中考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)：專題23.6 圖形的位似變換【八大題型】（舉一反三）（華東師大版）（解析版）-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

TOC \ "1-3" \h \u
\l "_Tc12520" 【題型1 位似圖形的相關(guān)概念辨析】 PAGEREF _Tc12520 \h 1
\l "_Tc8877" 【題型2 判斷位似中心】 PAGEREF _Tc8877 \h 4
\l "_Tc31250" 【題型3 求位似圖形的相似比】 PAGEREF _Tc31250 \h 7
\l "_Tc19188" 【題型4 求位似圖形的長(zhǎng)度】 PAGEREF _Tc19188 \h 10
\l "_Tc31631" 【題型5 求位似圖形的面積】 PAGEREF _Tc31631 \h 12
\l "_Tc18087" 【題型6 求位似圖形的周長(zhǎng)】 PAGEREF _Tc18087 \h 15
\l "_Tc14992" 【題型7 求位似圖形的坐標(biāo)】 PAGEREF _Tc14992 \h 17
\l "_Tc23410" 【題型8 格點(diǎn)中作位似圖形】 PAGEREF _Tc23410 \h 21
【知識(shí)點(diǎn)1 位似圖形】
1、定義：一般的，如果兩個(gè)相似多邊形任意一組對(duì)應(yīng)頂點(diǎn),所在的直線都經(jīng)過(guò)同一點(diǎn)，且有=，那么這樣的兩個(gè)多邊形叫做位似多邊形，點(diǎn)叫做位似中心
2、性質(zhì)：位似圖形上任意一對(duì)對(duì)應(yīng)點(diǎn)到位似中心的距離之比等于相似比
3、畫(huà)圖步驟：
（1）尺規(guī)作圖法：① 確定位似中心；②確定原圖形中的關(guān)鍵點(diǎn)關(guān)于中心的對(duì)應(yīng)點(diǎn)； = 3 \* GB3 ③描出新圖形
（2）坐標(biāo)法：在平面直角坐標(biāo)系中，將一個(gè)多邊形每個(gè)頂點(diǎn)的橫坐標(biāo)、縱坐標(biāo)都乘于同一個(gè)數(shù)，
所對(duì)應(yīng)的圖形與原圖形位似，位似中心是坐標(biāo)原點(diǎn)，它們的相似比為
【題型1 位似圖形的相關(guān)概念辨析】
【例1】（2022·全國(guó)·九年級(jí)專題練習(xí)）下列命題：①兩個(gè)相似多邊形面積之比等于相似比的平方：②兩個(gè)相似三角形的對(duì)應(yīng)高之比等于它們的相似比；③在△ABC與△A'B'C'中，ABA'B'=ACA'C'，∠A=∠A'，那么△ABC～△A'B'C'；④已知△ABC及位似中心O，能夠作一個(gè)且只能作一個(gè)三角形與△ABC位似，使位似比為2其中真命題的個(gè)數(shù)是（）
A．1個(gè)B．2個(gè)C．3個(gè)D．4個(gè)
【答案】C
【分析】根據(jù)相似三角形的性質(zhì)及位似比的概念解答即可．
【詳解】①正確，兩個(gè)相似多邊形面積之比等于相似比的平方；
②正確，兩個(gè)相似三角形的對(duì)應(yīng)高之比等于它們的相似比；
③正確，根據(jù)兩邊對(duì)應(yīng)成比例且?jiàn)A角相等的兩個(gè)三角形相似可得：在△ABC與△A′B′C′中，ABA'B'=ACA'C'，∠A=∠A′，那么△ABC～△A′B′C′；
④錯(cuò)誤，因?yàn)橐阎鰽BC及位似中心O，能夠作兩個(gè)三角形與△ABC位似，且位似比為2．
故選：C．
【點(diǎn)睛】本題考查了命題的真假判斷，涉及到相似三角形的性質(zhì)和位似比的有關(guān)概念，熟記性質(zhì)概念是解題的關(guān)鍵．
【變式1-1】（2022·江蘇·九年級(jí)專題練習(xí)）下列語(yǔ)句中，不正確的是（）
A．位似的圖形都是相似的圖形
B．相似的圖形都是位似的圖形
C．位似圖形的位似比等于相似比
D．位似中心可以在兩個(gè)圖形外部，也可以在兩個(gè)圖形內(nèi)部
【答案】B
【分析】利用位似圖形的性質(zhì)分別判斷得出即可．
【詳解】A、位似的圖形都是相似的圖形，正確，不合題意；
B、相似的圖形不一定是位似的圖形，錯(cuò)誤，符合題意；
C、位似圖形的位似比等于相似比，正確，不合題意；
D、位似中心可以在兩個(gè)圖形外部，也可以在兩個(gè)圖形內(nèi)部，正確，不合題意．
故選：B．
【點(diǎn)睛】此題主要考查了位似圖形的性質(zhì)，正確掌握位似圖形的相關(guān)性質(zhì)是解題關(guān)鍵．
【變式1-2】（2022·四川達(dá)州·九年級(jí)期末）下列說(shuō)法中正確的有（）
①位似圖形都相似；
②兩個(gè)等腰三角形一定相似；
③兩個(gè)相似多邊形的面積比是2:3，則周長(zhǎng)比為4:9；
④若一個(gè)矩形的四邊形分別比另一個(gè)矩形的四邊形長(zhǎng)2，那么這兩個(gè)矩形一定相似．
A．1個(gè)B．2個(gè)C．3個(gè)D．4個(gè)
【答案】A
【分析】根據(jù)位似變換的概念、相似多邊形的判定定理和性質(zhì)定理判斷．
【詳解】解：①位似圖形都相似，本選項(xiàng)說(shuō)法正確；
②兩個(gè)等腰三角形不一定相似，本選項(xiàng)說(shuō)法錯(cuò)誤；
③兩個(gè)相似多邊形的面積比是2：3，則周長(zhǎng)比為2:3，本選項(xiàng)說(shuō)法錯(cuò)誤；
④若一個(gè)矩形的四邊分別比另一個(gè)矩形的四邊長(zhǎng)2，那么這兩個(gè)矩形對(duì)應(yīng)邊的比不一定相等，兩個(gè)矩形不一定一定相似，本選項(xiàng)說(shuō)法錯(cuò)誤；
∴正確的只有①；
故選：A．
【點(diǎn)睛】本題考查的是位似變換、相似多邊形的判定和性質(zhì)，掌握位似變換的概念、相似多邊形的判定定理和性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．
【變式1-3】（2022·山東青島·九年級(jí)單元測(cè)試）關(guān)于對(duì)位似圖形的4個(gè)表述中：
①相似圖形一定是位似圖形，位似圖形一定是相似圖形；
②位似圖形一定有位似中心；
③如果兩個(gè)圖形是相似圖形，且每組對(duì)應(yīng)點(diǎn)的連線所在的直線都經(jīng)過(guò)同一個(gè)點(diǎn)，那么，這兩個(gè)圖形是位似圖形；
④位似圖形上任意兩點(diǎn)與位似中心的距離之比等于位似比．
正確的個(gè)數(shù)( )
A．1個(gè)B．2個(gè)C．3個(gè)D．4個(gè)
【答案】A
【分析】根據(jù)位似變換的概念和性質(zhì)對(duì)各個(gè)選項(xiàng)進(jìn)行判斷即可．
【詳解】相似圖形不一定是位似圖形，位似圖形一定是相似圖形，①錯(cuò)誤；
位似圖形一定有位似中心，②正確；
根據(jù)位似的定義，除上述條件還需有對(duì)應(yīng)邊平行，或位于同一條直線上，③錯(cuò)誤；
反例如下圖,△ABC∽△A1B1C1，并且每組對(duì)應(yīng)點(diǎn)的連線所在的直線都經(jīng)過(guò)同一個(gè)點(diǎn)B1，但是這兩個(gè)三角形不是位似圖形.

位似圖形上對(duì)應(yīng)兩點(diǎn)與位似中心的距離之比等于位似比，④錯(cuò)誤．
故選A．
【點(diǎn)睛】本題考查的是位似變換的概念和性質(zhì)，位似圖形的定義：如果兩個(gè)圖形不僅是相似圖形，而且對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)的連線相交于一點(diǎn)，對(duì)應(yīng)邊互相平行，那么這樣的兩個(gè)圖形叫做位似圖形，這個(gè)點(diǎn)叫做位似中心．注意：①兩個(gè)圖形必須是相似形；②對(duì)應(yīng)點(diǎn)的連線都經(jīng)過(guò)同一點(diǎn)；③對(duì)應(yīng)邊平行．
【題型2 判斷位似中心】
【例2】（2022·全國(guó)·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，正方形OEFG和正方形ABCD是位似圖形，且點(diǎn)D與點(diǎn)G是一對(duì)對(duì)應(yīng)點(diǎn)，點(diǎn)D2，2，點(diǎn)G0，1，則它們位似中心的坐標(biāo)是（）
A．(?2，0)B．(?1，0)C．(0，0)D．(?3，0)
【答案】A
【分析】根據(jù)兩個(gè)位似圖形對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)所在的直線相交于一點(diǎn)，交點(diǎn)就是位似中心，可得連接DG并延長(zhǎng)，其與x軸交點(diǎn)即為位似中心，用待定系數(shù)法求出直線DG解析式，即可求解．
【詳解】解；連接DG并延長(zhǎng)交x軸于M，
∵點(diǎn)D與點(diǎn)G是一對(duì)對(duì)應(yīng)點(diǎn)，
則可知兩個(gè)位似圖形在位似中心的同旁，位似中心就是點(diǎn)M，
設(shè)直線DG解析式為；y=kx+b ，
將D2，2，G0，1代入得：
2k+b=2b=1 ，
解得：k=12b=1 ，
∴直線DG解析式為y=12x+1 ，
令y=0，可得：x=?2 ，
∴M(?2，0)
即位似中心的坐標(biāo)是(?2，0)．
故選A．
【點(diǎn)睛】考題考查了判斷位似中心和求解位似中心，待定系數(shù)法求一次函數(shù)，熟練掌握位似中心的定義是解題的關(guān)鍵．
【變式2-1】（2022·北京師大附中九年級(jí)階段練習(xí)）圖中的兩個(gè)三角形是位似圖形，它們的位似中心是（）
A．點(diǎn)PB．點(diǎn)OC．點(diǎn)MD．點(diǎn)N
【答案】A
【分析】根據(jù)位似變換的定義：對(duì)應(yīng)點(diǎn)的連線交于一點(diǎn)，交點(diǎn)就是位似中心．即位似中心一定在對(duì)應(yīng)點(diǎn)的連線上．
【詳解】點(diǎn)P在對(duì)應(yīng)點(diǎn)M和點(diǎn)N所在直線上，
∴兩個(gè)三角形的位似中心是：點(diǎn)P．
故選A．
【點(diǎn)睛】此題主要考查了位似變換，正確掌握位似圖形的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．
【變式2-2】（2022·全國(guó)·九年級(jí)單元測(cè)試）下列四邊形ABCD和四邊形EFGD是位似圖形，它們的位似中心是（）
A．點(diǎn)EB．點(diǎn)FC．點(diǎn)GD．點(diǎn)D
【答案】D
【分析】利用位似圖形的對(duì)應(yīng)點(diǎn)的連線都經(jīng)過(guò)同一點(diǎn)進(jìn)行判斷．
【詳解】四邊形ABCD和四邊形EFGD是位似圖形，它們的位似中心是點(diǎn)D．
故選D．
【點(diǎn)睛】本題考查了位似變換：兩位似圖形的對(duì)應(yīng)點(diǎn)的連線都經(jīng)過(guò)同一點(diǎn)；對(duì)應(yīng)邊平行．
【變式2-3】（2022·江蘇·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，矩形ABCD與矩形EFGO是位似圖形，位似中心在y軸上，對(duì)應(yīng)點(diǎn)B、F的坐標(biāo)分別為（﹣4，4）、（2，1），則位似中心的坐標(biāo)為（）
A．（0，1）B．（0，2）C．（0，3）D．（0，4）
【答案】B
【分析】如圖，連接BF交y軸于P，根據(jù)位似圖形的定義可得點(diǎn)P為位似中心，根據(jù)點(diǎn)B、F坐標(biāo)可得點(diǎn)C、G坐標(biāo)，可得CG的長(zhǎng)，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可求出GP的長(zhǎng)，即可求出點(diǎn)P的坐標(biāo)．
【詳解】如圖，連接BF交y軸于P，
∵矩形ABCD與矩形EFGO是位似圖形，位似中心在y軸上，點(diǎn)B、F為對(duì)應(yīng)點(diǎn)，
∴點(diǎn)P為位似中心，
∵四邊形ABCD和四邊形EFGO是矩形，點(diǎn)B，F(xiàn)的坐標(biāo)分別為（﹣4，4），（2，1），
∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，4），點(diǎn)G的坐標(biāo)為（0，1），BC=4，GF=2，OG=1，
∴CG＝3，
∵BC∥GF，
∴△BCP∽△FGP，
∴GPPC＝GFBC＝12，PC=CG-PG，
解得：GP＝1，
∴OP=OG+GP=2，
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（0，2），
故選：B．
【點(diǎn)睛】本題考查位似圖形的定義、相似三角形的判定與性質(zhì)，理解位似圖形的定義、熟練掌握相似三角形的判定定理是解題關(guān)鍵．
【題型3 求位似圖形的相似比】
【例3】（2022·湖北恩施·二模）如圖，在邊長(zhǎng)為1的正方形網(wǎng)格中，△ABC與△DEF是位似圖形，則△ABC與△DEF的相似比為（）．
A．12B．13C．22D．2
【答案】D
【分析】△ABC與△DEF是位似圖形，所以△ABC∽△DEF，根據(jù)勾股定理求出AB和DE即可解答．
【詳解】解：∵△ABC與△DEF是位似圖形，
∴△ABC∽△DEF，
由圖可知AB=22+22=22，DE=12+12=2，
∴ABDE=222=2
∴△ABC與△DEF的相似比為2，
故選：D．
【點(diǎn)睛】本題考查位似圖形的性質(zhì)．
【變式3-1】（2022·全國(guó)·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，已知△ABC與△DEF位似，位似中心為點(diǎn)O，△ABC的面積與△DEF面積之比為16：9，則CO:OF的值為（）
A．3：4B．4：7C．4：3D．7：4
【答案】C
【分析】根據(jù)位似圖形的概念得到AC∥DF，進(jìn)而證明△AOC∽△DOF，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)解答即可．
【詳解】解：∵△ABC與△DEF位似，
∴△ABC∽△DEF，AC∥DF，
∵△ABC的面積與△DEF面積之比為16：9，
∴ACDF=43，
∴△AOC∽△DOF，
∴OCOF=ACDF=43，
故選：C．
【點(diǎn)睛】本題考查的是位似圖形、相似三角形的性質(zhì)，掌握相似三角形的面積比等于相似比的平方是解題的關(guān)鍵．
【變式3-2】．（2022·福建廈門·模擬預(yù)測(cè)）如圖，把△AOB縮小后得到△COD，則△AOB與△COD的相似比為_(kāi)_____．
【答案】5:2
【分析】根據(jù)位似變換的性質(zhì)，三角形的相似比等于OBOD=52即可得出結(jié)論．
【詳解】解：如圖所示，D2,0、B5,0，
∵把△AOB縮小后得到△COD，
∴位似比為OBOD=52，則△AOB與△COD的相似比為5:2，
故答案為：5:2．
【點(diǎn)睛】本題考查的是位似變換的性質(zhì)，掌握在平面直角坐標(biāo)系中，如果位似變換是以原點(diǎn)為位似中心，相似比為k，那么位似圖形對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)的比等于k或?k是解題的關(guān)鍵．
【變式3-3】（2022·全國(guó)·九年級(jí)單元測(cè)試）△ABC三個(gè)頂點(diǎn)A(3, 6)、B(6, 2)、C(2, ?1)，以原點(diǎn)為位似中心，得到的位似圖形△A'B'C'三個(gè)頂點(diǎn)分別為A'(1, 2)，B'(2, 23)，C(23, ?13)，則△A'B'C'與△ABC的位似比是________．
【答案】1:3
【分析】由△ABC三個(gè)頂點(diǎn)A（3，6）、B（6，2）、C（2，﹣1），以原點(diǎn)為位似中心，得到的位似圖形△A′B′C′三個(gè)頂點(diǎn)分別為A′（1，2），B′（2，23），C（23，﹣13），根據(jù)位似圖形的性質(zhì)，即可求得△A′B′C′與△ABC的位似比．
【詳解】解：∵△ABC三個(gè)頂點(diǎn)A（3，6）、B（6，2）、C（2，﹣1），以原點(diǎn)為位似中心，得到的位似圖形△A′B′C′三個(gè)頂點(diǎn)分別為A′（1，2），B′（2，23），C（23，﹣13），∴△A′B′C′與△ABC的位似比是：1：3．
故答案為1：3．
【點(diǎn)睛】本題考查了位似圖形的性質(zhì)．此題比較簡(jiǎn)單，注意以原點(diǎn)為位似中心的位似圖形的位似比是對(duì)應(yīng)點(diǎn)的對(duì)應(yīng)坐標(biāo)的比．
【題型4 求位似圖形的長(zhǎng)度】
【例4】（2022·重慶·一模）如圖，△ABC與△DEF是位似圖形，且位似中心為O，OB:OF=3:2，若線段AC=9，則線段DE的長(zhǎng)為（）
A．2B．4C．6D．8
【答案】C
【分析】利用位似圖形的概念得到AB∥DF，△ABC∽△DFE，進(jìn)而求出ABDF=32，求解即可．
【詳解】解：∵△ABC與△DEF是位似圖形，
∴AB∥DF，△ABC∽△DFE，
∴ABDF=OBOF=32，ACDE=ABDF，
∵AC=9，
∴9DE=32，解之得：DE=6，
故選：C．
【點(diǎn)睛】本題考查的是位似變換的概念和性質(zhì)，相似三角形的性質(zhì)，根據(jù)位似圖形概念得到AB∥DF，△ABC∽△DFE，是解題的關(guān)鍵．
【變式4-1】（2022·全國(guó)·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，已知△ABC與△A′B′C′是以坐標(biāo)原點(diǎn)O為位似中心的位似圖形，且OAOA'=12，若點(diǎn)A（﹣1，0），點(diǎn)C（12，1），則A′C′=_____．
【答案】13
【分析】根據(jù)位似圖形的性質(zhì)和已知求出A′、C′的坐標(biāo)，根據(jù)兩點(diǎn)間的距離公式求出A′C′即可．
【詳解】∵△ABC與△A′B′C′是以坐標(biāo)原點(diǎn)O為位似中心的位似圖形，且OAOA'=12，點(diǎn)A（﹣1，0），點(diǎn)C（12，1），∴A′（﹣2，0），C′（1，2），∴A′C′=(?2?1)2+(0?2)2=32+22=13．
故答案為13．
【點(diǎn)睛】本題考查了位似變換、坐標(biāo)與圖形性質(zhì)、兩點(diǎn)間的距離公式等知識(shí)點(diǎn)，求出點(diǎn)A′和C′的坐標(biāo)是解答此題的關(guān)鍵．
【變式4-2】（2022·全國(guó)·九年級(jí)專題練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系中，已知A(6, 3)、B(6, 0)兩點(diǎn)，以坐標(biāo)原點(diǎn)O為位似中心，相似比為13，把線段AB縮小后得到線段A'B'，則A'B'的長(zhǎng)度等于________．
【答案】1
【分析】已知A（6，3）、B（6，0）兩點(diǎn)則AB=3，以坐標(biāo)原點(diǎn)O為位似中心，相似比為13，則A′B′：AB=1：3．即可得出A′B′的長(zhǎng)度等于1．
【詳解】∵A（6，3）、B（6，0），∴AB=3．
又∵相似比為13，∴A′B′：AB=1：3，∴A′B′=1．
【點(diǎn)睛】本題主要考查位似的性質(zhì)，位似比就是相似比．
【變式4-3】（2022·全國(guó)·九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，在矩形ABCD中，AB=8，BC=4．若矩形AEFG與矩形ABCD位似，點(diǎn)F在矩形ABCD的內(nèi)部，且相似比為3:4，則點(diǎn)C、F之間的距離為_(kāi)________．
【答案】5
【分析】連接AC，先由勾股定理求得AC=4，再根據(jù)矩形AEFG與矩形ABCD位似，點(diǎn)F在矩形ABCD的內(nèi)部，且相似比為3:4，得AFAC=34，即可求出AF長(zhǎng)，然后由CF=AC-A即可求解．
【詳解】解：如圖，連接AC，
∵矩形ABCD，
∴∠B=90°
∴AC=AB2+BC2=82+42=45，
∵矩形AEFG與矩形ABCD位似，點(diǎn)F在矩形ABCD的內(nèi)部，且相似比為3:4，
∴點(diǎn)F在AC上，
∴AFAC=34，即AF45=34，
∴AF=35，
∴CF=AC-AF=45-35=5，
故答案為：5．
【點(diǎn)睛】本題考查矩形的性質(zhì)，勾股定理，位似圖形的性質(zhì)，熟練掌握位似圖形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
【題型5 求位似圖形的面積】
【例5】（2022·河北·石家莊外國(guó)語(yǔ)教育集團(tuán)九年級(jí)階段練習(xí)）如圖，△ABC與△ADE成位似圖形，位似中心為點(diǎn)A，若AD:AB=1:3，則△ADE與△ABC面積之比為（）
A．1:2B．1:3C．1:9D．1:16
【答案】C
【分析】根據(jù)三角形面積比與位似比的關(guān)系求解．
【詳解】解：由題意得△ADE與 △ABC的位似比為1：3，
∴△ADE 與 △ABC 面積之比為132=19=1：9，
故選C ．
【點(diǎn)睛】本題考查位似三角形的應(yīng)用，熟練掌握位似三角形的面積比等于位似比的平方是解題關(guān)鍵．
【變式5-1】（2022·重慶市巴川中學(xué)校八年級(jí)期末）如圖，△ABC與△A'B'C'位似，位似中心為點(diǎn)O，OA'=2AA'，△ABC的面積為9，則△A'B'C'面積為（）
A．4B．6C．92D．94
【答案】A
【分析】根據(jù)位似圖形的概念得到△ABC∽△A'B'C'，AB∥ A'B'，可得△OAB∽△OA'B'，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到ABA'B'=32，根據(jù)相似三角形的面積比等于相似比的平方即可解決問(wèn)題．
【詳解】解：∵△ABC與△A'B'C'位似，
∴△ABC∽△A'B'C'，AB∥ A'B'，
∴△OAB∽△OA'B'，
∴ABA'B'=OAOA'=32，
∴△ABC的面積：△A'B'C'的面積＝9：4，
∵△ABC的面積為9，
∴△A'B'C'的面積為：4，
故選：A．
【點(diǎn)睛】本題考查的是位似變換、相似三角形的判定和性質(zhì)，掌握相似三角形的面積比等于相似比的平方是解題的關(guān)鍵．
【變式5-2】（2022·全國(guó)·九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，已知?ABCD的面積為24，以B為位似中心，作?ABCD的位似圖形?EBFG，位似圖形與原圖形的位似比為23，連接AG、DG．則△ADG的面積為_(kāi)_______．
【答案】4
【分析】延長(zhǎng)EG交CD于點(diǎn)H，由題意可得四邊形AEHD是平行四邊形，則可得此平行四邊形的面積為8，從而可得△ADG的面積．
【詳解】延長(zhǎng)EG交CD于點(diǎn)H，如圖，
∵四邊形ABCD是平行四邊形，四邊形EBFG是平行四邊形，
∴AB∥CD，AD∥BC；BF∥EG，
∴AD∥EG，
∴四邊形AEHD是平行四邊形，
∴S△ADG=12S?AEHD．
∵位似圖形與原圖形的位似比為23，
∴BE=23AB，
即AE=13AB，
∴S?AEHD=13S?ABCD=8，
∴S△ADG=12S?AEHD=12×8=4．
故答案為：4．
【點(diǎn)睛】本題考查了位似圖形的性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)與判定，掌握這些性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
【變式5-3】（2022·全國(guó)·九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，正方形A1B1C1A2與正方形A2B2C2A3是以O(shè)為位似中心的位似圖形，且位似比為，點(diǎn)A1，A2，A3在x軸上，延長(zhǎng)A3C2交射線OB1與點(diǎn)B3，以A3B3為邊作正方形A3B3C3A4；延長(zhǎng)A4C3交射線OB1與點(diǎn)B4，以A4B4為邊作正方形A4B4C4A5；…按照這樣的規(guī)律繼續(xù)下去，若OA1=1，則正方形A2021B2021C2022A2022的面積為_(kāi)_______．
【答案】24040
【分析】根據(jù)位似圖形的概念求出OA2，根據(jù)正方形的面積公式計(jì)算，總結(jié)規(guī)律，根據(jù)規(guī)律解答即可．
【詳解】解：∵正方形A1B1C1A2與正方形A2B2C2A3是以原點(diǎn)O為位似中心的位似圖形，且相似比為12，
∴A1B1A2B2=12，
∵A1B1⊥x軸，A2B2⊥x軸，
∴A1B1∥A2B2，
∴OA1B1∽△OA2B2，
∴OA1OA2=A1B1A2B2=12，
∵OA1=1，
∴OA2=2，
∴A1A2=1，
∴正方形A1B1C1A2的面積=1=40，
∵OA1=A1A2=A1B1=1，
∴∠B1OA1=45°，
∴OA2=A2B2=2，
∴正方形A2B2C2A3的面積=2×2=41，
∵A3B3⊥x軸，
∴OA3=A3B3=4，
∴正方形A3B3C3A4的面積=4×4=16=42，
……
則正方形A2021B2021C2021A2022的面積為42021-1=42020=24040，
故答案為：24040．
【點(diǎn)睛】本題考查的是位似圖形的性質(zhì)、圖形的變化規(guī)律，掌握位似圖形的性質(zhì)、相似多邊形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
【題型6 求位似圖形的周長(zhǎng)】
【例6】（2022·浙江溫州·二模）如圖，已知△ABC與△DEF是位似圖形，O是位似中心，若OA＝2OD，則△ABC與△DEF的周長(zhǎng)之比是（）
A．2：1B．3：1C．4：1D．6：1
【答案】A
【分析】根據(jù)位似圖形的概念得到△AOB∽△DOE，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)求出AB：DE，根據(jù)相似三角形的周長(zhǎng)比等于相似比解答即可．
【詳解】解：∵△ABC與△DEF是位似圖形，
∴AB∥DE，
∴△AOB∽△DOE，
∴ABDE=OAOD=2，
∴△ABC與△DEF的周長(zhǎng)之比是2：1．
故選A．
【點(diǎn)睛】本題考查的是位似變換的概念和性質(zhì)、相似三角形的性質(zhì)．
【變式6-1】（2022·全國(guó)·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，四邊形ABCD與四邊形EFGH位似，位似中心是O，若OA∶OE＝1∶3，且四邊形ABCD的周長(zhǎng)為4，則四邊形EFGH的周長(zhǎng)為（）
A．12B．16C．20D．24
【答案】A
【分析】根據(jù)位似的性質(zhì)，可知兩個(gè)四邊形的周長(zhǎng)之比也為1∶3，即可得解．
【詳解】解：由題知：OA∶OE＝1∶3
∴3CADCB=CHGFE=3×4=12，
故選A．
【點(diǎn)睛】本題考查了位似圖形的性質(zhì)，知道位似圖形周長(zhǎng)比等于相似比是解題的關(guān)鍵．
【變式6-2】（2022·重慶南岸·九年級(jí)期末）如圖，已知△ABC與△DEF位似，位似中心為點(diǎn)O，OA：OD＝1：3，且△ABC的周長(zhǎng)為2，則△DEF的周長(zhǎng)為（）
A．4B．6C．8D．18
【答案】B
【分析】由△ABC與△DEF是位似圖形，且OA:OD=1:3知△ABC與△DEF的位似比是1:3，從而得出△ABC周長(zhǎng)：△DEF周長(zhǎng)=1:3，由此即可解答．
【詳解】解：∵△ABC與△DEF是位似圖形，且OA:OD=1:3，
∴△ABC與△DEF的位似比是1:3．
則△ABC周長(zhǎng)：△DEF周長(zhǎng)=1:3，
∵△ABC的周長(zhǎng)為2，
∴△DEF周長(zhǎng)=2×3=6
故選：B．
【點(diǎn)睛】本題考查了位似變換：位似圖形的任意一對(duì)對(duì)應(yīng)點(diǎn)與位似中心在同一直線上，它們到位似中心的距離之比等于相似比，位似是相似的特殊形式，位似比等于相似比，其對(duì)應(yīng)的周長(zhǎng)比等于相似比．
【變式6-3】（2022·全國(guó)·九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，△ABC與△DEF位似，點(diǎn)O是位似中心．若OA:AD=2:3，△DEF與△ABC的周長(zhǎng)差為12cm，則△ABC的周長(zhǎng)為（）
A．6cmB．8cmC．10cmD．12cm
【答案】B
【分析】根據(jù)：位似圖形高、周長(zhǎng)的比都等于相似比即可解答．求出△DEF與△ABC的相似比為5:2即可．
【詳解】∵OA:AD=2:3
∴OA:OD=2:5
∴△DEF與△ABC的周長(zhǎng)比為5:2
∵△DEF與△ABC的周長(zhǎng)差為12cm
∴△ABC的周長(zhǎng)=12×25?2=8(cm)
故選：B
【點(diǎn)睛】本題主要考查了位似比，熟練的掌握位似圖形高、周長(zhǎng)的比都等于相似比是解題的關(guān)鍵．
【題型7 求位似圖形的坐標(biāo)】
【例7】（2022·河北·泊頭市教師發(fā)展中心九年級(jí)期中）如圖所示，在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)A（-4，2），B（-2，-2）．以坐標(biāo)原點(diǎn)O為位似中心把△AOB縮小得到△A1OB1，△A1OB1與△AOB的位似比為12，則點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)A1的坐標(biāo)為_(kāi)______．
【答案】（-2，1）或（2，-1）
【分析】根據(jù)在平面直角坐標(biāo)系中，以原點(diǎn)為位似中心的位似圖形，如果相似比為k，那么位似圖形對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)的比等于k或-k計(jì)算，得到答案．
【詳解】解∶∵以坐標(biāo)原點(diǎn)O為位似中心把△AOB縮小得到△A1OB1，△A1OB1與△AOB的位似比為12，
∴點(diǎn)A1的對(duì)應(yīng)點(diǎn)的橫縱坐標(biāo)與點(diǎn)A的橫縱坐標(biāo)的比值為12或-12，
∵A（-4，2），
∴A1的坐標(biāo)為(?4×12,2×12)或[?4×(?12),2×(?12)]，即(-2，1)或(2，-1)，
故答案為∶(-2，1)或(2，-1)．
【點(diǎn)睛】本題考查的是位似變換的概念和性質(zhì)，掌握在平面直角坐標(biāo)系中，以原點(diǎn)為位似中心的位似圖形，如果相似比為k，那么位似圖形對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)的比等于k或-k是解題的關(guān)鍵．
【變式7-1】（2022·甘肅·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，以原點(diǎn)O為位似中心，將△AOB縮小為原來(lái)的12，得到△COD，若點(diǎn)A的坐標(biāo)為（4，2），則AC的中點(diǎn)E的坐標(biāo)是 _____．
【答案】（1，12）
【分析】根據(jù)位似變換的性質(zhì)求出點(diǎn)C的坐標(biāo)，根據(jù)線段中點(diǎn)的性質(zhì)計(jì)算，求出點(diǎn)E的坐標(biāo)．
【詳解】∵以原點(diǎn)O為位似中心，將△AOB縮小為原來(lái)的12，得到△COD，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（4，2），
∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為（4×（?12），2×（?12）），即點(diǎn)C的坐標(biāo)為（﹣2，﹣1），
∴AC的中點(diǎn)E的坐標(biāo)是（1，12），
故答案為：（1，12）．
【點(diǎn)睛】本題考查的是位似變換的性質(zhì)、坐標(biāo)與圖形性質(zhì)，在平面直角坐標(biāo)系中，如果位似變換是以原點(diǎn)為位似中心，相似比為k,那么位似圖形對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)的比等于k或-k.
【變式7-2】（2022·全國(guó)·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，△ABC中，A，B兩個(gè)頂點(diǎn)在x軸的上方，點(diǎn)C的坐標(biāo)是?1,0．以點(diǎn)C為位似中心，在x軸的下方作△ABC的位似圖形△A'B'C，并把△ABC的邊長(zhǎng)放大到原來(lái)的2倍．設(shè)點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)B'的橫坐標(biāo)是m，則點(diǎn)B的橫坐標(biāo)是（）
A．?12m+3B．?12m+1C．?12m?1D．?12m
【答案】A
【分析】根據(jù)位似變換的性質(zhì)得出△ABC的邊長(zhǎng)放大到原來(lái)的2倍，F(xiàn)O=m，CF=m+1，CE=12（m+1），進(jìn)而得出點(diǎn)B的橫坐標(biāo)．
【詳解】解：過(guò)點(diǎn)B’作B’F⊥x軸，過(guò)點(diǎn)B作BE⊥x軸，
∵點(diǎn)C的坐標(biāo)是（-1，0）．以點(diǎn)C為位似中心，在x軸的下方作△ABC的位似圖形△A′B′C，并把△ABC的邊長(zhǎng)放大到原來(lái)的2倍．
點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)B′的橫坐標(biāo)是m，
∴FO=m，CF=m+1，
∴CE=12（m+1），
∴點(diǎn)B的橫坐標(biāo)是：-12（m+1）-1=-12（m+3）．
故選：A．
【點(diǎn)睛】本題考查的是位似圖形的概念、相似三角形的性質(zhì)，正確作出輔助線、靈活運(yùn)用相似三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
【變式7-3】（2022·山東·膠州市初級(jí)實(shí)驗(yàn)中學(xué)模擬預(yù)測(cè)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，正方形OABC與正方形ODEF是位似圖形，點(diǎn)O為位似中心，位似比為2：3，點(diǎn)B、E在第一象限，若點(diǎn)A的坐標(biāo)為（4，0），則點(diǎn)E的坐標(biāo)是_____．
【答案】（6，6）．
【分析】利用位似變換的概念和相似三角形的性質(zhì)進(jìn)行解答即可.
【詳解】解：∵正方形OABC與正方形ODEF是位似圖形，點(diǎn)O為位似中心，位似比為2：3，
∴OAOD=23,OCOF=23，即4OD=23,4OF=23
解得，OD＝6，OF＝6，
則點(diǎn)E的坐標(biāo)為（6，6），
故答案為：（6，6）．
【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形、正方形的性質(zhì)以及位似變換的概念，掌握位似和相似的區(qū)別與聯(lián)系是解答本題的關(guān)鍵.
【題型8 格點(diǎn)中作位似圖形】
【例8】（2022·遼寧撫順·二模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)分別為A（﹣2，2），B（﹣6，4），C（﹣4，8）．
(1)畫(huà)出△ABC關(guān)于x軸對(duì)稱的△A1B1C1；
(2)以坐標(biāo)原點(diǎn)O為位似中心，將△ABC縮小為原來(lái)的12，得到△A'B'C'，使△ABC與△A'B'C'位于位似中心兩側(cè)，請(qǐng)?jiān)谄矫嬷苯亲鴺?biāo)系中畫(huà)出△A'B'C'；
(3)設(shè)△ABC與△△A'B'C'的周長(zhǎng)分別為l1、l2，則l1：l2＝．
【答案】(1)作圖見(jiàn)解析
(2)作圖見(jiàn)解析
(3)2：1
【分析】（1）按照要求作圖即可，如圖1；
（2）按照要求作圖即可，如圖1；
（3）根據(jù)周長(zhǎng)比等于位似比計(jì)算求解即可．
（1）
解：由題意知，A,B,C關(guān)于x軸對(duì)稱的點(diǎn)坐標(biāo)分別為?2,?2，?6,?4，?4,?8，在坐標(biāo)軸上描點(diǎn)，然后依次連線即可，如圖1所示，
（2）
解：由題意知，△ABC與△A'B'C'的位似比為2:1，
∴A,B,C對(duì)應(yīng)的位似點(diǎn)的點(diǎn)坐標(biāo)分別為1,?1，3,?2，2,?4，在坐標(biāo)軸上描點(diǎn)，然后依次連線即可，如圖1所示，
（3）
解：由題意知△ABC與△A'B'C'的位似比為2:1，
∴l(xiāng)1:l2=2:1
故答案為：2:1．
【點(diǎn)睛】本題考查了畫(huà)軸對(duì)稱圖形，位似圖形，位似圖形的性質(zhì)等知識(shí)．解題的關(guān)鍵在于熟練掌握對(duì)稱與位似的知識(shí)并靈活運(yùn)用．
【變式8-1】（2022·河南南陽(yáng)·九年級(jí)期中）如圖，在正方形網(wǎng)格圖中，每個(gè)小正方形邊長(zhǎng)均為1，點(diǎn)O和△ABC的頂點(diǎn)均為小正方形的頂點(diǎn)．
(1)以O(shè)為位似中心，在網(wǎng)格圖中作△A'B'C'，使△A'B'C'和△ABC位似，且位似比為1：3．
(2)證明△A'B'C'和△ABC相似．
【答案】(1)見(jiàn)解析
(2)見(jiàn)解析
【分析】（1）根據(jù)位似變換的性質(zhì)畫(huà)出圖形即可；
（2）先用勾股定理算出兩個(gè)三角形的各邊長(zhǎng)，然后根據(jù)對(duì)應(yīng)邊的比相同即可證明結(jié)論．
（1）
解：如圖△A'B'C'即為所求．
（2）
證明：小正方形邊長(zhǎng)為1，
∴BC=9，AB=62+32=35，AC=62+62=62，''=12+22=5，
B'C'=3，A'C'=22+22=22，
∵ABA'B'=355=3，ACA'C'=6222=3，BCB'C'=93=3，
∴ABA'B'=ACA'C'=BCB'C'=3，
∴△A'B'C'∽△ABC．
【點(diǎn)睛】本題考查作圖?位似變換、相似三角形的判定，勾股定理等知識(shí)點(diǎn)，理解題意、靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)是解答本題的關(guān)鍵．
【變式8-2】（2022·浙江寧波·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，9×9的方格都是由邊長(zhǎng)為1的小正方形組成．?ABCD的頂點(diǎn)都在格點(diǎn)上，請(qǐng)按以下要求在圖1，圖2中畫(huà)出相應(yīng)的格點(diǎn)圖形（頂點(diǎn)均在格點(diǎn)上）．
(1)畫(huà)出?ABCD繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)得到的?AB'C'D'，使得點(diǎn)B落在邊BC上．
(2)請(qǐng)以A為位似中心，作與?ABCD的面積比為14的位似圖形?AEFG．
【答案】(1)作圖見(jiàn)解析
(2)作圖見(jiàn)解析
【詳解】（1）如圖1
（2）如圖2，3
【點(diǎn)睛】本題考查圖形的旋轉(zhuǎn)、位似，旋轉(zhuǎn)時(shí)，找準(zhǔn)旋轉(zhuǎn)三要素（旋轉(zhuǎn)中心、旋轉(zhuǎn)方向、旋轉(zhuǎn)角度）是關(guān)鍵，注意位似圖形兩種情況．
【變式8-3】（2022·山西呂梁·九年級(jí)期末）如圖，網(wǎng)格中的每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)都是1，每個(gè)小正方形的頂點(diǎn)叫做格點(diǎn)，以格點(diǎn)為頂點(diǎn)，分別按下列要求畫(huà)三角形．
(1)在圖②中，請(qǐng)?jiān)诰W(wǎng)格中畫(huà)一個(gè)與圖①△ABC相似的△DEF；
(2)在圖③中，以O(shè)為位似中心，畫(huà)一個(gè)△A1B1C1，使它與△ABC的位似比為2：1．
【答案】(1)畫(huà)圖見(jiàn)解析
(2)畫(huà)圖見(jiàn)解析
【分析】（1）利用網(wǎng)格特點(diǎn)和相似的判定，畫(huà)出DE=2,DF=4,EF=10即可；
（2）利用網(wǎng)格特點(diǎn)，延長(zhǎng)AO到A1使A1O=2AO，延長(zhǎng)BO到B1使B1O=2BO，延長(zhǎng)CO到C1使C1O=2CO，從而得到△A1B1C1．
(1)
解：如圖②，△DFE為所作；
由題意可得：AB=1,BC=5,AC=22,
而DE=2,DF=4,EF=10，
∴DEAB=2=EFBC=DFAC,
∴△ABC與△DEF相似．
(2)
如圖③，△A1B1C1為所作．
【點(diǎn)睛】本題考查了作圖-位似變換：相似三角形的判定，掌握畫(huà)位似圖形的一般步驟為：確定位似中心；分別連接并延長(zhǎng)位似中心和能代表原圖的關(guān)鍵點(diǎn)；根據(jù)位似比，確定能代表所作的位似圖形的關(guān)鍵點(diǎn)；順次連接上述各點(diǎn)，得到放大或縮小的圖形．

相關(guān)試卷

相關(guān)試卷更多

相關(guān)試卷

相關(guān)試卷 更多

相關(guān)試卷更多