參考答案與試題解析
選擇題（共10小題，滿分30分，每小題3分）
1．(3分)（2023春·安徽滁州·八年級(jí)校聯(lián)考期中）已知10a=25，100b=400，則3a+6b?5的值為（ ）
A．9B．7C．5D．3
【答案】B
【分析】根據(jù)冪的乘方的逆運(yùn)算和同底數(shù)冪的乘法的逆運(yùn)算，求得a+2b=4，即可求解．
【詳解】解：由100b=400可得102b=400
10a+2b=10a×102b=25×400=10000=104
∴a+2b=4
∴3a+6b?5=3a+2b?5=12?5=7
故選：B
【點(diǎn)睛】此題考查了冪的乘方的逆運(yùn)算和同底數(shù)冪的乘法的逆運(yùn)算，解題的關(guān)鍵是掌握相關(guān)運(yùn)算性質(zhì)，正確求得a+2b=4．
2．(3分)（2023春·福建福州·八年級(jí)?？计谥校┮阎猘=2255，b=3344，c=5533，d=6622，則a、b、c、d的大小關(guān)系是（ ）
A．a(chǎn)>b>c>dB．a(chǎn)>b>d>cC．b>a>c>dD．a(chǎn)>d>b>c
【答案】A
【分析】先變形化簡(jiǎn)a=2255=（225）11，b=3344=（334）11，c=5533=（553）11，d=6622=（662）11，比較11次冪的底數(shù)大小即可．
【詳解】因?yàn)閍=2255=（225）11，b=3344=（334）11，c=5533=（553）11，d=6622=（662）11，
因?yàn)?53662=55×552662=55×（56）2=55×2536＞1，
所以553＞662，
所以(553)11＞(662)11，
故5533＞6622即c>d；
同理可證a>b，b>c
所以a>b>c>d，
故選A．
【點(diǎn)睛】本題考查了冪的乘方的逆運(yùn)算，熟練掌握冪的乘方及其逆運(yùn)算是解題的關(guān)鍵．
3．(3分)（2023春·江蘇泰州·八年級(jí)?？计谥校┤?x2?3ax)(x+2b)的結(jié)果中不含x2項(xiàng)，則a、b滿足的數(shù)量關(guān)系為（ ）
A．a(chǎn)=2bB．a(chǎn)=32bC．3a=2bD．a(chǎn)=3b
【答案】C
【分析】原式利用多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式法則計(jì)算，合并后根據(jù)結(jié)果不含x2項(xiàng)，即可求出a與b的值．
【詳解】解：(x2?3ax)(x+2b)
=x3+2bx2?3ax2?6abx
=x3+2b?3ax2?6abx
∵不含x2項(xiàng)，
∴2b?3a=0，
∴3a=2b,
故選：C．
【點(diǎn)睛】此題考查了多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式，熟練掌握運(yùn)算法則是解本題的關(guān)鍵．
4．(3分)（2023春·浙江杭州·八年級(jí)?？计谥校⒍囗?xiàng)式17x2?3x+4?ax2+bx+c除以5x+6后得商式2x+1，余式為0，則a?b?c的值為（ ）
A．3B．23C．25D．29
【答案】D
【分析】先把整式化簡(jiǎn)，然后由整式的乘法、除法運(yùn)算進(jìn)行運(yùn)算，求出a、b、c的值，即可得到答案．
【詳解】解：17x2?3x+4?ax2+bx+c
=(17?a)x2?(3+b)x+4?c；
∵(5x+6)(2x+1)=10x2+17x+6，
∴17?a=10，?(3+b)=17，4?c=6，
∴a=7，b=?20，c=?2，
∴a?b?c=7?(?20)?(?2)=7+20+2=29；
故選：D．
【點(diǎn)睛】本題考查了整式的加減乘除混合運(yùn)算，解題的關(guān)鍵是掌握運(yùn)算法則，正確的進(jìn)行化簡(jiǎn)．
5．(3分)（2023春·江蘇無錫·八年級(jí)統(tǒng)考期中）已知在x2+mx?16=(x+a)(x+b)中，a、b為整數(shù)，能使這個(gè)因式分解過程成立的m的值共有（ ）個(gè)
A．4B．5C．8D．10
【答案】B
【分析】先根據(jù)整式的乘法可得m=a+b,ab=?16，再根據(jù)“a,b為整數(shù)”進(jìn)行分析即可得．
【詳解】∵(x+a)(x+b)=x2+(a+b)x+ab，
∴x2+mx?16=x2+(a+b)x+ab，
∴m=a+b,ab=?16，
根據(jù)a,b為整數(shù)，有以下10種情況：
（1）當(dāng)a=1,b=?16時(shí)，m=1+?16=?15；
（2）當(dāng)a=2,b=?8時(shí)，m=2+?8=?6；
（3）當(dāng)a=4,b=?4時(shí)，m=4+?4=0；
（4）當(dāng)a=8,b=?2時(shí)，m=8+?2=6；
（5）當(dāng)a=16,b=?1時(shí)，m=16+?1=15；
（6）當(dāng)a=?1,b=16時(shí)，m=?1+16=15；
（7）當(dāng)a=?2,b=8時(shí)，m=?2+8=6；
（8）當(dāng)a=?4,b=4時(shí)，m=?4+4=0；
（9）當(dāng)a=?8,b=2時(shí)，m=?8+2=?6；
（10）當(dāng)a=?16,b=1時(shí)，m=?16+1=?15；
綜上，符合條件的m的值為?15,?6,0,6,15，共有5個(gè)，
故選：B．
【點(diǎn)睛】本題考查了整式的乘法，依據(jù)題意，正確分情況討論是解題關(guān)鍵．
6．(3分)（2023春·福建福州·八年級(jí)?？计谥校┮阎猘=2021x?2021，b=2021x?2022，c=2021x?2023，則a2+b2+c2?ab?ac?bc的值為( )
A．0B．1C．2D．3
【答案】D
【分析】根據(jù)a=2021x?2021，b=2021x?2022，c=2021x?2023，可以得到a?b，a?c，b?c的值，然后將所求式子變形，再將a?b，a?c，b?c的值代入計(jì)算即可．
【詳解】解：∵a=2021x?2021，b=2021x?2022，c=2021x?2023，
∴a?b=1，a?c=2，b?c=1，
∴a2+b2+c2?ab?ac?bc
=12(2a2+2b2+2c2?2ab?2ac?2bc)
=12[(a2?2ab+b2)+(a2?2ac+c2)+(b2?2bc+c2)]
=12[(a?b)2+(a?c)2+(b?c)2]
=12×(12+22+12)
=12×(1+4+1)
=12×6
=3，
故選：D．
【點(diǎn)睛】本題考查因式分解的應(yīng)用，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，求出a?b，a?c，b?c的值，利用完全平方公式解答．
7．(3分)（2023春·陜西西安·八年級(jí)高新一中?？计谥校?+132+134+138+1316+1332+1+1的個(gè)位數(shù)字為（ ）
A．5B．1C．2D．4
【答案】B
【分析】將3+132+134+138+1316+1332+1變形為123?13+132+134+138+1316+1332+1，利用平方差公式求解．
【詳解】解：3+132+134+138+1316+1332+1+1
=123?13+132+134+138+1316+1332+1+1
=1232?132+134+138+1316+1332+1+1
=1234?134+138+1316+1332+1+1
=1238?138+1316+1332+1+1
=12316?1316+1332+1+1
=12332?1332+1+1
=12364?1+1，
∵ 31=3，32=9，33=27，34=81，35=243……
可知個(gè)位數(shù)變化規(guī)律為：3，9，7，1，4次一個(gè)循環(huán)，
∴364的個(gè)位數(shù)為1，
∴364?1的個(gè)位數(shù)為0，
∴12364?1的個(gè)位數(shù)可能是0或5，
∴12364?1+1的個(gè)位數(shù)可能是1或6，
觀察選項(xiàng)可知，只有B選項(xiàng)為1，
故選B．
【點(diǎn)睛】本題考查平方差公式的應(yīng)用，能夠運(yùn)用平方差公式對(duì)原式進(jìn)行變形是解題的關(guān)鍵．
8．(3分)（2023春·安徽安慶·八年級(jí)統(tǒng)考期末）在矩形ABCD內(nèi)，將兩張邊長(zhǎng)分別為a和b(a>b)的正方形紙片按圖①，圖②兩種方式放置（圖①，圖②中兩張正方形紙片均有部分重疊），矩形中未被這兩張正方形紙片覆蓋的部分用陰影表示，若圖①中陰影部分面積為S1，圖②中陰影部分的面積和為S2．則S1?S2的值表示正確的是（ ）
A．BE?FGB．MN?FGC．BE?GDD．MN?GD
【答案】A
【分析】利用面積的和差分別表示出S1和S2，然后利用整式的混合運(yùn)算計(jì)算它們的差．
【詳解】解：∵S1=（AB-a）?a+（CD-b）（AD-a）=（AB-a）?a+（AB-b）（AD-a），
S2=（AB-a）（AD-b）+（AD-a）（AB-b），
∴S1-S2=（AB-a）?a+（AB-b）（AD-a）-（AB-a）（AD-b）-（AD-a）（AB-b）
=（AB-a）?a-（AB-a）（AD-b）
=（AB-a）?（a-AD+b）
=BE?FG，
故選：A．
【點(diǎn)睛】本題考查了整式的混合運(yùn)算：“整體”思想在整式運(yùn)算中較為常見，適時(shí)采用整體思想可使問題簡(jiǎn)單化，并且迅速地解決相關(guān)問題，此時(shí)應(yīng)注意被看作整體的代數(shù)式通常要用括號(hào)括起來．也考查了正方形的性質(zhì)．
9．(3分)（2023春·重慶萬州·八年級(jí)統(tǒng)考期末）已知x、y、z滿足x?z=12，xz+y2=?36，則x+2y+z的值為（ ）
A．4B．1C．0D．-8
【答案】C
【分析】根據(jù)題目條件可用x來表示z，并代入代數(shù)式中，運(yùn)用公式法因式分解可得x?62=?y2，再根據(jù)平方數(shù)的非負(fù)性可分別求出x，z的值，最后運(yùn)算即可．
【詳解】解：∵ x?z=12，∴ z=x?12，
又∵ xz+y2=?36，
∴ xx?12+y2=?36，
∴ x2?12x+36=-y2，x?62=?y2，
∵ x?62≥0，?y2≤0，
∴x?6=0，y=0，
∴x=6，y=0，z=?6，
代入x+2y+z得，x+2y+z=0．
故選：C．
【點(diǎn)睛】本題考查了運(yùn)用公式法進(jìn)行因式分解，平方數(shù)的非負(fù)性，熟練掌握運(yùn)用公式法因式分解是解決本題的關(guān)鍵．
10．(3分)（2023春·上海閔行·八年級(jí)上海市民辦文綺中學(xué)?？计谥校┯幸环N用“因式分解”法產(chǎn)生的密碼記憶法，方法是：取一個(gè)多項(xiàng)式，如：x4?y4，將此多項(xiàng)式因式分解的結(jié)果是：(x+y)(x?y)x2+y2．再取兩個(gè)值，如：x=9,y=7，那么各個(gè)因式的值是：x+y=16,x?y=2,x2+y2=130，于是就可以把“162130”作為一個(gè)六位數(shù)密碼．如果取多項(xiàng)式x3?xy2以及x=20,y=2，那么下列密碼不可能是用上述方法產(chǎn)生的是（ ）
A．221820B．222018C．222180D．201822
【答案】C
【分析】先提取公因式，再根據(jù)平方差公式將x3?xy2因式分解，根據(jù)題意即可進(jìn)行解答．
【詳解】解：x3?xy2=xx2?y2=xx+yx?y，
當(dāng)x=20,y=2時(shí)，x+y=22,x?y=18，
∴可以產(chǎn)生的密碼是：202218，201822，222018，221820，182220，182022；
不能產(chǎn)生的密碼是222180，
故選：C．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了因式分解，解題的關(guān)鍵是掌握因式分解的方法和步驟．
二．填空題（共6小題，滿分18分，每小題3分）
11．(3分)（2023春·浙江·八年級(jí)期末）若多項(xiàng)式n4+9n2+k可化為a+b2的形式，則單項(xiàng)式k可以是 ．
【答案】6n3或?6n3或814或n636
【分析】根據(jù)完全平方公式展開式的首、末兩項(xiàng)是平方項(xiàng)，并且首末兩項(xiàng)的符號(hào)相同；中間項(xiàng)是首末兩項(xiàng)的底數(shù)的積的2倍，對(duì)多項(xiàng)式進(jìn)行分類討論，分別求出k即可．
【詳解】解：①當(dāng)n4和9n2作為平方項(xiàng)，k作為乘積項(xiàng)，則多項(xiàng)式n4+9n2+k可化為：
n2±3n2，即n4+9n2+k=(n2±3n)2=n4±6n3+9n2，
∴k=±6n3；
②當(dāng)n4和k作為平方項(xiàng)，9n2作為乘積項(xiàng)，則多項(xiàng)式n4+9n2+k可化為：
n2+k2，即n4+9n2+k=(n2+k)2=n4+2kn2+k，
∴2kn2=9n2，解得：k=814；
③當(dāng)9n2和k作為平方項(xiàng)，n4作為乘積項(xiàng)，則多項(xiàng)式n4+9n2+k可化為：
3n+k2，即n4+9n2+k=(3n+k)2=9n2+6kn+k，
∴6kn=n4，解得：k=n636；
故答案為：6n3或?6n3或814或n636．
【點(diǎn)睛】此題考查了運(yùn)用完全平方公式分解因式．掌握完全平方公式a±b2=a2±2ab+b2和分類討論是解此題的關(guān)鍵．
12．(3分)（2023春·四川樂山·八年級(jí)統(tǒng)考期末）已知A是多項(xiàng)式，若A×2xy=x2y2?2x2y?3xy2，則A= ．
【答案】12xy?x?32y
【分析】將x2y2﹣2x2y﹣3xy2利用提公因式法進(jìn)行因式分解，再除以2xy即得A．
【詳解】解：∵x2y2﹣2x2y﹣3xy2，
＝xy（xy﹣2x﹣3y），
∴A＝xy（xy﹣2x﹣3y）÷2xy，
=12xy?x?32y，
故答案為：12xy?x?32y．
【點(diǎn)睛】本題考查了單項(xiàng)式乘多項(xiàng)式，關(guān)鍵在于學(xué)生要運(yùn)用它的逆運(yùn)算轉(zhuǎn)化為多項(xiàng)式除以單項(xiàng)式．
13．(3分)（2023春·浙江寧波·八年級(jí)?？计谥校┤魓=3m+2，y=1+9m，則用含x的代數(shù)式表示y為 ．
【答案】1+x281
【分析】根據(jù)條件求得x=3m+2，根據(jù)冪的乘方公式對(duì)y=1+9m進(jìn)行變形，再整體代入求值即可．
【詳解】解：∵x=3m+2，
即x=3m×32
∴3m=x÷32=x9，
則y=1+9m
=1+32m
=1+3m2
=1+x92
=1+x281．
故答案為：1+x281．
【點(diǎn)睛】本題考查了冪的乘方，掌握冪的乘方的運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵．
14．(3分)（2023春·貴州·八年級(jí)統(tǒng)考期末）設(shè)a=x?2021，b=x?2025，c=x?2023，若a2=32?b2，則c2的值為 ．
【答案】12
【分析】由已知條件可得a=c+2，b=c?2，代入a2=32?b2，可得c+22=32?c?22，利用完全平方公式展開，即可求解．
【詳解】解：∵ a=x?2021，b=x?2025，c=x?2023，
∴ a=c+2，b=c?2，
∵ a2=32?b2，
∴ c+22=32?c?22，
∴ c2+4c+4=32?c2?4c+4，
整理得：2c2=24，
∴ c2=12，
故答案為：12．
【點(diǎn)睛】本題考查完全平方公式的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是用含c的代數(shù)式表示出a和b．
15．(3分)（2023春·浙江寧波·八年級(jí)?？计谀┮阎猘2b+c=b2a+c=2023，且a、b、c互不相等，則c2a+b?2024= ．
【答案】?1
【分析】通過已知條件，找到a、b、c的關(guān)系：ab+ac=?bc，ac+bc=?ab，abc=?2023，即可獲得答案．
【詳解】解：∵a2b+c=b2a+c，
∴a2b+a2c?ab2?b2c=0，
∴ab(a?b)+c(a+b)(a?b)=0，
∴(a?b)(ab+ac+bc)=0，
∵a≠b，
∴a?b≠0，
∴ab+ac+bc=0，即ab+ac=?bc，ac+bc=?ab，
∵a2b+c=aab+ac=2023，
∴a?bc=2023，
∴?abc=2023，
∴abc=?2023，
∴c2a+b?2024=c(ac+bc)?2024=c(?ab)?2024=?abc?2024=?1
故答案為：?1．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了代數(shù)式求值以及因式分解等知識(shí)，利用已知條件找到ab+ac+bc=0是解題關(guān)鍵．
16．(3分)（2023春·湖北省直轄縣級(jí)單位·八年級(jí)校考期末）用4張長(zhǎng)為a、寬為b a>b的長(zhǎng)方形紙片，按如圖的方式拼成一個(gè)邊長(zhǎng)為a+b的正方形，圖中空白部分的面積為S1，陰影部分的面積為S2．若S1=2S2，則a、b之間存在的數(shù)量關(guān)系是 ．
【答案】a=2b
【分析】如下圖，先求出空白部分的面積，然后求出陰影部分的面積，利用S1=2S2，可得出a、b之間的關(guān)系．
【詳解】如下圖
則空白部分的面積S1=S6+S7+S3+S4+S5
S6=S4=12ab
S7=S3=12b(a+b)
S5=(a?b)(a?b)
化簡(jiǎn)得：S1=a2+2b2
S2=a+ba+b?S1=2ab?b2
∵S1=2S2
∴a2+2b2=2(2ab?b2)
化簡(jiǎn)得：(a?2b)2=0
∴a=2b
故答案為：a=2b．
【點(diǎn)睛】本題考查完全平方公式的計(jì)算與化簡(jiǎn)，解題關(guān)鍵是先求出S1和S2的面積．
三．解答題（共7小題，滿分52分）
17．(6分)（2023春·河南焦作·八年級(jí)統(tǒng)考期中）已知2a=5,2b=25.
(1)求4a?4b的值；
(2)求22a?b?1的值.
【答案】(1)4
(2)1254
【分析】（1）先將4a?4b變形成2a2·2b2，再代入求值即可；
（2）依據(jù)同底數(shù)冪的除法法則以及懸的乘方法則, 將 22a?b?1 變形為 2a2÷2b÷2, 再代入求值即可．
【詳解】（1）解：∵2a=5,2b=25.
∴4a?4b
=22a·22b
=2a2·2b2
=52×252
=25×425
=4
（2）當(dāng)2a=5,2b=25時(shí)
22a?b?1
=22a÷2b÷2
=2a2÷2b÷2
=52÷25÷2
=25×52×12
=1254
【點(diǎn)睛】本題主要考查了同底數(shù)冪的除法法則以及冪的乘方法則的運(yùn)用，關(guān)鍵是掌握冪的乘方法則：底數(shù)不變，指數(shù)相乘．
18．(6分)（2023春·遼寧丹東·八年級(jí)?？计谥校┓纸庖蚴剑?br>(1)4a2x?12ax+9x；
(2)(2x+y)2?(x+2y)2．
【答案】(1)x(2a?3)2；
(2)3(x+y)(x?y)
【分析】（1）先按照提公因式的方法提出x，再按照完全平方公式進(jìn)行因式分解即可；
（2）先利用平方差公式，再利用提公因式法繼續(xù)分解即可解答．
【詳解】（1）解：4a2x?12ax+9x
=x(4a2?12a+9)
=x(2a?3)2；
故答案為：x(2a?3)2．
（2）解：(2x+y)2?(x+2y)2
=[2x+y+(x+2y)][2x+y?(x+2y)]
=(3x+3y)(x?y)
=3x+yx?y
故答案為：3(x+y)(x?y)．
【點(diǎn)睛】本題考查了提公因式法與公式法的綜合運(yùn)用，解題的關(guān)鍵在于要注意如果多項(xiàng)式的各項(xiàng)含有公因式，必須先提公因式以及熟練掌握平方差公式和完全平方公式．
19．(8分)（2023春·上海浦東新·八年級(jí)統(tǒng)考期中）已知A=3x2+ax?3y+2，B=bx2?23x?2y+4，且A與B的3倍的差的值與x的取值無關(guān)，求代數(shù)式?aba+124b?a+6?32ab2?16a2b?13ab的值．
【答案】20
【分析】根據(jù)題意先計(jì)算A?3B，根據(jù)A?3B與x的取值無關(guān)，求得a,b的值，然后根據(jù)整式的乘法化簡(jiǎn)代數(shù)式，將a,b的值代入進(jìn)行計(jì)算即可求解．
【詳解】解：∵A?3B
=3x2+ax?3y+2?3bx2?23x?2y+4
=3x2+ax?3y+2?3bx2+2x+6y?12
=3?3bx2+a+2x+3y?10，
∵A?3B與x的取值無關(guān)，
∴3?3b=0,a+2=0，
解得a=?2,b=1；
?aba+124b?a+6?32ab2?16a2b?13ab
=?ab12a+2b+3?6ab2+12a2b+ab
=?12a2b?2ab2?3ab?6ab2+12a2b+ab
=?8ab2?2ab；
當(dāng)a=?2,b=1時(shí)，
?8ab2?2ab =?8×?2×12?2×?2×1
=16+4
=20．
【點(diǎn)睛】本題考查了整式的加減運(yùn)算，整式的乘法運(yùn)算，化簡(jiǎn)求值，正確的計(jì)算是解題的關(guān)鍵．
20．(8分)（2023春·山西長(zhǎng)治·八年級(jí)統(tǒng)考期末）閱讀材料，完成相應(yīng)任務(wù)：“賈憲三角”又稱“楊輝三角”，在歐洲則稱為“帕斯卡三角”（如圖所示），它揭示了(a+b)n（n為非負(fù)數(shù)）展開式的各項(xiàng)系數(shù)的規(guī)律．
根據(jù)上述規(guī)律，完成下列問題：
(1)直接寫出a+b5=_________．
(2)a+18的展開式中a項(xiàng)的系數(shù)是__________．
(3)利用上述規(guī)律求115的值，寫出過程．
【答案】(1)a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+b5
(2)8
(3)161051
【分析】（1）根據(jù)給出的等式的特點(diǎn)，可以得到等式右邊的多項(xiàng)式按照a的降冪，b的升冪順序排列，項(xiàng)數(shù)為n+1項(xiàng)，第一項(xiàng)和最后一項(xiàng)的系數(shù)相同均為1，第二項(xiàng)和倒數(shù)第二項(xiàng)的系數(shù)相同，等于上一個(gè)等式的第一項(xiàng)和第二項(xiàng)的系數(shù)之和，第三項(xiàng)和倒數(shù)第三項(xiàng)相同，等于上一個(gè)等式的第二項(xiàng)和第三項(xiàng)的和，依次類推，即可得出結(jié)論；
（2）根據(jù)a+18=a8+8a7×11+?+8a×17+18，即可得出結(jié)論；
（3）根據(jù)115=10+15，利用（1）中等式求解即可．
【詳解】（1）解：∵a+b1=a+b，
a+b2=a2+1+1ab+b2=a2+2ab+b2，
a+b3=a3+1+2a2b+2+1ab2+b3=a3+3a2b+3ab2+b3，
a+b4=a4+1+3a3b+3+3a2b2+3+1ab3+b4=a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4，
∴a+b5=a5+1+4a4b+4+6a3b2+6+4a2b3+4+1ab4+b5=a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+b5；
故答案為：a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+b5；
（2）解：∵a+18=a8+8a7×11+?+8a×17+18，
∴a項(xiàng)的系數(shù)是8×17=8；
故答案為：8；
（3）解：115=10+15
=105+5×104×1+10×103×12+10×102×13+5×10×14+15
=100000+50000+10000+1000+50+1
=161051．
【點(diǎn)睛】本題考查數(shù)字類規(guī)律探究，解題的關(guān)鍵是根據(jù)已知等式的特點(diǎn)，抽象概括出相應(yīng)的數(shù)字規(guī)律．
21．(8分)（2023春·福建福州·八年級(jí)校考期中）閱讀理解：
若x滿足(50?x)(x?40)=20，求(50?x)2+(x?40)2的值．
解：設(shè)50?x=a，x?40=b，
則(50?x)(x?40)=ab=20，a+b=(50?x)+(x?40)=10，
∴(50?x)2+(x?40)2=a2+b2=(a+b)2?2ab=102?2×20=60．
解決問題
(1)若x滿足(30?x)(x?10)=150，則(30?x)2+(x?10)2= ；
(2)若x滿足(x?2022)2+(x?2020)2=204，求(x?2022)(x?2020)的值；
(3)如圖，在長(zhǎng)方形ABCD中，AB=10，BC=6，點(diǎn)E，F(xiàn)是BC，CD上的點(diǎn)，且BE=DF=x，分別以FC，CE為邊在長(zhǎng)方形ABCD外側(cè)作正方形CFGH和CEMN，若長(zhǎng)方形CEPF的面積為50平方單位，則圖中陰影部分的面積和為 平方單位．
【答案】(1)100
(2)?100
(3)116
【分析】（1）根據(jù)題意設(shè)30?x=a，x?10=b，由已知可得(30?x)(x?10)=ab=150，即可得出a+b=(3?x)+(x?10)=20，則可得(30?x)2+(x?10)2=a2+b2=(a+b)2?2ab，代入計(jì)算即可得出答案；
（2）根據(jù)題意設(shè)x?2022=a，x?2020=b，由已知可得(x?2022)2+(x?2020)2=a2+b2=204，則可得a?b=(x?2022)?(x?2020)=?2，即(x?2022)(x?2020)=ab=12[(a?b)2?(a2+b2)]代入計(jì)算即可得出答案；
（3）根據(jù)題意CF=CD?DF=10?x，CE=BC?BE=6?x，設(shè)10?x=a，6?x=b，由長(zhǎng)方形CEPF的面積為50平方單位可得(10?x)(6?x)=ab=50，則a?b=(10?x)?(6?x)=4，陰影部分面積由兩個(gè)邊長(zhǎng)為10?x和6?x的正方形組成，即S陰=(10?x)2+(6?x)2=a2+b2=(a?b)2+2ab，代入計(jì)算即可得出答案．
【詳解】（1）解：設(shè)30?x=a，x?10=b，
則(30?x)(x?10)=ab=150，a+b=(3?x)+(x?10)=20，
∴(30?x)2+(x?10)2=a2+b2=(a+b)2?2ab=202?2×150=100；
故答案為：100；
（2）設(shè)x?2022=a，x?2020=b，
則(x?2022)2+(x?2020)2=a2+b2=204，a?b=(x?2022)?(x?2020)=?2，
∴(x?2022)(x?2020)=ab=12[(a2+b2)?(a?b)2]=12×[204?(?2)2]=100；
（3）∵CF=CD?DF=10?x，CE=BC?BE=6?x，
設(shè)10?x=a，6?x=b，
∴(10?x)(6?x)=ab=50，
a?b=(10?x)?(6?x)=4，
S陰=(10?x)2+(6?x)2=a2+b2=(a?b)2+2ab=42+2×50=116，
∴圖中陰影部分的面積為116平方單位．
故答案為：116．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了完全平方公式的幾何背景，熟練掌握完全平方公式的變式應(yīng)用進(jìn)行求解是解決本題的關(guān)鍵．
22．(8分)（2023春·上海靜安·八年級(jí)上海市靜安區(qū)教育學(xué)院附屬學(xué)校校考期中）閱讀并思考：
計(jì)算472時(shí)，山桂娜同學(xué)發(fā)現(xiàn)了一個(gè)簡(jiǎn)單的口算方法，具體步驟如下：
第一步：47接近整十?dāng)?shù)50，50?47=3；
第二步：取50的一半25，25?3=22；
第三步：32=9
第四步：把第二、三步綜合起來，472=25?3×100+32=2209．
(1)依此方法計(jì)算49：
第一步：49接近整十?dāng)?shù)50，50?49=1；
第二步：取50的一半25，25?1=24；
第三步：12=1
第四步：把第二、三步綜合起來，492=___?___×100+___2=2401．
(2)請(qǐng)你根據(jù)山桂娜同學(xué)的方法，填寫出一個(gè)正確的計(jì)算公式．
50?n2=___?___×100+___2．
(3)利用乘法運(yùn)算說明第（2）小題中這個(gè)公式的正確性．
(4)寫出利用這個(gè)公式計(jì)算562=3136的過程．
(5)計(jì)算63×67也有一個(gè)簡(jiǎn)單的口算方法，具體步驟如下：
第一步：6×6+1=42；
第二步：3×7=21；
第三步：前面兩步的結(jié)果綜合起來，63×67的結(jié)果是4221．
寫出上述過程所依據(jù)的計(jì)算公式_______________________．
(6)利用乘法運(yùn)算說明第（5）小題中這個(gè)公式的正確性．
【答案】(1)25，1，1
(2)25，n，n
(3)見詳解
(4)見詳解
(5)(10a+b)[10a+(10?b)]=a(a+1)×100+b(10?b)
(6)見詳解
【分析】（1）根據(jù)山桂娜同學(xué)的簡(jiǎn)便運(yùn)算步驟解答即可；
（2）根據(jù)（1）的規(guī)律書寫公式即可；
（3）利用整式乘法運(yùn)算法則進(jìn)行計(jì)算，即可說明（2）中公式的正確性；
（4）利用（2）中得到的公式求解即可；
（5）分析63×67的簡(jiǎn)單運(yùn)算，書寫計(jì)算公式即可；
（6）利用整式乘法運(yùn)算法則進(jìn)行計(jì)算，即可說明（5）中公式的正確性．
【詳解】（1）解：根據(jù)題意，計(jì)算49：
第一步：49接近整十?dāng)?shù)50，50?49=1；
第二步：取50的一半25，25?1=24；
第三步：12=1
第四步：把第二、三步綜合起來，492=25?1×100+12=2401．
故答案為：25，1，1；
（2）根據(jù)山桂娜同學(xué)的方法，填寫出正確的計(jì)算公式如下：
50?n2=25?n×100+n2．
故答案為：25，n，n；
（3）∵50?n2=n2?100n+2500，
25?n×100+n2=n2?100n+2500，
∴公式50?n2=25?n×100+n2正確；
（4）562=(25+6)×100+62
=31×100+36
=3136；
（5）計(jì)算63×67的口算方法，具體步驟如下：
第一步：6×6+1=42；
第二步：3×7=21；
第三步：前面兩步的結(jié)果綜合起來，63×67的結(jié)果是4221．
結(jié)合上述計(jì)算過程，可書寫計(jì)算公式為(10a+b)[10a+(10?b)]=a(a+1)×100+b(10?b)．
故答案為：(10a+b)[10a+(10?b)]=a(a+1)×100+b(10?b)；
（6）∵(10a+b)[10a+(10?b)]
=100a2?10ab+100a+10ab?b2+10b
=100a2+100a+10b?b2，
又∵a(a+1)×100+b(10?b)
=(a2+a)×100+(10b?b2)
=100a2+100a+10b?b2，
∴公式(10a+b)[10a+(10?b)]=a(a+1)×100+b(10?b)是正確的．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了數(shù)字類規(guī)律探索、含乘方的有理數(shù)混合運(yùn)算、整式混合運(yùn)算等知識(shí)，理解題意，正確書寫簡(jiǎn)便運(yùn)算公式是解題關(guān)鍵．
23．(8分)（2023春·北京昌平·八年級(jí)統(tǒng)考期末）閱讀：證明命題“一個(gè)三位數(shù)各位數(shù)字之和可以被3整除，則這個(gè)數(shù)就可以被3整除”．
設(shè)abc表示一個(gè)三位數(shù)，
則abc=100a+10b+c=99a+9b+a+b+c =911a+b+a+b+c
因?yàn)?11a+b能被3整除，如果a+b+c也能被3整除，那么abc就能被3整除．
(1)①一個(gè)四位數(shù)abcd，如果a+b+c+d能被9整除，證明abcd能被9整除；
②若一個(gè)五位數(shù)2e3e2能被9整除，則e=______；
(2)若一個(gè)三位數(shù)xyz的各位數(shù)字是任意三個(gè)連續(xù)的正整數(shù)，則xyz的最小正因數(shù)一定是______（數(shù)字“1”除外）；
(3)由數(shù)字1至9組成的一個(gè)九位數(shù)mnp6q47s9，這個(gè)數(shù)的第一位m能被1整除，前兩位組成的兩位數(shù)mn能被2整除，前三位組成的三位數(shù)mnp能被3整除，以此類推，一直到整個(gè)九位數(shù)能被9整除，寫出這個(gè)九位數(shù)是______．
【答案】(1)①見解析；②1
(2)3
(3)381654729
【分析】（1）①首先把四位數(shù)abcd改寫成9111a+11b+c+a+b+c+d，由9111a+11b+c能被9整除，a+b+c+d能被9整除，即可得出結(jié)論；②首先把五位數(shù)改寫成9×2255+112e+7+2e，然后根據(jù)這個(gè)五位數(shù)能被9整除得7+2e能被9整除，即可求得答案；
（2）假設(shè)x=k，y=k+1，z=k+2，則三位數(shù)xyz=337k+4，據(jù)此可得出答案；
（3）由m能被1整除，可得m為質(zhì)數(shù)，由四位數(shù)mnp6能被4整除，可得兩位數(shù)p6能被4整除，則p=1，3，5，7，9，由九位數(shù)mnp6q47s9中已有7，9，可得p=1，3，5，由五位數(shù)mnp6q能被5整除，可得末尾數(shù)字q=5，從而得到p=1，3，由八位數(shù)mnp6q47s能被8整除，可得三位數(shù)47s能被8整除，從而得到s=2，從而得到m，n，p對(duì)應(yīng)1，3，8，由m為質(zhì)數(shù)可得m=3，由mn能被2整除可得n=8，從而得到p=1，即可得到答案．
【詳解】（1）①證明：∵abcd是一個(gè)四位數(shù)，
∴abcd=1000a+100b+10c+d
=999a+99b+9c+a+b+c+d
=9111a+11b+c+a+b+c+d
∵ 9111a+11b+c能被9整除，a+b+c+d能被9整除，
∴四位數(shù)abcd能被9整除；
②解：∵ 2e3e2是一個(gè)五位數(shù)，
∴2e3e2=20000+1000e+300+10e+2
=20302+1010e
=9×2255+7+9×112e+2e
=9×2255+112e+7+2e，
∵五位數(shù)2e3e2能被9整除，
∴7+2e能被9整除，
∴e=1，
故答案為：1；
（2）解：∵三位數(shù)xyz的各位數(shù)字是任意三個(gè)連續(xù)的正整數(shù)，
∴不妨假設(shè)x=k，y=k+1，z=k+2，
∴xyz=100x+10y+z=100k+10k+10+k+2=111k+12=337k+4，
∴三位數(shù)xyz的最小正因數(shù)一定是3，
故答案為：3；
（3）解：∵ m，n，p，q，s均為0至9之間的整數(shù)
∴由m能被1整除，可得m為質(zhì)數(shù)，
由四位數(shù)mnp6能被4整除，可得兩位數(shù)p6能被4整除，則p=1，3，5，7，9，
由九位數(shù)mnp6q47s9中已有7，9，可得p=1，3，5，
由五位數(shù)mnp6q能被5整除，可得末尾數(shù)字q=5，從而得到p=1，3，
由八位數(shù)mnp6q47s能被8整除，可得三位數(shù)47s能被8整除，從而得到s=2，
∴這時(shí)的九位數(shù)為：mnp654729，
∴m，n，p對(duì)應(yīng)1，3，8，
∵m為質(zhì)數(shù)，
∴m=3，
∵兩位數(shù)mn能被2整除，且m=3，
∴n=8，
∴p=1，
∴這個(gè)九位數(shù)時(shí)：381654729，
故答案為：381654729．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了因式分解的應(yīng)用，數(shù)的整除特征，熟練掌握因式分解的方法，理解整除數(shù)的特征是解答此題的關(guān)鍵．
a+b1=a+b a+b2=a2+2ab+b2
a+b3=a3+3a2b+3ab2+b3
a+b4=a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4

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