參考答案與試題解析
選擇題（共10小題，滿分30分，每小題3分）
1．（3分）（2023下·陜西商洛·七年級統(tǒng)考期末）如圖，直線a，b被直線c所截，則下列說法中錯誤的是（ ）

∠1與∠2是鄰補(bǔ)角B．∠1與∠3是對頂角
C．∠2與∠4是同位角D．∠3與∠4是內(nèi)錯角
【答案】D
【分析】根據(jù)鄰補(bǔ)角的定義，可判斷A，根據(jù)對頂角的定義，可判斷B，根據(jù)同位角的定義，可判斷C，根據(jù)內(nèi)錯角的定義，可判斷D
【詳解】解：A、∠1與∠2有一條公共邊，另一邊互為反向延長線，故A正確；
B、∠1與∠3的兩邊互為反向延長線，故B正確；
C、∠2與∠4的位置相同，故C正確；
D、∠3與∠4是同旁內(nèi)角．故D錯誤；
故選：D．
【點睛】本題考查了鄰補(bǔ)角，對頂角，同位角、內(nèi)錯角、同旁內(nèi)角，根據(jù)定義求解是解題關(guān)鍵．有一個公共頂點，并且一個角的兩邊分別是另一個角的兩邊的反向延長線，具有這種位置關(guān)系的兩個角，互為對頂角．只有一條公共邊，它們的另一邊互為反向延長線，具有這種關(guān)系的兩個角，互為鄰補(bǔ)角．同位角的概念：兩條直線a，b被第三條直線c所截（或說a，b相交c），在截線c的同旁，被截兩直線a，b的同一側(cè)的角，我們把這樣的兩個角稱為同位角．內(nèi)錯角的概念：兩條直線被第三條直線所截，兩個角分別在截線的兩側(cè)，且夾在兩條被截直線之間，具有這樣位置關(guān)系的一對角叫做內(nèi)錯角；同旁內(nèi)角的概念：兩條直線被第三條直線所截，在截線同旁，且在被截線之內(nèi)的兩角，叫做同旁內(nèi)角．
2．（3分）（2023下·天津·七年級校考期末）已知OA⊥OB，直線CD經(jīng)過點O且∠AOC=40度，則∠BOD等于（ ）
A．130°B．50°C．130°或50°D．40°
【答案】C
【分析】根據(jù)垂線的定義結(jié)合題意，分OC在∠AOB的內(nèi)部時，OC在∠AOB的外部時，求解即可．
【詳解】解：當(dāng)OC在∠AOB的內(nèi)部時，
∵∠AOC=40°，OA⊥OB，
∴∠BOC=90°?∠AOC=90°?40°=50°，
∴∠BOD=180°?∠BOC=180°?50°=130°．
當(dāng)OC在∠AOB的外部時，
∠BOD=180°?∠AOC?∠AOB=180°?40°?90°=50°．
故選C．

【點睛】本題考查垂線的定義，鄰補(bǔ)角互補(bǔ)以及角的和差關(guān)系，利用數(shù)形結(jié)合和分類討論的思想是解題關(guān)鍵．
3．（3分）（2023下·新疆烏魯木齊·七年級?？计谀┤鐖D，已知∠A=70°，O是AB上一點，直線OD與AB的夾角∠BOD=82°，要使OD∥AC，直線OD繞點O按逆時針方向至少旋轉(zhuǎn)（ ）度

A．12B．18C．22D．24
【答案】A
【分析】根據(jù)OD′∥AC，運(yùn)用兩直線平行，同位角相等，求得∠BOD′=∠A，即可得到∠DOD′的度數(shù)，即旋轉(zhuǎn)角的度數(shù)．
【詳解】解：∵OD′∥AC，
∴∠BOD′=∠A=70°，
∴∠DOD′=82°?70°=12°．
故選：A．
【點睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)角以及平行線的判定定理的運(yùn)用，掌握平行線的判定方法是關(guān)鍵．
4．（3分）（2023下·浙江寧波·七年級統(tǒng)考期末）如圖，AB∥DE，BC⊥CD，設(shè)∠ABF=α，∠CDE=β，則α與β之間的數(shù)量關(guān)系正確的是（ ）
A．α?β=90°B．α+β=90°
C．α+β=180°D．α與β沒有數(shù)量關(guān)系
【答案】A
【分析】過C作CM∥AB，得到CM∥DE，因此∠ABC=∠BCM，∠MCD=∠EDC=β，由垂直的定義得到∠ABC=90°?β，由鄰補(bǔ)角的性質(zhì)即可得到答案．
【詳解】解：過C作CM∥AB，
∵AB∥DE，
∴CM∥DE，
∴∠ABC=∠BCM，∠MCD=∠EDC=β，
∵BC⊥CD，
∴∠BCM=90°?∠MCD=90°?β，
∴∠ABC=90°?β，
∵∠ABC+∠ABF=180°，
∴90°?β+α=180°，
∴ α?β=90° ．

故選：A．
【點睛】本題考查平行線的性質(zhì)，關(guān)鍵是過C作CM//AB，得到CM//DE，由平行線的性質(zhì)來解決問題．
5．（3分）（2023下·陜西西安·七年級統(tǒng)考期末）如圖，直線AB∥CD，點E、F分別是AB、CD上的點（點E在點F的右側(cè)），點M為線段EF上的一點（點M不與點E、F重合），點N為射線FD上的一動點，連接MN，過點M作MQ∥CD，且恰能使得MQ平分∠EMN ．若∠BEF=142°，則∠MNF和∠FMN的度數(shù)分別為（ ）

A．38°，76°B．38°，104°C．36°，142°D．36°，104°
【答案】B
【分析】先證AB∥MQ，再根據(jù)平行線的性質(zhì)，角平分線的定義以及平角的定義即可求解．
【詳解】解：∵AB∥CD，MQ∥CD，

∴AB∥MQ，
∴∠EMQ=180°?∠BEF=38°，
∵M(jìn)Q平分∠EMN，
∴∠QMN=∠EMQ=38°，
∵M(jìn)Q∥CD，
∴∠MNF=∠QMN=38°，
∴∠FMN=180°?∠EMN=180°?38°?38°=104°，
故選B．
【點睛】本題考查了平行線的判定和性質(zhì)、角平分線的定義，熟練掌握平行線的性質(zhì)，并能進(jìn)行推理論證是解決問題的關(guān)鍵．
6．（3分）（2023下·江蘇宿遷·七年級統(tǒng)考期末）如圖，直線AB∥EF∥CD，BC平分∠ABD，DE平分∠FDC，∠C=50°，∠BDF=30°，則∠FED=（ ）
A．20°B．25°C．30°D．35°
【答案】B
【分析】根據(jù)平行線的性質(zhì)和角平分線的性質(zhì)即可求解．
【詳解】解：∵AB∥EF∥CD，∠C=50°，
∴∠ABC=∠C=50°，∠ABD+∠BDC=180°，∠FED=∠CDE，
∵BC平分∠ABD，
∴∠ABD=2∠ABC=100°，
∴∠BDC=180°?∠ABD=80°，
∵∠BDF=30°，
∴∠CDF=∠BDC?∠BDF=50°，
∵DE平分∠FDC，
∴∠CDE=12∠CDF=25°，則∠FED=25°，
故選：B．
【點睛】本題考查平行線的性質(zhì)、角平分線的定義，熟練掌握平行線的性質(zhì)是解答的關(guān)鍵．
7．（3分）（2023下·江蘇常州·七年級?？计谥校┤鐖Da是長方形紙帶，∠DEF=26°，將紙帶沿EF折疊成圖b，再沿BF折疊成圖c，則圖c中的∠CFE的度數(shù)是（ ）

A．102°B．108°C．124°D．128°
【答案】A
【分析】先由矩形的性質(zhì)得出∠BFE=∠DEF=26°，再根據(jù)折疊的性質(zhì)得出∠CFG=180°-2∠BFE，∠CFE=∠CFG-∠EFG即可．
【詳解】∵四邊形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，
∴∠BFE=∠DEF=26°，
∴∠CFE=∠CFG-∠EFG=180°-2∠BFE-∠EFG=180°-3×26°=102°，
故選A．
【點睛】本題考查了翻折變換（折疊問題）、矩形的性質(zhì)、平行線的性質(zhì)；熟練掌握翻折變換和矩形的性質(zhì)，弄清各個角之間的關(guān)系是解決問題的關(guān)鍵．
8．（3分）（2023下·安徽合肥·七年級統(tǒng)考期末）將含30°角的三角板ABC如圖放置，使其三個頂點分別落在三條平行直線上，其中∠ACB=90°，∠CAB=30°，當(dāng)∠CDB=60°時，圖中等于30°的角的個數(shù)是（ ）

A．3B．4C．5D．6
【答案】C
【分析】由平行線的性質(zhì)得∠DAM=∠CDB=60°，即可求出∠BAM=30°，由b∥c得到∠DBA=∠BAM=30°，求出∠CBD=30°，由a∥b推出∠BCN=∠CBD=30°．
【詳解】解：∵b∥c，
∴∠DAM=∠CDB=60°，
∵∠BAC=30°，
∴∠BAM=∠DAM?∠BAC=30°，
∵b∥c，
∴∠DBA=∠BAM=30°，
∵∠CBA=90°?∠BAC=60°，
∴∠CBD=∠CBA?∠DBA=30°，
∵a∥b，
∴∠BCN=∠CBD=30°，
∵圖中等于30°的角的個數(shù)有5個．
故選：C．

【點睛】本題考查平行線的性質(zhì)，關(guān)鍵是掌握平行線的性質(zhì)．
9．（3分）（2023下·浙江·七年級期末）一副直角三角尺疊放如圖所示，現(xiàn)將30°的三角尺ABC固定不動，將45°的三角尺BDE繞頂點B逆時針轉(zhuǎn)動，點E始終在直線AB的上方，當(dāng)兩塊三角尺至少有一組邊互相平行時，則∠ABE所有符合條件的度數(shù)為（ ）
A．45°，75°，120°，165°B．45°，60°，105°，135°
C．15°，60°，105°，135°D．30°，60°，90°，120°
【答案】A
【分析】分DE∥AB，DE∥AC，BE∥AC，AC∥BD，分別畫出圖形，根據(jù)平行線的性質(zhì)和三角板的特點求解．
【詳解】解：如圖，
①DE∥AB，
∴∠D+∠ABD=180°
∴∠ABD=90°
∴∠ABE=45°；
②DE∥AC，
∵∠D=∠C=90°，
∴B，C，D共線，
∴∠ABE=∠CBE+∠ABC=180°-45°+30°=165°；
③BE∥AC，
∴∠C=∠CBE=90°，
∴∠ABE=∠ABC+∠CBE=120°；
④AC∥BD，
∴∠ABD=180°-∠A=120°，
∴∠ABE=∠ABD-∠DBE=75°，
綜上：∠ABE的度數(shù)為：45°或75°或120°或165°．
【點睛】本題考查了三角板中的角度計算，平行線的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是注意分類討論，做到不重不漏．
10．（3分）（2023下·江蘇宿遷·七年級統(tǒng)考期中）如圖，已知直線AB、CD被直線AC所截，AB//CD，E是平面內(nèi)任意一點（點E不在直線AB、CD、AC上），設(shè)∠BAE=α，∠DCE=β．下列各式：①α+β，②α?β，③β?a，④360°?α?β，∠AEC的度數(shù)可能是（ ）
A．②③B．①④C．①③④D．①②③④
【答案】D
【分析】由題意根據(jù)點E有6種可能位置，分情況進(jìn)行討論，依據(jù)平行線的性質(zhì)以及三角形外角性質(zhì)進(jìn)行計算求解即可．
【詳解】解：（1）如圖1，由AB∥CD，可得∠AOC=∠DCE1=β，
∵∠AOC=∠BAE1+∠AE1C，
∴∠AE1C=β-α．
（2）如圖2，過E2作AB平行線，則由AB∥CD，可得∠1=∠BAE2=α，∠2=∠DCE2=β，
∴∠AE2C=α+β．
（3）如圖3，由AB∥CD，可得∠BOE3=∠DCE3=β，
∵∠BAE3=∠BOE3+∠AE3C，
∴∠AE3C=α-β．
（4）如圖4，由AB∥CD，可得∠BAE4+∠AE4C+∠DCE4=360°，
∴∠AE4C=360°-α-β．
（5）（6）當(dāng)點E在CD的下方時，同理可得∠AEC=α-β或β-α．
綜上所述，∠AEC的度數(shù)可能為β-α，α+β，α-β，360°-α-β，即①②③④．
故選：D．
【點睛】本題主要考查平行線的性質(zhì)的運(yùn)用，解題時注意兩直線平行，同位角相等；兩直線平行，內(nèi)錯角相等以及分類討論．
二．填空題（共6小題，滿分18分，每小題3分）
11．（3分）（2023下·浙江金華·七年級統(tǒng)考期末）如圖是路燈維護(hù)工程車的工作示意圖，工作籃底部與支撐平臺平行．若∠1=30°，則∠2+∠3的度數(shù)為 ．

【答案】210°
【分析】過∠2頂點做直線l ∥支撐平臺，直線l將∠2分成兩個角，根據(jù)平行的性質(zhì)即可求解．
【詳解】解：過∠2頂點做直線l ∥支撐平臺，
∴ l ∥支撐平臺∥工作籃底部，
∴∠1=∠4=30°、∠5+∠3=180°，
∴∠4+∠5+∠3=30°+180°=210°，
∵∠4+∠5=∠2，
∴∠2+∠3=210°．

【點睛】本題考查平行線的性質(zhì)，熟練掌握平行線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
12．（3分）（2023上·湖南株洲·七年級統(tǒng)考期末）如圖，已知D為三角形ABC中BC邊上一點，E為DG邊上一點，連接AE，若∠1=60°，∠2=∠C，則∠AEG= ．

【答案】120°
【分析】根據(jù)內(nèi)錯角相等，兩直線平行得到BC∥AE，再根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯角相等可得∠1=∠AED=60°，最后根據(jù)鄰補(bǔ)角的定義進(jìn)行計算即可．
【詳解】解：∵∠2=∠C，
∴BC∥AE，
∴∠1=∠AED=60°，
∵∠AED+∠AEG=180°，
∵∠AEG=180°?∠AED=180°?60°=120°，
故答案為：120°．
【點睛】本題主要考查了平行線的判定與性質(zhì)、鄰補(bǔ)角的定義，熟練掌握平行線的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
13．（3分）（2023下·北京·七年級匯文中學(xué)校聯(lián)考期中）已知直線AB⊥CD，垂足為O，OE在∠BOD內(nèi)部，∠COE=125°，OF⊥OE于點O，則∠AOF的度數(shù)是 ．
【答案】125°或55°
【分析】根據(jù)題意畫出圖形，分兩種情況：當(dāng)點F在射線OM上，當(dāng)點F′在射線ON上，然后分別進(jìn)行計算即可解答．
【詳解】解：如圖：
分兩種情況：
當(dāng)點F在射線OM上，
∵AB⊥CD，OF⊥OE，
∴∠AOC＝∠EOF＝90°，
∴∠AOC＋∠COF＝∠EOF＋∠COF，
∴∠AOF＝∠COE，
∵∠COE＝125°，
∴∠AOF＝125°，
當(dāng)點F′在射線ON上，
∵∠AOF＝125°，
∴∠AOF′＝180°?∠AOF＝55°，
綜上所述，∠AOF的度數(shù)為125°或55°，
故答案為：125°或55°．
【點睛】本題考查了對頂角、鄰補(bǔ)角，垂線，根據(jù)題目的已知條件畫出圖形進(jìn)行分析是解題的關(guān)鍵，同時滲透了數(shù)學(xué)的分類討論思想．
14．（3分）（2023下·山東煙臺·六年級統(tǒng)考期末）如圖，AC∥ED，AB∥DF，∠EDF=62°，則∠A= ．

【答案】62°
【分析】由平行線的性質(zhì)可得∠EDF+∠AFD=180°，∠A+∠AFD=180°，從而得到∠A=∠EDF=62°．
【詳解】解：∵ AC∥ED，
∴∠EDF+∠AFD=180°，
∵ AB∥DF，
∴∠A+∠AFD=180°，
∵ ∠EDF=62°，
∴∠A=∠EDF=62°，
故答案為：62°．
【點睛】本題主要考查了平行線的性質(zhì)，熟練掌握兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)是解題的關(guān)鍵．
15．（3分）（2023下·貴州·七年級校聯(lián)考期中）如果∠α，∠β兩邊分別垂直，其中∠α比∠β的2倍少30°，那么∠α＝ ．
【答案】30°或110°
【分析】分兩種情況，當(dāng)∠α=∠β時，當(dāng)∠α+∠β=180°，然后進(jìn)行計算即可解答，
【詳解】解：設(shè)∠β為x°，則∠α=2x?30°，
分兩種情況：
當(dāng)∠α=∠β時，如圖：
∴2x?30=x，
解得：x=30，
∴∠α=30°，
當(dāng)∠α+∠β=180°，如圖：
∴2x?30+x=180，
解得：x=70，
∴∠α=110°
綜上所述：∠α=30°或∠α=110°．
故答案為：30°或110°．
【點睛】本題考查了垂線，角的計算，根據(jù)題意畫出圖形，分兩種情況討論是解題的關(guān)鍵．
16．（3分）（2023下·河南新鄉(xiāng)·七年級統(tǒng)考期末）如圖，直線AB∥CD，點E，F(xiàn)分別在直線AB，CD上，點P為直線AB與CD間一動點，連接EP，F(xiàn)P，且∠EPF=120°，∠AEP的平分線與∠PFC的平分線交于點Q，則∠EQF的度數(shù)為 ．

【答案】60°或120°
【分析】分兩種情況討論，當(dāng)點P，Q在EF同側(cè)或異側(cè)時，利用角平分線的定義和平行線的性質(zhì)，分別求解即可．
【詳解】解：分兩種情況討論：
①如圖1，過點P，Q分別作PH∥AB，QG∥AB，
∵AB∥CD，
∴QG∥PH∥AB∥CD．
∴∠AEP=∠EPH，∠PFC=∠HPF．
∴∠AEP+∠CFP=∠EPH+∠FPH=∠EPF=120°．
∵∠AEP的平分線與∠PFC的平分線交于點Q，
∴∠AEQ=12∠AEP，∠CFQ=12∠PFC．
∴∠AEQ+∠QFC=12∠AEP+∠PFC=60°，
∵QG∥AB∥CD，
同理可得∠EQF=∠AEQ+∠QFC=60°；
②如圖2，過點P，Q分別作PH∥AB，QG∥AB，
∵AB∥CD，
∴QG∥PH∥AB∥CD．
∴∠AEP+∠EPH=180°，∠HPF+∠CFP=180°．
∵∠EPH+∠HPF=∠EPF=120°，
∴∠AEP+∠CFP=180°+180°?120°=240°．
∵∠AEP的平分線與∠PFC的平分線交于點Q，
∴∠AEQ=12∠AEP，∠CFQ=12∠PFC．
∴∠AEQ+∠QFC=12∠AEP+∠PFC=120°．
∵QG∥AB∥CD，同①可得∠EQF=∠AEQ+∠QFC=120°．

綜上所述，∠EQF的度數(shù)為60°或120°．
故答案為：60°或120°
【點睛】此題考查了平行線的判定與性質(zhì)，角平分線的定義，解題的關(guān)鍵是熟練掌握相關(guān)基礎(chǔ)性質(zhì)，利用分類討論的思想求解問題．
三．解答題（共7小題，滿分52分）
17．（6分）（2023下·吉林松原·七年級統(tǒng)考期末）已知：如圖，直線AB與CD相交于點O，OE是∠BOC的平分線，如果∠BOC:∠DOF:∠AOC=1:2:4,求∠EOF的度數(shù)．

【答案】90°
【分析】設(shè)∠BOC=x°，則∠DOF=2x°，∠AOC=4x°，根據(jù)∠BOC+∠AOC=180°，得出x+4x=180，可得∠BOC=36°，∠DOF=72°，∠AOC=144°，根據(jù)角平分線的定義可得∠BOE=18°，根據(jù)平角的定義，由∠EOF=180°?∠DOF?∠COE，即可求解．
【詳解】解：設(shè)∠BOC=x°，則∠DOF=2x°，
由題意得：x+4x=180，
解得：
x=36，
∴∠BOC=36°，∠DOF=72°，
∵OE是∠BOC的平分線，
∴∠BOE=∠COE=12∠BOC=18°．
∴∠EOF=180°?∠DOF?∠COE
=180°?72°?18°
=90°．
【點睛】本題考查幾何圖形中角度的計算，平角的定義，角平分線的定義，由相關(guān)定義構(gòu)造方程是解題的關(guān)鍵．
18．（6分）（2023下·遼寧盤錦·七年級?？计谀┤鐖D，放置在水平操場上的籃球架的橫梁EF始終平行于AB，主柱AD垂直于地面，EF與上拉桿CF形成的角度為∠F，且∠F=150°，可以通過調(diào)整CF和后拉桿BC的位置來調(diào)整籃筐的高度，若通過調(diào)整使EF上升到GH的位置，且GH∥AB，∠CDB=35°時，點H，D，B在同一直線上，求∠H的度數(shù)．

【答案】115°
【分析】過點D作DI∥EF，可得∠FDI=30°，再由∠FDH=∠CDB=35°，可得∠IDH=65°，然后根據(jù)EF∥AB，GH∥AB，DI∥EF，可得DI∥GH，即可求解．
【詳解】解：過點D作DI∥EF，

∴∠F+∠FDI=180°，
∵∠F=150°，
∴∠FDI=180°?∠F=30°，
又∵∠FDH=∠CDB=35°，
∴∠IDH=∠FDI+∠FDH=30°+35°=65°，
∵EF∥AB，GH∥AB，DI∥EF，
∴DI∥GH，
∴∠H+∠IDH=180°，
∴∠H=180°?∠IDH=180°?65°=115°．
【點睛】本題主要考查了平行線的判定和性質(zhì)，熟練掌握平行線的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
19．（8分）（2023下·遼寧盤錦·七年級?？计谀┩瓿上铝凶C明：
已知：∠B+∠CDE=180°，∠1=∠2，求證：AB∥CD．
【答案】見解析
【分析】根據(jù)平行線的性質(zhì)與判定定理即可作出解決．
【詳解】證明：∵∠1=∠2，
∴180°?∠1=180°?∠2，
即∠CFD=∠EDF，
∴BC∥ED，
∴∠CDE+∠C=180°，
∵∠B+∠CDE=180°，
∴∠B=∠C，
∴AB∥CD．
【點睛】本題考查的是平行線的判定與性質(zhì)，熟知平行線的判定和性質(zhì)定理是解答此題的關(guān)鍵．
20．（8分）（2023下·遼寧盤錦·七年級?？计谀┤鐖D，已知△ABC，∠C=90°，∠CME+∠EFN=180°，∠MEB=∠FNB．

(1)判斷EF和BC的位置關(guān)系，并說明理由；
(2)若EF平分∠MEB，∠FNB=54°，求∠AME和∠NFB的度數(shù)．
【答案】(1)EF⊥BC，理由見詳解
(2)∠AME=27°，∠BFN=63°
【分析】（1）EF⊥BC，理由如下：根據(jù)平行線的判定，由∠MEB=∠FNB，得ME∥FN，再根據(jù)平行線的性質(zhì)，得∠MEF=∠EFN，再根據(jù)平行線的判定及性質(zhì)，垂直的定義即可解答；
（2）先根據(jù)角平分線的定義，得∠MEF=∠BEF=12∠MEN，再根據(jù)平行線的性質(zhì)及垂直的定義即可求解．
【詳解】（1）解：EF⊥BC，理由如下：
∵∠MEB=∠FNB，
∴ME∥FN，
∴∠MEF=∠EFN，
∵∠CME+∠EFN=180°，
∴∠CME+∠MEF=180°，
∴AC∥EF，
∵∠C=90°，即AC⊥BC，
∴EF⊥BC
（2）解：∵M(jìn)E∥FN，
∴∠MEB=∠FNB=54°，
∵EF平分∠MEB，
∴∠MEF=∠BEF=12∠MEN=27°，
∵AC∥EF，
∴∠AME=∠MEF=27°，
∵M(jìn)E∥FN，
∴∠EFN=∠MEF=27°，
∵EF⊥BC，
∴∠EFB=90°，
∴∠BFN=∠EFB?∠EFN=90°?27°=63°．
【點睛】本題考查了平行線的判定及性質(zhì)，垂直的定義，熟練掌握平行線的判定及性質(zhì)是本題的關(guān)鍵．
21．（8分）（2023上·江蘇鹽城·七年級統(tǒng)考期末）已知直線AB和CD交于點O，∠AOC＝α，∠BOE＝90°，OF平分∠AOD．
（1）當(dāng)α＝30°時，則∠EOC＝_________°；∠FOD＝_________°．
（2）當(dāng)α＝60°時，射線OE′從OE開始以12°/秒的速度繞點O逆時針轉(zhuǎn)動，同時射線OF′從OF開始以8°/秒的速度繞點O順時針轉(zhuǎn)動，當(dāng)射線OE′轉(zhuǎn)動一周時射線OF′也停止轉(zhuǎn)動，求經(jīng)過多少秒射線OE′與射線OF′第一次重合？
（3）在（2）的條件下，射線OE′在轉(zhuǎn)動一周的過程中，當(dāng)∠E′OF′＝90°時，請直接寫出射線OE′轉(zhuǎn)動的時間為_________秒．
【答案】（1）60，75；（2）152秒；（3）3或12或21或30
【分析】（1）根據(jù)題意利用互余和互補(bǔ)的定義可得：∠EOC與∠FOD的度數(shù)．
（2）由題意先根據(jù)α=60°，得出∠EOF=150°，則射線OE'、OF'第一次重合時，其OE'運(yùn)動的度數(shù)+OF'運(yùn)動的度數(shù)=150，列式解出即可；
（3）根據(jù)題意分兩種情況在直線OE的左邊和右邊，進(jìn)而根據(jù)其夾角列4個方程可得時間．
【詳解】解：（1）∵∠BOE=90°，
∴∠AOE=90°，
∵∠AOC=α＝30°，
∴∠EOC=90°-30°=60°，
∠AOD=180°-30°=150°，
∵OF平分∠AOD，
∴∠FOD=12∠AOD=12×150°=75°；
故答案為：60，75；
（2）當(dāng)α=60°，∠EOF=90°+60°=150°．
設(shè)當(dāng)射線OE′與射線OF′重合時至少需要t秒，
可得12t+8t=150，解得：t=152；
答：當(dāng)射線OE′與射線OF′重合時至少需要152秒；
（3）設(shè)射線OE′轉(zhuǎn)動的時間為t秒，
由題意得：12t+8t=150?90或12t+8t=150+90或8t+12t=360+150?90或12t+8t=360+150+90，
解得：t=3或12或21或30．
答：射線OE′轉(zhuǎn)動的時間為3或12或21或30秒．
【點睛】本題考查對頂角相等，鄰補(bǔ)角互補(bǔ)的定義，角平分線的定義，角的計算，第三問有難度，熟記相關(guān)性質(zhì)是解題的關(guān)鍵，注意要分情況討論．
22．（8分）（2023下·浙江杭州·七年級統(tǒng)考期末）如圖，直線CD，EF分別交直線AB于點G，H，射線GI，HJ分別在∠CGB和∠EHB的內(nèi)部，且∠CGB=2∠EHB．

(1)若∠CGB和∠EHB互補(bǔ)．
①求∠EHB的度數(shù)；
②當(dāng)∠CGI=2∠IGB，且GI∥HJ時，求∠EHJ的度數(shù)；
(2)設(shè)∠CGI=m∠IGB，∠EHJ=n∠JHB．若GI∥HJ，求m，n滿足的等量關(guān)系．
【答案】(1)①60°；②20°
(2)m=2n+1
【分析】（1）①根據(jù)∠CGB和∠EHB互補(bǔ)，∠CGB=2∠EHB，即可求解；②先求出∠IGB=40°，由平行線的性質(zhì)可得∠JHB=∠IGB=40°，再結(jié)合①中結(jié)論可得∠EHJ的度數(shù)；
（2）設(shè)∠JHB=∠IGB=α，可得∠CGB=∠CGI+∠IGB=m+1α，∠EHB=∠EHJ+∠JHB=n+1α，再結(jié)合∠CGB=2∠EHB即可求解．
【詳解】（1）解：①∵ ∠CGB和∠EHB互補(bǔ)，
∴ ∠CGB+∠EHB=180°．
∵ ∠CGB=2∠EHB，
∴ 2∠EHB+∠EHB=180°，
∴ ∠EHB=60°；
②由①得∠EHB=60°，
∴ ∠CGB=2∠EHB=120°，
∴ ∠CGI+∠IGB=120°，
又∵ ∠CGI=2∠IGB，
∴ 2∠IGB+∠IGB=120°，
∴ ∠IGB=40°．
∵ GI∥HJ，
∴ ∠JHB=∠IGB=40°，
∴ ∠EHJ =∠EHB?∠JHB=60°?40°=20°；
（2）解：∵ GI∥HJ，
∴ ∠JHB=∠IGB．
設(shè)∠JHB=∠IGB=α，
∴ ∠CGI=m∠IGB=mα，∠EHJ=n∠JHB=nα，
∴ ∠CGB=∠CGI+∠IGB=mα+α=m+1α，
∠EHB=∠EHJ+∠JHB=nα+α=n+1α，
又∵ ∠CGB=2∠EHB，
∴ m+1α =2n+1α，
∴ m+1=2n+1，
∴ m=2n+1，
即m，n滿足的等量關(guān)系為m=2n+1．
【點睛】本題考查平行線的性質(zhì)，角的和差關(guān)系，互補(bǔ)角的關(guān)系等，解題的關(guān)鍵是掌握平行線的性質(zhì)．
23．（8分）（2023下·浙江寧波·七年級統(tǒng)考期末）已知直線l1∥l2，l3和l1，l2分別交于C，D點，點A，B分別在線l1，l2上，且位于l3的左側(cè)，點P在直線l3上，且不和點C，D重合．
(1)如圖1，點P在線段CD上，∠1=25°，∠2=40°，求∠APB的度數(shù)．
(2)如圖2，當(dāng)點P在直線l3上運(yùn)動時，試判斷∠APB，∠1，∠2的數(shù)量關(guān)系，直接寫出結(jié)果，不需要說明理由．
【答案】(1)65°
(2)當(dāng)P在l1的上方時，∠2＝∠1+∠APB，當(dāng)P在線段CD上時，∠APB=∠1+∠2；當(dāng)P在l2的下方時，∠1=∠2+∠APB
【分析】（1）過點P作PE∥l1，根據(jù)l1∥l2可知PE∥l2，故可得出∠1=∠APE，∠2=∠BPE.再由∠APB=∠APE+∠BPE即可得出結(jié)論；
（2）分三種情況討論：當(dāng)P在l1的上方時，當(dāng)P在線段CD上時，由（1）可得：∠APB=∠1+∠2；當(dāng)P在l2的下方時，過P作PE∥AC，依據(jù)l1∥l2，可得PE∥l2，再利用平行線的性質(zhì)可得結(jié)論．
【詳解】（1）證明：如圖1，過點P作PE∥l1，
∵l1∥l2，
∴PE∥l2，
∴∠1=∠APE，∠2=∠BPE．
又∵∠APB=∠APE+∠BPE，
∴∠APB=∠1+∠2
∵∠1=25°，∠2=40°，
∴∠APB=20°+45°=65°；
（2）解：∠2=∠1+∠APB．
理由如下：當(dāng)P在l1的上方時，如圖2，過P作PE∥AC，
∵l1∥l2，
∴PE∥l2，
∴∠2=∠BPE，∠1=∠APE，
∵∠BPE=∠APE+∠APB，
∴∠2=∠1+∠APB．
當(dāng)P在線段CD上時，由（1）可得：∠APB=∠1+∠2；
當(dāng)P在l2的下方時，如圖2，過P作PE∥AC，
∵l1∥l2，
∴PE∥l2，
∴∠2=∠BPE，∠1=∠APE，
∵∠APE=∠BPE+∠APB，
∴∠1=∠2+∠APB．
【點睛】本題考查的是平行線的性質(zhì)，平行公理的應(yīng)用，根據(jù)題意作出輔助線，構(gòu)造出平行線是解答此題的關(guān)鍵．

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