精選練習
基礎篇
一、單選題
1．（2022·上海市民辦文綺中學八年級階段練習）下面一定相似的一組圖形為（ ）
A．兩個等腰三角形B．兩個矩形C．兩個等邊三角形D．兩個菱形．
2．（2022·全國·九年級專題練習）下列圖形中，不是相似圖形的一組是（ ）
A．B．C．D．
3．（2022·四川宜賓·九年級期末）如圖，四邊形四邊形，，，
，則∠D的度數(shù)為（ ）
A．100°B．110°C．120°D．130°
4．（2022·河北邢臺·九年級期末）國旗法規(guī)定：所有國旗均為相似矩形，在下列四面國旗中，其中只有一面不符合標準，這面國旗是（ ）
A．B．
C．D．
5．（2022·江蘇常州·八年級期末）下列事件中是確定事件的是（ ）
A．直角三角形都相似B．正方形都相似C．等腰三角形都相似D．菱形都相似
6．（2022·山東威海·八年級期末）下列說法中，不正確的是（ ）
A．等邊三角形都相似B．等腰直角三角形都相似
C．矩形都相似D．正八邊形都相似
二、填空題
7．（2022·全國·九年級課前預習）兩個邊數(shù)相同的多邊形，如果它們的角分別_________，邊成_________，那么這兩個多邊形叫做_________．相似多邊形對應邊的比叫做_________．
由相似多邊形的定義可知，相似多邊形的對應角_________，對應邊_________．
8．（2021·吉林四平·九年級期中）如圖，若四邊形ABCD∽四邊形EFGH，則的度數(shù)為_______．
9．（2022·吉林長春·模擬預測）有一塊多邊形的草坪，在市政建設設計圖紙上的面積為100平方厘米，圖紙上某條邊的長度為5厘米.經(jīng)測量，這條邊的實際長度為20米，則這塊草坪的實際面積為________平方米.
10．（2022·全國·九年級專題練習）小穎在一本書上看到一個風箏模型，形狀如圖所示，其中對角線，并且兩條對角線長分別為和．現(xiàn)在小穎照著模型按照1：3的比例放大制作一個大風箏，制作風箏需要彩色紙覆蓋，而彩色紙是從一張剛好覆蓋整個風箏的矩形彩色紙（如圖中虛線所示）裁剪下來的，那么從四個角裁剪下來廢棄不用的彩色紙的面積是_________．
三、解答題
11．（2022·全國·九年級專題練習）如圖，四邊形ABCD∽四邊形EFGH，求角α、β的大小和EH的長度x．
12．（2022·上?！ぞ拍昙墝ｎ}練習）已知四邊形ABCD與四邊形相似，并且點A與點、點B與點、點C與點、點D與點對應．
(1)已知∠A＝40°，∠B＝110°，∠＝90°，求∠D的度數(shù)；
(2)已知AB＝9，CD＝15，＝6，＝4，＝8，求四邊形ABCD的周長．
提升篇
一、填空題
1．（2022·全國·九年級課時練習）將一張長方形紙片對折，若得到的小長方形與原長方形相似，則原長方形的長與寬的比是_________．
2．（2022·河北·石家莊市第四十一中學模擬預測）如圖，用幾個相同的含30°角的直角三角板，都按照如圖方式拼成一個封閉的多邊形，中間圍成的圖形是正______邊形，中間圍成的圖形和較長直角邊圍成的圖形面積之比是______．
3．（2022·全國·九年級）已知四邊形ABCD∽四邊形，相似比為，其中四邊形ABCD的周長為18cm，則四邊形的周長為______cm．
4．（2021·江蘇無錫·中考真題）下列命題中，正確命題的個數(shù)為________．
①所有的正方形都相似
②所有的菱形都相似
③邊長相等的兩個菱形都相似
④對角線相等的兩個矩形都相似
5．（2021·廣東·佛山市華英學校九年級期末）如圖，一個矩形廣場的長為90m，寬為60m，廣場內有兩橫，兩縱四條小路，且小路內外邊緣所圍成的兩個矩形相似，如果兩條橫向小路的寬均為1.2m，那么每條縱向小路的寬為__m．
二、解答題
6．（2021·全國·九年級專題練習）如圖，四邊形ABCD∽四邊形A′B′C′D′，求邊x、y的長度和角α的大?。?br>7．（2022·全國·九年級課時練習）如圖1，將A4紙2次折疊，發(fā)現(xiàn)第一次的折痕與A4紙較長的邊重合，如圖2，將1張A4紙對折，使其較長的邊一分為二，沿折痕剪開，可得2張A5紙．
（1）A4紙較長邊與較短邊的比為 ；
（2）A4紙與A5紙是否為相似圖形？請說明理由．
8．（2022·全國·九年級專題練習）如圖，一個矩形廣場的長米，寬米，廣場內兩條縱向的小路寬為a米，橫向的兩條小路寬為b米，矩形矩形EFGH．
(1)求的值；
(2)若，求矩形EFGH的面積．
第四章 圖形的相似
4.3 相似多邊形
精選練習
基礎篇
一、單選題
1．（2022·上海市民辦文綺中學八年級階段練習）下面一定相似的一組圖形為（ ）
A．兩個等腰三角形B．兩個矩形C．兩個等邊三角形D．兩個菱形．
【答案】C
【分析】根據(jù)相似多邊形的判定定理對各個選項進行分析，從而確定最后答案．
【詳解】解：A. 兩個等腰三角形不一定相似，因為沒有指明相等的角或成比例的邊；
B.兩個矩形不一定相似，因為沒有指明邊的情況，雖然其四個角均相等，不符合相似的條件；
C.兩個等邊三角形一定相似；
D.任意兩個菱形的對應邊的比相等，但對應角不一定相等，故不一定相似；
故選C．
【點睛】本題考查的是相似圖形的概念，掌握對應角相等，對應邊的比相等的多邊形，叫做相似多邊形是解題的關鍵．
2．（2022·全國·九年級專題練習）下列圖形中，不是相似圖形的一組是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根據(jù)相似圖形的定義，對各選項進行一一分析，即可得出結論．
【詳解】解：A.兩個圖形的形狀相同，符合相似形的定義，此選項不符合題意；
B.兩個圖形的形狀相同，符合相似形的定義，此選項不符合題意；
C.兩個圖形的形狀相同，符合相似形的定義，此選項不符合題意；
D.形狀不相同，不符合相似形的定義，此選項符合題意．
故選：D．
【點睛】本題考查了相似圖形的定義，掌握相似圖形的定義并能結合具體圖形進行準確判斷是解題的關鍵．
3．（2022·四川宜賓·九年級期末）如圖，四邊形四邊形，，，
，則∠D的度數(shù)為（ ）
A．100°B．110°C．120°D．130°
【答案】C
【分析】利用相似多邊形的對應角相等求得答案即可．
【詳解】解：∵四邊形ABCD∽四邊形， ，
∴．
∵四邊形ABCD的內角和為，，，
∴ ．
故選：C．
【點睛】本題主要考查了相似多邊形的性質，解題的關鍵是了解相似多邊形的對應角相等．
4．（2022·河北邢臺·九年級期末）國旗法規(guī)定：所有國旗均為相似矩形，在下列四面國旗中，其中只有一面不符合標準，這面國旗是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】根據(jù)已知條件分別求出矩形的長與寬的比，即可得到結論．
【詳解】解∶∵，，，，
∴，
∴B選項不符合標準，
故選∶B．
【點睛】本題考查了相似形的應用，熟練掌握相似形的判定定理是解題的關鍵．
5．（2022·江蘇常州·八年級期末）下列事件中是確定事件的是（ ）
A．直角三角形都相似B．正方形都相似C．等腰三角形都相似D．菱形都相似
【答案】B
【分析】根據(jù)隨機事件，確定事件的定義一一判斷即可．
【詳解】A．任意直角三角形的對應角不一定相等，對應邊不一定成比例，不一定相似，故選項錯誤，不符合題意；
B．任意正方形的對應角相等，對應邊的比也相等，所以正方形都相似是確定事件，故選項正確，符合題意；
C．任意等腰三角形的對應角不一定相等，不一定相似，故選項錯誤，不符合題意；
D．任意菱形的對應邊成比例，但對應角不一定相等，故選項錯誤，不符合題意；
故選：B．
【點睛】此題考查了隨機事件，確定事件等知識，解題的關鍵是正確理解確定事件、隨機事件的概念：確定事件包括必然事件和不可能事件，必然事件指在一定條件下，一定發(fā)生的事件；不可能事件是指在一定條件下，一定不發(fā)生的事件；不確定事件即隨機事件是指在一定條件下，可能發(fā)生也可能不發(fā)生的事件．
6．（2022·山東威?！ぐ四昙壠谀┫铝姓f法中，不正確的是（ ）
A．等邊三角形都相似B．等腰直角三角形都相似
C．矩形都相似D．正八邊形都相似
【答案】C
【分析】根據(jù)兩個圖形相似的性質及判定方法，對應邊的比相等，對應角相等，兩個條件同時滿足，來判斷正誤．
【詳解】解：A、所有的等邊三角形的角都為，都相似，不符合題意；
B、等腰直角三角形都相似，不符合題意；
C、矩形對應邊不一定成比例，不一定都相似，符合題意；
D、正八邊形都相似，不符合題意；
故選：C．
【點睛】本題考查了相似圖形的知識，熟練掌握各特殊圖形的性質是解題的關鍵，難度一般．
二、填空題
7．（2022·全國·九年級課前預習）兩個邊數(shù)相同的多邊形，如果它們的角分別_________，邊成_________，那么這兩個多邊形叫做_________．相似多邊形對應邊的比叫做_________．
由相似多邊形的定義可知，相似多邊形的對應角_________，對應邊_________．
【答案】 相等 比例 相似多邊形 相似比 相等 成比例
【解析】略
8．（2021·吉林四平·九年級期中）如圖，若四邊形ABCD∽四邊形EFGH，則的度數(shù)為_______．
【答案】##70度
【分析】利用相似多邊形的對應角相等及四邊形內角和為360°求得答案即可．
【詳解】解：∵四邊形ABCD∽四邊形EFGH，∠G=152°
∴∠C=∠G=152°，
∵∠B=78°，∠A=60°，
∴=360°-∠A-∠B-∠C=360°-60°-78°-152°=70°，
故答案為：．
【點睛】此題考查了相似多邊形的性質，解題的關鍵是了解相似多邊形的對應角相等．
9．（2022·吉林長春·模擬預測）有一塊多邊形的草坪，在市政建設設計圖紙上的面積為100平方厘米，圖紙上某條邊的長度為5厘米.經(jīng)測量，這條邊的實際長度為20米，則這塊草坪的實際面積為________平方米.
【答案】160
【分析】首先設這塊草坪的實際面積是xcm2，根據(jù)比例尺的性質，即可得方程，解此方程即可求解．
【詳解】解：設這塊草坪的實際面積是xcm2．
根據(jù)題意得：，
解得：x=1600000，
經(jīng)檢驗，x=1600000是方程的根，且符合題意，
∴這塊草坪的實際面積為：1600000cm2=160m2，
故答案為：160．
【點睛】此題考查了比例尺的性質，相似圖形的性質．此題難度不大，解題的關鍵是理解題意，根據(jù)題意列方程，注意統(tǒng)一單位．
10．（2022·全國·九年級專題練習）小穎在一本書上看到一個風箏模型，形狀如圖所示，其中對角線，并且兩條對角線長分別為和．現(xiàn)在小穎照著模型按照1：3的比例放大制作一個大風箏，制作風箏需要彩色紙覆蓋，而彩色紙是從一張剛好覆蓋整個風箏的矩形彩色紙（如圖中虛線所示）裁剪下來的，那么從四個角裁剪下來廢棄不用的彩色紙的面積是_________．
【答案】540
【分析】先求出風箏模型ABCD的面積，假設大風箏的四個頂點為A'，B'，C'，D'，可得四邊形ABCD∽四邊形A'B'C' D'，可得到它們的面積比為1：9，A'C'=36cm，B'D'=30cm，再由從四個角裁剪下來廢棄不用的彩色紙的面積=矩形的面積-大風箏的面積，即可求解．
【詳解】解：∵，
∴風箏模型ABCD的面積為，
假設大風箏的四個頂點為A'，B'，C'，D'，且分別為點A、B、C、D的對應點，
∵按照1：3的比例放大制作一個大風箏，
∴四邊形ABCD∽四邊形A'B'C' D'，
∴它們的對應邊之比為1：3，
∴它們的面積比為1：9，A'C'=36cm，B'D'=30cm，
∴大風箏的面積為60×9=540cm2，矩形彩色紙的面積為36×30=1080 cm2，
∴從四個角裁剪下來廢棄不用的彩色紙的面積=矩形的面積-大風箏的面積
=1080-540
=540cm2．
故答案為：540
【點睛】本題主要考查了相似多邊形的應用，熟練掌握相似多邊形的性質是解題的關鍵．
三、解答題
11．（2022·全國·九年級專題練習）如圖，四邊形ABCD∽四邊形EFGH，求角α、β的大小和EH的長度x．
【答案】，，
【分析】利用相似多邊形的性質：對應邊的成相等，對應角相等，即可求解．
【詳解】解：∵四邊形ABCD∽四邊形EFGH，
∴α＝∠C＝83°，∠F＝∠B＝78°，EH：AD＝EF：AB，
∴x：21＝24：18，解得x＝28．
在四邊形EFGH中，β＝360°﹣83°﹣78°﹣118°＝81°．
∴∠G＝∠C＝67°．
故x＝28．
【點睛】本題主要考查相似多邊形的性質，掌握相似多邊形的性質是解題的關鍵．
12．（2022·上海·九年級專題練習）已知四邊形ABCD與四邊形相似，并且點A與點、點B與點、點C與點、點D與點對應．
(1)已知∠A＝40°，∠B＝110°，∠＝90°，求∠D的度數(shù)；
(2)已知AB＝9，CD＝15，＝6，＝4，＝8，求四邊形ABCD的周長．
【答案】(1)120°
(2)42
【分析】（1）根據(jù)相似多邊形的對應角相等解決問題即可．
（2）根據(jù)相似多邊形的對應邊成比例，解決問題即可．
（1）
解：∵四邊形ABCD∽四邊形A1B1C1D1，
∴∠C＝∠C1＝90°，
∴∠D＝360°﹣∠A﹣∠B﹣∠C＝360°﹣40°﹣110°﹣90°＝120°．
（2）
∵四邊形ABCD∽四邊形A1B1C1D1，
∴＝＝，
∴＝＝，
∴BC＝12，AD＝6，
∴四邊形ABCD的周長＝AB＋BC＋CD＋AD＝9＋12＋15＋6＝42．
【點睛】本題考查相似多邊形的性質，解題的關鍵是掌握相似多邊形的對應角相等，對應邊成比例．
提升篇
一、填空題
1．（2022·全國·九年級課時練習）將一張長方形紙片對折，若得到的小長方形與原長方形相似，則原長方形的長與寬的比是_________．
【答案】∶1
【分析】設AE＝ED＝a，AB＝b，根據(jù)每一個小長方形與原長方形相似，可知，再由a，b均為正數(shù)可知b＝a，由此即可得出結論．
【詳解】解：設AE＝ED＝a，AB＝b，
∵每一個小長方形與原長方形相似，
∴ ，
∴b2＝2a2，
∵a，b均為正數(shù)，
∴b＝a，
∴，
∴原長方形的長與寬之比為：1．
故答案為：：1．
【點睛】本題考查的相似多邊形的性質，即相似多邊形對應邊的比叫做相似比．利用相似比列出比例式是解題的關鍵．
2．（2022·河北·石家莊市第四十一中學模擬預測）如圖，用幾個相同的含30°角的直角三角板，都按照如圖方式拼成一個封閉的多邊形，中間圍成的圖形是正______邊形，中間圍成的圖形和較長直角邊圍成的圖形面積之比是______．
【答案】 六
【分析】先計算出外圍封閉圖形和中間圍成的圖形的每個內角的度數(shù)和邊長即可得到答案
【詳解】詳解：如圖，∵，三角板的擺法相同，
∴外周的封閉圖形為正六邊形，邊長，
∵，
∴，
∴中間圍成的圖形也是正六邊形，
故答案為：六；
∵邊長，，
∴，
∴，
∴內部和外周的正六邊形為相似圖形，相似比為，
∴面積比為，
故答案為：
【點睛】本題考查了相似多邊形的判定和性質，讀懂圖形和題意是解題的關鍵．
3．（2022·全國·九年級）已知四邊形ABCD∽四邊形，相似比為，其中四邊形ABCD的周長為18cm，則四邊形的周長為______cm．
【答案】24
【分析】直接根據(jù)相似多邊形的周長比等于相似比進行解答即可．
【詳解】解：四邊形ABCD∽四邊形，相似比為，
它們的周長比，
四邊形ABCD的周長為18cm，
四邊形的周長cm，
故答案是：24．
【點睛】本題考查的是相似多邊形的性質，解題的關鍵是熟知相似多邊形的周長比等于相似比．
4．（2021·江蘇無錫·中考真題）下列命題中，正確命題的個數(shù)為________．
①所有的正方形都相似
②所有的菱形都相似
③邊長相等的兩個菱形都相似
④對角線相等的兩個矩形都相似
【答案】1
【分析】根據(jù)多邊形的判定方法對①進行判斷；利用菱形的定義對②進行判斷；根據(jù)菱形的性質對③進行判斷；根據(jù)矩形的性質和相似的定義可對④進行判斷．
【詳解】解：所有的正方形都相似，所以①正確；
所有的菱形不一定相似，所以②錯誤；
邊長相等的兩個菱形，形狀不一定相同，即：邊長相等的兩個菱形不一定相似所以③錯誤；
對角線相等的兩個矩形，對應邊不一定成比例，即不一定相似，所以④錯誤；
故答案是：1．
【點睛】本題考查了判斷命題真假，熟練掌握圖形相似的判定方法，菱形，正方形，矩形的性質，是解題的關鍵．
5．（2021·廣東·佛山市華英學校九年級期末）如圖，一個矩形廣場的長為90m，寬為60m，廣場內有兩橫，兩縱四條小路，且小路內外邊緣所圍成的兩個矩形相似，如果兩條橫向小路的寬均為1.2m，那么每條縱向小路的寬為__m．
【答案】1.8
【分析】根據(jù)兩個多邊形的對應角相等，對應邊的比相等，則這兩個多邊形是相似多邊形列出比例式解答即可．
【詳解】解：設每條縱向小路的寬為xm，則小路內緣所圍成的矩形的長為（90-2x）m，寬為（60-2.4）m，
∵小路內外邊緣所圍成的兩個矩形相似，
∴，
解得，x＝1.8，
故答案為：1.8
【點睛】題考查的是相似多邊形的性質，掌握相似多邊形的性質為：對應角相等；對應邊的比相等是解題的關鍵．
二、解答題
6．（2021·全國·九年級專題練習）如圖，四邊形ABCD∽四邊形A′B′C′D′，求邊x、y的長度和角α的大?。?br>【答案】x＝12，，α＝83°．
【分析】直接根據(jù)相似多邊形的性質即可得出結論．
【詳解】∵四邊形ABCD∽四邊形A′B′C′D′，
∴，即，∠C＝α，∠D＝∠D′＝140°．
∴x＝12，，α＝∠C＝360°﹣∠A﹣∠B﹣∠D＝360°﹣62°﹣75°﹣140°＝83°．
【點睛】本題考查相似多邊形的性質，相似多邊形的對應角相等，對應邊成比例．正確找出對應邊和對應角是解題關鍵．
7．（2022·全國·九年級課時練習）如圖1，將A4紙2次折疊，發(fā)現(xiàn)第一次的折痕與A4紙較長的邊重合，如圖2，將1張A4紙對折，使其較長的邊一分為二，沿折痕剪開，可得2張A5紙．
（1）A4紙較長邊與較短邊的比為 ；
（2）A4紙與A5紙是否為相似圖形？請說明理由．
【答案】（1）；（2）相似，理由見解析
【分析】（1）根據(jù)邊的關系得出比例等式解答即可；
（2）根據(jù)相似圖形的判定解答即可．
【詳解】
解：（1）如圖1，設AB＝x，
由上面兩個圖，由翻折的性質我們知道，∠ACF＝∠HDF，∠ACB＝∠HDB，∠ECF=45°，
∴∠BCF＝∠BDF=90°，
又∵∠ACE＝∠ACB+∠ECB=∠BCF=∠BCE+∠ECF，
∴∠ACB=∠ECF=45°，
∴BC=x，
∴BD＝BC＝x，AD＝AB+BD＝（+1）x，
∴EF＝CE＝AD＝（+1）x，
∵DE＝AC＝AB＝x，
∴DF＝DE+EF＝（+2）x，
∴，
故答案為：．
（2）由（1）知：A5紙長邊為A4紙短邊，長為（+1）x，A5紙短邊長為（）x，
∴對A5紙，長邊：短邊，
∴A4紙與A5紙相似．
【點睛】此題考查了相似圖形，關鍵是根據(jù)相似圖形判斷和性質解答．
8．（2022·全國·九年級專題練習）如圖，一個矩形廣場的長米，寬米，廣場內兩條縱向的小路寬為a米，橫向的兩條小路寬為b米，矩形矩形EFGH．
(1)求的值；
(2)若，求矩形EFGH的面積．
【答案】(1)a：b＝2：1
(2)6272米2
【分析】（1）根據(jù)題意可得HE＝（60﹣2b）米，EF＝（120﹣2a）米，根據(jù)矩形ABCD∽矩形EFGH．可得，進而可以解決問題；
（2）由（1）得2b＝a，根據(jù)矩形EFGH的面積＝EF?HE，即可解決問題．
（1）
根據(jù)題意可知：HE＝（60﹣2b）米，EF＝（120﹣2a）米，
∵矩形ABCD∽矩形EFGH．
∴，
∴，
整理，得2b＝a，
∴a：b＝2：1；
（2）
∵a＝4，2b＝a，
∴b＝2，
∴矩形EFGH的面積
＝EF?HE
＝（120﹣2a）?（60﹣2b）
＝（120﹣8）（60﹣4）
＝112×56
＝6272（米2）．
答：矩形EFGH的面積為6272米2．
【點睛】本題考查了相似多邊形的應用，列代數(shù)式，解決本題的關鍵是掌握相似多邊形的性質．

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