4.1.4 三角形的高線 一、單選題 1．下列說(shuō)法中：①三角形的角平分線、中線、高線都是線段；②直角三角形只有一條高線；③三角形的中線可能在三角形的外部；④三角形的高線可能在三角形的內(nèi)部，也可能在三角形的外部，其中說(shuō)法正確的有（　?。﹤€(gè)． A．1 B．2 C．3 D．4 2．如圖，在△ABC中，CD是邊AB上的高，BE平分∠ABC，交CD于點(diǎn)E，BC＝10，DE＝3，則△BCE的面積為（ ） A．16 B．15 C．14 D．13 3．下列四個(gè)圖形中，線段CE是△ABC的高的是（　?。?A． B． C． D． 4．如圖，點(diǎn)D是等腰Rt△ABC的邊BC上的一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)B作BE⊥AD于點(diǎn)E，連接CE，若AE＝2，則S△AEC的值是（ ） A．4 B．3 C．2 D．1 5．如圖，在△ABC中，AC邊上的高是（ ） A．AD B．BE C．BF D．CF 6．如圖，用三角板作△ABC的邊AB上的高線，下列三角板的擺放位置正確的是（　?。?A． B． C． D． 二、填空題 7．若△ABC≌△DEF，AB＝DE＝4，△DEF面積為10，則在△ABC中AB邊上的高為 ___． 8．在中，，BD是AC邊上的高，且，則______． 9．如圖，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD是高，BE是中線，CF是角平分線，CF交AD于點(diǎn)G，交BE于點(diǎn)H，下面說(shuō)法正確的有 ___． ①△ABE的面積＝△BCE的面積；②∠AFG＝∠AGF；③∠FAG＝2∠ACF；④AF＝FB． 10．如圖在△ABC中，AD是BC邊上的高，AE是∠BAC的平分線，∠B＝42°，∠DAE＝18°，則∠C的度數(shù)是 __________°． 三、解答題 11．如圖，AD、AE分別是△ABC的高和角平分線，∠B＝40°，∠ACB＝80°．點(diǎn)F在BC的延長(zhǎng)線上，F(xiàn)G⊥AE，垂足為H，F(xiàn)G與AB相交于點(diǎn)G． （1）求∠AGF的度數(shù)； （2）求∠EAD的度數(shù)． 12．在△ABC中，AD是高，AE、BF是角平分線，它們相交于點(diǎn)O，∠BAC＝50°，∠C＝70°，求∠DAE和∠AOB的度數(shù)． 13．如圖，已知是的角平分線，是的邊上的高，與交于點(diǎn)，，，求和的度數(shù)． 參考答案 1．B 【分析】 根據(jù)三角形的高線、中線、角平分線的定義對(duì)各小題分析判斷即可得解． 【詳解】 解：（1）三角形的角平分線、中線、高都是線段，正確； （2）直角三角形有三條高，故本小題錯(cuò)誤； （3）三角形的中線一定在三角形的內(nèi)部，一定不在三角形外部，故本小題錯(cuò)誤； （4）銳角三角形的高都在三角形內(nèi)部，直角三角形的三條高有兩條是直角邊，鈍角三角形有兩條在三角形的外部，說(shuō)法正確． 說(shuō)法正確的有2個(gè)． 故選：B． 【點(diǎn)睛】 本題考查了三角形的角平分線、中線、高線，注意三角形的高要根據(jù)三角形的類型而確定． 2．B 【分析】 作EH⊥BC于點(diǎn)H，根據(jù)角平分線的性質(zhì)得出EH=DE，最后根據(jù)三角形的面積公式進(jìn)行求解． 【詳解】 解：如圖，作EH⊥BC于點(diǎn)H， ∵BE平分∠ABC，CD是AB邊上的高，EH⊥BC， ∴EH=DE=3， ∴． 故選B． 【點(diǎn)睛】 本題考查角平分線的性質(zhì)，三角形面積，熟練掌握角的平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等是解題的關(guān)鍵． 3．B 【分析】 利用三角形高的定義即可求解． 【詳解】 解：線段CE是△ABC的高的是選項(xiàng)B中的圖形； 故選：B． 【點(diǎn)睛】 此題考查了三角形的高，解題的關(guān)鍵是掌握從三角形的一個(gè)頂點(diǎn)向底邊作垂線，垂足與頂點(diǎn)之間的線段叫作三角形的高． 4．C 【分析】 過(guò)C作CF⊥AD交AD延長(zhǎng)線于F，根據(jù)等腰Rt△ABC，可得AB=CA，∠BAC=90°，根據(jù)BE⊥AD，CF⊥AD，可得∠ABE=∠FAC，可證△BAE≌△ACF（AAS），可得AE=CF=2即可． 【詳解】 解：過(guò)C作CF⊥AD交AD延長(zhǎng)線于F， ∵等腰Rt△ABC， ∴AB=CA，∠BAC=90°， ∵BE⊥AD，CF⊥AD， ∴∠BEA=∠AFC=90°， ∴∠ABE+∠BAE=∠BAE+∠FAC=90°， ∴∠ABE=∠FAC， 在△BAE和△ACF中， ， ∴△BAE≌△ACF（AAS）， ∴AE=CF=2， ∴S△AEC=． 故選擇C． 【點(diǎn)睛】 本題考查等腰三角形性質(zhì)，三角形全等判定與性質(zhì)，三角形面積，掌握等腰三角形性質(zhì)，三角形全等判定與性質(zhì)，三角形面積是解題關(guān)鍵． 5．B 【分析】 三角形一邊上的高是指由這邊所對(duì)的頂點(diǎn)往這邊上所作的垂線段，由此分析即可． 【詳解】 解：由三角形高的定義可得，AC邊上的高為BE， 故選：B． 【點(diǎn)睛】 本題考查三角形高線的識(shí)別，理解三角形高的定義是解題關(guān)鍵． 6．B 【分析】 從三角形的一個(gè)頂點(diǎn)向底邊作垂線，垂足與頂點(diǎn)之間的線段叫做三角形的高．根據(jù)高線的定義即可得出結(jié)論． 【詳解】 解：A．作出的是△ABC中BC邊上的高線，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤； B．作出的是△ABC中AB邊上的高線，故本選項(xiàng)正確； C．不能作出△ABC中AB邊上的高線，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤； D．作出的是△ABC中AC邊上的高線，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤； 故選：B． 【點(diǎn)睛】 本題考查的是作圖-基本作圖，熟知三角形高線的定義是解答此題的關(guān)鍵． 7．5 【分析】 根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得出△ABC的面積也為10，再利用三角形的面積計(jì)算公式即可求解． 【詳解】 解：∵△ABC≌△DEF，△DEF面積為10， ∴△ABC的面積也為10， 設(shè)△ABC中AB邊上的高為h， ∴， 即， ∴， 故答案為：5． 【點(diǎn)睛】 此題主要考查了全等三角形的性質(zhì)，熟練掌握全等三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵． 8．60°或120°． 【分析】 分兩種情況，首先畫出圖形，根據(jù)三角形高線的定義可得∠ADB＝90°，再根據(jù)三角形內(nèi)角和定理或平角求出∠BAC的度數(shù)即可． 【詳解】 解：分兩種情況： （1）當(dāng)為銳角三角形時(shí)，如圖1所示， ∵BD是AC邊上的高， ∴， ∴， （2）當(dāng)為鈍角三角形時(shí)，如圖2所示， ∵，BD⊥CD， ∴， ∴. 綜上，∠BAC的度數(shù)為60°或120°． 故答案為60°或120°． 【點(diǎn)睛】 本題考查了三角形內(nèi)角和定理、平角定義，分情況討論并作出圖形是解題關(guān)鍵，注意不要漏解． 9．①②③ 【分析】 根據(jù)三角形中線的性質(zhì)可證明①；根據(jù)三角形的高線可得∠ABC=∠CAD，利用三角形外角的性質(zhì)結(jié)合角平分線的定義可求解∠AFC=∠AGF，可判定②；根據(jù)角平分線的定義可求解③；根據(jù)已知條件無(wú)法判定④． 【詳解】 解：∵BE是△ABC的中線， ∴AE=CE， ∴△ABE的面積等于△BCE的面積，故①正確； ∵AD是△ABC的高線， ∴∠ADC=90°， ∴∠ABC+∠BAD=90°， ∵∠BAC=90°， ∴∠BAD+∠CAD=90°， ∴∠ABC=∠CAD， ∵CF為△ABC的角平分線， ∴∠ACF=∠BCF=∠ACB， ∵∠AFC=∠ABC+∠BCF，∠AGF=∠ACF+∠CAD， ∴∠AFC=∠AGF=∠AFG， 故②正確； ∵∠BAD+∠CAD=∠ACB+∠CAD=90°， ∴∠BAD=∠ACD， ∴∠BAD=2∠ACF， 即∠FAG=2∠ACF，故③正確； 因?yàn)镃F是∠ACB的角平分線，只有AC=BC時(shí)，才能得到AF=FB， 由已知∠BAC=90°，則有AC＜BC，所以AF≠FB 根據(jù)已知條件無(wú)法證明AF=FB，故④錯(cuò)誤， 故答案為：①②③． 【點(diǎn)睛】 本題主要考查三角形的中線，高線，角平分線，靈活運(yùn)用三角形的中線，高線，角平分線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵． 10．78 【分析】 根據(jù)角平分線，垂直、三角形內(nèi)角和以及外角的性質(zhì)，求解即可． 【詳解】 解：∵AD是BC邊上的高 ∴ 又∵ ∴ 又∵ ∴ ∵AE是∠BAC的平分線 ∴ ∴ 故答案為 【點(diǎn)睛】 此題考查了角平分線，垂直、三角形內(nèi)角和以及外角的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握相關(guān)基本性質(zhì)． 11．（1）60°；（2）20° 【分析】 （1）由題意根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理和角平分線的定義即可得到結(jié)論； （2）由題意根據(jù)垂直的定義得到∠ADB＝90°，進(jìn)而根據(jù)三角形的內(nèi)角定理即可得到結(jié)論． 【詳解】 解：（1）∵∠B＝40°，∠ACB＝80°， ∴∠BAC＝180°﹣40°﹣80°＝60°， ∵AE是∠BAC的角平分線， ∴∠BAE＝∠BAC＝30°， ∵FG⊥AE， ∴∠AHG＝90°， ∴∠AGF＝180°﹣90°﹣30°＝60°； （2）∵AD⊥BC， ∴∠ADB＝90°， ∵∠AED＝∠B+∠BAE＝40°+30°＝70°， ∴∠DAE＝180°﹣∠AED﹣∠ADE＝20°． 【點(diǎn)睛】 本題考查三角形的內(nèi)角和定理與垂直的定義以及角平分線的定義，正確的識(shí)別圖形是解題的關(guān)鍵． 12．∠DAE的度數(shù)為 5°；∠AOB的度數(shù)為125° 【分析】 根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求得，根據(jù)角平分線的性質(zhì)求得，，進(jìn)而根據(jù)高線的定義以及三角形內(nèi)角和定理求得，根據(jù)，即可求得，根據(jù)即可求得∠AOB． 【詳解】 解：∠BAC＝50°，∠C＝70°， AE、BF是△ABC的角平分線，∠BAC＝50°， , AD是高線， ， ， ， 【點(diǎn)睛】 本題考查了角平分線的定義，高線的定義，三角形內(nèi)角和定理，掌握以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵． 13．，． 【分析】 根據(jù)角平分線的定義可得，再根據(jù)直角三角形的兩銳角互余可得，然后根據(jù)三角形的外角性質(zhì)即可得． 【詳解】 解：是的角平分線，且， ， 是的邊上的高，且， ， 由三角形的外角性質(zhì)得：． 【點(diǎn)睛】 本題考查了角平分線的定義、直角三角形的兩銳角互余、三角形的外角性質(zhì)，熟練掌握角平分線的定義是解題關(guān)鍵．

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