
（2）2112÷516?12．
【分析】（1）利用二次根式的乘法法則計(jì)算即可．
（2）根據(jù)二次根式的混合運(yùn)算法則計(jì)算即可．
【解答】解：（1）原式＝5×827×3×36=4063．
（2）原式＝2×15×32×6×12=1235．
【變式2-1】（2022?長寧區(qū)期中）計(jì)算：223m÷166m?8m3．
【分析】直接利用二次根式的乘除運(yùn)算法則化簡求出答案．
【解答】解：原式＝2×623m×16m×8m3
＝128m9
＝82m．
【變式2-2】（2022?青浦區(qū)校級月考）計(jì)算：35xy3÷(?415yx)?(?56x3y)（x＞0）．
【分析】根據(jù)二次根式的乘除法運(yùn)算法則進(jìn)行計(jì)算．
【解答】解：∵x＞0，xy3≥0，
∴y≥0，
∴原式=35xy3?（?154xy）?（?56x3y）
=?94x2y2?（?56x3y）
=?94xy?（?56xxy）
=158x2yxy．
【變式2-3】（2022?浦東新區(qū)校級月考）化簡：2bab3(?32a3b)÷3ab（b＜0）．
【分析】直接利用二次根式的性質(zhì)化簡進(jìn)而得出答案．
【解答】解：∵由二次根式的性質(zhì)可得a＜0，b＜0，
∴原式=2b?（﹣b）ab?（32aab）÷3ab?b
＝﹣3a2b÷3ab?b
＝﹣3a2b×（?b3ab）
＝a2b2×abab
＝abab．
【題型3 二次根式的符號化簡】
【例3】（2022?安達(dá)市校級月考）已知xy＞0，將式子x?yx2根號外的因式x移到根號內(nèi)的正確結(jié)果為（）
A．yB．?yC．?yD．??y
【分析】根據(jù)被開方數(shù)大于等于0求出y＜0，再根據(jù)同號得正判斷出x＜0，
【解答】解：∵?yx2＞0，
∴y＜0，
∵xy＞0，
∴x＜0，
∴x?yx2=??yx2?x2=??y．
故選：D．
【變式3-1】（2022?自貢期中）把二次根式a?1a3根號外的因式移到根號內(nèi)為（）
A．?1aB．1aC．?1aD．??1a
【分析】根據(jù)二次根式的性質(zhì)先判斷a的符號，然后再進(jìn)行計(jì)算．
【解答】解：由題意可知?1a3＞0，
∴a＜0，
∴a?1a3=a?1?a?1a=??1a，
故選：D．
【變式3-2】（2022?張家港市校級期末）將（2﹣x）1x?2根號外的因式移到根號內(nèi)，得（）
A．x?2B．2?xC．﹣22?xD．?x?2
【分析】根據(jù)二次根式的性質(zhì)得出x﹣2的符號，進(jìn)而化簡二次根式得出即可．
【解答】解：由題意可得：x﹣2＞0，
則原式=?(x?2)2×1x?2=?x?2．
故選：D．
【變式3-3】（2022春?龍口市期中）把（a﹣b）?1a?b根號外的因式移到根號內(nèi)結(jié)果為 ?b?a ．
【分析】先根據(jù)二次根式成立的條件得到?1a?b＞0，則a﹣b＜0，所以原式變形為﹣（b﹣a）?1a?b，然后利用二次根式的性質(zhì)得到?(b?a)2??1a?b，再利用二次根式的乘法得到?(b?a)2?1b?a，再約分即可．
【解答】解：∵?1a?b＞0，
∵a﹣b＜0，
∴原式＝﹣（b﹣a）?1a?b=?(b?a)2??1a?b=?(b?a)2?1b?a=?b?a．
故答案為?b?a．
【知識點(diǎn)2 最簡二次根式】
我們把滿足①被開方數(shù)不含分母；②被開方數(shù)中不含能開得盡方的因數(shù)或因式．
這兩個(gè)條件的二次根式，叫做最簡二次根式．
【題型4 最簡二次根式的判斷】
【例4】（2022秋?浦東新區(qū)校級月考）在25、aba、18x、x2?1、0.6中，最簡二次根式是 aba、x2?1 ．
【分析】判定一個(gè)二次根式是不是最簡二次根式的方法，就是逐個(gè)檢查最簡二次根式的兩個(gè)條件是否同時(shí)滿足，同時(shí)滿足的就是最簡二次根式，否則就不是．
【解答】解：aba、x2?1是最簡二次根式，
故答案為：aba、x2?1．
【變式4-1】（2022春?曲靖期末）下列二次根式中屬于最簡二次根式的是（）
A．48B．14C．a(chǎn)bD．4a+4
【分析】根據(jù)最簡二次根式的定義：被開方數(shù)中不含能開得盡方的因數(shù)或因式，被開方數(shù)中不含分母，即可解答．
【解答】解：A、48=43，故A不符合題意；
B、14是最簡二次根式，故B符合題意；
C、ab=abb，故C不符合題意；
D、4a+4=2a+1，故D不符合題意；
故選：B．
【變式4-2】（2022秋?玉田縣期末）下列各式：①25②2n+1③2b4④0.1y是最簡二次根式的是 ②③ （填序號）．
【分析】根據(jù)最簡二次根式的被開方數(shù)不含分母；被開方數(shù)不含能開得盡方的因數(shù)或因式，可得答案．
【解答】解：②2n+1③2b4 是最簡二次根式，
故答案為：②③．
【變式4-3】（2022春?建昌縣期末）在二次根式12、12、30、x+2，40x2，x2+y2中，是最簡二次根式的共有 3 個(gè)．
【分析】結(jié)合選項(xiàng)根據(jù)最簡二次根式的概念求解即可．
【解答】解：二次根式12、12、30、x+2，40x2，x2+y2中，是最簡二次根式的是30、x+2，x2+y2，
故答案為：3
【題型5 化為最簡二次根式】
【例5】（2022春?安陽期末）下列二次根式化成最簡二次根式后，被開方數(shù)與另外三個(gè)不同的是（）
A．2B．58C．28D．12
【分析】先把B、C、D化成最簡二次根式，再找被開方數(shù)不同的項(xiàng)．
【解答】解：∵2是最簡二次根式，
58=102，28=27，12=22．
∴化成最簡二次根式后，被開方數(shù)相同的是A、B、D．
故選：C．
【變式5-1】（2022春?番禺區(qū)期末）把下列二次根式化成最簡二次根式
（1）3100
（2）32
（3）4x33
【分析】（1）直接利用二次根式的除法運(yùn)算法則性質(zhì)化簡得出答案；
（2）直接利用二次根式的性質(zhì)化簡得出答案；
（3）直接利用二次根式的除法運(yùn)算法則性質(zhì)化簡得出答案．
【解答】解：（1）3100=310；
（2）32=42；
（3）4x33=2xx3=2x3x3．
【變式5-2】（2022秋?合浦縣月考）把下列各式化成最簡二次根式：
（1）275132?12227；
（2）?abc2c32a4b．
【分析】本題需先將二次根式分母有理化，分子的被開方數(shù)中，能開方的也要移到根號外．
【解答】解：（1）原式=2752527=275×53×13=913=33；
（2）當(dāng)b，c同為正數(shù)時(shí)，原式=?abc2×ca2×c2b=?c24a2bc．
當(dāng)b，c同為負(fù)數(shù)時(shí)，原式=?abc2×（?ca2）×c2b=?c24a2bc．
當(dāng)c＝0時(shí)，原式＝0．
【變式5-3】（2022秋?安岳縣期末）x2?1xy?y化成最簡二次根式是 ±y(x+1)y ．
【分析】對被開方數(shù)的分母進(jìn)行因式分解，然后約分；最后將二次根式的被開方數(shù)的分母有理化，化簡求解．
【解答】解：原式=(x?1)(x+1)y(x?1)=x+1y；
①當(dāng)y＞0時(shí)，上式=y(x+1)y
②當(dāng)y＜0時(shí)，上式=?y(x+1)y；
故答案是：±y(x+1)y．
【題型6 已知最簡二次根式求參數(shù)】
【例6】（2022春?浉河區(qū)校級期末）若二次根式5a+3是最簡二次根式，則最小的正整數(shù)a為 2 ．
【分析】判定一個(gè)二次根式是不是最簡二次根式的方法，就是逐個(gè)檢查最簡二次根式的兩個(gè)條件是否同時(shí)滿足，同時(shí)滿足的就是最簡二次根式，否則就不是．
【解答】解：若二次根式5a+3是最簡二次根式，則最小的正整數(shù)a為2，
故答案為：2．
【變式6-1】（2022春?武江區(qū)校級期末）若a是最簡二次根式，則a的值可能是（）
A．﹣4B．32C．2D．8
【分析】根據(jù)二次根式有意義的條件判斷A選項(xiàng)；根據(jù)最簡二次根式的概念：（1）被開方數(shù)不含分母；（2）被開方數(shù)中不含能開得盡方的因數(shù)或因式判斷B，C，D選項(xiàng)．
【解答】解：A選項(xiàng)，二次根式的被開方數(shù)不能是負(fù)數(shù)，故該選項(xiàng)不符合題意；
B選項(xiàng)，32=62，故該選項(xiàng)不符合題意；
C選項(xiàng)，2是最簡二次根式，故該選項(xiàng)符合題意；
D選項(xiàng)，8=22，故該選項(xiàng)不符合題意；
故選：C．
【變式6-2】（2022秋?崇川區(qū)校級期末）若2m+n?2和33m?2n+2都是最簡二次根式，則m＝ 1 ，n＝ 2 ．
【分析】利用最簡二次根式定義列出方程組，求出方程組的解即可得到m與n的值．
【解答】解：∵若2m+n?2和33m?2n+2都是最簡二次根式，
∴m+n?2=13m?2n+2=1，
解得：m＝1，n＝2，
故答案為：1；2．
【變式6-3】（2022春?寧都縣期中）已知：最簡二次根式4a+b與a?b23的被開方數(shù)相同，則a+b＝ 8 ．
【分析】已知兩個(gè)最簡二次根式的被開方數(shù)相同，因此它們是同類二次根式，即：它們的根指數(shù)和被開方數(shù)相同，列出方程組求解即可．
【解答】解：由題意，得：a?b=24a+b=23解得：a=5b=3，
∴a+b＝8．
【知識點(diǎn)3 分母有理化】
①分母有理化是指把分母中的根號化去：分母有理化常常是乘二次根式本身（分母只有一項(xiàng)）或與原分母
組成平方差公式；
②兩個(gè)含二次根式的代數(shù)式相乘時(shí)，它們的積不含二次根式，這樣的兩個(gè)代數(shù)式成互為有理化因式．一個(gè)
二次根式的有理化因式不止一個(gè)．
【題型7 分母有理化】
【例7】（2022秋?曲陽縣期末）把3a12ab化去分母中的根號后得（）
A．4bB．2bC．12bD．b2b
【分析】根據(jù)二次根式的乘除法運(yùn)算法則進(jìn)行計(jì)算即可．
【解答】解：∵a＞0，ab＞0，即a＞0，b＞0；
∴3a12ab=3?a23?a?b=12b=b2b．
故選：D．
【變式7-1】（2022?沂源縣校級開學(xué)）分母有理化：
（1）132= 26 ；（2）112= 36 ；（3）1025= 22 ．
【分析】根據(jù)分母有理化的一般步驟計(jì)算即可．
【解答】解：（1）132=232×2=26，
（2）112=312×3=36，
（3）1025=10×525×5=22，
故答案為：26；36；22．
【變式7-2】（2022春?海淀區(qū)校級期末）下列各式互為有理化因式的是（）
A．a(chǎn)+b和a?bB．?a和a
C．5?2和?5+2D．xa+yb和xa+yb
【分析】根據(jù)有理化因式定義：如果兩個(gè)含有二次根式的非零代數(shù)式相乘，它們的積不含有二次根式，就說這兩個(gè)非零代數(shù)式互為有理化因式，結(jié)合各個(gè)選項(xiàng)中兩個(gè)代數(shù)式特征作出判斷即可．
【解答】解：A.a+b?a?b=(a+b)(a?b)，因此a+b和a?b不是有理化因式，故選項(xiàng)A不符合題意；
B．?a?a=?a，所以?a和a是有理化因式，因此選項(xiàng)B符合題意；
C．（5?2）（?5+2）＝﹣（5?2）2，所以5?2和?5+2）不是有理化因式，因此選項(xiàng)C不符合題意；
D．（xa+yb）?（xa+yb）＝（xa+yb）2，因此xa+yb和xa+yb不是有理化因式，所以選項(xiàng)D不符合題意；
故選：B．
【變式7-3】（2022?寶山區(qū)校級月考）分母有理化：2?3+52+3+5
【分析】根據(jù)二次根式的性質(zhì)以及運(yùn)算法則即可求出答案．
【解答】解：原式=(2+5?3)2(2+5+3)(2+5?3)
=(2+5?3)2(2+5)2?3
=10?6?15+510+2
=(10?6?15+5)(10?2)(10+2)(10?2)
=310?366
=10?62
【題型8 比較二次根式的大小】
【例8】（2022春?海淀區(qū)校級期末）設(shè)a=22?3，b=1a，則a、b大小關(guān)系是（）
A．a(chǎn)＝bB．a(chǎn)＞bC．a(chǎn)＜bD．a(chǎn)＞﹣b
【分析】本題考查二次根式，先求出b的值，再與a比較得出結(jié)果．
【解答】解：∵a＝22?3
∴b=1a=122?3=?（22+3）
所以a＞b．
故選：B．
【變式8-1】（2022春?金鄉(xiāng)縣期中）已知a=15?2，b＝2+5，則a，b的關(guān)系是（）
A．相等B．互為相反數(shù)
C．互為倒數(shù)D．互為有理化因式
【分析】求出a與b的值即可求出答案．
【解答】解：∵a=15?2=5+2，b＝2+5，
∴a＝b，
故選：A．
【變式8-2】（2022春?長興縣期中）二次根式25，25，25的大小關(guān)系是（）
A．25＜25＜25B．25＜25＜25C．25＜25＜25D．25＜25＜25
【分析】本題可先將各式分母有理化，然后再比較它們的大?。?br>【解答】解：將三個(gè)二次根式化成同分母分?jǐn)?shù)比較：
∵25=105，25=255=205，25；
∴25＜25＜25．
故選：C．
【變式8-3】（2022秋?雨城區(qū)校級期中）利用作商法比較大小
比較a+1a+2與a+2a+3的大?。?br>【分析】根據(jù)作商比較法，看最后的比值與1的大小關(guān)系，從而可以解答本題．
【解答】解：a+1a+2a+2a+3=a+1a+2×a+3a+2=a+3+4aa+4+4a＜1，
∴a+1a+2＜a+2a+3．
【題型9 分母有理化的應(yīng)用】
【例9】（2022春?大連月考）閱讀材料：
黑白雙雄、縱橫江湖；雙劍合璧、天下無敵．這是武俠小說中的常見描述，其意是指兩個(gè)人合在一起，取長補(bǔ)短，威力無比．在二次根式中也有這種相輔相成的“對子”．如：（2+3）（2?3）＝1，（5+2）（5?2）＝3，它們的積不含根號，我們說這兩個(gè)二次根式互為有理化因式，其中一個(gè)是另一個(gè)的有理化因式．于是，二次根式除法可以這樣理解：如13=1×33×3=33，2+32?3=(2+3)(2+3)(2?3)(2+3)=7+43．像這樣，通過分子、分母同乘以一個(gè)式子把分母中的根號化去或把根號中的分母化去，叫做分母有理化．
解決問題：
（1）4+7的有理化因式可以是 4?7 ，232分母有理化得 23 ．
（2）計(jì)算：
①11+2+12+3+13+4+?+11999+2000．
②已知：x=3?13+1，y=3+13?1，求x2+y2的值．
【分析】（1）找出各式的分母有理化因式即可；
（2）①原式各項(xiàng)分母有理化，合并即可得到結(jié)果；
②將x與y分母有理化后代入原式計(jì)算即可得到結(jié)果．
【解答】解：（1）4+7的有理化因式可以是4?7，232分母有理化得：23；
故答案為：4?7；23
（2）①原式=2?1+3?2+?+2000?1999=2000?1＝205?1；
②∵x=3?13+1=2?3，y=3+13?1=2+3，
∴x2+y2＝7﹣43+7+43=14．
【變式9-1】（2022?潮南區(qū)模擬）“分母有理化”是根式運(yùn)算的一種化簡方法，如：2+32?3=(2+3)(2+3)(2+3)(2?3)=7+43；除此之外，還可以用先平方再開方的方法化簡一些有特點(diǎn)的無理數(shù)，如要化簡4+7?4?7，可以先設(shè)x=4+7?4?7，再兩邊平方得x2＝（4+7?4?7）2＝4+7+4?7?2(4+7)(4?7)=2，又因?yàn)?+7＞4?7，故x＞0，解得x=2，4+7?4?7=2，根據(jù)以上方法，化簡6?36+3+8+43?8?43的結(jié)果是（）
A．3﹣22B．3+22C．42D．3
【分析】直接利用有理化因式以及二次根式的性質(zhì)、完全平方公式分別化簡得出答案．
【解答】解：設(shè)x=8+43?8?43，
兩邊平方得x2=(8+43?8?43)2=8+43+8?43?2(8+43)(8?43)=8，
∵8+43＞8?43，
∴x＞0，
∴x＝22，
原式=6?36+3+22
=(6?3)2(6+3)(6?3)+22
=9?623+22
＝3﹣22+22
＝3．
故選：D．
【變式9-2】（2022?普定縣模擬）閱讀以下材料：將分母中的根號化去，叫做分母有理化．分母有理化的方法，一般是把分子分母都乘以同一個(gè)適當(dāng)?shù)拇鷶?shù)式，使分母不含根號．例如：12=1?22?2=2(2)2=22，
（1）將12+1分母有理化可得 2?1 ；
（2）關(guān)于x的方程3x?12=11+3+13+5+15+7+?+197+99 的解是 112 ．
【分析】（1）根據(jù)材料進(jìn)行分母有理化即可；
（2）先分母有理化，再根據(jù)式子的規(guī)律即可求解．
【解答】解：（1）12+1=2?1(2+1)(2?1)=2?1
故答案為：2?1；
（2）3x?12=11+3+13+5+15+7+?+197+99，
3x?12=13+1+15+3+17+5+?+199+97，
3x?12=3?1(3+1)(3?1)+5?3(5+3)(5?3)+7?5(7+5)(7?5)+?+99?97(99+97)(99?97)，
3x?12=12（3?1+5?3+7?5+?+99?97），
6x﹣1＝﹣1+99，
6x＝311，
x=112，
故答案為：112．
【變式9-3】．（2022春?九龍坡區(qū)校級月考）材料一：有這樣一類題目：將a±2b化簡，如果你能找到兩個(gè)數(shù)m、n，使m2+n2＝a且mm=b，則將a±2b將變成m2+n2±2n，即變成（m±n）2開方，從而使得a±2b化簡．
例如，5±26=3+2±26=（3）2+（2）2±22×3=（3±2）2，所以5±26=(3±2)2=3±2；
材料二：在進(jìn)行二次根式的化簡時(shí)，我們有時(shí)會碰到如53，23，23+1這樣的式子，其實(shí)我們還可以將其進(jìn)一步化簡：53=5×33×3=533（一）；23=2×33×3=63（二）；23+1=2(3?1)(3+1)(3?1)=2(3?1)(3)2?12=3?1（三）．以上這種化簡的步驟叫做分母有理化．
23+1還可以用以下方法化簡：23+1=3?13+1=(3)2?123+1=(3+1)(3?1)3+1=3?1（四）；
請根據(jù)材料解答下列問題：
（1）3?22= 2?1 ；4+23= 3+1 ．
（2）化簡：23+1+25+3+27+5+?+22n+1+2n?1．
【分析】（1）根據(jù)材料一和完全平方公式即可得出答案；
（2）根據(jù)材料二將每一個(gè)式子分母有理化，并合并同類二次根式可得出答案．
【解答】解：（1）∵3﹣22=2+1﹣22=（2?1）2，
∴3?22=(2?1)2=2?1，
∵4+23=3+1+23=（3+1）2，
∴4+23=(3+1)2=3+1，
故答案為：2?1，3+1；
（2）23+1+25+3+27+5+?+22n+1+2n?1
=2(3?1)(3+1)(3?1)+2(5?3)(5+3)(5?3)+???+2(2n+1?2n?1)(2n+1+2n?1)(2n+1?2n?1)
=3?1+5?3+7?5+???+2n+1?2n?1
＝﹣1+2n+1．

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