中考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)：專題4.11 圖形的初步認(rèn)識章末拔尖卷（華東師大版）（解析版）-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

參考答案與試題解析
選擇題（共10小題，滿分30分，每小題3分）
1．（3分）（2023上·內(nèi)蒙古巴彥淖爾·七年級?？计谀┫铝姓f法：①經(jīng)過一點可以畫無數(shù)條直線；②若線段AC=BC，則點C是線段AB的中點；③射線OB與射線BO是同一條射線；④連接兩點的線段叫做這兩點的距離；⑤將一根細(xì)木條固定在墻上，至少需要兩根釘子，是因為兩點確定一條直線，其中說法正確的有（）
A．2個B．3個C．4個D．5個
【答案】A
【分析】根據(jù)直線、線段中點的定義、射線、兩點的距離、兩點確定一條直線逐個判斷即可得．
【詳解】解：①經(jīng)過一點可以畫無數(shù)條直線，則原說法正確；
②因為點C不一定在線段AB上，所以若線段AC=BC，則點C不一定是線段AB的中點，則原說法錯誤；
③射線OB與射線BO的端點不同，不是同一條射線，則原說法錯誤；
④連接兩點的線段的長度叫做這兩點的距離，則原說法錯誤；
⑤將一根細(xì)木條固定在墻上，至少需要兩根釘子，是因為兩點確定一條直線，則原說法正確；
綜上，說法正確的有2個，
故選：A．
【點睛】本題考查了直線、線段中點、射線、兩點的距離、兩點確定一條直線，熟練掌握直線、射線與線段的知識是解題關(guān)鍵．
2．（3分）（2023上·甘肅張掖·七年級統(tǒng)考期末）用一個平面去截一個幾何體，截面是三角形，這個幾何體不可能是( )
A．三棱柱B．正方體C．圓錐D．圓柱
【答案】D
【分析】根據(jù)圓柱體的主視圖只有矩形或圓，即可得出答案．
【詳解】∵圓柱體的主視圖只有矩形或圓，
∴如果截面是三角形，那么這個幾何體不可能是圓柱．
故選：D．
【點睛】此題主要考查了截一個幾何體，截面的形狀既與被截的幾何體有關(guān)，還與截面的角度和方向有關(guān)．對于這類題，最好是動手動腦相結(jié)合，親自動手做一做，從中學(xué)會分析和歸納的思想方法．
3．（3分）（2023上·重慶開州·七年級統(tǒng)考期末）如圖，已知∠COB=2∠AOC，OD平分∠AOB，且∠COD=20°，則∠AOD的度數(shù)為（）
A．40°B．45°C．60°D．75°
【答案】C
【分析】設(shè)∠COB=2∠AOC=2x，則∠AOB=3x，根據(jù)角平分線的定義可以推出∠COD=0.5x，結(jié)合∠COD=20°，即可求出x的值，進(jìn)而得到∠AOD的度數(shù)．
【詳解】解：∵∠COB=2∠AOC，OD平分∠AOB，且∠COD=20°，
∴設(shè)∠COB=2∠AOC=2x，則∠AOB=3x，
∴∠AOD=∠BOD=1.5x
∴∠COD=∠COB?∠BOD=0.5x，
∴0.5x=20°，
解得：x=40°，
∴∠AOD=1.5x=1.5×40°=60°，
故選：C．
【點睛】本題考查的是角度計算，涉及到角平分線的定義以及方程思想，熟練掌握角平分線的定義并靈活運用是解答本題的關(guān)鍵．
4．（3分）（2023·江蘇揚(yáng)州·統(tǒng)考二模）如圖是由6個大小相同的小正方體拼成的幾何體，當(dāng)去掉某一個小正方體時，與原幾何體比較，則下列說法正確的是（）
A．去掉①，主視圖不變B．去掉②，俯視圖不變
C．去掉③，左視圖不變D．去掉④, 俯視圖不變
【答案】D
【分析】根據(jù)從正面看得到的圖形是主視圖，從左邊看得到的圖形是左視圖，從上邊看得到的圖形是俯視圖，可得答案．
【詳解】解：A.去掉①，左視圖不變，主視圖改變了，故此選項錯誤；
B. 去掉②，左視圖不變，俯視圖改變了，故此選項錯誤；
C. 去掉③，主視圖不變，左視圖改變了，故此選項錯誤；
D. 去掉④, 俯視圖不變，說法正確，
故選：D．
【點睛】本題考查了簡單組合體的三視圖，從正面看得到的圖形是主視圖，從左邊看得到的圖形是左視圖，從上邊看得到的圖形是俯視圖．
5．（3分）（2023上·重慶江津·七年級統(tǒng)考期末）如圖1，線段OP表示一條拉直的細(xì)線，A、B兩點在線段OP上，且OA:AP=2:3，OB:BP=3:7.若先固定A點，將OA折向AP，使得OA重疊在AP上；如圖2，再從圖2的B點及與B點重疊處一起剪開，使得細(xì)線分成三段，則此三段細(xì)線由小到大的長度比是（）
A．1:1:2B．2:2:5C．2:3:4D．2:3:5
【答案】D
【分析】設(shè)OB=3x，依次表示出BP、OA、AP、AB的長度，折疊后從點B處剪開得到AB段為2x，OB=3x，BP=5x，即可得到比值.
【詳解】設(shè)OB=3x，則BP=7x，
∴OP=OB+BP=10x，
∵OA:AP=2:3，
∴OA=4x，AP=6x，
∴AB=OA-OB=x，
將OA折向AP，使得OA重疊在AP上，再從點B重疊處一起剪開，
得到的三段分別為：2x、3x、5x，
故選：D.
【點睛】此題考查線段的和差計算，設(shè)未知數(shù)分別表示各段的長度使分析更加簡單，注意折疊后AB段的長度應(yīng)是原AB段的2倍，由此計算即可.
6．（3分）（2023上·黑龍江大慶·七年級?？计谀┳烂嫔蠑[著一個由一些相同的小正方體搭成的立體圖形，從它的正面看到的形狀是，從它的左面看到的形狀是，這個立體圖形可能是（）
A． B． C．D．
【答案】C
【分析】結(jié)合立體圖形從正面看到的形狀和從它的左面看到的形狀，對照選項逐項分析，得出正確結(jié)論．
【詳解】解：A．從正面能看到4個正方形，分兩層，下層3個，上層1居中，與題干中正面看到的形狀不符，故A不符合題意；
B．從左面能看到3個正方形，分兩層，下層2個，上層1個，左齊，與題干中左面看到的形狀不符，故B不符合題意；
C．從正面能看到4個正方形，分兩層，下層3個，上層1個，左齊；從左面能看到4個正方形，分兩層，下層3個，上層1個，右齊，與題干中從正面看到的形狀和從它的左面看到的形狀相符，故C符合題意；
D．從左面能看到四個正方形，分兩層，下層3個，上層1個，右齊，與題干中左面看到的形狀不符，故D不符合題意，
故選：C．
【點睛】本題考查作簡單圖形的三視圖，能正確辨認(rèn)從正面、上面、左面（或右面）觀察到的簡單幾何體的平面圖形．
7．（3分）（2023上·重慶酉陽·七年級統(tǒng)考期末）如圖是一個時鐘某一時刻的簡易圖，圖中的12條短線刻度位置是時鐘整點時時針（短針）位置，根據(jù)圖中時針和分針（長針）位置，該時鐘顯示時間是（）
A．10～11點B．7～8點C．5～6點D．2～3點
【答案】A
【分析】先根據(jù)每個刻度間的角度確定12點或6點的位置，即可確定此時的時間．
【詳解】解：由圖知：時針轉(zhuǎn)動了4小格，每一小格代表：412×5×360°=24° ，
即時針轉(zhuǎn)了24°，
∵分針每轉(zhuǎn)動1°，時針轉(zhuǎn)動112° ，由此知：
分針轉(zhuǎn)動：24°÷112=288° ，
由每一大格對應(yīng)30°知：288°÷30°=935 ，
即分針走了9大格，3個小格，從而確定12點位置：
由此確定此時是10點48分；
故答案為：A．
【點睛】此題考查角度的計算，根據(jù)指針的位置確定12點是關(guān)鍵．
8．（3分）（2023上·七年級課時練習(xí)）將一張正方形紙片按圖①、圖②所示的方式依次對折后，再沿圖③中的虛線剪裁，最后將圖④中的紙片打開鋪平，所得到的圖案是（）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根據(jù)題中所給剪紙方法，進(jìn)行動手操作，答案就會很直觀地呈現(xiàn)．
【詳解】解：嚴(yán)格按照圖中的順序進(jìn)行操作，展開得到的圖形如選項B中所示，
故選：B．
【點睛】本題考查了剪紙問題，動手能力及空間想象能力，解題的關(guān)鍵是學(xué)生只要親自動手操作，答案就會很直觀地呈現(xiàn)．
9．（3分）（2023上·重慶·七年級?？计谀┮阎cC在線段AB上，AC=2BC，點D，E在線段AB上，點D在點E的左側(cè)．若AB=2DE，線段DE在線段AB上移動，且滿足關(guān)系式AD+ECBE=32，則CDCB的值為（）
A．5B．1714C．1714或56D．1110
【答案】B
【分析】設(shè)BC=x，則AC=2BC=2x，求得AB=3x，設(shè)CE=y，當(dāng)點E在線段BC之間時，得到AE=2x+y，BE=x?y，求得y=27x，進(jìn)而即可求出CDCB；當(dāng)點E在線段AC之間時，同理可求出與條件不符，故舍去；
【詳解】設(shè)BC=x，則AC=2BC=2x，
∴AB=3x．
∵AB=2DE，
∴DE=32x．
設(shè)CE=y，
當(dāng)點E在線段BC之間時，如圖，
∴AE=AC+CE=2x+y，BE=BC?CE=x?y，
∴AD=AE?DE=2x+y?32x=12x+y．
∵AD+ECBE=32，
∴12x+y+yx?y=32，
∴y=27x，
∴CD=DE?CE=32x?y=32x?27x=1714x，
∴CDCB=1714xx=1714；
當(dāng)點E在線段AC之間時，如圖，
∴AE=AC?CE=2x?y，
∴AD=AE?DE=2x?32x?y=12x?y，BE=x+y．
∵AD+ECBE=32，
∴12x?y+yx+y=32，
解得：y=?23x，不符合題意，舍；
綜上可得CDCB=1714．
故選B．
【點睛】本題主要考查兩點間的距離及線段的和與差．解答的關(guān)系是分類討論點E的位置．
10．（3分）（2023上·山西晉中·七年級統(tǒng)考期末）如圖，點O為線段AD外一點，點M，C，B，N為AD上任意四點，連接OM，OC，OB，ON，下列結(jié)論不正確的是（）
A．以O(shè)為頂點的角共有15個
B．若MC=CB，MN=ND，則CD=2CN
C．若M為AB中點，N為CD中點，則MN=12AD?CB
D．若OM平分∠AOC，ON平分∠BOD，∠AOD=5∠COB，則∠MON=32∠MOC+∠BON
【答案】B
【分析】由于B選項中的結(jié)論是CD=2CN,而CD=CN+ND,因此只要判斷ND和CN是否相等即可，根據(jù)ND=MN,而MN>CN,因此得到ND>CN，由此得出B選項錯誤．
【詳解】解：以O(shè)為頂點的角有6×52=15個，
所以A選項正確；
∵M(jìn)N=ND，
∴ND>CN,
∴CD=CN+ND>CN+CN,即 CD>2CN,
所以B選項錯誤；
由中點定義可得：MB=12AB,NC=12CD,
∴MN=MB+CN?CB=12AB+12CD?CB=12AB+CD?CB，
∵AB+CD=AD+CB,
∴MN=12AD+CB?CB=12AD?CB,
所以C選項正確；
由角平分線的定義可得：∠AOC=2∠MOC,∠BOD=2∠BON,
∵∠AOD=∠AOC+∠COB+∠DOB=5∠COB,
∴2∠MOC+2∠BON+∠BOC=5∠BOC,
∴∠MOC+∠BON=2∠BOC,
∴∠MON=∠MOC+∠COB+∠BON=2∠COB+∠COB=3∠COB
32∠MOC+∠BON=32×2∠COB=3∠COB,
∴∠MON=32∠MOC+∠BON,
所以D選項正確，
所以不正確的只有B，
故選：B.
【點睛】本題綜合考查了角和線段的相關(guān)知識，要求學(xué)生能正確判斷角以及不同的角之間的關(guān)系，能正確運用角平分線的定義，能明確中點的定義，并能正確地進(jìn)行線段之間的關(guān)系轉(zhuǎn)換，考查了學(xué)生對相關(guān)概念的理解以及幾何運算的能力．
二．填空題（共6小題，滿分18分，每小題3分）
11．（3分）（2023上·湖北武漢·七年級?？计谀┮阎€段AB=8，延長BA至點C，使CB=2AB，點D、E均為線段BA延長線上兩點，且BD=4AE，M、N分別是線段DE、AB的中點，當(dāng)點C是線段BD的三等分點時，MN的長為．
【答案】15或29
【分析】分BC=23BD時和BC=13BD時兩種情況，畫出對應(yīng)的圖形分別討論求解即可．
【詳解】解：∵AB=8，CB=2AB，N是線段AB的中點，
∴CB=16，AN=BN=12AB=4，
①若BC=23BD，如圖1所示：
∴BD=3AB=24，
∴AD=BD?AB=16，
∵BD=4AE，
∴AE=6，
∴DE=AD?AE=10，
∵M(jìn)是線段DE的中點，
∴DM=ME=5，
∴MN=BD?DM?BN=15，
②若BC=13BD，如圖：
∴BD=3BC=48，
∴AD=BD?AB=40，
∵BD=4AE，
∴AE=12，
∴DE=AD?AE=28，
∵M(jìn)是線段DE的中點，
∴DM=DE2=14，
∴MN=BD?DM?BN=29；
故答案為：15或29．
【點睛】本題考查了線段的和差問題，畫出線段有助于更直觀地解題，注意分情況討論．
12．（3分）（2023上·七年級單元測試）一個正方體盒子的展開圖如圖所示，如果要把它粘成一個正方體，那么與點A重合的點是．
【答案】C、E
【詳解】解：由正方形的平面展開圖可知，A、C與E重合．故答案為：C、E．
點睛：本題考查靈活運用正方體的相對面解答問題，立意新穎，是一道不錯的題．
13．（3分）（2023上·河南省直轄縣級單位·七年級校聯(lián)考期末）如圖，∠AOB=α,OA1、OB1分別是∠AOM和∠MOB的平分線，OA2、OB2分別是∠A1OM和∠MOB1的平分線，OA3、OB3分別是∠A2OM和∠MOB2的平分線，…，OAn,OBn分別是∠An?1OM和∠MOBn?1的平分線，則∠AnOBn的度數(shù)是．

【答案】α2n
【分析】由角平分線性質(zhì)推理得∠A1OB1=12α，∠A2OB2=α22，∠A3OB3=α23，據(jù)此規(guī)律可解答．
【詳解】解：∵∠AOB=α，OA1、OB1分別是∠AOM和∠MOB的平分線，
∴∠A1OM=12∠AOM,∠B1OM=12∠BOM，
∴∠A1OB1=12(∠AOM+∠BOM)=12∠AOB=12α，
∵OA2、OB2分別是∠A1OM和∠MOB1的平分線，
∴∠A2OM=12∠A1OM,∠B2OM=12∠B1OM，
∴∠A2OB2=12(∠A1OM+∠B1OM)=12∠A1OB1=12×12∠AOB=14α=α22，
∵OA3、OB3分別是∠A2OM和∠MOB2的平分線，
∴∠A3OM=12∠A2OM,∠B3OM=12∠B2OM，
∴∠A3OB3=12(∠A2OM+∠B2OM)=12∠A2OB2=12×12∠A1OB1=12×12×12∠AOB=18α=α23，
…，由此規(guī)律得：
∠AnOBn=α2n．
故答案為：α2n．
【點睛】本題考查角平分線的性質(zhì)、圖形規(guī)律等知識，是基礎(chǔ)考點，掌握相關(guān)知識是解題關(guān)鍵．
14．（3分）（2023上·廣東河源·七年級校考期中）兩個同樣大小的正方體形狀積木，每個正方體上相對的兩個面上寫的數(shù)之和都等于?3，現(xiàn)將兩個正方體并列放置．看得見的五個面上的數(shù)字如圖所示，則看不見的七個面上的數(shù)的和等于．
【答案】?33
【分析】先根據(jù)“相對兩個面上寫的數(shù)之和都等于?3”求出看不見的七個面上的數(shù)（或兩個相對面上的數(shù)之和），再相加即可得．
【詳解】∵每個正方體上相對兩個面上寫的數(shù)之和都等于?3，
∴左邊正方體：下底面上的數(shù)是?3?2=?5，后面上的數(shù)是?3?1=?4，左右兩相對面上的數(shù)之和是?3，
右邊正方體：下底面上的數(shù)是?3?3=?6，后面上的數(shù)是?3?4=?7，左面上的數(shù)是?3?5=?8，
則看不見的七個面上所寫的數(shù)之和是?5?4?3?6?7?8=?33，
故答案為：?33．
【點睛】本題考查了正方體相對面上的數(shù)、有理數(shù)加減法的實際應(yīng)用，熟練掌握正方體的特征是解題關(guān)鍵．
15．（3分）（2023上·福建龍巖·七年級統(tǒng)考期末）簡單多面體是各個面都是多邊形組成的幾何體，十八世紀(jì)瑞士數(shù)學(xué)家歐拉證明了簡單多面體中頂點數(shù)（V）、面數(shù)（F）和棱數(shù)（E）之間存在一個有趣的關(guān)系式，稱為歐拉公式．如表是根據(jù)左邊的多面體模型列出的不完整的表：
現(xiàn)在有一個多面體，它的每一個面都是三角形，它的面數(shù)（F）和棱數(shù)（E）的和為30，則這個多面體的頂點數(shù)V＝．
【答案】8
【分析】直接利用V，E，F(xiàn)分別表示凸多面體的頂點數(shù)、棱數(shù)、面數(shù)，歐拉公式為V﹣E+F=2，求出答案．
【詳解】解：∵現(xiàn)在有一個多面體，它的每一個面都是三角形，它的面數(shù)（F）和棱數(shù)（E）的和為30，
∴這個多面體的頂點數(shù)V=2+E﹣F，
∵每一個面都是三角形，
∴每相鄰兩條邊重合為一條棱，
∴E=32F，
∵E+F=30，
∴F=12，
∴E=18，
∴V=2+E﹣F=2+18?12=8，
故答案為8．
【點睛】本題考查了歐拉公式，正確運用歐拉公式進(jìn)行計算是解題的關(guān)鍵．
16．（3分）（2023上·浙江溫州·七年級統(tǒng)考期末）如圖1，一款暗插銷由外殼AB，開關(guān)CD，鎖芯DE三部分組成，其工作原理如圖2，開關(guān)CD繞固定點O轉(zhuǎn)動，由連接點D帶動鎖芯DE移動.圖3為插銷開啟狀態(tài)，此時連接點D在線段AB上，如D1位置.開關(guān)CD繞點O順時針旋轉(zhuǎn)180°后得到C2D2，鎖芯彈回至D2E2位置（點B與點E2重合），此時插銷閉合如圖4.已知CD=74mm，AD2?AC1=50mm，則BE1= mm.
【答案】24
【分析】結(jié)合圖形得出當(dāng)點D在O的右側(cè)時，即D1位置時，B與點E的距離為BE1，當(dāng)點D在O的左側(cè)時，即D2位置時，B與點E重合，即E2位置，得出BE1=OD1+OD2=2OD2，再由圖形中線段間的關(guān)系得出D=OC1+OD2=OD2+50+OD2=74mm，即可求解．
【詳解】解：由圖3得，當(dāng)點D在O的右側(cè)時，即D1位置時，B與點E的距離為BE1，
由圖4得，當(dāng)點D在O的左側(cè)時，即D2位置時，B與點E重合，即E2位置，
∴BE1=OD1+OD2=2OD2，
∵AD2?AC1=50mm，
∴AO?OD2?AO?OC1=50mm，
∴OC1?OD2=50mm，
∴OC1=OD2+50，
∵CD=OC+OD=OC1+OD1，
∴CD=OC1+OD2=OD2+50+OD2=74mm，
∴2OD2=24mm，
∴BE1=24mm，
故答案為：24．
【點睛】題目主要考查線段間的數(shù)量關(guān)系，理解題意，結(jié)合圖形求解是解題關(guān)鍵．
三．解答題（共7小題，滿分52分）
17．（6分）（2023上·廣東惠州·七年級惠州一中?？计谀┌匆蠼忸}：
(1)A，B，M，N四點如圖所示，讀下列語句，按要求作出圖形（不寫作法）：
①連接AB；
②在線段AB的延長線上取點C，使BC=2AB；
③連接AN，BM，它們相交于點P；
(2)在（1）題圖中，若AB=3cm，D為AB的中點，E為AC的中點，求DE的長．
【答案】(1)見解析
(2)DE=3cm
【分析】（1）根據(jù)題意，作出對應(yīng)的線段和點即可；
（2）根據(jù)題意求得線段AC、AE、AD的長度，由圖形可得DE=AE?AD，即可求解．
【詳解】（1）解：如圖：
（2）解：如圖：
∵AB=3cm，BC=2AB，
∴BC=6cm，
∴AC=AB+BC=9cm，
又∵D為AB的中點，E為AC的中點，
∴AD=12AB=32cm，AE=12AC=92cm，
∴DE=AE?AD=3cm．
【點睛】本題考查了線段的作圖方法和線段中點的性質(zhì)，線段的和差的計算，解題的關(guān)鍵是掌握線段的作圖方法以及有關(guān)線段中點的性質(zhì)．
18．（6分）（2023上·河南駐馬店·七年級統(tǒng)考期末）如圖是由6個棱長都為1的小立方塊搭成的幾何體．

(1)請畫出這個幾何體從正面、左面、上面三個方向看到的形狀圖；
(2)如果在這個幾何體上再添加一些相同的小立方塊，并保持從上面看和從左面看到的形狀圖不變，最多可以再添加_________個相同的小立方塊．
【答案】(1)見解析
(2)3
【分析】（1）根據(jù)不同方向可以看到的形狀在網(wǎng)格中畫圖即可；
（2）根據(jù)從左面和上面看到的形狀不變還原幾何體，再確定能夠添加的位置和數(shù)量．
【詳解】（1）如圖所示，

（2）保持從正面和從左面看到的形狀圖不變，即幾何體有2層4列2排，最上層只有1個立方體，因此可以添加的是下層前排中間的空缺位置，即最多可以再添加3塊小正方體．
故答案為：3．
【點睛】本題考查了從不同方向看幾何體，需要學(xué)生由一定的空間想象能力，易錯點是還原幾何體時考慮不全導(dǎo)致錯誤．
19．（8分）（2023上·甘肅白銀·七年級統(tǒng)考期末）【問題回顧】我們曾解決過這樣的問題：如圖1，點O在直線AB上，OC，OD分別平分∠AOE，∠BOE，可求得∠OOD=90°．（不用求解）

【問題改編】點O在直線AB上，∠COD=90°，OE平分∠BOC．
(1)如圖2，若∠AOC=50°，求∠DOE的度數(shù)；
(2)將圖2中的∠COD按圖3所示的位置進(jìn)行放置，寫出∠AOC與∠DOE度數(shù)間的等量關(guān)系，并寫明理由．
【答案】(1)∠DOE=25°；
(2)∠DOE=12∠AOC．
【分析】（1）先求∠COB，利用角平分線定義再求∠COE，最終求∠DOE的度數(shù)；
（2）設(shè)∠AOC=α，再根據(jù)（1）的求解過程，用含α的式子表示兩個角的數(shù)量關(guān)系．
【詳解】（1）∵∠COD=90°，
∴∠AOC+∠BOD=90°．
∵∠AOC=50°，
∴∠BOD=40°．
∴∠COB=∠COD+∠BOD=90°+40°=130°．
∵OE平分∠BOC，
∴∠COE=12∠BOC=12×130°=65°．
∴∠DOE=∠COD?∠COE=90°?65°=25°．
（2）設(shè)∠AOC=α，則∠BOC=180°?α．
∵OE平分∠BOC，
∴∠BOE=12∠BOC=12×180°?α=90°?12α．
∵∠BOD=∠COD?∠BOC=90°?180°?α=α?90°，
∴∠DOE=∠DOB+∠BOE=α?90°+90°?12α=12α．
∴將圖2中的∠COD按圖3所示的位置放置時，∠AOC與∠DOE度數(shù)間的等量關(guān)系為∠DOE=12∠AOC．
【點睛】本題考查了角的和差，角的平分線，平角的性質(zhì)；關(guān)鍵是弄清角之間的關(guān)系，利用數(shù)形結(jié)合的思想求解．
20．（8分）（2023上·河南南陽·七年級統(tǒng)考期末）綜合實踐
【問題情景】某綜合實踐小組進(jìn)行廢物再利用的環(huán)保小衛(wèi)士行動．他們準(zhǔn)備用廢棄的宣傳單制作裝垃圾的無蓋紙盒．
【操作探究】
(1)若準(zhǔn)備制作一個無蓋的正方體紙盒，如圖1的四個圖形中哪個圖形經(jīng)過折疊能圍成無蓋正方體紙盒？
(2)如圖2是小明的設(shè)計圖，把它折成無蓋正方體紙盒后與“保”字相對的字是______．
圖2
(3)如圖3，有一張邊長為20cm的正方形廢棄宣傳單，小華準(zhǔn)備將其四角各剪去一個小正方形，折成無蓋長方體紙盒．
①請你在如圖3中畫出示意圖，用實線表示剪切紙，虛線表示折痕．
②若四角各剪去了一個邊長為xcm的小正方形，用含x的代數(shù)式表示這個紙盒的高為______cm．
③當(dāng)四角剪去的小正方形的邊長為4cm時，請直接寫出紙盒的容積．
【答案】(1)C
(2)衛(wèi)
(3)①見解析；②x；③576cm3
【分析】（1）由平面圖形的折疊及正方體的展開圖解答本題；
（2）正方體的平面展開圖中，相對面的特點是中間必須間隔一個正方形，據(jù)此作答；
（3）①根據(jù)題意，畫出圖形即可；
②根據(jù)折疊成的紙盒高為小正方形的邊長即可即可解答；
③根據(jù)長方體體積計算公式，即可解答．
【詳解】（1）解：A．有田字，故A不能折疊成無蓋正方體；
B．只有4個小正方形，無蓋的應(yīng)該有5個小正方形，不能折疊成無蓋正方體；
C．可以折疊成無蓋正方體；
D．有6個小正方形，無蓋的應(yīng)該有5個小正方形，不能折疊成無蓋正方體．
故選：C．
（2）解：正方體的平面展開圖中，相對面的特點是中間必須間隔一個正方形，所以與“?！弊窒鄬Φ淖质恰靶l(wèi)”．
故答案為：衛(wèi)．
（3）解：①如圖，
②設(shè)剪去的小正方形的邊長為xcm，則這個盒子的高為xcm．
故答案為：x．
③當(dāng)小正方形邊長為4cm時，紙盒的容積為：
4×20?2×42=576cm3．
【點睛】本題主要考查了展開圖折疊成幾何體，列代數(shù)式，有理數(shù)混合運算的應(yīng)用，每一個面都有唯一的一個對面的展開圖才能折疊成正方體，解答本題的關(guān)鍵是讀懂題意．
21．（8分）（2023上·全國·七年級專題練習(xí)）（1）如圖，點C在線段AB上，點M在線段AC上，點N在線段BC上．
①已知AC=13,CB=8,，若點M，N分別是AC，BC的中點，求線段MN的長；
②已知AC=13,CB=8,，若點M是AC的中點， BN=34BC，求線段MN的長；
③已知AC=a,CB=b,，若AM=23AC， BN=13BC，請直接寫出線段MN的長（用含a，b的式子表示）；
（2）若點C在直線AB上，（1）中其他條件不變，已知AC=a,CB=35a，5AM=3CM，3BN=2CN，請直接寫出線段MN的長．
【答案】（1）①10.5；②8.5；③13a+23b；（2）173200a或77200a
【分析】（1）①根據(jù)線段中點的性質(zhì)可得，CM=12AC,CN=12BC，由MN=CM+CN，代入計算即可得出答案；
②由點M是AC的中點， BN=34BC，可得CM=12AC,CN=14BC，由MN＝CM+CN，代入計算即可得出答案；
③由已知AM=23AC,BN=13BC，可得CM=13AC， CN=23BC，由MN＝CM+CN，代入計算即可得出答案；
（2）由已知5AM＝3CM，3BN＝2CN，可得CM=38AC,CN=25BC，由MN＝CM+CN，代入計算即可得出答案．
【詳解】解：（1）①∵點M，N分別是AC，BC的中點，
∴CM=12AC=12×13=6.5， CN=12BC=12×8=4，
∴MN＝CM+CN＝6.5+4＝10.5；
②∵點M是AC的中點， BN=34BC，
∴CM=12AC=12×13=6.5， CN=14BC=14×8=2，
∴MN＝CM+CN＝6.5+2＝8.5；
③MN=13a+23b；
∵AM=23AC,BN=13BC，
∴CM=13AC=13a,CN=23BC=23b，
∴MN=CM+CN=13a+23b；
（2）MN=173200a或77200a．
∵5AM＝3CM，3BN＝2CN，
∴CM=58AC=58a,CN=25BC=25×35a=625a，
若點C在線段AB上時，
∴MN=CM+CN=(58+625)a=173200a．
若點B在線段AC上時，MN=CM?CN=58a?625a=(58?625)a＝77200a．
綜上，線段MN的長為173200a或77200a．
【點睛】本題主要考查了線段中點有關(guān)的線段的計算，認(rèn)真審題，數(shù)形結(jié)合，明確線段直接的數(shù)量關(guān)系進(jìn)行求解是解決本題的關(guān)鍵,（2）小題注意分兩種情況討論．
22．（8分）（2023下·山東濟(jì)南·七年級統(tǒng)考期末）解答下列問題
如圖1，射線OC在∠AOB的內(nèi)部，圖中共有3個角：∠AOB，∠AOC和∠BOC，若其中有一個角的度數(shù)是另一個角度數(shù)的兩倍，則稱射線OC是∠AOB的“巧分線”．

(1)一個角的平分線這個角的“巧分線”，（填“是”或“不是”）．
(2)如圖2，若∠MPN=60°，且射線PQ是∠MPN的“巧分線”，則∠MPQ= （表示出所有可能的結(jié)果探索新知）．

(3)如圖3，若∠MPN=α，且射線PQ是∠MPN的“巧分線”，則∠MPQ= （用含α的代數(shù)式表示出所有可能的結(jié)果）．

【答案】(1)是
(2)30°，20°或40°
(3)12α或13α或23α
【分析】（1）根據(jù)“巧分線”定義，一個角的平分線將一個角均分成兩個等角，大角是這兩個角的兩倍即可解答；
(2)根據(jù)“巧分線”定義，分∠MPN=2∠MPQ1、∠NPQ2=2∠MPQ2、∠MPQ3=2∠NPQ3三種情況求解即可；
(3) 根據(jù)“巧分線”定義，分∠MPN=2∠MPQ1、∠NPQ2=2∠MPQ2、∠MPQ3=2∠NPQ3三種情況求解即可．
【詳解】（1）解：如圖1：∵OC平分∠AOB，
∴∠AOB=2∠AOC=2∠BOC,
∴根據(jù)巧分線定義可得OC是這個角的“巧分線”．
故答案為：是．

（2）解：如圖3：①當(dāng)∠MPN=2∠MPQ1時，則∠MPQ1=12∠MPN=12×60°=30°；
②當(dāng)∠NPQ2=2∠MPQ2，則∠MPN=∠MPQ2+∠NPQ2=3∠MPQ2=60°，解得：∠MPQ2=20°；
③當(dāng)∠MPQ3=2∠NPQ3，則∠MPN=∠MPQ3+∠NPQ3=32∠MPQ3=60°，解得：∠MPQ3=40°．
綜上，∠MPQ可以為30°，20°，40°．
（3）解：如圖3：①當(dāng)∠MPN=2∠MPQ1時，則∠MPQ1=12∠MPN=12×α=α2；
②當(dāng)∠NPQ2=2∠MPQ2，則∠MPN=∠MPQ2+∠NPQ2=3∠MPQ2=α，解得：∠MPQ2=13α；
③當(dāng)∠MPQ3=2∠NPQ3，則∠MPN=∠MPQ3+∠NPQ3=32∠MPQ3=α，解得：∠MPQ3=23α．
綜上，∠MPQ可以為α2，13α，23α．

【點睛】本題主要考查了新定義下的計算、角平分線的定義等知識點，讀懂題意、理解“巧分線”的定義是解題的關(guān)鍵．
23．（8分）（2023上·河北唐山·七年級統(tǒng)考期末）如圖，點O為直線AB上一點，將斜邊為CD的直角三角板的直角頂點放在點O處，OE平分∠BOC．

(1)如圖1，若∠AOC=30°，求∠DOE的度數(shù)；
(2)將直角三角板繞頂點O順時針旋轉(zhuǎn)至圖2的位置，其他條件不變，探究∠AOC和∠DOE度數(shù)之間的關(guān)系，寫出你的結(jié)論，并說明理由；
(3)在圖1中，∠AOC=30°，OP與OD的起始位置重合，再將三角板COD繞點O按每秒10°的速度沿順時針方向旋轉(zhuǎn)一周，在旋轉(zhuǎn)的過程中，第t秒時，射線OD恰好是銳角∠BOP的三等分線，則t的值為__________秒（直接寫出結(jié)果）．
【答案】(1)15°
(2)∠AOC=2∠DOE，理由見解析
(3)2或4
【分析】（1）根據(jù)鄰補(bǔ)角互補(bǔ)和角平分線的定義可得∠EOC=75°，再結(jié)合∠COD是直角運用角的和差即可解答；
（2）根據(jù)角平分線的定義可得∠BOC=2∠COE，根據(jù)余角的性質(zhì)可得∠COE=∠BOE=90°?∠DOE，再根據(jù)∠AOC=180°?∠BOC=180°?2∠COE并將∠COE=∠BOE=90°?∠DOE代入化簡即可解答；
（3）由角∠BOP的三等分線有兩條，需分∠POD=13∠POB和∠POD=23∠POB兩種情況，分別根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)列方程求解即可．
【詳解】（1）解：∵∠AOC=30°，
∴∠BOC=180°?∠AOC=150°，
∵OE平分∠BOC，
∴∠EOC=12∠BOC=75°,
∵∠COD是直角，
∴∠DOE=∠COD?∠EOC=90°?75°=15°．
（2）解：∠AOC=2∠DOE；理由如下：
∵OE平分∠BOC，
∴∠BOC=2∠COE，
∵∠COD=90°，
∴∠COE=∠BOE=90°?∠DOE，
∴∠AOC=180°?∠BOC=180°?2∠COE=180°?290°?∠DOE，
∴∠AOC=2∠DOE．
（3）解：由角∠BOP的三等分線有兩條，需分以下兩種情況解答：
①∵射線OD恰好是銳角∠BOP的三等分線，
∴∠POD=13∠POB,
∵三角板COD繞點O按每秒10°的速度沿順時針方向旋轉(zhuǎn)一周，
∴∠POD=10t；
由（1）可得：∠BOP=180°?30°?90°=60°,
∴∠POD=13∠POB=20°，
∴10t=20，即t=2；
②∵射線OD恰好是銳角∠BOP的三等分線，
∴∠POD=23∠POB,
∵三角板COD繞點O按每秒10°的速度沿順時針方向旋轉(zhuǎn)一周，
∴∠POD=10t；
由（1）可得：∠BOP=180°?30°?90°=60°,
∴∠POD=23∠POB=40°，
∴10t=40，即t=4．
綜上，當(dāng)t=2或4時，射線OD恰好是銳角∠BOP的三等分線．
【點睛】本題主要考查了鄰補(bǔ)角的性質(zhì)、角平分線的定義、垂直的定義、角三等分線等知識點，靈活運用相關(guān)定義是解答本題的關(guān)鍵．多面體
頂點數(shù)
面數(shù)
棱數(shù)
四面體
4
4
6
長方體
8
6
正八面體
8
12
環(huán)
保
小
衛(wèi)
士

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