精選練習(xí)
基礎(chǔ)篇
一、單選題
1．（2021·河南洛陽·九年級期末）若關(guān)于x的方程有實數(shù)根，則m的取值范圍為( )
A．B．C．D．
2．（2021·廣東·道明外國語學(xué)校九年級階段練習(xí)）已知關(guān)于的一元二次方程有實數(shù)根，則的取值范圍是（ ）
A．B．C．且D．且
3．（2022·河北石家莊·九年級期末）方程根的情況是（ ）
A．有兩個不相等的實數(shù)根B．有兩個相等的實數(shù)根名
C．沒有實數(shù)根D．無法判斷
4．（2022·吉林長春·九年級期末）一元二次方程x2－3x－2＝0的根的判別式的值為（ ）
A．17B．1C．－1D．－17
5．（2022·四川綿陽·九年級期末）關(guān)于x的一元二次方程有兩個相等的實數(shù)根，則k的值為（ ）
A．3B．－1C．3或－1D．－3
6．（2022·江蘇宿遷·九年級期末）關(guān)于x的一元二次方程x2﹣2x+m＝0無實數(shù)根，則實數(shù)m的取值范圍是（ ）
A．m＜1B．m≥1C．m≤1D．m＞1
二、填空題
7．（2022·北京延慶·八年級期末）關(guān)于x 的一元二次方程有兩個不相等的實數(shù)根，則m的取值范圍是________________．
8．（2022·全國·九年級課時練習(xí)）若一元二次方程無實數(shù)根，則的取值范圍是_______．
9．（2020·遼寧·撫順市順城區(qū)長春學(xué)校九年級期中）若關(guān)于x的方程x2﹣（m+2）x+m=0的根的判別式△=5，則m=_______．
10．（2022·全國·九年級課時練習(xí)）關(guān)于x的一元二次方程有兩個相等的實數(shù)根，則這兩個相等的根是x1＝x2＝__________________．
三、解答題
11．（2022·北京延慶·八年級期末）解方程：
(1)；
(2)．
12．（2022·遼寧大連·九年級期末）已知關(guān)于x的一元二次方程，求證：不論為什么實數(shù)，這個方程總有兩個不相等實數(shù)根．
提升篇
一、填空題
1．（2022·山東泰安·八年級期末）若關(guān)于x的一元二次方程（a是常數(shù)）有實根，那么a的取值范圍是___．
2．（2022·遼寧錦州·中考真題）若關(guān)于x的方程有兩個不相等的實數(shù)根，且，則從滿足條件的所有整數(shù)m中隨機(jī)選取一個，恰好是負(fù)數(shù)的概率是____________．
3．（2022·全國·九年級專題練習(xí)）若等腰三角形的一邊長為6，另兩邊的長是關(guān)于的一元二次方程的兩個根，則的值為_______．
4．（2022·江蘇·九年級）若關(guān)于x的一元二次方程x2+3（m﹣2）x+2c﹣1＝0有兩個相等的實數(shù)根，則c的最小值是 _____．
5．（2022·安徽·模擬預(yù)測）若關(guān)于的一元二次方程有兩個相等的實數(shù)根，則的值為________．
二、解答題
6．（2022·湖南永州·二模）設(shè)m為整數(shù)，且，方程有兩個不相等的整數(shù)根，求m的值及方程的根．
7．（2021·四川綿陽·九年級階段練習(xí)）已知關(guān)于x的一元二次方程x2﹣（2m+1）x+（m﹣1）＝0有兩個不相等的實數(shù)根．
(1)求m的取值范圍；
(2)若該一元二次方程的一個根為x＝1，求m的值．
8．（2022·北京順義·八年級期末）已知：關(guān)于x的方程．
(1)請判斷這個方程根的情況；
(2)若該方程的一個根小于1，求k的取值范圍．
第二章 一元二次方程
2.3 用公式法求解一元二次方程
精選練習(xí)
基礎(chǔ)篇
一、單選題
1．（2021·河南洛陽·九年級期末）若關(guān)于x的方程有實數(shù)根，則m的取值范圍為( )
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】
【分析】
根據(jù)方程的系數(shù)結(jié)合根的判別式，即可得出關(guān)于的一元一次不等式，解之即可得出實數(shù)的取值范圍．
【詳解】
解：∵關(guān)于的一元二次方程有實數(shù)根，
∴，
解得：．
故選：A．
【點睛】
本題考查了根的判別式，牢記“當(dāng)時，方程有實數(shù)根”是解題的關(guān)鍵．
2．（2021·廣東·道明外國語學(xué)校九年級階段練習(xí)）已知關(guān)于的一元二次方程有實數(shù)根，則的取值范圍是（ ）
A．B．C．且D．且
【答案】D
【解析】
【分析】
先根據(jù)一元二次方程的定義及根的判別式列出關(guān)于的不等式，求出的取值范圍即可．
【詳解】
解：∵關(guān)于的一元二次方程有實數(shù)根，
∴，
解得：且．
故選：D．
【點睛】
本題考查了一元二次方程的根的判別式及一元二次方程的定義．當(dāng)時，方程有兩個不相等的實數(shù)根；當(dāng)時，方程有兩個相等的實數(shù)根；當(dāng)時，方程沒有實數(shù)根．理解和掌握一元二次方程根的判別式是解題的關(guān)鍵．
3．（2022·河北石家莊·九年級期末）方程根的情況是（ ）
A．有兩個不相等的實數(shù)根B．有兩個相等的實數(shù)根名
C．沒有實數(shù)根D．無法判斷
【答案】C
【解析】
【分析】
根據(jù)一元二次方程根的判別式判斷即可．
【詳解】
原方程變形為，，
即，
則，，，
即；
故原方程沒有實數(shù)根．
故選C．
【點睛】
本題考查一元二次方程根的判別式，解決本題的關(guān)鍵是找準(zhǔn)方程的各系數(shù)．
4．（2022·吉林長春·九年級期末）一元二次方程x2－3x－2＝0的根的判別式的值為（ ）
A．17B．1C．－1D．－17
【答案】A
【解析】
【分析】
找出方程a，b，c的值，代入b2-4ac中計算即可．
【詳解】
解：一元二次方程x2-3x-2=0，
∵a=1，b=-3，c=-2，
∴Δ=b2-4ac=（-3）2-4×1×（-2）=9+8=17．
故選：A．
【點睛】
此題考查了根的判別式，一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0），當(dāng)b2-4ac＞0時，方程有兩個不相等的實數(shù)根；當(dāng)b2-4ac＜0時，方程沒有實數(shù)根；當(dāng)b2-4ac=0時，方程有兩個相等的實數(shù)根，反之也成立．
5．（2022·四川綿陽·九年級期末）關(guān)于x的一元二次方程有兩個相等的實數(shù)根，則k的值為（ ）
A．3B．－1C．3或－1D．－3
【答案】C
【解析】
【分析】
求出根的判別式：，當(dāng)=0時，原一元二次方程有兩個相等的實數(shù)根，求出k值即可．
【詳解】
a=k-1，b=4，c=k-1
（k-3）（k+1）=0
k=3或k=-1
∵k-1≠0
∴k≠1
故k=3或k=-1
故選：C
【點睛】
本題主要考查了根的情況求參數(shù)，當(dāng)>0時，原方程有兩個不相等的實數(shù)根；當(dāng)=0時，原方程有兩個相等的實數(shù)根；當(dāng)=0時，原方程無實數(shù)根．熟練的掌握并運用根的判別式求解是解題的關(guān)鍵．
6．（2022·江蘇宿遷·九年級期末）關(guān)于x的一元二次方程x2﹣2x+m＝0無實數(shù)根，則實數(shù)m的取值范圍是（ ）
A．m＜1B．m≥1C．m≤1D．m＞1
【答案】D
【解析】
【分析】
利用判別式的意義得到Δ=（-2）2-4m＜0，然后解不等式即可．
【詳解】
解：根據(jù)題意得Δ=（-2）2-4m＜0，
解得m＞1．
故選D．
【點睛】
本題考查了根的判別式：一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根與Δ=b2-4ac有如下關(guān)系：當(dāng)Δ＞0時，方程有兩個不相等的兩個實數(shù)根；當(dāng)Δ=0時，方程有兩個相等的兩個實數(shù)根；當(dāng)Δ＜0時，方程無實數(shù)根．
二、填空題
7．（2022·北京延慶·八年級期末）關(guān)于x 的一元二次方程有兩個不相等的實數(shù)根，則m的取值范圍是________________．
【答案】
【解析】
【分析】
根據(jù)一元二次方程根有兩個不相等的實數(shù)根時，判別式，代入計算即可得出答案．
【詳解】
解：由題可知，
，
解得，
故答案為：．
【點睛】
本題考查了一元二次方程根的判別式，掌握根的判別式的符號與一元二次方程根的關(guān)系是本題的關(guān)鍵．
8．（2022·全國·九年級課時練習(xí)）若一元二次方程無實數(shù)根，則的取值范圍是_______．
【答案】
【解析】
【分析】
根據(jù)判別式的意義得到△＜0，然后解不等式即可．
【詳解】
解：一元二次方程x2-4x+k=0無實數(shù)根，
∴(―4)2-4k4，
故答案為：k>4．
【點睛】
此題考查了一元二次方程的根的判別式，一元二次方程根的情況與判別式△的關(guān)系：（1）△>0時方程有兩個不相等的實數(shù)根；（2）△=0時方程有兩個相等的實數(shù)根；（3）△0，
∴不論為什么實數(shù)，這個方程總有兩個不相等的實數(shù)根．
【點睛】
本題主要考查根的判別式，一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的根與Δ＝b2?4ac有如下關(guān)系：①當(dāng)Δ＞0時，方程有兩個不相等的實數(shù)根；②當(dāng)Δ＝0時，方程有兩個相等的實數(shù)根；③當(dāng)Δ＜0時，方程無實數(shù)根．
提升篇
一、填空題
1．（2022·山東泰安·八年級期末）若關(guān)于x的一元二次方程（a是常數(shù)）有實根，那么a的取值范圍是___．
【答案】且
【解析】
【分析】
根據(jù)一元二次方程的定義可得，根據(jù)一元二次方程根的判別式大于等于0即可求解．
【詳解】
解：∵關(guān)于x的一元二次方程（a是常數(shù)）有實根，
∴且，
解得且．
故答案為：且．
【點睛】
本題考查了一元二次方程的定義，一元二次方程根的判別式，掌握以上知識是解題的關(guān)鍵．注意掌握一元二次方程有兩個實數(shù)根，即可得Δ=b2?4ac≥0．
2．（2022·遼寧錦州·中考真題）若關(guān)于x的方程有兩個不相等的實數(shù)根，且，則從滿足條件的所有整數(shù)m中隨機(jī)選取一個，恰好是負(fù)數(shù)的概率是____________．
【答案】
【解析】
【分析】
根據(jù)題意，由關(guān)于x的一元二次方程的根的判別式，可計算，再結(jié)合可知，進(jìn)而推導(dǎo)滿足條件的所有整數(shù)為-3、-2、-1、0、1、2共計6個，其中負(fù)數(shù)有3個，由簡單概率的計算公式即可得出結(jié)果．
【詳解】
解：根據(jù)題意，關(guān)于x的方程有兩個不相等的實數(shù)根，
故該一元二次方程的根的判別式，即，
解得，
又∵，
∴，
∴滿足條件的所有整數(shù)為-3、-2、-1、0、1、2共計6個，其中負(fù)數(shù)有-3、-2、-1共計3個，
∴滿足條件的所有整數(shù)m中隨機(jī)選取一個，恰好是負(fù)數(shù)的概率是．
故答案為：．
【點睛】
本題主要考查了一元二次方程的根的判別式、簡單概率計算等知識，解題關(guān)鍵是讀懂題意，綜合運用所學(xué)知識解決問題．
3．（2022·全國·九年級專題練習(xí)）若等腰三角形的一邊長為6，另兩邊的長是關(guān)于的一元二次方程的兩個根，則的值為_______．
【答案】12或16
【解析】
【分析】
分6為等腰三角形的腰長和6為等腰三角形的底邊長兩種情況，再利用一元二次方程根的定義、根的判別式求解即可得．其中，每種情況下都要根據(jù)三角形三邊關(guān)系定理（兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊）檢驗三邊長是否滿足三角形的三邊關(guān)系．
【詳解】
解：由題意，分以下兩種情況：
（1）當(dāng)6為等腰三角形的腰長時，則
關(guān)于 x 的方程 x2?8x+m=0的一個根x1=6
代入方程得，36-48+m=0
解得m=12
則方程為 x2?8x+12=0
解方程，得另一個根為x2=2
∴等腰三角形的三邊長分別為 6，6，2，經(jīng)檢驗滿足三角形的三邊關(guān)系定理；
（2）當(dāng)6為等腰三角形的底邊長時，則
關(guān)于x的方程 x2?8x+m=0 有兩個相等的實數(shù)根
∴根的判別式
解得，m=16
則方程為x2?8x+16=0
解方程，得 x1=x2=4
∴等腰三角形的三邊長分別為4，4，6，經(jīng)檢驗滿足三角形的三邊關(guān)系定理．
綜上，m的值為12或16．
故答案為：12或16．
【點睛】
本題考查一元二次方程根的定義，根的判別式，等腰三角形的定義，三角形的三邊關(guān)系定理等知識點．正確分兩種情況討論是解題關(guān)鍵．
4．（2022·江蘇·九年級）若關(guān)于x的一元二次方程x2+3（m﹣2）x+2c﹣1＝0有兩個相等的實數(shù)根，則c的最小值是 _____．
【答案】
【解析】
【分析】
由方程有兩個相等的實數(shù)根可得出Δ＝9（m﹣2）2﹣8c+4＝0，解之即可得出結(jié)論．
【詳解】
解：∵方程x2+3（m﹣2）x+2c﹣1＝0有兩個相等的實數(shù)根，
∴Δ＝9（m﹣2）2﹣8c+4＝0，
∴（m﹣2）2＝，
∵（m﹣2）2≥0，
∴≥0，
解得：，
∴c的最小值是．
故答案為：．
【點睛】
本題考查了根的判別式，牢記“當(dāng)Δ＝0時，方程有兩個相等的實數(shù)根”是解題的關(guān)鍵．
5．（2022·安徽·模擬預(yù)測）若關(guān)于的一元二次方程有兩個相等的實數(shù)根，則的值為________．
【答案】4
【解析】
【分析】
根據(jù)一元二次方程根的判別式得出△=0，即b2＝4a，將該式代入后進(jìn)一步變形即可．
【詳解】
解：∵關(guān)于x的一元二次方程ax2+bx+1＝0有兩個相等的實數(shù)根，
∴a≠0且△＝0，即b2﹣4a＝0，即b2＝4a，
把b2＝4a代入得：
原式＝
=
＝4
故答案為：4．
【點睛】
本題主要考查了一元二次方程根的判別式的實際運用，熟練掌握一元二次方程根的判別式，是解題關(guān)鍵．
二、解答題
6．（2022·湖南永州·二模）設(shè)m為整數(shù)，且，方程有兩個不相等的整數(shù)根，求m的值及方程的根．
【答案】當(dāng)m=8時，x=17或9；當(dāng)m=18時，x=39或27
【解析】
【分析】
方程有整數(shù)根，則根的判別式就為完全平方數(shù)，所以就是求使△為完全平方數(shù)且大于0的m的值，求得后再代入方程檢驗即可．
【詳解】
解：解方程
得
∵原方程有兩個不相等的整數(shù)根，
∴為完全平方數(shù)，
又∵m為整數(shù)，且3

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