4.3.2 用“角邊角”“角角邊”判定三角形全等 一、單選題 1．如圖，AC＝CE，∠ACE＝90°，AB⊥BD，ED⊥BD，AB＝6cm，DE＝2cm，則BD等于（　?。? A．6cm B．8cm C．10cm D．4cm 2．已知：如圖所示，B、C、E三點在同一條直線上，AC＝CD，∠B＝∠E＝90°，AC⊥CD，則不正確的結(jié)論是（ ） A．∠A與∠D互為余角 B．∠A＝∠2 C．△ABC≌△CED D．∠1＝∠2 3．如圖，在△ABC中，AB＝AC，BD⊥AC于D，BE平分∠ABD交AC于E，過點E作EH⊥BC于H交BD于點P，若EH＝4CH，S△EBC＝40，則線段PE長為（　　） A．4 B．2 C．6 D．8 4．如圖，已知等邊ABC，AB=2，點D在AB上，點F在AC的延長線上，BD=CF，DE⊥BC于E，F(xiàn)G⊥BC于G，DF交BC于點P，則下列結(jié)論：①BE=CG；②EDP≌GFP；③∠EDP=60°；④EP=1中，一定正確的個數(shù)是（ ）個 A．1 B．2 C．3 D．4 5．如圖，一位同學拿了兩塊45°的三角尺△MNK、△ACB做了一個探究活動：將△MNK的直角頂點M放在△ABC的斜邊AB的中點處，設AC＝BC＝a，猜想此時重疊部分四邊形CEMF的面積為（　?。? A． B． C． D． 6．如圖，在△ABC中，AC＝6，F(xiàn)是高AD和BE的交點，若AD＝BD，則BF的長是（ ） A．4 B．5 C．6 D．8 7．如圖，且，且，請按照圖中所標注的數(shù)據(jù)，計算圖中實線所圍成的圖形的面積S是（ ） A．68 B．65 C．62 D．50 二、填空題 8．如圖，四邊形ABDC中，AB＝AC，∠BAC＝∠BDC＝90°，過B作BE⊥AD于點E，且BE＝2AE，若△ACD的面積是6，則BE＝___． 9．如圖，在△ABC中，AB＝BC，點D在BA上，點E在BC的延長線上，且∠ADC＝2∠E＝60°，AD＝6，CD＝7，則線段CE的長為___． 10．如圖，點D為△ABC的邊AB上一點，且AD＝AC，∠B＝45°，過D作DE⊥AC于E，若AE＝3，四邊形BDEC的面積為8，則AB的長度為___． 11．如圖，已知，，，是邊的中點，為邊上一點，．若，，則的值為________． 三、解答題 12．如圖，CD⊥AB，BE⊥AC，垂足分別為D、E，BE與CD相交于點O，OB＝OC． （1）求證：OD＝OE； （2）求證：OA平分∠BAC． 13．已知，如圖∠A＝∠D＝90°，AC，BD相交于點E，BE＝CE． （1）求證△ABC≌△DCB． （2）若∠EBA＝36°，求∠CBE的度數(shù)． 14．如圖，點D在的BC邊上，，，． （1）求證：； （2）若，，求CD的長， 參考答案 1．B 【分析】 根據(jù)題意證明即可得出結(jié)論． 【詳解】 解：∵AB⊥BD，ED⊥BD， ∴， ∵∠ACE＝90°， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， 故選：B． 【點睛】 本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握全等三角形的判定定理以及性質(zhì)定理是解本題的關(guān)鍵． 2．D 【分析】 利用同角的余角相等求出∠A＝∠2，再利用“角角邊”證明△ABC和△CDE全等，根據(jù)全等三角形對應邊相等、對應角相等，即可解答． 【詳解】 ∵∠B＝∠E＝90°， ∴∠A+∠1＝90°，∠D+∠2＝90°， ∵AC⊥CD， ∴∠1+∠2＝90°，故D錯誤； ∴∠A＝∠2，故B正確； ∴∠A+∠D＝90°，故A正確； 在△ABC和△CED中， ， ∴△ABC≌△CED（AAS）， 故C正確； 故選：D． 【點睛】 考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，等角的余角相等的性質(zhì)，解題關(guān)鍵是熟練掌握三角形全等的判定方法并確定出全等的條件∠A=∠2． 3．C 【分析】 過E作EG⊥AB于G，作EF平行BC，交AB與F，由EH＝4CH，EH⊥BC，根據(jù)勾股定理EC=，利用三角形面積可得4BC=,利用勾股定理CD=，設CD=m，BD=4m，可得AD=AC-CD=AC-m，利用勾股定理解得，根據(jù)角平分線性質(zhì)EG=ED，可證Rt△BGE≌Rt△BDE（HL），可得BG=BD=4m，求出AG=AB-BG=，根據(jù)在Rt△AGE中，，解得，，解得，AF=AE=，再證△EGF≌△EDP（AAS），EF=EP，根據(jù)在Rt△EGF中，EP=EF=即可． 【詳解】 解：過E作EG⊥AB于G，作EF平行BC，交AB與F， ∵EH＝4CH，EH⊥BC， 在Rt△EHC中，EC=， ∵， ∴4BC=， ∴CD=， 設CD=m，BD=4m， ∴AD=AC-CD=AC-m， 在Rt△ABD中即， 解得， ∵BE平分∠ABD交AC于E，BD⊥AC，EG⊥AB， ∴EG=ED， 在Rt△BGE和Rt△BDE中， ， ∴Rt△BGE≌Rt△BDE（HL）， ∴BG=BD=4m， ∴AG=AB-BG=AC-BD=， ∵AE=AC-CD-ED=， 在Rt△AGE中，即， 解得， ∴EC=DE+CD=， ∴， ∴解得， ∴∠GFE=∠ABC，∠AEF=∠C， ∵AB=AC， ∴∠ABC=∠C， ∴∠GFE=∠C， ∴∠AFE=∠AEF， ∴AF=AE=， ∵BD⊥EC，EH⊥BC， ∴∠EPD=90°-∠PED=90°-∠HEC=∠C， ∴∠GFE=∠DPE， 在△EGF和△EDP中， ， ∴△EGF≌△EDP（AAS）， ∴EF=EP， ∴GF=AF-AG=AE-AG=， ∴在Rt△EGF中，EP=EF=， ∴EP=． 故選擇C． 【點睛】 本題考查等腰三角形判定與性質(zhì)，三角形面積橋，勾股定理，三角形全等判定與性質(zhì)，角平分線性質(zhì)，本題難度大，條件分散，不易找到解題思路，仔細閱讀題目，通過面積橋找到DB與DC的關(guān)系，再通過輔助線畫出準確圖形，實現(xiàn)條件轉(zhuǎn)化是解題關(guān)鍵． 4．C 【分析】 由等邊三角形的性質(zhì)可以得出△DEB≌△FGC，就可以得出BE＝CG，DE＝FG，就可以得出△DEP≌△FGP，得出∠EDP＝∠GFP，EP＝PG，得出PC＋BE＝PE，就可以得出PE＝1，從而得出結(jié)論． 【詳解】 解：∵△ABC是等邊三角形， ∴AB＝BC＝AC，∠A＝∠B＝∠ACB＝60°． ∵∠ACB＝∠GCF， ∵DE⊥BC，F(xiàn)G⊥BC， ∴∠DEB＝∠FGC＝∠DEP＝90°． 在△DEB和△FGC中， ， ∴△DEB≌△FGC（AAS）， ∴BE＝CG，DE＝FG，故①正確； 在△DEP和△FGP中， ， ∴△DEP≌△FGP（AAS），故②正確； ∴PE＝PG，∠EDP＝∠GFP≠60°，故③錯誤； ∵PG＝PC＋CG， ∴PE＝PC＋BE． ∵PE＋PC＋BE＝2， ∴PE＝1，故④正確． 故答案為：C． 【點睛】 本題考查了等邊三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定及性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是證明三角形全等． 5．C 【分析】 利用等腰直角三角形的性質(zhì)證得MC=MB，∠ACM =∠B，∠CMF=∠BME，從而證明△CMF≌△BME，根據(jù)四邊形CEMF的面積=S△CMF+S△CEM= S△BCM求出答案． 【詳解】 解：連接MC， ∵△ACB是等腰直角三角形，M是AB的中點， ∴MC⊥AB，∠ACM=∠BCM=∠B=45°， ∴MC=MB，∠BMC=90°， ∵∠EMF=90°=∠BMC， ∴∠EMF-∠CME=∠BCM-∠CME，即∠CMF=∠BME， ∴△CMF≌△BME， ∴S△CMF=S△BME， ∴四邊形CEMF的面積=S△CMF+S△CEM=S△BME+ S△CEM= S△BCM=S△ABC=， 故選：C． 【點睛】 此題考查等腰直角三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定及性質(zhì)，熟記全等三角形的判定定理是解題的關(guān)鍵． 6．C 【分析】 證△DBF≌△DAC，推出BF=AC即可解決問題． 【詳解】 解：∵F是高AD和BE的交點， ∴∠ADC=∠ADB=∠AEF=90°， ∴∠CAD+∠AFE=90°，∠DBF+∠BFD=90°， ∵∠AFE=∠BFD， ∴∠CAD=∠FBD， 在△DBF和△DAC中， ， ∴△DBF≌△DAC（ASA）， ∴BF=AC=6， 故選：C． 【點睛】 本題考查了全等三角形的性質(zhì)和判定，等角的余角相等，關(guān)鍵是推出△DBF≌△DAC． 7．D 【分析】 根據(jù)垂直及各角之間的變換可得，利用全等三角形的判定定理可得，由全等三角形的性質(zhì)得出，，同理利用全等三角形判定及性質(zhì)可得出，，由此即可計算梯形的面積，由梯形的面積減去三個三角形的面積即可得． 【詳解】 解：∵，，， ∴， ∴，， ∴， 在和中， ∵， ∴， ∴，， 同理，， ∴， ∴梯形的面積是：， ∴實線所圍成的圖形的面積： ， ， ， 故選：D． 【點睛】 題目主要考查了三角形的面積，梯形的面積，全等三角形的性質(zhì)和判定等知識點，關(guān)鍵是把不規(guī)則圖形的面積轉(zhuǎn)化成規(guī)則圖形的面積進行計算． 8．4 【分析】 延長DB至點P，連接AP，過點C作CF⊥AD于點F，可證明 ，從而得到AE=CF，可得BE=2CF，從而得到，進而得到，再證明△ABP≌△ACD，可得到AP=AD，∠BAP=∠CAD， ，從而得到，∠PAD=90°，再由，得到，即可求解． 【詳解】 解：如圖，延長DB至點P，連接AP，過點C作CF⊥AD于點F， ∵BE⊥AD， ∴∠AEB=∠AFC=90°， ∴∠BAE+∠ABE=90°， ∵∠BAC＝90°， ∴∠BAE+∠CAF=90°， ∴∠ABE=∠CAF， ∵AB=AC， ∴ ， ∴AE=CF， ∵BE＝2AE， ∴BE=2CF， ∵△ACD的面積是6， ∴ ， ∴ ， ∵∠BAC＝∠BDC＝90°， ∴∠ABD+∠ACD=360°-∠BAC-∠BDC=180°， ∵∠ABD+∠ABP=180°， ∴∠ABP=∠ACD， ∵PB=CD，AB=AC， ∴△ABP≌△ACD， ∴AP=AD，∠BAP=∠CAD， ， ∴ ， ∵∠CAD+∠BAD=∠BAC=90°， ∴∠BAP+∠BAD=90°， ∴∠PAD=90°， ∴ ， 解得： 或-6（舍去）， ∵ ， ∴BE=4． 故答案為：4 【點睛】 本題主要考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，作出適當?shù)妮o助線得到全等三角形是解題的關(guān)鍵． 9．8 【分析】 作出如圖的輔助線，利用AAS證明△CGA≌△AFC，在Rt△CDG中，利用含30度角的直角三角形的性質(zhì)以及勾股定理求得DG、CG的長，再在Rt△AEF中，利用含30度角的直角三角形的性質(zhì)以及勾股定理即可求解． 【詳解】 解：過點C作CG⊥AD于點G，過點A作AF⊥BC于點F， ∵AB=BC，∴∠BAC=∠BCA， 又∠CGA=∠AFC=90°，CA=AC， ∴△CGA≌△AFC(AAS)， ∴CG=AF，AG=FC， 在Rt△CDG中，∠CDG=60°，CD=7， ∴∠DCG=30°，DG=CD=，CG=， ∵AD=6， ∴FC=AG=AD-DG=6-=，AF=CG=， 在Rt△AEF中， ∵∠ADC＝2∠E＝60°， ∴∠E＝30°， ∴AE=2FC=15， ∴EF=， ∴CE=EF- FC=． 故答案為：8． 【點睛】 本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，含30度角的直角三角形的性質(zhì)以及勾股定理，熟記各圖形的性質(zhì)并準確識圖是解題的關(guān)鍵． 10．7 【分析】 作CF⊥AB于F，利用“AAS”證得，得出， AF=AE=3．由，，可證明．再根據(jù)，即證明為等腰直角三角形，從而求得BF=FC=4，最后由可求得AB的長． 【詳解】 解：過C作CF⊥AB于F， 由作圖可知， ∴在和中， ∴， ∴， AF=AE=3， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案為：7． 【點睛】 本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰直角三角形的判定和性質(zhì)．正確的作出輔助線是解題的關(guān)鍵． 11． 【分析】 先由平行線的性質(zhì)證明∠A＝∠D＝90°，再證明四邊形ABCD是平行四邊形，從而證明四邊形ABCD是矩形，CF＝3AF，延長DA、CE交于點G，證明△AGE≌△BCE，得到AG＝BC＝AD，再證明CF＝3AF，DF＝x，在△CDF中，用勾股定理列方程，先求出DF的長，再由AF＝AD?DF求出AF的長． 【詳解】 解：∵AB∥CD， ∴∠A＋∠D＝180°， ∵∠A＝∠D， ∴∠A＝∠D＝90°， ∵AB＝CD，AB∥CD， ∴四邊形ABCD是平行四邊形， ∵∠A＝90°， ∴四邊形ABCD是矩形． CF＝3AF， 延長DA、CE交于點G， ∵四邊形ABCD是矩形， ∴∠DAB＝∠B＝90°．AD∥BC， ∴∠GAE＝90°，∠G＝∠ECB， ∵E是AB邊的中點， ∴AE＝BE， ∴△AGE≌△BCE（AAS）， ∴AG＝BC， ∵F為AD的中點， ∴AF＝DF＝AD＝BC， ∴AG＝BC＝2AF， ∴FG＝AG＋AF＝3AF， ∵AD∥BC， ∴∠DFC＝∠BCF，∠BCE＝∠G， ∵∠DFC＝2∠BCE， ∴∠BCE＝∠FCE＝∠G， ∴CF＝FG＝3AF． 若CE＝4，CF＝5， 則AG＝BC，CF＝FG，GE＝CE＝4，AG＝AD， ∴CG＝8，F(xiàn)G＝CF＝5， 設DF＝x， 根據(jù)勾股定理得，CD2＝CF2?DF2＝CG2?DG2， 即52?x2＝82?（5＋x）2， 解得，x＝， ∴DG＝5＋＝， ∴AD＝DG＝， ∴AF＝AD?DF＝， 故答案為：． 【點睛】 此題重點考查矩形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理等知識與方法，解題的關(guān)鍵是正確的作出所需要的輔助線，深入挖掘題中的隱含條件，構(gòu)造出全等三角形，此題難度不大，適合作鞏固練習用． 12．（1）見解析；（2）見解析 【分析】 （1）由條件可利用AAS先證明△BOD≌△COE，即可證明OD=OE； （2）利用角平分線的判定定理即可證明OA平分∠BAC． 【詳解】 證明：（1）證明：∵CD⊥AB，BE⊥AC， ∴∠BDO=∠CEO． 在△BOD和△COE中， ， ∴△BOD≌△COE（AAS）， ∴OD=OE． （2）∵OD⊥AB，OE⊥AC，且OD=OE， ∴∠BAO=∠CAO， 即AO平分∠BAC． 【點睛】 本題主要考查了三角形全等的判定和性質(zhì)，角平分線的判定，利用三角形全等來找條件是解本題的關(guān)鍵． 13．（1）見解析；（2）∠CBE=27°． 【分析】 （1）首先由BE＝CE得到∠DBC=∠ACB，然后根據(jù)AAS判定三角形全等即可； （2）首先根據(jù)直角三角形兩銳角互余求出∠AEB的度數(shù)，然后根據(jù)三角形外角的性質(zhì)和BE=CE即可求出∠CBE的度數(shù)． 【詳解】 解：（1）證明：∵BE=CE， ∴∠DBC=∠ACB， 在△ABC和△DCB中， 所以△ABC≌△DCB（AAS）； （2）∵∠EBA=36°， ∴∠AEB=90°-36°=54°， ∵BE=CE ∴∠CBE=∠BCE= ∠AEB=27° 【點睛】 此題考查了全等三角形的判定方法，等腰三角形等邊對等角性質(zhì)，直角三角形兩銳角互余等知識，解題的關(guān)鍵是根據(jù)BE＝CE得到∠DBC=∠ACB．判定三角形全等的方法有：SSS，SAS，AAS，ASA，HL(直角三角形)． 14．（1）見解析；（2） 【分析】 （1）根據(jù)題意理由“”證明即可； （2）根據(jù)全等三角形性質(zhì)可得結(jié)論． 【詳解】 解：（1）∵， ∴， 在和中， ， ∴； （2）∵， ∴， ∴． 【點睛】 本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握全等三角形的判定定理以及性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．

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