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\l "_Tc16849" 【題型1 “#”字型】 PAGEREF _Tc16849 \h 1
\l "_Tc8485" 【題型2 “X”字型】 PAGEREF _Tc8485 \h 4
\l "_Tc29812" 【題型3 “A”字型】 PAGEREF _Tc29812 \h 6
\l "_Tc24151" 【題型4 “8”字型】 PAGEREF _Tc24151 \h 9
\l "_Tc3625" 【題型5 判斷比例式】 PAGEREF _Tc3625 \h 11
\l "_Tc11121" 【題型6 平行線分線段成比例與三角形的中位線的綜合】 PAGEREF _Tc11121 \h 15
\l "_Tc11730" 【題型7 多次利用平行線分線段成比例進(jìn)行計(jì)算】 PAGEREF _Tc11730 \h 19
\l "_Tc14006" 【題型8 平行線分線段成比例中的常作輔助線】 PAGEREF _Tc14006 \h 23
【知識(shí)點(diǎn)1 平行線分線段成比例定理】
兩條直線被三條平行線所截，所得的對(duì)應(yīng)線段成比例，簡(jiǎn)稱為平行線分線段成比例定理．如圖：如果，則，，．

【小結(jié)】若將所截出的小線段位置靠上的（如AB）稱為上，位置靠下的稱為下，兩條線段合成的線段稱為全，則可以形象的表示為，，．
【題型1 “#”字型】
【例1】（2022?醴陵市模擬）如圖，直線l1∥l2∥l3，直線AC和DF被l1，l2，l3所截，如果AB＝2，BC＝3，EF＝2，那么DE的長(zhǎng)是（ ）
A．2B．43C．1D．34
【分析】根據(jù)平行線分線段成比例定理得出比例式，代入求出即可．
【解答】解：∵直線l1∥l2∥l3，
∴ABBC=DEEF，
∵AB＝2，BC＝3，EF＝2，
∴23=DE2，
∴DE=43，
故選：B．
【變式1-1】（2022?福建模擬）如圖，a∥b∥c，兩條直線與這三條平行線分別交于點(diǎn)A，B，C和D，E，F(xiàn)．已知AB＝3，BC＝2，DE＝6，則DF等于（ ）
A．4B．9C．10D．15
【分析】根據(jù)平行線分線段成比例定理即可解決問題．
【解答】解：∵a∥b∥c，
∴ABBC=DEEF，即32=6EF，
∴EF＝4，
∴DF＝EF+DE＝4+6＝10，
故選：C．
【變式1-2】（2022秋?清苑區(qū)期中）如圖，直線a∥b∥c，點(diǎn)A，B在直線a上，點(diǎn)C，D在直線c上，線段AC，BD分別交直線b于點(diǎn)E，F(xiàn)，則下列線段的比與AEAC一定相等的是（ ）
A．CEACB．BFBDC．BFFDD．ABCD
【分析】根據(jù)平行線分線段成比例定理列出比例式，判斷即可．
【解答】解：∵a∥b∥c，
∴AEAC=BFBD，
故選：B．
【變式1-3】（2022秋?長(zhǎng)寧區(qū)校級(jí)月考）如圖，直線l1、l2、l3分別交直線l4于點(diǎn)A、B、C，交直線l5于點(diǎn)D、E、F，且l1∥l2∥l3．已知DE：DF＝3：8，AC＝24
（1）求BC的長(zhǎng)；
（2）當(dāng)AD＝4，CF＝20時(shí)，求BE的長(zhǎng)．
【分析】（1）利用平行線分線段成比例定理得到ABAC=DEDF，然后利用比例的性質(zhì)求出AB，再計(jì)算AC﹣AB即可；
（2）作AN∥DF交CF于N，交EB于M，如圖，易得四邊形ADEB和四邊形ADFN為平行四邊形，則BE＝FN＝AD＝4，所以CN＝16，根據(jù)平行線分線段成比例定理，由BM∥CN得到BM16=924，然后求出BM后計(jì)算EM+BM即可．
【解答】解：（1）∵l1∥l2∥l3，
∴ABAC=DEDF，
即AB24=38，解得AB＝9，
∴BC＝AC﹣AB＝24﹣9＝15；
（2）作AN∥DF交CF于N，交EB于M，如圖，
易得四邊形ADEB和四邊形ADFN為平行四邊形，
∴BE＝FN＝AD＝4，
∴CN＝CF﹣FN＝20﹣4＝16，
∵BM∥CN，
∴BMCN=ABAC，即BM16=924，BM＝6，
∴BE＝EM+BM＝4+6＝10．
【題型2 “X”字型】
【例2】（2022春?萊西市期末）如圖：AB∥CD∥EF，AD：DF＝3：1，BE＝12，那么CE的長(zhǎng)為（ ）
A．3B．4C．5D．6
【分析】根據(jù)平行線分線段成比例定理得到比例式，再根據(jù)AD：DF＝3：1，BE＝12，可計(jì)算出CE的長(zhǎng)．
【解答】解：∵AB∥CD∥EF，
∴BCCE=ADDF=3，
∴BC＝3CE，
∴CE=14BE=14×12＝3，
故選：A．
【變式2-1】（2022?廣西模擬）如圖，AB∥CD∥EF，AF與BE相交于點(diǎn)G，且DG＝2，DF＝10，BCBE=38，則AG的長(zhǎng)為（ ）
A．2B．3C．4D．5
【分析】三條平行線截兩條直線，所得的對(duì)應(yīng)線段成比例．依據(jù)平行線分線段成比例定理，即可得出AG的長(zhǎng)．
【解答】解：∵AB∥CD∥EF，
∴ADAF=BCBE，
又∵DG＝2，DF＝10，BCBE=38，
∴AG+2AG+2+10=38，
∴AG＝4．
故選：C．
【變式2-2】（2022秋?船山區(qū)校級(jí)期末）如圖：AB∥CD∥EF，AD：AF＝3：5，BE＝12，那么CE的長(zhǎng)為（ ）
A．2B．4C．245D．365
【分析】根據(jù)平行線分線段成比例定理列出比例式，把已知數(shù)據(jù)代入計(jì)算即可．
【解答】解：∵AB∥CD∥EF，
∴BCBE=ADAF，
∵AD：AF＝3：5，BE＝12，
∴BC12=35，
解得：BC=365，
∴CE＝BE﹣BC＝12?365=245，
故選：C．
【變式2-3】（2022秋?合肥校級(jí)期末）如圖，AB∥CD∥EF，BE與AF相交于點(diǎn)H，且AH＝2HD=12DF，則BCCE的值為（ ）
A．1B．34C．23D．56
【分析】設(shè)DH＝x，則AH＝2x，DF＝4x，由平行線分線段成比例定理即可得到結(jié)論．
【解答】解：∵AH＝2HD=12DF，
∴設(shè)DH＝x，則AH＝2x，DF＝4x，
∵AB∥CD∥EF，
∴BCCE=ADDF=3x4x=34，
故選：B．
【知識(shí)點(diǎn)2 平行線分線段成比例定理的推論】
平行于三角形一邊的直線，截其它兩邊（或兩邊的延長(zhǎng)線），所得的對(duì)應(yīng)線段成比例．如圖：如果EF//BC，則，，．

平行線分線段成比例定理的推論的逆定理
若或或，則有EF//BC．
【注意】對(duì)于一般形式的平行線分線段成比例的逆定理不成立，反例：任意四邊形中一對(duì)對(duì)邊的中點(diǎn)的連線與剩下兩條邊，這三條直線滿足分線段成比例，但是它們并不平行．
【小結(jié)】推論也簡(jiǎn)稱“A”和“8”，逆定理的證明可以通過同一法，做 交AC于點(diǎn)，再證明F’與F重合即可．
【題型3 “A”字型】
【例3】（2022秋?零陵區(qū)期末）如圖，已知AD為△ABC的角平分線，DE∥AB交AC于E，如果AEEC=35，那么BD：BC等于（ ）
A．3：5B．5：3C．8：5D．3：8
【分析】利用平行線分線段成比例定理求解即可．
【解答】解：∵DE∥AB，
∴BDDC=AEEC=35，
∴BDBC=38，
故選：D．
【變式3-1】（2022秋?越城區(qū)期末）如圖，在△ABC中，DE∥BC，DE分別與AB、AC相交于點(diǎn)D、E，若AE＝4，EC＝2，則ADAB的值為（ ）
A．23B．12C．13D．14
【分析】根據(jù)平行線分線段成比例定理，寫出比例線段，代入線段的值．
【解答】解：∵DE∥BC，
∴ADAB=AEAC，
∴ADAB=46=23，
故選：A．
【變式3-2】（2022秋?新民市期末）如圖，點(diǎn)A，B在格點(diǎn)上，若BC=23，則AC的長(zhǎng)為（ ）
A．1B．43C．2D．3
【分析】根據(jù)平行線分線段成比例可得BC：AC＝1：2，然后代入數(shù)據(jù)計(jì)算即可．
【解答】解：觀察圖形可知，BC：AC＝1：2，
∵BC=23，
∴AC＝3BC＝2×23=43．
故選：B．
【變式3-3】（2022秋?覃塘區(qū)期末）如圖，AB與CD相交于點(diǎn)E，點(diǎn)F在線段AD上，且BD∥EF∥AC．若DE＝5，DF＝3，CE＝AD，則EFBD的值為 35 ．
【分析】設(shè)CE＝AD＝x，則DECE=DFAF，求出CE，由EF∥DB可求出EFBD的值．
【解答】解：設(shè)CE＝AD＝x，
∵EF∥AC，
∴DECE=DFAF，
∴5x=3x?3，
解得x＝7.5，
∴AF＝4.5，
∵EF∥DB，
∴EFBD=AFAD=．
故答案為：35．
【題型4 “8”字型】
【例4】（2022?鏡湖區(qū)校級(jí)一模）如圖，在平行四邊形ABCD中，點(diǎn)F是AD上的點(diǎn)，AF＝2FD，直線BF交AC于點(diǎn)E，交CD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G，則BEEG的值為（ ）
A．12B．13C．23D．34
【分析】由AF＝2DF，可以假設(shè)DF＝k，則AF＝2k，AD＝3k，證明AB＝AF＝2k，DF＝DG＝k，再利用平行線分線段成比例定理即可解決問題．
【解答】解：由AF＝2DF，可以假設(shè)DF＝k，則AF＝2k，AD＝3k，
∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AD∥BC，AB∥CD，AD＝BC＝3k，
∴AEEC=AFBC=23，
∴BEEG=AEEC=23
故選：C．
【變式4-1】（2022秋?金牛區(qū)期末）如圖，△ABC中，D、E分別為BA、CA延長(zhǎng)線上的點(diǎn)，DE∥BC，BD＝3AD，若CE＝6，則AC的長(zhǎng)為（ ）
A．2B．3C．4D．5
【分析】根據(jù)平行線分線段成比例定理得到AEAC=ADAB，把已知數(shù)據(jù)代入計(jì)算，得到答案．
【解答】解：∵DE∥BC，
∴AEAC=ADAB，即6?ACAC=12，
解得：AC＝4，
故選：C．
【變式4-2】（2022秋?南皮縣校級(jí)月考）如圖，AB．CD相交于點(diǎn)E，且AC∥EF∥DB，點(diǎn)C，F(xiàn)，B在同一條直線上．已知AC＝p，EF＝r，DB＝q．嘉嘉得出結(jié)論pq=rp，淇淇得出結(jié)論rp+rq=1，則（ ）
A．只有嘉嘉正確B．只有淇淇正確
C．兩人均正確D．兩人均不正確
【分析】根據(jù)平行線分線段成比例，可證得EFAC=BFBC，EFBD=CFBC，兩式相加即可得出結(jié)論．
【解答】解：∵AC∥EF，
∴EFAC=BFBC，
∵EF∥DB，
∴EFBD=CFBC，
∴EFAC+EFBD=BFBC+CFBC=BF+CFBC=BCBC=1，
即rp+rq=1，
∴rp+rq=1．
故選：B．
【變式4-3】（2022秋?宜興市校級(jí)月考）如圖，l1∥l2，AF：BF＝2：5，BC：CD＝4：1，則AE：EC的值為（ ）
A．5：2B．1：4C．2：1D．3：2
【分析】根據(jù)平行線分線段成比例定理得出AGBD=AFBF=25，AEEC=AGCD，求出AG=25BD，CD=15BD，再求出AGCD即可．
【解答】解：∵l1∥l2，
∴AGBD=AFBF，
∵AF：BF＝2：5，
∴AGBD=25，
即AG=25BD，
∵BC：CD＝4：1，BC+CD＝BD，
∴CD=15BD，
∴AGCD=25BD15BD=21，
∵l1∥l2，
∴AEEC=AGCD=21，
故選：C．
【題型5 判斷比例式】
【例5】（2022春?濰坊期末）如圖，AB∥CD∥EF，AF交BE于點(diǎn)G，若AC＝CG，AG＝FG，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（ ）
A．DGBG=12B．CDEF=12C．CGCF=13D．DGBE=13
【分析】根據(jù)平行線分線段成比例定理進(jìn)行逐項(xiàng)判斷即可．
【解答】解：∵AB∥CD，
∴DGBG=CGAG，
∵AC＝CG，
∴DGBG=CGAG=12，
故A正確，不符合題意；
∵CD∥EF，
∴CDEF=DGEG，
∵DE＝3DG，
∴EG＝2DG，
∴CDEF=DGEG=12，
故B正確，不符合題意．
∵CD∥EF，
∴CGCF=DGDE
∵BG＝2DG，BE＝4DG，
∴DE＝3DG，
∴CGCF=DGDE=13，
故C正確，不符合題意；
∵AB∥CD∥EF，
∴BGEG=AGFG，
∵AG＝FG，
∴BG＝EG，
∴BE＝2BG，
∵DGBG=CGAG=12，
∴BG＝2DG，
∵BE＝4DG，
∴DGBE=14，
故D錯(cuò)誤，符合題意；
故選：D．
【變式5-1】（2022春?東平縣期末）已知，在△ABC中，點(diǎn)D為AB上一點(diǎn)，過點(diǎn)D作DE∥BC，DH∥AC分別交AC、BC于點(diǎn)E、H，點(diǎn)F是BC延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，連接FD交AC于點(diǎn)G，則下列結(jié)論中錯(cuò)誤的是（ ）
A．ADDB=AEDHB．CFDE=DHCGC．FDFG=ECCGD．CHBC=AEAC
【分析】首先證明四邊形DECH是平行四邊形，再利用平行線分線段成比例定理一一判斷即可．
【解答】解：∵DE∥BC，DH∥AC，
∴四邊形DECH是平行四邊形，
∴DH＝CE，DE＝CH，
∵DE∥BC，
∴ADDB=AEEC=AEDH，故選項(xiàng)A正確，不符合題意，
∵DH∥CG，
∴DFFG=DHGC=ECCG，故C正確，不符合題意，
∵DE∥BC，
∴DEBC=AEAC，
∴CHBC=AEAC，故D正確，不符合題意，
故選：B．
【變式5-2】（2022秋?青浦區(qū)期末）如圖，點(diǎn)D、E分別在△ABC的邊AB、BC上，下列條件中一定能判定DE∥AC的是（ ）
A．ADDB=BECEB．BDAD=BEECC．ADAB=CEBED．BDBA=DEAC
【分析】根據(jù)平行線分線段成比例判斷即可．
【解答】解：A．因?yàn)锳DDB=ECBE，所以DE∥AC，故A不符合題意；
B．因?yàn)锽DAD=BECE，所以DE∥AC，故B符合題意；
C．因?yàn)锳DAB=CEBC，所以DE∥AC，故C不符合題意；
D．因?yàn)锽DAB=BEBC，所以DE∥AC，故D不符合題意；
故選：B．
【變式5-3】（2022?香坊區(qū)一模）如圖，AB∥CD∥EF，AF交BE于點(diǎn)G，若AC＝CG，AG＝FG，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（ ）
A．DGBG=12B．DGBE=13C．CGCF=13D．CDEF=12
【分析】根據(jù)平行線分線段成比例定理進(jìn)行逐項(xiàng)判斷即可．
【解答】解：AB∥CD，
∴DGBG=CGAG，
∵AC＝CG，
∴DGBG=CGAG=12，
故A正確，不符合題意；
∵AB∥CD∥EF，
∴BGEG=AGFG，
∵AG＝FG，
∴BG＝EG，
∴BE＝2BG，
∵DGBG=CGAG=12，
∴BG＝2DG，
∵BE＝4DG，
∴DGBE=14，
故B錯(cuò)誤，符合題意；
∵CD∥EF，
∴CGCF=DGDE，
∵BG＝2DG，BE＝4DG，
∴DE＝3DG，
∴CGCF=DGDE=13，
故C正確，不符合題意；
∵CD∥EF，
∴CDEF=DGEG，
∵DE＝3DG，
∴EG＝2DG，
∴CDEF=DGEG=12，
故D正確，不符合題意．
故選：B．
【題型6 平行線分線段成比例與三角形的中位線的綜合】
【例6】（2022?沁陽市模擬）如圖，BE是△ABC的中線，點(diǎn)F在BE上，延長(zhǎng)AF交BC于點(diǎn)D，若BF＝3EF，則BDDC=（ ）
A．43B．32C．65D．23
【分析】過點(diǎn)E作EH∥AD交BC于H，根據(jù)平行線分線段成比例定理得到CH＝HD，BDDH=BFEF=3，計(jì)算即可．
【解答】解：過點(diǎn)E作EH∥AD交BC于H，
則CHHD=CEEA，
∵BE是△ABC的中線，
∴CE＝EA，
∴CH＝HD，
∵EH∥AD，
∴BDDH=BFEF=3，
∴BDDC=32，
故選：B．
【變式6-1】（2022春?任城區(qū)校級(jí)期末）如圖，AD是△ABC的中線，E是AD上一點(diǎn)，且AE：ED＝1：2，BE的延長(zhǎng)線交AC于F，則AF：FC＝ 1：4 ．
【分析】作DH∥BF交AC于H，根據(jù)三角形中位線定理得到FH＝HC，根據(jù)平行線分線段成比例定理得出比例式，計(jì)算得到答案．
【解答】解：作DH∥BF交AC于H，
∵AD是△ABC的中線，
∴FH＝HC，
∵DH∥BF，
∴AFFH=AEED=12，
∴AF：FC＝1：4，
故答案為：1：4
【變式6-2】（2009秋?北京校級(jí)期中）如圖，在△ABC中，點(diǎn)D為BC上一點(diǎn)，點(diǎn)P在AD上，過點(diǎn)P作PM∥AC交AB于點(diǎn)M，作PN∥AB交AC于點(diǎn)N．
（1）若點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)，且AP：PD＝2：1，求AM：AB的值；
（2）若點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)，試證明AMAB=ANAC；
（3）若點(diǎn)D是BC上任意一點(diǎn)，試證明AMAB+ANAC=APAD．
【分析】（1）過點(diǎn)D作DE∥PM交AB于E，由點(diǎn)D為BC中點(diǎn)與AP：PD＝2：1，根據(jù)平行線分線段成比例定理，即可求得AM：AB的值；
（2）延長(zhǎng)AD至點(diǎn)Q，使DQ＝AD，連BQ、CQ，易得四邊形ABQC是平行四邊形，由平行四邊形的性質(zhì)可得PM∥BQ，PN∥CQ，繼而可得AMAB=ANAC；
（3）過點(diǎn)D作DE∥PM交AB于E，即可得AMAE=APAD，又由PM∥AC，根據(jù)平行線分線段成比例定理可得AEAB=CDBC，繼而求得AMAB+ANAC=APAD．
【解答】解：（1）過點(diǎn)D作DE∥PM交AB于E，
∵點(diǎn)D為BC中點(diǎn)，
∴點(diǎn)E是AB中點(diǎn)，且AMAE=APAD，（2分）
∴AMAB=AM2AE=13；
（2）延長(zhǎng)AD至點(diǎn)Q，使DQ＝AD，連BQ、CQ，
則四邊形ABQC是平行四邊形．
∴PM∥BQ，PN∥CQ，
∴AMAB=APAQ，ANAC=APAQ，
∴AMAB=ANAC；
（注：像第（1）題那樣作輔助線也可以．）
（3）過點(diǎn)D作DE∥PM交AB于E，
∴AMAE=APAD，
又∵PM∥AC，
∴DE∥AC
∴AEAB=CDBC，
∴AMAB=AMAE×AEAB=APAD×CDBC；
同理可得：ANAC=APAD×BDBC，
∴AMAB+ANAC=APAD×(CDBC+BDBC)=APAD．
（注：如果像第（2）題那樣添輔助線，也可以證．）
【變式6-3】（2022春?西湖區(qū)校級(jí)期中）如圖，在△ABC中，AD是BC上的中線，點(diǎn)F為AD的中點(diǎn)，連接BF并延長(zhǎng)交AC于點(diǎn)E，設(shè)AEEC=m，EFFB=n，則m+n＝（ ）
A．12B．23C．56D．32
【分析】取CE中點(diǎn)G，連接DG，由中位線定理可得DG∥BE，再由點(diǎn)F為AD中點(diǎn)可得點(diǎn)E為AG中點(diǎn)，可求得m，由中位線定理可得EF=12DG，DG=12BE，可求出n，即可得出答案．
【解答】解：取CE中點(diǎn)G，連接DG，
∵點(diǎn)D為BC中點(diǎn)，
∴DG為△BCE的中位線，
∴DG=12BE，DG∥BE，
∵點(diǎn)F為AD中點(diǎn)，EF∥DG，
∴EF為△ADG的中位線，
∴點(diǎn)E為AG中點(diǎn)，EF=12DG，
∴AEEC=12，EF=14BE，
∴EFFB=13，
即m=12，n=13，
∴m+n=56，
故選：C．
【題型7 多次利用平行線分線段成比例進(jìn)行計(jì)算】
【例7】（2022?寧陽縣一模）如圖，在△ABC中，D在AC邊上，AD：DC＝1：2，O是BD的中點(diǎn)，連接AO并延長(zhǎng)交BC于E，若BE＝1，則EC＝（ ）
A．32B．2C．3D．4
【分析】過D點(diǎn)作DF∥CE交AE于F，如圖，先由DF∥BE，根據(jù)平行線分線段成比例得到DF＝BE＝3，再由DF∥CE得到比例式，然后利用比例的性質(zhì)求CE的長(zhǎng)．
【解答】解：過D點(diǎn)作DF∥CE交AE于F，如圖，
∵DF∥BE，
∴DFBE=ODOB，
∵O是BD的中點(diǎn)，
∴OB＝OD，
∴DF＝BE＝1，
∵DF∥CE，
∴DFCE=ADAC
∵AD：DC＝1：2，
∴AD：AC＝1：3，
∴DFCE=13，
∴CE＝3DF＝3×1＝3．
故選：C．
【變式7-1】（2022秋?虹口區(qū)期末）在△ABC中，點(diǎn)E、D、F分別在邊AB、BC、AC上，聯(lián)結(jié)DE、DF，如果DE∥AC，DF∥AB，AE：EB＝3：2，那么AF：FC的值是（ ）
A．32B．23C．25D．35
【分析】根據(jù)題目的已知條件畫出圖形，然后利用平行線分線段成比例解答即可．
【解答】解：如圖：
∵DE∥AC，AE：EB＝3：2，
∴AEEB=CDBD=32，
∴BDCD=23，
∵DF∥AB，
∴AFCF=BDCD=23，
故選：B．
【變式7-2】（2022秋?亳州期末）如圖，AD∥EF∥BC，點(diǎn)G是EF的中點(diǎn)，EFBC=35，若EF＝6，則AD的長(zhǎng)為（ ）
A．6B．132C．7D．152
【分析】根據(jù)平行線分線段成比例定理得EFBC=AEAB=35，BEAB=25，再根據(jù)平行線分線段成比例定理得EGAD=BEAB=25，由中點(diǎn)的定義得EG＝3，代入即可求解．
【解答】解：∵EF∥BC，AB：BC＝2：3，
∴EFBC=AEAB=35，
∴BEAB=25，
∵AD∥EF，
∴EGAD=BEAB=25，
∵點(diǎn)G是EF的中點(diǎn)，
∴EG＝3，
∴3AD=25M
∴AD=152．
故選：D．
【變式7-3】（2022?邢臺(tái)模擬）在△ABC中，E、F是BC邊上的三等分點(diǎn)，BM是AC邊上的中線，AE、AF分BM為三段的長(zhǎng)分別是x、y、z，若這三段有x＞y＞z，則x：y：z等于（ ）
A．3：2：1B．4：2：1C．5：2：1D．5：3：2
【分析】如圖，作MH∥BC交AE于H，交AF于G，設(shè)AE交BM于K，AF交BM于J．首先證明HG＝MG=12CF，再利用平行線分線段成比例定理構(gòu)建方程組即可解決問題．
【解答】解：如圖，作MH∥BC交AE于H，交AF于G，設(shè)AE交BM于K，AF交BM于J．
∵M(jìn)H∥BC，
∴GMCF=AGAF=GHEF=AMAC=12，
∵BE＝EF＝CF，
∴HG＝MG=12CF，
∴HMBE=MKKB=11，
∴y+z＝x，
∴GMBF=MJJB=14，
∴x+y＝4z，
∴x=52z，y=32z，
∴x：y：z＝5：3：2，
故選：D．
【題型8 平行線分線段成比例中的常作輔助線】
【例8】（2022?襄陽）如圖，在△ABC中，D是AC的中點(diǎn)，△ABC的角平分線AE交BD于點(diǎn)F，若BF：FD＝3：1，AB+BE＝33，則△ABC的周長(zhǎng)為 53 ．
【分析】如圖，過點(diǎn)F作FM⊥AB于點(diǎn)M，F(xiàn)N⊥AC于點(diǎn)N，過點(diǎn)D作DT∥AE交BC于點(diǎn)T．證明AB＝3AD，設(shè)AD＝CD＝a，證明ET＝CT，設(shè)ET＝CT＝b，則BE＝3b，求出a+b，可得結(jié)論．
【解答】解：如圖，過點(diǎn)F作FM⊥AB于點(diǎn)M，F(xiàn)N⊥AC于點(diǎn)N，過點(diǎn)D作DT∥AE交BC于點(diǎn)T．
∵AE平分∠BAC，F(xiàn)M⊥AB，F(xiàn)N⊥AC，
∴FM＝FN，
∴S△ABFS△ADF=BFDF=12?AB?FM12?CB?DT=3，
∴AB＝3AD，
設(shè)AD＝DC＝a，則AB＝3a，
∵AD＝DC，DT∥AE，
∴ET＝CT，
∴BEET=BFDF=3，
設(shè)ET＝CT＝b，則BE＝3b，
∵AB+BE＝33，
∴3a+3b＝33，
∴a+b=3，
∴△ABC的周長(zhǎng)＝AB+AC+BC＝5a+5b＝53，
故答案為：53．
【變式8-1】（2022?雁塔區(qū)校級(jí)模擬）如圖，已知點(diǎn)F在AB上，且AF：BF＝1：2，點(diǎn)D是BC延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，BC：CD＝2：1，連接FD與AC交于點(diǎn)M，則FN：ND＝ 2：3 ．
【分析】過點(diǎn)F作FE∥BD，交AC于點(diǎn)E，求出EFBC=13，得出FE=13BC，根據(jù)已知推出CD=12BC，根據(jù)平行線分線段成比例定理推出FNND=EFCD，代入化簡(jiǎn)即可．
【解答】解：過點(diǎn)F作FE∥BD，交AC于點(diǎn)E，
∴EFBC=AFAB，
∵AF：BF＝1：2，
∴AFAB=13，
∴FEBC=13，
即FE=13BC，
∵BC：CD＝2：1，
∴CD=12BC，
∵FE∥BD，
∴FNND=FECD=13BC12BC=23．
即FN：ND＝2：3．
故答案為：2：3．
【變式8-2】（2022秋?六盤水期末）如圖，已知四邊形ABCD，點(diǎn)E、F分別在BC、CD上，且CE：BE＝2：3，DF：CF＝1：2，BF與DE相交于點(diǎn)G，則DG：GE＝ 5：6 ．
【分析】如圖，過點(diǎn)E作ET∥BF交CD于點(diǎn)，利用平行線分線段成比例定理求出DF：FT可得結(jié)論．
【解答】解：如圖，過點(diǎn)E作ET∥BF交CD于點(diǎn)T．
∵ET∥BF，
∴CT：FT＝CE：EB＝2：3，
∵DF：CF＝1：2，
∴DF：TF＝5：6，
∵FG∥ET，
∴DG：GE＝DF：FT＝5：6，
故答案為：5：6．
【變式8-3】（2022?宿遷）如圖，在△ABC中，AB＝4，BC＝5，點(diǎn)D、E分別在BC、AC上，CD＝2BD，CE＝2AE，BE交AD于點(diǎn)F，則△AFE面積的最大值是 43 ．
【分析】連接DE．首先證明DE∥AB，推出S△ABE＝S△ABD，推出S△AEF＝S△BDF，可得S△AEF=25S△ABD，求出△ABD面積的最大值即可解決問題．
【解答】解：連接DE．
∵CD＝2BD，CE＝2AE，
∴CDBD=CEAE=2，
∴DE∥AB，
∴△CDE∽△CBA，
∴DEBA=CDCB=23，
∴DFAF=DEBA=23，
∵DE∥AB，
∴S△ABE＝S△ABD，
∴S△AEF＝S△BDF，
∴S△AEF=25S△ABD，
∵BD=13BC=53，
∴當(dāng)AB⊥BD時(shí)，△ABD的面積最大，最大值=12×53×4=103，
∴△AEF的面積的最大值=25×103=43，
故答案為：43

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