4.1.3 三角形的中線、角平分線 一、單選題 1．如圖中，D、E分別為BC邊上的兩點(diǎn)，且，則圖中面積相同的三角形有幾對（ ） A．2對 B．3對 C．4對 D．5對 2．如圖，△ABC的角平分線AD，中線BE交于點(diǎn)O，則結(jié)論：①AO是△ABE的角平分線；②BO是△ABD的中線．其中（　　） A．①、②都正確 B．①、②都不正確 C．①正確②不正確 D．①不正確，②正確 3．如圖，是的角平分線，交于E，若，則（ ）． A．8 B．11 C．10 D．9 4．三角形的中線和角平分線都是　　 A．直線 B．射線 C．線段 D．以上都有可能 5．三角形的下列四種線段中一定能將三角形分成面積相等的兩部分的是（　?。?A．角平分線 B．邊 C．高 D．中線 二、填空題 6．填空： （1）如圖（1）是的三條中線，則______，______，______． （2）如圖（2）是的三條角平分線，則______，______，______． 7．一等腰三角形的底邊長為，一腰上的中線把三角形的周長分為兩部分，其中一部分比另一部分長，那么這個三角形的周長為________． 8．在△ABC中，AD、AE分別是中線和高，∠BAC=90°，AB=12cm，AC=5cm， BC=13cm，則線段AE的長為__________，△ABD的面積為_________． 9．一個等腰三角形的底邊長為7，一腰上的中線把它的周長分成的兩部分的差為3，則這個等腰三角形的腰長為______． 10．如圖，AD為△ABC的中線，AB=13cm，AC=10cm，若△ACD的周長28cm，則△ABD的周長為________． 11．如圖，已知是的邊上的中線，若，的周長比的周長多，則__________． 三、解答題 12．如圖，是的角平分線，， 交于點(diǎn)E，，交 于點(diǎn)F．圖中與有什么關(guān)系？為什么？ 13．已知：如圖，在△ABC中，點(diǎn)D、E分別在邊AB、AC上，BE平分∠ABC，DE∥BC．求證：BD＝DE． 14．已知CD＝AB，∠BDA＝∠BAD，AE是△ABD的中線，求證：∠C＝∠BAE 參考答案 1．C 【分析】 根據(jù)三角形的面積公式，只要同底等高，則兩個三角形的面積相等，據(jù)此可得面積相等的三角形． 【詳解】 由已知條件△ABD，△ADE，△ACE是3個面積都相等的三角形，組成了3對， 還有△ABE和△ACD的面積相等，共4對． 故選C． 【點(diǎn)睛】 本題考查了三角形的面積問題，解題的關(guān)鍵是熟練的掌握三角形面積公式與運(yùn)用． 2．C 【分析】 根據(jù)三角形的角平分線的定義，三角形的中線的定義可知．三角形其中一個內(nèi)角的平分線與它的對邊相交，這個角的頂點(diǎn)與交點(diǎn)之間的線段叫做三角形的角平分線，連接一個頂點(diǎn)和它所對邊的中點(diǎn)的線段叫做三角形的中線． 【詳解】 解：AD是三角形ABC的角平分線， 則是∠BAC的角平分線， 所以AO是△ABE的角平分線，故①正確； BE是三角形ABC的中線， 則E是AC是中點(diǎn)，而O不一定是AD的中點(diǎn)，故②錯誤． 故選：C． 【點(diǎn)睛】 本題考查了三角形的中線，角平分線的定義，理解定義是解題的關(guān)鍵． 3．A 【分析】 根據(jù)是的角平分線，可得∠DCB=∠DCE，，由，可得∠DCB=∠EDC，可求CE=DE=3cm即可． 【詳解】 解：∵是的角平分線， ∴∠DCB=∠DCE， ∵， ∴∠DCB=∠EDC， ∴∠EDC=∠DCE， ∴CE=DE=3cm， ∴AC=AE+CE=5+3=8cm． 故選擇A． 【點(diǎn)睛】 本題考查角平分線定義，平行線性質(zhì)，等腰三角形判定與性質(zhì)，線段的和差計(jì)算，掌握角平分線定義，平行線性質(zhì)，等腰三角形判定與性質(zhì)，線段的和差計(jì)算是解題關(guān)鍵． 4．C 【分析】 利用三角形中線和角平分線定義可得答案． 【詳解】 解：三角形的中線和角平分線都是線段， 故選：． 【點(diǎn)睛】 此題主要考查了三角形的中線和角平分線，關(guān)鍵是掌握三角形一個內(nèi)角的平分線與這個內(nèi)角的對邊交于一點(diǎn)，則這個內(nèi)角的頂點(diǎn)與所交的點(diǎn)間的線段叫做三角形的角平分線．三角形一邊的中點(diǎn)與此邊所對頂點(diǎn)的連線叫做三角形的中線． 5．D 【分析】 如圖，是的中線，則 再由中上的高相同，可得從而可得答案. 【詳解】 解：如圖，是的中線，則 而中上的高相同， 所以三角形的一條中線把三角形的面積分成相等的兩部分， 故A，B，C不符合題意，D符合題意； 故選D 【點(diǎn)睛】 本題考查的是三角形的中線的性質(zhì)，掌握“三角形的一條中線把三角形的面積分成相等的兩部分”是解題的關(guān)鍵. 6．或 【分析】 （1）根據(jù)三角形的中線定義：三角形一邊的中點(diǎn)與此邊所對頂點(diǎn)的連線叫做三角形的中線可得E、F、D分別是AC、AB、BC上的中點(diǎn)，進(jìn)而得到答案． （2）根據(jù)角平分線定義，從一個角的頂點(diǎn)出發(fā)，把這個角分成兩個相等的角的射線，叫做這個角的平分線即可解答． 【詳解】 解：（1）∵CF是AB邊上的中線， ∴AB＝2AF＝2BF； ∵AD是BC邊上的中線， ∴BD＝CD， ∵BE是AC邊上的中線， ∴AE＝AC， （2）∵AD是的角平分線， ∴ ， ∵BE是的角平分線， ∴， ∵CF是的角平分線， ∴． 故答案為：或；；AC；；； 【點(diǎn)睛】 此題主要考查了三角形的中線、角平分線，解題的關(guān)鍵是掌握三角形的中線及角平分線的定義． 7．或 【分析】 先畫出圖形，根據(jù)圖形結(jié)合已知寫出條件，再分兩種情況討論：根據(jù)一腰上的中線把三角形的周長分為兩部分，其中一部分比另一部分長，構(gòu)建方程，再解方程可得答案. 【詳解】 解：如圖，為等腰三角形， 設(shè) 則 當(dāng)時， 解得： 當(dāng)時， 解得： 故答案為：或 【點(diǎn)睛】 本題考查的是等腰三角形的定義，三角形的中線的性質(zhì)，清晰的分類討論是解題的關(guān)鍵. 8． 【分析】 根據(jù)三角形面積公式可得AB?AC=BC?AE，依此可求AE的長；根據(jù)三角形面積公式計(jì)算出S△ABC=30cm2，然后利用AD是邊BC的中線得到S△ABD=S△ABC． 【詳解】 解：∵∠BAC=90°，AE是邊BC上的高， ∴AB?AC=BC?AE， ∴AE==5×12÷13= (cm)， 即AE的長度為cm； 如圖，∵△ABC是直角三角形，∠BAC=90°，AC=5cm，AB=12cm， ∴S△ABC=AB?AC=×12×5＝30(cm2)． 又∵AD是邊BC的中線， ∴S△ABD=S△ACD=S△ABC=15(cm2)． ∴△ABN的面積是15cm2； 故答案為：cm；15cm2． 【點(diǎn)睛】 本題考查了三角形的面積：三角形的面積等于底邊長與高線乘積的一半，即S△=×底×高．三角形的中線將三角形分成面積相等的兩部分． 9．或 【分析】 分情況討論，當(dāng)和，進(jìn)而求得腰長 【詳解】 設(shè)，是上的中點(diǎn)， ①如圖，當(dāng)時， ②如圖，當(dāng)時， 故答案為：或 【點(diǎn)睛】 本題考查了等腰三角形的定義，三角形中線的性質(zhì)，分類討論是解題的關(guān)鍵． 10． 【分析】 根據(jù)三角形的中線的概念得到，根據(jù)三角形的周長公式計(jì)算，得到答案． 【詳解】 解：為的中線， ， 的周長， ， ， ，即， ， 的周長， 故答案為：． 【點(diǎn)睛】 本題考查的是三角形的中線的概念，三角形一邊的中點(diǎn)與此邊所對頂點(diǎn)的連線叫做三角形的中線． 11．7 【分析】 先根據(jù)三角形中線的定義可得，再根據(jù)三角形的周長公式即可得． 【詳解】 解：是的邊上的中線， ， 的周長比的周長多，且， ，即， 解得， 故答案為：7． 【點(diǎn)睛】 本題考查了三角形的中線，掌握理解三角形中線的定義是解題關(guān)鍵． 12．相等，理由見解析 【分析】 先根據(jù)角平分線的定義得出，再由平行線的性質(zhì)即可得出結(jié)論． 【詳解】 解：相等． 理由：∵是的角平分線， ∴， ∵， ∴， ∵, ∴ ∴． 【點(diǎn)睛】 本題考查的是平行線的性質(zhì)，用到的知識點(diǎn)為：兩直線平行，內(nèi)錯角相等． 13．見解析 【分析】 根據(jù)角平分線的性質(zhì)和平行線的性質(zhì)得到∠DBE=∠DEB，根據(jù)等角對等邊解答即可證得結(jié)論． 【詳解】 解：∵BE平分∠ABC， ∴∠DBE=∠CBE， ∵DE∥BC， ∴∠CBE=∠DEB， ∴∠DBE=∠DEB， ∴BD=DE． 【點(diǎn)睛】 本題考查角平分線的性質(zhì)、平行線的性質(zhì)、等腰三角形的判定，會利用等角對等邊證明線段相等是解答的關(guān)鍵． 14．見解析 【分析】 取的中點(diǎn)F，連接，則為的中位線，進(jìn)而可得，證明即可證明∠C＝∠BAE． 【詳解】 證明：如圖，取的中點(diǎn)F，連接， ∵ ∴ ∵CD＝AB， ∴ ，， ∵AE是△ABD的中線， ∴ 在與中 ∠C＝∠BAE 【點(diǎn)睛】 本題考查了三角形中線的性質(zhì)，三角形中位線的性質(zhì)，三角形全等的性質(zhì)與判定，添加輔助線是解題的關(guān)鍵．

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